Акустические волны в двухфракционных газовзвесях с фазовыми превращениями в одной из фракций

Терегулова, Евгения Александровна

Акустические волны в двухфракционных газовзвесях с фазовыми превращениями в одной из фракций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Терегулова, Евгения Александровна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Казань МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Акустические волны в двухфракционных газовзвесях с фазовыми превращениями в одной из фракций»

Автореферат диссертации на тему "Акустические волны в двухфракционных газовзвесях с фазовыми превращениями в одной из фракций"

4859087

ТЕРЕГУЛОВА Евгения Александровна

УДК 532.529:534.2

АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В ДВУХФРАКЦИОННЫХ ГАЗОВЗВЕСЯХ С ФАЗОВЫМИ ПРЕВРАЩЕНИЯМИ В ОДНОЙ ИЗ ФРАКЦИЙ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 о НОЯ 2011

КАЗАНЬ-2011

4859087

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте механики и машиностроения Казанского научного центра РАН.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН Губайдуллин Дамир Анварович

доктор физико-математических наук, профессор Шагапов Владислав Шайхулагзамович

доктор физико-математических наук, профессор Саламатин Андрей Николаевич

Казанский национальный исследовательский технический университет имени А.Н. Туполева - КАИ

Защита состоится «24» ноября 2011 г. в 14 час. 30 мин. в аудитории мех.2 на заседании диссертационного Совета Д 212.081.11 при Казанском федеральном (Приволжском) университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 18.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского федерального (Приволжского) университета.

Автореферат разослан «21» октября 2011г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

Саченков А.А.

ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Многофазные среды широко распространены в природе и современной технике. Из многообразия неоднородных сред могут быть выделены дисперсные смеси (аэрозоли, туманы, пузырьковые жидкости, взвеси и т.д.), имеющие сравнительно регулярный характер и представляющие собой смесь двух фаз, одной из которых являются различные включения (твердые частицы, капли, пузырьки).

В настоящее время значительный интерес представляют исследования волновой динамики и акустики дисперсных сред применительно к проблемам развития акустических методов диагностики таких систем, а также методов подавления звуковых возмущений дисперсными смесями. Так, перспективной является возможность применения дисперсных систем для уменьшения шума в различных устройствах, например, в авиационных двигателях. Развитие таких методов способствует как решению задач безопасности процессов на промышленных объектах в машиностроении, энергетике и т.д., так и проблем экологии атмосферы, значительно загрязненной различными аэрозолями промышленного характера. Результаты исследований могут быть использованы при исследовании вышеназванных задач, а также при решении фундаментальных проблем механики многофазных сред.

Целью настоящей диссертации является теоретическое исследование распространения акустических возмущений различной геометрии в двухфракционных газовзвесях с включениями разных теплофизических свойств и размеров с учетом нестационарных и неравновесных эффектов межфазного взаимодействия.

Научная новизна. В диссертации впервые изучена динамика волн малой амплитуды разной геометрии в двухфракционных газовзвесях без учета и с учетом фазовых превращений. Выведены общие дисперсионные соотношения, определяющие распространение плоских, сферических и цилиндрических возмущений в двухфракционных газовзвесях. Получены асимптотики относительной скорости звука и коэффициента затухания.

Для случая длинноволновых возмущений разной геометрии система уравнений движения сведена к одному уравнению для возмущений давления. Выполнен анализ влияния геометрии процесса, фазовых переходов и основных параметров дисперсных смесей на эволюцию импульсных возмущений.

Обоснованность и достоверность. Полученные результаты основаны на фундаментальных законах и уравнениях механики сплошных гетерогенных сред, а также физически естественных допущениях. Результаты в частных случаях хорошо согласуются с теоретическими результатами других авторов и с известными экспериментальными данными.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты расширяют и углубляют теоретические знания о волновых процессах в двухфракционных газовзвесях и имеют широкий спектр приложения на практике. Результаты и выводы исследований акустических свойств двухфракционных газовзвесей могут быть использованы при развитии методов акустической диагностики двухфазных смесей и контроля протекающих в них процессов.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с бюджетной темой «Динамика неоднородных и многофазных сред» №01200955817 (2009-2011 гг.), при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 04-01-00107, № 07-01-00339, № 10-01-00098), в рамках программы Президиума РАН № 17П, № 20П, фонда НИОКР республики Татарстан (проект № 05-5.4-127), при содействии Совета по грантам Президента Российской федерации для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ РФ (грант МК-1316.2010.1 и гранты НШ-3483.2008.1, НШ-4381.2010.1), при поддержке Министерства образования и науки РФ (государственный контракт №14.740.11.0351).

Положения, выносимые на защиту.

• Математическая модель, описывающая движение двухфракционных газовзвесей с учетом нестационарных и неравновесных эффектов межфазного взаимодействия.

• Общие дисперсионные соотношения, определяющие распространение плоских, сферических и цилиндрических акустических возмущений в двухфракционных газовзвесях.

• Низкочастотные и высокочастотные асимптотики для коэффициента затухания и фазовой скорости в двухфракционных газовзвесях.

• Результаты анализа дисперсионных кривых, асимптотик коэффициента затухания и фазовой скорости звука, установленные закономерности эволюции импульсных возмущений давления различной начальной формы в двухфракционных газовзвесях.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и школах: на итоговых конференциях ИММ КазНЦ РАН (г. Казань, 2007-2010); на VI Всероссийской школе—семинаре молодых ученых и специалистов ак. РАН В.Е. Алемасова "Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении" (г. Казань, 2008); на V Всероссийской научно-технической конференции "Проблемы и перспективы развития авиации, наземного транспорта и энергетики АНТЭ-2009"(г. Казань, 2009); на VII Всероссийской школе-семинаре молодых ученых и специалистов ак. РАН В.Е. Алемасова "Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении" (г. Казань, 2010); на Всероссийской научной школе молодых ученых "Механика неоднородных жидкостей в полях внешних сил" (г. Москва, 2010); International Aerosol Conference (Finland, Helsinki, 2010); на Международной научной школе молодых ученых и специалистов "Механика неоднородных жидкостей в полях внешних сил: вихри и волны" (г. Москва, 2011); на X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (г. Нижний Новгород, 2011).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 работах, 5 из которых - в изданиях из перечня ВАК, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 111 страниц, в том числе 30 рисунков. Список литературы состоит из 63 наименований. В заключении сформулированы основные результаты работы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется цель работы, излагается ее краткое содержание, и приводятся положения, выносимые на защиту.

В первой главе дан краткий обзор опубликованных теоретических и экспериментальных работ по теме диссертации. Обсуждены основные особенности распространения слабых монохроматических и импульсных возмущений в моно- и полидисперсных газовзвесях. Рассмотрены результаты работ, посвященных исследованию распространения возмущений в газовзвесях.

Вторая глава посвящена изучению распространения акустических возмущений в двухфракционных смесях инертного газа с твердыми частицами двух разных размеров и теплофизических свойств, когда объемное содержание дисперсной фазы мало.

Записывается линеаризованная система дифференциальных уравнений возмущенного движения двухфракционной газовзвеси с частицами разных теплофизических свойств и размеров. Задаются зависимости силового и теплового взаимодействия фаз от частоты колебаний. Вводятся потенциалы скоростей фаз, и система уравнений записывается в новых переменных. Далее рассматривая решения полученной системы уравнений в виде прогрессивных гармонических волн, получено дисперсионное соотношение для комплексного волнового числа K*=K + iKt*, описывающее распространение плоских, сферических и цилиндрических волн в двухфракционных газовзвесях с твердыми частицами разных теплофизических свойств и размеров.

Зависимость К* (а) определяет коэффициент затухания К^ и фазовую скорость звука Ср =со/К в виде функции от частоты и теплофизических

свойств взвеси. Для случая длинноволновых возмущений система уравнений движения сведена к одному уравнению относительно возмущений давления.

Построены дисперсионные кривые для смеси воздуха с частицами льда и алюминия. Установлено, что двухфракционность состава приводит к возникновению характерного перегиба для зависимости относительной скорости звука в области частот обратно пропорциональных характерным

а) Ь)

Рис. 1 - Зависимости относительной скорости звука и декремента затухания на длине волны от безразмерной частоты колебаний о)гу/, для смеси воздуха с частицами льда и алюминия (I), монодисперсных газовзвесей с частицами алюминия (II) и льда (III).

временам релаксации скоростей включений каждой фракции дисперсной фазы (рис. 1а). Различие размеров и теплофизических параметров фракций дисперсной фазы приводит к возникновению двух максимумов для зависимости декремента затухания на длине волны от безразмерной частоты, реализующихся при частотах, обратно пропорциональных характерным временам релаксации скоростей фаз (рис. 1Ь).

С использованием подпрограмм быстрого преобразования Фурье проведены расчеты распространения импульсов разной геометрии в смеси воздуха с частицами льда и алюминия.

8Л 1,00,80,6 0,4 0,2-

«1 1 1 ; ----И -----Ill

4.01 1 1 so' ■

г, A

1 IJ i J1 i J-' [K / \ /,'' У / ч /^ V • - I 1 y-^J 1 ~ t ■ 1

0,00 0,02 0,04 К с

Рис. 2 - Эволюция импульсного возмущения гауссовой формы в двухфракционной газовзвеси с частицами льда и алюминия (I), монодисперсных газовзвесях с частицами алюминия (II) и льда (III)

Двухфракционность состава в рассматриваемых газовзвесях (кривая I) приводит к изменению величины затухания и формы импульсов давления, в силу различия дисперсии скорости звука и диссипации волн по сравнению с монодисперсными газовзвесями (кривые II, III), при одинаковом массовом содержании дисперсной фазы. Установлено, что наличие твердых частиц другого радиуса и теплофизических свойств существенно влияет на динамику слабых

в плоском случае

возмущений в двухфракционных газовзвесях.

В третьей главе изучается распространение акустических возмущений в двухфракционных парогазокапельных смесях с твердыми частицами с учетом нестационарных и неравновесных эффектов межфазного тепломассообмена.

Линеаризованная система уравнений возмущенного движения

парогазокапельной смеси с твердыми частицами имеет вид ___________ . ...........

дг г)

Ml dt

+ Рю + Р20/

--1 + 6— \ -~nmjvz, or г

V дг г

~ noiJz>

ЭР'*

= -"01 Jn

+ P20.

дг r

= 0,

GV\

2 j

■-nQJfj, (j = a,l)

dt dp', v-, Sll2j t ■ „ л

Pro+ Pco^f = amZi ^flvn' Pzo; —= [j=a>1)

q^a +<llZa = Чт +9г О =~Mr

p'v=—p'r+Pvof. PI=■— (p;+лад - kvpi»+Pw J,

Укаю Yiaio т0

l=cprTi', Ь=сРаТ1 (CPV,CPG = const)

p= 0, i t'2J = CjjTIj . (c2. = const), (j = a,l)

Р|0=а10Рш> P207 =а20./Р°20Я a20y U=a>1)

«10 + a20a + a2o; = Ь АЛ = - )/Д10.

Система уравнений при значении параметра 0 = 0 описывает плоские волны в декартовых координатах, при 0 = 1 - цилиндрические волны в цилиндрических координатах, при 9 = 2- сферические волны в сферических координатах. Переменные с индексом 1 относятся к несущей фазе, с индексом 2 - к дисперсной фазе, индекс 0 соответствует начальному невозмущенному состоянию; штрихи вверху используются для обозначения возмущенных параметров; переменные с индексом а относятся к частицам радиуса 8а, с индексом / - к каплям радиуса 8;; V и G отмечают параметры паровой и газовой компонент несущей фазы; р, р°, v , р, Т- соответственно приведенная и истинная плотности, скорость, давление, температура; /', - энтальпия несущей фазы; u2j - внутренняя энергия у-ой фракции (j = а,/); с , - теплоемкость несущей фазы при постоянном давлении, c2j - теплоемкость j - х включений ( / = a,/), а. -объемное содержание j - ой фазы (j = 1,2a, 21), n0J - число j - х частиц в единице объема смеси (j = a,l); ц, - коэффициент динамической вязкости несущей среды; q^ - интенсивность теплообмена несущей фазы с поверхностью j-ой частицей, q2Zj - интенсивность теплообмена внутренней части j -ой частицы с поверхностью раздела фаз; А,. -теплопроводность j -ой фазы (у = 1,2а, 26); Nu1; и pf.- безразмерный (число Нуссельта) и размерный коэффициенты теплообмена несущей фазы с границей раздела / -го типа частиц (y" = a,6), Nu2/ и Р^.-

безразмерный (число Нуссельта) и размерный коэффициенты теплообмена у -го типа частиц (у = а,Ь)\]гъ - диффузионный поток пара к поверхности капли Е, уЕ- интенсивность конденсации на поверхности индивидуальной капли; /0 - удельная теплота парообразования; ку -концентрация пара в несущей фазе; Я - газовая постоянная, Л, -коэффициент бинарной диффузии, С, и Су- соответственно скорости звука в несущей среде и паровой составляющей несущей среды.

Тепловые потоки извне (¡^ и изнутри у-го включения к его

поверхности и межфазный диффузионный поток пара к поверхности отдельной капли уГ2 задаются соотношениями

При изучении акустических возмущений в газовзвеси с фазовыми переходами необходим учет зависимости тепловых потоков извне и изнутри qгz¡ включений к их поверхности и интенсивности массообмена от частоты колебаний со. В рамках трехтемпературной модели межфазного теплообмена и принятой схемы фазового превращения этот учет сводится к учету зависимостей от частоты колебаний чисел Нуссельта и Шервуда.

Фазовые превращения на границе раздела фаз протекают неравновесно, поэтому давление пара на границе рп отличается от давления насыщения рУ5 ). Интенсивность неравновесной конденсации на поверхности раздела фаз задается с помощью формулы Герца-Кнудсена-Ленгмюра

Здесь тр - характерное время выравнивания парциальных давлений пара на межфазной границе, зависящее от значения коэффициента

дщ = (Т^-%), Ииау = 26, Д2, ,0 = а,I)

(1 ■-ку)уК1 = гладед [ку-кп), БЬ, = /д.

1 ■

аккомодации р, у - показатель адиабаты. Из условия баланса массы на поверхности капли получаем

1п. = Н ■

Вводя потенциалы скоростей фаз и рассматривая решения полученной системы уравнений в виде прогрессивных волн, получаем дисперсионное соотношение для комплексного волнового числа ЛГ„, описывающее распространение плоских, сферических и цилиндрических акустических возмущений и справедливое в широком диапазоне частот. Найдены низкочастотная и высокочастотная асимптотики коэффициента затухания, равновесная и замороженная скорости звука. Для случая длинноволновых возмущений система уравнений движения сведена к одному уравнению относительно возмущений давления.

а) Ь)

Рис. 3 -Зависимость относительной скорости звука и декремента затухания на длине волны от безразмерной частоты колебаний для смеси воздуха с паром, каплями воды и частицами песка с учетом (I) и без учета (II) межфазного массообмена

Как и в первой задаче двухфракционность состава и различие теплофизических параметров фракций приводит к возникновению характерного перегиба для зависимости относительной скорости звука в области частот обратно пропорциональных характерным временам релаксации скоростей фаз тУЯ и тг1 (рис. За) и к возникновению двух максимумов для зависимости декремента затухания на длине волны на характерных значениях безразмерных частот сотга, сох,,; = 1 (рис. ЗЬ).

Установлено, что при увеличении массового содержания дисперсной фазы фазовая скорость звука на низких частотах уменьшается, а на высоких практически не изменяется и стремится к своему асимптотическому значению - скорости звука в чистом газе. Также показано, что с увеличением массового содержания декремент затухания на длине увеличивается практически на всем диапазоне частот. Учет межфазного массообмена приводит к уменьшению относительной скорости звука и увеличению декремента затухания на длине волны (рис. 3).

С использованием подпрограмм быстрого преобразования Фурье численно исследованы особенности распространения плоских, сферических и цилиндрических импульсных возмущений давления малой амплитуды в двухфракционных парогазокапельных смесях с твердыми частицами.

Показано, что наличие межфазного массообмена приводит как к более сильному затуханию, так и к более значительному изменению

формы импульсов давления, в силу большей дисперсии скорости звука и диссипации волн. В смеси газа с паром, каплями и твердыми частицами затухание импульса будет больше, чем для монодисперсной газовзвеси с твердыми частицами и меньше, чем для смеси газа с паром и каплями, при неизменном общем массовом содержании дисперсной фазы (рис. 4). Установлено, что наличие загрязняющих примесей (твердых частиц) существенно влияет на динамику слабых волн в парогазокапельных смесях, что необходимо учитывать при развитии методов акустической диагностики двухфазных сред.

0,00

0,02

0,04

Рис. 4 - Эволюция импульсного возмущения гауссовой формы в смеси

воздуха с паром, каплями воды и частицами песка (I), монодисперсной газовзвеси с частицами песка (II) и смеси воздуха с паром и каплями воды (III)

Основные результаты и выводы:

Развита теория распространение акустических волн разной геометрии в двухфракционных парогазокапельных смесях с твердыми частицами разных материалов и размеров без учета и с учетом фазовых превращений. Представлены математические модели, записаны замкнутые линеаризованные системы дифференциальных уравнений возмущенного движения. Выведены дисперсионные соотношения, определяющие распространение плоских, сферических и цилиндрических возмущений в двухфракционных газовзвесях. Для длинноволновых возмущений разной геометрии система уравнений движений сведена к одному уравнению относительно возмущений давления.

Найдены равновесная и замороженная скорости звука, низкочастотная и высокочастотная асимптотики коэффициента затухания. Установлено, что на диссипацию низкочастотных возмущений существенное влияние оказывают эффекты межфазного тепломассообмена. Высокочастотная асимптотика коэффициента затухания в основном определяется главным членом, который прямо пропорционален массовому содержанию капель и частиц. При распространении высокочастотных возмущений определяющими диссипативными эффектами являются эффекты межфазного трения, а влияние межфазного массообмена на диссипацию возмущений проявляется слабо.

Для двухфракционной парогазокапелыюй смеси и твердых частиц проанализировано влияние параметров дисперсной фазы на дисперсию и диссипацию гармонических возмущений и эволюцию слабых импульсов давления. Установлено, что различие размеров и теплофизических параметров фракций дисперсной фазы приводит к возникновению двух максимумов для зависимости декремента затухания на длине волны от безразмерной частоты, реализующихся при частотах, обратно пропорциональных характерным временам релаксации скоростей фаз. Также двухфракционность состава приводит к возникновению характерного перегиба для зависимости относительной скорости звука в

области частот обратно пропорциональных характерным временам релаксации скоростей включений каждой фракции дисперсной фазы.

Межфазный массообмен в рассматриваемых газовзвесях приводит как к более сильному затуханию, так и к более значительному изменению формы импульсов давления, в силу большей дисперсии скорости звука и диссипации волн. В смеси газа с паром, каплями и твердыми частицами затухание импульса будет больше, чем для монодисперсной газовзвеси с твердыми частицами и меньше, чем для смеси газа с паром и каплями, при неизменном общем массовом содержании дисперсной фазы. Установлено, что наличие загрязняющих примесей (твердых частиц) существенно влияет на динамику слабых волн в парогазокапельных смесях, что необходимо учитывать при развитии методов акустической диагностики двухфазных сред.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Уткина Е.А. Распространение акустических волн в двухфракционных газовзвесях с частицами разных материалов и размеров [Текст] / Д.А. Губайдуллин, A.A. Никифоров, Е.А. Уткина // Известия ВУЗов. Проблемы энергетики. - 2009. - Т. 1-2. - С. 25-33.

2. Уткина Е.А. Акустические волны в двухфракционных смесях газа с каплями и частицами разных материалов и размеров при наличии фазовых превращений. [Текст] / Д.А. Губайдуллин, A.A. Никифоров, Е.А. Уткина // Известия ВУЗов. Проблемы энергетики. - 2010. - Т.7-8. - С.3-13.

3. Уткина Е.А. Акустические волны в двухфракционных смесях газа с паром, каплями и твердыми частицами разных материалов и размеров при наличии фазовых превращений [Текст] / Д.А. Губайдуллин, A.A. Никифоров, Е.А. Уткина // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. -2011.-№ 1.-С. 95-103.

4. Уткина Е.А. Влияние фазовых превращений на распространение акустических волн в двухфракционных смесях газа с паром, каплями и

твердыми частицами разных материалов и размеров [Текст] / Д.А. Губайдуллин, A.A. Никифоров, Е.А. Уткина // Теплофизика высоких температур. - 2011№.6. - С. 942-947.

5. Уткина Е.А. Акустические возмущения в парогазожидкостных системах [Текст] / A.A. Никифоров, Е.А. Уткина, Р.Н. Гафиятов // Вестник Нижегородского университета им. H.H. Лобачевского. МЖГ. - 2011. -№4(3). - С.1017-1018.

Статьи в сборниках научных трудов и тезисы докладов на научных конференциях:

6. Уткнна Е.А. Распространение акустических волн в двух-фракционных газовзвесях с частицами разных материалов и размеров [Текст] / Д.А. Губайдуллин, Е.А. Уткина // Материалы докладов VI Школы-семинара молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е. Алемасова "Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении". - Казань, 2008. - С. 160-162.

7. Уткина Е.А. Динамика слабых волн в двухфазных средах [Текст]/ Д.А. Губайдуллин, A.A. Никифоров, Е.А. Уткина, Р.Н. Гафиятов II Материалы V Всероссийской научно-технической конференции "Проблемы и перспективы развития авиации, наземного транспорта и энергетики"- Казань, 2009. - С.546-551.

8. Уткина Е.А. Акустические волны в двухфракционных смесях газа с паром, каплями и твердыми частицами разных материалов и размеров при наличии фазовых превращений [Текст] / Е.А. Уткина // Материалы докладов VII Школы-семинара молодых ученых и специалистов академика РАН В.Е. Алемасова "Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении". — Казань, 2010. - С.230 - 233.

9. Уткина Е.А. Акустические возмущения в двухфракционных парогазожидкостных системах [Текст] / A.A. Никифоров, Е.А. Уткина, Р.Н. Гафиятов // Сборник тезисов докладов Всероссийской научной школы молодых ученых "Механика неоднородных жидкостей в полях внешних сил". - Москва, 2010. - С.66-67.

10. Utkina E.A. Acoustic waves in aerosols [Текст] / E.A. Utkina, A.A. Nikiforov // Сборник тезисов докладов Международной научной школы молодых ученых и специалистов "Механика неоднородных жидкостей в полях внешних сил: вихри и волны". - Москва, 2011. - С.35-36.

11. Терегулова Е.А. Линейные волны разной геометрии в двухфракционных газовзвссях с фазовыми превращениями [Текст] / Д.А. Губайдуллин, A.A. Никифоров, Е.А. Терегулова // В сб. "Актуальные прблемы механики сплошной среды. К 20-летию ИММ КазНЦ РАН" Т.П. - Казань: Фолиант, 2011. - 240с. - С.37-52.

12. Уткина Е.А. Акустические возмущения в парогазожидкостных системах [Текст] / A.A. Никифоров, Е.А. Уткина, Р.Н. Гафиятов // Тезисы докладов Второй Всероссийской школы молодых ученых-механиков «Современные методы механики». X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н.И.Лобачевского, 2011. С. 120.

Публикации в трудах международных конференций:

13. Utkina Eugenia Acoustic waves in aerosols [Электронный ресурс] / Gubaidullin Damir, Nikiforov Anatoly and Utkina Eugenia // Abstract of International Aerosol Conference, Finland, Helsinki, 2010. Систем, требования: Adobe Acrobat Reader. - URL: http://www.atm.helsinki.fi/IAC-2010/abstracts/pdf/695.pdf (дата обращения: 29.09.2011).

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательства Казанского университета Тираж 150. Заказ 84/10

420008, г.Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел.: (843) 233-73-59,292-65-60

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Терегулова, Евгения Александровна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЗОР СОСТОЯНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ ПО АКУСТИКЕ ГАЗОВЗВЕСЕЙ.

ГЛАВА 2. АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В ДВУХФРАКЦИОННЫХ ГАЗОВЗВЕСЯХ С ТВЕРДЫМИ ЧАСТИЦАМИ РАЗНЫХ МАТЕРИАЛОВ И РАЗМЕРОВ.

§2.1 Линеаризованные уравнения возмущенного движения с учетом теплообмена.

§2.2 Дисперсионное соотношение для плоских, сферических и цилиндрических возмущений малой амплитуды.

§2.3 Равновесная и замороженная скорости звука. Асимптотики коэффициента затухания. Анализ дисперсионных кривых.

§2.4 Импульсные возмущения малой амплитуды в двухфракционных смесях газа с включениями разных теплофизических свойств и размеров.

ГЛАВА 3. АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В ДВУХФРАКЦИОННЫХ СМЕСЯХ ГАЗА С КАПЛЯМИ И ТВЕРДЫМИ ЧАСТИЦАМИ РАЗНЫХ МАТЕРИАЛОВ И РАЗМЕРОВ ПРИ НАЛИЧИИ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ.

§3.1 Линеаризованные уравнения возмущенного движения с учетом межфазного тепло- и массообмена.

§3.2 Дисперсионное соотношение для плоских, цилиндричеких и сферических возмущений малой амплитуды.

§3.3 Равновесная и замороженная скорости звука. Асимптотики

КОЭФФИЦИЕНТА ЗАТУХАНИЯ. АНАЛИЗ ДИСПЕРСИОННЫХ КРИВЫХ .■.

§3.4 Импульсные возмущения малой амплитуды в двухфракционных парогазокапельных смесях с твердыми частицами.

Введение диссертация по механике, на тему "Акустические волны в двухфракционных газовзвесях с фазовыми превращениями в одной из фракций"

Актуальность темы. Многофазные или гетерогенные среды широко распространены в природе и современной технике, что обуславливает значительный интерес к проблемам и задачам механики многофазных сред. Наиболее распространенными процессами в гетерогенных средах являются волновые процессы, носящие нестационарный характер. Проблема исследования нестационарных волновых процессов в многофазных системах сунетом—неравновесных—эффектовЛйежфазного взаимодействия является одной из актуальных и фундаментальных проблем механики сплошных сред. Примерами гетерогенных систем могут служить различные смеси газа с каплями или частицами, жидкости с пузырьками газа, насыщенные газом или жидкостью пористые среды и т.д. Из многообразия многофазных сред могут быть выделены дисперсные смеси, имеющие сравнительно регулярный характер и представляющие собой смесь двух фаз, одной из которых являются различные включения (частицы, капли или пузырьки).

Исследование нестационарных волновых процессов в дисперсных смесях газа с твердыми частицами обычно осложняется необходимостью учета полидисперсного состава (неодинаковости теплофизических свойств и размеров включений) взвеси, поскольку реальные газовзвеси являются существенно полидисперсными. При описании движения таких систем следует учитывать реальное распределение диспергированных включений по размерам, а также межфазный обмен массой, импульсом и теплом.

Знание характерных параметров (характерных времен межфазного взаимодействия, длин выравнивания параметров фаз и т.д.) полидисперсных газовзвесей и закономерностей распространения в них волн позволяет предсказывать их поведение в различных практически важных ситуациях, проводить расчеты режимов работы разных устройств, аппаратов и установок современной техники. Полученные теоретические результаты могут быть использованы при обработке экспериментальных данных и развитии более общих теорий, а также при разработке методов акустической диагностики и зондирования двухфазных смесей, контроля протекающих в них процессов. Поэтому большое значение приобретают исследования по изучению влияния различных эффектов межфазного взаимодействия (межфазного тепломассообмена, фазовых переходов, различных физико-химических превращений) на характер распространения возмущений в двухфракционных газовзвесях.

Целью работы является теоретическое исследование распространения акустических возмущений различной геометрии в двухфракционных газовзвесях с включениями разных теплофизических свойств и размеров с учетом нестационарных и неравновесных эффектов межфазного взаимодействия.

Положения, выносимые на защиту.

• Низкочастотные и высокочастотные асимптотики коэффициента затухания К„ и фазовой скорости в двухфракционных газовзвесях.

• Результаты анализа дисперсионных кривых и их асимптотик, установленные закономерности эволюции импульсных возмущений давления различной начальной формы в двухфракционных газовзвесях.

Научная новизна работы состоит в следующем. В диссертации впервые изучена динамика волн разной геометрии и малой амплитуды в двухфракционных газовзвесях с учетом и без учета фазовых превращений. Выведены Общие дисперсионные соотношения, определяющие распространение плоских, сферических и цилиндрических возмущений в двухфракционных газовзвесях. Получены асимптотики дисперсионных кривых. Выведено волновое уравнение в случае длинноволновых возмущений разной геометрии. Выполнен анализ влияния геометрии процесса, фазовых переходов, основных параметров дисперсных смесей на эволюцию импульсных возмущений.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и школах: на итоговых конференциях ИММ КазНЦ РАН (г. Казань, 20072010); на VI Всероссийской школе-семинаре молодых ученых и специалистов ак. РАН В.Е. Алемасова "Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении" (г. Казань, 2008); на V Всероссийская научно-техническая конференция "Проблемы и перспективы развития авиации, наземного транспорта и энергетики АНТЭ-2009" (г. Казань, 2009); на VII Всероссийской школе-семинаре молодых ученых и специалистов ак. РАН В.Е. Алемасова "Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении" (г. Казань, 2010); International Aerosol Conference (Finland, Helsinki, 2010); на Всероссийской научной школе молодых ученых "Механика неоднородных жидкостей в полях внешних сил" (г. Москва, 2010); на Международной научной школе молодых ученых и специалистов "Механика неоднородных жидкостей в полях внешних сил: вихри и волны" (г. Москва, 2011); на X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (г. Нижний Новгород, 2011). Результаты диссертации опубликованы в 12 работах.

Связь работы с научными программами и темами.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с бюджетной темой «Динамика неоднородных и многофазных сред» №01200955817 (2009-2011 гг.), при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 04-01-00107, № 07-01-00339, № 10-01-00098), в рамках программы ОЭММПУ РАН № 17П, № 20П, фонда НИОКР республики Татарстан (проект № 05-5.4-127), при содействии Совета по грантам Президента Российской федерации для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ РФ (грант МК-1316.2010.1 и гранты НШ-3483.2008.1, НШ-4381.2010.1), при поддержке Министерства образования и науки РФ (государственный контракт №14.740.11.0351).

Содержание диссертационной работы.

В первой главе дан краткий обзор опубликованных теоретических и экспериментальных работ по теме диссертации. Обсуждены основные особенности распространения слабых монохроматических и импульсных возмущений в моно- и полидисперсных газовзвесях в плоском, сферическом и цилиндрическом случаях.

Во второй главе представлена замкнутая система линеаризованных уравнений возмущенного движения двухфракционной газовзвеси с твердыми частицами двух разных радиусов и теплофизических свойств. Показано, что процесс распространения слабых возмущений в двухфракционных смесях газа с твердыми частицами в плоском, сферическом и цилиндрическом случаях определяется единым дисперсионным соотношением, которое не зависит от расстояния до оси или центра симметрии. Найдены равновесная и замороженная скорости звука, низкочастотная и высокочастотная асимптотики коэффициента затухания. Получено волновое уравнение, описывающее распространение плоских, сферических и цилиндрических длинноволновых возмущений.

В третьей главе представлена замкнутая система линеаризованных уравнений возмущенного движения двухфракционной парогазокапельной смеси с твердыми частицами. Показано, что процесс распространения возмущений малой амплитуды в двухфракционных парогазокапельных смесях с твердыми частицами в плоском, сферическом и цилиндрическом случаях определяется единым общим дисперсионным соотношением, которое не зависит от расстояния до оси или центра симметрии. Найдены равновесная и замороженная скорости звука, низкочастотная и высокочастотная асимптотики коэффициента затухания. Получено волновое уравнение, описывающее распространение плоских, сферических и цилиндрических длинноволновых возмущений.

В заключении подводятся итоги работы, формулируются основные выводы по результатам исследований.

Благодарности. Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю члену-корреспонденту РАН, д.ф.-м.н. Губайдуллину Дамиру Анваровичу за поддержку и помощь в ходе выполнения работы.

Автор благодарит своих коллег по лаборатории «Механика сплошной среды» PIMM КазНЦ РАН д.ф.-м.н., профессора Р.Г. Зарипова и к.ф.-м.н. A.A. Никифорова за сотрудничество и ценные замечания.

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе развита теория распространения акустических волн разной геометрии в двухфракционных парогазокапельных смесях с твердыми частицами разных материалов и размеров без учета и с учетом фазовых превращений. Представлена математическая модель, записаны замкнутые линеаризованные системы дифференциальных уравнений возмущенного движения. Выведены дисперсионные соотношения, определяющие распространение плоских, сферических и цилиндрических возмущений в двухфракционных газовзвесях. Для длинноволновых возмущений разной геометрии получены волновые уравнения.

Для двухфракционной парогазокапельной смеси и твердых частиц проанализировано влияние параметров дисперсной фазы на дисперсию и диссипацию гармонических возмущений и эволюцию слабых импульсов давления. Установлено, что различие размеров и теплофизических параметров фракций дисперсной фазы приводит к возникновению двух максимумов для зависимости декремента затухания на длине волны от безразмерной частоты, реализующихся при частотах, обратно пропорциональных характерным временам релаксации скоростей фаз. Также двухфракционность состава приводит к возникновению характерного перегиба для зависимости относительной скорости звука в области частот обратно пропорциональных характерным временам релаксации скоростей фаз.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Терегулова, Евгения Александровна, Казань

1. Азаматов А. Ш. Распространение малых возмущений в парогазожидкостной среде / А. Ш. Азаматов, В. Ш. Шагапов // Акустический журнал. - 1981. - Т. 27. - № 2. - С. 161-169.

2. Айдагуллов Р. Р. Учет нестационарного теплообмена в задаче о структуре ударной волны в жидкости с пузырьками / Р. Р. Айдагуллов, Н. С. Хабеев, В. Ш. Шагапов // Прикладная механика и техническая физика. -1977. №3. - С.67-74.

3. Багдоев А.Г. Линейные и нелинейные волны в диспергирующих сплошных средах / Багдоев А.Г., Ерофеев В.И., Шекоян A.B. // М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 320 с.

4. Борисов А. А. Распространение длинноволновых возмущений конечной амплитуды в газовзвесях / А. А. Борисов, А. Ф. Вахгельт, В. Е. Накоряков // Прикладная механика и техническая физика. 1980. - №5. - С. 33-38.

5. Талонов В. А. Пакет программ быстрого преобразования Фурье с приложениями к моделированию случайных процессов / В. А. Гапонов // -Новосибирск, 1976, 19с. (Препринт АН СССР, Сиб. отделение, Ин-т теплофизики).

6. Губайдуллин А. А. Распространение волн вдоль границы насыщенной пористой среды и жидкости / А. А. Губайдуллин, О. Ю. Болдырева // Акустический журнал. 2006. - Т. 52. - № 2. - С. 201-211.

7. Губайдуллин А. А. Одномерные линейные волны с осевой и центральной симметрией в насыщенных пористых средах / А. А. Губайдуллин, О. Ю. Кучугурина // В сб.: Итоги исследований. Тюмень. -1994.-С. 41-50.

8. Губайдуллин Д. А. О влиянии тепломассообмена на распространение звуковых волн в парогазокапельных системах / Д. А. Губайдуллин // Вестник. МГУ. Серия Математика. Механика. 1987. - № 3. - С. 95-98.

9. Губайдуллин Д. А. Динамика слабых импульсных возмущений в полидисперсных смесях газа с паром и каплями жидкости / Д. А. Губайдуллин // Теплофизика высоких температур. 1998. - Т. 36. - № 6. - С. 944-949.

10. Губайдуллин Д. А. Динамика двухфазных парогазокапельных сред / Д. А. Губайдуллин. Казань: Изд-во Казанского математического общества, 1998,- 153с.

11. Губайдуллин Д. А. Скорость и затухание звука в парогазокапельных системах. Роль тепло массообменных процессов / Д. А. Губайдуллин, А. И. Ивандаев // Прикладная механика и техническая физика. 1987. - № 3. - С. 115-123.

12. Губайдуллин Д. А. Влияние фазовых превращений на распространение звука в туманах. Сопоставление теории с экспериментом / Д. А. Губайдуллин, А. И. Ивандаев // Прикладная механика и техническая физика. 1990.-№ 6.-С. 27-34.

13. Губайдуллин Д. А. Динамика импульсных волн малой амплитуды в парогазокапельных системах / Д. А. Губайдуллин, А. И. Ивандаев // Прикладная механика и техническая физика. ^1991.— №2.-С. 106-113.

14. Губайдуллин Д. А. Характерные времена процессов взаимодействия фаз и их влияние на дисперсию и абсорбцию акустических волн в парогазокапельных системах / Д. А. Губайдуллин, А. И. Ивандаев // Теплофизика высоких температур. 1991.-Т. 29.-№ 1.-С. 121-127.

15. Губайдуллин Д. А. Распространение акустических возмущений в полидисперсных туманах / Д. А. Губайдуллин, А. И. Ивандаев // Теплофизика высоких температур. 1992. - № 5. - С. 935-941.

16. Губайдуллин Д. А. Динамика сферических и цилиндрических волн малой амплитуды в полидисперсных газовзвесях / Д. А. Губайдуллин, С. А. Лаптев, А. А. Никифоров // Известия вузов. Проблемы энергетики. 2000. -Т. 5-6.-С. 17-25.

17. Губайдуллин Д. А. Малые возмущения разной геометрии в полидисперсных парогазокапельных смесях с фазовыми переходами / Д. А. Губайдуллин, С. А. Лаптев, А. А. Никифоров // Известия вузов. Проблемы энергетики,-2001.-Т. 9-10.-С. 26-33.

18. Губайдуллин Д.А. Сферические и цилиндрические волны малой амплитуды в полидисперсных туманах с фазовыми превращениями // Изв. РАН. МЖГ. 2003. №5. С. 85-94

19. Губайдуллин Д.А., , Никифоров A.A., Уткина Е.А. Распространение акустических волн в двухфракционных газовзвесях с частицами разныхматериалов и размеров // Известия вузов. Проблемы энергетики, 2009. № 1-2. С.25-33.

20. Губайдуллин Д.А., Никифоров A.A., Уткина Е.А Акустические волны в двухфракционных смесях газа с каплями и частицами разных материалов и размеров при наличии фазовых превращений // Известия вузов. Проблемы энергетики, 2010. № 7-8. С.3-13.

21. Губайдуллин Д.А., Никифоров A.A., Уткина Е.А. Влияние фазовых превращений на распространение акустических волн в двухфракционных смесях газа с паром, каплями и твердыми частицами разных материалов и размеров // Теплофизика высоких температур. 2011.

22. Губайдуллин Д.А., Никифоров A.A., Уткина Е.А. Акустические волны в двухфракционных смесях газа с паром, каплями и твердыми частицами разных материалов и размеров при наличии фазовых превращений // Изв. РАН. МЖГ. 2011. № 1. С. 95-103.

23. Гумеров Н. А. Длинные волны конечной амплитуды в полидисперсных газовзвесях / Н. А. Гумеров // Прикладная механика и техническая физика. -1990.-№ 4.-С. 157-161.

24. Гумеров Н. А. Распространение звука в полидисперсных газовзвесях / Н. А. Гумеров, А. И. Ивандаев // Прикладная механика и техническая физика. 1988.-№ 5.-С. 115-124.

25. Гумеров Н. А. Дисперсия и диссипация акустических волн в газовзвесях / Н. А. Гумеров, А. И. Ивандаев, Р. И. Нигматулин // Докл. АН СССР. 1983. - Т. 272. - № 3. - С. 560-563.

26. Дейч М. Е. Газодинамика двухфазных сред / М. Е. Дейч, Г. А. Филиппов. М.: Энергоиздат, 1981. - 472с.

27. Егоров А. Г. Консолидация и акустические волны в насыщенных пористых средах / А. Г. Егоров, А. В. Костерин, Э. В. Скворцов. Казань: изд-во Казанского университета, 1990. - 102с.

28. Ивандаев А. И. Газовая динамика многофазных сред. Ударные и детонационные волны в газовзвесях / А. И. Ивандаев, А. Г. Кутушев, Р. И. Нигматулин // В сб.: Итоги науки и техники, сер. МЖГ. ВИНИТИ. 1981. -Т. 16,-С. 209-287.

29. Ивандаев А. И. Законы взаимодействия фаз в акустике газовзвесей / А. И. Ивандаев // Акустический журнал. 19856. - Т.31. - № 4. - С.486-491

30. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: МИР, 1964. 830 с.

31. Кутушев А. Г. Математическое моделирование волновых процессов в аэродисперсных и порошкообразных средах / А. Г. Кутушев. Санкт-Петербург: Недра, 2003. - 284с.

32. Ландау Л. Д. Теоретическая физика. Т.VI. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М.: Наука, 1986. - 736с.

33. Марбл Ф. Динамика запыленных газов / Ф. Марбл // В сб. переводов иностранных статей: Механика. 1971. - № 6. - С. 48-89.

34. Нигматулин Р. И. Мелкомасштабные течения и поверхностные эффекты в гидромеханике многофазных сред / Р. И. Нигматулин // Прикладная математика и механика. 1971. - Т. 35. - № 3. - С. 451-463.

35. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред / Р. И. Нигматулин. М.: Наука, 1978. - 336с.

36. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред / Р. И. Нигматулин. -М.: Наука, 1987. 464с. - Ч. 1-2.

37. Нигматулин Р. И. Эффект немонотонной зависимости диссипации звука от концентрации капель в акустике газовзвесей / Р. И. Нигматулин, А.

38. И. Ивандаев, Д. А. Губайдуллин // Докл. АН СССР. 1991. - Т. 316, - № 3. -С. 601-605.

39. Нигматулин Р. И. Влияние фазовых превращений в акустике полидисперсных туманов / Р. И. Нигматулин, Д. А. Губайдуллин // Докл. РАН. 1996. - Т. 347. - № 3. - С. 330-333.

40. Нигматуллин Р. И. Динамика и тепломассообмен парогазовых пузырьков с жидкостью / Р. И. Нигматуллин, Н. С. Хабеев // Некоторые вопросы механики сплошной среды (поев. 70-летию акад. Л.И. Седова). М.: Институт механики МГУ, 1978. - С. 229-243.

41. Никифоров A.A., Уткина Е.А., Гафиятов Р.Н. Акустические возмущения в парогазожидкостных системах // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского 2011. -Т. 3. -№ 4.- С. 1017 - 1018.

42. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. -М.: Наука, 1979. 830с.

43. Саламатин А. Н. Реологические свойства льда с газовыми включениями / А. Н. Саламатин, В. М. Конюхов, В. А. Чугунов // Инф. бюллетень РФФИ. 1998. - Т.6. - № 5. - С. 490.

44. Coy С. Гидродинамика многофазных систем. М.: Мир. 1971. 536 с.

45. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 622 с.

46. Шагапов В. Ш. О распространении малых возмущений в парогазокапельной среде / В. Ш. Шагапов // Теплофизика высоких температур. 1987.-Т. 25.-№ 6.-С. 1148-1154.

47. Шагапов В. Ш. Распространение линейных волн в насыщенных газом пористых средах с учетом межфазного теплообмена / В. Ш. Шагапов, И. Г. Хусаинов, В. Л. Дмитриев // Прикладная механика и техническая физика. -2004. Т. 45. - № 4. - С. 114-120.

48. Cole J.E. Measurements of attenuation and dispersion of sound by a warm air fog / J.E. Cole, R.A. Dobbins // Journal of the Atmospheric Sciences. 1971. -V. 28,-№2.-P. 202-209.

49. Davidson G.A. Sound propagation in fogs / G.A. Davidson // Journal of the Atmospheric Sciences. 1975. - V. 32.-№ 11.-P. 2201-2205.

50. Davidson G.A. A Burger's equation for finite amplitude acoustics in fogs / G.A. Davidson // J. Sound and Vibration. 1976. - V.45. - № 4. - P. 475-495.

51. Dodemand E. Influence of unsteady forces acting on a particle in a suspension. Application to the sound propagation / E. Dodemand, R. Prud'homme, P. Kuentzmann // International Journal of Multiphase Flow 1995. - V. 21. -Issue l.-P. 27-51.

52. Gubaidullin D. A. On Theory of Acoustic Waves in poly dispersed Gas-Vapor-Droplet Suspension / D. A. Gubaidullin, R. I. Nigmatulin // International Journal of Multiphase Flow. 2000. - V. 26. - P. 207-228.

53. Gumerov N.A. Sound waves in monodisperse gas-particle or vapour-droplet mixtures / N. A. Gumerov, A. I. Ivandaev, R. I. Nigmatulin // Journal of Fluid Mechanics. 1988,-V. 193.-P. 53-74.

54. Ishii R. Steady reflection, absorption and transmission of small disturbances by a screen of dusty gas / R. Ishii, H. Matsuhisa // Journal of Fluid Mechanics. -1983.-V. 130.-P. 259-277.

55. Kandula M. Dispersion of sound in dilute suspensions // Journal of the Acoustical Society of America. 2010. V. 127. N. 3. P. EL115-EL120.

56. Kutushev A. G. Non-stationary shock waves in two-phase gas-droplet mixtures / A. G. Kutushev Saint-Petersburg: Nedra, 2003. - 118p.

57. Marble F.E. Dynamics of dusty gases//In: Annual review of fluid mechanics/ Palo Alto,Galif.l970 V.2. P.337-346 Рус. Пер.: Марбл Ф. Динамиказапыленных газов// В сб. Переводов иностранных статей: Механика. 1971 №6 С.48-89.

58. Moldavsky L. Enhancing the performance of fibrous filters by means of acoustic waves / Moldavsky L., Fichman M., Gutfinger C. // Journal of Aerosol Science 2006. - V. 37.-Issue 4. - P. 528-539.

59. Stadtke H. Gasdynamic Aspects of Two-Phase Flow: Hyperbolicity, Wave Propagation Phenomena, and Related Numerical Methods / H. Stadtke Wiley-VCH, 2006, - 288p.

60. Temkin S. Measurement of attenuation and dispersion of sound by an aerosol / S. Temkin, R.A. Dobbins // Journal of the Acoustical Society of America 1966.-V. 40,-№5.-P. 1016-1024.

61. Temkin S. Sound propagation in dilute suspensions of rigid particles / S. Temkin // Journal of the Acoustical Society of America 1998. - V. 103. - № 2. -P. 838-849.

62. Temkin S. Suspension acoustics: An introduction to the physics of suspension / S. Temkin Cambridge University Press, 2005. - 398p.