Акустическое поле в пространственных волноводах, создаваемое движущимися источниками тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ5 ОД 2 I АВГ

НА ПРАВАХ РУКОПИСИ

ОБРЕЗМЮВА Ольга Анатолигзда

АКУСТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ВОЛНОВОДАХ, СОЗДАВАЕМОЕ ДВИЖУЩИМИСЯ ИСТОЧНИКАМИ1

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой стспяш кандидата физико- математических наук

Ростов-на-Дону 1995

Работа выполнена в Ростовском ордена. Трудового Красног знамени государственном университета.

Научный руководитель: доктор физико-матвиатичесюа наук,

профессор РАБИНОВИЧ B.C.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ЛЕБЕНДОРСКШ 0.3..

кандидат физико-математических, наук доцент САЗОНОВ Л.И.

Ведущая организация: С »Петербургский государственный

университет.

Защита состоится "Фн-^&^ЩзУЬ г. в ^ чье, н заседании диссертационного совета К. 063.52.13 со прнсувдгга ученой степени кандидата фазкко-матбматнче zms. наук. в Ростовскс государственном университете по адрэсуг 344104, г» Ростов-ш Дону, ул. Зорго, 5, моханшо-штвкатическай фзхультвг, ауд.239.

С диссертацией мокно ознакомиться в научной библиотеке И та адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, i48.

Автореферат разослан г.

Ученый секретарь дассертационЕого совета К 063.52.13, доцэнр - В .Д.Крякв:

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Целью работы является получение и обоснование асимптотических формул для акустического поля, создаваемого движущимися источниками в пространственных волноводах, сочетающих жидкие, упругие, газовые среда.

Актуальность темы. Вопросы, связанные с распространением волн от двияутцихся источников, достаточно длительное время привлекают внимание многих авторов. Отметим классические работы Р.Льенарта, Д.И.Блохинцава, Дн.Лайтхилла, посвященные изучению акустического поля источника, движущегося в однородном пространстве, работы Дк.Лайтхилла, К.Хоукера, в которых рассмотрены вопросы распространения волн в волноводах от источников, двпзу-цихся с постоянной скоростью. В последнее время в связи с разнообразием прилогекий к океанической акустике интерес к этой тематике возрос. Так в работах В.С.Булдырева, В.С.Рабиновича, С.М.Грудского, Н.С.Григорьевой исследуются задачи об акустическом поле, создаваемом источниками, движущимися в волноводах, состоящих из зшдких и газовых сред, в работах А.В.Белоконя, А..В.Наседашш изучаются задачи о распространении волн в упругих

слоях от движущихся по поверхности источников.

/

К указанной тематике примыкает и- настоящая работа, в которой исследуются ранее не рассматриваемые задачи:

1." Задача ой акустическом поле, создаваемом источником, двшяу-,шдася по. поверхности стратифицированного етдкого полупространства; .

2. Задача об акустическом поле источнлхз, движущегося по поверхности однородного упругого слоя, покрывающего стратифицированное зидкое полупространство;

3. Задача о распространении еолн от источника, ликута го с я в однородном газовом полупространстве над стратийицкровшпшм яиц-

полупространством, покрытым однородным упругим слоем.

Отметим три подхода к решению указанных задач. Первый подход, использованный Дк.Лайтхиллом, К.Хоукером, А.В.Белоконем, А.В.Наседкиным, связан с преобразованием Фурье по пространственным переменным и применим только для случая движения источника с постоянной скоростью, в то время как в настоящей работе рассматриваются неравномерно движущиеся источники. Второй подход, предложенный В.С.Булдаревым, использует пространственно-временной лучевой метод, позволяющий получить формальную асимптотику поля в виде суммы нормальных волн. Третий ме)тод, предложенный В.С.Рабиновичем, позволяет по асимптотике функции Грина стационарной задачи построить асимптотику поля движущегося источника, учитывающего вклад в поле всех его компонент: нормальных и боковых волн. Кроме того, этот метод дает возможность не только получить, но и обосновать асимптотические формулы.

Развитию этого метода и посвящена настоящая диссертация, I которой построены интегральные представления решений задач 1-3, проведен асимптотический анализ решений, дано обоснование полученных асимптотических формул, приведена физическая интерпретация результатов, намечены их возможные практические приложения.

Методика исследования. В работе использованы интегральные преобразования Фурье и Ханкеля, спектральная теория задач Штур-ма-Лиуьилля, методы возмущения, асимптотические методы, такие как, метод ВКБ. метод перевала, двумерный метод стационарно« фазы (вещественная и комплексный).

Научнай новизна. Изучаемые в диссертации задачи 1-3 ранэс не рассматривались. Впервые проведено • обоснование получении асимптотических формул.

В роботе получеки следующие основные результаты: -

1. Получено интегральное ¡представление да решений задач 1-3;

2. Построены асимптотические формулы для решений рассматриваешь

задач;

3„ Проведэно обоснованно главного члена асимптотики решений, даны оценки остаточных членов в асимптотика.

Практическая значшостъ. Рассмотренные в диссертации задачи являются математическими моделяш-1 для вякшы прикладных задач о распространении звука в реальном океане от источников, движущихся 'по поверхности ледового покрова океана или в атмосфере. Ванам практическим вопросом является изучение доплеровских эффектов, обусловленных движением источника. В диссертации приведены результаты численных расчетов акустического поля, позволяющие оценить влияние доплеровского эф£екта на изменение интерференционной картины поля. Заметил, что изменение доплеровского сдвига частоты при введении в рассмотрение упругого слоя может Сыть использовано при измерении толщины ледового покрова океана.

Апробация работа. Результаты диссертации доклада/вались на научном семинаре кафедры ?..л"ебры и дискретной математики РТУ (руководитель семинара - проф. И.Б. Симоненко), на X школа по дифракции и распространению волн (Москва, 1993г.), на иезсдуна-родннх семинарах "День .дифракции - 93", "День дифракции - 94я (С.Петербург, 1993, 1994 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах И]-[4), список которых приводится в конце автореферата. Работы Ш-СЗ] выполнены совместно с В.С.Рабиновичем, работа [43 - совместно с В.С.Рабиновичем и С.М.Грудским. Их результаты принадлежат кавдому из авторов в равной мера.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав (14 параграфов), списка литературы. Объем работы - 147 страниц машинописного текста. Список литературы содержит 28 наименований.

СОДШШШЕ РАБОШ

Во введении дается обзор исследований задач о распространении волн от движущяхся источников, проведенных другими авторами, описывается структура диссертации, формулируются основные результаты.

Б первой главе {§§1-5) диссертации рассматривается задача • об акустическом поле, создаваемом источником, дагауцшся по поверхности жидкого стра-пфщированного слоя, лежащего на однородном жидком полупространстве.

Приняты'слэдупцие обозначения горизонтальны©

переменные; вертикальная пореиэнЕая; X - время, Н - толщина жидкого слоя, С0(г)-, р - скорость звука и плотность стратифицированного слоя, С1, рп - скорость звука а плотность однородного полупространства (С0'2)5С.,, ргр1). Далее через С(а)„ р(г) обозначены скорость звука и плотность во всей стратифицированном полупространстве.

Акустическое полз создаемся гжотакзшам яотвчшн источником давления, неравномерно дшааущзкся ко поверхности. волновода с дозвуковой скорость» и малш ускоренгэа. Давление источника описывается функцией

(1)

гдз 0(2) - функция Дирака, ш0- фгзсврозашш хшгтт инеящэе физический сзщсл несувдй частота 1хотгаЕса, - функция. жща-надлокедая пространству 3(Ш) <прзстргас<шо -бесконечно даф^эрен-цнруэ?,шх функций, К&ваизд при Ш—>« вместе оо асею производными быстрее дабой степени ни-1 Ь караетериз^пзщая шшштуду / источника, х0(1;)=(201 а),хог(.1)) - Еектор-^нкгда0 задающая закон даиЕашы источника. Предполагается, что функции '201(1:) (1=1,2) ишвт бесконечное число ограничешаЕс производных на К.

В §1 вводятся определения функциональных пространств, в которых ищется рвшешэ, определяются операции в этих пространст-

вах, формулируется математическая постановка задачи.

. Через М обозначено банахово пространство непрерывных функ-

Дифференцируемых функций, ограниченных вместе со своими производными. Через В=И|(К,И) обозначено пространство Соболева вектор-функций, определенных на R и принимающих.значения в Н. Нормы в- пространствах И и В определены естественным образом.

Акустическое поле в точке (x,z) в момент времени t описывается акустическим давлением P(t,x,z). Решение ищется в массе S*. (О?2,В) распределений на К2 со значения?,л в банаховом пространство В. Решение P(t,x,z) удовлетворяет однородному волновому уравнении и граничным условиям, которые имеют физический с?лысл условий равенства давления на поверхности (z=0) давлению, создаваемому источником, и условия равенства давлений и нормальных скоростей на границе раздела сред (z=H). Выбор единственного решения такой задачи обеспечивается выбором функции Грина стационарной задачи на частоте ш, удовлетворяющей принципу предельного поглощения при и>0.

§2 посвящен определения и построению функции Грина стационарной задачи G(u,x,z) на фиксированном частоте ш (поля монохроматического пеподаппюго источника). В этом параграфе формулируется принцип предельного поглощения для стационарной задачи, доказывается'существование функции Грина, удовлетворяющей принципу предельного поглощения при и>0.

Функция Грина строится с помощью преобразования Ханкеля и последующего интегрирования по замкнутому контуру. В результате функция Грина представляется в виде разлокения по собственным и сообщенным собственным функциям задата Штурма-Лиувилля:

1 "н п '

G(u,1x|,b)= G-(u,|x|,z) + G (о),|х|,а) , (2)

ций, определенных на , таких, что сужение Г|(0 С2(С0.Н1). сужение [Н С^([н,»)) - пространству два раза непрерывно

СО.Н]

а . '

GJ(W.|I|,2)= ^Н<1)(7(ал)|х|) (рл(ы,а3,г) q^<w,<xJP0), (3) '

со

G°(u,|x|,a)= 4р J Н^15(у(а)|х|) <p(to,a,z) <pz(co,a,0) da, ; (4) о

где 7(а)=(к^-аг)1/г, kt=td/Ot, q>i(w,ai,z) - нормированная собственная функция» соответствующая собственному значения а^, <р(ш,а, z) - нормированная обобщенная собственная функция задачи:

r-^f- - (#— • «(О,-)

ez2 С (z) С^

Ф(ш,а,0) = О, [(p(u,a,z)]z=Q = О, . Ср"1 (г)ср^(ш,а,2)}г=н = О. Здесь через Up] обозначен скачок функции.

Слагаемое G3(u>,ix|,z), отвечай-,ев точке дискретного спектра задачи (5), называется модой, а С°(ш, |х|,2), отвечающее точкам непрерывного спектра, называется боковой волной.

На основе полученного представления (2) строятся асимптотические формулы для функняи Грина щи k|x|»1, k.=u/Gm, 0m=min3o(z). Главный члан асимптотики кодового слагаемого шеет порядок '0((к|Х| )~1/г). Для получения равномерной по частоте ш асимптотики боковой волны интеграл (4) сводится к модельному интегралу, выражавшемуся через интеграл Френеля.- Главный член асимптотики боковой волна имеет порядок 0((к|Х|)"г), если частота о) далека от критической частоты какой-либо моды, и имеет порядок 0( (к(х| Г1) на частоте, близкой к критической.

В §3 посвяцен получению и обоснованию интегрального представления решения P(t,z,z) через функцив Грина стационарной задачи, которое выводится с 'комоцьэ преобразования Фурье по переменной t исходной задачи. В следующей теореме сформулирован основной результат атого параграфа:

leopgMg 1: Цусгь х^УКц» z>0, teK. К^СкК2:'|z-x0(t)|sa,VUK),

ст>0-некоторое число. Тогда решение задачи P(t,x,z) представляется в виде:

ед 09

Ptt.x.sbtéir^J'expÉ-iwtJcIw jG(iû,x-x0(t),z)A(T)exp(i(u-<jQ)T)dT.

—о —со (6)

В §4 кз основа интегрального представления (б) получены и обоснованы асимптотические формулы для акустического поля движущегося источника.

Пусть Ь» Т - некоторые характерные пространственный и временной масштабы задачи. Сделанные предположения об узкополоснос-те источника и малости его ускорения позволяют ввести большой безразмерный параметр

Д^Т-1шзг(|г0Н)!/»з:0(Ч) t) t

а перейти к безразмерным переменным t=t/(XT) так, что вектор-пункция, описывающая дзиезпиэ источника, л амплитуда в безразмерных. перонешнх имеют вид

x0(t) =ЯЬ а01(¥),Гу,г(Т)), A(t)=a(t), причем функция X01(t), a(t) удовлетворяют соотношениям

IX^^WKU ш=1,2,... |a,mî(t) |.<1, ш=0,1,2.....

'После перехода к безразмерным переменным Т}=х/(XI), 0=«/ш*, (u*- ïiacsTабная частота) представление (Ъ) принимает вид:

еэ оэ

Pit)^ /exp(-iA.3t)d0 j\3(0/T,XJ.|^j(7}) | .s)a(r})exp(!A(9-e0)T?)dr}.

-та -ос (7 )

Здесь для простоты излозения считается, что приешяк находится в точке (0,а), se(0,H], а введены обозначения P(t)=P(t;\,T)== =P(t)=P(t,Cl,s); е0=<уш*.

Ищется асгмптотпка интеграла (7) пря Д.—>«. В слодукдей теорема сформулированы результаты асимптотического анализа ш-теграла (7).

Теорема g; Решение задачи P(t„x,s) при фиксированном ес(0,Ш и х=0, зЕпясанксэ в бэзраглзрпнх аерэкэшшх, при X—>« прэдставля-

ется в следующем виде:

К

J=1

где Pm(t)=0(\-n) vn , Я. °°

—oo

X exp(ixt (9-gq)ti~611) dtidfl,

X. 00

p°(t)= gTg JJti^e/r.UIXottj)!.«) a(tj) x((6-9q)/R) z

—oo

x exp (ш (в-90)tf-6t ]) dijdfl,

функция x(e)eC^(R), равна единице в некоторой окрестности нуля и равна нулю вне этой окрестности, R - некоторое число, £<<».

Оценка остаточного члена (9) проводится с помощью интегрирования по частям во внутреннем интеграле в (7). Существенную роль при этом играют оцегол нормированных собственных функций, обобщенных собственных функций задачи (5) и их производных пра больших со.

Тагам образом» теорема 2 утверждает, что решение исходной задачи представляется в виде конечного числа код а боковой волны. Главный член асимптотики мод и боковой волны находится двумерным методом стационарной фазы с использованием асимптотики функции Грина стационарной задачи. Основной вклад в асимптотику вносят стационарные точки фазовых функций, вазовая функция 3-го ыодового слагаемого икает единственную стационарную точку (е3,т]3), которая дает вклад в асимптотику порядка 0(Х"1/г), если 6 .j далека от критической частоты 3-ой моды, и вклад порядка 0(V3/2), если 6л близка к критической частоте J-ой мода. Главный член асимптотики боковой волны имеет порядок О (А.-2), если стационарная точка Фазы 0е далека от критической частоты какой-либо мода, и имеет порядок 0(к~1) на критических частотах.

В §4 выписываются асимптотические формулы для акустического

(8) (9)

(10) (11)

давления в размерных переменных и дается физическая интерпретация результатов.

• Главный член асимптотики 3-ой мода имеет вид:

; А<У х

~ рФкЬсрС^т^Ц) |(1ег ЙуЦ.т^П1'2 * ехр(18а(ил,т:1)+11С/4)(1+ 0(Я-1)). (12)

где 33(со,т)=(«-и0И-<Лчх0(^)1Г3(и) - фазовая функция» ?3(«)=ПГ(а3((|>)), - матрица Гесса фазовой функции. Ста-

ционарные точки фазы (ы^.т:^) определяются из системы уравнений:

1 г = 1-|г0(т)|/и;)(и), гдэ ИМ89Т физический смысл групповой скорос-

ти 3-ой моды, У(т)=(х0(т),х0*(1))/|х0(т)| - величина проекции вектора скорости в момент зремзни т на вектор, соединяющий дви-нугдгйся источник с приемником.

Как следует из второго уравнения система (13), стационарная точка фазы т3 есть время 1._лучекия сигнала, приходящего к'приемнику з комэнт времени С помощью дифференцирования фазовой функнви по переменной X доказывается, что стационарная точка фазы является тггновешой частотой узкоголосного временного процесса, задаваемого З-сЗ модой. Это позволяет найти доплеровс-, кий сдвиг несущей частота для кодового слагаемого, который определяется формулой Ао)3=и3-<1)0=-73(())л)7(1;3).

Закатим, что из формула для дошюровекого сдвига несущей частоты шдового слагаемого следует, что при удалении источника от приемника, мгновенная частота моды будет меньше, чем несущая частота источника, а в случае приближения источника, мгновенная частота мода будет больиэ, чем несущая частота. На частотах о0, близких к критическим, дсплеровский сдвиг частоты монет привести к исчезновения или появлению мода.

Для боковой волны главный член асимптотики выражается через интеграл Френеля. Полученная асимптотическая формула является равномерной по частоте, она применима при любом расположении стационарной точни фазы ва относительно критических частот мед. Стационарные точки фазовой функции для боковой волны имеют такой не физический смысл, что и в случае модовых слагаемых.

Полученные асимптотические формулы применимы в том случае, когда расстояние меаду источником и приемником имеет порядок |х0(т;5) |~М< к время запаздывания (отрезок времени ыевду излучением и приемом сигнала) ткет порядок и-г^-АТ.

Сведения, содержащиеся в последнем параграфе глаш I <§5), носят вспомогательный характер и касаются исследования спектра, собственных и обобщенных собственных функций задачи Штурма-Лпувалля для дифференциального уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами (5).

В главе II (§§ 6-Ю) задача об акустическом поле источника, движущегося по поверхности упругого слоя» исследуется тэш еэ методами, что и задача в главе I. Акустическое полз охшсквается через потенциала аецения, которна удовлетворяет динадаэской системе уравнений ж граничных условий Лама. В §6 даны основные

4

определения, введены функциональные пространства ж сфоргдошрова-на математическая постановка задачи.

В §7 построзна функция Грина стационарной задача с упругим слоем, покрывающим кадкое полупространство. С вошшэ врэобразования Ханкеля стационарная ?адача сводится к задаче в 2ж:остп с граничным условием, содерааиса сдекгральпай парата тр. ©унвдал Грина стационарной задачи представляется в вида сдаст "иод и боковой волны, т.е. л ввде разлозэпня (2) по даскрэтному и непрерывному спектру соответствущеа сгоктральшй задачи, гдэ

в*'(у,,Е)= ^ Н^ЧтСа^)!!!)^,^^^^^)^^,^^), (14)

0°(ш, |х|,2)= ^р |н^1)(7(а)|х|)д(ш,а)<р(ш,а,2)(рг.(и,а,0)(3д, (15) о

Где ф^Сш.а^.г) - нормированная собственная функция, соответствующая собственному значению <р(и,а,а) - нормированная обобщенная собственная функция задачи:

{ф—4- >4» - а2<Р » е€(0,»)

С (г) С2

фОо.о.Ой, (и,а) + фа'(о),а,0)йг(и,а) = 0, (1б)

[ф(и,а,2)1е=н = О,

. £р~1 (2)ф^(и,а,а)12=д = О,

, сЦ(и,а), с^^и,а) - некоторое функции, аналитические по параметру а.

Собственные значения возникавшей спектральной задачи являются корнями дисперсионного уравнения, для исследования которого используется метод возмущения по малому параметру, характеризующему отношение поперечной и продольной скоростей звука в упругом слое. В качестве певозмущенного уравнения рассматривается дисперсионное уравнение для задачи, исследованной в главе I.

На основе представления (14), .(15) в §7 строятся равномерные асимптотические формулы для функции Грша стационарной задачи, верные при больших значениях параметра к|х|»1.

. В §8 выводится интегральное представление для акустического поля в жидкости, создаваемого источником, движущимся по поверхности упругбго слоя. Интегральное представление для решения зтой задачи тлеет вид, аналогичный (6).

§9 посвящен получению и обосновании асимптотических форду л для поля двияодегося по поверхности упругого слоя источника. Тэк зе, как в 54 главы I, здесь доказывается асимптотическое представление поля в виде суммы.конечного числа мод и боковой волны, проводится оценка остаточного члена асимптотического разложвдая.

Но трудности, 'связанные с оценкой внутреннего интеграла по т) при больших 9, становятся более ощутимыми в этой главе. Это связано с тем, что спектральная задача (16) содержит спектральный параметр в граничном условии и, следовательно, получение оценок для собственных и обобщенных собственных функций этой задачи становится более сложным вопросом, чем в главе I. Результаты асимптотического анализа акустического поля движущегося источника содержатся в теореме, аналогичной теореме 2. В этом ке параграфе асимптотические формулы для всех составляющих поля выписаны в размерных переменных, дана физическая интерпретация результатов. Доказывается, что критическая точка фазы есть мгновенная частота 3-ой моды, а^ есть время излучения сигнала, приходящего к приемнику в момент времени 1;. Получены формулы для допле-ровскпх сдвигов несущей частота для всех составляющих шля. Исследуется влияние доплеровского эффекта на появление или исчезновение кода при несущей частоте, близкой к критической частоте какой-либо моды.

• В §10 исследуется спектральная задача (16). Вводятся собственные и обобщенные собственные функции этой задачи, с -помощью метода возмущения исследуется спектр этой задачи. В этом ке параграфе получаются оценки для собственных и обобщенных собственных функций при больших и, необходише для доказательства существования интегрального представления решения и оценки остаточного члена в асимптотическом представлении для поля.

В главе III Ш 11-14) исследуется задача о распространении . волн от источника, даикукегося в однородном газовом полупространстве над стратифицированным жидким полупространством, покрытым однородным упругш слоем. Основное 'внимание в этой главе уделено построешжо асимптотических формул для акустического поля, учигавамщЕ вклад всех его с оставляющих и учитывающих влк.'тииэ взаимного расположения приемника и источника на рас-

прастранвнш вола от двинущегося источника.

В §11 дана математическая постановка задачи л получено интегральное прздставлеше для поля двинуто го ся источника через функцию Грина стационарной задачи.

§12 посвящен построению интегрального представления для функции Грина стационарной задачи в жидком слое. Так ко, как и в §7 с помощью преобразования Хатселя стационарная задача во всем пространстве сводится к задаче в жидкости с граничным условней, содержащим спектральный параметр. Возникающее дисперсионное уравнение исследуется методом возмущения по двум малым параметрам. Один из них равен отношению плотностг воздушного полупространства к плотности аидкого слоя, другой параметр характеризует малость толщины льда по сравнению с длиной волны. В качество невозмущенного уравнения рассматривается дисперсионное уравяеняэ для задача, исследованной в главе I.

В §13 методом перевала проводится асимптотический анализ полученного интегрального представления для функции Грина стационарной задачи на больших расстояниях от источника. Введем обозначения: Сг - скорость звука в газовом полупространстве,

ni=Cm/C1' WV '

В зависимости от раснолокевая точки перевала з0 {ом, pncy-.v

нс:с) 'различные когяюненти вносят вклад в асимптотику функции Грнпаг шггеграл по перевальному контуру Г0 (воздупная волна)„ интеграл по разрезу Г, (донная боковая волна), вычеты в полюсах подынтегральной функции sjS лежащих ниже Г0 (квазираегростреняп-щиеся мода). Так как возшканцее. дисперсионное уравнение нэ имеет вещественных корней, асимптотика функции Грина связана с воздушной волной и донной боковой волной,, Однако корни дисперсионного уравнения всоответствующие вещественным корня;,? новоз-

J

Ыущенного уравнения, имеют настолько малую мнимую часть, что соответствующие квазираспрострашшюгася моды, содзрназэ экспо-

ненциально убывающие множители, нельзя, не учитывать при построении практически пригодной асимптотики. Кроме того, необходимость асимптотического анализа всех составляющих поля вызвана там, что вклад воздушной волны в случае, когда точка перевала далека от? сингулярных точек подынтегрального выражения, быстро убывает с увеличением глубины. В §13 рассмотрены случаи сближения точки * перевала ж сингулярных точек подынтегрального выражения (точек ветвления п,, п^, корней дисперсионного уравнения з^), построены равномерные е окрестностях сингулярных точек асимптотические формулы, выражающиеся через функции параболического цилиндра шш через интеграл Френеля.

В §14 двумерным методом стационарной фазн проводится асимптотический анализ интегрального представления поля движущегося источника. Для наховдевия асаштотшсЕ квазираспространякшхся мод применен кошлексный мэгод стационарной фазы, так как в этом случае фазовая функция является кошлэкснозначной. В этом га параграфе найдешг мгновенные частоты и доплеровсхне сдвиги для всех составляющих поля.

Автор выражает глубокую признательность .своему научному руководите,® прсфосссру В.С.Рабиновичу за руководство работой, постоянную поддержку и внимание.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛЙКОВАШЫХ ПО ТЕМЗ ДИССЕРТАЦИИ

1. Обрезанова O.A., Рабинович B.C. Акустическое поле источника, движущегося по поверхности слоистого волновода // Рук.деп. В ВИНИТИ 08.07.92, II 2224-В92. - 72 С.

2. Обрезанова O.A., Рабинович B.C. Акустическое поле источника, движущегося по поверхности слоистого волновода // Акуст.п. 1993. Т.39. ВШГ.З. С.517-521.

V 3. Обрезанова O.A., Рабинович B.C. Распространение волн от источника, движущегося по поверхности слоя льда, покрывающего гидроакустический волновод // Рук.деп. в ВИНИТИ 15.02.93, й 376-В93. - 41 с.

4. Грудский С.М., Обрезанова O.A., Рабинович B.C. Распространение волн в покрытом льдом океаническом волноводе от источника, движущегося в воздуха // Рук.деп. в ВИНИТИ 02.03.94, Н 517-В94. - 34 с.

Подписано к печати i-COG.95 Фпрчат 60x84/16 Бямсгса тип Н 3, Ойъем '¿,0 yen.п.п., 0,9 уч.-кзд.л.,

ЗЗЕ^Лжи®^_-_____-

Ростовский iJji'r.i