Численный анализ обратных экстремальных задач активной минимизации звуковых полей в трехмерных волноводах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение

1 Численное исследование экстремальных обратных задач излучения звука в трехмерных регулярных волноводах

1.1 Формулы для поля и мощности звукового поля в трехмерном регулярном волноводе. Постановка экстремальных задач

1.1.1 Постановка прямой задачи излучения звука в трехмерном регулярном волноводе. Свойства решения.

1.1.2 Формулы для мощности звукового поля, переносимой в дальнюю зону волновода. Постановки экстремальных задач.

1.2 Формулы для потенциальной энергии звукового поля в заданной области волновода. Постановка экстремальных задач . 25 1.2.1 Формулы для потенциальной энергии в заданной области волновода.

1.3 Описание численного алгоритма решения задачи 1.

1.4 Описание численного алгоритма решения линейной задачи

1.4.1 Сведение задачи к решению регуляризованной системы линейных алгебраических уравнений.

1.4.2 Описание численного алгоритма решения задачи

2 Распределенные вычисления в задачах активной минимизации звука

2.1 Описание алгоритма распределенных вычислений нелинейной задачи 1.

2.2 Обоснование использования параллельных вычислений при решении задач активной минимизации звуковых полей в глубоких волноводах.

2.3 Программный комплекс решения задач активной минимизации звука.

3 Анализ численных экспериментов

3.1 Анализ результатов вычислительных экспериментов в мелких волноводах.

3.1.1 Анализ вычислительных экспериментов первой группы

3.1.2 Анализ вычислительных экспериментов второй группы

3.2 Анализ результатов вычислительных экспериментов в средних волноводах.

3.2.1 Прямоугольная решетка.

3.2.2 Овальная решетка.

3.3 Анализ результатов численных экспериментов в глубоких волноводах

В последние годы получила интенсивное развитие теория задач управления звуковыми полями в свободном пространстве и волноводах. Важным представителем данного класса задач является задача активной минимизации звукового поля. Последняя задача в точной постановке заключается в нахождении излучающей системы, создающей вторичное поле, которое полностью гасит в некоторой области пространства или волновода первичное звуковое поле (излучаемое, например, шумовыми источниками). В точной постановке указанная задача, известная под названием задачи гашения звука, изучалась, начиная с пионерских работ Г.Д. Малюжинца [51, 52, 64], в ряде работ как для свободного пространства [64, 113, 114, 35, 66, 38, 126, 67, 50, 63, 43, 117], так и для волноводов [150, 65, 48, 62, 49]. Одной из целей проводимых исследований являлось изучение возможностей применения полученных результатов при решении важной практической задачи, заключающейся в подавлении или уменьшении шума или более общо: защиты окружающей среды от акустического (либо электромагнитного) излучения.

Основываясь по существу на формуле Кирхгофа, позволяющей выразить акустическое поле в заданной области с помощью значений поля и его градиента на граничной поверхности, в [51, 52, 64, 113, 114, 35, 66, 38, 126] впервые была теоретически обоснованна принципиальная возможность полного гашения произвольного акустического поля внутри (или вне) замкнутой поверхности путем создания в ее окрестности приемной и излучающей систем (поверхностей Гюйгенса-Френеля), состоящих из непрерывно распределенных монополей и диполей. Далее было показано, что полного гашения поля можно добиться, если вместо одной дипольно-монопольной поверхности использовать две поверхности, состоящие только из монополей (см. [67]) (именно последние применялись в натурных экспериментах по гашению звука в волноводах [116, 46, 47]), либо использовать только одну монопольную поверхность, если требуется погасить поле по одну сторону от рассматриваемой поверхности (см. [63, 62]). Еще один подход к решению задачи гашения звука основан на результатах работы [117], где показано, что создаваемое заданным источником поле может быть подавленно бесконечным числом точечных мультипольных источников, помещенных в одной точке. Несмотря на некоторые различия в деталях, описанные выше подходы объединяет один общий недостаток. Он заключается в том, что указанные подходы не пригодны для практической реализации. Последнее связанно с невозможностью технической реализации непрерывных антенн, лежащих в их основе [102, 103].

Поскольку на практике широкое применение получили дискретные антенны, то в ряде работ были исследованы вопросы, связанные с дискретизацией непрерывных приемно-излучающих поверхностей [36, 42, 37], либо непосредственным использованием дискретных антенн для гашения звука в пространстве [44, 39, 40] или в волноводе [61, 29]. Отметим также серию работ, посвященную исследованию систем активного шумоподавления. Работа [88] посвящена исследованию систем активного шумоподавления в свободном пространстве. В этой работе исследование проводится с помощью двухмикро-фонной техники, а в [89] - с помощью 4 и 6 микрофонной техники. Авторы проводят подробный анализ ошибок измерения акустической плотности в одномерных звуковых полях. В работе [94] проводится развитие и исследование многоканальной системы активного гашения шума (ANC). Цель данной работы построение ANC хорошо работающего в салоне автомобиля. В результате эксперимента была получена система активного шумоподавления с характеристиками совпадающими с расчетными.

Серия работ [156, 157, 158, 159] посвящена исследованию активного управления шума в окружающей среде. Основой их исследования является так называемая электронно управляемая система акустического затенения (ECAS). Все исследования проводятся в свободном пространстве. Работы [127, 109, 110, 101, 152] посвящены разработке и исследованию систем активного шумоподавления. В работах [127, 112] проводится изучение активного гашения звука в салонах самолетов. Авторы этих статей предлагают различные подходы к подавлению шума, начиная от пассивных поглотителей и заканчивая активными системами шумоподавления.

Возвращаясь к волноводам, необходимо указать, что для этого случая, была доказана возможность полного гашения звука с помощью дискретной приемно-излучающей системы в случае, когда в волноводе распространяется только одна нормальная мода [150], либо конечное число их [48]. Однако в пространстве М3 полного гашения звука дискретными антеннами удается достичь лишь в исключительных случаях ввиду бесконечномерности множества распространяющихся звуковых волн в Е3. С учетом этого вместо "точных" задач активного гашения звукового поля, сформулированных Г.Д. Ма-люжинцем и его учениками, некоторые исследователи стали рассматривать "приближенные задачи" активного гашения или минимизации звуковых полей, а для их решения было предложено использовать подход, основанный на идеях теории оптимального управления.

Характерным для указанного подхода является то обстоятельство, что решение указанных задач сводится к минимизации определенных функционалов качества J, зависящих от управляющих параметров. Примерами таких функционалов являются полная мощность суммы первичного и вторичного звуковых полей, переносимая в дальнюю зону волновода, либо потенциальная энергия суммарного поля в определенной области Q рассматриваемого волновода D, либо сумма квадратов модулей (суммарного) звукового давления в конечном числе точек, расположенных в области D. Управляющими параметрами могут служить как комплексные амплитуды qj интенсивностей точечных источников, так и их координаты ху в рассматриваемой области D. Подчеркнем, что координаты Xj и интенсивности qj источников входят в каждый из описанных выше функционалов J неравноправным образом: если зависимость J от qj является квадратичной, то зависимость J от х^ является достаточно сложной и носит заведомо невыпуклый характер. В этом легко убедиться в случае, когда роль функционала качества J играет мощность суммарного поля Af(p + рь) ■

В большинстве цитированных работ считается известной геометрия излучающей системы, т.е. координаты Xj точечных источников вторичной дискретной антенны. При этом исходная задача активной минимизации звука сводится к нахождению неизвестных комплексных интенсивностей qj из условия минимума соответствующего квадратичного функционала качества. Работы этого направления можно разбить естественным образом на три группы. В группу 1 следует отнести работы [105, 132, 133, 86, 96, 95, 151], авторы которых фактически начали применение методов оптимизации для решения квадратичных задач активной минимизации звуковых полей как в свободном пространстве, так и в замкнутых помещениях с учетом эффектов дифракции на стенках. К этому же циклу следует также отнести статьи [97, 98], в которых рассматриваются прикладные аспекты указанных задач, связанные, например, с уменьшением шума в салонах автомобилей или самолетов, и статью [115], где исследуются статистические аспекты задач активной минимизации звуковых полей.

Следующая группа содержит работы Г.В. Алексеева и Г.В. Алексеева с Е.Г. Комаровым [3, 14, 4, 15, 5, 6, 17, 68], в которых были сформулированы квадратичные задачи активной минимизации звуковых полей в слоисто-неоднородных волноводах, моделирующих, например, океан, и развита теория исследования указанных задач, на основе которой разработан эффективный численный алгоритм их решения. Указанный алгоритм включает в себя численное решение с гарантированной (фактически машинной) точностью спектральной задачи, отвечающей рассматриваемому волноводу, вычисление сингулярной системы прямоугольной матрицы, компоненты которой формируются из значений первых L собственных функций волновода, вычисленных в N заданных точках расположения источников антенны, и решение алгебраической системы с прямоугольной L х N матрицей регуляризованным методом неполного сингулярного разложения. На основе указанного метода были получены достаточно полные результаты, касающиеся минимизации излучаемой в дальнюю зону мощности суммарного поля в плоском, осесимметричном и трехмерном слоисто-неоднородных волноводах. В этих же работах так же достаточно полно исследована еще одна экстремальная задача теории излучения звука, инициированная работами [9, 10], которая связанна с максимизацией мощности, излучаемой дискретной антенной в дальнюю зону волновода, при естественном ограничении на подводимую к антенне мощность.

Наконец, последняя группа содержит работы J.D. Stell и R.J. Bernhard [147,148, 149], посвященные детальному исследованию задач активного управления звуковыми полями в трехмерных волноводах с частично отражающими (в общем случае) торцами. В качестве управлений в [148, 149] выбираются комплексные интенсивности колеблющихся поршней, расположенных на стенках волновода. Авторы приводят решения задач минимизации звука для всех трех описанных выше функционалов качества, однако, в отличие от [68], где рассматривается трехмерный слоисто-неоднородный волновод, они рассматривают случай трехмерного однородного волновода. Последнее позволяет им пользоваться явными аналитическими формулами для звукового поля в волноводе в виде двойного ряда Фурье, что существенно упрощает исследование рассматриваемых в [147, 148, 149] задач.

Наряду с указанными (квадратичными) задачами активной минимизации звука дискретными антеннами значительный интерес представляют собой задачи, в которых неизвестными считаются не только интенсивности qj точечных источников, но и их координаты Ху, либо только координаты точечных источников при заданном распределении интенсивностей на них. Эти задачи принципиально отличаются от упомянутых выше задач тем, что по своим постановкам они относятся к классу многоэкстремальных задач невыпуклой минимизации, поскольку их решение сводится к нахождению минимумов невыпуклых функционалов, зависящих от координат Xj дискретных источников. Их исследованию посвящены работы [39, 40], [136, 79, 19, 20, 21, 69, 7, 8, 18].

В [39, 40] рассмотрены задачи восстановления координат, комплексных амплитуд излучателей конечной решетки и их числа из условия равномерного гашения поля удаленного источника звука в области за плоскостью решетки. В [136] решается задача минимизации звукового поля в однородной замкнутой прямоугольной полости за счет выбора как интенсивностей, так и координат антенной решетки, имеющей, для определенности, вид эллипса. Для решения указанной задачи авторы используют приближенный метод - метод диффузного приближения, разработанный в [134, 135].

Аналогичная задача рассмотрена в [79], где проведено сравнение двух методов ее решения: один из них основан на методе типа градиентного поиска, другой - на методе типа метода перебора. Показывается, что вследствие невыпуклости рассматриваемого функционала решение очень сильно зависит от выбора начальной конфигурации источников. Кроме того, в работах [79] отмечается некорректность рассматриваемых задач активной минимизации в том смысле, что решение очень чувствительно к изменению исходных данных.

Далее, мы отметим цикл работ [19, 20, 21, 69, 7, 8, 18] Г.В. Алексеева с учениками, посвященных численному исследованию нелинейных задач оптимального управления звуковыми полями в двумерных слоисто-неоднородных волноводах. В работах Г.В. Алексеева и E.H. Мартыненко [19, 20, 21] исследуется задача определения координат источников вертикальной или плоской антенной решетки при заданном распределении их интенсивностей, исходя из условия минимизации звуковой мощности первичного поля в осесиммет-ричном и плоском однородных волноводах. В этих работах показано, что для мелкого волновода можно добиться значительного подавления первичного поля за счет выбора только одних координат источников в случае, когда число источников N приближается к числу L распространяющихся в данном волноводе мод. Однако для глубокого волновода этот вывод уже несправедлив. С учетом этого в последующих работах [69, 7, 8, 18] были сформулированы и исследованы общие нелинейные задачи активного управления звуковыми полями в двумерных слоисто-неоднородных волноводах. Указанные задачи заключаются в нахождении как интенсивностей, так и координат вторичной линейной либо плоской антенной решетки, исходя из условия минимизации мощности первичного поля, переносимой в дальнюю зону волновода. Для решения указанных задач разработан алгоритм, основанный на методе перебора относительно координат искомых точечных источников в узлах некоторой двумерной сетки и регуляризованном алгоритме условной квадратичной минимизации относительно комплексных амплитуд интенсивностей монополей, развитом в [3, 14, 4, 15, 5, 6, 17, 68]. Приводятся результаты численных экспериментов по минимизации звуковой мощности как для однородного, так и слоисто-неоднородного плоского и осесимметричного волноводов. В отличие от [19, 20, 21], показывается, что значительного подавления мощности первичного источника в широком диапазоне изменения основных параметров волновода можно добиться всякий раз, когда число источников компенсирующей антенны приближается к числу распространяющихся мод в волноводе, либо становится равным ему.

Кроме того, следует отметить цикл работ Г.В. Алексеева, А.С. Панасюка и В.Г. Синько по исследованию обратных нелинейных задач активной минимизации звукового поля в регулярном трехмерном волноводе [24, 22]. Указанные задачи заключаются в нахождении координат, комплексных амплитуд интенсивностей точечных источников вторичной антенны и их числа, исходя из условия минимизации потенциальной энергии или мощности, излучаемой шумящим источником в дальнюю зону волновода. Для решения нелинейных задач ими развит "полу-регуляризованный" численный алгоритм, основанный на методе типа метода перебора относительно координат искомых точечных источников в узлах некоторой двумерной сетки и регуляризованном алгоритме условной квадратичной оптимизации относительно комплексных амплитуд интенсивностей монополей. Было показано, что значительного подавления мощности либо потенциальной энергии первичного источника в широком диапазоне изменения основных параметров волновода можно добиться всякий раз, когда число источников компенсирующей антенны приближается к числу распространяющихся мод в волноводе, либо становится равным ему.

Особый интерес представляет исследование аналогичной задачи в глубоком (многомодовом) трехмерном волноводе. Этому исследованию и посвящена данная диссертация. В процессе этого исследования был использован ряд новых информационных технологий таких как распределенные вычисления [31, 59].

Сделанный выше обзор работ [36, 42, 37, 44, 39, 40, 61, 29, 105, 132, 133, 86, 96, 95, 151, 97, 98, 115, 3, 14, 4, 15, 5, 6, 17, 68, 9, 10, 147, 148, 149, 79, 19, 20, 21, 69, 7, 8, 18] относится к обратным экстремальным задачам синтеза дискретных антенн, состоящих из конечного числа точечных источников-монополей. На практике часто используются дискретные антенны в виде конечного числа поршней, конформно расположенных в криволинейных, (цилиндрических, сферических и т.д.) экранах. Соответствующие экстремальные задачи синтеза дискретных антенн исследованы в работах Г.В. Алексеева, В.И. Короченце-ва и В.А. Тахтеева [27, 11, 1]. Ряд работ посвящен исследованию экстремальных задач синтеза непрерывных антенн. В этом направлении мы отметим статью У.Хи [160]. В ней рассмотрена обратная задача нахождения правой части граничного условия 3-го рода (условия Робэна) на замкнутой поверхности, помещенной в однородный трехмерный волновод конечной глубины, моделирующий океан. Аналогично [9, 10], правая часть ищется из условия максимизации мощности, излучаемой в заданном угловом секторе дальней зоны волновода.

Наконец, отметим цикл современных работ, посвященных аналитическим [99, 81, 88, 89, 90, 91, 93, 139, 142, 156, 157, 158, 159, 112, 143] и экспериментальным [85, 87, 78, 108, 111, 122, 162, 137, 130, 155, 123, 80, 94, 138, 129, 161, 140, 141] исследованиям задач активного шумоподавления.

Целью диссертационной работы, продолжающей исследования Г.В. Алексеева и его учеников, является численное исследование обратных нелинейных задач излучения звука в трехмерных многомодовых волноводах.

Исходя из поставленной цели, были сформулированы следующие задачи:

1. Построение высокоэффективного численного алгоритма решения задач активной минимизации звука в трехмерных волноводах, содержащих большое число распространяющихся мод (порядка 102 - 103).

2. Разработка программного комплекса решения указанных задач.

3. Проведение анализа численных экспериментов по минимизации мощности звукового поля в дальней зоне трехмерного волновода, в широком диапазоне изменения его основных параметров.

Перейдем к формулировке основных результатов диссертационной работы. Указанная диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 162 наименований и приложения.

Выводы пункта: В силу симметричности волновода, в смысле граничных условия и геометрии, решетки симметричной конфигурации являются наиболее подходящими для решения задачи. а) Геометрия исходной сетки б) Геометрия найденной решетки

4000 3500 3000 2500 2000

02 в) Зависимость координат источников от модуля интенсивности г) Зависимость уровня подавления от числа источников

Рис. 3.4. Линейная решетка, симметричная (Ь = 179, и = 40тг, А = 72,50). а)Геометрия исходной сетки б) Геометрия найденной решетки

4000 '3500 "ЭООО '2500 '2000 "15оо ог юоо в) Зависимость координат источников от модуля интенсивности г)Зависимость уровня подавления от числа источников

Рис. 3.5. Линейная решетка, несимметричная (Ь = 179, и = 40х, Л = 72,50). а)Геометрия исходной сетки б) Геометрия найденной решетки

10 20

ЫитЬег Ы зоигсе в)Зависимость координат источников от модуля интенсивности г)Зависимость уровня подавления от числа источников

Рис. 3.6. Линейная решетка (Ь = 179, и = 407т, Л = 72, 50). а) Геометрия исходной сетки б)Геометрия найденной решетки в) Зависимость координат источников от модуля интенсивности г) Зависимость уровня подавления от числа источников

Рис. 3.7. Линейная решетка (Ь = 179, и = 407т, А = 72, 50). а) Геометрия исходной сетки б)Геометрия найденной решетки в) Зависимость координат источников от модуля интенсивности г) Зависимость уровня подавления от числа источников

Рис. 3.8. Линейная решетка (Ь = 179, и = 40т, А = 72, 50).

3.2.2 Овальная решетка

Эксперименты по подавлению первичного источника вторичной антенной овальной конфигурации проводились для "среднего"волновода. Все эксперименты показали эффективность использования овальных решеток для всех типов волноводов. Условимся ниже понимать под средним волноводом волновод, в котором могут распространяться от 100 до 500 незатухающих мод, а под глубоким - волновод, содержащий более 500 мод.

На рис. 3.9 представлен эксперимент, в котором первичный источник расположен левее вторичной решетки на расстоянии 300 м. Волновод содержит 134 распространяющиеся моды. Для подавления поля первичного источника была предложена сетка овальной конфигурации из 129 узлов. Результатом проведения расчетов явилась решетка из 73 источников, что почти вдвое меньше числа распространяющихся мод. При этом уровень подавления поля первичного источника решеткой достигает 290 дБ, что означает полное гашение звука. Причем в силу симметричности исходной сетки полученная решетка имеет так же симметричную конфигурацию.

В следующих тестах рассматривается одна и та же сетка овальной конфигурации, состоящая из 257 узлов для двух волноводов, отличающихся только количеством распространяющихся мод (рис. 3.10, 3.11).

В первом тесте (см. рис. 3.10), волновод содержит 245 мод и в процессе решения задачи получена решетка из 171 источников, которая подавляет поле первичного источника до уровня 68 дБ. Здесь, как и на рис. 3.9, получена симметричная решетка.

Во втором тесте этой группы число мод увеличивается до 260 (см. рис. 3.11). В ходе процесса решения получена решетка из 257 источников, т.е. задействована вся сетка. Уровень подавления поля первичного источника снизился до 60 дБ, но остается приемлемым. Снижение уровня подавления легко объясняется увеличением числа распространяющихся мод в волноводе.

Тест, рассмотренный на рис. 3.12, завершает серию тестов с овальными симметричными решетками. В этом тесте рассматривается волновод с 312 модами. Для гашения звукового поля первичного источника предлагается сетка, содержащая узлы, число которых больше числа мод в волноводе. Оно равно

321. В результате получаем решетку из 321 источника, а уровень подавления этой решеткой достиг 81 дБ. Для решения данной задачи потребовалось более 20 суток машинного времени на ЭВМ РН-400.

Вывод пункта: Использование овальной решетки, особенно симметричной формы, показало наилучший результат подавления поля первичного источника. При этом решение нелинейной задачи в волноводе "средней" глубины требует значительных временных затрат. Использование техники распределенных вычислений существенно сокращает время решения задачи. Анализ результатов решения нелинейной задачи активной минимизации звуковых полей в трехмерных волноводах с использованием техники распределенных вычислений приводится в следующем параграфе.

3.3 Анализ результатов численных экспериментов в глубоких волноводах

Как и в предыдущем параграфе все вычислительные эксперименты проводились по решению общей нелинейной задачи для трехмерного однородного волновода глубины Н = 4000м с переменными параметрами: И/, Qo■)(JtJ и Л = 2-7Г/ш.

Разобьем все тесты на две группы. К первой группе относятся тесты по минимизации мощности первичного источника линейной решеткой, расположенной на расстоянии 300 метров от первичного источника. Эта группа тестов вычислялась на кластере, состоящем из 8 процессоров РШ-800.1

Вторая группа состоит из тестов по подавлению первичного источника овальной решеткой, расположенной на различных расстояниях от источника. Эта группа тестов рассчитывалась на кластере, состоящем из 16 процессоров РШ-800.2

Ключевым моментом решения нелинейных задач является выбор исходной сетки. Во всех тестах применялась единая стратегия выбора исходной сетки. В волноводах, содержащих менее 400 распространяющихся мод, пробным путем была установлена эффективность использования сетки простей

1 Кластер А1ерЬ, Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН.

2Кластер ИБС, Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН.

-зоо 1-1-1-1-1-'-»-•-1

О 10 20 30 40 50 60 70 80

ЫитЬег Ы воигсе в)Зависимость координат источников от моду- (г)Зависимость уровня подавления от числа ис-ля интенсивности точников

Рис. 3.9. Овальная симметричная решетка (X = 134, А = 85,29). а) Геометрия исходной сетки б) Геометрия найденной решетки в)Зависимость координат источников от модуля интенсивности г)Зависимость уровня подавления от числа источников

Рис. 3.10. Овальная симметричная решетка (£ = 245, А = 64, 44).

5 2000 $ 2ООО

-50 40 -30 -20 -10 О 10 20 30 40 50 а) Геометрия исходной сетки б) Геометрия найденной решетки в) Зависимость координат источников от модуля интенсивности г)Зависимость уровня подавления от числа источников

Рис. 3.11. Овальная симметричная решетка (X = 260, Л = 63, 04).

3 2000

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 а) Геометрия исходной сетки ++ + + + V ++ + +

-50 40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

ОУ б) Геометрия найденной решетки в) Зависимость координат источников от модуля интенсивности г) Зависимость уровня подавления от числа источников

Рис. 3.12. Овальная симметричная решетка (Ь = 312, Л = 58,00). шей линейной конфигурации (см. рис.3.10а). В волноводах, содержащих более 400 распространяющихся мод, мы были вынужденны использовать решетку сложной конфигурации - овальную. Параметры, входящие в сетку, такие как расстояние между узлами, количество узлов и др. определялись путем перебора всевозможных вариантов и решения линейной задачи для каждого варианта. Наиболее эффективной считалась та сетка, для которой заданный уровень подавления достигался на минимальном количестве источников.

Так для первого теста первой группы таким уровнем подавления был принят 50 дБ. Для этого уровня оптимальной оказалась сетка, состоящая из 97 узлов (см. рис. 3.10а). В ходе решения нелинейной задачи на этой сетке была найдена оптимальная решетка, состоящая из 97 источников. С помощью этой решетки уровень подавления первичного источника, расположенного на расстоянии 300 метров от решетки, достиг 57 дБ. Этого вполне достаточно для практических целей. Необходимо отметить, что практически во всех тестах этого параграфа найденные решетки совпали с исходными сетками. Это связанно с тем, что при расчетах мы не учитывали условие (1.67).

Следующий тест этой группы отвечает подавлению первичного источника в волноводе, в котором могут распростроняться 400 нормальных мод. Путем перебора сеток, аналогичного перебору в первом тесте, была найдена оптимальная сетка из 99 узлов. Уровень подавления на этой сетке составил 42 дБ, при этом решетка, найденная в процессе решения задачи, также совпала с исходной сеткой (см. рис. 3.11).

Дальнейшее увеличение числа мод в волноводе приводит к резкому ухудшению эффективности линейной решетки. С учетом этого нами была выбрана сетка овальной конфигурации. Указанная конфигурация, являющаяся сложной в практической реализации, оказалась очень эффективной в расчетах. Так, в тесте второй группы, представленном на рис. 3.12, рассматривается волновод, в котором могут распростроняться 462 нормальные моды. Перебор параметров сетки, изображенной на рис. 3.12а для этого теста, привел к эффективной сетке, состоящей из 352 узлов. В процессе решения задачи, удалось получить решетку, на которой достигается уровень подавления в 310 дБ, что отвечает полному гашению звука. Важно отметить, что указанная оптимальная решетка состоит всего из 91 источников.

Следующий тест этой группы отвечает волноводу, в котором может рас-простроняться 853 моды. В этом тесте, как и в предыдущем, выбиралась эффективная сетка. Она состоит из 721 узла (см. рис 3.13а). В ходе решения нелинейной задачи, на найденной решетке было достигнуто подавление 65 дБ, при этом уровень в 50 дБ был достигнут уже на 300 источниках.

В тесте, представленном на рис. 3.14, решалась задача по минимизации мощности звукового поля первичного источника, расположенного на расстоянии 40 метров от вторичной антенны в глубоком волноводе, в котором могут распростроняться 1098 мод. В процессе решения на оптимальной сетке, состоящей из 1084 узлов, был достигнут уровень подавления в 82 дБ. В тоже время, что для этого теста уровень подавления в 50 дБ был достигнут на 244 источниках.

В последнем тесте второй группы решалась задача мимнимизации мощности звукового поля первичного источника в "глубоком" волноводе, в котором могут распространяться 1336 нормальных волн (см. рис. 3.15). Этот тест интересен тем, что уже для случая 300 источников подавление поля первичного источника достигает уровня в 50 дБ. Кроме того, хорошо прослеживается симметричность найденной решетки. Такая симметричность позволяет сократить количество вычислений, отыскивая источники лишь в половине волновода, а во второй половине волновода выбирать координаты источников симметрично найденным. Проведенные эксперименты показали эффективность этой методики для антенн, имеющих симметричную форму.

Вывод. Полученные результаты позволяют сделать вывод об эффективности предложенной методики решения нелинейных обратных задач активной минимизации звуковых полей в глубоких волноводах. Кроме того, перечислим некоторые практические советы по выбору сеток для решения нелинейных задач.

1) Использование сеток овальной конфигурации является наиболее оптимальным в любых трехмерных волноводах.

2) В волноводах с симметричной геометрией эффективными являются сетки симметричной формы, при этом методика предложенная в данной работе позволяет сократить время вычислений вдвое.

3) В волноводах содержащих до 400 мод, всегда можно выбрать сетку линейной конфигурации позволяющую получить вторичную антенну минимизирующую поле первичного источника до удовлетворительного уровня подавления. а) Геометрия исходной сетки (б) 3ависимость уровня подавления от числа источников

Рис. 3.13. Я = 4000, Х0 = -300, = 2000, (Ц = 100, Ь = 368, из = 55тг, Л = 52, 72. а) Геометрия исходной сетки

40 50 60 70 Number of sources б) Зависимость уровня подавления от числа источников

Рис. 3.14. Я = 4000, Х0 = -300, Z0 = 2000, Ql = 100, L = 400, из = 58тг, Л = 50.

8 2000 а) Геометрия исходной сетки

10 20 30 40 50 60 70 Number of sources б) Зависимость уровня подавления от числа источников

Рис. 3.15. Я = 4000, Х0 = -60, ^о = 2000, Q20 = 10, L = 462, ш = 60тг, Л = 48,3.

-1---Г 1 1 1 . ■ Н-1-Н-Н-+++ 'дпс)е' + ( С Л,

111 / ■ / . у

-50 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 а) Геометрия исходной сетки б) Зависимость уровня подавления от числа источников

Рис. 3.16. Я = 4000, Хо = -40, = 2000, Ц1 = 10, Ь = 853, ш = 80тг, Л = 36,25. а) Геометрия исходной сетки б) Зависимость уровня подавления от числа источников

Рис. 3.17. Н = 4000, Хо = -40, = 2000, = 10, Ь = 1098, и = 90тг, Л = 32, 22. й 2000 а) Геометрия исходной сетки

200 300 400

М/гпЬег Ы эоигсеа

500 600 б) Зависимость уровня подавления от числа источников

Рис. 3.18. Я = 4000, Хо = -40, = 2000, ££ = 10, Ь = 1336, и; = ЮОтг, Л = 29,00.

Заключение

В данном заключении сформулируем основные результаты диссертации.

1. Сформулированны и исследованы новые нелинейные задачи активной минимизации звуковых полей в трехмерных волноводах: нелинейная задача минимизации мощности звукового поля в дальней зоне волновода Б и нелинейная задача минимизации потенциальной энергии звукового поля в заданной области Р волновода О.

2. Разработан эффективный численный алгоритм решения указанных задач в широком диапазоне изменения основных параметров волновода. Он основан на модифицированном методе перебора координат искомых источников в узлах некоторой трехмерной сетки и регуляризованном алгоритме квадратичной минимизации относительно их интенсивностей.

3. Разработан и реализован программный комплекс, реализующий указанный алгоритм, как для однопроцессорных ЭВМ, так и для кластеров ЭВМ.

4. Проведен анализ численных экспериментов по минимизации мощности звукового поля как для "мелких", так и "глубоких" волноводов. Эксперименты показали, что удовлетворительный уровень подавления поля первичного источника порядка 50 Дб и выше, достигается всякий раз когда число источников вторичной антенны приближается к числу распространяющихся мод, либо когда найдена оптимальная сетка с помощью предложенного алгоритма.

В заключение хочу выразить благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук профессору Г.В. Алексееву за ценные советы и постоянное внимание к работе.

1. Алексеев Г.В. Численное решение обратной задачи излучения звука поверхностными источниками // Электромагнитные и акустические процессы в океане. Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та. 1987. С. 154182.

2. Алексеев Г.В. Математические основы акустики океана. Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та. 1988. 228с.

3. Алексеев Г.В. Обратные задачи излучения волн и терии сигналов. 2. Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та. 1991. 140с.

4. Алексеев Г.В. Экстремальные задачи теории управления звуковыми полями в регулярных волноводах. Препринт ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука. 1992. 32с.

5. Алексеев Г.В. Об активной минимизации звуковых полей в трехмерных волноводах // Динамика сплошной среды. Новосибирск: ИГ СО РАН. 1992. Вып. 105. С. 21-27.

6. Алексеев Г.В. О некоторых обратных задачах волновой акустики океана // Проблемы математического моделирования. Владивосток: Дальнаука. 1992. С. 132-145.

7. Алексеев Г.В. Численое исследование нелинейных задач активного управления звуковыми полями в двумерных регулярных волноводах. Препринт ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука. 1996. 28с.

8. Алексеев Г.В. Нелинейные задачи активного гашения звука в двумерных слоисто-неоднородных волноводах // Акуст. журн. 1997. Т. 43. N 6. С. 737-773.

9. Алексеев Г.В., Анферова E.H., Шарфарец Б.П. К теории синтеза антенн в идеальном акустическом волноводе // Математические методы прикладной акустики. Ростов: Изд-во Ростовск. ун-та. 1990. С. 17-24.

10. Алексеев Г.В., Короченцев В.И., Тахтеев В.А. Численное решение некорректной задачи синтеза кольцевой осесимметричной дискретной антенны в цилиндрическом экране // Акуст. жури. 1982. Т. 28. N 2. С. 150— 155.

11. Алексеев Г.В., Комаров Е.Г. Быстрое вычисление звуковых полей в многослойных поглощающих волноводах. Препринт. Владивосток: ИПМ ДВО СССР. 1990. 45с.

12. Алексеев Г.В., Комаров Е.Г. Быстрый алгоритм вычисления собственных значений для многослойного поглощающего волновода // Акуст. журн. 1990. Т. 36. Вып. 6. С. 965-972.

13. Алексеев Г.В., Комаров Е.Г. Численное исследование экстремальных задач теории излучения звука в плоском волноводе // Математическое моделирование. 1991. Т. 3. N 12. С. 52-63.

14. Алексеев Г.В., Комаров Е.Г. Численное исследование экстремальных задач теории излучения звука в регулярных волноводах. Препринт ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука. 1992. 40с.

15. Алексеев Г.В., Комаров Е.Г. Несамосопряженная сингулярная спектральная задача для оператора Гельмгольца с разрывными коэффициентами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 32. N 4. С. 587597.

16. Алексеев Г.В., Комаров Е.Г. Об активном гашении звуковых полей в слоистонеоднородных волноводах // Акуст. журн. 1993. Т. 39. Вып. 1. С. 5-12.

17. Алексеев Г.В., Комаров Е.Г. Нелинейные обратные задачи активного управления акустическими полями в двумерных волноводах // Доклады РАН. 1998. Т. 358. N 1. С. 27-31.

18. Алексеев Г.В., Мартыненко E.H. Численное иследование нелинейных обратных задач теории излучения звука в двумерных регулярных волноводах. Препринт ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука. 1994. 50с.

19. Алексеев Г.В., Мартыненко E.H. О нелинейной задаче активного гашения звука в осемитричном волноводе // Акуст. журн. 1995. Т. 41. Вып. 3. С. 381-389.

20. Алексеев Г.В., Мартыненко E.H. Численное исследование нелинейной обратной задачи излучения звука в плоском волноводе // Динамика сплошных сред. (Акустика неоднородных сред). Новосибирск: Изд-во ИГ СО РАН. 1995. Вып. 110. С. 3-11.

21. Алексеев Г.В., Панасюк A.C., Синько В.Г. Численный анализ нелинейных задач активного управления звуковыми полями в трехмерных регулярных волноводах. Препринт ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Даль-наука. 1998. 60с.

22. Алексеев Г.В., Панов Д.В., Синько В.Г. Теоретический анализ многомерных обратных задач подводной акустики. Препринт ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука. 1998. 64с.

23. Алексеев Г.В., Панасюк A.C. О задаче активного гашения звука в трехмерном волноводе // Акуст. ж. Т. 45. N 6. 1999. С. 723-729.

24. Алексеев Г.В, Синько В.Г. Параллельный алгоритм решения задач активной минимизации звуковых полей в регулярных глубоких волноводах // Вычисл. технологии. Т. 6. Спец. выпуск. Ч. 2. 2001. С. 37-42.

25. Алексеев Г. В., Синько В. Г., Терентьев JI. JL, Панасюк А. С. Нелинейные обратные задачи активной минимизации звука в трехмерном волноводе // Тез. Докл. V конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи". Москва, Россия, 1999. С. 6.

26. Алексеев Г.В.,Тахтеев В.А. Результаты численного решения смешанной задачи синтеза акустических антенн на цилиндре // Изд-во вузов. Радиоэлектр. 1981. Т. 24. N 3. С. 81-85.

27. Алексеев Г.В., Чеботарев А.Ю. Обратные задачи акустического потенциала // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1985. Т. 25. N 8. С. 11891199.

28. Арзамасов С.Н., Малахов А.Н., Мальцев A.A. Адаптивная система активного гашения звуковых полей в многомодовом волноводе // Акуст. журн. 1982. Т. 28. Вып. 5. С. 583-587.

29. Васильев Ф.П.Методы решения экстремальных задач М.: Наука. 1981. 400с.

30. Валях Е. Последовательно-параллельные вычисления. М.: Мир. 1985. 456с.

31. Воеводин В.В. Численные методы алгебры. Теория и алгоритмы. М.: Наука. 1966.

32. Воеводин В.В. Лекции "Параллельная обработка данных ". http://parallel.ru/vvv/.

33. Голуб Дж., Лоун Ч. Ван. Матричные вычисления Пер. с англ. М.: Мир. 1999. 548 с.

34. Завадская М.П., Попов A.B., Эгельский Б.Л. Об одном приближенном решении задачи активного гашения звуковых полей по методу Малю-жинца // Акуст. журн. 1975. Т. 21. Вып. 6. С. 882-887.

35. Завадская М.П., Попов A.B., Эгельский Б.Л. Об аппроксимации волновых потенциалов в задачах активного гашения звуковых полей по методу Малюжинца // Акуст. журн. 1975. Т. 21. Вып. 5. С. 732-738.

36. Завадская М.П., Попов A.B., Эгельский Б.Л. Вопросы аппроксимации и устойчивости системы активного гашения с конечным числом связей // Акуст. журн. 1977. Т. 13. Вып. 3. С. 480-482.

37. Завадская М.П., Урусовский И.А. О влиянии случайных ошибок на степень компенсации звуковых полей в одной задаче активного гашения // Акуст. журн. 1976. Т. 22. Вып. 2. С. 226-233.

38. Иванов В.П. Гашение звука конечной решеткой излучателей // Акуст. журн. 1987. Т. 33. Вып. 4. С. 658-664.

39. Иванов В.П. Активная звукоизоляция ограниченной области для случая удаленных сторонних источников. Теория решетки Тротта // Акуст. журн. 1993. Т. 39. Вып. 4. С. 661-670.

40. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука. 1973. 496с.

41. Коняев С.И., Лебедев В.И., Федоров М.В. Дискретная аппроксимация сферической поверхности Гюйгенса // Акуст. журн. 1977. Т. 23. Вып. 4. С. 650-651.

42. Коняев С.И., Лебедев В.И., Федоров М.В. Факторизация звукового поля с помощью двух концентрических сферических приемных поверхностей // Акуст. журн. 1979. Т. 25. Вып. 5. С. 725-731.

43. Коротаев Е.В., Мазанников A.A. Об активном гашении звука ограниченной плоской решеткой // Акуст. журн. 1985. Т. 31 Вып. 4. С. 539-542.

44. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М: Наука. 1988. 432с.

45. Мазанников A.A., Тютекин В.В. Экспериментальное исследование активной системы гашения акустических полей // Акуст. журн. 1974. Т. 20. Вып. 5. С. 807-808.

46. Мазанников A.A., Тютекин В.В. Исследование активных автономных систем гашения акустических полей в одномодовых волноводах // Акуст. журн. 1976. Т. 22. Вып. 5. С. 729-734.

47. Мазанников A.A., Тютекин В.В., Федорюк M.B. Об активном гашении звука ограниченной частоты в волноводах // Акуст. журн. 1977. Т. 23. Вып. 6. С. 907-912.

48. Мазанников A.A., Тютекин В.В., Федорюк М.В. Активная система гашения звука в многомодовом волноводе // Акуст. журн. 1977. Т. 23. Вып. 3. С. 485-487.

49. Мазанников A.A., Тютекин В.В., Федорюк М.В. Активное гашение звуковых полей методом пространственных гармоник // Акуст. журн. 1980. Т. 25. Вып. 5. С. 759-763.

50. Малюжинец Г.Д. Об одной теореме для аналитических функций и ее обобщениях для волновых потенциалов // Тезисы докладов 3-го Всес. симпозиума по дифракции волн. М.: Наука. 1964. С. 113-116.

51. Малюжинец Г.Д. Нестационарные задачи дифракции для волнового уравнения с финитной правой частью // М. Труды Акуст. ин-та. 1971. Вып. 15. С. 124-139.

52. Митченко А.Д. Численные методы линейной алгебры. Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 1991. 140с.

53. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир. 1974.

54. Свешников А.Г. Принцип предельного поглощения для волновода // Докл. Акад. Наук СССР. 1951. Т. 80. N 3. С. 345-347.

55. Синько В.Г. Применение техники распределенных вычислений для решения задач активного шумоподавления в океанических волноводах / / Вычисл. технологии 2002. Т 7. спец. выпуск. Ч. 4. С. 129-134.

56. Синько В.Г., Панов Д.В. О разрешимости линейных обратных задач излучения звука в неоднородном поглощающем волноводе // Далъневост. матем. сб. 1999. Вып. 7. С. 133-141.59