Многомерные обратные задачи для волнового уравнения Гельмгольца тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

— 9 Н 3

Г.КЖСТЕГСГЕО ПО ДЕЛАМ НДУКМ, ВЫСШЕЙ ШНйШ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТ1Г I РСФСР

На правах рукописи

АЛЕКСЕЕВ ГЕННАДИЙ ВАЛЕНТИНОВИЧ

УДК Б17.946

ШНШЕРНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗШЧИ т ВОлНОВОГО УРАВНЕНИЯ ГЕЯЬМГОЛЬШ.

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора фгаико-математическкх наук

НОВОСИБИРСК - 1393

: i! ■ .- . м—........-Работа' шлолнвна в лаборатории вычислительных методов

математической'физики №Гй¥итута прикладной математики ДВО РАН.

Официальные оппоненты:член-корр. Ро, сийской Ака.эмии наук, П.И. Плотников

доктор физико-математических неук, профессор A.M. Федотов доктор физико-математических наук, профессор В.Р. Чередниченко

Ведущая организация: Институт математики СО РАЙ.

Защита состоится " q * февраля 1993 года в 16 часов на заседании специализированного совета ДО6Э.98.02 при

Новосибирском государственном университете (6300Э0, Новосибирск, ул. Пирогова, 2).

' Автореферат разослан

* (у «

января 1993 года. '

О дисертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Учешй секретарь специализированного оовета доктор физико-математических наук

А.В. Квжихов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность токи. Изучение динамических процессов в океане о целью получения дополнительной информации о его структуре, приводит к необходимости решения обратных задач акустики океана. Указанные задачи заключится в определении излучающих, отражающих и рассеивающих объоктой, расположенных в волноводе, моделирущем океан, по заданной информации об акустическом поле, а также в восстановлении структуры неоднородных включений в океане. Вазошм классом указанных обратных задач ..вляется класс обратных задач излучения волн, в которых требуется определить неизвестную излучащую систему по заданной информации об излучаемом пола.

Решение волноводных обратных задач излучения звука связано со значительными трудностями по сравканию с "классгческим" случаем, когда излучатель находится в неограниченном пространстве. Это объясняется необходимостью учета ряда волноводных эффектов, отсутствующих в классическом случае. К числу таких эффектов следует прежде всего отнести эффекты дифракции звуковых волн, вызываемые присутствием отражающих границ, наприыр, дна и свободной поверхности, а также эффекты рефракции. Последние вызываются стратификацией распределения основных параметров среда океане, главным образом, по его глубине.

Исследование указанных задач акустики океана методами математического моделирования приводит,к новому классу обратных задач для волнового уравнения Гельмгс чьце. в неограниченных областях. Указанные задачи представляют собой интерес как в теоретическом плане (с точга зрения исследования их корректности), так и в практическом плане в связи с возможными приложениями полученных результатов при исследовании динамических процессов в океане. Поэтому актуальной является разработка таких методов решения указанных обратных задач д-я волнового уравнения Гельмгольца, которые, с одной стороны, допускают строгое теоретическое обоснование, а с другой стороны,

могут бить аффективно реализована на ЭВМ.

Цель работы. Цель работы заключается в исследовании разрешимости обратных .задач для волнового уравнения Гальмгольца и разработке эффективных мэтодов их решения. Исходя из поставленной цели, в работе сформулированы следующие задачи исследований:

1) Исследование разрешимости линейной обратная задачи акустического потенциала ъ шкалах функциональных пространств Гельде-ра С1,х и Соболева !Гг,р, где О < I £ ». Изучение структуры множества возможных реше.чий обратной задачи.

2) Исследование разрешимости нелинейной обратной задачи акустического потэнциала.

3) Исслвдонание разрешимости линейных и нелинейных экстремальных обратных задач излучения звука объемными источниками в классах Соболева.

4) Исследование разрешимости нелинейных обратных задач синтеза излучающих систем и фазовых проблем теории излучения.

5} Разработка метода решения несамосопряженной сингулярной (в общем случае) спектральной задачи для оператора Гельмгольца с разрывными коэффициентами. Разработка устойчивого численного алгоритма решения ькстремальных обратных задач излучения звука дискретными источниками, расположенными в регулярном акустическом волноводе.

Мато* исследований. При получении результатов настоящей диссертации использовались метода исследования разрешимости краевых. задач для волнового уравнения Гельмгольца в шкалах функциональных пространств Гельдера С1'х и Соболева йг1*р, где ИИ свойства акустических потенциалов, аппарат теории обобщенных функций (гл.1, 2), методы исследог.чния неквадратичных экстремальных задач в гильбертовых прос^ аютвах (гл. 2), метода теории цвл-о. функций одной и многих комплексных переменных (гл.З), метода исследования сингулярных спектральных задач (гл.4). При разработке численных алгоритмов использовались разностные методы решения несингулярных дай^Р^нциальных опектрэлы;^ ^адач и мотода повышения точности решений разностных задач.

Достоверность. Обоснованность выносимых на защиту.положений следует из доказанных теорем о существовании, единственности (в

некоторых случаях устойчивости), рассматриваемых обратных задач, сопоставления полученных результатов с соответствующими результатами из смежных областей и, в частности, из теории обратных задач гравитационного и метагармоничоского потенциалов, а также из результатов численных экспериментов.

Научная новизна. Построена общая теория исследования разрешимости линейной обратной задачи акустического потенциала с учетом эффектов дифракции на отражающих границах в функциональных классах Гельдера и Соболева. Предложена оригинальная методика исследования нелинейной обратной задачи акустического потенциала. Исследована разрешимость экстремальных обратных (линейных л нелинейных) задач акустического потенциала. Установлены необходимые и достаточнее условия существования решения нелинейной задачи синтеза излучающих систем и частной фазовой проблемы отили. Сформулирована достаточные условия неединственности рьшения укааанных задач. Эти результаты дополняют результата об условиях единственности' решения фазових задач, полученные ранее М.В. Клибаковым. Предложен надежный высокоэффективный численный алгоритм решения общей несвмссопряжешюЯ сингулярной спектральной задачи для оператора Гелъмгольца и на его основе разработан устойчивый численный алгоритм решения обратной задачи излучения звука дискретными источниками, расположениями в регулярном акустическом двухмерном (или трехмерном/ волноводы. Разработан эффективный численный алгоритм рошануя обратной задачи дискретной ашошюй, расположенной на криволинейной повархносга с учетом эффектов дифракции. Все приведенные научные результаты получены автором диссертационной работа. Из сгвместных работ, выполненных, ь основном, с его учениками, в диссертации приведены результаты, полученные лично автором.

Практическая ценность работы. Практическая ценность работа проистекает из в змогашх приложений полученных в дасоертпции результатов при исследовании динамических процессов в океане. В частности, разработанный алгоритм решения несамосопряженной-сингулярной '(в общем случае) спектральной задачи для оператора Гельмгольца, позволяющий находить собственные значения и функции трактическл с лю5ой степоныо точности,, мокко использовать кг-: непосредственно при рэсч_ ге звуковых "полей в стратифицированием

волноводе, так и при ресении спектральных задач, возникающих, например, в квантовой механике. Разработанный численный алгоритм решэния обратных экстремальных задач излучения звука в регулярных волноводах Позволяет рассчитывать антенные гидроакустические комплексы с учетом реальных характеристик морской среды: наличия Верхней и никней границ, стратификации по глубине и т.д.).

Материалы диссертации легли в основу учеоннх пособий iiO, 14) и монографий [18,19], которые использовались в преподавании курса математической физики и специальных курсов для студектоб математического факультета Дальневосточного госуниверситета.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзных конференциях по некорректным и условно-корректным задачам математической физики в гг. Новосибирске (1977), Фрунзо (1981), Новосибирске (1982), 'Самарканде (ДйУЗ), Саратове (1985), Алма-Ате (1989), Новосибирска (1992), на Сибирской школе по условно-корректшм задачам математической физики и анализа э г.Красноярске (1986), на Всесоюзных конференциях по комплексному анализу и математической фявикв в Красноярске (1987) й Ташкенте (1989), на Всесоюзных конференциях по качественной теории дифференциальных уравнений в ГГ. Новосибирске (1977) и Кемерово (T98I), на Всесоюзном коллоквиуме по нелинейным задачам со свободными границами в г» Донецке (1980), на Всесоюзной конференции по интегральным уравнениям и краевым задачам математической физики во Владивостоке (I&90), на Всесоюзных Акустических конференциях в г. Москве (1977, 1981, 1991), на Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению ■ волн в Телави (Грузия, 1985), на советско-итальянском симпозиуме по обратным задачам в гг. Новосибирске и Самарканде (1990), на Междунеродной Конференции по задачам jo свободными границами в МеХышшэ сплошной среда в г. Новосибирске (1991), на советско-японском симпозиуме по обратным задачам математической физики в г. Новосибирске (1991), на Международной *онференции по некорректно поставленным задачам в естественных науках в Москве (август 1991),на советско-японских симпозиумах по вычислительной аэрогидродинамике в гг.Хг.<,аровске (1988) и Цукубе (Япония, ISSG), на российско-японском симпозиуме по вычислительной а&рогидродинамихе ьс Владивостоке . (1932), на научных семинарах

в Институте математики СО РАН лод руководством академика М.М. Лаврентьева, член-корр. РАН С.К Годунова, профессоров Я.Е. Аликонова, А.М.Блохина и Т.И.Зеленяка, на научных семинарах в Институте гидродинамики СО РАН под руководствам академика Л.Б.Овсянникова, член-корр. РАН В.Н.Монахова, на научном семинаре в Московском государственном университете по; руководством профессоров А.Г.Свешникова и A.C. Ильинского, на городском семинаре по математической физике при Институте прикладной математики ДВО РАН под руководством член-корр. РАН В.П.Коробейникова и профессора С.М.Белоносова (Е 'адивосток) и других более узких конференциях, семинарах и совещаниях.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-31].

Структура и объеы работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы и- 280 наименований, содержит 10 таблиц, 10 рисунков и изложена на 250 страницах машинописного текста, ыдгалненого текстовым редактором Chiwrlt.er на персональной ЭВМ.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕДИССЕРТАЦИИ

Основную роль с точки зрения получения информации об окружающей среде играют процессы излучения к распространения, акустических и электромагнитных волн. Изучение указанных процессов методавд математического моделирования приводит к необходимости исследования краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. При исследовании гармонических (по времени) волновых процессов в качестве исходной математической модели обычно выбирается скалярнс-уравнение типа уравнения Гельмгольца

ЪФ = ЛФ + /г2Ф = (I)

в случае однородной среды и уравнение (Гельмгольца) с переменными коэффициентами

ЬФ ш рсИгК^гскЯ» + /ггФ = -/ (;?)

для неоднородной среды. Здесь / - .иотность объемных

источников, р - переменная плотность среда, к - переменное

волновое число. Последнее определяется одной из формул 2 2 кг(х) = и kz(x) = +is>(x) (X € Ш"), (з;

с^х) С (X)

соответственно для непоглощающъй и поглощающей сред, где ш -

круговая частота излучаемого звука, с(х) - скорость звука,

ае(х)>о - коэффициент поглощения (затухания) в среде.

Пусть D с rr - некоторая неограниченная область с

отражающей границей ' = QD, в которой изучается происходящий в

ней волновой процесс акустического типа. Как известно (см.,

например (101), прямая задача излучения звуковых волн объемными

источниками, распределенными с плотностью / в В, заключается в

нахождении потенциала. Ф звукового поля, удовлетворяющего

уравнению Гельмгольца

ЬФ = -fix), х € D, (4)

краевым условиям на границе S области D, имеющим в общем случае вид ■

ВФ а а(х)Ф + Ь(Х)Ц = о на S, (б)

и условиям излучения при |х| - «>, которые формально запишем в

виде

Фезл(D), |х| - да. (в)

Здесь а(х) и Ь(х) - заданные функции точек xzS, описывающие акустические свойства поверхности S, Bt(D) обозначает пространство функций, удозлетворящих условиям излучения при |х| - -о. В частном случае, когда D совпадает со всем пространством tkrt, либо полупространством, либо является внешностью ограниченной области, условие (6) имеет вид условий излучения Зоммерфельда

Ф(х) = Odxl-^), - Ш>(х) = о(|х|~) при (Х| ш. (7)

Пусть П - ограниченное открытое мнокес.'зо в d, причем вирр/ с(), / € 1Р(П), р> 1. В таком случае руление Ф е задачи (4)-(6) формально

может быть представлено е виде

Ф(х) = |б<х,у)/(у)<%г, (8)

п

где о(х,у) - функция Грина задачи (4)-(6). В частном случае, когда к = const, р = 1, a D = В?а (при этом граничное условие (Б) снимается), функция G совпадает с сингулярным решением

оператора Гельмгольца Ь = Д + А2, имеющим вид

при п = 3 и

аи.у) - | й'п(й|лг-у|) (Ю)

при п = 2. Здесь /Г ' - функция Ханкеля 1-го рода нулевого порядка.

Пару (О,/) ниже будем называть (объемной) излучающей системой, а функцию Ф вида (8) - (объемным) акустическим потенциалом пары кО,/), или просто полем, создаваемым парой (О./)- С учетом этого формула (8) определяет отображение Ч: (Л./) —» Ф=ЩС;П,/], которое каждой паре (излучающей системе) (С?./) из некоторого множества допустимых пар ставит в соответствие потенциал поля, излучаемого ею в область О с отражающей границей в.

Наряду с прямой задачей излучения вахную роль играют обратные задачи излучения волн. .Указанные задачи заключаются в восстановлешт неизвестной излучающей системы (О,/) или ее части (т.е. плотности / при заданном П или множества П при заданном распределении плотности /) по определенной информации об излучаемом парой (О,/) поле. В качестве указанной информации о волновом пола может служить, например, совокупность значений потенциала О в точках некоторого множества, расположенного вне источников.

Существуют линейные и нелинейные обратные задачи излучения

волн. Сформулируем те из них, которые являются предметом

исследования первых двух глав диссертации. Начнем с линейных

задач. Пусть П с о - ограниченное открытое множество и Ф^ -

заданная в П £>/П функция (имеющая смысл внешнего

в

акустического потенциала множества П, ^

Задача 1.1. для заданных множества П и функции Фв в найти такую функцию /€1РШ), 1 < р < ».что решение прямой задачи

ХД> = ~/а в О, ВВ « О на Б, О € ЗЯ(С) (II)

удовлетворяет условию

Ф - Ф в О . (12)

Здесь функция /п € определяется .формулой

/„<*) = (13)

" I О, Х/О.

- 7 -

Пусть далее (3 с некоторая ограниченная область Фо-г а данная в С? функция, имеющая, например, смысл акустического поля, создаваемого в С) шумящим объектом. Обозначим через Рл = Р1 (С;П) множество всех потенциалов Ф = и[(7;0,/], где /' пробегает мшкествэ 1Р(П) т.е. функций Ф : О —» С, удовлетворяющих условиям (II) для произвольной у € £Р(П).

Задача 1.2. Для заданных множества О и функции в С найти-такую функцию (плотность) /б£р(П), что решение <Г прямой задачи (II) удовлетворяет условию

° 1Г10) ° 1 (О)

Сформулируем теперь нелинейные задачи излучения воли.

Пусть" В = С «К": <Д) с ь - шар радиуса Я, / - заданная в В функция и Фа - заданный в £д = СЧВ внешний потенциал.

Задача 2.1. Для заданных шара В и функций / в В и Ф^ в В^ найти такую (односвязкую) область "О с в, что решение прямой задачи (II) удовлетворяет условию

Ф - Фв в Ве. (1Б>-

Обозначим множество всех функций (потенциалов) Ф;Х> —- С, являхлцихся решением краевой задачи (11), где / - заданная в шаре В функция, а П пробегеет некоторый клас (односвязных) областей, лежащих в шаре Я, через Р2 = Р2(0;В,/). Пусть (} с Ве-■ граниченная область, Ф - заданная в £2 функция.

Задача 2.2. Для заданных шара В и функций / в В и Фо в О определить такую (односвязную) область П с В, что решение Ф задачи (II) удовлетворяет условию

Из постановок задач 1.1 - 2.2 следует, что если в линейных задачах .искомой является опотность / при заданной геометрии О излуающей системы, то в не.пинейшх задачах искомой является область П при известном распре деления длотностл / в шаре В. Кроме поставленных задач моино сформулировать также задачу восстановления обеих компонент Пи/ неизвестной излучающей системы (П,/) по соответствующей информации об излучаемом поле. Однако указанная задача на имеет срмостоятвльт'ого значения, поскольку она сводится к исследованию соответствующих линейных задач 1.1 либо 1.2 (см.[1Р1).

Обратившись к линейным обратным задачам 1.1 и 1.2,

отметим, что теория этих задач сначала развивалась в приближенной постановке с использованием приближения дальней зоны. Указанная теория получила название теории синтеза антенн (или теории синтеза излучающих систем). В рамках 'той теории удалось получить ряд законченных результатов о разрешимости обратных задач синтеза антенн и свойствах их решенлй, а также разработать устойчивые численные алгоритмы их решения [19].

Теория линейных обратных задач излучения волн в точной постановке (без использования приближения дальней зоны) стало развиваться в последние 15-20 лэт. Большую часть работ по исследованию обратной задачи I.I можно разбить на две группы. Первая группа включает в себя работы, основанные на использовании интегрального уравнения 1-го рода, выведенного в 1970 г. в статье R.Porter при исследовании голографичеасих изображений и несколько позже в другой, но эквивалентной форме в статье N.BoJarski. Обзор работ указанного цикла можно найти в [18]. Ко второй группе примыкают работы [8,9,11,15], в которых. в качестве исходной математической модели берется интегральное уравнение 1-го рода, полученное обращением интегрального представления решения прямой задачи излучения волн.

Следует отметить, что при к=0, р-1 уравнение (2) переходит в уравнение Пуассона

АФ = -Г, (17)

описывающее, например, распределение гравитационного потенциала в рассматриваемой области D, а задача I.I формально (с точностью до условий при |- оо) переходит в линейную обратную задачу гравитационного потенциала. Изучению свойств решений последней задачи, а также исследованию вопросов существования, единственности и неединственности ее решений при D = R71, посвящено большое количество работ, из которых отметим (в хронологическом порядке) работы А.И.Прилепко, О.К.Week,

B.Г.Чередниченко, В.Н.Страхова, В.И.Старостенко, A.Lorenzi и

C.D.Pagani, А.С.Маргулиса, о'.М.Оганесяна. В еще одном частном случае, когда к=1с, с>О, уравнение (2) принимает вид

аф - сгФ = -/, (18)

а задача 1.1 переходит в обратную задачу метагармоническсго потенциала. С учетом отмеченной аналогии с обратными задачами гравитационного и метагармонического потенциала m зэдачу I.I

ниже будем ссылаться как на линейную обратную задачу акустического потенциала.

Обратившись к нелинейной задаче 2.1, отметим, что при к = О и р = 1 в (2) она формально переходит в нелинейную обратную задачу гравитационного потенциала, которая, начиная с пионерской работа П.С.Новикова , изучалась многими исследователями. Отметим среди них работы Л.Н.Сретенского, И.М.Рапопорта, М.М.Л»врентьева, В.К.Иванова, Л.И.Прилегко, В.Н. Страхова, Л.Э.Казаковой, А.Ф.Цирульского, А.Х.Остромогольского, Ю.А.Шашкина, В.Г.Чередниченко, В.М.Исакова , Н.С.Надирашвили, Д.В.Капанадзе, М.А.Бродского . В другом частном случае, когда к - 1с , с>О, задача 1.1 переходит в нелинейную обратную задачу метагармонического потенциала, изученную в работах А.И.Прилегаю и Л.Э.Казаковой. С учетом указанной аналогии на задачу 2.1 ниже будем ссылаться как на нелинейную обратную задачу акустического потенциала.

Что касается задач 1.2 и 2.2, то последние относятся к классу экстремальных задач излучения звука, а их интерпретация зависит от того, какое поле .задано в £2: Ф^ или -Ф&. В первом случае задача 1.2 им~>ет смысл линейкой экстремальной задачи синтеза излучакщих систем, в которой требуется определить такую плотность /е£р(П) при заданном [2, что соответствующая излучающая система (П,/) создает в определенной области 0 с поле Ф, наименее отклоняющееся от заданного Фо в норме ЬгЩ). Точно так же задача 2.2 имеет смысл нелинейной задачи синтеза излучающей системы, в которой требуется определить такую (односЕ.чзнум) область ОсВ при заданном распределении плотности / в шаре В, что пара (О,/) создает в области £3 поле Ф, наименее отличающееся от заданного Фо в норме I2 (¡2). Во втором случае (в предположении, что заданная функция - Фо мо.;,-пирует (первичное) поле, создаваемое в С некоторым шумящим объектом) задача 1.2 имеет смысл задачи активной минимизации (или .активного подавления) звукового поля - Фо. Указанная задача заключается в нахождеш.: такой плотности / при заданном множестве о, что соответствующая пара (П./) создает поле, минимизирующее или полностью гасящее в области 0 первичное поле Фо. Наконец, задача 2.2 прэдетавляет собой соответствующую нелинейную ьадачу активной минимизации поля -Фо в области С <=' Вв- 10 -

Перейдем к формулировке основных результатов настоящей диссертации.

Глава I, нншсянна? по материалам рг!0от [8,9,11,15,181, посвяо(вна систематическому изложению скалярной теории линейных обратных задач излучения з^укч объем,гами источниками, занимающими ограниченную область П во всом пространстве Ж3 (или if;''), как в (8,153, либо в некоторой неогршичокной области I) с отражайся границе Я S, как в [11,13]. Последний случай является модельным при исследовании, например, прямых и обратных задач излучения звука в океане, ' где н^Оходумо учитывать влияние на раагространени'Э згука его отражающих границ: свободней поверхности и дна. Основное внимание уделяется исследованию разрешимости обратных задач в различтлх ф><1КЦ1!оналышх пространствах: пространствах Гельдера С*,лчП) и Соболева Г/1,Р(П), изучению роста гладкости решений с ростом гладкости исходных дачных (заданного внешнего потенциала и границ S области U и Г области П), а также выделению единственного решения линейных обратных задач излучения путем введения нормальього реое.чия (либо нормального псевдорешения).

В § 1 сначала формулируются линейные обратные задачи излучения волн вида 1.1 - 1.2 ь пространстве R3, а далее обсуждаются их двумерные и n-мерные аналоги, а также векторные аналоги, возникающие при исследовании процессов излучения электромагнитных волн в жидких и газообразных средах, чцбо процессов излучения упругих еолн в упругих средах. Изучается . также связь между обратной задачей 1.1 и соответствующей линейкой задачей гравитационного потенциала. Далее излагается математический аппарат, необходимый для исследования линейных обратных задач. Указанный аппарат основал на использовании функциональных пространств Соболева и Гельдера вида ГГг-р(П), С1,Я(П), и С1ДШ),

а также замкнутых подпространств первых двух пространств

¿'•"(П), ГГ'-Р(0), 0г'х(П) и Сг'*(П), (19) Здесь Q - область, занятая источниками, S с К" - область, где изучается волновой процесс, а, в частности, пространства

i'1 ,Р(П) и С1 'х (П) определяются следующим образом:

1Гг'р(П) » (f « Пг'р(П): fa е Пг'рЪ)},

¿llX(n) = {/ € С1'*(Л): fa € C1,x(0))

(Здесь - продолжение функции заданной в П, нулем за пределы Сц. Продолжив функции пространств (19) нулем за пределы 0, получим функциональные пространства

W¿-P(i>), С*-кО» и (20)

используемые в § 3 для описания нулевых внешних потенциалов, создаваемых так называемыми неизлучающими источниками. В сбою очередь пространства (19) будут использоваться для описания плотностей неизлучающих объемных источников. Положим

МЯ(х) - ]б(:г.у )/<{/)<& (21)

п

и введем в рассмотрение следующие композиции

L, г S,oL, L = S oL, .X, = S,oL, А =» S oL. i i e p ' i ' e »

Здесь Ь*( «fe- оператора сужения не множества ti ¡ fl( и íls =D\fl соответственно, йсновную роль ниже будут играть операторы Lt и Лд, первый из которых согласно физическому смыслу ставит в соответствие каждому потенциалу Ф t (D) соответствующую плотность ссздаащих его источников, а второй сопоставляет каждой плотности f ч ХР(П) внешний потенциал излучаемого парой <Q,f) шля. В дополнение, к (19), (20) вводятся следующие пространства

V2,p(£) в (v ( : Lv = 0 в Bv - О на S), (22)

ЯР(П) = Kervle в 1Р(П), (23)

ЯР(П) = замыкание Г>(П) П Нр(0) в ЬР(П). (24) Здась V(ü) - пространство бесконечно дифференцируемых финитных в 0 функций.

Значаль рассматривается случай, когда ьыполняются условия:

1) D =■ щЗ;

2) П - ограниченное открытое множество в С, 1 < р < «>. При пьшолнении втих условий оператор Л определяется формулой

U/JU) = 14ГН*) -

Q

Для этого случая доказывается ряд утверждений о свойствах акустических потенциалов, з которых ьриведем следующие

Теорема 3.1. Пусть выполняются условия 1), 2). Тогда

операторы

А : 1Р(П) — У*'Р(!Х3). — 1?(П)

сюръэтивкы и обратило*, прыем

х;1 = -а в 1Р(С1), а= -14 б ^^(к3;. Теорема 3.2. В условиях теоремы 3.1

1(й£'р = ЛГР(Й), « ЯР(П).

Далее определяются Л( - образы некоторых специальных

подмножеств пространства а именно:

^•"(О) - КегАе в йг1'р(П), = КегАа и Сг'х(П),

Уэ'р(П) - /ГегЛ^ в 0) » в С1,Х(П).

Теорема 3.3. В условиях теоремы. 3.1

£сди, кроле того, Г € С!+2, I > 0, то

- {и * йг1+г,р(П):'и - 0, ^ = 0 на Г) а ¥*+г'р(ПМ25) Если, более того, 17 € Сиг'х, I 2 О, 0 < X < 1, то

- {V € С1+г,х(П):г> = О, - О в а Г> в 1Г*+г,*(П>. Теорема 3.4. В условиях теоремы 3-1

[№*((})I1 ■= Я"(О), [^(П)]1 = Г'(П), д - р?т-(2б) Здесь КР(П) - замкнутое подпространство в ЬР(П), состоящее из функций / í 1Р(0), являющихся обобщенными решениями однородного уравнения Гельмгольца ■ .

X/- = Д/ + /г2/ = о • •

[Кр1 обозначает аннулятор к пространству Яр.

Теорема 3.5. В условиях тчорежы. 3.1 следующие условия эквиваленты:

^•"(А) = И2'*'«}), ЛР(С1) = /ГР(П),

[»"(О)]1 = «5(0), [ЯРСП)!1 = »^{П), д'-рВр

При р = 2 из теорема 3.4 следует, что пространства Я2(О) и ^ (0) является ортогональными дополнениями друг друга в Ьг(0), так что справедливо разложение

12(П) - ¡Г1 (Я) <3> Хг(П). (27)

В случав, когда D ¿ к\ вводится ряд дополнительных предположений,- которые вместе с предположениями (2) позволяют распространить н"' этот случай приведенные выше утверждения. Эти предположения имеют вид:

3) a ist (п.ео) í е > О;

4) решение Ф задачи (1.1)~(1.2) единственно в классе П2г£(.П) П ЗЛ(Х>).

5) гладкость ряшения Ф € W(D) заднчи (1.1), (1.2) на множествах fl и П растет с ростом гладкости функции / и границ Г =» Ш и S = ÖD.*

Далее, в § 4, исследуется разрешимость обратной задачи 1.1, описываемой уравнением

U^/Hx) = Фв(х). х < Пе, (28)

где Ф - заданный внешний потенциал множества fi. Наряду о (28) рассматривается однородное уравнение

aj = О. (29)

Для уравнения (28) устанавливаются необходимые и достаточные услория существования решения, исследуется рост гладкости решений с ростом гладкости исходных данных, о также доказывается единстве: юсть нормального решения и выводится для него априорная оценка. Приведем некоторые из доказанных теорем. Введем в дополнение к 2) - 4) следующие предположения на исходные данные:

6) Г í С°*1,

7) Ф € ' „ (П ) ПК, 2/5=0 в П.БФ-0 на S.

G LOO 0 9 9 0

Теорема 4.2. При выполнении условий 2)-4), 6) и 7) существует бесчисленное множество решений уравнения (28) (задачи 1.1) из класса Lp(П), причем указанные решения и только они пред ставило* в биде

/ = -btФ - /о = -1(Ф{ + С ). (30)

Здесь fQ (либо Фо( произвольная функция из пространства Np(fl)

(либо W2,1^)), Ф{ = Б(Ф, гЗе Ф е ~ про5олжение Функции

на D Гтно существует, в силу условия б)).

Теорема 4.3. Пусть в дополнение к 2) - 7) въвюлшхтся условия

Ф ' е №*+г<р(П ), Г € Сг+г.

в loo у о''

Гог<Эа существует бесчисленное .щножеапво решений уравнения (28)

из класса Yi1'p(Q), причем указанные решения и только они представили в виде (30), где f (либо Ф ) - произвольная функция из пространства tf*,p(ft) (либо М**г'р(П)).

Обозначим через линейное многообразие в ,

состоящее из сужений на 0w функций Ф f V^,p(/)).

Teopev ■ 4.5. При выполнении условий 2) - 4) Оля лхзбой функции Ф^ i существует единственное нормальное

решение f*e LP(Q) уравнения (?Я). Если, кроме того, € (^^(П ), то справедлива априорная оценка

\f\ < С|Ф I , a-const. (31)

©

Теорема 4.6. Пусть выполнятся условия 2)-4) u р » 2. ГогДа: 1. Нормальное решение f* (. Хг(П) уравнения (23) для .Wotl функции Ф^ g ''f/2^,,) существует, единственно и яв.шется устойчивым по. отношению к малым в норме Гг^ \а (Q) возмущениям внешнего потенциала Ф , не выводяи^хм Ф за пределы V?.'2 (П ) П

в е 1 il в

ff2,2^ ). 2. Решение ftl? (О) уравнения (28) принадлежат К2 (П) тогда, а при выполнении услович 6) и только тогда, когда f является нормальным решением уравнения (28).

Во второй части §4 обратная задача I.I рассматривается как объект приложения обобщенной теоремы Пикара о разрешимости в Гильбертовом пространстве операторного уравнения 1-го рода с несамосопряженным ядром (точную формулировку теоремы Пикара см. в [18, с.1211). С этой целью ьместо оператора

- у2-г(1» с

рассматривается вполне непрерывный оператор

А^.Х н ¿г(П) — Y н b2(Q), (32)

формально определенный той же формулой, что и оператор Аа, а вместо уравнения (28) рассматривается уравнение

UyfHz) = Фв(г), х € £?. (33)

где Q с !1 произвольное открытое ограниченное множество. Пусть

Ufc), (ф^) U {ф'г) с U (ф'г) с у (34)

сртонормированнэя сингулярная система оператора . Здесь ф'г (либо ф'г) собствеюше функции из ядра лег ^ (либо Кег Л*). Из них, в частности, функции описывает неизлучающие плотности. Разложим функцию Ф^ по орт^нормированному базису {<р }1Я(р^} € Г:

\(у) - S "Т. b^iy). (35)

& 1

Теорема 4.7. Уравнение (33) с вполне непрерывным

оператором уЦ идеей реиеиио / * X тогда и только тогда, когда коэффициенты. (Ь^) и (Ь'г> разложения (35) правой часта Ф^ удовлетворяют, условиям

и; ь-, - о, г » 1.2,...; пи £—£—<» (зв)

Ч .

При том решение / определяется формулой

Г 1х) « Е х5 Фк(;г> + 2 (37)

к лк * I ' '

гОе а^ ( С - произвольные постоянные, обеспечивающие сходимость

второго ряда б (37). Норжиъное решение /* « X уравнения (28а)

еОинст&енно и определяется формулой

/+<*> - Е т- Фь<х). (33)

к к

Основываясь на формуле (38), можно построить численный алгоригм нахождения (нормального) решения обратной задачи 1.1. Однако, его реализация требует нахождения сингулярной системы оператора , что представляет собой сложную вычислительную задачу даже для областей О простейшей формы, например, шара в К3 или круга в К2 (см.118)). Однако, в одномерном (плоском) случае сингулярная система выписывается в явном виде. В предположении, что искомые источники распределепы в интервале (-о,о) оси х с плотностью } (. Ьг(-о,о), а внешнее поло клмеряется на интервале (а,Ы при а > о, одномерная обратная задача 1.1 списывается уравнением

и

и,/)(х) - Гс(х-у)/(у)ф - ®в(х). х е Са.Ы. (39)

-а

Здесь С(,г) - сингулярное'' решение одномерного оператора Гбльмгольца:

яг

Просюй анализ показывает, что существует лишь одно ненулевое сингулярное число X, оператора Л,, так что гапР. А^ - 1. При этом'

о, (У) Ч>, (X) . (.0)

Таким образом, если в просгра! ^тве I ( о,о) ввести ортонормированьый базис

Ф,<1/> - Фг(У).....Фп(у>.---.

то все базисные функции, кроме пс вой ф., описывак "неизлучачцие" в К1 плотности. Анало ччнне результаты

устанавливаются и для одномерного сферического и одномерного осеоимметричного случпев.

В § 5 исследуется экстремальная обратная задача 1.2, рушение которой фиктич^ски является псевдорешонием уравнения (28). Приводится ряд утверждений о разрешимости указанной задачи в разны;. функциональных прострннстьах. В частности, доказана Теорема 5.2. Пусть X - LP(C», Y = ft2, P(Q) u J.^ : X —Y-непрерибш/й оператор. При выполнении услои>м1 2) ~ 4), 6) псевЗсряшение / i X уравнения (28) существует при любой правой части Ф с Y.

В гл. 2 рассматриваются нелинеШт-ю обратные задачи 2.1 и 2.2. Исследование их разреаимоети при Х> = S13 проводится по следущей схеме. Пусть 2 - единичная сфера, описываемая в с4 .рических координатах (г, 9, <р) формулой

2 = (х = (г,о) € К3: г--1, о = (0, <р), о ^ 9 «í 1с, 0§р<гчс}, Я" » И"(2), э > 1 - пространство Соболева функций — К с нормои Из теорему вложения следует, что при я> 1 каждая

функция иеЯа(£). является не1трерывной. При этом

»UIC(2) « CJule V "

Здесь Сз - постоянная, не зависящая от и, но зависящая от з.

В пространстве На(Я) вводится выпуклое замкнутое множество К = К* = (г>гЯв(2): V>0, lvlg < if), я>1, где постоянная ií выбирается из. условия CJÍ <R. Здесь R - радиус шара, входящего в постановку задач 2.1 и 2.2. На множестве К вводится н)линейньй (интегральный) оператор л : й"(2) —• I?{Q), действующий по формуле

ule)

Ш)(х) = j G(x,y)/(y)dy= Г Jc(x,t/)/(t/)r2£i-do, i/=(r,o). ßu ¿ °

Здесь

Пи - {у - (r.o): о < г < ua, оШ. ua - u(c), (41) По своему физическому смыслу оператор Л ставит в соответствие каждой функции потенциал поля, излучаемого парой (Пи,/), т.е. дает решение прямой задачи излучения звука объемными источниками,.распределенными в fiu с плотностью

Обозначим через Т множество односвязных звездных относительно начала координат .0 областей, границы которых описываются функциям и ( К. Из постановки задачи 2.1 вытекает, что в указанном классе Т она эквивалентна задаче нахождения решения и нелинейного операторного уравнения 1-го рода

MuJ(J> - Z(B&. (42)

При этом отввчвщая решению и уравнения (42) область являющаяся рвщ^нгюм задачи 2.1, восстанавливается по и с помощью формулы (4!).

Введем функционал J : Н"(2) — К, действующий по формуле

J(v) » - CJ2 « j*lAi - ®0)2cir.

Q

Тогда задача 2.2, рассматриваемая в классе эквивалентна нахождению функции иеК такой, что J (и) < J(v) V шК.

Решение задачи 2.2, если оно существует, не обязано Сыть единственным, поскольку функционал J не является строго выпуклым. Для уменьшения класса возможных решений задачи 2.2, вводится понятие w-нормалыюго решения задачи 2.2, под которым, понимается решение и^ задачи 2.2, удовлетворяющее условию |U -1у| § ]u~w\

1 о 'в * 'в .

Здесь U€ft - произвольное решение задачи 2.2. Наряду с задачей 2.2 минимизации функционала J рассматривается вспомогательная (регуляриэованная) задача

Ja(v) = J(v) + aju - vf* — inf. vtK (43)

минимизации отабилкзируищаго для J функционал? Ja. Здесь и ранее икНе - произвольный фиксированный элемент. Для краткости на задачу минимизации (43) будом с спаться как на задачу 2.3.

Введем обозначения

J* « tnf J(V), VtK\ J* - inf JJV), ViK.

Пусть выполняются условия

(«)ВП!3-0, /tC(H>, QoiLZ{Q).

В §f 2-4 для задач 2.1-2.3 доказываются следующие утверждения.

Теорема 2.1. При выполнении условий (t) существуем, по крайн.й мере одно решение utK задачи 2.2.

Теорема 2.2. В услобилх теоремы 2.1 существует по нрайнеЛ мере одно решение иаеЯ задачи 2.3.

Теорима 2.3. В мелодиях теоремы 2.1 для лг1ого элемента т.Н" существует иакич последовательность иа-, а'-О решений задами 2.3 и танов и> - нормальное ¡зешеъ^в и аадани 2.2, что и .—• ио сильно в Иа (2). а'—» 0.

Kpo.te тога,

J* —• J* при.а —> 0.

Следствие 2.2. В условиях теоремы 2.1 для когоого элемента

ю(На существует по крайней мере сдно и-норшальное решение задачи 2.2.

Обозначим через Н множество всех Функций тН" (2), для которых V) - нормальное решение ио задачи 2.2 единственно.

Теорема 2.4. 3 условию теоремы 2.1 множество Н плотно в пространстве Н"(2).

Пусть Р[х.у) = С(х,у)/(у)|у]г, у£ = (о,и(о))„ 0€2,

7[2,ц,М(х) = | Р(х,у£)Лааз = | С(х,у£)/(г£)гфу1а, Гхд * П(а).

Лемма 3.1. При выполнении условий а) оператор А (непрерывно) дифференцируем по Фреше б каждой точке иеК. При этом А' (и)Л = ПЕ.и.Л]. (44)

Лемма 3.2. При выполнении условий (I) функционал •7 (непрерывно) дифференцируем по Фреше в ¡сажОсй точке исК. При этом

<■Г (и).П> =■ 2Ке(/к-Фо ,7[2,и,Ь)> = = 2Не |[|о(х,ур/(у")и^у1о' (ЖЗГ](х)с*г. '

Положим

игд^их) хаи3.

о

Теорема 3.1. При выполнении условий. (1) в каждой точке иеК. являщейоя решением задачи 2.2, выполняется вариационное неравенство

<«Г (и),и-и> а 2Не Гигд,ЖЛГ](уи;/(у^)и2(и -ип)йэ}0 (45)

т1 О С7 СУ С ^ О

Отдельно рассмотрим случай, когда решение и задачи 2.2 является внутренней точкой множества К-в том смысле, что

и(о) > 0 на 2, |и{в< У. (46)

В этом случае неравенство (4.5) переходит в равенство

Ие ГшЯ.ЖмЗП (уи)/(у^)пгПсЗа =0 ШНЯ.

тг О О (7 О^ о

Последнее в силу произвольности Л имеет м&сто тогда и только тогда, когда выполняется условие

Не {Ш0,ЖНГ)(у)/(у)> = О на Гц, выражающее по своей сути равенство нулю градиента «Г (и) во внутренней точке минимума иеК функционала «7.

Пусть и(К - произвольное решение задачи 2.2, Ги - отвечающая ему поверхность, Пи - внутренность Г . Введем функцию

3(х) =иГЖДГТ(х), (47)

имеющую смысл невязки уравнения (42) на квазирешен*ш и, т.е. разности поля, создаваемого парой и заданной функции

Ф, (х). Положим

Ф(у) = ШЯ.ЖГЗГНу) = ^G(z,y)g(x)dx, ytK3. (48) Q

Лемма 4.1. Пусть выполняют .я условия (I ). Если для р&иения и задачи 2.2 выполняются оценки (46), то потенциал Ф, опреде.кяежий формулами (47), (49), удовлетворяет на границе области О , отвечающей решению и, условию Ее(Ф7Ч.у)-0, у(?и. Теорема 4.1. Пусть наряду с (i) выполнится условия: (ti) / > 0 в В; (lit) кг > О, З^С0'1. ФQtV?(Q) и пусть существует решение и задачи ?..2,удовлетворявшее условие

(iv) и>0 на 2, lui < U;

0

(v)k не является собственным значением оператора -Л в Пи. Тогда функция и необходимо удовлетворяет, уравнению (42),

где Ф^ - аналитическое продолжение функции Фо на В.

По аналогичной схеме исследуются задачи 1.1 и 1.2 на плоскости [251, либо в пространстве п измерений.

Важную прикладную роль в теории процессов излучения играют нелинейные задачи син^за излучающих систем и фазовые проблемы. Нелинейные задачи синтеза возникли в связи с тем, что на практике часто требуется синтезировать лишь одну (обычно амплитудную) компоненту диаграммы направленности, а также в связи с необходимостью учета дополнительной информации о решении задгчи синтеза. Причиной появления фазовых проблем явилось несовершенство физических приборов,. которые могут измерять только интенсивность излучения. Поэтому целью фазовых задач является восстановление утерянной при измерении фазы чисто математическими методами. В отсутствие эффектов дифракции нелинейные задачи синтеза и фазовые прс с.' -иш математически тождественны, т.е. описываются одними и теми же уравнениями. Соответствующее уравнение имеет вид

IJe4^^^2 = f-(y), х=(:г,,.-.,хп). у=(у,,• • • (49)

п

для общей фазовой проблемы либо нелинейной задачи синтеза и

' = ГЧу) (50)

п п

в случае частной фазовой проблемы либо смешанной задачи О

синтеза излучающих систем Г18). Однако, между указанными

зедачами имеется и существенное различие. Оно заключается в том, что фэзовые проблемы возникают при получении информации об исследуемом объекте, тогда как задачи синтеза относятся к задачам проектирования. Поэтому, если для фазовых проблем вежю;м является доказательство единственности решения, то для задач синтеза важным является установление существования решения при возможной его неединственности. С учетом этого в гл. 3 основное внимание уделяется исследованию существования решения нелинейной смешанной задачи, описываемой уравнением (50). Попутно отметим, что исследованию единственности общей и частной фазовых проблем посвящено большое количество работ. Обзор некоторых из них можно найти б [18].

Приведем некоторые иэ теорем, доказанных в гл. 3. (см. также (1,3,5,6)). Рассмотрим сначала случай п = 1. Пусть К -пространство ьещйстьеннозначных функций из 1а(-о,о). Введем пространство Винера 17 , состоящее из всех функций класса Ь2(-а>,со), являющихся сужениями на вещественную ось целых аналитических . в комплексной плоскости (С функций f экспоненциального типа С с. Через W* и обозначим,

соответственно, пространства четных и нечетных функций из класса W , вещественных на вещестьонной оси.

Теорема 2.3. Уравнение (50) при n = 1, П = (-о,о) имеет решения vtX тогда и только тогда, когда правую часть Z2(у) можно представить в виде

f(y)=fe(y)+f0(y), (51)

где f € fa € И^. При этом существуют по крайней мере четыре решения уривнения (50), "меющие вид u12U) = ±ruj.x) + TJ0(.r)J, = i [ue(x) - Uq(X)].(52)

Здесь функции vg и vq определяются по и /о формулами

vjx) = ±ffe(y)coaxydr, v) = íjfo(y)8tnrydT. (53)

о о

Теорема 2.4. Пусть /*(у) = (у), где fo * W^, ,0 < о' < о произвольная функция. Тогда уравнение (50) имеет однопараметричеснэе семейство решений вида

г/j1 г(лт) = ♦ UF(x-a), а ^ R, ¡а| < о-о' , (54) где функция v^ определяется по первой формулой в (53).

Рассмотрим теперь случай п > 1, при этом в уравнении '50) удем считать неизвестной не только функцию и, но и саму

область П. Пусть Ъ - некоторая ограниченная выпуклая область в Кп, имеющая смысл области ограничений на П . Будем считать ее симметричной относительно всех осей. Через Нв(А.) обозначим опорную функцию области 0, определяемую соотношением

Я (А.) = аир Я-х, Я ? Ш". (55)

Через 17п обозначим подмножество классе целых аналитических функций гкспонэнциального типа в С", состоящее из функций Р, Р-индикатор 11?{к) которых удовлетЕЮряет условию

Пр(\) < /уЯ). . Я € К". (56)

Рассматривая для конкретности случай п = 2, обозначим через ГС**,

и ортогональные подпространства пространства Г>0, состоящие соответственно из функций, четных по х( и ха, четных по .гл и нечеттлх по хг, нечетных по х( и четных по хг, наконец, нечетных по х1 и х2. Решением уравнения (50) назовем такую пару (0,г»), где П I- £>, что V с X = Ьг(£>). П является выпуклым носителем функции V и тождественно удовлетворяется уравнение (50).

Теорема 3.5. Ураднение (50) при п =* 2 млеет решение (О, и) тогда и только тогда, когда правую часть (у) ложно представить 6 виде

- 1/„<!/> - /<)0(У>>2 + + Гов(У»гЛ57)

¿~!е / е й^, а,р = е,о. Щи этил решение у имеет вид

и(х) = уея(х) + ^0(х) ♦ иов(х) + ч;оо(х), (53) где, ,б частности,

<х> * 7~г Г )соаг,у.созх?уг<2у,(1у2. (59)

К2

а £< определяется как выпуклый носитель функции (58).

Пусть далее 5 - произвольная симметричная выпуклая облас :ь, для которой р(0С .¿10) > б > 0.

Теорема 3.6. Пусть ^ = гЗе /в € й'^. - произвольная

функция. Тогда существует п-параметричесиое семейство решений

ура&шния (50), имеющих СиЗ гбе гР » V (х - а), П* -

сдбиг множества 0 на а, а пара (Пв,У9), а ? Кп, |а| < е,

определяется по / формулами

Н (Я) « Л (Я). Я € Кп, » 'в

. —~Г соа(х1у1)соэ(х2уг)---совСхг.уг1)с((/. (60)

рП

В гл. 4 рассматриваэтся обратные задачи излучения звука дискретными антеннами, расположенные в регулярном акустическом волноводе. Исследуются вопросы, связанные как с разрешимостью указанных задач, так и с разработкой эффективных методов их решения. Глава состоит из четырех параграфов.

В § ¡.написанном по материалам работ 117,24].изучается спектральная задача для одномерного оператора Гельмгольца с разрывными коэффициентами. Указанная задача описывается соотношениями

+ 1кг<-2) ~ ^ = 0в <р(0) = О. (62)

- лр(ят) 1 ар(и*>

<р(Г.) = <Р(Н ), -1---=. —I---ГЦ ./=?.....г-Ь (62)

р(^) ^ рсхр аг-э£п(Зф(Я) +■ созр<р'(Я) =0, ре [0,1С/2]. (64)

Здесь смысл всех обозначений указан в § 1 гл. 4. В частности, условия (62) и (04) моделируют краевое условия на Еер„.юй и нижней границах - О и г - Н регулярного акустического ьолновода 0, соответственно, условия (вя,) имеют смысл условий сопряжения на границах раздела среда г = ЯJ, J = 1, 2, ..., А'-?. Отметим, ^о задача (61)-(б4) являемся самосопряженной при ае = 1тпкг = 0, т.е. в отсутствие поглощения в рассматриваемом волноводе д, и несамосопряженной в противном случав. В случав И = «>, (отвечающем волноводу О бесконечной глубины), условие (64) следует заменить условием излучения типа Зоммарфельда, которое формально запишем в виде

Ф € ЗК(0,оо) при г —» (64а)

Соответствующая этому случаю спектральная задача (61)-(64а) относится к классу сингулярных спектральных задач.

Сначала рассматривается несингулярная спектральная задача (61)-(64). Предположим, что выполняются условия р(2) ? ро > О, с(2) » со > О на 10,Н1; р(г).с(г) е Х°°(П,Я).(65) Хорошо известно (см., например, (141), что при выполнении условий (65) существует счетное множество собственных значений ¿^ и функций <рп самосопряженной спектральной задачи (61)-(64), причем £2 можно занумеровать так, что выполняется условие аир ' Пкг(г) > ^ > 4 >-"> ?м > 0 > (бб)

г 6 [ о, я ]

Здесь И 2 0 - некоторое число, зависящее от исходных данных задачи (61)-(64). Для нахождения ^ г <рп в 5 1 развивается быстрый численный алгоритм (Алгоритм 1),позволяющий находить их фактически с лю^ой (в пределах возможностей ЭВМ) заданной степенью точности. Основу его составляют:

1) дискретизация дифференциальной спектральной задачи (61) - (64) на определенной последовательности разностных сеток шП}, I = = т, 2,... методом конечных разностей с помощью наилучшей разностной ^емы 2-го порядка точности.

2) решение сеточной несамосопряжезшой спектральной задачи на основе ££-алгоритма со сдвигом нахождения комплексных собственных значений неермитовой матрицы.

3) уточнение решений сеточных спектральных задач, построенных для указанной последовательности разностных сеток, путем применения процедуры экстраполяции по Ричардсону.

Приводятся две теоремы, которые при определенных условиях на коэффициенты задачи (61) - (64) гарантируют в случае самосопряженной спектральной задачи (61) - (64) сходимость данного алгоритма с порядком 0(Пга), где в - количество (вложенных.) разностных сеток. Последнее позволяет определять собственные значения и функции самосопряженной спектральной задачи (61) - (64) с достаточно высокой точностью, зависящей от количества а используемых разностных сеток. При этом уверенность в правильности их вычисления обеспечивается с одной стороны „казенными теоремами, а с другой стороны - сравнением найденных значений для нескольких сеток. Данный алгоритм применим и в несамосопряженном случае, когда, в частности, собственные функции являются комплексными. Однако уверенность в правильности решения спектральной задачи в этом случае может быть обеспечена лишь путем (многократного) сравнения собственных значений и функций, вычис^ них для разных разностных сеток.

В случае сингулярной спектральной задачи (61) - (64а) предварительно осуществляется переход от исходной задачи (61) -(64а) к несингулярной задаче (61) - (64), рассматриваемой на конечном интервале 10,Ю. Предположим, что

р(г) > рп> О, с(г) > со > О, эг - О на (0,со];

р(г-), с(я)°€ ¿"(О,®), (67)

lim c2(z) = of < J |Дг(2) - k-Jüz < <», lim = (68)

г-*» o

При выполнении условий (67) существует счетное множество собственных значений я X® и функций ф^ несингулярной задачи (61) - (64), причем л.я можно занумеровать так, что

«€(0,ff]l с (2/ с

оо

Здесь 2Í - некоторое целое число, зависящее от й. Если к тому же выполняются условия (68), то начиная с некоторого Н число U перестает зависеть от Н, причем первые И собственных значений л/[ нисингулярной задачи (61) - (64) (при любом ß е; (0, тс/2 i стремятся при Я — га к соответствующим собственным значениям Лп дискретного спектра исходной сингулярной задачи (61) - (64а) [14, с. 162], для которых выполняется условие

—г^- >*•,>•••>**> -4-. (То)

seto,», с2(2) Í ÍT

» CT

Аналогичный факт справедлив и для собствджшх функций qr (z)

задачи (61) - (б4з).

Основываясь на приведенном свойстве дискретного спектра

задачи (61) - (64а), в § 1 предложен слодующий алгоритм

(Алгоритм 2) его нахождения. Сначала с помощью Алгоритма .1

вычисляются с достаточно высокой точностью первые И собственных

значений X® и собственных фупкцгй ср^(г) несингулярной задачи

(61) - (64) для различных глубин Я и разных типов краевого

условия при г = Г, отвечающих, например, жесткой (ß = 0), либо

мягкой (0 = г/2) нижней станке z = Н. Далее производится

сравнение найденных значений Х^. Если разность сравниваемых

значений л® цри каждом п ^ Г оказывается меньшей заданного

уровня погрешности s, то их совпадающие цифры и выбираются в

качестве верных цифр соответствующих собственных значений

исходной сингулярной задачи (61) - (64а). В противном случае

выдается кзформа^дя о невозможности нахождения собственных

значений Хп с заданной точностью е. По аналогичной схема

вычисляете.. верные иифш значений собственных функций ф (z) в ht '

узлах грубой- сэтки и . В конце параграфа (см.также tl6,¡7,24J) приводятся некоторые результаты таолонных аксдергс/.ентов.

В § 2 рассматриваются обрагше экстремальные задачи излучения звука для плоского и осесимметричного регулярных волноводов. Указанные зядпчи заключатся в активной минвмиз.' дай

Ч71>

в дальней зоне волновода мощности звукового поля, создаваемого шумящим объектом, либо в максимизации мощности, излучаемой дискретной аьтенной. Пусть

Ь = { ж = (х,2): О < г < Н, - »< х < со) регулярный плоский волновод с параметрами р(2) и с (2), удовлетворяющими условиям (65). Введем 2 « V- матрицу (решетку)

К". .: ,

и обозначим через - е Иг отвечающую

решетке % дискретную антенну, состоящую из V монополей с плотностью

к

г-г ). (72)

<)_1 ^

Положим

Г* « {(х,2) с 0: х = х+ > х^, ^ =1,2.....М,

О*" - Пх,2) е х > х*}. ' Известно (см., например 114,22)), что поле, создаваемое парой (¡5,4), имеет вид

Р(Х,2) « 4 2 9?- Фп(2)еар(.<С_(73)

р *" п=1 *п

где и <рп(2), п = 1,2, • • • - собствецш."! значения и собственные функции спектральной задачи (61) - (64)

- ^ 2 9= <Т4>

'п о

В соответствии с физическим смыслом и 122) назовем мощностью, переносимой произвольной звуковой волной р через участок Г+, число

Ж£1513^1]®. (75)

г* ,

Рассматривая здесь для конкретности сяучей, когда 1тк » 0.

введем п-ю нормальную моду

Пусть в дополение к (56)

Рп * 2 ^ мр(1?„х). (76)

^ > 0. (77)

Георема 2.1. При бшодненш условий Сбб;, (77) справедлива формула

-ав-{ О?'

п > м.

Теорема 2.2. В условиях теоремы 2.1 ряд (73) айсолхжю и

равномерно вместе с производной по х сходится в D* и справедлива формула

иг(р) - I >(pn> = ® 2 (78>

п= 1 „ „

Введем в рассмотрение комплексные пространства 4г и Ir со

скалярными произведениями и нормами (p,q). |pj и ((b,c)), |lb]j

соответственно. Обозначим через А : С* — Iм прямоугольную М »

tf - матрицу с компонентами

4»n(«j>«4><-1?п*,>- (79)

О учетом обозначений (74), (79) формулу (78) можно переписать в виде

w - яг Z I = аз I I2- (80>

п=1

Если в правой зоне О, кроме поля (73).излучаемого антенной

(Z.q), присутствует также поле 1 00 ,

р (х,г) = - 2 Е УГ" Pn <Р_(з)е.зр(1е *), ^81)

rv=1

создаваемое некоторым иушицим объектом, то мощность /Г » У(р + рь') суммарного поля (р f рь) равна

"(Р < Рь' * к i°n-Pnl2^n - ssi 1АЧ - <82)

Здесь b = {bf,...,bMJeC^*- заданный вектор с компонентами bn = 7лРп. Считая далее фиксированной решетку Z, шрепиием соотношения (80) и (82) в виде

Л (р) « CJ0(q), Л(р + рь) = OT<q), С - (83)

где

J (q) - |Uq)|2 «= (U*/iq,q)), <T(q, = ¡Mq-bl!2. (84) Обозначим через В шар в id", состоящий из векторов q, удовлэтворящих условию

iq[2 - 2 <я,\г <85>

Рассмотрим следующие два экстремальные задачи.

Задача 4.1. Для заданных решетки 2 и поля рь найти решение задачи минимизации

J4q) - in/, q € В. Задача 4.2. Для заданной решетки Z найти решение задача максимизации

JQ(q) - mar, q « В. Пусть г - ranie А « mtn(*,H>, - сингулярная

система матрицы А с нормировкой

14*1 = п = 1.2.,.,.Я; |1Ьп1| - <}о, п = 1.2.....и.

В силу свойств сингулярных чисел решение задачи 2 выписывается в виде

Далее с использованием аппарата сингулярного разложения прямоугольной матрицы, проводится теоретическое исследование задачи 4.1, включая изучение ее разрешимости, т.е. существования, единственности и неединственности решения. Последнее связано с наличием так называемы?- неизлучающих (в дальнюю зону) дискретных антенн. Показывается, что решение

задачи 4.1 определяется формулой

ф * {т

Здесь ¡л = ((Ь,Ь ))/0?, а параметр (регуляризации) а

п -----fl

определяется из условия

4 2

- 1] = О. (88)

При этом

п

.г, л

и _ , г Inj'*." р

Inf JW = = £ + 2 -фг-s <30? (89)

Основываясь на приведенных формулах, далее развизается численный алгоритм (Алгоритм 3) решения задач 4.1 и 4.2. Он включает в себя "етырб этапа.

1. Вычисление собственных значений С2 и собственных функций <рп(з) спектральной задачи <1.1)-(1.4) (либо сингулярной задачи (1.1)-(1.4а), если' волновод О " D имеот бесконечную глубину.

2. Формирование прямоугольной Я*гГ-ма'.?ицы А ■= ((,anJ)) о компонентами а^ (и вектора b = (bt ,b2,.. , с помощью формул (Т9) для плоскс.'о и соответствующих формул в случае осесиммэтричксго волновода. Нахоздэние сингулярной системы

матрицы А.

3. Нахождение параметра регуляризации Л. Последний выбирается либо как положительный корень нелинейного уравнения

г *.г!и |г

либо тюлатаоточ ранннч vymn в отсутствие вещественных корней

уравнения((90).

4. Нахождение решетя задачи 4.2 по формулам

о " о,, Л = ЯП «/■ = ип <91 >

^ м тот ЬЫ стог . ОШ 1 о 4 '

и решения задачи 4.1 по формулам (87), (89).

Приводится Теоретическое обоснование данного Алгоритма и в заключение обсуждаются результаты некоторых вычислительных экспериментов по минимизации звуковых полей в плоских и осесимметричных регуляр'шх волноводах. Подробное описание указанных результатов можно найти в (20,23,26).

Далее в § 3 развивается численный алгоритм (аналогичный Алгоритму 3) решения обратных экстремальных задач излучения звука в трехмерном регулярном волноводе. Наконец, в § 4 разрабатывается числешшй алгоритм решения обратных задач синтеза декретных антенн, расположенных на криволинейных поверхностях, с учетом иКектов дифракции на (криволинейном) экране. Результаты реализации данного метода в случав цилиндрического экрана и £йз.!ЧескиЛ анализ полученных решений можно найти в (4,7].

Результаты работы отражены в Б2 публикациях. Основные

результаты изложены в следующих работах.

1. О некорректности нелинейного операторного уравнения 1-го род£, те орта синтеза антенн // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1979. Т.19. * 6. С. I59C-I595.

2. О применении метода В.Л.Иванова при решении задач синтеза антенн // Дифференциальные уравнения и функциональный анализ. Владивосток : ДВНЦ Ali СССР, Ï98C.

3. О неединственности решения смешанной задачи синтеза линейного излучателя // Изв. вузов. Радиофизика. 1980. Т.23. JK0. С. 1?,45-1249. (Соавт. Лихапкий В.Н. )

4. Результаты численного решения смешанной задачи синтеза акустических антенн на цилиндре // Изв. вузов. Радиоэлектр. 1981. Т.24. » 3. С. 81-85. (Соавт. Тахтеэв В.А.)

Б. О существовании решения смешанной задачи синтеза излучающих систем на плоскости // Динамика сплошной среда. Новосибирск: ИГ СО Ait СССР, 1981. Вып.53. С. 6-11. (Соавт. Лихацкий В.Н. ).

'6. К теории многомерных задач синтеза излучающих систем // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1Э82. Т.22. * 3. 0. 663-670.

7. Численное решоние некорректной задачи синтеза кольцевой осеакметричной дискретной антенны в цилиндрическом экрана // Акуст. жури. Т982. Т.£8. А 2. С. 150-155.(Соавт. Корочеы-цев В.И., Тахтеев В.А.).

8. О разрешимости обратных задач излучения звука // Теория и метода решения некорректно постеленных задач. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, IS83. С. 82-87.

9. О некоторых обратных задачах излучения волн // Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, т984. 218-220.

10. Математические основы синтеза излучь«лцих систем. Владивосток: Изд-во Дальнввоет. ун-та, 1984. 112с.

11. Обратные задачи акустического потенциала // Ж. вычисл. матем. и мчтем. физ. 1985. Т.25. JS 8. С. 118^-1199. (Соавт. Чеботарев А,Ю.).

12. Численное решение обратных задач излучения звука в океане // Численные модели гшамшеи атмосферы и океана. Новосибирск: ВЦ ПО АК СССР, IS87. С, 67-73.

13. Численное решение обратной задачи и эл., шнад звука поверх-

ностккми источника?«! // Электромагнитные и акустические процессы в океане. Владивосток: Лзд-ео Дальневост. ун-та, 1987. С. 154-172.

14. Математические основы акустики океана. Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 1988. 228с.

15. Плоская обратная задача теории акустического потенциала // Условно-корректные задачи математической физики и анализа / Под ред. Лаврентьева М.М. Красноярск: Изд-во Красноярск, ун-та, 1988. С. 3-9.

16. Быстрое вычисление звуковых..полей в многослойных поглощающих волноводах. Владивосток. 1990. 45с. (Препринт / ИШ ДВО АН СССР). (Соавт. Комаров Е.Г.).

17. Быстрый алгоритм вычисления собственных зкачетшй для многослойного поглощающего волновода // Акуст. ж. 1990. T.3S. Вып.6. С. 965-972. (Соавт. Комаров Е.Г.).

18. Обратные задачи излучения волн и теории сигналов. I. Владивосток: Кзд-во Дальневост. ун-та, 1991. I3Sc.

19. Обратные задач-j излучения волн и теории сигналов. 2. Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 1991. 140с.

20. Численное исследование экстремальных задач теории излучения звука в плоском волноводе // Математическое моделирование. 1991. Т.З. Я 12. С. 52-63. (Соавт. Комаров ЕЛ'.).

21. О некоторых обратных задачах волновой акустики океана. // Проблемы математического моделирования. Владивосток: Изд-во ДВО РАН. 1991. С. 132-145.

22. Экстремальные задачи теории управления звуковыми полями в регулярных волноводах: Препринт. Владивосток. Ш1М ДЕО РАН, Г992. 32с*

23. Численное исследование экстремальных задач теории излучения звука в регулярных волноводах: Препринт. Владивосток. ИШ ДВО РАН. 1992. (Соавт. Комаров Е.Г.).

24. Несамосопряженная сингулярная спектральная задача для оператора Гельмгольца с разрывными коэффициентами // Ж. вычисл. матем. и матем, физ. IS92. Т.32. » 4.(Соавт. Комаров Е.Г.).

25. Нелинейные обратные задачи аустического потенциала на плоскости // Динамика сплошной среди. Новосибирск: ИГ СО РАН, 1991. ВыпЛОЗ. С.3-14.

26. Об активной минимизации звуковых полей в трехмерных волноводах // Динамика сплошной среда. Новосибирск: ИГ СО РАН,

1992. Biffl.IOS.

27. Alekaeyev G.V. Numerical simulation of the sound iield of the oscillating surface In Irregular waveguide by finite element method // Proceedings of the "econd Japan-Soviet Union Joint Symposium on Computational Fluid Dynamics. Tsukuba: "he University of Tsukuba. Japan. 1990. P. 201-208.

28. Alekaeyev G.V., Chebotarev A.Yu. Nonlinear inverse problema of acoustic potential // Ill-Posed Problema in National Sciences. Proceedings of the Inteinational Conference Held in Moscow

- August, 19-25, 1991. Editor, - in - Chief A.N.Tikhonov, 1992. VSP/TSP. P.227-232.

29. Alekseyev G.V. Numerical analysis of optimal control problems for the stationary Navler-Stokes equations. Book of abstracta of the Third Russian-Japan Joint Symposium on Computational Fluid Dynamics Held in Vladivostok - August 25-30.

1992. P. 77-78.

30. Alekseyev G.V., Chebotarev A.Yu. Some extremum and unilateral boundary value problems in viacoua hydrodynamics. International Series of Numerical Mathematics. 1992. V.106. Birkhauser Verlag Bajel. P. 1-11.

31. Alekaeyev G.V. Some inverse extremum problems of the sound radiation in two-dimensional regular waveguides. Proceedings of the International Conference Held in Novosibirsk

- June, 2-6, 1992. Editor - in - Chief Ji.tf.lavrentiav,

1993. VSP/TSP.

Подписано к печати 15.11.92 г. Формат 60«84/16.

Печать офсетная. Усл.п.л. 2,2в. Уч-изд.л. 2,15. Тирах 100 экз. Заказ .13-1. Бесплатно.

Отпечатано в офсетно-ротапринтном цехе РИО ДБО РАН