Алгебраические операции над ортогональными рядами в задачах обработки данных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

на правах рукописи

ПАНКРАТОВ АНТОН НИКОЛАЕВИЧ

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОРТОГОНАЛЬНЫМИ РЯДАМИ В ЗАДАЧАХ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ

Специальность: 01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ПУЩИНО • 2004

Работа выполнена в Институте математических проблем биологии Российской Академии наук

Научные руководители:

доктор технических наук, профессор

Флоренц Фёдорович Дедус

доктор физико-математических наук Виктор Дмитриевич Лахно

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Владимир Владимирович Смолянинов

кандидат физико-математических наук, доцент

Сергей Исаевич Гуров

Ведущая организация: Межведомственный суперкомпьютерный центр Российской Академии наук

Защита диссертации состоится 2004 г.

в на заседании диссертационного совета Д002.017.02

Вычислительного центра им. А.А. Дородницына РАН по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, ул.Вавилова, дом 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ РАН.

Автореферат разослан 2004 г.

Учёный секретарь диссертационного /I )А .л уч совета Д002.017.02, д.ф.м.н. М }'АЧС/^" Рязанов В.В.

Актуальность темы исследования

Предпосылкой рассмотрения алгебры отрезков ортогональных рядов является развитие и внедрение в практику спектральных методов для решения различных задач обработки информации. В последнее десятилетие эти методы особенно актуальны в связи с проблемами передачи и сжатия данных. Спектральные методы предоставляют возможность эффективного адаптивного сжатия информации при допущении некоторой погрешности (сжатие с потерями) и дальнейшей интеллектуализированной обработки и преобразования информации.

При этом важной задачей является разработка методов обработки данных, альтернативных частотным методам Фурье, предназначенным в основном для обработки стационарных сигналов. Одним из типов нестационарных сигналов являются так называемые функции веса, или импульсные переходные характеристики, которые являются откликом изучаемой управляющей системы на импульсное входное воздействие. Функции веса представляют собой затухающие сигналы, которые аппроксимируются наиболее короткими отрезками рядов в базисе функций Лагерра. Другим важнейшим базисом в информатике является базис функций Эрмита, которые являются собственными функциями интегрального преобразования Фурье. Разложение сигналов по функциям Эрмита приводит к эффективному вычислению преобразования Фурье.

Отрезки ортогональных рядов могут выступать в роли универсального способа представления данных в дискретной форме, удобной для хранения и обработки на вычислительных машинах. В некоторых задачах обработки данных требуется осуществление алгебраических операций над функциями, представленными отрезками ортогональных рядов. Например, вычисление корреляционной функции требует перемножения образов Фурье. Вычисление дифференциала дуги одномерной кривой требует нескольких операций: дифференцирования, интегрирования, умножения и извлечения квадратного корня из ортогонального ряда. Изучение операции умножения рядов требуется также при построении методов решения дифференциальных и интегральных уравнений.

Алгебра отрезков ортогональных рядов имеет аналогию с машинной арифметикой, при которой происходит сокращение значащих цифр. Например, умножение отрезков рядов, при котором происходит проектирование на подпространство фиксированной размерности, коммутативно, но не обладает свойством ассоциативности. Другим важным аспектом умножения отрезков ортогональных рядов является вычислительная сложность и неоднозначность его реализации. Умножение можно производить, с одной стороны, в пространстве коэффициентов разложения, а с другой стороны, в пространстве функций дискретного аргумента. Поэтому интересно с теоретической точки зрения изучение переноса операции умножения из

одного пространства в другое и сравнение перенесенной операции с операцией умножения, которая определена исходно в этом пространстве.

Цель работы

Целью работы является исследование спектральных подходов с применением классических ортонормированных систем функций для решения задач обработки данных, приводящих к алгебраическим операциям над отрезками рядов. Основными задачами, которые были поставлены в ходе исследования, являются

1. Реализация алгебраических операций - умножение, деление, извлечение квадратного корня - над функциями, представленными отрезками ортогональных рядов.

2. Исследование возможности и точности аппроксимации сложных экспериментальных данных, представленных в дискретной форме, на основе классических ортогональных базисов.

3. Построение алгоритмов диагностики параметров систем по их импульсным переходным характеристикам.

4. Решение дифференциальных и интегральных уравнений на основе ортогональных разложений.

Методы исследования

В работе испрльзуются методы линейной алгебры, теории аппроксимации, теории функций и функционального анализа, а также численные методы решения линейных и нелинейных алгебраических и дифференциальных уравнений.

Научная новизна

Все основные результаты диссертации являются новыми.

1. Предложены два способа введения оператора умножения на функцию в конечномерном подпространстве гильбертова пространства, образованного отрезками ортогональных рядов. Доказаны теоремы и утверждения о спектральных и групповых свойствах введенных операторов.

2. Показано, что задачи нахождения отношения рядов и извлечения квадратного корня из ряда сводятся к соответствующим операциям над матрицами.

3. Разработан эффективный метод вычисления функций Лагерра и Эр-мита без ограничения на порядок полинома.

4. Реализованы квадратурные формулы Гаусса высокого порядка в целях вычисления коэффициентов разложения функций дискретного

аргумента в базисах функций Лагерра, Эрмита и многочленов Чебы-шева первого рода.

5. Найдены и классифицированы новые решения нелинейного уравнения Шредингера в задаче об электроне, связанном полярной диэлектрической сферой.

С. Предложен алгоритм диагностики управляющих систем по их импульсной переходной характеристике.

Практическая и теоретическая ценность

Диссертация имеет методический характер. Результаты работы могут использоваться при построении систем распознавания образов и анализа изображений, диагностики и параметрической идентификации управляющих систем, проекционных методов решения дифференциальных и интегральных уравнений. Результаты работы позволяют использовать спектральные методы обработки сложных сигналов, альтернативные методам, основанным на быстром преобразовании Фурье.

Результаты исследований воплощены в программный комплекс АДАП, который многократно использовался для аппроксимации экспериментальных данных (ядерного магнитного резонанса, акустических и сейсмических сигналов, биофизических показателей) и для поддержания практических занятий, относящихся к курсу "Обобщенный спектрально-аналитический метод" в учебном центре математической биологии Путинского государственного университета, а также на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова и на радиофизическом факультете Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского.

Одним из основных достижений является аппроксимация сложных дискретных сигналов, например, сигналов откликов импульсного ядерного магнитного резонанса (ЯМР), требующим высокой точности аппроксимации и большого количества (тысячи) членов разложения ортогонального ряда по функциям Лагерра.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на XI Всероссийской конференции "Математические методы распознавания образов" (г.Пущино, 2003); 7-ой Пущинской школе-конференции молодых ученых: Биология -наука XXI века (2003); о-ом Международном конгрессе по математическому моделированию (г.Дубна Московской обл., 2002); в-ой Пущинской школе-конференции молодых ученых: Биология - наука XXI века (2002); X Всероссийской конференции "Математические методы распознавания образов" (г.Москва, 2001); 5-ой Пущинской конференции молодых ученых (2001); XX Межвузовской НТК - (г.Серпухов, 2001); I Всероссийской конференции "Спектральные методы обработки информации в научных ис-

следованиях" (г.Пущино, 2000); Школе-конференции "Горизонты физико-химической биологии"( г.Пущино, 2000); Всероссийской школе-семинаре "Волновые явления в неоднородных средах" (п.Красновидово Московской обл., 2000); 4-й Пущинской школе молодых ученых, секция "Математическая и вычислительная биология "(г.Пущино, 1999); Международной конференции по физике кластеров (г.Пущино, 1997); 11-ой Всероссийской конференции посвященной памяти К.И. Бабенко (г.Пущино, 1996); Международной конференции по физике кластеров в (г.Пущино, 1996).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 23 работы и оформлено 1 свидетельство РОСПАТЕНТ об официальной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы

Диссертация имеет объем 105 страниц и состоит из введения, четырех глав, выводов, списка литературы из 95 наименований, и приложения с описанием процедур на языке программирования C + + .

Основное содержание работы

Во введении содержится обоснование выбранной темы исследования, её фундаментальности и актуальности как для вычислительной математики, так и для ее приложений в области информатики. В первой главе рассмотрены разные способы дискретного представления функций и методы получения этих представлений. Основными объектами исследования работы являются отрезки ортогональных рядов вида

образующих конечномерное пространство Ец и конечномерное пространство функций дискретного аргумента заданных на некоторой системе отсчетов

В задачах обработки экспериментальных данных представление (2) является исходным, и по нему необходимо получить численно-аналитическое представление в виде отрезка ортогонального ряда (1). Это преобразование содержит ряд неоднозначностей при его реализации:

• определение функции непрерывного аргумента по представлению функции дискретного аргумента (2);

• вычисление скалярного произведения посредством численного интегрирования.

Первая проблема, а именно, преобразование функции дискретного аргумента в функцию непрерывного аргумента, решается посредством выбора метода интерполяции данных. Вторая проблема, проблема дискретизации области определения функций непрерывного аргумента, неизбежно

возникает при численном вычислении интегралов и, в частности, коэффициентов разложения. Если первая проблема может быть решена выбором одного из нескольких возможных методов интерполяции, то вторая проблема в действительности подвержена жесткому требованию сохранения ортогональности системы базисных функций при дискретизации области их определения. При приближенном вычислении интегралов на некоторой сетке ортогональность базисных функций, вообще говоря, нарушается, а при разложении по системе неортогональных функций коэффициенты разложения не могут быть вычислены по обычным формулам, которые выведены в предположении того, что матрица Грама является единичной матрицей.

Реализация изоморфизма между пространствами при специ-

альном выборе последнего осуществляется с помощью квадратурных формул Гаусса

Равенство между интегралом и суммой имеет место при условии а(х),Ь(х) € Ек и определенном выборе узлов х> и весов Узлы квадратурной формулы являются нулями ортогонального многочлена степени К, соответствующего заданной весовой функции р{х). Формула (3) позволяет определить взаимно-однозначное соответствие между пространством Ек линейных комбинаций (1) и пространством функций дискретного аргумента на специально выбранной неравномерной сетке с сохранением скалярного произведения. При этом функции, заданной в узлах полинома степени К, ставится в соответствие единственным образом элемент пространства Ек- Значение квадратурных формул Гаусса заключается в том, что они позволяют ортогональной системе функций непрерывного аргумента поставить в соответствие ортогональную систему функций дискретного аргумента (на неравномерной сетке).

Общая схема получения элемента пространства Е,\ по элементу пространства имеет следующий вид

При вычислении коэффициентов разложения приходится переходить от исходной сетки, на которой задана функция (2), к сетке, на которой ортогональны базисные функции, причем . Этот переход осуществляется в результате выбора метода интерполяции. Задача аппроксимации означает проектирование на подпространство меньшей размерности

В первой главе также изложен оригинальный способ вычисления ортогональных функций Лагерра и Эрмита, позволяющий вычислять зна-

-1

(3)

Е& С Ек Уд/

(4)

чения функций практически любого порядка. Ортогональные многочлены удовлетворяют однородным разностным уравнениям вида

где - коэффициенты, не зависящие от В силу однородности

уравнения (5), ему удовлетворяют как полиномы, так и соответствующие им функции. Для прямого вычисления полиномов по этой формуле необходимо задать начальные условия, которые для классических ортогональных . многочленов в стандартной форме имеют вид То = 1,Т_1 = 0.

Полиномы Лагерра ортогональны на полубесконечном интервале с весовой функцией е~х. Функции Лагерра определяются формулой 1^(х) = ехр , которая состоит из двух множителей - полинома, значения

которого неограниченно возрастают, и значение корня из весовой функции, экспоненциально убывающей с ростом аргумента. При достаточно больших х эти множители в конечном машинном представлении приводят к переполнению и исчезновению порядка соответственно. Однако, их произведение - функция Лагерра - является "хорошей"величиной для машинного представления. Итерационный процесс (5) можно модифицировать сле-дуюгцим образом. На каждом шаге производится деление величин Т^-х, порядок двоичного представления . Иными словами, порядок машинного представления обнуляется, а порядки

величин изменяются на величину . В результате на

каждом шаге итерационного процесса (5), модифицированного описанной нормировкой, можно получить значение функции Лагерра соответствующего порядка по формуле

Данный алгоритм позволяет за N шагов рекуррентного процесса получить значения всех функций с нулевого до порядка включительно, что обеспечивает высокое быстродействие вычислительных процедур. Поскольку такое усовершенствование алгоритма добавляет лишь целочисленные операции, то эффективность вычисления функций практически не снижается по сравнению с исходным алгоритмом. Ограничение на порядок вычисляемых функций в этом алгоритме не обнаружено (алгоритм протестирован для функций Лагерра и Эрмита с ).

Во второй главе последовательно рассматривается операция умножения отрезков ортогональных рядов, ее свойства и способы реализации. Формальное почленное произведение двух ортогональных разложений вида (1)

г<+1(х) = ((К + Ьгх)Т{(х) + аТг-^х)

(5)

ЛГ-1 Л/-1

С

<*) = а(х)Ь(х) = £ £ а.ьдаад

(б)

«=0 ]=0

Произведение базисных функций раскладывается, вообще говоря, в бесконечный ряд по этой же системе функций:

вдад =

Коэффициенты результирующего ряда будут билинейными формами коэффициентов исходных рядов:

Коэффициенты этих билинейных форм являются интегралами от тройных произведений базисных функций:

= ^ %{х)Т5{хЩ{х)р{?)<1х (8)

Зафиксируем функцию Ь{х) вида (1) и обозначим заглавной буквой В оператор умножения на эту функцию в пространстве коэффициентов разложения. Тогда выражение (7) примет вид:

или в матричной форме где элементы матрицы оператора В имеют

вид:

N-1

Вы = Л (10)

3=0

Из (7) составим уравнения для коэффициентов разложения квадрата ряда:

Оператор В определен исходно в бесконечномерном пространстве и представляется бесконечной матрицей. В конечномерном пространстве Ец оператор В определяется на основе проектирования на это подпространство и представляется квадратной матрицей - главным минором исходной бесконечной матрицы.

Рассмотрим две обратные задачи: по известному вектору коэффициентов с найти коэффициенты что будет соответствовать делению функций

а(х) = в случае линейной системы (9) и нахождению квадратного

корня а(х) — л/с{х) в случае системы квадратичных уравнений (11). Заметим, что эти системы являются в общем случае бесконечными. Вопрос о разрешимости конечной подсистемы системы (9) требует изучения свойств матрицы оператора умножения па функцию (10).'

Утверждени e ГМатрица оператораултожения на функцию является симметричной.

Доказательство непосредственно следует из определения (10) и симметричности тензора Заметим, что существенным требованием является нормировка базиса, в котором этот оператор рассматривается. Для орто-тонального, но ненормированного базиса это утверждение не справедливо.

Утверждение 2. Матрица оператораумножения на функцию положительно определенна > 0), еслипорождающаяеефункция положительных) > 0.

Доказательство следует из рассмотрения следующего скалярного произведения:

Скалярное произведение записано сначала в пространстве коэффициентов разложения, а затем в функциональном пространстве. Если функция Ь{х) имеет постоянный знак на всем отрезке интегрирования, то знак интеграла, а вместе с ним и бесконечной квадратичной формы (Ва,а), строго определен при любом выборе а. Если первые N компонент вектора а ненулевые, а остальные равны нулю, то выражение (Ва, а) становится конечной квадратичной формой с конечной матрицей В, равной главному минору ЛГ-го порядка бесконечной матрицы. Утверждение доказано.

Теорема 1. Собственные значения матрицы оператора умножения на функцию ограничены максимальным и минимальным значениями функции, порождающей этот оператор.

Доказательство. Оператор умножения на функцию, принимающую постоянное значение имеет диагональный вид , где единичный оператор. Предположим, исследуемая функция Ь(х) имеет максимальное Ь-тох и минимальное Ьт{п значения и порождает оператор умножения В согласно (10). Тогда функции — Ьтт) > 0 соответствует оператор (В—ЬтгП1) > 0. Отсюда следует, что все собственные значения матрицы В не меньше ¿>т<„. Аналогично доказывается, что все собственные значения матрицы В не больше Ьтах. Теорема доказана.

Операция умножения, введенная в конечномерном пространстве таким образом, что результат умножения отрезков рядов проектируется на исходное подпространство, коммутативна, но не является ассоциативной, что

следует из некоммутативности матриц в общем случае.

АВс ф В Ас

Оператор умножения на функцию, являясь самосопряженным оператором в вещественном евклидовом пространстве, имеет полный набор вещественных собственных значений и соответствующих собственных векторов, ортогональных между собой и образующих базис. Отсюда следует, что коммутативность операторов умножения на разные функции будет иметь место тогда и только тогда, когда для этих операторов существует единый набор собственных векторов.

Следующим шагом исследования является перенос оператора умножения на функцию из пространства функций дискретного аргумента У/с в пространство коэффициентов разложения Ен. После определения операторов перехода между этими пространствами, искомый оператор можно записать в виде композиции:

В = Т\¥МТ*

Эта композиция включает в себя следующие преобразования:

1. Оператор синтеза Т* обеспечивает вычисление значений ряда в точках сетки, т.е. преобразование из

2. Оператор масштабирования М задает умножение функции в узлах сетки на определяемую этим оператором функцию дискретного аргумента;

3. Оператор анализа, представленный композицией ЛК, обеспечивает вычисление коэффициентов разложения, т.е. обратное преобразование из в

Оператор умножения на единицу представляется единичной матрицей, т.е. При имеет место равенство и, как

следствие, коммутативность операторов, вида (13):

Т\УМ1Т'Т\УМ2Т' = Т\УМ1 {Т'Т\У)М2Т' = Т\УМХМ2Т' (14)

Непосредственно из определения оператора умножения (13) следует утверждение теоремы о спектре этого оператора.

Тсорема2. Собственные значения матрицы оператора умножения на функцию (13) при К = N равны значениям функции, порождающей этот оператор, в узлах сетки квадратурной формулы Гаусса (3).

Таким образом, при К = N определено взаимно-однозначное соответствие коммутативного кольца операторов (13), действующих в пространстве коэффициентов разложения, и кольца сеточных функций. Оператор

(13)

(13) дает альтернативное определение операции умножения в подпространстве гильбертова пространства фиксированной размерности N. Это определение имеет параметр К > N. При К —> ос данное определение переходит в определение (10), а при К = N имеет место коммутативность операторов.

Доказанные утверждения и теоремы дают обоснование решения линейной системы (9). Утверждение 2 и Теоремы 1 и 2 позволяют оценить, когда эта система разрешима и какую она имеет обусловленность. Задача вычисления квадратного корня из ряда может быть сведена к вычислению квадратного корня из положительно определенной симметричной матрицы.

Подход, основанный на введении оператора умножения на функцию в пространстве коэффициентов разложения и сведения операций над отрезками ортогональных рядов к операциям над матрицами, имеет ряд достоинств:

• Достаточно определить оператор умножепия на функцию, после чего осуществление алгебраических операций не зависит от выбранного базиса.

• Алгоритмы преобразования рядов, записанные в матричном виде, удобны для исполнения векторными и параллельными вычислительными системами.

• Оператор умножения, наряду с другими преобразованиями, например, дифференцирования и интегрирования, можно использовать для решения функциональных уравнений в матричной форме.

В третьей главе дал обзор задач обработки данных, связанных с описанием плоских кривых. Важной задачей параметрического представления контуров является задача перехода к естественному параметру такого описания - длине дуги а, и к естественному уравнению - кривизне кривой . Дано описание вычисления основных характеристик, таких как длина, кривизна кривой и моменты, среди которых наиболее важные -площадь области, ограниченной контуром, центр масс, моменты инерции и т.д. Приведены примеры инвариантных признаков, которые могут быть использованы при распознавании образов, в частности

1. Мера компактности кривой

2. Нормированная энергия изгиба кривой

Здесь А,Р - площадь и периметр соответственно. Обе характеристики достигают своего минимального значения - единицы - для окружности среди всех плоских замкнутых кривых.

В третьей главе рассмотрены также обратные задачи, связанные с диагностикой управляющих систем по их функциям веса на основе функций чувствительности коэффициентов разложения к изменению параметров управляющей системы. Приведен пример наиболее сложной из таких систем. Это функция веса, взятая из эксперимента ядерного магнитного резонанса. Благодаря исследованию, результаты которого приведены в первой главе диссертации, исходный сигнал, содержащий 4096 отсчетов, был аппроксимирован отрезком ортогонального ряда по функциям Лагерра, содержащего 1000 и 2000 тысяч коэффициентов разложения, посредством квадратурных формул Гаусса, содержащих 5000 отсчетов.

Четвертая глава посвящена полностью исследованию одномерной краевой задачи для нелинейного уравнения Шредингера в математической модели электрона, связанного полярной диэлектрической сферой. Часть решений этой задачи раннее были достаточно хорошо изучены и аппроксимированы отрезками рядов по функциям Лагерра. При определенных значениях параметров задача была исследована впервые. С методической точки зрения построена конечная алгебраическая система уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения решенпя следующей

где у(х) - безразмерная волновая функция электрона, а - безразмерный потенциал. Краевая задача для системы (17) состоит в отыскании ограниченных решений. Если второе уравнение игнорировать, а т} в первом уравнении рассматривать как параметр, то получается линейная задача на собственное значение. Эта задача имеет дискретный набор собственных значений 77 = 2,4,6,... и соответствующих им собственных функций, различающихся количеством узлов решения у(х). Нелинейная задача, хотя и не имеет параметров, имеет подобный набор решений. Умножим первое уравнение системы (17) на и сделаем замену переменных где т масштабный коэффициент.

Решение ищется в виде разложения по ортогональным функциям Лагерра.

Пусть й вектор коэффициентов разложения квадрата функции у{1), а функция у(х) является решением второго уравнения и удовлетворяет краевому условию ъ(оо) = 0. Тогда вектор коэффициентов разложения v выражается следующим образом

где М - оператор умножения на Ь, а О - оператор дифференцирования ряда Лагерра. Согласно первому уравнению системы (18) решение ь(х) должно удовлетворять краевому условию г*(0) = 0, т.е. будет отличаться на константу от полученного с помощью (20) разложения в ряд по функциям Лагерра. Эту константу можно учесть при подстановке решения у(х) в первое уравнение. Обозначим М„ оператор умножения па функцию г>(х). С учетом введенных обозначений и проделанных предварительных операций основное уравнение принимает вид алгебраической системы относительно неизвестных коэффициентов разложения

где - единичный оператор, а с - вектор коэффициентов разложения решения задачи (19). Полученные с помощью символьных вычислений уравнения (21) имеют третий порядок нелинейности относительно коэффициентов разложения Ск- Решения этой системы были найдены численно с использованием метода Ньютона.

Выводы

1. В представленной работе решены актуальные методические задачи, связанные с реализацией алгебраических операций над ортогональными рядами: умножения, деления и извлечения квадратного корня. Предложены два неэквивалентных способа определения оператора умножения на функцию, действующего в конечномерном пространстве коэффициентов разложения. Первый способ является аналитическим, а второй способ численным и основан на квадратурной дискретизации функций. В отличие от первого способа, который является реализацией метода Галёркина для оператора умножения на функцию, второй способ не является проекционным приближением операции умножения в конечномерном подпространстве и основан на дискретизации базисных функций и переносе оператора умножения из пространства функций дискретного аргумента в пространство коэффициентов разложения. Доказаны теоремы о спектрах операторов умножения на функцию. Операторы второго типа коммутируют всегда, а операторы первого типа коммутируют тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый набор собственных векторов. На основе этих операторов алгебра рядов может быть сведена к алгебре матриц. Получены формулы и разработаны алгоритмы для ортогональных многочленов Че-бышева первого рода и функций Лагерра.

2. Реализованы квадратурные формулы Гаусса-Лагорра и Гаусса-Эрмита без ограничения на порядок. В основе предложенных алгоритмов нахождения весов и узлов квадратурных формул Гаусса положен специально разработанный алгоритм устойчивого вычисления функций Лагерра и Эрмита высокого порядка. Квадратурные формулы Гаусса позволяют перейти от базиса ортогональных функций непрерывного аргумента к базису ортогональных функций дискретного аргумента. Реализация квадратур -ных формул высокого порядка потребовала высокой точности вычисления параметров квадратурных формул при сохранении эффективности соответствующих процедур, призванных работать в реальном времени. Контроль точности квадратурной формулы осуществлялся вычислением элементов матрицы Грама, или матрицы попарных скалярных произведений элементов базиса, и сравнения ее с единичной матрицей, которая является теоретической матрицей Грама для ортонормированного базиса. На основе реализованного высокоточного и эффективного аппарата вычисления коэффициентов разложения была проведена аппроксимация высокого порядка импульсной переходной характеристики ядерного магнитного резонанса в базисе функций Лагерра.

3. Найдены новые решения нелинейного уравнения Шредингера в математической модели электрона, связанного полярной диэлектрической сферой. С методической точки зрения опробован спектральный подход к нахождению решений уравнения Шредингера для полярона. Этот подход основан на проекционном методе Галёркина, примененном к нелинейному интегро-дифференциальному уравнению. В результате применения спектрального подхода получаются алгебраические уравнения третьей степени относительно коэффициентов разложения искомого решения в базисе функций Лагерра. Решения этих уравнений находились методом Ньютона. Несмотря на громоздкость уравнений, проведенные численные эксперименты демонстрируют возможность построения спектрального метода решения нелинейных задач.

Автор благодарен своим научным руководителям Ф.Ф.Дедусу и В.Д.Лахно, а также А. М.Молчанову, Э.Э.Шнолю, Н.К.Балабаеву, М.Н.Устинину, С.А.Махортых, Н.К.Быстровой, Л.И.Куликовой и А.К.Бритенкову. Данная работа выполнялась при поддержке ряда проектов РФФИ №№ 94-01-00226, 97-01-00526, 98-02-16833, 00-01-00417, 01-07-90317, 01-02-16127, 04-01-00756 и одного международного проекта Американского фонда гражданских исследований и развития (СКОБ) КБ1-2027.

Опубликованные работы по теме диссертации

1. Балабаев Н.К., Лахно В.Д., Панкратов А.Н., Устинин М.Н. Полярон-ные состояния в незаряженных молекулярных кластерах// Изв.РАН, сер.физ., 1997, Т.61, с.1831

2. Дедус Ф.Ф., Панкратов А.Н., Дедус Ф.Ф. (младший) Диагностика сложных динамических объектов на основе обобщенного спектрально-аналитического метода// Контроль. Диагностика, №12(18), 1999, с.7-12

3. Лахно В.Д., Панкратов А.Н. Связанные состояния электрона полярной диэлектрической сферой// Изв.РАН, сер.физ., 2000, Т.64, №8, с.1465-1468

4. Устинин М.Н., Махортых С.А., Молчанов A.M., Ольшевец М.М., Панкратов А.Н., Панкратова Н.М., Сухарев В.И., Сычев В.В. Задачи анализа данных магнитной энцефалографии// Компьютеры и суперкомпьютеры в биологии./ Под редакцией В. Д.Лахпо и М.Н.Устинина. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 528 стр., том 2, гл.З, стр.327-349

С. Панкратов А.Н. О реализации алгебраических операций над рядами ортогональных функций. Препринт - Пущино: ОНТИ ПНЦ РАН, 2004

6. Балабаев Н.К., Лахно В.Д., Панкратов А.Н., Устинин М.Н. Полярон-ные состояния в незаряженных молекулярных кластерах// Материалы Всероссийского совещания "Физика кластеров "(Пущино, 1996)/ Ред. Лахно В.Д., Чуев Г.Н. - Пущино: ОНТИ ПНЦ РАН, 1997

7. Балабаев Н.К., Лахно В.Д., Панкратов А.Н., Устинин М.Н. Решение нелинейного уравнения Шредингера для полярона в ограниченной области// Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики. Тезисы докладов 11-й Всероссийской конференции посв. памяти К.И. Бабенко (Пущино, 5 - 9 октября 1996 г.) - Пущино: ОНТИ ПНЦ РАН, 1996, с.12

8. Balabaev N.K., Lakhno V.D., Pankratov A.N., Ustinin M.N. One center polaron model for solvated electron states in Me(NH^n and Me(H20)n clusters// International conference "Physics of Clusters. Clusters in plasma and gases"(Pushchino, Russia, 17 - 23 August 1997), p.11

9. Горошникова Т.А., Дедус Ф.Ф., Куликова Л.И., Махортых С.А., Панкратов А.Н., Устинин М.Н. Обобщенный спектрально-аналитический

метод - универсальная вычислительная технология// "Задачи компьютерной биологии". Тезисы докладов 4-й Пущинской школы молодых ученых, секция "Математическая и вычислительная биология" (Пущино, 19 - 23 апреля 1999 г.) - М.: Биоинформсервис, 1999, с.4

10. Дедус Ф.Ф., Панкратов А.Н. Диагностика параметров функционирования системы на основе обощенного спектрально-аналитического метода// "Задачи компьютерной биологин". Тезисы докладов 4-й Пущинской школы молодых ученых, секция "Математическая и вычислительная биология"(Пущино, 19 - 23 апреля 1999 г.) - М.: Биоинформсервис, 1999, с.6

11. Панкратов А.Н., Махортых С.А. Спектральные методы вычисления фрактальных размерностей одномерных сигналов// "Задачи компьютерной биологии". Тезисы докладов 4-й Пущинской школы молодых ученых, секция "Математическая и вычислительная биоло-гия"(Пущино, 19 - 23 апреля 1999 г.) - М.: Биоинформсервис, 1999, с. 15

12. Панкратов А.Н., Быстрова Н.К. Обработка сигналов лазерной допле-ровской флоуметрии, получаемых при зондировании микроциркуля-торного русла кожи// Труды Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах "(22-27 мая 2000г., Краснови-дово, Московская область), Том 1, с. 16

13. Панкратов А.Н. Состояния электрона, связанного полярной диэлектрической сферой// Школа-конференция "Горизонты физико-химической биологии "(Пущино, 28 мая - 2 июня 2000г.) Том 1. Тезисы стендовых сообщений. - Пущино: ОНТИ ПНЦ РАН, 2000, т.1, 11.29, с.47

14. Новиков Н.Н., Дедус Ф.Ф., Панкратов А.Н., Дуров Д.Е. Контроль параметров динамической системы методами параметрической идентификации при структурных изменениях в системе// Доклады I Всероссийской конференции "Спектральные методы обработки информации в научных исследованиях" ("Спектр-2000", Пущино, 24-28 октября 2000г.) - Москва, 2000, с.55

15. Махортых С.А., Панкратов А.Н. О спектральном разложении нерегулярных кривых// Доклады I Всероссийской конференции "Спектральные методы обработки информации в научных исследованиях"("Спектр-2000", Пущино, 24-28 октября 2000г.) -Москва, 2000, с.44

16. Смирнов Д.В., Коростелев А.И., Панкратов А.Н., Коробков А.А. База данных характеристик летательных аппаратов// Научно-технический сборник института - Серпухов: СВИ РВ, 2001

17. Смирнов Д.В., Коростелев А.И., Панкратов А.Н., Коробков А.А. Me-тодика формирования баз данных характеристик летательных аппаратов// Материалы XX Межвузовской НТК - Серпухов: СВИ РВ,

2001, часть 5

18. Панкратов А.Н., Дедус Ф.Ф. Аппроксимация оригинала и изображения в интегральном преобразовании Лапласа// 5-я Пущинская конференция молодых ученых, (Пущино, 16-20 апреля 2001г.) - Тула: ЗАО "Гриф и К", 2001, с.334

19. Панкратов А.Н., Дедус Ф.Ф. Идентификация математических моделей спектрально-аналитическим методом// Доклады X Всероссийской конференции "Математические методы распознавания образов", Москва, 2001, с. 107

20. Панкратов А.Н., Куликова Л.И., Дедус Ф.Ф., Махортых С.А. Использование обобщенного спектрально-аналитического метода в задачах обработки экспериментальных данных// Биология - наука XXI века: 6-я Пущинская школа-конференция молодых ученых(Пущино, 20-24 мая 2002г.): Сборник тезисов. Том 1. - Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н.Толстого, 2002, с. 187

21. Pankratov A.N., Dedus F.F. Adaptive Approximation of Arbitrary Signals// 5th International congress of mathematical modelling (Sep 30 -Oct 6, 2002, Dubna Moscow Region), Book of abstracts, M.:" JANUS-K",

2002, v.2, p.72

22. Панкратов А.Н. Обработка и моделирование нерегулярных сигналов с использованием ортогональных базисов// Биология - наука XXI века: 7-ая Пущинская школа-конференция молодых ученых (Пущино, 14-18 апреля 2003 г.): Сборник тезисов - Серпухов, 2003, с. 254

23. Панкратов А.Н. Исследование и классификация функций посредством глубокого разложения в ортогональные ряды// Доклады XI Всероссийской конференции "Математические методы распознавания образов", М.: 000 "Регион-Холдинг", 2003, с. 159

24. Махортых С.А., Дергузов А.В., Куликова Л.И., Панкратов А.Н. Спектральный анализ, классификация и диагностика цифровых массивов/ SpectMate. Свидетельство РОСПАТЕНТ об официальной регистрации программы для ЭВМ №2004610405 от 10.02.2004

Научное издание

Автореферат А.Н.Панкратова

Налоговая льгота - общероссийский классификатор продукции 0К-005-93, том 2; 953000 - книги и брошюры.

Подписано в печать 28.04 04 г. Заказ 10032Р. Тираж 100 экз Усл.печ.л. 1,0.

Отпечатано с оригинала-макета в Объединенном научно-техническом издательстве Пущинского научного центра РАН.

142290, г. Пущино Московской обл., проспект Науки, 3 ОНТИ.

11-90 7 0

0.1 Введение.

1 Методы вычисления коэффициентов разложения

1.1 Предварительные сведения.

1.2 Введение в обобщенные ряды Фурье

1.3 Дискретное представление базисных функций.

1.4 Алгоритм вычисления ортогональных функций высокого порядка

1.5 Аналитические методы.

1.5.1 Метод подстановки.

1.5.2 Использование уравнения ломаной.

1.5.3 Преобразование степенного ряда в ортогональный.

2 Способы реализации и свойства оператора умножения на функцию

2.1 Пространство коэффициентов разложения.

2.2 Пространство функций дискретного аргумента.

2.3 Формулы для многочленов Чебышёва.

2.4 Базис из собственных функций оператора умножения.

3 Некоторые задачи обработки данных

3.1 Получение, преобразование и измерение одномерных сигналов для задач распознавания образов и анализа изображений.

3.1.1 Декартовы координаты.

3.1.2 Естественное уравнение кривой.

3.1.3 Интегрирование и дифференцирование.

3.1.4 Нерегулярные кривые.

3.1.5 Вычисление моментов.

3.1.6 Инвариантные признаки.

3.1.7 Метод пристрелки и движение по кривой

3.2 Диагностика и идентификация параметров динамических систем

3.2.1 Функции чувствительности и уравнения диагностики

3.2.2 Аппроксимация функции веса ядерного магнитного резонанса

Спектрально-аналитическое исследование нелинейного уравнения Шредингера

4.1 Математическая модель.

4.2 Конечномерное приближение.

Некоторые процедуры для работы с ортогональными рядами

А.1 Процедуры для полиномов Чебышёва первого рода.

А.2 Процедуры для функций Сонина-Лагерра.

Выводы

Предпосылкой рассмотрения алгебры отрезков ортогональных рядов является развитие и внедрение в практику спектральных методов для решения различных задач обработки информации. В последнее десятилетие эти методы особенно актуальны в связи с проблемами передачи и сжатия данных. Спектральные методы предоставляют возможность эффективного адаптивного сжатия сигналов при допущении некоторой погрешности (сжатие с потерями) и дальнейшей интеллектуализированной обработки и преобразования информации. При этом отрезки ортогональных рядов выступают в роли универсального способа представления данных в дискретной форме, удобной ддя хранения и обработки на вычислительных машинах.

Важной и актуальной задачей является разработка методов обработки данных, альтернативных частотным методам Фурье, предназначенным в основном для обработки стационарных сигналов. Исследователи предметных областей естественных наук, а также разработчики современных информационных технологий вынуждены использовать быстрое преобразование Фурье из-за отсутствия в такой же мере разработанного математического аппарата и алгоритмического обеспечения для других базисов. Это отставание в свою очередь связано с наличием актуальных математических проблем, связанных с применением ортогональных рядов.

Спектральные методы представляют обширную и интенсивно развивающуюся область математики. Об этом свидетельствует открытие и бурное развитие в последние десятилетия вейвлет-анализа. Классические результаты в области теории аппроксимации также получают переоценку с точки зрения реализации их на современных вычислительных машинах. Ортогональные ряды являются в некотором смысле наилучшим выбором среди функциональных рядов вообще. Разложение по неортогональным функциям, хотя тоже возможно, оказывается менее эффективным, а главное, менее устойчивым по отношению к экспериментальным ошибкам и ошибкам округления. Отсюда следует, что именно на основе аппарата ортогональных функций можно надеяться построить устойчивые практические методы решения задач. Любая задача, на входе и выходе которой регистрируются функции, может потребовать спектрального метода для ее решения. Понятно^ что из такой общей постановки задачи следует и сложность класса спектральных методов. Чем шире класс задач, решаемых данным методом, тем сложнее сам метод.

Сузить класс задач можно, если рассмотреть разные типы функций и соответственно разные базисы для аппроксимации этих функций. Одним из типов нестационарных сигналов являются так называемые функции веса, или импульсные переходные характеристики [1]. Функция веса является реакцией изучаемой управляющей системы на импульсное входное воздействие. Функции веса представляют собой затухающие сигналы, которые аппроксимируются наиболее короткими отрезками рядов в базисе функций Лагерра. Преобразование Лапласа от функции веса, называемое передаточной функцией системы, является универсальным способом описания линейных систем. Другим выделенным базисом в информатике является базис из функций Эрмита, которые являются собственными функциями преобразования Фурье. Разложение по функциям Эрмита предоставляет возможность аппроксимации интегрального преобразования Фурье, альтернативной по отношению к той аппроксимации, которую дает дискретное преобразование Фурье. Функциям Лагерра и Эрмита придавал большое значение Ноберт Винер, предложивший идею создания на их основе аналитической теории нелинейных систем [2, 3].

Среди задач обработки сигналов, которые приводят к произведению ортогональных рядов, можно выделить несколько характерных примеров. Вычисление корреляционной функции требует перемножения образов Фурье, которые могут быть аппроксимированы отрезками ортогональных рядов. Вычисление дифференциала дуги одномерной кривой требует несколько операций в пространстве коэффициентов разложения, наиболее трудной из которых является извлечение квадратного корня из ортогонального ряда.

Изучение операции умножения рядов требуется также при построении спектральных методов решения дифференциальных и интегральных уравнений. В то время как для решения линейных дифференциальных и интегральных уравнений спектральный подход является классическим [4], для решения нелинейных уравнений этот подход наталкивается на .значительные трудности. Эти трудности связаны, во-первых, с получением конечных алгебраических уравнений для коэффициентов разложения взамен исходных функциональных уравнений, во-вторых, с выяснением того, в каком отношении находятся решения алгебраических уравнений к исходным, в-третьих, с нахождением решения громоздких алгебраических систем уравнений.

Реализация алгебраических операций над функциями, представленными отрезками ортогональных рядов, является достаточно трудоемким и малоизученным предметом. Умножение отрезков рядов не обладает свойством ассоциативности. В этом смысле имеется аналогия алгебры отрезков рядов с алгеброй чисел с плавающей запятой в машинном представлении действительных чисел. Использование машинной арифметики с сокращением знаков приводит фактически к развитию целой области математики - численного анализа. Все конечные вычислительные схемы, которые могут быть предложены на основе аппроксимации абстрактных математических понятий, требуют проверки на устойчивость. Таким образом, можно констатировать, что вычислительная математика, или практический анализ по терминологии Корнелия Ланцоша [5], изучает процессы конечномерного аппроксимирования, приводящие к рациональному решению задач, устойчивому к возмущениям в исходных данных и к ошибкам вычислений.

Целью данной работы является создание алгоритмов обработки информационных данных и демонстрация преимуществ и возможностей использования спектральных подходов с применением ортонормированных систем функций, путем адаптивного аналитического описания информационных массивов, а также преобразования информации на основе такого описания для решения различных задач обработки данных.

Основными задачами, которые были поставлены в процессе исследования, являются следующие задачи

1. Реализация и исследование алгебраических операций в пространстве коэффициентов разложения ортогональных рядов.

2. Исследование возможности и точности аппроксимации сложных экспериментальных данных в дискретной форме на основе классических ортогональных базисов.

3. Построение алгоритмов диагностики параметров систем по их функциям веса.

4. Решение дифференциальных и интегральных уравнений на основе ортогональных разложений.

В связи с этими задачами содержательная часть диссертации состоит из введения, четырех глав, приложения и выводов. Каждая глава содержит как обзорную часть, содержащую известные автору ссылки на работы других авторов по данной теме, так и законченную исследовательскую часть, результаты которой используются в других частях.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Предложены два способа введения оператора умножения на функцию в конечномерном подпространстве гильбертова пространства, образованного отрезками ортогональных рядов. Доказаны теоремы и утверждения о спектральных и групповых свойствах введенных операторов.

2. Показано, что задачи нахождения отношения рядов, извлечения квадратного корня из ряда сводятся к соответствующим операциям над матрицами.

3. Разработан эффективный метод вычисления функций Лагерра и Эрмита без ограничения на порядок полинома.

4. Реализованы квадратурные формулы Гаусса высокого порядка в целях вычисления коэффициентов разложения функций дискретного аргумента в базисах Лагерра, Эрмита и Чебышёва.

5. Найдены и классифицированы решения нелинейного уравнения Шредин-гера.

6. Предложены алгоритмы диагностики динамических систем по их весовым функциям.

Автор благодарен своим научным руководителям Ф.Ф.Дедусу и В.Д.Лахно, под руководством которых была выполнена работа. Также автор признателен своему научному руководителю магистерской диссертации А.М.Молчанову и также своим соавторам и коллегам Э.Э.Шнолю, Н.К.Балабаеву, М.Н.Устинину, С.А.Махортых, Н.К.Быстровой и А.К.Бритенкову. Данная работа выполнялась в Институте математических проблем биологии Российской академии наук при финансовой поддержке ряда проектов РФФИ Ж№ 94-01-00226, 97-01-00526, 9802-16833, 00-01-00417, 01-07-90317, 01-02-16127, 04-01-00756 и одного международного проекта Американского фонда гражданских исследований и развития (С1ШГ) 11В1-2027.

1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. - М.: Наука, 2002

2. Wiener N. Hermitian polynomials and Fourier analysis// J.Math.Phys., v.8, 1929, p.70-73

3. Мишкин Э. Аналитическая теория нелинейных систем. //Приспосабливающиеся автоматические системы/ Под ред. Мишкина. Э. и Брауна Л. М.: Издательство иностранной литературы, 1963

4. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.-Л.:Гостехтеоретиздат, 1951

5. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.:Физматгиз, 1961

6. Виденский В. Сергей Натанович Бернштейн// Квант, 1997, №1, с.17-21

7. Тихомиров В. Две теоремы Бернштейна// Квант, 1997, №1, с.21-23

8. Дедус Ф.Ф., Махортых С.А., Устинин М.Н., Дедус А.Ф. Обобщенный спектрально-аналитический метод обработки информационных массивов. Задачи анализа изображений и распознавания образов. М.: Машиностроение, 1999.

9. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.:Наука, 1979

10. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.:Наука, 1984

11. Волощенко A.M., Журавлев В.И. Вычисление весов и узлов квадратурных формул Гаусса с весовыми функциями классических ортогональных полиномов непрерывного и дискретного переменного// Препринт №89 М.: ИПМ АН СССР, 1977

12. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. Numerical Recipes in С. The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, 1992

13. Shen J. Stable and Efficient Spectral Methods in Unbounded Domains Using Laguerre Functions// SIAM Journal on Numerical Analysis, v.38, 2000, JV® 4, p.1113-1133.

14. Funaro D. FORTRAN Routines for Spectral Methods Instituto di analisi numerica, Pavia, 1993

15. Grafov B.M., Grafova I.B. Theory of the wavelet analysis for electrochemical noise by use of Laguerre functions// Electrochemistry Communications, v.2, 2000, p.386-389

16. Графов Б.М. Использование преобразования Лапласа для описания шумовых сигналов электрохимических датчиков// Электрохимия, т.29, 1993, №12, с.1474-1475

17. Бахвалов Н.С. Об устойчивом вычислении значений многочленов// Журнал вычислительной математики и математической физики, т.11,1971, №6, с. 1568-1574

18. Oliver J. Rounding error propagation in polynomial evaluation schemes// Journal of Computational and Applied Mathematics, v.5, 1979, №2, p.85-97.

19. Barrio R., Berges J.С. Perturbation simulations of rounding errors in the evaluation of Chebyshev series// Journal of Universal Computer Science, v.4, 1998, №6, p.561-573.

20. Бейтмэн Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований, т.1. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. М.: Наука, 1969

21. Weeks W.T. Numerical Inversion of Laplace Transforms Using Laguerre Functions// Journal of the Association for Computing Machinery, v.13, 1966, №, p.419-426

22. Weideman J.A.C. Algorithms for Parameter Selection in the Weeks Method for Inverting the Laplace Transform// SIAM Journal for Scientific Computing, v.21, 1999, m, p.111-128

23. Хэмминг P.B. Численные методы. M.: Наука, 1972

24. Délie G., Malherbe S.M. Subroutines For Convolution Sums Of Chebyshev And Fourier Series// Computer Physics Communications, v.48, 1988, p.305-312

25. D'Aguanno В., Nobile A., Roman E. CHPACK: A package for the manipulation of Chebyshev approximations// Computer Physics Communications, v.29, 1983, p.361-374

26. Fox L., Parker I.B. Chebyshev Polynomials in Numerical Analysis. Oxford University Press, 1968

27. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971

28. Chen H. The Quadrature Discretization Method and Its Applications// Thesis, The University of British Columbia, 1998

29. Broucke R. Construction of Rational and Negative Powers of a Formal Series// Communications of the ACM, v.14, 1971, JV®1, p.32

30. Broucke R. A446 Ten Subroutines for the Manipulation of Chebyshev Series// Communications of the ACM, v.16, 1973, JV«4, p.254

31. Bultheel A., Martinez-Sulbaran H. Recent developments in the theory of fractional transform// K.U.Leuven, Department of Computer Science, ReportTW376, 2003

32. Бахвалов H.С., Жидков H.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.:Наука, 1987

33. Higham N.J. Computing real square roots of a real matrix// Linear Algebra and Appl., 88/89, 1987, p.405-430

34. Bjorck A., Hammarling S. A Schur method for the square root of a matrix// Linear Algebra and Appl., 52/53, 1983, p.127-140

35. Ильин B.A., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1984

36. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. М.: Мир, 1976.

37. Сонин Н.Я. Об определении максимальных и минимальных свойств плоских кривых// Варшавские университетские известия, 1886, №1-2, с.1-68

38. Pratt Ian Shape Representation Using Fourier Coefficients of the Sinusoidal Transform// Journal of Mathematical Imaging and Vision, v.10, 1999, p.221-235.

39. Коганов А.В. Метод контурных моделей в распознавании визуальных образов// Вопросы кибернетики. Распознавание видеографической информации. Вып. под ред. В.Б.Бетелина. М., 1999, с.75-91

40. Montiel М.Е., Aguado A.S., Zaluska E.J. Fourier Series Expansion of Irregular Curves// Fractals, v.5, 1997, №1, p.105-119.

41. Aguado A.S., Montiel M.E., Nixon M.S. Parameterising Arbitrary Shapes via Fourier Descriptors for Evidence-Gathering Extraction// CVIU: Computer Vision and Image Understanding, v.69, 1998, №2, p.202-221.

42. Фокс А., Пратт M. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. М., Мир, 1982

43. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач -М.: Наука, 1974

44. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991

45. Hunt B.R. The Hausdorff Dimension of Graphs of Weierstrass Functions// Proc. Amer. Math. Soc., v.126, 1998, p.791-800.

46. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979

47. Yang L., Albregtsen F. Fast and Exact Computation of Cartesian Geometric Moments Using Discrete Green's Theorem// Pattern Recognition, v.29, 1996, №, p. 1061-1073

48. Flusser J., Suk T. Pattern Recognition by Affine Moment Invariants// Pattern Recognition, v.26, 1993, Л»1, p.167-174

49. Clenshaw C.W., Norton H.J. The solution of nonlinear ordinary differential equations in Chebyshev series// The Computer Journal, v.6, 1963, №1, p.88-92

50. Belikov M.V. Methods of numerical integration with uniform and mean square approximation for solving problems of ephemeris astronomy and satellite geodesy// Manuscripta Geodaetica, v.18, 1993, p.182-200

51. Nex C.M.M. The Use of Chebyshev Series In Computational Physics// Computer Physics Communications, v.20, 1980, p. 1-5

52. Абрамов A.A., Балла К., Конюхова Н.Б. Перенос граничных условий из особых точек для систем обыкновенных дифференциальных уравнений// Сообщения по вычислительной математике М.: ВЦ АН СССР, 1981

53. Быховский М.Л. Основы динамической точности электрических и механических цепей. М.: АН СССР, 1958

54. Быховский М.Л. Чувствительность и динамическая точность систем управления. М.: Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1964, №6

55. Кузьмин И.В. Проектирование телемеханических систем контроля и управления. Харьков: ХВКИУ, 1964.

56. Кузьмин И.В. Оценка эффективности автоматических систем контроля и управления. Харьков: ХВКИУ, 1964.

57. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления. 4.2. -Л.: "Энергия", 1966

58. Кокотович П.В., Рутман P.C. Чувствительность систем автоматического управления. Обзор// Автоматика и телемеханика, т.26, 1965, JV}4

59. Дедус Ф.Ф., Воронцов В.Б. Диагностика непрерывных систем с использованием ортогональных фильтров// Труды I Всесоюзного совещания по технической диагностике. М.: Наука, 1972, с.103-108

60. Дероум Э. Современные методы ЯМР для химических исследований. М.: Мир, 1990

61. Khabibrakhmanov I.K., Summers D. The Use of Generalized Laguerre Polynomials in Spectral Methods for Nonlinear Differential Equations// Computers Math. Applic., v.36, 1998, №2, p.65-70

62. Треногин B.A. Функциональный анализ. M.: Наука, 1993

63. Пекар С.И. Исследования по электронной теории кристаллов. М.-Л.:Гостехтеоретиздат, 1951

64. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М.: Наука, 1989

65. Фейнмановские лекции по физике. Задачи и упражнения с ответами и решениями. М.: Мир, 1969

66. Балабаев Н.К., Луневская Л.В. Движение по кривой в n-мерном пространстве. Алгоритмы и программы на ФОРТРАНе Пущино: ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1978

67. Балабаев Н.К., Лахно В.Д. Делокализованные состояния избыточных электронов в кластерах// Журнал физической химии, т.69, 1995, №8, с.1358-1362

68. Балабаев Н.К., Лахно В.Д. Солитонные решения в теории полярона// Теоретическая и математическая физика, т.45, 1980, №1, с.139

69. Лахно В.Д., Балабаев Н.К. Самосогласованные решения в континуальной модели F-центра и проблема релаксированного возбужденного состояния// Оптика и спектроскопия, т.55, 1983, вып.2, с.308

70. ТО. Rosenblit М., Jortner. J Excess electron surface states on helium clusters// J. Chem. Phys., v. 101, 1994, №11, p.9982-9996

71. Hertel I.V., Huglin C., Nitsch C., Schulz C.P. Photoionization of Na(NH3)n and Na(H20)n Clusters: A Step Towards the Liquid Phase?// Physical Review Letters v.67, 1991, p.1767

72. Опубликованные работы по теме диссертации

73. Балабаев Н.К., Лахно В.Д., Панкратов А.Н., Устинин М.Н. Поляронные состояния в незаряженных молекулярных кластерах// Материалы Всероссийского совещания "Физика кластеров"(Пущино, 1996)/ Ред. Лахно В.Д., Чуев Г.Н. Пущино: ОНТИ ПНЦ РАН, 1997

74. Балабаев Н.К., Лахно В.Д., Панкратов А.Н., Устинин М.Н. Поляронные состояния в незаряженных молекулярных кластерах// Изв.РАН, сер.физ., т.61, 1997, с.1831

75. Дедус Ф.Ф., Панкратов А.Н., Дедус Ф.Ф. (младший) Диагностика сложных динамических объектов на основе обобщенного спектрально-аналитического метода// Контроль.Диагностика, №12(18), 1999, с.7-12

76. Лахно В.Д., Панкратов А.Н. Связанные состояния электрона полярной диэлектрической сферой// Изв.РАН, сер.физ., т.64, 2000, №8, с.1465-1468

77. Панкратов А.Н. Состояния электрона, связанного полярной диэлектрической сферой// Школа-конференция "Горизонты физико-химической биологии" (Пущино, 28 мая 2 июня 2000г.) Том 1. Тезисы стендовых сообщений. - Пущино: ОНТИ ПНЦ РАН, 2000, т.1, 11.29, с.47

78. Махортых С.А., Панкратов А.Н. О спектральном разложении нерегулярных кривых// Доклады I Всероссийской конференции "Спектральные методы обработки информации в научных исследованиях"("Спектр-2000", Пущино, 24-28 октября 2000г.) Москва, 2000, с.44

79. Смирнов Д.В., Коростелев А.И., Панкратов А.Н., Коробков A.A. База данных характеристик летательных аппаратов// Научно-технический сборник института Серпухов: СВИ РВ, 2001

80. Смирнов Д.В., Коростелев А.И., Панкратов А.Н., Коробков A.A. Методика формирования баз данных характеристик летательных аппаратов// Материалы XX Межвузовской НТК Серпухов: СВИ РВ, 2001, часть 5

81. Панкратов А.Н., Дедус Ф.Ф. Аппроксимация оригинала и изображения в интегральном преобразовании Лапласа// 5-я Пущинская конференция молодых ученых, (Пущино, 16-20 апреля 2001г.) Тула: ЗАО "Гриф и К",2001, с.334

82. Панкратов А.Н., Дедус Ф.Ф. Идентификация математических моделей спектрально-аналитическим методом// Доклады X Всероссийской конференции "Математические методы распознавания образов", Москва, 2001, с. 107

83. Pankratov A.N., Dedus F.F. Adaptive Approximation of Arbitrary Signals// 5th International congress of mathematical modelling (Sep 30 Oct 6, 2002, Dubna Moscow Region), Book of abstracts, M.:"JANUS-K", 2002, v.2, p.72

84. Панкратов A.H. Обработка и моделирование нерегулярных сигналов с использованием ортогональных базисов// Биология наука XXI века: 7-ая Пущинская школа-конференция молодых ученых (Пущино, 14-18 апреля 2003 г.): Сборник тезисов - Серпухов, 2003, с. 254

85. Панкратов А.Н. Исследование и классификация функций посредством глубокого разложения в ортогональные ряды// Доклады XI Всероссийской конференции "Математические методы распознавания образов", М.: ООО "Регион-Холдинг", 2003, с. 159

86. Махортых С.А., Дергузов A.B., Куликова Л.И., Панкратов А.Н. Спектральный анализ, классификация и диагностика цифровых массивов/ SpectMate. Свидетельство РОСПАТЕНТ об официальной регистрации программы для ЭВМ №2004610405 от 10.02.2004

87. Панкратов А.Н. О реализации алгебраических операций над рядами ортогональных функций. Препринт Пущино: ОНТИ ПНЦ РАН, 2004