Алгебраические свойства групп бесконечных матриц тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ



Санкт-Петорбургекий государственный университет

На правая, рукописи

Холубовски Вальдемар Марек

Алгебраические свойства групп бесконечных матриц

01 01 Об — Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора фичико-математичсских наук

Санкт-Пегерсбур! 2007

□и-э -

!2гСоЬ иЛегэ и^дл,

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел математико-меха-нического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный консультант доктор физико-математических наук

профессор Вавилов Николай Александрович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Гордеев Николай Леонидович

доктор физико-математических наук, Пономаренко Илья Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор Романовский Николай Семенович

Ведущая организация

Московский государственный университет им М В Ломоносова

Защита состоится

Л

2008 г в/" час на заседании диссертационного совета Д 212 232 29 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 198504, Санкт-Петербург, Ст Петергоф, Университетский пр , д 28

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им М Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу 191011, Университетская наб, д 7/9,

Защита будет проходить в Петербургском отделении Математического института имении В А Стеклова РАН по адресу Санкт-Петербург Наб Реки Фонтанки, д 27

Ь 03

Автореферат разослан ,< " 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212 232 29 доктор физико-математических наук, профессор

В М Нежинский

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Бесконечные матрицы встречаются в разных разделах математики Систематическое изучение началось в теории суммирования расходящихся последовательностей и рядов в квантовой механике и теории решения бесконечных систем линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных

В теории рядов рассматриваются преобразования последовательностей типа [г„) —» (/п) — Ф((г„)), где - а„*г* Преобразование, ф задается при помощи бесконечной матрицы а - (ач) Необходимые и достаточные условия для того, чтобы преобразование ф переводило любую сходящуюся последовательность в сходящуюся найдены Кожимой

Теория Гейзенберга—Дирака в квантовой механике использует решения двух линейных уравнений в бесконечных матрицах

АХ - ХА = I АХ — ХВ = О

(первое уравнение называется уравнением квантования) Для нахождения решений используется теория спектров операторов в гильбертовых пространствах

Бурное развитие теории линейных пространств бесконечной размерности наступило в начале XX века Основания были заложены главным образом исследованиями Ивара. Фредгольма и Вито Вольтерры Они рассматривали теорию вднейных уравнений с бесконечным числом уравнений и неизвестных с использованием представления в виде предела линейных уравнений с конечным числом уравенений и неизвестных, когда число уравнений и неизвестных становится бесконечным ч9то привело к развитию теории интегральных уравнений С другой стороны, работы Давида Гильберта, Джона фон Неймаяа Эрхарда Шмидта и Фригеса Риса по теории интегральных уравнений послужили толчком к развитию теории линейных пространств бесконечной размерности Это и привело к созданию теории банаховых и гильбертовых пространств

Алгебраические свойства бесконечных матриц и бесконечномерных линейных или классических групп исследуются во многих статьях и монографиях Это делается с разных точек зрения среди которых мы отметим теорию ассоциативных колец и модулей, алгебраическую А'-теорию, теорию алгебр Ли и алгебраических групп, теорию бесконечных групп, функциональный анализ (кольца операторов спектральный анализ) элементарный анализ (теория функций последовательности и ряды), теорию представлений, теорию моделей бесконечную комбинаторику и теорию вероятностей

Бесконечные матрицы мы можем складывать как обычные матрицы Специфика бесконечных матриц полностью выявляется при попытке умножать их А именно

умножение бесконечных матриц не всегда определено В анализе, где используются комплекснозначные и вещественнозначные бесконечные матрицы, эту ситуацию преодолевают наложением на матрицы условий типа сходимости последовательностей коэффициентов в строках и столбцах В алгебре рассматриваются матрицы с коэффициентами из произвольного ассоциативного кольца R с единицей, тем самым накладываются другие условия конечности, тйпа конечнострочноети или конечно-столбцовости Кроме того, умножение может быть определено, но бывает неассоциативным В третьих, обратимость бесконечных матриц ведет себя странно, существуют, например, бесконечные матрицы имеющие бесконечное число обратных

Алгебраический подход к изучению бесконечных матриц начался в 40-вых годах ХХ-того века с работ Р Бэра, Н Джекобсона, Дж Мажки, И Амитцура и других Сначала они изучали кольцо конечнострочных бесконечных матриц М. (оо, R) над кольцом R (кольцо эндоморфизмов левого свободного модуля) и кольцо М, с(о° Щ конечнострочных в конечностолбцовых бесконечных матриц (кольцо непрерывных эндоморфизмов или кольцо эндоморфизмов with adjomt) которое появилось в исследовании счетномерных алгебр и других колец со свойствами конечности Итоговая работа Н Джекобсона о неприводимых модулях показала важность плотных подко-лец кольца МДоо й), ч е колец, содержащих кольцо M(ß) - состоящее из матриц имеющих только конечное число ненулевых элементов Такие кольца и называются кольцами бесконечных матриц Для многих математиков кольца бесконечных матриц служат только примерами патологий в кольцах В монографиях бесконечные матрицы появляются главным образом в качестве контрпримеров На первый взгляд бесконечные матрицы не имеют никакой обозреваемой структуры, возможно потому, что не удовлеч воряют никаким условиям конечности (например, они никогда не являются односторонне нетеровскими) На самом деле, в работах многих магема! иков выявлена их богатая структура Например, два униталъных кольца R и S Морита эквивалентны тогда и только toi да когда М(Я) сг М (S) МьДоо R) a Mk(oo,S) Мгс(оо, й) ü МгДоо, S) Мг(оо, R) a Мг(оо, S) (здесь Мьс(оо, R) обозначает кольцо всех матриц, у которых все ненулевые элементы только в конечном числе столбцов) Кольца М,(оо R) и Urc{oo,S) всегда неизоморфны, существуют кольца R, S такие, что R ~ Мг(оо, Я) и S ~ МгДо°, S) Для групп Пикара имеем изоморфизмы Pic{R) =; Ргс(М(Я)) 2= Р«с(МДоо, Я))

Исследования колец эндоморфизмов естественным образом возбудили интерес и к группам автоморфизов бесконечномерных модулей Они иитенсивьо начались изучали в работах Капланского, Кадисона, Маки и Розенберга 1950-х годов В громадном количестве работ рассматривались различные группы бесконечных матриц Два крайних условия конечности, накладываемые на бесконечные матрицы (они и наиболее широко обсуждались в литературе) это

— стабильная полная линейная группа, которая является инд\к-тивным пределом групп вЦп, Я) относительно естесвенных вложений,

0ЬС(0, В) — группа автоморфизмов правого модуля й0 (соответственно ОЬг(П, Л) для левого модуля аЯ), где П - бесконечное индексное множество

ОЦЯ) что не аналог стабильного кольца М(Я), которое не имеет единицы а его расширения посредством добавления скалярных матриц Элементами стабильной группы являются матрицы, которые формально бесконечны, но в действительности лишь в конечном числе мест отличаются от единичной матрицы Эта группа устроена в принципе как конечномерные полные шшейные группы ОЬ(п Я), и даже яроше Она нашла широкое применение в алгебраической А^-теории (достаточно посмотреть любую монографию по основам алгебраической /С-теории) Именно эта группа является модельной для построения К-теории колец, одаако, практически никакой специфики бесконечных матриц в ней не наблюдается

Более интересным случаем, потностью выявляющим специфику бесконечных матриц является гр}ппа ОЬс(Г& Я) (соответственно ОЬг(П, Щ), в матрицах она представляется такими конечностотбцовыми (соответсвенно конечнострочными) матрицами обратные к которым тоже являются конечностоябдовыми (соответсвенно конечнострочными) матрицами Надо отметить, что для бесконечных матриц условие конечности для обратной матрицы асовершенно не вы гекает т соответсвукмцего условия на саму матрицу а как показывает следующий пример

а =

О

0

1

I 1 1 1 I

0 1 1 1 1

0 0 1 1 1

0 0 0 1 1

V

/

Матрица а является конечносгрочной, но обратная к ней не является конечностроч-яой С другой стороны матрица о имеет конечнострочною правую обратную к ней, именно

\

1 0 0 0 0 0

-1 0 0 0 0

-1 -1 0 0 0

-1 -1 -1 0 0

\ /

Группа К) является формальным аналогом групп вЦп, Я), но фактиче-

ски она устроена бесконечно сложнее Следует отметить что в случае бесконечного

П, на самом деле, практически все результаты не зависят от мощности множества П Это значит, что уже случай группы ОЬс(К, Я), индексированной натуральными числами, является модельным для исследования структуры и свойств бесконечномерных групп В дальнейшем эту группу будем обозначать просто СЬс(со Я)

Среди условий конечности, нак падываемых на бесконечные матрицы, отметим еще следующие, встречавшиеся в литературе

0Ь„(оо, Л) — группа конечностолбцовых а конечнострочных матриц, она я&чяется просто пересечением групп ОЬДоо, Я) и ОЬДоо, Я), самое интересное, что группы ОЦ(ос, Я) и вЬДоо, Я) максимальны и не содержатся в какой-то общей надгрупие,

GLь(co,R) — группа состоящая из матриц а конечной ширины, то-есть таких, для которых существует такое т, что все элементы матриц а пег1 вне диагональной полосы ширины т нулевые,

ОЬбс(ос, Я) — финитарная группа, состоящая из всех матриц а для которых все ненулевые элементы матрицы а — е находятся в конечном числе строк (здесь е - единичная матрица)

Группа ОЪьа{оо, Щ и ее подгруппы интенсивно изучались в работах по теории локально конечных груш в случае когда Я = К - конечное или локально конечное поле

Группа СЬ(,(оо, Я) связана с алгебрами Ли, рассмотренными Вердье, ее подгруппы, состоящие из периодических матриц имеют отношение к ал1ебрам Каца—Муди и к гр)ппам конечных синхронных автоматов

Исследование хруип бесконечных матриц гесно связано с исследованием конечномерных линейных групп Различные вопросы, связанные со структурой линейных гр} пп, изучались уже К Жорданом, Л Диксоном, Б ван дер Варденом, Г Вейлем, Ж Дьедонне и их многочисленными последователями в огромном количестве работ Ко вюрой почовида XX века сложилось несколько крупных направлений иссчедования линейных групп Укажем те которые имеют особенное отношение к бесконечным матрицам

Традиционно самый бо шдой интерес вызывают нормальные подгруппы Центральный резульгат в ¡этой области получен X Бассом, описавшим строение нормальных делителей стабильной группы бЦЯ), откуда получается описание на стабильном уровне строения нормальных делителей полной линейной группы бЦп, Я) над кольцами Для нестабильной ситуации аналоги результата Басса дня вЦп, Я) были позднее получены в работах А А Суслина, Дж Уилсона, А 3 Голубчика и некоторых других авторов С другой стороны работы Р Бэра и Н Джекобсона, рассматривающие кольца эндоморфизмов бесконечномерных модулей (отметим здесь описание

Бэром двусторонних идеалов), и работы Р Бэра и С Улама., описывающие нормальное строение группы подстановок бесконечного множества, возбудили интерес к нормальному строению С Ьс(оо, Я) В работах А Розенберга, Г Максвела, Ю Хау-зен Э Робертсона, Д Аррела описывались нормальные подгруппы или подгруппы, нормализуемые элементарными матрицами в группе ОЬДоо, Н) для различных классов колец Оказалось что, так как в результате Басса, они попадают в интервалы связанные с конгруэшшодгруппами соответсвующими двусторонним идеалам И Фа-руки дал пример бесконечного множества несчетных цепей в решетке нормальных подгрупп группы СЬс(оо,2), обобщая определение конгруэнцподгруппы Р Берне и И Фаруки описали максимальные нормальные подгруппы в группе целочисленных матриц СЪДоо Щ, они естественным образом индуцированы гомоморфизмами Ъ г/р1 (р - простое)

Ряд авторов рассматривал подгруппы, определяемые в теоретико-групповых терминах абелевыразрешимые, нильпотентные, силовские и тд , основные достижения в этой области принадлежат в конечномерном случае Дж Диксону, Б Верфрицу, Д А Супруненко, В П Платонову, А Б Залесскому и другим алгебраистам минской школы Для группы ОЬс(оо, й) аналогичные исследования проведены Б й Плотки-ным, М Р Седневой И Д Иванютой, Л А Курдаченко И Субботиным и другими Предметом постоянного интереса является описание линейных групп с помощью образующих и определяющих соотношений — особое внимание к этому вопросу было стимулировано работами 60-х годов Р Стейнберга и Дж Милнора по стабильной группе Стейнберга В работах П Вермеша и его учеников Д Айреша, К Пастора, Й Денеша исследовалось порождение стрингами разных групп бесконечных матриц, как и разложение в комплексное произведение подгрупп В частности, они показали, чл о группа конечнострочных и конечностолбцовых матриц имеет ширину два относительно стрингов (диагональных матриц с конечными блоками на главной диагонали) над полем комплексных чисел В последнее время В Толстых решил проблему Бергмана, показывая, что существует натуральное к такое что полная линейная группа конечностолбцовых матрип над телом имеет конечную ширину не больше к для произвольного множества образующих

С теоретикомодельной точки зрения группа СЪДос, Я) и ее подгруппы исследовались в работах П Неймана, Д Макферсона, Д Эванса, С Гомаса Дж Бергмана, М Дроеге, Р Гебеля, В Толстых п других Они рассматривали в группе ОЬс(оо, К) в случае, когда К — поле подгруппы малого (счетного) индекса и максимальные подгруппы, направление тесно связанное с исследованием максимальных под1рупп конечных простых групп Выяснилось, что некоторые типы максимальных подгрупп в конечномерном случае являются такими и бесконечном случае Но с другой стороны, пояаляются новые типы максимальных подгрупп, естественные для бесконечного случая, как стабилизаторы максимальных идеалов или фильтров, почти ста-

билизаторы подможеств той же мощности, что их дополнения Отметим тоже, что группа СТ-с(оо, К) не является суммой счетной возрастающей последовательности своих собственных подгрупп это вытекает из того, что она удовлетворяет свойству кофинальности

После завершения классификации конечных простых групп внимание математиков привлек вопрос описания счетных локально конечных простых груш Эти вопросы рассматривались в работах Хирша, Кловса, О Кегеля, Б Верфрица, Р Хартли, А Залесского, У Мейерфранкепфельда, Ф Лайнена, О Пульизи, Б Лашингера и других Шпучено описание счетных локально конечных подгрупп в группе вЬ^ос, А') над конечным полем К

Еще один важный аспект в исследовании линейных групп связан с изучением решетки Ьа1(С?о, й) подгрупп группы б, содержащих некоторую выделенную подгруппу (Зо, — такую задачу обычно называют описанием промежуточна подгрупп Интерес к этой задаче связан с проектом классификации максимальных подгрупп конечных простых групп Для линейных групп над конечным по 1ем эта Проблема была решена аоляоегью П Клейдыаном и М Либекоы Для бесконечных полей а также для разных типов колец вопросы, связанные с описанием решетки промежуточных подгрупп, рассматривались во многих согнях работ авторами которых являются Ж Тигс, А Ворель, Д Дьокович В П Платонов К Судзуки, Ли Шанчжи, Н С Романовский, Р А Шмидт А В Степанов, Ли Фуан и многие другие Счедуег отметить проблему описания надгрупп расщепймого максимального тора Оддя из основных резулыагов представляемой работы относится к этому направлению изучения линейных групп

Известная 1еорема А Бореля и Ж Титса говорит,что если Со - расщепимый максимальный гор группы Щевалле £? = С(Ф, Я), то для каждой подгруппы Я решетки Ьа1(С,Со) существует такое единственное замкнутое подмножество Я С Ф что выполняются включения

О (5) <Н< N(5),

где под 0(5) понимается подгруппа, порожденная тором бо и всеми корневыми элементами 1а(0 при а е € А, а под N(5) — нормализатор 0(5) в группе С? Такая классификация весьма обычна при описании промежуточных, подгрупп — удобно называть ее стандартной, говоря при этом что подгруппы 0(5) служат ее базисом

При переносе теоремы Бореля-Титса на другие поля и кольца в работах разных авторов возник и далее стал общеупотребительным подход, связанный с рассмотрением особых матриц из идеалов и соответствующих им подгрупп — сетей идеалов и сетевых подгрупп как они стали называться в работах 3 И Воревича и его учеников ленинградской-петербургской школы Как частные случаи, работы большинства авторов включают в себя алгебраически замкнутые и конечные поля, но техника

доказательства в них совершенно отличается от методов алгебраической геометрии и конечных групп 3 И Боревич доказал, что если К — произвольное поле, содержащее не менее 7 элементов, то решетка надгрупп диагональной группы О (я, К) в допускает стандартное описание, базисом которого служат Д-сетевые

подгруппы О(с) В дальнейшем 3 И Боревич и Н А Вавилов доказали, что решетка Ьа1;(0(п, /?), бЦга Я)) описывается стандартно и для большинства полулокальных колец й (не обязательно коммутативных)

В представляемой диссертации мы обобщаем сразу несколько из упомянутых здесь результатов Следует сказать, что техника, развитая для этих вопросов позволяет получить новые результаты и для других групп бесконечных матриц

Таким образом, вопросы, рассматриваемые в диссертационной работе, тесно связаны с общим развитием структурной теории бесконечномерных линейных групп Это и определяет актуальность темы диссертации

Цель работы Основной целью работы является исследование структуры подгрупп бесконечных матриц над произвольным ассоциативным кольцом В рамках этой задачи требуется разработать технику работы с бесконечными матрицами Следует исследовать, какие понятия и методы конечномерных групп можно перенести на случай групп бесконечных матриц, ввести новые понятия и методы, свойственные для бесконечных матриц В этом же контексте особенно интересно построить аналог теории сетевых подгрупп выработать правильные определения и методы

Методы исследований. В работе испочы\ ются ана тоги традиционных методов теории линейных групп над кольцами включая метод исследования по^у рупп линейных групп при помощи сетей идеачов применяемых в случае бесконечных матриц выработаны новые понятия для работы с бесконечными матрицами (понятие роста) усовершенствованы методы работы с понятиями раннее использованными в исследовании бесконечных матриц (стринги) Применяются также общие теоретико-групповые и теоретико-кочьцевые методы

Научная новизна В диссертации получены следующие новые научные результаты

• введено в рассмотрение новое понятие роста натуральнозначных функций, позволяющее классифицировать подгруппы бесконечных матриц и других счетно-мерных алгебраических структур описаны свойства решетки ростов,

• обобщены на случай произвольного ассоциативного кольца результаты о порождении стрингами важных кчассов групп бесконечных матриц вычислена ширина относительно стрингов некоторых подгрупп группы бесконечных матриц

• описаны с использованием бесконечных аналогов сетей и сетевых подгрупп про-межу точные подгруппы в группе конечностолбцовых бесконечных магриц (содержащие клеточно-диагональные матрицы), в группе треугольных матриц и в группе Маклейна (содержащие диагональные матрицы), описаны параболические подгруппы группы Вершика—Керова,

• построено новое представление свободной группы бесконечными унитреуголь-ными матрицами над кольцом характеристики нуль и р > 2, упрощающее доказательства классических теорем о свободных группах,

• доказано что в группе бесконечных унитреугольных матриц над конечным полем почти все ¿-порожденные подгруппы являются свободными группами ранга

• доказано, что в полугруппе бесконечных треугольных магриц над конечным полем почти все fc-порожденкые подполугруппы являются свободными полугруппами ранга к,

• описаны новые подгруппы группы автоморфизмов свободной группы счетного ранга и относительно свободных групп, определены естественные для них множества порождающих,

• охарактеризованы свойства двух классов подгрупп группы автоморфизмов корневого графа счетной валентности

Теоретическая и практическая ценность Диссертация имеет теоретический характер Введенные в ней понятия, развитые методы и полученные результаты применимы при исследовании структуры групп бесконечных матриц над различными классами колец Материал изложенный в диссертации, может быть использован при чтении специальных курсов по линейным группам

Апробация работы Резулыагы полученные в представляемой работе докладывались на международныой алебраяческой конференции, посвященной памяти 3 И Боревича (Санкт-Петербург 2002), на международной конференции по теории групп "Groups St Andrews"(CaHl Эндрюс Великобритания, 2001 и Оксфорд 2005) на международных конференциях "Groups and Group Rmgs"(Ustion 2003, Bedlewo 2005), на конференции по геометрической теории групп (Хайфа 2000), на алгебраических конференциях в Украине (Ужгород 2001, Киев 2001, Львов 2003), на конференции, посвященной памяти Д А Граве (Киев 2002) Результаты работы докладывались на алгебраических семинарах университетов Вирцбурга (2001), Эрланген (2001), Афин (2002), Барселоны (2003), Варшавы (2002, 2004,2006), Вроцлава (2004), а также на петербургском городском алгебраическом семинаре им Д К Фадцеева

Публикации Практически все результаты, полученные в диссертации, опубликованы в работах [1|-[12[

Структура и объем работы Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, содержащих в общей сложности 19 параграфов, и списка литературы, насчитывающего 180 наименований Общий объем работы 135 страниц текста

Содержание диссертации

Приведем основные определения и полученные результаты в том порядке, в каком они расположены в представляемой работе

В первой главе мы подробно описываем основные объекты исследова ния Она по-свяшена определению группы бесконечных конечностолбцовых матриц Приведены основные результаты о ее подгр\ппах Введено понятие роста нагуральнозначных функций описаны его свойства и применены ,i,ля построения новых семейств подгрупп Исследована ширина подгрупп относительно семейства стрингов

В § 1 мы напоминаем определение колыця, бесконечных матриц и подробно его обсуждаем Мы даем примеры бесконечных матриц которые обратимы и имеют много обратных и в то же время являющихся делителями нуля Кроме того мы приводим примеры верхних треугольных матриц, обратные к которым являются нижними треугольными и которые имеют необратимые элементы на диагонали либо даже нули (см [4]) Группа бесконечных матриц описывается в § 2, приведены определения известных ее подгрупп Мы доказываем, что группа GL(R) является нормальной подгруппой группы GLre(oo, R)

В § 3 мы напоминаем определение и основные свойства стабильной элементарной группы, порожденной элементарными трансвекциями, и относительной стабильной элементарной группы Мы вводим понятие SL— трансвекции, которая отличается от единичной матрицы только в одной строке вне диагонали, и обобщенной трансвекции (блочно-диагонадьной матрицы, у которой все блоки суть элементарные трансвекции) Эти обобщения элементарной трансвекции более естественны в случае бесконечных матриц Для обобщенных регулярных трансвекций мы находим коммутационные формулы

Мы исследуем строение и нормальные подгруппы группы UTj^oo, Ft) состоящей из всех унитреугольных матриц у которых все ненулевые элементы над главной диагональю находятся в конечном множестве строк

В § 4 вводится новое понятие роста нат\ральнозначных функций и описываются основные его свойства В следующем § 5 понятие роста применяется для описания большого класса подгрупп группы бесконечных матриц Понятие роста, играет ключевую роль в теории групп Для фиксированного множества образующих S группы G, симметричного и не содержащего 1, мы определяем длину элемента д как раесто-

яние от g до 1 в графе Кэли группы G по отношению к S Пусть f(n) — количество элементов группы G в шаре радиуса п с центром в 1 Функция / неубывающая и может быть распространена на все неотрицательные вещественные числа На множестве всех таких неубывающих функций можно определить некоторое отношение эквивалентности, классы которого называются ростами Рост не зависит от выбора S и /, и, таким образом является инвариантом самой группы G Для конечно-порожденной бесконечной группы G выполняется следующая трихотомия G имеет либо полиномиальный ром, либо промежуточный рост, либо экспоненциальный рост Дтя алгебр имеется аналог понятия группового роста, с примерно такой же конструкцией (под алгеброй мы будем понимать ассоциативную алгебру с единицей над полем) Пусть А — конечно порожденная алгебра над полем F с множеством образующих tti , аш Положим V0 — F и для п > 1 обозначим через V" подпространство, порожденное одночленами степени ri в образующих ai, ,am Тогда А = и^0Аг, где Ап = F + V + V2 + + l/n Функцию dv(n) = dimptAi) можно рассматривать как функцию из Ф - множества всех возрастающих положительнозначных функций / N —» R На Ф вводится отношение эквивалентности, классы эквивалентности которого называются ростами Рост (dv(n)J является инвариантом алгебры А

Самым полезным для практических целей понятием размерности является размерность Гельфанда—Кириллова (называемая также СЖ-размерностыо), которая определяется следующим образом

GKdim(A) = supkmlog„d\/(n), v

где супремум берется по всем конечномерным подпространствам V алгебры A GK-размерность может равняться 0 1, любому вещественному числу из интревала [2, оо)

или 00

Дж Ханна и К С О'Мира ввели и изучили новое понятие роста алгебр Это понятие не использует рост алгебр в терминах образующих, но основано на подходящих представлениях бесконечных матриц Из результата К Гудирла, П Менала и X Монкази следует, что каждую счетно-мерную алгебру А над полем F можно вложить в алгебру Атс(оо, F) конечнострочных и конечносголбцовых матриц над F В дальнейшем мы зафиксируем такое вложение и отождествим А с ее образом в этом вложении Все ненулевые матричные элементы матриц из А расположены вблизи главной диагонали Ханна и О'Мира ввели количественную меру того, насколько близко к диагонали можно собрать ненулевые элементы матрицы Именно, кривую роста, которая ограничивает ширину полосы элемента алгебры

Мы говорим, что / N -» К+, /(?i) =?i+ h(n), является кривой роста для а = (at}) е А у i N, если <w = 0 = аь, для всех к > }(п) Рост элемента а не превосходит h(n) или, короче а — элемент роста 0(h(n)), ест найдется такое

с > 0, что с (п + h(n)) является кривой роста для п Алгебра 4 имеет рост 0(h(n)), если каждый элемент а € А имеет рост 0(h(n)) Рост порядка 0(п) называется линейным Основной результат можно сформулировать следующим образом каждую счетно-мерную алгебру А над полем F можно вложить в А„(оо, F) как подалгебру линейного роста Это позволяет определить размерность в полосе (или ленточную размерность) счетно-мерной алгебры как

mf {г е Ä, Я > 0 | А вкладывается в Arr(oo F) с ростом 0(т?г)}

К сожалению, в общем случае что понятие размерности в полосе не очень полезно, так как множество

B(r) = {ае Агг{оо F) j а имеет рост 0(яг)}

является подалгеброй в Л„(оо, F), только если г е [0 1] Ханна и О'Мира сформулировали задачу нахождения подходящего обобщения этого понятия для несчетно-мерных ачгебр

В пара,графах 3 и 4 мы решаем эту задачу А именно, \ш обобщаем понятие размерности в полосе и роста групп Это обобщение основано на идее аналогичной той, которая использовалась в работе при изучении групп перестановок Мы рассматриваем неубывающие функщш из Ни{зо} в NtJ{oo} К пассы этих функций относительно подходящего отношения эквивалентности называются ростами Мы определяем две естественные операции на множестве Q* ростов По отношению к этим операциям П* образует решетку с интересными алгебраическими свойствами Именно (см [11])

'Теорема 1 Множество ростов О* с операциями V и>2 11 Л uij образует решетку, обладающую следующими свойствами

a) В решетке fi* существует наименьший элемент lOq и наибольший элемент- lV^

b) Для любого роста, а> тако?о чт.о ш < Шоо, существует такая строго возрастающая последовательность ростов и — щ < u-'i < < < ип < , что каждый рост экспоненциально больше и),, 1 = 0,1,

c) Решетка № плотная, т е для любыхu/j < из, € О*, существует такой рост а1.з е П* что < щ < W2

d) В решетке Ü* не существует пи атомов, ни коатомов

e) Для всех и.1, Wo < < существует несчетное семеИст.во попарно несравнимые ростов которые не сравнимы с ш (несчетные антицепи)

f) Решетка U* дистрибутивная, (и таким образом, модулярная)

g) Решетка Q* полная

С каждой бесконечной матрицей о можно связать нижнюю и верхнюю граничные функции /(гг.) и д(п) В некотором смысле функции / и q дают траницы для

ширины полосы вдоль главной диагонали содержащей все ненулевые элементы матрицы а Иными словами все ненчлевые элементы зажаш между двумя кривыми, определенными функциями /, g

Эти границы естественным образом согласованы со сложением и умножением матриц Это позволяет формулировать наши результаты на языке универсальной алгебры, 1ак чтобы совместно охватить полугруппы, группы, кольца, алгебры и алгебры Ли

В терминах ростов, связанных с данными нижней и верхней границами мы определяем четыре подмножества универсальной алгебры Хс(оо, Я) кокечностобцовых матриц Эти подмножества являются универсальными подалгебрами (теорема 2) Кроме того, мы определяем две решетки подалгебр, изоморфных решетке П* (теорема 3) Мы доказываем что для каждого подмножества У множества Хс(оо, Я) существуют наименьшие росты такие, что У содержится в Х(шь^г) — подалгебре, определенной этими ростами (теорема 4) Это наблюдение является основой для определения роста в полосе (или просто роста) Мы устанавливаем основные свойства роста

В § 6 исследуется понятие стринга и порождаемость стрингами разных подгрупп группы бесконечных матриц Мы доказываем результаты о ширине групп подстановок 8ую(а.') = Эуп1(К) П ОЬ(ш) и верхнетреугольных матриц 1!Т(ы) = ОТ,(оо Я) П вЦи;) относительно соответствующих стрингов Мы говорим, что ширина группы О относительно порождающего множества Б равна к, если каждый элемент из (3 является произведением не больше чем к элементов из 51 и существует такой элемент, который не является произведением меньшею числа элементов из 5

Стрингом называется блочно-диагональная матрица с конечными блоками на диагонали Имеем (см [11], [8], [9])

Теорема 5 Группы Зугп(ш) ЪТ(ш) и СЬь(ос, Я) порождаются стритами Ширина групп 8ут(и,') и иТ(^) равна 2

Пусть Зут(2) = .Чут(М) Г) (7(5) Подгруппа 8ут(й0) называется группой финитных перестановок (подруппой всех перестановок, которые сдвигакя лишь конечное число элементов) Группа 8уш(£2о) финитных перестановок нормальна в 8уш(Н)

(предложение 13) Инволюция о € Зут(К) называется элементарной, если все 2-циклы в а имеют вид {г, г + 1) Группа Зут(^о) порождается элементарными инволюциями (предложение 14)

Мы доказываем, что в случае поля группа СЬгсСоо К) имеет ширину не больше 6 (предложение 17) Нам неизвестно, порождается ли группа СЬ,с(оо, Я) стрингами для произвольного кольца Л Но, группа порожденная стрингами всегда нормальна В СМоо, Л) (предложение 18) Кроме того, для любого коммутативного кольца Л группа Е(Я) нормальна в СЬ5(,(оо, Л) (предложение 19)

Бесконечное произведение { = и 6 ОТ(°°> Л) элементарных трансвекций и назьшаем обобщенной траясвекцией, если существует последовательность {и,} (п, > 1) натуральных чисел такая, что для ка.ждоЙ трансвекции = ^¡¡(а) выполняется условие «1 + + < к, < I, < щ + + п,

Матрица а € 1Щоо, Л) называется я-квазидиагональной если о.ч = 0 для всех г, ] таких, что ] — 1>п,т «,,»+„. ф 0 для хотя бы одного индекса г Мы говорим, что а квазидиагональна (или обобщенно якобиева или конечной ширины или ленточная), если а п-квазидиагоналъна для некоторого п Все матрицы а из 1Щоо, Л) такие что о и а~1 квазидиагонаяьны, образуют подгруппу ОТДоо, Л) Группа иТ;,(оо, Л) порождается 1-квазидиагональными обобщенными траисвекциями (предложение 21)

Во второй главе понялия сети идеалов и сетевой подгруппы обобщаются на случай бесконечных матриц Это позволяет применить эту технику к исследованию подгрупп группы конечностолбцовых бесконечных матриц, группы бесконечных верхних треугольных матриц, группы Чаклейна, группы Верщика—Керова Описывается также структура некоторых подгрупп, содержащих только стрит и

В § 7 мы даем определение се гей и сетевых подгрупп в сл\чае бесконечных матриц Приводим основные их свойства Исследуются прямые пределы сетей и сетевых подгрупп Пусть Я произвольное ассоциативное кольцо с единицей Система а — (<7Ч), ! ) 6 К, двусторонних идеалов кольца. Л называется сетью идеалов в Л, если иХТаТ:> С аХ1 при всех значениях г,;,г € N Сеть а мы называем О-сетью, если оа = Л при всех значениях г Для сетей янг мы вводим отношение частичного порядка, полагая а < г, если С г,, при всех значениях г,] Легко видеть, что все сети в Л относительно введенного частичного порядка образуют полную решетку с наименьшим элементом — нулевой сетью (все идеалы нулевые) и наибольшей сетью - единичной сетью (все идеалы равны Л)

Пусть М(сг) обозначает множество всех матриц а € Мс(оо, Л), таких что в,, € <7Ч при всех значениях г,] Если <т является сетью, то М(ст) является кольцом, а множество е + М(<т) = {е + а а € М(сг)} является мультипликативной системой Ясно, что в случае В-сети а множество е + М(и) совпадает с М(ст)

Максимальная подгруппа группы СЬс(оо, Л), содержащаяся в е +- М(называет -

ся сетевой подгруппой соответствующей сети а и обозначается G(<r) Если а является D-сетью, то G(<t) называется также D-сегевой подгруппой

Примерами сетевых подгрупп являются группа верхних (или нижних) обратимых треугольных матриц, группа клеточно-диагональных обратимых матриц с фиксированными размерами клеток, в частности, группа диагональных матриц В частности, единичная подгруппа и полная линейная подгруппа конечно столбцовых матриц — сетевые Соответвующне им сети — это нулевая сеть (все идеалы нулевые) и единичная сеть (все идеалы совпадают с R)

Подгруппа GLc(oo, R), порожденная всеми элементарными трансвекциями содержащимися в G(<r), называется этементарной сетевой подгруппой, соответсвующей сети <7, и обозначается через Е(а) Для сети а через N(c) мы обозначаем нормализатор подгруппы G(<j) в группе GLc(oo, R) В случае стабильной группы Г - GL(ñ) определяем сетевую подгруппу Г(<т) как пересечение G(<r)nGL(Ä), а символом Nr(c) обозначаем нормализатор Г(<7) в группе GL(ñ) Мы доказываем

Предложение 24 Пусть R — полулокальное кольцо поля вычетов которого отличны от F2 IF3, Í4, F^ и М(2, ffj) Тогда для любой подгруппы Н стабильной линейной группы Г = GL (К), содержащей все диагональные матрицы, существует единственная D—сеть идеалов а такая, что Г(<т) < Ii < Nr(f)

В § 8 дается описание подгрупп rpj ппы бесконечных конечностолбцовых матриц содержащих группу клеточно-диагональных матриц

Пусть R — комутативное кольцо с 1 Rk — группа обратимых элементов кольца R Пусть и — отношение эквивалентности на множестве натуральных чисел N такое, что все классы эквивалентности h, In, конечны Наименьший из порядков |/i|, , )/„I этих классов будем обозначать через /l„ Если г и ) эквивалентны относительно v то пишем г ~ j С эквивалентностью v на N свяжем D-сеть [г/], определив ее условиями [f]y — единичный идеал R, если г ~ j, и [г/],3 — нулевой идеал в противном случае Соответствующую D-сегевую подгруппу G(H) обозначаем также через D(f) Группу D(f) будем называть группой клеточно-диагональных матриц заданного типа v Элементарную сетевую подгруппу i?^!), соответствующую D-сети [и] называем элементарной клеточно-диагональной группой типа v и обозначаем также через E{v)

Для произвольной D-CBivi а определим на N эквивалентность считая индексы г и j эквивалентными относительно v„ тогда и только тогда, когда аг] — о3, = R Ясно, что [i>a] < и, так что D{va) < G[a) и E{v0) < E(cr) Очевидно также, что Х?(ц,) (соответственно Е{и„)) — это наибольшая клеточно-диагональная группа, содержащаяся в G(er) (наибольшая элементарная клеточно-диагональная группа содержащаяся в Е(&)) Для D-сети а полагаем h{a) = h(va)

Пусть Я подгруппа группы G = GLPC(oo, ñ), содержащая группу E{i/) элемен-

гарных клеточно-диагональных матриц типа v где h{v) > 2 С подгруппой Н мы свяжем однозначно определенную D-сеть идеалов о Для упорядоченной пары различных индексов г и j через ач обозначим совокупность тех элементов из а € Я, для которых Ьгу{а) € Н Положим дополнительно а„ = Я для всех г 6 N Построенная D-сеть идеалов а называется D-сетью, ассоцироеанной с подгруппой Н Мы доказываем следующую теорему

Теорема 6 Пусть Я — произвольное коммутативное кольцо с единицей, С — GLrc(oo Я) - полная линейная группа бесконечных конечно столбцовые матриц над Я, v — отношение эквивалентности на N в котором все классы, эквивалентности конечные и для которого h{y) > 3 Пусть E{v) — элементарная клегпочно-диагональная подгруппа типа и, Н — подгруппа в G содержащая группу Е{и) Тогда существует и притом единственная D-сетъ а > такая, что Е(<?) < Н < N(<7) Сеть 17, для которой имеем последние включения, является D-сетью, ассоцироеанной с подгруппой Н

В § 9 дается описание подгрупп группы бесконечных верхних треугольных матриц Т(°с, Я), содержащих {или нормализуемых) стабильной группой диагональных матриц D(ft), при некоторых ограничениях на ассоциативное кольцо Я

Пусть К ассоциативное кольцо с единицей 1 Я* ipynna обрашмых элементов кольца Я Группа Т(°о Я) состоит из всех бесконечных верхних треугольных матриц над кольцом Я у которых все диагональльные элементы обратимы, D(oc, Я) — подгруппа всех ее диагональных матриц Тогда стабильная группа D(H) cocioiir из всех диагональных матриц, у которых только конечное число элементов на диагонали не равно 1 В этом параграфе мы рассматриваем только верхние сети а для которых <Ту тривиально для всех i > j Если, кроме того, <т„ = й для всех г 6 N, мы называем а верхней D—сетью Пусть М(<т) множество всех треугольных матриц а таких, что ач € atJ Пусть G(ct) обозначает сетевую подгруппу, а Е(ег) элементарную сетевую подгруппу 1 руппы G(<j), порожденную веема элементарными трансвекци-ями t,3(C), где С 6 a,v 1,3 € N, г < j Главным результатом параграфа является следующая (см }1])

Теорема 7 Пусть Я — ассоциативное кольцо с 1 такое, что существует элемент 0 6 Я* для которого 0 — 1 £ Я* и R аддитивно порождается элементаляа Я* Пусть Н подгруппа группы Т(оо Я) содержащая О(Я) Тогда существует единственная верхняя D—сетъ о = (сгг}) двусторонних идеалов кольца Я такая, что 0(Я) Ё(ст) < Н < G(<t) Если, кроме того, подгруппа Н содержится в стабильной треугольной epynneT(R), то Н = G(сг)

При некоторых допотигельных устовиях коммутативности мы можем доказать больше, именно (см [1])

Теорема 8 Если в предположениях Теоремы 7 элемент в принадлежит центру R* и Н является подгруппой группы Т(<х>, Я), нормализуемой подгруппой D(H), то существует единственная верхняя D—сеть а = (<тч) идеалов R такая, что Е(<т) < Я < G(er)

В § 10 мы исследуем структуру нормальных подгрупп группы Маклейна с использованием сетей идеалов и сетевых подгрупп Мы определим большую подрешетку Л решетки нормальных подгрупп группы Маклейна- при некоторых ограничениях на ассоциативное кольцо R Эта подрешетка состоит из сетевых подгрупп, соответсву-ющих нормальным сетям В случае, когда R- поле, [Я| > 2, при небольших ограничениях на множество идассов Л изоморфна, решетке монотонных функций и не зависит от основного поля

Пусть / — бесконечное линейно \ порядоченное множество индексов Пусть Т/(/, Я)

— группа всех / х Т обратимых верхних треугольных матриц только в конечном числе коэффициентов отличающихся от единичной матрицы Обозначим через D/(/, Я) и UT/(7 R) соответственно ее диагональную и унитреугольную подгруппы Группа СТД/ R) называется (обобщенной) группой Маклейна Группы Маклейна служат как примеры в общей теории групп показывающие ограничения для многих результатов Пусть и — сеть идеалов Пусть G(cr) — сетевая подгруппа. Сеть <т называется нормальной сетью, если для всех г < г < i г ■) г € / мы имеем <?„ с а,3 и оГ} С cv, Пусть G(cr) — сетевая подгруппа Главным результатом параграфа является [5]

Теорема 10 Пусть R — п.ссоцип,тивпое копъцо с единицей 1 которое аддитивно порождается обратными элементами и такое, что 1 является суммой двух обратимых элементов Пусть Н — подгруппа группы UT/-(J, R) Группа Н является нормальной подгруппой группы Тf(l R) тогда и только тогда, когда Н — G(<r) для ■некоторой ьорм,альной сети а

Мы описываем нормальные подгруппы при помощи монотопных функций Пусть й — h поле (или npoiToe кольцо) такое что |К| > 2 Обозначим через MF[f) множество всех функций / f —* Г U {эс}, которые монотонны, г с для которых из 1 < у следует что /(г) < /(у) Для О(ст) (<т- нормальная сеть) мы определим f„ следующим образом /„(?) = ¿минимальное ] такое что ап Ф 0 и ос в остальных случаях Если а нормальная сеть то/„ е MF(1) Множество MF(1) является решеткой относительно операций (/1ТЛ/Г)(г) - таx{fv{i) fr(i)} (/^V/r)(j) = mm{/<,(«),Л(»)}

Мы имеем (гм [5])

Теорема 11 Если К — поле, \К\ > 2, и каждое непустое подмножество интервала [а, ос] (а € I) содержит минимальный мемент, то соответсвие G(o~) >-> }а определяет решеточный изоморфизм между решеткой А = {G(cr) 6 UT/(7, К) а

- нормальная сеть } и решеткой MF(T)

Ol меч им что результаты и методы =>тш'о параграфа. можно использовать для описания под1рупп группы Tf(I,R), содержащих D/(/, Л), [5]

Теорема 12 Пусть Я — ассоциативное кольцо с 1, которое аддитивно порождается обратимыми элементами и такое, что 1 является суммой двуя. обратимых моментов Пусть Н — подгруппа группы 1/(1 Л) содержащая D/(/, Л) Тогда существует единственная верхняя D—сетъ er = (<rv) двусторонних идеалов кольца Л такая, что Ы - G(a)

111 посвящен группе Вершика-Керова Здесь показываем что все параболические подгруппы группы Вершика-Керова GL\ к(Л) (т е подгруппы содержащие Т(ос R) — группу бесконечных верхнетреугольных матриц) являются сетевыми подгруппами для широкого класса полулокальных конец Л

Группа ОЬук(Л) определяется как подгруппа группы GLc(oo, Л), состоящая из всех матриц, имеющих конечное число ненулевых элементов ниже диагонали (ясно, что Т(оо. Л) < GLvk( Л) < GLc(oo, Л)) Она рассматривалась Вердшком и Кировым в случае конечного поля К Она имеет применения в теории представлений GLvk (А) является бесконечномерной локально компактной, вполне несвязной, <шенабельной в Т0ГЮЛО1 ическом смысле и унимодучярной группой Стабильная полная линейная группа GL(Ä*) является ее плотной подгруппой, факторгруппа GLvk(A') по центр\ является топологически простой 1руппой

Мы получили чисто алгебраическое описание параболических пощругш rpjnuw GLvk(H) Главным результатом является (см [2])

Теорема 14 Пусть R полулокальное кольцо, в котором 1 является суммо-й двух обратимъа элементов Если Н — параболическая подгруппа группы СЬук(Л), то существует единственная Т—сетъ er — (сгц) двусторонних идеалов в Л такая, что Н = G(cr)

Используя эту теорему, мы можем доказать стандартные свойства параболических подгрупп в ОЬук(Л) (см [2])

Теорема 15 Если R — полулокальное млъцо, в котором, 1 является сулшой двух обратимых элементов то

(i) Если Fi Рг - две параболические подгруппы в ОЬук(Л) и gPig 1 С Рг

для некоторого g € GLvk(Л) то у € Р^ и Pi С Рг (и) Любые две разные параболические подгруппы группы GLvk (Л) не сопряжены (ш) Любая параболическая подгруппа самонормализуема

Пусть Syiufm(N) обозначает рехулярное матричное представление группы перестановок натуральных чисел е конечным носителем Мы имеем (см [2]) Теорема 16 Для любого поля К

GLs-k(K) -- ТЫ, К} Syme„(N) 'Доо К)

В § 12 мы определяем два типа групп бесконечных матриц, состоящеих только из стрингов Пусть х € GL(п, Я) Обозначим через D(.r) бесконечную блочно-диагональную матрицу diag(r х х ) Мы положим

GL* (Я.) = (D(®) г е GL(n, R),n 6 N}

Ясно что GL*(R) является группой Группа GL*(R) имеет другое представление как прямой предел конечномерных групп Пусть т,п - натуральные числа такие, что т делит п (пг\п) Пусть фпт — естественное вложение группы GL(m R) в группу GL(n Я), заданное равенством = diag(r а, , г) Это так называемые строго

диагональные вложения Ясно что дня любых натуральных к,т,п таких, что т\г> и п\к мы имеем ф^ — ф^ о Сумма групп GL(re, Я), п 6 N относительно этих вложений совпадает с прямым пределом lim(GL(n, Я) ф"т) и равна GL*(R) Отметим, что GL*(/?) отличается от стабильной линейной группы GL (Я), которая является прямым пределом при вложениях ib%{x) — diag(.r 1, ,1)

Пусть £ — множество бесконечных последовательностей (?1ьП2,т)з, ) натуральных чисел таких, что пг > 2 и nt|n*+i Для всех г 6 N Если £ = (щ nj, ), то ^-гомогенной потной линейной группой называем прямой предел индуктивной системы (GL(п, Я), 0¡¡,) где я, m пробегают только значения из последовательности £ Этот прямой предел будем обозначать GL(£ R) или GL(£) С каждой последовательностью £ можем связать с> пернатуральное число $(£) следующим образом s(£) = 251 З52 , где ч, равно наибольшей степени числа, р,, делящей все п3 или ч, = оо если такое число но существует Оказывается, что прямые пределы однозначно определены числами ?(() Разным супернатуральным числам огвечают неизоморфные пределы

Все f-моногенные группы в GL*(Я) составляют решетку, изоморфную решетке супернатуральных чисел Решетка ^-моногенных групп полная дистрибутивная имеет наименьший и наибольший элемент Мы описываем нормальные подгруппы и подгруппы содержащие диагональные матрицы в группе GL*(R) и группе GL(£) используя соответсвующж элементарные группы и конгруэниподгруппы

III глава посвящена свободным подгруппам бесконечных унитреугольных групп Известно что конечномерные унитреугольные группы нилыготентны, а стабильная унитреугольная группа локально нильпотентна тем самым они не содержат свободной подгруппы Оказывается, что уже группа унитреугольных матриц содержит свободные подгруппы и их много в точно определенном смысле

В § 13 построено представление свободной группы ранга 2 бесконечными унит-реуголькыми матрицами над кольцом целых чисел и кольцом вычетов по модулю р (р > 2) Эго представление простое, а доказательства элементарны

Во многих работах рассматривается ситуация, когда. gp(e, Ъ) подгруппа группы С порожденная элементами nji является свободной группой ранга 2 Обычно G яв-

ляется группой конечномерных матриц, перестановок счетного множества или преобразований эвклидова пространства

На самом деле, мы покажем больше Бесконечная верхняя унитреу гольная матрица А = (а,}) называется тпгквазидиагоналъной, если а,3 = 0 для ] > г + т и ф 0 для некоторого к Матрица А называется квазидиагоналъпой, если она т-квазидиагональяа для некоторого га Символом иТб(оэ, 2) обозначим подгруппу группы ЪТ(оо 2) состоящую из всех матриц А таких что А и А~1 являются ква-зидиашнальными Символом А„ обозначим подматрицу матрицы Л, которою получаем выбрасыванием первых « строк и первых 5 столбцов матрицы А Положим гез(А) = {А А|ц,Лр], } Множество ЪТгм(со,2) = {А е ОТ{оо,г) |гез{А)] < оо и |геБ(/4-1 )| < оо} является подгруппой

Теорема 17 [6] Группа §р(и, I)) является свободной (неабелевой) подгруппой ря/нга 2 группы ЪТ(>(ос, 2) П иТ^Доо Ж)

Приведем теперь пример свободной подгруппы в модулярном случае Пусть иГ(эс Ж) иТ(оо,р) — канонический гомоморфизм по модулю р унигреуго [ьной 1руш1ы (р - простое число) Иэ Теоремы 17 следует (см [6])

Теорема 18 Если щр(а,Ь) — группа из Теоремы 17, то яр{(р?{а},1£р(Ь)) является свободным произведением Ср * СР двух циклических групп порядка р

Следствие 7 |6] Для любого простого р > 2 группа иТь(оо р) П иТге3(оо,р) содержит свободную подгруппу 'ранга 2

Отметим что свободные подфуппы группы игГ(ос,<?) были построены на языке конечных автоматов в работе Алешина для § = 2 (доказательство там неполное), в работе Брункера и Сидки для д = 2" (п > 2) и в работе Олийныка для (1 — 2,3 Работа Олийныка и Сущанского содержит первый пример двух бесконечных матриц, которые порождают свободную подгруппу в игГ(,(оо, 2) Л и'Ггез(оо, 2)

Наше представление свободной группы имеет техническое преимущество в отношении к представлениям свободной группы поворотами трехмерного пространства (Хаусдорф) формальными рядами (Магнус; или квадратными матрицами степени 2 (Санов) Используя это представление в § 14, мы даем совсем простые доказательства аппроксимируемости свободных групп нильпотентными группами (теорема Магнуса) и конечными р-груинами (георема Ивасавы)

Напомним, что группа С аппроксимируется группами со свойством Р, если для каждого элемента д е <3, д ф 1 существует нормальная подгруппа группы С не содержащая д и такая, что фактор1 ругша б'/Л^ обладает свойством Р Иначе говоря, С аппроксимируется группами со свойством Р если все нормальные иощрушш чьи факгор1р)1шы ^/бло^аюл свойством Р пересекаются цо единице

Мы даем тоже простое доказательство того факта, что коммутант 2- порожденной свободной группы является счетно порожденной свободной группой (теорема Левп)

В § 15 доказывается, что почти все fr-порожденные подгруппы группы бесконечных у »¡треугольных матриц над конечным полем являются свободными группами ранга к

Пусть G -- UT(oo,р") - группа всех бесконечных (индексированных множеством № верхних унитреугольных матриц над конечным полем порядка р® (р - простое число) Множество Агт всех матриц а из G таких, что первые m столбцов а такие как у единичной матрицы е составляет нормальную подгруппу группы G Ясно, что |(7 jY„] < эо и G является проконечной группой как обратный предел групп G/N™ ~ LT(т,рв) Проконечная топология индуцирует метрику d(r, ц), относительно которой группа G являстся полным метрическим пространством То же самое верно и для группы G* — G х х G если рассматривать произведение метрик d{x,y) Сети т € Gk то символом {.т) обозначим подгруппу группы G порожденную всеми координатами элемента, а; Положим

f = {ж S Gk I (.т) является свободной группой ранга к}

Подмножество метрического пространства называется нигде не плотным ести его дополнение содержит открытое плотное подмножество Сумма счетного семейства ншде не плотных множеств называется множеством первой категории (в смысле Бэра) Теорема Бэра утверждает, что в полном метрическом пространстве дополнение множества первой категории является плотным множеством Это значит, что в таком пространстве множества первой категории маленькие, например, все пространство не можег быть представлено в виде суммы счетного семейства множеств первой категории

Эпстейн показал, что почти все к—порожденные подгруппы связной, неразрешимой, конечномерной группы ГГи являются свободными группами ранга к, здесь выражение почти все интерпретируется используя натуральную меру Хаара на гру fine Диксон показал что почти все ¿--порожденные подгруппы в гру ппс подстановок счетного множества являются свободными группами ранга к в натуральной топологии, определенной на группе подстановок Батачаржи получила аналогичные результаты для обратных пределов сплетений нетривиальных групп Мы доказываем

Теорема 22 [3] Почти все к~ порожденные плдгруппы в группе G - UT(oo,ps) являются свободными группами ранга к, в том смысле, что множество Gk\ F является лтожестеом первой категории в Gk

Эта теорема показывает принципиальное отличие строения бесконечномерной унитреугольной группы G = UT(oo, jf) Отметим, что конечномерная унитреуголь-ная группа UT{m,ps) конечна, а стабильная у нитреу! ольная группа UT^ip3), как

прямой предел конечных групп иТ(?п,р4) при натуральных вложениях, локально конечная, гем самым они не содержат никаких свободных нециклических подгрупп Группа иТ(оо,р®) содержит тоже много интересных несвободных подгрупп например Нотингеймскую группу Известно, что любая счетно порожденная про-р-группа вложима в М, и тем самым в иТ(оо,р8) В частности, любая конечно порожденная резидуально конечная р-группа вложима в иТ(оо,р")

Используя результат Гарсайда и Найта, мы усиливаем наш результат доказывая, что почти все счетно порожденные подгруппы группы С? = ит(оо,/;3) являются свободными подгруппами счетного ранга и группа (7 = С! (оо, р3) содержит недискретную свободную подгруппу ранга два (следствие 8)

Наше доказательство Теоремы 22, в отличие от других доказательств, использует конкретные примеры свободных подгрупп Оно вытекает из существования в й конкретной счетной подгруппы, в которой много (обилие) свободных подгрупп Именно (СМ [3])

Теорема 23 Группа б = 1!Т(сс р*) содержит счетную подгруппу Н такую, что пересечение Нк с любым открытым шаром в в* содержит свободную подгруппу ранга к заданную конкретными порождающими

В § 16 доказываются аналогичные результаты для случая полу группы бесконечных треугольных матриц Главным результатом является (см [7])

Теорема 24 Почти все к—порожденные подполугруппы полугруппы 5 — Т(ос, рг) являются свободными полугруппами ранга к, иначе говоря, множество Э1" \ является множеством первой категории в

В IV главе мы применяем аяало] и понятий введенных в предыдущих разделах к исследованию других "счешомерныч'алгебраическмх структур а именно группы автоморфизмов свободной группы счетного ранга, группы автоморфизмов корневого дерева счетной валентности, ассоциативной алгебры и алгебры Лн бесконечных матриц

В | 17 рассматриваются подгруппы автоморфизмов свободной группы счетного ранга Группа автоморфизмов свободной группы конечного ранга была исследована во многих работах Я Нильсен получил ее представление используя элементарные автоморфизмы, называемые !еперь автоморфизмами Нильсена Его метод инициировал систематические исследования в этой области

По сравнениию с конечным случаем группа автоморфизмов <\.ш; свободной группы счетного ранга исследована слабо Проблема классификации ее подгрупп очень 1 рудная Известны естественные подгруппы, содержащие внутренние, финитарные, ограниченные, триангулярные, подстановочные и диагональные автоморфизмы Но даже дпч подгруппы ограниченных автоморфизмов не известна никакая

подходящая система порождающих Д Со татар выдвинул гипотезу, что эта группа порождается бесконечными элементарными одновременными (симультанными) автоморфизмами Нильсена но эта гипотеза пока не доказана

В § 17, основанном на совместной работе с Ч К Гупта [10j, мы строим новые подгруппы Aut Foo Стандартное понятие ограличенности автоморфизма а € Aut Fc0 состоит в существовании верхней грани ?? на длину всех редуцированных слов вида и(г,) и а_1(х,) Мы рассматриваем ограниченность с совсем другой точки зрения Мы требуем только, чтобы каждый свободный порождающий появляющийся в а(х,), находился вблизи г, всмысле,что не очень большое Отметим, что сумма экспонент порождающей г} в о{е,) может быть произвольной Это очень отличается от понятий ограниченности исследованных ранее Мы вводим понятие стринта, которое реализует наше понятие ограниченности Стринги являются аналогами бесконечных блочно-диагональных матриц с конечными б поками на главной диа гонали Множество всех конечных произведений стрингов Н является группой, называемой группой стрингов Она играет важную роль в дальнейшем Мы доказываем, что Н содержит гр>ппу порожденную подстановочными и верхнетреугочьнкми автоморфизмами и изучаем некоторые параболические подгруппы Н Мы описываем также бопмпую решетку подгрупп TL, связанных с ростами Главный резу мат параграфа говорит, что Aut Вж порождается (по модулю / 4—автоморфизмов) стрингами и вижнетреугольньши матрицами В последней части параграфа получаются аналоги этих результатов для некоторых других многообразий

Наши результаты верны и дня свободной группы несчетного ра.юа При чюм надо предположить, что семейство свободных порождающих вполне упорядочено Это неудивительно, так как даже известная теорема Ни тьсена-Шрайера (подгруппа свободной группы свободна) требует такого упорядочения порождающих в случае бесконечного ранга По аналогии с матричным случаем мы вводим понятие гтринга Пусть а автоморфизм F,следующего типа

(1) существует разбиение 6 N) множества.порождающих {.ть?2, } такое что Xi - {гь г„,} и дтя всех ? > ) мы имеем

Л j = {r^j-i где щ < и а < является строго возрастающей

постедоватальноетью натуральных чисел,

(2) дня любого к такого что + 1 < к < мы имеем а(хк) 6 (т„^ь ,rVl)

Автоморфизм удовлетворяющий условиям (1) и (2), называем стрингом

Множество Н всех конечных произведений стрингов является подгруппой группы Ant Еж (предложение 39) Группа стрингов содержит подгруппу, порожденную всеми верхними треугольными и подстановочными автоморфрвмами (предложение

40) Мы доказываем, что подгруппа верхних треугольных автоморфизмов содержит свободную подгруппу (предложение 38)

Существует несчетное семейство попарно несравнимых параболических подгрупп в Ti (предложение 41) Для любого роста w определяется подгруппа Н{и) и доказывается что множество таких подгрупп изоморфно решетке ростов из параграфа 4 (предложение 42)

Главным результатом параграфа является [10]

Теорема 25 Любой автоморфизм из Aut F^ является сложением неко-торого IA-автоморфизма и автоморфизма хм подгруппы, порожденной нижними треугольными и конечно столбцовыми автоморфизлшмп, т е AutFoo - (Т~,К.) Л

Мы доказываем тоже, что группа Aut F,^ содержит два счетных семейства подгрупп одно, состоящее из максима льных нормальных подгрупп и второе, содержащее нормальные несравнимые подгруппы (предложение 45) В заключительной части мы переносим некоторые результаты на относительно свободные группы (предложение 47)

В ^ 18 исследуются автоморфизмы корневого дерева счетной валентности Класс ípynn аиоморфизмов корневых деревьев в последнее время привлек внимание многих математиков Этот класс содержит важные примеры групп, например некоторые не локально конечные периодические грчпцы являющиеся конгрпрымер<и.ш к неограниченной проблеме Бернсайда, и примеры групп промежуточного роста контрпримеры к проблеме Милнора

Все эли примеры являются примерами групп автоморфизмов локально конечных деревьев С другой стороны, их естественное обобщение, группа автоморфизмов корневого дерева счетной валентности исследована слабо В данном параграфе мы исследуем подгруппы этой группы Описываем два семейства подгрупп выделенные ростами (классами натуральвозначяых функций над N) Приводим основные свойства этих подгрупп (см [12|)

Сначала в группе всех автоморфизмов AutT^' дерева счегной валентности Т^1 вводим семейство автоморфизмов конечного типа, связанных с ростами Мы говорим, чю функция / является fm—ограничением для автоморфизма г е AutT(?ä> если тв(га) = rfl(n) = п для всех п > /(1), и г„, :Ч(п) = т~1 >чДп) = п для всех п > j(k + 1) Если носитель подстановки т,и м бесконечен, говорим, что подстановка Гц, ограничена через f(k + 1) = оо

Для любого роста uí множество всех г € AutT^, таких, что все перестановки гх /m-ограничены некоторыми функциями / Дп) + и£ и/, является группой обозначаемой через Gf,n(íü) Легко видеть что AutTW — (7/я,(а)^) и имеем равенство

Uj^AutT"'' - G¡,„('Jo)

Решетка подгрупп изоморфна решетке ростов П* (предложение 49)

Для любого роста о- группа сферически транзитивно действует на сферах

(уровнях) деревьа (предложение 50) Мы показываем, что для наименьшего роста о-'п, группа о) порождается здементарными инволюциями (предложение 51)

Другое семейство называем автоморфизмами бесконечного типа Именно мы говорим что подстановка, тг € N ограничена ф>нкцией / € П,*, если для всех чисел п мы имеем 1г(??),тг_1(п) < f(n) Это определение ограниченности подстановки существенно отличается от /гп-ограниченности Ограниченная подстановка может иметь бесконечный носитель

Мы говорим, что функция / € П* ограничивает автоморфизм т € Аа1Т(к) если т$(п) ^"'(я) < /(я) для всех натуральных чисел п и

т-.„ т.;,1 .»</(")

для всех натуральных чисел п

Для любого роста о> определяем подгруппу группы следующим образом

С (и) = {т € А т ограничена некоторой / € ш }

Очевидно что Ащ — С(о.'те) Мы показываем, что решетка подгрупп {0(аЛ}ы!=п* изоморфна решетке ростов П* (предложение 52) Для любого роста ^ группа ) имеет тривиальный центр и любой ее автоморфизм является внутренним (предложение 54) Кроме того, группа в(сио) порождается всеми элементами г такими что т% является элементарной инволюцией для всех х из первого уровня дерева (предложение 53)

В § 19 заключающем эту главу описываются некоторые ассоциативные алгебры и алгебры Ли бесконечных матриц, связанные с ростами, и приведены результаты о порождении стрингами Доказывается, что алгебра строго верхних (нули ниже и на главной диагонали) конечнострочных бесконечных треугольных матриц порождается стрингами (предложение 55) а ее подалгебра квазидиагон&яьных матриц порождается нипыгатентными элементами (предложение 56) Описываем результаты Ханнах и Омирьт о ленточной размерности на. языке введенного нами роста [11]

В заключительной части описываем многочисленные примеры алгебр с помощью роста и даем набросок возможных обобщений

Работы автора по теме диссертации

Jlj W Hohibow&ki, Subgroups of infinite triangular matrices containing diagonal matrices, Publ Math Debrecen 59 (1-2), (2001) 45-50

[2| W Holubowski, Parabolic subgroups of Vershik-Ker ov s group, Plot Amer Math Soc 130 (2002), 2579-2582

[3| W Holubowski, Most finitely generated subgroups of infinite unitnangular matrices are ft ее Bull Austral Math Soc 66 (2002), 419-423

[4| W Holubowski, An inverse matrix of an upper triangular matrix can he lower triangular Discuss Math Gen Algebra Appl 22 (2002), No 2, 161-166

[5] W Holubowski, A normal structure of McLam groups, Aim Omv Sci Budapest Eotvos Sect Math 45 (2002) 171-177

[6j W Holubowski, Free subgroups of the group of infinite umtriangular matrices, Internat J Algebra Comput 13 (2003), No 1, 81-86

¡7] W Holubowski, The ubiquity of free subsemigroups of infinite triangular matrices, Semigroup Forum 66 (2003), No 2 231-235

[8] В Голубовски Подгруппы беско-нечных унитреугольныа, матрац, Записки научных семинаров ПОМИ том 338 (2006) 137-154

¡9| W Holubowski, Groups of infinite matrices Proceedings of Groups St Aridtews ¿003' Cambi Umv Piess London Math Soc Lecl Notes m Math vol 340 (2007) 441-495

(lOj С К Gupta, № Holubowski, Automorphisms of a free group of infinite rank, Алгебра и Анализ, том 19 (2007) No 2 74-85

[11] В Голубовски, Новая мера роста для групп и алгебр Алгебра и Анализ, гом 19 (2007) No 4, 69-91

¡12) В Голубовски, Автоморфизмы корневых деревьев счетной валентности, Записки научных семинаров ПОМИ, том 343 (2007), 199-205

АВТОРЕФЕРАТ Холубовски Вальдемар Марек

Подписано в печать 13,12 07. Печать ризографическая Бумага офсет. Объем 1,3 п л Тираж 100 экз

Отпечатано в типографии ООО «Печатный Дом» 191186,г СаннТ-Петербург.наб реки Мойки д.48,корпЛ0, Телефон (812)571-16-39

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Группы бесконечных матриц.

§ 1. Кольцо бесконечных матриц.

§ 2. Группы бесконечных матриц.

§ 3. Элементарные группы

§ 4. Рост функций.

§ 5. Подгруппы определенные ростами.

§ 6. Порождение стрингами.

ГЛАВА II. Классы промежуточных подгрупп.

§ 7. Сети и сетевые подгруппы.

§ 8. Подгруппы содержащие клеточно-диагональные матрицы.

§ 9. Подгруппы группы треугольных матриц.

§ 10. Подгруппы группы Маклейна.

§ 11. Группа Вершика—Керова.

§ 12. Группы состоящие из стрингов.

ГЛАВА III. Свободные подгруппы унитреугольных групп.

§ 13. Примеры свободных подгрупп.

§ 14. Применение к аппроксимационным свойствам.

§ 15. Почти все подгруппы свободны.

§ 16. Почти все подполугруппы свободны.

ГЛАВА IV. Применения.

§ 17. Автоморфизмы свободных групп счетного ранга.

§ 18. Автоморфизмы корневого дерева счетной валентности.

§ 19. Применения к алгебрам.

Бесконечные матрицы встречаются в разных разделах математики. Систематическое изучение началось в теории суммирования расходящихся последовательностей и рядов, в квантовой механике и теории решения бесконечных систем линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных.

В теории рядов рассматриваются преобразования последовательностей типа (zn) —> (z'n) = ф((гп)), где z'n = J2kLi апк^к- Преобразование ф задается при помощи бесконечной матрицы а = (а^). Необходимые и достаточные условия для того, чтобы преобразование ф переводило любую сходящуюся последовательность в сходящуюся, найдены Кожимой.

Теория Гейзенберга—Дирака в квантовой механике использует решения двух линейных уравнений в бесконечных матрицах:

АХ - ХА = I АХ - XD = О первое уравнение называется уравнением квантования). Для нахождения решений используется теория спектров операторов в гильбертовых пространствах.

Бурное развитие теории линейных пространств бесконечной размерности наступило в начале XX века. Основания были заложены главным образом исследованиями Ивара Фредгольма и Вито Вольтерры. Они рассматривали теорию линейных уравнений с бесконечным числом уравнений и неизвестных с использованием представления в виде предела линейных уравнений с конечным числом уравенений и неизвестных, когда число уравнений и неизвестных становится бесконечным. Это привело к развитию теории интегральных уравнений. С другой стороны, работы Давида Гильберта, Джона фон Неймана, Эрхарда Шмидта и Фригеса Риса по теории интегральных уравнений послужили толчком к развитию теории линейных пространств бесконечной размерности. Это и привело к созданию теории банаховых и гильбертовых пространств.

Алгебраические свойства бесконечных матриц и бесконечномерных линейных или классических групп исследуются во многих статьях и монографиях. Это делается с разных точек зрения, среди которых мы отметим теорию ассоциативных колец и модулей, алгебраическую lf-теорию, теорию алгебр Ли и алгебраических групп, теорию бесконечных групп, функциональный анализ (кольца операторов, спектральный анализ), элементарный анализ (теория функций, последовательности и ряды), теорию представлений, теорию моделей, бесконечную комбинаторику и теорию вероятностей.

Бесконечные матрицы мы можем складывать как обычные матрицы. Специфика бесконечных матриц полностью выявляется при попытке умножать их. А именно, умножение бесконечных матриц не всегда определено. В анализе, где используются комплекснозначные и вещественнозначные бесконечные матрицы эту ситуацию преодолевают наложением на матрицы условий типа сходимости последовательностей коэффициентов в строках и столбцах. В алгебре рассматриваются матрицы с коэффициентами из произвольного ассоциативного кольца R с единицей, тем самым накладываются другие условия конечности, типа конечнострочности или конечно-столбцовости. Кроме того, умножение может быть определено, но бывает неассоциативным. В третьих, обратимость бесконечных матриц ведет себя странно, существуют, например, бесконечные матрицы имеющие бесконечное число обратных.

Алгебраический подход к изучению бесконечных матриц начался в 40-вых годах ХХ-того века с работ Р. Бэра, Н. Джекобсона, Дж. Маки, И. Амитцура и других. Сначала они изучали кольцо конечнострочных бесконечных матриц Мr(oo,R) над кольцом R (кольцо эндоморфизмов левого свободного модуля) и кольцо mrc(°°) R) конечнострочных и конечностолбцовых бесконечных матриц (кольцо непрерывных эндоморфизмов или кольцо эндоморфизмов with adjoint), которое появилось в исследовании счетномерных алгебр и других колец со свойствами конечности. Итоговая работа Н. Джекобсона о неприводимых модулях показала важность плотных подко-лец кольца Мг(оо, Д), т. е. колец содержащих кольцо М(R) - состоящее из матриц имеющих только конечное число ненулевых элементов. Такие кольца и называются кольцами бесконечных матриц. Для многих математиков кольца бесконечных матриц служат только примерами патологий в кольцах. В монографии [41] бесконечные матрицы появляются главным образом в качестве контрпримеров. На первый взгляд бесконечные матрицы не имеют никакой обозреваемой структуры, возможно потому, что не удовлетворяют никаким условиям конечности (например, они никогда не являются односторонне нетеровскими). На самом деле в работах многих математиков выявлена их богатая структура. Например, два унитальные кольца R и S Морита эквивалентны тогда и только тогда, когда M(-R) — M(S') -ФФ- МЩ — Мьс(оо, S) -ФФ Мгс(оо, R) ^ Mrc(°o, S) Mr(oo, R) ~ Mr(oo, S) (здесь Мьс(о°, R) обозначает кольцо всех матриц, у которых все ненулевые элементы только в конечном числе столбцов). Кольца Mr(oo, R) и МГс(°о> S) никогда неизоморфны, существуют кольца R, S такие, что R ~ Мг (сю, R) и 5 ~ M.rc{oo,S). Для групп Пикара имеем изоморфизмы Pic(R) ~ Pic{M(R) ^ Pic{Mr(oo, R)) [38], [35], [36], [37], [92], [39].

Исследования колец эндоморфизмов естественным образом возбудили интерес и к группам автоморфизов бесконечномерных модулей. Они интенсивно начались изу-чатся в работах Капланского [116], [117], Кадисона [115], Маки [129] и Розенберга [153] 1950-х годов. В громадном количестве работ рассматривались различные группы бесконечных матриц. Два крайних условия конечности накладываемые на бесконечные матрицы, они и наиболее широко обсуждались в литературе, это:

GL(i?) — стабильная полная линейная группа, которая является индуктивным пределом групп GL(n,R) относительно естесвенных вложений;

GLc(fi, i?) — группа автоморфизмов правого модуля Rn (соответственно GLr(r2, R) для левого модуля QR), где О - бесконечное индексное множество.

GL(i2) это не аналог стабильного кольца M(R), которое не имеет единицы, а его расширения посредством добавления скалярных матриц. Элементами стабильной группы являются матрицы, которые формально бесконечны, но в действительности лишь в конечном числе мест отличаются от единичной матрицы. Эта группа устроена, в принципе, как конечномерные полные линейные группы GL(n, R), и даже проще. Она нашла широкое применение в алгебраической /^-теории (достаточно посмотреть любую монографию по основам алгебраической /Г-теории [93], [133], [3]). Именно эта группа является модельной для построения iT-теории колец, однако, практически никакой специфики бесконечных матриц в ней не наблюдается.

Более интересным случаем, полностью выявляющим специфику бесконечных матриц, есть группа GLc(f1, R) (соответственно GLr(Q,i?)), в матрицах она представляется такими конечностолбцовыми (соответсвенно конечнострочными) матрицами, обратные к которым тоже являются конечностолбцовыми (соответсвенно конечно-строчными) матрицами. Надо отметить, что для бесконечных матриц условие конечности для обратной матрицы а-1 совершенно не вытекает из соответсвующего условия на саму матрицу а, как показывает следующий пример: а =

1 О О О V

-1 1 О О

0 -1

1 О

О о

0 о -1 о

1 -1

1—1 1—1 1 1 1

0 1 1 1 1

0 0 1 1 1

0 0 0 1 1 V

Матрица а является конечнострочной, но обратная к ней не является конечно-строчной. С другой стороны матрица а имеет конечнострочною правую обратную к ней, именно:

I о -1 -1

-1

V ■■■ о о -1 -1 о о о -1 о о о о о о о о

Группа GLc(fl,R) является формальным аналогом групп GL(n, Л), но фактически она устроена бесконечно сложнее. Следует отметить, что в случае бесконечного О,, на самом деле, практически все результаты не зависят от мощности множества Это значит, что уже случай группы GLC(N, R), индексированной натуральными числами, является модельным для исследования структуры и свойств бесконечномерных групп. В дальнейшем эту группу будем обозначать просто GLc(oo,.R).

Среди условий конечности, накладываемых на бесконечные матрицы отметим ещё следующие, встречавшиеся в литературе:

GLrc(N, R) — группа конечностолбцовых и конечно строковых матриц, она является просто пересечением групп GLC(N, R) и GLr(N, R), самое интересное, что группы GLC(N, R) и GLr(N, R) максимальны и не содержатся в какой-то общей надгруппе;

GLfc(N, R) — группа, состоящая из матриц а конечной ширины, то-есть таких, для которых существует такое т, что все элементы матриц а и сГ1 вне диагональной полосы ширины т нулевые;

GLbc(M, R) — финитарная группа, состоящая из всех матриц а, для которых все ненулевые элементы матрицы а — е находятся в конечном числе строк (здесь е — единичная матрица).

Группа GLf,c(N, R) и её подгруппы интенсивно изучались в работах по теории локально конечных групп в случае когда R = К - конечное или локально конечное поле [94].

Группа GLb(N, R) связана с алгебрами Ли рассмотренными Вердие, её подгруппы состоящие из периодических матриц имеют отношение к алгебрам Каца-Муди [114] и к группам конечных синхронных автоматов [17].

Исследование групп бесконечных матриц тесно связано с исследованием конечномерных линейных групп. Различные вопросы, связанные со структурой линейных групп, изучались уже К.Жорданом, Л.Диксоном, Б. ван дер Варденом, Г.Вейлем, Ж. Дьедонне и их многочисленными последователями в огромном количестве работ. Ко второй половине XX века сложилось несколько крупных направлений исследования линейных групп. Укажем те, которые имеют особенное отношение к бесконечным матрицам.

Традиционно самый большой интерес вызывают нормальные подгруппы. Центральный результат в этой области получен Х.Бассом, описавшим строение нормальных делителей стабильной группы GL(R) [3], откуда получается описание на стабильном уровне строения нормальных делителей полной линейной группы GL(n, R) над кольцами. Для нестабильной ситуации аналоги результата Басса для GL(n, R) были позднее получены в работах А.А.Суслина, Дж.Уилсона, А.3.Голубчика и некоторых других авторов. С другой стороны работы Р. Бэра и Н. Джекобсона, рассматривающие кольца эндоморфизмов бесконечномерных модулей (отметим здесь описание Бэром двусторонних идеалов), и работы Р. Бэра и С. Улама, описывающие нормальное строение группы подстановок бесконечного множества, возбудили интерес к нормальному строению GLc(N,i2). В работах А. Розенберга [153], Г. Максвела [135], Ю. Хаузен [99], Э. Робертсона [147], [148], Д. Аррела [44], [45], [46] описывались нормальные подгруппы или подгруппы нормализуемые элементарными матрицами в группе GLC(N, R) для различных классов колец. Оказалось, что, как в результате Басса, они попадают в интервалы, связанные с конгруэнц-подгруппами соответсвующими двусторонним идеалам. И. Фаруки дал пример бесконечного множества несчетных цепей в решетке нормальных подгрупп группы GLC(N, Z) обобщая определение кон-груэнцподгруппы [83]. Р. Берне и И. Фаруки описали максимальные нормальные подгруппы в группе целочисленных матриц GLC(N, Z), они естественным образом индуцированы гомоморфизмами Z —У Z/pZ (р— простое) [60].

Ряд авторов рассматривал подгруппы, определяемые в теоретико-групповых терминах: абелевы,разрешимые, нильпотентные, силовские и т.д.; основные достижения в этой области принадлежат в конечномерном случае Дж.Диксону, Б.Верфрицу, Д.А.Супруненко, В.П.Платонову, А.Е.Залесскому и другим алгебраистам минской школы. Для группы GLC(N, R) аналогичные исследования проведены Б. И. Плотки-ным [29], М. Р. Седнёвой [32], И. Д. Иванютой [19], Л. А. Курдаченко, И. Субботиным [122] и другими.

Предметом постоянного интереса является описание линейных групп с помощью образующих и определяющих соотношений — особое внимание к этому вопросу было стимулировано работами 60-х годов Р.Стейнберга и Дж.Милнора по стабильной группе Стейнберга. В работах П. Вермеша и его учеников: Д. Айреша, К. Пастора, Й. Денеша исследовалось порождение стрингами разных групп бесконечных матриц, как и разложение в комплексное произведение подгрупп. В частности, они показали, что группа конечнострочных и конечностолбцовых матриц имеет ширину два относительно стрингов (диагональных матриц с конечными блоками на главной диагонали) над полем комплексных чисел [175]. В последнее время В. Толстых решил проблему Бергмана, показывая, что существует натуральное к такое, что полная линейная группа конечностолбцовых матриц над телом имеет конечную ширину не больше к для произвольного множества образующих [33].

С теоретикомодельной точки зрения группа GLC(N, R) и её подгруппы исследовались в работах П. Неймана, Д. Макферсона, Д. Эванса, С. Томаса, Дж. Бергмана, М. Дросте, Р. Гебеля, В. Толстых и других. Они рассматривали в группе GLC(N, К) в случае, когда К — поле, подгруппы малого (счетного) индекса [82] и максимальные подгруппы [130], направление тесно связанное с исследованием максимальных подгрупп конечных простых групп. Выяснилось, что некоторые типы максимальных подгрупп в конечномерном случае являются такими и бесконечном случае. Но, с другой стороны, появляются новые типа максимальных подгрупп естественные для бесконечного случая, как стабилизаторы максимальных идеалов или фильтров, почти стабилизаторы подможеств той же мощности, что их дополнения. Отметим тоже, что группа GLC(N, К) не является суммой счетной возрастающей последовательности своих собственных подгрупп, это вытекает из того, что она удовлетворяет свойству кофинальности.

После завершения классификации конечных простых групп внимание математиков привлек вопрос описания счетных локально конечных простых групп. Эти вопросы рассматривались в работах Хирша, Кловса, О. Кегеля, Верфрица, Р. Хартли, А. Залесского, У. Мейерфранкенфельда, Ф. Лайнена, О. Пульизи, Б. Лашингера и других. Получено описание счетных локально конечных подгрупп в группе GLf,c(oo, К) над конечным полем К. Оказалось, что они являются обобщениями простых конечных групп классических серий [94].

Еще один важный аспект в исследовании линейных групп связан с изучением решетки Lat(Go,G) подгрупп группы G, содержащих некоторую выделенную подгруппу Go, — такую задачу обычно называют описанием промежуточных подгрупп. Интерес к этой задаче тесно соприкасается с проектом классификации максимальных подгрупп конечных простых групп, в течение последних десятилетий находящемся в центре внимания ведущих специалистов — Г.Зейца, М.Либека, Я.Саксла, А.Коэна, Д.Тестерман и многих других. Особенно бурно этот раздел теории конечных групп развивается после появления ставшей уже классической работы М.Ашбахера, где было доказано, что каждая максимальная подгруппа конечной линейной группы либо принадлежит одному из восьми описанных классов, либо является почти простой группой в некотором абсолютно неприводимом представлении. Для линейных групп над конечным полем, полностью эта проблема была решена П.Клейдманом и

М.Либеком. Для бесконечных полей, а также для разных типов колец, вопросы, связанные с описанием решетки промежуточных подгрупп в контексте классов Ашбахе-ра, рассматривались во многих сотнях работ, авторами которых являются Ж.Тите, А.Борель, Д.Дьокович, В.П.Платонов, К.Судзуки, Ли Шанчжи, Н.С.Романовский, Р.А.Шмидт, А.В.Степанов, Ли Фуан и многие другие. Следует отметить проблему описания надгрупп расщепимого максимального тора. Один из основных результатов представляемой работы относится к этому направлению изучения линейных групп.

Для групп Шевалле над алгебраически замкнутым полем К описание промежуточных подгрупп рассматриваемого типа с использованием методов алгебраической геометрии было получено А.Борелем и Ж.Титсом: если G§ — расщепимый максимальный тор группы G — то для каждой подгруппы Я решетки Lat(G!, G0) существует такое единственное замкнутое подмножество S С Ф, что выполняются включения

G (S) <Н< N (S), где под G(S) понимается подгруппа, порожденная тором Go и всеми корневыми элементами ха(£) при а Е S и £ е К, а под N(5) — нормализатор G(5") в группе G. Такая специфическая классификация весьма обычна при описании промежуточных подгрупп — удобно называть ее стандартной, говоря при этом, что подгруппы G{S) служат ее базисом.

При переносе теоремы Бореля-Титса на другие поля и кольца в работах разных авторов возник и далее стал общеупотребительным подход, связанный с рассмотрением особых матриц из идеалов и соответствующих им подгрупп — сетей идеалов и сетевых подгрупп, как они стали называться в работах З.И.Боревича и его учеников ленинградской-петербургской школы. Как частные случаи, работы большинства упомянутых ниже авторов включают в себя алгебраически замкнутые и конечные поля, но техника доказательства в них совершенно отличается от методов алгебраической геометрии и конечных групп. Отметим, что И. Р. Шафаревич изучал бесконечномерные линейные группы методами алгебраической геометрии [34]. З.И.Боревич доказал, что если К — произвольное поле, содержащее не менее 7 элементов, то решетка надгрупп диагональной группы D(п, К) в GL(п, К) допускает стандартное описание, базисом которого служат D-сетевые подгруппы G(c) [4]. В дальнейшем З.И.Боревич и Н.А.Вавилов доказали, что решетка Lat(D(ft, R), GL(n, R)) описывается стандартно и для большинства полулокальных колец R (не обязательно коммутативных) [6].

В представляемой диссертации мы обобщаем сразу несколько из упомянутых здесь результатов. Следует сказать, что техника, развитая для этих вопросов, позволяет получить соответствующие результаты и для других классических групп бесконечных матриц.

Таким образом, вопросы, рассматриваемые в диссертационной работе, тесно связаны с общим развитием структурной теории бесконечномерных линейных групп. Это и определяет актуальность темы диссертации.

Основной целью работы является исследование структуры подгрупп бесконечных матриц над произвольным ассоциативным кольцом. В рамках этой задачи требуется разработать технику работы с бесконечными матрицами. В этом же контексте следует построить аналог теории сетевых подгрупп, выработать правильные определения и методы.

В работе используются аналоги традиционных методов теории линейных групп над кольцами, включая метод исследования подгрупп линейных групп при помощи сетей идеалов, применяемые в случае бесконечных матриц, выработаны новые понятия для работы с бесконечными матрицами (понятие роста), усовершенствованы методы работы с понятиями, раннее использованными в исследовании бесконечных матриц (стринги). Применяются также общие теоретико-групповые и теоретико-кольцевые методы.

В диссертации получены следующие новые научные результаты:

• введено в рассмотрение новое понятие роста натуральнозначных функций, позволяющее классифицировать подгруппы бесконечных матриц и других счетно-мерных алгебраических структур, описаны свойства решетки ростов;

• обобщены на случай произвольного ассоциативного кольца результаты о порождении стрингами важных классов групп бесконечных матриц, вычислена ширина относительно стрингов некоторых подгрупп группы бесконечных матриц;

• описаны с использованием бесконечных аналогов сетей и сетевых подгрупп промежуточные подгруппы группы конечностолбцовых бесконечных матриц (содержащие клеточно-диагональные матрицы), треугольных матриц и группы Маклейна (содержащие диагональные матрицы), описаны параболические подгруппы группы Вершика—Керова;

• построено новое представление свободной группы бесконечными унитреуголь-ными матрицами над кольцом характеристики нуль и р > 2, упрощающее доказательства классических теорем о свободных группах;

• доказано, что в группе бесконечных унитреугольных матриц над конечным полем почти все /с-порожденнныне подгруппы являются свободными группами ранга к;

• доказано, что в полугруппе бесконечных треугольных матриц над конечным полем почти все /с-порожденнныне подполугруппы являются свободными полугруппами ранга к)

• описаны новые подгруппы группы автоморфизмов свободной группы счетного ранга и относительно свободных групп, определены естественные для них множества порождающих;

• охарактеризованы свойства двух классов подгрупп группы автоморфизмов корневого графа счетной валентности.

Диссертация носит теоретический характер. Введенные в ней понятия, развитые методы и полученные результаты применимы при исследовании структуры групп бесконечных матриц над различными классами колец. Материал, изложенный в диссертации, может быть использован при чтении специальных курсов по линейным группам.

Результаты, полученные в представляемой работе, докладывались на междуна-родныой алгебраической конференции, посвященной памяти З.И.Боревича (Санкт-Петербург 2002), на международной конференции по теории групп "Groups St. Andrews" (Сант Эндрюс, Великобритания, 2001 и Оксфорд 2005), на международных конференциях "Groups and Group Rings"(Ustron 2003, Bedlewo 2005), на конференции по геометрической теории групп (Хайфа 2000), на алгебраических конференциях в Украине (Ужгород 2001, Киев 2001, Львов 2003), на конференции посвященной памяти Д. А. Граве (Киев 2002). Результаты работы докладывались на алгебраических семинарах университетов Вирцбурга (2001), Эрланген (2001), Афин (2002), Барселоны (2003), Варшавы (20026 20046 2006), Вроцлава (2004), а также на петербургском городском алгебраическом семинаре им. Д. К. Фаддеева.

Практически все результаты, полученные в диссертации, опубликованы в работах

1Н12].

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, содержащих в общей сложности 19 параграфов, и списка литературы, насчитывающего 180 наименований. Общий объем работы 135 страниц текста.

1. С. В. Алёшин, Конечные автоматы и проблема Бернсайда о периодических группах Мат. заметки 11 No.3 (1972), 319-328.

2. С. В. Алёшин, Свободная группа конечного автомата Вестник Московского Унив. 38 No.4 (1983), 10-13.

3. Н. А. Вавилов, Разложение Брюа подгрупп содержащих группу диагональных матриц, Russian) Записки научн. семинаров. ЛОМИ 114, (1982), 50-61.

4. Н. А. Вавилов, О подгруппах расщепимых класических групп, Труды Инст. Мат АН СССР 183 (1990) 29-42.

5. А. М. Вершик, С. В. Керов, Об одной бесконечномерной группе над конечным полем Функциональный анализ и приложения 32 (1998), No. 3, 3-10,

6. Т. В. Головачева, О ленточной размерности конечнопорожденных ассоциативных алгебр над полем. Фундаментальная и прикладная математика 1, (1995), No 2, 385-391.

7. В. Голубовски, Подгруппы бесконечных унитреугольных матриц, Записки научных семинаров ПОМИ, том 338 (2006), 137-154.

8. В. Голубовски, Новая мера роста для групп и алгебр, Алгебра и Анализ, том 19 (2007), No 4, 69-91.

9. В. Голубовски, Автоморфизмы корневых деревьев счетной валентности, Записки научных семинаров ПОМИ, том 343 (2007), 199-205.

10. Р. И. Григорчук, О проблеме Милнора о групповом росте,Доклады АН СССР 271 (1983), no. 1, 30-33.

11. Р. И. Григорчук, Степени роста конечно порожденных групп и теория инвариантных средних Известия АН СССР 48 (1984), по. 5, 939-985.

12. Р. И. Григорчук, В. В. Некрашевич, В. И. Сущанский, Автоматы, динамические системы и группы Труды Мат. Института им. Стеклова 231 (2000), 134-214.

13. Д. Ю. Григорьев Аналог разложения Брюа для замыкания конуса классических групп Шевалле Доклады АН СССР 257 (1981), по. 5, 1040-1044.

14. И. Д. Иванюта Силовские р-подгруппы группы GL(</). Украинский Мат. Журнал 32 (1980), по. 6, 813-818,

15. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, Основы теории групп. Третье издание. Наука, Москва 1982.

16. Е. А. Ковальчук, Группы ограниченно-растущих подстановок Проблемы теории групп и гомологической алгебры Математика, Ярославль (1988), 18-28.

17. А. И. Кокорин, В. М. Копытов, Линейно упорядоченные группы. Наука, Москва 1972.

18. Ю. Г. Леонов, Представление резидуально конечных 2-групп бесконечными унитреугольными матрицами над полем из двух элементов, Математичш СтудИ (Лв1в) 22 (2003), No. 2, 134-140.

19. Ю. И. Мерзляков, Еквиподгруппы унитреугольной группы: критерия самонор-мализуемости Доклады АН России No.6 339 (1994) 732-735.

20. А. Олийнык, Свободное произведение групп как группа конечных автоматных подстановок, Вопросы алгебры — Гомель 14 (1999), 158-165.

21. А. Олийнык, О свободных подполугруппах автоматных преобразований, Мат. Заметки 63 (1998), No. 1-2, 215-224.

22. А. С. Олийник, В. И. Сущанский, Свободная группа бесконечных унитреугольных матриц, Мат. заметки 67 (2000), No. 3-4, 320-324.

23. П. П. Павлов, Силовские р-подгруппы полной линейной группы над простым полем характеристики р, Известия Акад. Наук СССР. Сер. Мат. 16 (1952), 437-458.

24. Б. И. Плоткин, О бесконечномерных линейных группах Доклады АН СССР 153 (1963), 42-45.

25. И. Н. Санов, Одно свойство представления свободной группы Доклады АН СССР 57 (1947) 657-659.

26. В. Н. Силаев, О ленточной размерности кольца формальных рядов. Успехи мат. наук 56 (2001), по. 4, 157-158.

27. М. П. Седнева, Замечания о бесконечномерных линейных группах Латвийский сборник, Зинатне, Рига(1965) по. 6, 59-62.

28. В. А. Толстых, Бесконечномерные полные линейные группы имеют конечную ширину, Сиб. Мат. Ж. 47 (2006), No. 5, 1160-1166.

29. И. Р. Шафаревич, О некоторых бесконечномерных группах II. Известия АН СССР 45 (1981), по. 1, 214-226, 240.

30. G. Abrams, On dense subrings ofRFM(R). J. Algebra 110 (1987), no. 1, 243-248.

31. G. Abrams, On the existence of rings R with R isomorphic to RFM(i2). J. Austral. Math. Soc. Ser. A 42 (1987), no. 1, 129-131.

32. G. Abrams, J. Haefner, Picard groups and infinite matrix rings. Trans. Amer. Math. Soc. 350 (1998), no. 7, 2737-2752.

33. G. Abrams, J.J. Simon, Isomorphisms between infinite matrix rings: a survey. Contemp. Math. 259 (2000), 1-12.

34. H. S. Allen, Rings of infinite matrices. Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 8 (1957) 117-118.

35. J. L. Alperin, R. B. Bell, Groups and representations, Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg, 1995.

36. F. W. Anderson, K. R. Fuller, Rings and categories of modules, Spriger-Verlag, New York-Berlin, 1973.

37. К. I. Appel and F. M. Djorup, On a group generated by a free semigroup, Proc. Amer. Math. Soc. 15 (1964), 838-840.

38. E. Arbarello, C. De Concini, V. G. Kac, The infinite wedge representation and the reciprocity law for algebraic curves. Proc. Sympos. Pure Math., 49, Part 1, Amer. Math. Soc., Providence, RI (1989), 171-190.

39. D. G. Arrell, The normal subgroup structure of the infinite general linear group. Proc. Edinburgh Math. Soc. (2) 24 (1981), no. 3, 197-202.

40. D. G. Arrell, The subnormal subgroup structure of the infinite general linear group. Proc. Edinburgh Math. Soc. (2) 25 (1982), no. 1, 81-86.

41. D. G. Arrell, E. F. Robertson, Infinite dimensional linear groups. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 78 (1977/78), no. 3-4, 237-240.

42. С. M. Bang, A condition for two matrices to be inverses of each other. Amer. Math. Monthly (1974), 764-767.

43. A. J. Berrick, Group extensions and their trivialization. Enseign. Math. (2) 31 (1985), no. 1-2, 151-172.

44. A. J. Berrick, Two functors from abelian groups to perfect groups. J. Pure Appl. Algebra 44 (1987), no. 1-3, 35-43.

45. A. J. Berrick, R. G. Downey, Perfect McLain groups are superperfect. Bull. Austral. Math. Soc. (2) 29 (1984) 249-257.

46. A. J. Berrick, M. E. Keating, Rectangular invertible matrices, Amer. Math. Monthly 104 (1997), no. 4, 297-302.

47. Y. Billig, A. Pianzola, Free Kac-Moody groups and their Lie algebras. Algebr. Represent. Theory 5 (2002), no. 2, 115-136.

48. M. Bhattacharjee, The ubiquity of free subgroups in certain inverse limits of groups, J. Algebra 172 (1995) 134-146.

49. N. Bourbaki, Groupes et algebres de Lie, Chap.IV Groupes de Coxeter and systemes de Tits, Hermann Paris, 1968.'

50. A. M. Brunner, S. Sidki, The generation of GL(n, Z) by finite state automata, Internat. J. Algebra Сотр. 8 (1998) 127-139.

51. R. M. Bryant, D. Evans, Small index property for free groups and relatively free groups, J. London Math. Soc. (2) 55 (1997), 363-369.

52. R. M. Bryant, J. L. J. Groves, Automorphisms of free metabelian groups of infinite rank, Comm. Algebra 20 (1992), 783-814.

53. R. M. Bryant, С. K. Gupta, Automorphisms of free nilpotent-by-abelian groups, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 114 (1993), 143-147.

54. R. M. Bryant, О. Macedonska, Automorphisms of relatively free nilpotent groups of infinite rank, J. Algebra 121 (1989), 388-398.

55. R. G. Burns, I. H. Farouqi, Maximal normal subgroups of the integral linear group of countable degree, Bull. Austral. Math. Soc. 15 (1976), 439-451.

56. R. G. Burns, Lian Pi, Generators for the bounded automorphisms of infinite-rank free nilpotent groups, Bull. Austral. Math. Soc. 40 (1989), 175-187.

57. S. Burris, H. P. Sankappanavar, A course in universal algebra, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1981.

58. V. Camillo, F. J. Costa-Cano, J. J. Simon, Relating properties of a ring and its ring of row and column finite matrices, J. Algebra 244 (2001), 433-449.

59. R. Camina, Some natural subgroups of the Nottingham group, J. Algebra 196 (1997) 101-113.

60. K. Chiba, Free subgroups and free subsemigroups of division rings, J. Algebra 184 (1996), 570-574.

61. B. Chandler, W. Magnus, The history of combinatorial group theory. A case study in the history of ideas. Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, 9. Springer-Verlag, New York, 1982.

62. J. S. Clowes, K. A Hirsch, Simple groups of infinite matrices, Math. Zeitschr. Bd 58 (1953), 1-3. (MR 14,106Qd)i.

63. J. M. Cohen, Aspherical 2-complexes, J. Pure Appl. Algebra 12 (1978), 101-110.

64. R. Cohen, Classes of automorphisms of free groups of infinite rank, Trans. Amer. Math. Soc. 177 (1973), 99-120.

65. P. M. Cohn, Some remarks on the invariant basis property, Topology No. 5, (1966), 215-228.

66. P. M. Cohn, Generalized rational identities, Proceedings of a Conference on ring theory at Park City, Utah 1971, New York-London 1972, 107-115.

67. R. G. Cooke, Infinite matrices and sequence spaces, MacMillan and Co., London, 1950.

68. R. O. Davies, M. F. Drazin, M. L. Roberts, Universal properties of infinite matrices, J. Algebra 180 (1996), 402-411.

69. J. Denes, С. Pasztor, Sur un probleme de substitution de P. Vermes. Magyar Tud. Akad. Mat. Kutaty Int. Кцй, 7 (1962) 317-322.

70. L. E. Dickson, Linear groups, Teubner, Leipzig, 1901.

71. J. D. Dixon, Most finitely generated permutation groups are free, Bull. London Math. Soc. 22 (1990) 222-226.

72. J. D. Dixon, B. Mortimer, Permutation groups, Springer, New York 1996.

73. M. Droste, R. Gobel, McLain groups over arbitrary rings and orderings. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (3) 117 (1995) 439-467.

74. M. Droste, R. Gobel, The automorphism group of generalized McLain groups. In: Ordered groups and infinite permutation groups (ed. by W. C. Holland) Kluwer Academic Publ. New York (1995) 97-120.

75. M. Droste, R. Gobel, The automorphism groups of Hahn groups. In: Ordered algebraic structures (Curacao 1995) Kluwer Acad. Publ. Dordrecht (1997) 183-215.

76. D. B. A. Epstein, Almost all subgroups of a Lie group are free, J. Algebra 19 (1971) 261-262.

77. D. M. Evans, Subgroups of small index in infinite general linear groups. Bull. London Math. Soc. 18 (1986), no. 6, 587-590.

78. I. H. Farouqi, On an infinite integral linear group, Bull. Austral. Math. Soc., 4, (1971), 321-342.

79. P. Galanopoulos, A. G. Sisakis, Hausdorff matrices and composition operators Illinois J. Math. 45 (3) (2001), 757-773.

80. H. L. Garabedian, Hausdorff matrices. Amer. Math. Monthly 46, (1939). 390-410.

81. P. M. Gartside, R. W. Knight, Ubiquity of free subgroups, Bull. London Math. Soc. 35 (2003), no 5, 624-634.

82. E. Ghys, P. de la Harpe, Sur le groupe hyperbolique d'apres Gromov. Bikhauser, Boston, 1990.

83. K. R. Goodearl, P. Menal, J. Moncasi, Free and residually Artinian regular rings J. Algebra 156 (1993), No. 2, 407-432.

84. M. Gromov, Groups of polynomial growth and expanding maps, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. No. 53 (1981), 53-73.

85. H. Gross, Quadratic forms in infinite-dimensional vector spaces. Progress in Mathematics, 1. Birkhauser, Boston, Mass., 1979.

86. С. K. Gupta, W. Holubowski, Automorphisms of a free group of infinite rank, Алгебра и Анализ, том 19 (2007), No 2, 74-85.

87. J. Haefner, A. del Rio, J. J. Simon, Isomorphisms of row and column finite matrix rings. Proc. Amer. Math. Soc. 125 (1997), no. 6, 1651-1658.

88. A. J. Hahn, О. T. O'Meara, The classical groups and if-theory. With a foreword by J. Dieudonne. Springer-Verlag, Berlin, 1989.

89. J.I. Hall, Locally finite simple groups of finitary linear transformations Finite and locally finite groups, Kluwer Acad. Publ. Dordrecht (1995), 147-188.

90. P. Hall, B. Hartley, The stability group of a series of subgroups. Proc. London Math. Soc. (3) 16 (1966), 1-39.

91. J. Hannah, К. C. O'Meara, A new measure of growth for countable-dimensional algebras, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 29 (1993), no. 2, 223-227.

92. J. Hannah, К. C. O'Meara, 'A new measure of growth for countable-dimensional algebras. If Trans. Amer. Math. Soc. 347 (1995), no. 1, 111-136.

93. F. Hausdorff, Summationsmethoden und momentfolgen I, Math. Zeitschrift, 9 (1921), 74-109.

94. J. Hausen, Infinite general linear groups over rings. Arch. Math. (Basel) 39 (1982), no. 6, 510-524.

95. W. Holubowski, Subgroups of infinite triangular matrices containing diagonal matrices, Publ. Math. Debrecen 59 (1-2), (2001) 45-50.

96. W. Holubowski, Parabolic subgroups of Vershik-Kerov's group, Proc. Amer. Math. Soc. 130 (2002), 2579-2582.

97. W. Holubowski, Most finitely generated subgroups of infinite unitriangular matrices are free, Bull. Austral. Math. Soc. 66 (2002), 419-423.

98. W. Holubowski, An inverse matrix of an upper triangular matrix can be lower triangular, Discuss. Math. Gen. Algebra Appl. 22 (2002), No. 2, 161-166.

99. W. Holubowski, A normal structure of McLain groups, Ann. Univ. Sci. Budapest. Eotvos Sect. Math. 45 (2002), 171-177.

100. W. Holubowski, Free subgroups of the group of infinite unitriangular matrices, Internal;. J. Algebra Comput. 13 (2003), No. 1, 81-86.

101. W. Holubowski, The ubiquity of free subsemigroups of infinite triangular matrices, Semigroup Forum 66 (2003), No. 2, 231-235.

102. W. Holubowski, Groups of infinite matrices, Proceedings of 'Groups St. Andrews 2005', Cambr. Univ. Press, London Math. Soc. Lect. Notes in Math. vol. 340 (2007), 401-405.

103. L. E. P. Hupert, A. Leggeti, On the square roots of infinite matrices. Amer. Math. Monthly No.l (1989), 34-38.

104. I. D. Ion, M. Constantinescu, Sur les anneaux Dedekind-finis, Italian J. Pure Appl. Math. No. 7, (2000), 19-25.

105. N. Jacobson, Structure theory of simple rings without finiteness assumptions. Trans. Amer. Math. Soc. 57, (1945), 228-245.

106. N. Jacobson, Structure theory for algebraic algebras of bounded degree. Ann. of Math. (2) 46, (1945). 695-707.

107. N. Jacobson, Structure of rings, Amer. Math. Soc. Coll. Publ., Providence 1956.

108. G. D. James, The representation theory of the symmetric groups, Springer Verlag, Berlin Heidelberg New York 1978 (Russian translation Mir, Moscow 1982).

109. V. G. Kac, Infinite-dimensional Lie algebras, Cambridge University Press, Cambridge, 1990

110. R. V. Kadison, Infinite general linear groups. TYans. Amer. Math. Soc. 76, (1954). 66-91.

111. I. Kaplansky, Rings of operators. W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam 1968.

112. I. Kaplansky, Forms in infinite-dimensional spaces. Anais Acad. Brasil. Ci. 22, (1950). 1-17.

113. J. L. Kelley, General topology. Van Nostrand, New York 1955.

114. A. A. Klein, Free subsemigroups of domains, Proc. Amer. Math. Soc. 116 (1992), 339-341.

115. G. R. Krause, Т. H. Lenagan, Growth of algebras and Gelfand-Kirillov dimension, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000.

116. N. V. Kroshko, V. I. Sushchanskii, Direct limits of symmetric and alternating groups with strictly diagonal embedings Archiv Math. 71 (1998), 173-182.

117. L. A. Kurdachenko, I. Ya. Subbotin, On some infinite-dimensional linear groups. Comm. Algebra 29 (2001), no. 2, 519-527.

118. B. Laschinger, Automorphismengruppen freier Moduln von unendlichem Rang. J. Algebra 122 (1989), no. 1, 15-63.

119. V. M. Levchuk, Chevalley groups and their unipotent subgroups, Contemp. Math. 131 (1989), 227-242.

120. F. W. Levi, |textitThe commutator group of a free product J. Indian Math. Soc. 4 (1940) 136-144.

121. R. C. Lyndon, R E. Schupp,'Combinatorial group theory, Springer, Berlin 1977.

122. O. Macedonska-Nosalska, Note on automorphisms of a free abelian group, Canad. Math. Bull. 23 (1980), 111-113.

123. O. Macedonska-Nosalska, The abelian case of Solitar's conjecture on infinite Nielsen transformations, Can. Math. Bull. 28 (1985), 223-230.

124. G. W. Mackey, Infinite-dimensional group representations. Bull. Amer. Math. Soc. 69 1963 628-686.

125. D. Macpherson, Maximal subgroups of infinite-dimensional general linear groups. J. Austral. Math. Soc. Ser. A 53 (1992), no. 3, 338-351.

126. W. Magnus, Beziehungen zwishen Gruppen und Idealen in einem speziellen Ring, Math. Ann 111 (1935) 259-280.

127. W. Magnus, A. Karras and D. Solitar, Combinatorial group theory. John Wiley &; Sons, Inc., New York 1966.

128. B. A. Magurn, An algebraic introduction to K-theory, Cambridge University Press, Cambridge, 2002.

129. L. Makar-Limanov, On free subsemigroups of skew fields, Proc. Amer. Math. Soc. 91 (1984), 189-191.

130. G. Maxwell, Infinite general linear groups over rings. Trans. AMS 151 (1970), 371375.

131. D. H. McLain, A characteristically simple group, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 50 (1954), 641-642.

132. J. Milnor, Problem 5603, Amer. Math. Monthly, 75 (1968), 685-686.

133. R. G. Moller, The automorphism groups of regular trees, J. London Math Soc. 43, No. 2, (1991), 236-252.

134. Yu. A. Neretin, Categories of symmetries and infinite-dimensional groups. Translated from the Russian by G. G. Gould. London Math. Soc. Monographs. New Ser. 16, The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1996.

135. H. Neumann, Varietes of groups, Springer, Berlin, 1967.

136. J. Nielsen, Die Isomorphismengruppe der freien Gruppen, Math. Annalen 91 (1924), 169-209.

137. J. Okninski and A. Salwa, Generalised Tits alternative for linear semigroups, J. Pure Applied Algebra 103 (1995), 211-220.

138. A. Olijnyk and V. S. Sushehansky, Representation of free products by infinite unitringular matrices over finite field, Internat. J. Algebra Comput 14 (2004) 741749.

139. К. C. O'Meara, A new measure of growth for countable-dimensional algebras. II. J. Algebra 172 (1995), no. 1, 214-240.

140. R. E. Phillips, D. J. S. Robinson, J. E. Roseblade, Maximal subgroups and chief factors of certain generalized soluble groups. Рас. J. Math. 37 (1971) 475-480.

141. L. Ribes and P. Zalesskii, Profinite groups. Springer, Berlin, Heidelberg, New York 2000.

142. E. F. Robertson, A remark on the derived group of GL(R). Bull. London Math. Soc. (1969) 160-162.

143. E. F. Robertson, On certain subgroups ofGL(R). J. Algebra 15 1970 293-300.

144. D. J. S. Robinson, Finitness conditions on subnormal and ascendant Abelian subgroups. J. Algebra 10 (1968) 333-359.

145. D. J. S. Robinson, Finitness conditions and generalized soluble groups, Part II. Springer Verlag, New York-Berlin 1972.

146. D. J. S. Robinson, A course in the theory of groups, Springer V., New York 1982.

147. J. E. Roseblade, The automorphism group of McLain's characteristically simple group. Math. Z. 82 (1963) 267-282.

148. A.Rosenberg, The structure of the infinite general linear group, Ann. of Math. (2) 68 (1958) 278-294.

149. I. R. Shafarevitsh On some infinite dimensional groups. Simposio Internazionale di Geometria Algebrica, Roma (1967), 208-212.

150. J. D. Sharp, S. Thomas, Uniformization problems and the cofinality of the infinite symmetric group. Notre Dame J. Formal Logic 35 (1994), no. 3, 328-345.

151. R.W. Sharpe, On the structure of the unitary Steinberg group. Ann. of Math. (2) 96 (1972), 444-479.

152. R. W. Sharpe, Surgery and unitary K2. Algebraic К-theory, III: Hermitian if-theory and geometric applications (Proc. Conf. Seattle Res. Center, Battelle Memorial Inst., 1972), pp. 464-470. Lecture Notes in Math, Vol. 343, Springer, Berlin, 1973.

153. R. W. Sharpe, On the structure of the Steinberg group St(A). J. Algebra 68 (1981), no. 2, 453-467.

154. W. Sierpinski, Sur une decomposition d'ensembles. Monatsh. Math. 35 (1928), 239248.

155. R. Steinberg, Lectures on Chevalley groups, Yale Univ. Press , Yale, 1967.

156. A. Stepanov, N. Vavilov Decomposition of transvections: a theme with variations. K- Theory 19 (2000), 109-153.

157. A. Strojnowski, W. Wojas, Some remarks on O-groups Demonstratio-Math. 23 (1990), no. 3, 797-801.

158. J. Tits, Sur le groupe des automorphismes d'un arbre, Essays on topology and related topics (Memoires dedies a Georges de Rham), Springer, New York (1970), 188-211.

159. J. Tits, Free subgroups in linear groups. J. Algebra 20 (1972) 250-270.

160. S. Thomas, The cofinalities of the infinite-dimensional classical groups. J. Algebra 179 (1996), no. 3, 704-719.

161. D. V. Tjukavkin, Rings all of whose one-sided ideals are generated by idempotents, Comm. Algebra 17 (1989), noi'S, 1193-1198.

162. S. Wagon, The Banach-Tarski paradox. (Cambridge University Press, Cambridge 1993).

163. A. J. Weir, Sylow p-subgroups of the general linear group over finite fields of characteristic p, Proc. Amer. Math. Soc. 6 (1955), 454-464.1 '< J I ;

164. J. S. Wilson, On characteristically simple groups. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (1) 80 (1976) 19-35.

165. J. S. Wilson, Groups with many characteristically simple subgroups. Math Proc. Camb. Phil. Soc. (2) 86 (1979) 193-197.

166. J. S. Wilson, Profinite groups, Oxford University Press, Oxford 1998.

167. P. Vermes, Some infinite systems of linear equations in statistics. Ann. Univ. Sci. Budapest. Eotvos Sect. Math. 10 1967 17-24.

168. P. Vermes, Linear independence in basic sets of polynomials. Ann. Univ. Sci. Budapest. Eotvos Sect. Math. 9 1966 15-18.

169. P. Vermes, The group of both row- and column-finite infinite matrices. Ann. Univ. Sci. Budapest. Eotvos Sect. Math. 7 1964 89-90.

170. P. Vermes, Multiplicative groups of row- and column-finite infinite matrices. Ann. Univ. Sci. Budapest. Eotvos Sect. Math. 5 1962 15-23.

171. P. Vermes, Matrix structure of basic sets of polynomials. Ann. Univ. Sci. Budapest. Eotvos Sect. Math. 3-4 1960/1961 383-387.

172. P. Vermes, Note on certain differential equations of infinite order. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 55=Indagationes Math. 14, (1952). 28-31.

173. P. Vermes, Non-associative rings of infinite matrices. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 55 = Indagationes Math. 14, (1952). 245-252.

174. P. Vermes, M. N. Mikhail, Generated basic sets of polynomials. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 57 = Indag. Math. 16, (1954). 556-559.

175. A. M. Vershik , Asymptotic aspects of the representation theory of symmetric groups, Selecta Math. Sovietica 11, No. 2 (1992), 159-180.