Алгебро-аналитические методы исследования уравнений математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Нещадим Михаил Владимирович

АЛГЕБРО-ЛНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физика-математических наук

1 7 МАМ 2012

005043*50

Новосибирск - 2012

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте математики им. С.Л.Соболева Сибирского отделения Российской академии наук.

Научный консультант:

д.ф.-м.н. проф. Аниконов Юрий Евгеньевич

Официальные оппоненты:

Аннин Борис Дмитриевич, академик РАН, ИГиЛ СО РАН, заведующий лабораторией механики композитов

Блохин Александр Михайлович, д.ф.-м.н. проф., ИМ СО РАН. заведующий лабораторией вычислительных проблем задач математической физики

Боровских Алексей Владиславович, д.ф.-м.н. доц., МГУ, факультет педагогического образования, заместитель декана

Ведущая организация: Сибирский федеральный университет

дании диссертационного совета Д 212.174.02 при Новосибирском национальном исследовательском государственном университете по адресу: 630090, г. Новосибирск, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского национального исследовательского государственного университета по адресу: 630090, г. Новосибирск, ул. Пирогова, 2.

Защита состоится

2012 г. в

15: (/О

часов на засе-

Автореферат разослан / АД 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н.

Общая характеристика работы

В работе развиваются алгебраические и аналитические методы исследования дифференциальных н интегральных уравнений математической физики; разрабатываются приложения дифференциальных тождеств и преобразований для нахождения точных решений, доказательства теорем единственности и существования, интегрирования переопределенных систем.

Актуальность. Функция распределения является основным объектом исследования в статистическом моделировании системы многих частиц. Она удовлетворяет кинетическому уравнению Больцмана. Прямые задачи для кинетического уравнения заключаются в определении функции распределения при заданных дополнительных данных, например, для уравнения переноса — плотности падающего па среду потока при всех известных коэффициентах. Обратные задачи, как правило, состоят в одновременном определении решения прямой задачи и какого-нибудь коэффициента либо правой части уравнения по условиям, составляющим прямую задачу, и некоторому дополнительному условию, которое называется условием переопределения.

Изучение обратных задач для уравнения переноса началось с работ Г.И. Марчука (1964), посвященных постановке и обсуждению одной обратной задачи в плоскопарал-лельпом случае. М.В. ¡Масленников (1968) рассмотрел стационарное одпоскоростное уравнение переноса в полупространстве и исследовал обратную задачу о восстановлении индикатрисы рассеяния по угловому распределению излучения в глубине слоя. В книгах Р. Беллман н Р. Калаба (1968), Р. Латтсс и Ж.-Л. Лионе (1970) обратные задачи для уравнения переноса рассматриваются с точки зрения получения численных результатов.

Для уравнения переноса данными для обратной задачи, например, являются начальное условие, условие нулевого входящего потока и финальное определение. Для уравнения, учитывающего зависимость от времени, постановки и обсуждения обратных задач имеются в работах А.И. Прилепко, А.Л. Ивапкова, II.П. Волкова, И.В. Тихонова. Они, в частности, доказали теоремы существования и единственности решения обратных задач для уравнения переноса в предположении, что диаметр рассматриваемой области достаточно мал (диаметр оценивается через данные задачи). См. также работы А.Х. Амирова, Д.С. Апиконова, Ю.Е. Апикоиова, В.Г. Бардакова, А.Н. Бопдареико, В.Г. Васильева, С.II. Кабанихипа, В.Р. Кирейтова,

A.Е. Ковташока, A.C. Компансец, М.М. Лаврентьева, Л.II. Пестова, И.В. Прохорова,

B.Г. Романова, У.М. Султапгазипа, С.П. Шишатского, В.А. Шарафутдинова и др.

Один из методов доказательства теоремы единственности обратной зада'га состоит в использовании дифференциальных тождеств специального вида, справедливых для решений рассматриваемого класса уравнений. В работах Р.Г. Мухометова (1977), В.Г. Романова (1978), М.М. Лаврентьева (1967), Ю.Е. Апиконова (1967, 1983), А.Х. Амирова (1983), Л.Н. Пестова (1985), Л.Б. Вертгейма (1991), В.А. Шарафутдинова и G. Uhlmann (2000), В.Г. Бардакова (2002) для кинетических уравнений было установлено существование дифференциальных тождеств специального вида и исследованы вопросы единственности, существования и устойчивости решения, соответствующих обратных задач.

Метод дифференциальных тождеств, частным случаем которого является, напри-

мер, метод сопряженных уравнений, основанный на тождестве Лаграпжа, широко используется также в задачах оптимального управления, линейных и нелинейных задачах математической физики: теории малых возмущений в спектральных задачах и т.д. Метод дифференциальных тождеств позволяет по информации в обратной кинематической задаче восстановить строение метрики (см. работы Ю.Е. Апиконова, Л.Н. Пестова, А.Г. Меграбова, A.B. Боровских).

В связи с этим направлением в теории обратных задач является актуальным развитие единого подхода к получению дифференциальных тождеств с применением алгебраических конструкций и их использование для доказательства теорем единственности, существования, получения оценок решений и коэффициентов уравнений математической физики (в частности, кинетических уравнений).

Обратные задачи обычно приводят к операторным уравнениям 1-го рода, часто интегральным. Некоторые из них редуцируются к интегральным уравнениям типа Вольтерра 1-го рода. Это дает, в основном в одномерных обратных задачах, возможность получить уравнение 2-го рода с оператором, обладающим достаточно хорошими свойствами (например, оператором сжатия). Но во многих случаях, особенно в многомерных обратных задачах, когда информация о решениях уравнений задается лишь на части границы рассматриваемой области, сведение обратной задачи к интегральному уравнению 2-го рода часто оказывается невозможным. Одна из причин этого — некорректность таких задач. Подобные вопросы требуют новых подходов. Общая теория операторных уравнений 1-го рода и их приложений разработана в работах А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева, В.Я. Арсенина, В.А. Морозова, Р. Латтеса, Ж.Л. Лнонса, A.M. Денисова. А. Лоренци и др.

В работах Ю.Е.Апиконова (1972) разработан общий подход к доказательству теорем единственности для операторных уравнений первого рода па основе понятия квазимонотонного оператора. Неявно этот подход использовался в работе А.Н. Тихонова (1949) для доказательства единственности решения одномерной обратной задачи электроразведки. В многомерном случае его применил Ю.М. Березанский (1958) при доказательстве единственности решения обратной задачи для уравнения Шредингера в классе кусочно-аналитических функций.

Представляет значительный интерес распространение данных методов па более широкие классы уравнений, обладающие, вообще говоря, некоторой дополнительной структурой. Так теорема единственности для уравнений Вольтерра 1-го рода в классе аналитических функций над полем комплексных чисел была доказана в работе Ю.Е. Апиконова (1980). Аналогичный результат над телом кватернионов получил О.II. Смирнов (1993).

Аналитические и конструктивные методы исследования позволяют не только доказывать существование решения исследуемой задачи, но часто приводят либо к конструктивному построению решения, либо к некоторому приближенному выражению для него. К этому направлению относится построение функционально-инвариантных решений гиперболических уравнений (С.Л. Соболев (1934), см. также работы Н.П. Еругнна, М.М. Смирнова, М.С. Шиеерсопа, Л.М. Галонепа, А.П. Киселева и др.), аналитические представления решений и коэффициентов параболических уравнений (А.Н. Ко лмогоров (1938J), представление решения it коэффициента уравнения Штурма-Лиувилля с применением в обратных задачах теории рассеяния

(см. В.Л. Юрко (2007), В.Г. Романов (1981)), построение гармонических и других по тенциалов для вычисления решений (скорости) и коэффициентов (давления) системы уравнений газовой динамики и т.п. (см. Г.И. Марчук (1989), Д.И. Блохпнцсв (1964), М.А. Лаврентьев, В.В. Шабат (1977), 10.Е. Апикопов (1997, 2008)).

Представление решений дифференциальных уравнений в виде w = F(U(x,t)), где F(U) периодическая функция, а U(x,i) — фазовая функция, широко используется при изучении нелинейных уравнений (см. Нелинейные волны. Москва: Мир, 1977 г.). Представление решения в виде w = F(U), где U = x-vt, использовано в классической работе А.Н. Колмогорова, И.Г. Петровского, Н.С. Пискуиова (1937) для качественного исследования модели типа реакция-диффузия л широко используется в математической биологии. Отметим также построение точных решений нелинейных систем эллиптических уравнений в виде щ(х) = Fj(v(x)), j = 1 ,...,т. где х = (zi,...,x„), v(x) — произвольная гармоническая функция, а вектор F(s) = (Fi,.... Fm) — решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (см. Бпцадзе A.B. Уравнения математической физики. М.:Наука, 1982) В кииге Лаврентьев М.М., Резпицкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, 1982. для решения уравнения теплопроводности получена формула, которая используется для решения обратной задачи — нахождения неизвестного коэффициента.

В задачах идентификации динамических систем также предпочтительно иметь явные формулы для решений, содержащие параметры, которые нужно конкретизировать (см. Лыонг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991). Для многомерных обратных задач также желательно иметь представления решений и коэффициентов дифференциальных уравнений, которые содержали бы произвольные функции одного или многих переменных. Исходя из сказанного, круг задач, связанных с поиском новых представлений решений и коэффициентов уравнений математической физики, построением многомерных аналогов классических дифференциально-алгебраических преобразований и их использованием для построения решений п коэффициентов уравнений математической физики с учетом начально-краевой информации, нелинейных задачах управления перевода субстанции из одного состояния в другое при наличии краевой информации, является важным и актуальным.

Все вышеперечисленные вопросы непосредственно связаны с преобразованием дифференциальных уравнений. Классическими примерами таких преобразований являются преобразования Эйлера-Дарбу, преобразования Бэклунда, преобразование Му-тара, преобразование Хопфа-Коула, итерационный метод Лапласа, известный также как каскадный метод Лапласа и т.п. (См., например, Капцов О.В. Метода интегрирования уравнений с частными производными. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009 и имеющуюся там литературу). Сюда же относятся вопросы связанные с групповыми свойствами дифферешшальных уравнений (см., например, Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978) и методы построения решений на основе дополнительных дифференциальных связей (Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Япен-ко H.H. Метод дифференциальных связей и его приложение в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984).

Групповой анализ дифференциальных уравнений является одним из наиболее мощных и универсальных методов отыскания широких классов точных решений диффе-

репциальиых уравнений произвольного вида. Особенно эффективны его приложения в механике сплошных сред и математической физике, поскольку в математические модели, как правило, изначально заложены свойства инвариантности относительно некоторой группы преобразований. К сфере приложений теории группового анализа дифференциальных уравнений относится групповая классификация краевых и обратных задач математической физики, задачи связанные с классификацией законов сохранения и изучением их алгебраической структуры.

Классические результаты использования законов сохранения связаны с построением априорных оценок, доказательством теорем существования и единственности, получением физических величии, сохраняющихся с течением времени, обоснованием условий на разрывы для решений гиперболических систем, содержащих ударные волны, вопросами устойчивости и т.д. В вычислительной математике законы сохранения широко используются для контроля результатов вычислений. Для уравнений, возникающих при решении вариационных задач, законы сохранения удается получить на основе допускаемой ими группы: Э. Нетер (1918), Л.В. Овсянников (1980), Н.Х. Ибрагимов (1969), P.C. Хамитова (1982), II. Олвср (1989). Вопросы поиска законов сохранения для вариационных моделей тесио связаны с обратной задачей вариационного исчисления: В.М. Филиппов, В.М. Савчип, С.Г. Шорохов (1992). Высшие симметрии и законы сохранения (A.M. Виноградов, И.О. Красильщик (2005), Н.Х. Ибрагимов, A.B. Шабат (1980), П. Олвер (1989)) являются важными внутренними свойствами уравнения. Они полезны как при построении точных решений, так и для качественного понимания поведения решений в целом. С надлежащими уточнениями наличие высших симметрии и законов сохранения может быть принято за определение интегрируемости. Представляют интерес задачи поиска законов сохранения для уравнений не имеющих вариационной природы (данное направление активно развивается школой Н.Х. Ибрагимова, см. также работы А.Н. Кусюмова).

В настоящее время активно разрабатываются новые алгебро-гсометрическне методы интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений и систем (система Дарбу-Егорова, системы кратных воли, система Гаусса-Ламе, система ассоциативности, уравнения Эйлера на алгебрах Ли, уравнения Эйнштейна, система движения сплошной среды со специальной термодинамикой, уравнений пластичности и др.). возникающих на стыке математической физики и дифференциальной и алгебраической геометрии. Как правило, это переопределенные систем дифференциальных уравнений в частных производных, для которых известны только некоторые частные решети, не говоря о том, что далеко не все они приведены в инволюцию (в смысле теории переопределенных систем).

Актуальны задачи связанные с групповыми свойствами дифференциальных уравнений, построением точных решений, разработкой теории и аппарата инвариантных, частично-инвариантных и дифференциально-инвариантных решений, интегрированием нелинейных систем дифференциальных уравнений в многомерном случае, когда не работают приемы существенно использующие маломерность систем. В то же время представляют интерес вопросы, связанные с групповой классификацией дифференциальных уравнений относительно касательных и дискретных преобразований. Здесь имеются как алгебраические вопросы, например, построение соответствующих факторгрупп и факторалгебр и исследование их алгебраических свойств, так и вопросы

аналитического использования применительно к теории дифференциальных уравнений.

Цель работы. Разработка аппарата дифференциальных тождеств для кинетических уравнений и его приложений к вопросам единственности решения обратных задач. В частности, построение универсального тождества в классе тождеств квадратичных по первым производным. Исследование вопросов существования решений кинетических уравнений, приложение метода моментов Трэда для построения представления для решений и коэффициентов в классе квазиполиномов.

Разработка аппарата дифференциальных тождеств для обратной кинематической задачи. Построение систем дифференциальных уравнений для метрического тензора и их исследование с точки зрения переопределенных систем, построение классов точных решений.

Разработка алгебраического подхода к исследованию вопросов единственности решения многомерных интегральных уравнений. В частности, для многомерного интегрального уравнения первого рода типа Вольтсрра нахождения классов алгебр и классов функций со свойствами единственности решения.

Исследование обратных задач для уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типа с параметром. Исследование вопросов существования аналитических решений. Построение дифферепциалыго-алгсбраичсских тождеств для дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, разработка аналитических методов теории обратных задач и вопросов конструктивного построения решений и коэффициентов соответствующих уравнений но начально-краевой информации, разработка задачи управления оператором второго порядка.

Исследование групповых свойств уравнений второго порядка и построение решений с функциональным произволом. Нахождение инвариантных, частично-инвариантных решений. Приложение аппарата группового анализа к исследованию обратных и краевых задач. Исследование соответствующих переопределенных систем (вопросы существования, приведения в инволюцию, широты решения). В частности, построение классов точных решений для системы уравнения Максвелла в анизотропной среде, многомерного уравнения Мопжа-Ампера, кубического уравнения Шредингера, системы уравнений движения сплошной среды со специальной термодинамикой. Классификация систем уравнении типа, реакция-диффузия но законам сохранения. Разработка классических вопросов группового анализа, связанных с построением касательных и дискретных преобразований дифференциальных уравнений в частных производных.

Методы исследования. В диссертации используются методы и аппарат:

- классической н дифференциальной алгебры;

- теории переопределенных систем дифференциальных уравнений с частными производными (в частности, аппарат теории Рикье), теории решения задач тина Коши-Ковадевскон;

- группового анализа: построение групп Ли непрерывных преобразований и алгебр Ли, построение инвариантных и частично инвариантных решений (в частности, функционально-инвариантных решений), теории дифференциальных инвариантов, групповой классификации решений:

- интегральных преобразований;

- дифференциальной геометрии и тензорного анализа.

Научная новизна. Вес основные результаты диссертации являются новыми и связаны со следующими исследованиями:

— разработка аппарата построения дифференциально-алгебраических тождеств и исследование вопросов единственности и существования решений обратных задач для кинетических ц связанных с ним уравнений;

— разработка аналитических методов исследования обратных задач математической физики;

— исследование переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных, связанных с математическими моделями механики сплошных сред, теории поля, квантовой механики и классификацией таких систем по законам сохранения;

— разработка отдельных вопросов группового анализа, связанных с группами касательных и дискретных преобразований, классификацией дифференциально-алгебраических операций.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и методы могут найти применение в дальнейших исследованиях по уравнениям математической физики, в частности, в вопросах единственности и существования решений обратных задач математической физики, в вопросах связага1ых с исследованием алгебраических структур для уравнений как в частных производных так и для обыкновенных дифференциальных уравнений. Найденные точные представления для решений и коэффициентов уравнений математической физики могут быть использовапы в вопросах моделирования физических процессов. Многие доказанные утверждения в диссертации носят законченный характер и могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов.

Апробация работы. Доклады, основанные па результатах диссертации, сделаны па Втором сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996); па Международной конференции, посвященной памяти академика А.Н.Тихонова (Москва. 1996); на II Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 1997); на ИНПРИМ (Новосибирск, 2000); на Конференции молодых ученых СО РАН, посвященной М.А. Лаврентьеву (Новосибирск, 2002): на Третьей международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения" (Красноярск, 2002) на Девятой международной конференции по современному групповому анализу (Москва, 2002); па Всероссийской конференции, приуроченной к 85-летию академика Л.В.Овсянникова (Новосибирск, 2004); на Международной конференции "Тихонов н современная математика" (Москва, 2006); на Международной конференции, посвященной 100-летию со дня "рождения академика И.Н.Векуа (Новосибирск, 2007); на Российской конференции "Математика в современном мире", посвященной 50-летшо Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (Новосибирск, 2007); на Международной конференции "Обратные и некорректные задачи математической физики", посвященной 75-летию академика М.М.Лаврептьева (Новосибирск, 2007); на Международной конференции посвященной 100-летию со дпя рождения С.Л.Соболева (Новосибирск, 2008): на Всероссийской конференции "Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение", приуроченной к 90-лстию академика. Л.В.Овсянникова (Новосибирск, 2009); па Конференции "Современные проблемы анализа и геометрии" (Новосибирск. 2009); на. Международной кон-

ферспнин -'Лаврсотъсвскис чтения по математике, механике и физике", посвященной 110-летию академика М.Л.Лаврентьева (Новосибирск, 2010).

Результаты работы докладывались на следующих научных семинарах:

"Групповой анализ дифференциальных уравнений'', ИГиЛ СО РАН, Новосибирск (рук. академик РАН Л.13.Овсянников и проф. А.П.Чупахиц); "Теоретические и вычислительные проблемы задач математической физики", ИМ СО РАН, Новосибирск (рук. проф. А.М.Блохип); "Избранные вопросы математического анализа", ИМ СО РАН, Новосибирск (рук. проф. Г.В.Демидепко); "Геометрия, топология и их приложения", ИМ СО РАН, Новосибирск (рук. академик РАН И.А.Тайманов); "Дифференциальные уравнения ц смежные вопросы анализа", ИМ СО РАН, Новосибирск (рук. проф. В.С.Бслоносов и проф. М.В.Фокин); "Обратные задачи математической физики", ИМ СО РАН, Новосибирск (рук. проф. Ю.Е.Апикопов); семинаре отдела условно-корректных задач, ИМ СО РАН, Новосибирск (рук. члеп-корр. РАН В.Г.Романов); "Общеипститутский математический семинар" ИМ СО РАН, Новосибирск (рук. академик РАН Ю.Г.Решетпяк); семинаре кафедры дифференциальных уравнений МГУ, Москва (рук. проф. В.В./Киков, проф. Е.В.Радкевич, проф. А.С.Шалаев); семинаре кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений СФУ, Красноярск (рук. проф. Ю.Я.Белов).

Работа выполнена при поддержке ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 гг. (государственный контракт № 16.740.11.0127).

Публикации. По теме диссертации опубликована 41 работа, в том числе 37 работ в журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертации. Часть работ выполнена в соавторстве 110, 23, 21, 29, 30-33, 35, 37-39, 41]. Вклад автора одинаков с вкладом соавторов.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 272 страницах, состоит из введения, трех глав, разбитых па 23 параграфа, заключения и списка литературы из 334 наименований.

Содержание работы

Во введении приведен обзор литературы по теме диссертации, дана общая характеристика работы, обоснована актуальность темы исследований, указаны цель работы и новизна полученных результатов, представлено краткое содержание диссертационной работы.

В главе 1 для уравнения

где х = (х1, ■ ■., хп) — набор переменных, ю = т{х), А = А(х), Аг = г = 1,..., п

рассматривается следующая обратная задача:

Найти функции гс(х), \(х) в области П С К", если известна, функция и>о = ги|г, где Г — граница области П.

Как правило, функция \(х) удовлетворяет дополнительному соотношению. Например, не зависит от части переменных или является решением некоторого дифференциального уравнения.

Один из методов доказательства теорем единственности состоит в использовании дифференциальных тождеств. Причем тождество должно учитывать как специфику рассматриваемого уравнения, так и геометрию области П. Искомые тождества для уравнения (1) можно условно представить в виде трех слагаемых:

К + Ь + В = О,

1 \ т * — дм

где 1) слагаемое А зависит от х, —, г = 1,...,п, знакопостоянно в области П и

обращается в нуль если, и только если все ^ = 0, г = 1,...,п; 2) слагаемое Ь

обращается в пуль в области П, в силу условий на правую часть А; 3) слагаемое Л при интегрировании по области П обращается в нуль.

В работах автора [13, 14, 36] установлено, что имеет место алгебраическое тождество для модуля дифференцирований ассоциативного коммутативного кольца.

Теорема 1.1.1. Пусть Ь — ассоциативное коммутативное кольцо и

1) Ак, к — 1 ,...,а\ Ви г = 1 ,...,6; С,-, ] = 1,...,с; о,6,с € N. — произвольные дифференцирования кольца Ь:

2) д'3, 0к. к = 1,..., а; i = 1,..., Ь; ] = 1,..., с — некоторые элементы кольца Ь\

3) элемент А е Ь onpeдcJleн равенством А = вкАк(го).

Тогда имеет место тождество

= (д'*С]{Ок) - С,(д*1)вк) Ак{и,)Вг{и,)~

-Ак{срОк)В№)С}{у>) + Вг{^вк)Ак(хи)С^и,) + (2)

+д*'вк {ВДш) [С,,Ак] (-и.) - СДги) [Ак. В,-] (ш) + Ак(ю) [В,-, С,-] (ш)} + +Ак (д^ОкВ1(т)С3(ги)) - В, (д*0кАк(ш)С, (го)) + С, (д^ОкАк(у;)В^п)) , где [-,-] — комлгутатор дифференциальных операторов.

(Нумерация теорем в автореферате соответствует номеру теоремы в параграфе. Например, теорема 1.2.3 — теорема с номером 3 в параграфе 1.2.)

В дальнейших приложениях алгебра Ь — алгебра функций, определенных на некотором многообразии М. а дифференциальные операторы — векторные поля. Возможно получение тождеств для систем кинетических уравнений. Можно рассматривать суммы операторов дифференцирования и умножения на элементы кольца (или более-общо линейные операторы), что является аналогом калибровочных преобразований или введением связности.

Из тождества (2) получаются тождества найденные в работах Р.Г. Мухометова (1977), В.Г. Романова (1978), Л.Б. Вертгейма (1991), Ю.Е. Аниконова (1978. 1983), А.Х. Амирова (1983), Л.Н. Пестова (1985), В.А. Шарафутдинова, Г. Ульмана (2000).

Если кольцо Ь — кольцо гладких функций и А{ = B¿ = С; = -Дт, г = 1,...,п. а = Ь = с = п, то справедливо уточнение теоремы 1.1.1.

Теорема 1.1.2. Для произвольного решения ц; = т(х), х — (х1,..., х") уравнения

где вг = 0г(х), г = 1,. .., п. и Л = А(ж) имеет место тождество ^дт дю _ ( Э2Л | ЗА \ д / И д\ \ д ( ^ Эг» \

Й Дх> ¿Ы ~~ ^ V гАг'аг-' ' а дх*) Эх* \ ' дх.з) дх' \ дх,з дхк) ^ '

для некоторых функций дх*{х), а'(Ш), С'Цх), 1,.... п тогда и

только тогда, когда

1/*" *' / я л

а" = С^, а' = —= С(;|м —г^ + ^-г«?*0^, = ^С^М'С^-^С'^.

ах-* ' дх" ох*

Здесь скобки () и [] в верхних индексах обозначают симметрирование и альтернирование, а | | используется для исключения индекса из-под действия этих операций.

Фактически теорема 1.1.2 утверждает, что существуют свободные параметры Си , вк, через которые вычисляются все оставшиеся коэффициенты д1-', а4, а', С}1'к.

В параграфе 1.2 изучаются свойства найденных тождеств и рассматриваются возможные приложения.

Следующая теорема утверждает, что квадратичная форма тождества (3) может быть достаточно произвольной.

Теорема 1.2.1. Пусть д'^, г,з = 1,...,п — произвольные заданные функции от перелгенных х1,..., х™. причем д= д7' и д11 = 0.

Определим, функции 02, ...,вп, С1^. г ф } = 1, ...,п из системы

г = 2,..., п,

-29ч, ¡.] :'....., н.

к>2 4

к>2

типа Коши-Ковалевской. Функции С11, г — 1,...,п, положим равными нулю. Тогда для уравнения

дш „и дъи

-Е0 =

дх1 0хк

к>2

имеет место тождество (3) с квадратичной формой . Если начальные данные для функций С1' при х1 = Хц выбрать симметричными по индексам г, j, то из вида системы следует, что С4 = Cj4 при всех г, j.

Также в параграфе 1.2 установлено существование тождеств для кинетических уравнений па многообразии со связностью и для уравнений, содержащих дополнительные слагаемые вида Oui. В качестве приложений рассмотрены вопросы единственности решения соответствующей обратной задачи для уравнения, заданного скобкой Якоби и для уравнения, заданного скобкой Пуассона с дополнительным слагаемым вида ви>. В параграфе 1.3 рассматривается кинетическое уравнение Больцмана^Власова

dw dw — — dw

_+<р_> + <Я + |5хв1_>=А. (4)

Здесь t. — временная переменная, х = (х1:х2,х3) — пространственные переменные, Р = (Р1,Р2,Рз) — импульсы, E(t,x) = (EUE2,E3), B(t,x) = (Bi,B2,B3) — векторы электрической и магнитной напряженности, w = w[t,x,p) — функция плотности распределения частиц, Л = \(t,x,p) — интеграл столкновения.

Для уравнения (4) получено тождество вида (3) и при некоторых дополнительных предположенях на векторы В. Е и правую часть А устанавливается единственность решения следующей обратной задачи: Обратная задача: в области

Q = {(t,x,p)\\t - t°\ < b, \Xi - < au \pt-pf] <h,i = 1,2,3} , (5)

где x°, pi, «;, bi, i = 1, 2, 3, b, t° — фиксированные вещественные числа, найти функции w = (t,x,p), A = A(t,x,p), если задано электромагнитное гголе (В.Е) в области Q и известен след функции w па границе Г области Q, т.е. ш|г = w0(t,x,p), (t,x,p) £ Г, где wо — известная функция.

Теорема 1.4.2. Если о области Q функция А = A(t,x,p) удовлетворяет уравнению У ——^— = 0 и квадратичная форма

У JL i \J L)'i

г= 1

Е ы2 + (Зд + ^ Е + ^ + Е ¿О5*

положительно опреде.аена. то обратная задача (5) имеет не более одного решения w = ut(t,x,p), А = A(t,x,p).

В частности, утверждение теоремы справедливо в следующих случаях: , „г т 1 (dEi дЕЛ

1. Матрица J = - —--1- —— положительно определена и

2 \L)xj OXi J

з q г .j = 1

< Ро[г|2 + M2,

где ¡1о — минимальное собственное число матрицы ,1 в области <2. (Отметим, что если~В — постоянный вектор, то данное неравенство принимает вид <

Ыу? + И2-)_

2. Вектор В = 0 и матрица ,1 положительно определена, (отметим, что если поле Ё потенциально, т.е. Ё = ~ и <Р<р > 0 в области <2, для некоторой функции — !£(£,л), то 3 положительно определена).

Доказан также локальный _варпапт (по времени Ь) этой теоремы при более слабых ограничениях па векторы В и Е и более общем уравнении на правую часть А. Область С} можно рассматривать более общего вида

д = - ¿о| < Ь,Х е А,Р е п2},

где £>ь Б2 — области в пространствах К3 (х), К3(р) соответственно, и утверждение теорем останется справедливым.

Результаты параграфа 1.3 опубликованы в работах [10, 12, 22). Один из возможных путей решения уравнения (1) основан па методе моментов Трэда. В параграфе 1.4 рассмотрена задача о нахождении точных представлений для решения ш и коэффициентов А, В, Ё уравнения (4) на основе следующего представления для функций и) и А:

N

и, = е4?12 ]Г А„, Ап = ^ ацкр\р^рз>

п—0 +

А = Л„ = МРЫРЗ-

тг=0 +

где |р|2 = р\ +р1 + Рз, коэффициенты Ьу* — аналитические функции от переменных t, х, N — фиксированное натуральное число > 1. Показано, -что если часть коэффициентов в представлении для функции А фиксировать, то все оставшиеся коэффициенты функции А, все коэффициенты а^к в представлении функции ш и векторы В, Ё определяются однозначно из решения системы типа Коши-Ковалевской. Результаты параграфа 1.4 опубликованы в работах [9. 15].

В параграфе 1.5 рассматривается обратная задача для приближенного квантового кинетического уравнения. Квантовое кинетическое уравнение имеет вид

(2тг)"А

я2

ди> 1г—г ди' 3=1

I (ф (х-+

(6)

где р = (ри-.-Рп) 6 К", х = (х1,...,гп) 6 В С К", п > 1, О — область с гладкой границей дО вещественного евклидова пространства К*1, t > 0, — потенциал,

квантовая функция распределения — функция Вигпера. \{х,р. Ь) — функция источников, возможно функционально-интегрально зависящая от и) при наличии столкповительных явлений, Я — постоянная Планка.

Предполагая наличие всех производных функций т(х,рЛ), разложением

подынтегрального выражения уравнения (в) в ряд Тейлора по к получают дифференциальное уравнение бесконечного порядка

дт -А ди> ^ ^ д2т-Чп д2т'1Ф

¿=1 3 ш = 1 Л,."Ь72т-1 = 1 -иРПп.-1 ш-п - ОХ.72„<-1

где ат — - 1)!227"-2' Конс,111ыо приближения уравнения, в том числе и классические (Лг = 1), следуют из (7) стандартным способом — отбрасыванием бесконечного числа слагаемых:

дш ^ ди' А А е)2т~1т я2т-\ л,

¥ + Е е* а/ (8)

т=1 ¡1.....72т-1=1 1

Специфика уравнения (8) позволяет получить тождество, на основе которого исследуются вопросы единственности и устойчивости решения обратных задач для уравнения (8), в частности, задачи поиска функций т(х,р, 4), А(ж,р, Ь) при некоторых ограничениях на А(з;, р, £). Это тождество, также как и в ранее известном случае при Лг = 1, содержит дивергентные слагаемые (которые исчезают при интегрировании в вопросах единственности решения) и формы четных степеней относительно частных производных функции ю(х,рл). При ограничении па потенциал типа выпуклости эти формы оказываются положительно определенными, что и приводит к единственности решения обратной задачи.

Справедлива

Лемма 1.5.2. Имеет место тождество

Да« э /а» д ^ А. ^ д2т-Чи д2т~1Ф \

1, , ,2 1 V"» д™™ д,пги д2'пф = - кгасЦ.ги--> ат >---

. ^ .......;)р.^Ох;:..М.г

■где = ^ (¿^т) " ^ понимаются дивергентные слагаемые по пере-

3 = 1

менным х. р, ¿.

Обратная задача определения правой части.

Рассмотрим обратную задачу поиска бесконечно дифференцируемых функций и>(х,р, 4). А (х,р, *), х € £> С К", ре О с К". О <t <Т таких, что

ди, » Эи, пут А .Я" 'и-

* ■+£( } =

2) v:\an = г(.?,р,г), в е 0Д и>|,=о = «■'<)(*,?), Ч«=г = к<г(т,р),

3) = гиа(*, «'.*)> я' € ЭО, |а| < N - 1,

где £)р — дифференцирование по переменным р, а — мультшшдекс.

п д2\

Теорема 1.5.1. Если ———— = 0 и квадратичные формы ■А _____д2тФ

Орн...дрцт ¡)р,„ дх ...дхПп

положительно определены, т = 1, ...,ЛГ, то обратная задача 1)-3) поиска функций и:(х,р^), А(х,рЛ) в области П = И х £) х [О,Г] имеет не. более одного бесконечно дифференцируемого решения {т{х,р, Ь), Х(х,р, I)) в замыкании И.

Также в параграфе рассмотрена обратная задача восстановления потенциала и доказана теорема единственности. Получены результаты существования решении обратных задач, при условии, что данные обратной задачи есть квазиполиномы.

Результаты параграфа 1.5 опубликованы в работах [19, 23, 35].

В параграфе 1.6 изучается математическая модель этноса, предложенная в работе Ю.Е.Аникоиова (1995), на основе уравнения

„г , , дн ш дн\ п /ПЛ

Р • IV + £ «,(*, р) . . _} = О, (9)

г—1

где у = (у1, <), у' 6 Е", t £ К, п > 1 — координаты пространство-время, (х,р), х е Ет, р 6 Кт — координаты, связанные с пассиопарпостыо, х, - потенциальная возможность особи к активным действиям; р - пассионарный импульс, IV(х. р, у) — плотность распределения особей данного этноса в пространстве ц2т+»+1 переменных (х,р,у), Н(х,р,у) — биохимическая энергия, определяющая пассионарное поле, Р{х,р,у) — закон, по которому живет этнос: появление, исчезновение, перемещение особей в пространстве, * обозначает свертку но простраиствснпо-времешюй переменной у = (г/',

Р*\У= ! Р{х,р,у-ц)\\'{х,р,цЩ.

Найдены классы точных решений уравнения (0). Рассматриваются задачи определения параметров этих решений по функции энергии и краевой информации. Во второй части приводится система уравнений, охватывающая взаимодействие нескольких этносов (суперэтноса), и находятся некоторые се решения. В заключительной части

параграфа рассмотрена задача представления решения и символов операторов эволюционного уравнения.

Результаты параграфа 1.6 опубликованы в работах [2, 29, 30].

В параграфе 1.7 рассматривается задача определения структуры риманова многообразия. Для достаточно произвольного риманова многообразия с краем получены дифференциальные соотношения па метрику и годограф, которые выполняются или пет одновременно. Данные результаты применимы к исследованию обратной кинематической задачи.

Пусть (Л/, д) — компактное п - мерное риманово многообразие с непустым краем дЛ/. д ~ метрика. Будем далее предполагать риманово многообразие М простым, то есть любые две точки 1/,г е М соединяются единственной геодезической -у{у, г), все точки которой, за исключением быть может точек у, г, принадлежат дополнению М \ 8М и которая гладко зависит от концов у. г. Функция

где у, г — произвольные точки многообразия М, .ч — натуральный параметр вдоль геодезической у (у, г), называется годографом метрики д.

Обратная задача определения метрики по годографу ставиться следующим образом: Известна функция ш(у,г) для любых точек у, г £ ОМ. Найти метрику д(х), х € М.

Если К" — га-мерное вещественное евклидово пространство переменных х = (х1,..., хп), Л/ — компактная область в Е" с конформно-евклидовой метрикой ¿а" = \-\dx\ , где Л(х) >0 — некоторая достаточно гладкая функция, то рассматриваемая задача определения А(х) называется обратной кинематической задачей.

В работах Ю.Е. Аникопова (1973, 1978), Р.Г. Мухометова (1977), В.Г. Романова (1978) приведены теоремы единственности и устойчивости решения обратной кинематической задачи, а также теоремы единственности и устойчивости решения общей задачи определения метрики. В работах Ю.Е. Аниконова Г1973-1990). Л.Н. Пестова (1982, 2003) получены оценки для дифференциальных выражений, содержащих решение А(х). через дифференциальные соотношения для исходной информации, тем самым внесен конструктивный элемент исследования поставленной задачи.

В данном параграфе получены дифференциальные соотношения на метрику д(х), х 6 М, и годограф и:(у, г), у, г е ЭМ, которые выполняются или нет одновременно. Метрика д(х) имеет произвольный вид.

Напомним некоторые понятия тензорного анализа. Пусть и = (и<,..лт) — ковари-агтюе тензорное поле ранга т па многообразии XI. Тензор и называется симметрическим, если

где круглые скобки обозначают симметрирование по всем индексам содержащимся в них. На симметричных тензорных полях риманова многообразия можно ввести понятие внутреннего дифференцирования <1, которое задается формулой

(10)

{¿и)1

где запятая в индексах соответствует ковариаитпой производной в данной метрике. Симметричное тензорное иоле и = ..,,„) называется копформио-киллинговым (Э. ТасЫЬапа (1969)), если выполнено равенство

С1и = IV. (11)

где V — ковариантное тензорное иоле ранга т- 1, и оператор I. определен равенством

В частности, если т = 1, то равенство (11) принимает вид + и^ — vg^j. где V — функция. По тензорному полю и = («;) в этом случае строится конформное преобразование римапова многообразия (М.д). Если V = 0, то такие преобразования называются движениями, а поле и = (щ) называется шиллинговым.

Риманово многообразие называется компактным рассеиваюпщм римаповым многообразием, если его край является строго выпуклым и отсутствуют геодезические бесконечной длины. Для такого многообразия можно ввести интегральную величину к+, характеризующую положительные значения секционной кривизны (В.А. Шараг футдинов (1993)).

Фиксируем натуральные т > 1, « > 2, конформно-киллингово тензорное поле и = («¿!...!„,) и некоторое тензорное поле Ь = При т = 1 полагаем Ь = 0.

Рассмотрим выражение

Нх'1 Ах31 д.х.

= • - ■ 1Г + лГ ' - ■ - ,/, • (12)

где 7 некоторая геодезическая, я — натуральный параметр. Сформулируем основной результат

Теорема 1.7.1. Пусть (М.д) — компактное рассеивающее риманово многообразие, причем выполнено ограничение А.-+ < ^¡^ на секционные кривизны.

Тогда функция и>(у, г), определенная равенством (10), для произвольных у, г 6 дш удовлетворяет соотношению

" (*) дзь Ч и М дуп - ду^ +

, дш(у,г)

где«'1"'"1, bix.-J~.-a — контравариантные компоненты тензоров и, Ь фиксированных в (12), тогда и только тогда, когда выполнены соотношения

1'(]1--]п,-1) + Ч^-Зпг-2,)ш-1) = (13)

для всех ■наборов индексов 1 < < ... < зт~\

Если в соотношениях (13) исключить тензор Ь, составив условия совместности, то получим систему дифференциальных уравнений на тензор V, т.е. фактически уравнения па метрику у.

Для конформной метрики соотношения для метрики и годографа можно строить па основе алгебры конформных преобразований, что и проделано в параграфе, а также рассмотрены некоторые случаи интегрирования соотношения (13).

Результаты параграфа 1.7 опубликованы в работах [26, 27].

В главе 2 исследования связаны в основном с построением дифференциально-алгебраических тождеств для дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, разработкой аналитических методов теории обратных задач и вопросов конструктивного построения решений и коэффициентов соответствующих уравнений по начально-краевой информации, разработкой задачи управления оператором второго порядка. Также проводится исследование обратных задач для уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типа с параметром, вопросов существования аналитических решений. Разрабатывается подход к исследованию вопросов единственности решения многомерных интегральных уравнений па основе использования специальных классов алгебр.

В параграфах 2.1, 2.2 приведены новые представления решений и коэффициентов гиперболических и параболических уравнений. Существенно то, что найденные представления имеют функциональный произвол. Это обстоятельство позволяет использовать данные представления при изучении одномерпых и многомерных обратных задач, что и проделано в работах [20, 28. 33, 37-39].

В параграфе 2.3 рассматриваются нелинейные задачи управления перевода субстанции из одного состояния в другое при наличии краевой информации. Фактически такого рода задачи управления являются, также как и в линейных случаях, обратными задачами для дифференциальных уравнений. Исследования связаны в основном с поиском дифференциальных операторов 2-го порядка с тремя коэффициентами не зависящими от времени. Предлагаются конструктивные аналитические способы исследования с применением, в частности, формулы Вюрмана-Лаграпжа.

Результаты данного параграфа получены в работе |31].

В параграфе 2.4 рассмотрены обратные задачи для уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типа с параметром. В случае гиперболических и параболических уравнений удастся при некоторых ограничениях свести общие линейные обратные задачи к конкретным интегральным уравнениям первого рода типа Абеля с последующим аналитическим продолжением. В случае нелинейных обрат-, пых задач для эллиптических уравнений, содержащих параметр, выписаны системы и иптегродифференциальные уравнения, не содержащие искомого коэффициента. В одномерном случае сформулирована и доказана теорема существования решения при условии аналитичности.

Результаты данного параграфа получены в работе [41].

В параграфе 2.5 приводятся формулы для производящих функций вероятностных процессов. Эти формулы содержат общие нелинейные отображения линейных пространств в себя и обратные. Используя полученные формулы и групповые свойства, удается наметить путь исследования ряда нелинейных многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений типа управления. При этом существенным моментом является применение теории функциональных уравнений (см. Marek Kucziria (1968)).

Результаты данного параграфа получены в работе [32].

В параграфе 2.0 рассматривается многомерное интегральное уравнение первого рода

В(2,1)

где 0(5", £) — полушар радиуса í с центром в (г, 0) в вещественном пространстве 1йт+1, т.е.

х, г 6 К"', 4 > 0; функции А, Т] действуют из Кт+1. а ядро к — из Кт+1 х Кт+1 в конечномерную вещественную алгебру Ь; || £ ¡| — длина вектора Если т = 0, то уравнение (14) — стандартное интегральное уравнение Вольтерра первого рода.

Теорема единственности для уравнения (14) в классе аналитических функций, когда Ь = С — поле комплексных чисел, была доказана в работе Ю.Е. Аникопова (1980). Требование па аналитичность функции Л(х, у) существенно. Можно построить пример С00-гладкой функции А (ж, у) и знакопостоянного ядра к(х, у, г, £) таких, что заключение теоремы перестанет быть верным (Ю.Е. Аниконов (1978)). Для тела кватернионов теорему единственности доказал О.Н. Смирнов (1993). Для произвольной конечномерной вещественной алгебры с делением теорема единственности доказана в работе [16].

Напомним некоторые определения нз алгебры (Куротп А.Г. Лекции по общей алгебре. М.: Наука. 1962). Пусть Ь — некоторая конечномерная алгебра надполем вещественных чисел К. Алгебра Ь называется алгеброй с делением, если уравнение ах = Ь разрешимо для любых о ф 0 и 6 из Ь. Это условие равносильно отсутствию делителей нуля в алгебре (т.е. если в алгебре Ь выполняется равенство ху = 0, то х = 0 или у = 0). Отмстим, что алгебра с делением может иметь размерность только 1, 2, 4, 8 (теорема Адамса).

Если алгебра Ь, в которой принимают значения функции к, А не является алгеброй с делением, т.е. она допускает нетривиальные решения уравнения к\ = 0, то, очевидно, что решение уравнения (14) неединственно. Поэтому условие того, что алгебра Ь с делением, необходимо.

Основным результатом параграфа является теорема единственности для уравнения (14) в классе функций А(2:,у), аналитических в области {я е К'", у > 0} и принимающих значения в произвольной конечномерной вещественной алгебре с делением.

Теорема 2.6.1. Если I — 1 ,...,п, интегрируемы и знакопостоянны

при 0 < у < 4 (т.е. либо строго больше, пуля либо строго меньше пуля), то нулевое решение уравнения (14) с нулевой правой частью единственно в классе функций аналитических в верхнем полупространстве {ж € К"\ у > 0} .

Аналогичная теорема справедлива для аналитического ядра к(х,у,г,1) по переменным (х, у) и знакопостоянного по переменным (гЛ).

Результаты параграфа 2.6 опубликованы в работах [1, 3, 16].

В главе 3 исследования связаны, в основном, с вопросами изучения групповых свойств дифференциальных уравнений второго порядка и построением инвариантных, частично-инвариантных решений, вопросами исследования переопределенных систем (приведение в инволюцию, широта решения). В частности, построены классы

(14)

ЛСМ) = {(я, у) \у>0, II (Х-г,у) ||< г},

точных решений для системы уравнения Максвелла в анизотропной среде, многомерного уравнения Монжа-Ампера, кубического уравнения Шредингера, системы уравнений движения сплошной среды со специальной термодинамикой. Разрабатываются классические вопросы группового анализа, связанные с построением касательных и дискретных преобразований дифференциальных уравнений в частных производных, классификацией дифференциально-алгебраических операций.

В параграфе 3.1 изучаются групповые свойства уравнения теплопроводности и волнового уравнения с переменным коэффициентом при производной по времени. Находятся локальные преобразования пространства, сохраняющие вид уравнения (локальные преобразования Ли). Результат сформулирован в теоремах 3.1.1 и 3.1.2. Естественно, что преобразования зависят от вида коэффициента. Это позволяет найти коэффициенты, при которых есть нетривиальные преобразования. Рассмотрены некоторые применения полученных результатов к обратным и краевым задачам: в предположении. что симметрии красного условия продолжаются па все решение, определяется возможный вид коэффициентов и решений уравнения теплопроводности. Результаты данного параграфа получены в работах [4, 5].

В параграфах 3.2, 3.3 приводится частичная классификация систем типа реакния-диффузия по законам сохранения. В качестве приложения приведены примеры построения законов сохранения как для абстрактных систем такого вида, так и для известных моделей встречающихся в литературе (кусочно линейная модель Фитцхыо-Нагумо, модель хищник-жертва, брюсселятор, модель химической кинетики). Эти результаты получены в работах [25, 34].

В параграфе 3.4 изучаются групповые свойства системы уравнений Максвелла, а также приводятся новые классы точных решений. Более точно, в первой части параграфа (теорема 3.4.1) приводится полное описание преобразований эквивалентности

системы уравнений Максвелла в неоднородной среде .

где г,], к = 1,2,3, (я1, х2, ж3) — пространственные переменные, х° — временная переменная, Ё = (Е1,Е2,Ез). Н = (Я1?Я2,Яз) — векторы напряженности электрического и магнитного полей, г = (е®-7), ц = (/¿'3) — тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости среды, а = (<тч) — тепзор проводимости, 3 = (.Я, З"2, Р) — вектор свободных токов, р — плотность электрических зарядов, е"'3 — антисимметричный символ на индексах 1,2,3.

Теорема 3.4.1. Коэффициенты оператора эквивалентности

V = г)РЭхГ + адЕ< + Ыдщ + ]кд}ъ + еУде„ + + адЙ + ,

где р — 0,1, 2, 3, имеют следующее представление

г/° = ао + ах°, а, Оц = сопМ,

1 2 Ч

Ч, 1 , 1

произвольные функции от переменных х1, х1, х3,

„кэ __I

дх1 дхз'

гк" = (2а - 0 - + д»^ +

дх1

дхз'

<9.га

••>! -^£ + -

— произвольные функции от всего набора переменных хр, £,-, Я^, е1', //.'■', а'^. </*, р, /3 — произвольная функция от переменных хг,х2,х3, и

Г = /3 +

дт]1 Эх*'

В частности, если е = ео/, р. — — скалярные матрицы (I — единичная матрица), <7 = 0, то коэффициенты оператора V имеют следующее представление

г,° =- «о + сця0, ах, ао = соп.ч1,

/ Оп1 \ ■■е0(Ро + сх1), т = до I »1 - - ¡30 I ,

/ц

дт)-

¿V с9?/3

Л3 - -Я,

¿V

9а;15

- + Я3./?о,

=

е-2

е3 =

Т -

Ог/1 Е1о1' Эт?3

р л?1 р V дт/3

9х3 р р

где Д> — произвольном функция от х1, х2, х3,

О//1 дц2 сЬ;3 Зг/1 Эг;2 ^ З^1 Э(/3 ^ Зг;2 Эг?3 Зж1 дх2 Ох3' Ох2 Ох1 ' Ох3 дх1 ' Ох3 Ох2 '

3 ~ 9x2 Эх* 9x1 >J J dxi J dxi<

J дх'л дх1 9х2 9х2; 9х2

_ 9fe2 0/ц ^drj1 2dij2 , З^3 з

J ~ 9xi ¿>x.2 J J От*' '

/ад, 2 /ад _ev_\ з

V^2 д(*2)2) \9х3 9(х3)2 у

Во второй части получено полное описание решений системы уравнений Максвелла (в однородной среде) с пулевыми инвариантами. Более точно, если ввести комплексный вектор

М = Н + iE,

то система уравнений Максвелла в однородной среде запишется в виде

__— ОМ

divM = 0, rot Л/ + г'-—- = О, at

а равенство пулю инвариантов

/ =<Ё,Ё > - <Н,Н >, J=<E,H>

примет вид < М, М >= 0. (Хорошо известно, что I, J являются инвариантами преобразований Лоренца.) Здесь значок <, > соответствует стандартному скалярному произведению векторов.

Теорема 3.4.2. Общее решение системы

divM = 0, rotM + i^-=0, <М,М>= 0 at

представимо в виде М = (с/cosp, qsinp, iq), где функция р— неявное решение уравнения р = Р(£,т?), для некоторой функции Р от двух аргументов и функция q определяется равенством

Q = ¿Ж.*7)езф (х(Р? cosp - P,,siiip) + у(Р^ sinp - Рч cosp)) .

Здесь = t + xsinр — у cosp, r¡ = iz + xcosp + з/sinp, Q —произвольная функция от двух аргументов.

В третьей части (теорема 3.4.3) получено описание одпопараметрических решений системы уравнений Максвелла

div(£) = p, div(tf)=0, iotÉ = -^-, TOtH = J+Щ-. (15)

Решите системы (15) называется одаопараметричеекпм, если существует такая функция 0 = 0(1, х, у. г), что Е, II, 3, р — функции от 0. В качестве параметра выбрана функция р плотности электрических зарядов.

Результаты данного параграфа опубликованы в работах [7, 8, 17|.

В параграфе 3.5 рассматривается вопрос об интегрировании переопределенной системы

uzz + и

и

= Vt + V% + vl + v;, щ + uAv + 2uzvz = 0, (16)

в которой и — u(t,z), v = v{t,x,y,z), соответствующей подалгебре

Дзд = алг (Xg, Х9 + а,Хз,Хц) ,

симметрии кубического уравнения Шредингера. Здесь а — положительная константа и

Xi = dv, Xs = 2tdx + xdv, X9 = 2tdv + ydv, Хц = dv.

Система (16) отвст1аст частично-инвариантному решению ранга два и дефекта один (JI.B.Овсянников, 1978). Дополненная уравнениями их = иу — 0 опа является переопределенной: четыре уравнения для двух функций. Если рассматривать только стационарные решения щ = vt = 0, то (16) примет вид

vl + vl+vl = h2, vxx + vvy + vzz=gvz, (17)

где введены обозначения h2(z) = zz -, g(z) = —2—.

Справедливы

Теорема 3.5.1. Если функция v не зависит от переменной х, то общее решение системы (17) дается следующими формулами

v = ±2y/c1(y + Vc [Ц)+ьо, /' 6 r<Af п ^ ^ =±z + C3, V J и J J \/—2иь + Cru1 + С2и2 - СС\

где С > 0, Ci > 0, Сг. Сз, г.'о — некоторые константы.

Теорема 3.5.2. Решение v = v(x, у, z) системы (17) линейно по переменным x,y,z тогда и только тогда, когда функция h не зависит от переменной z, т.е. постоянна. Результаты данного параграфа получены в работе [24]. В параграфе 3.6 исследуется система уравнений,

dTÎ — , „ dh , ,

— + VI/i = 0, VI-u> = 0, ^=0, (18)

описывающая движение сплошной среды, в которой все термодинамические функции сохраняются вдоль траекторий. Здесь ~ït = (u,v,w) — скорость среды, h — термодинамическая функция, например, давление для тепловых движений: = (x,y,z) —

d 9 -> „

декартовы координаты и t — время, — = — + ТГ ■ \7Х — полная производная, индекс

dt ut

х при градиенте указывает переменные по которым действует этот оператор.

В двумерном случае выбором лаграижевых координат система (18) приводится к виду

х,л-у( = 0, yH + x¡.^Q, xíyr,-xriyí = l. (19)

С использованием теории переопределенных систем дифференциальных уравнений (теория Рикье) получена оценка на произвол решения системы (19). Справедлива

Теорема 3.6.1. Система (19) имеет произвол решения не более 4-х функций одного аргумента.

С другой стороны найдено точное решение системы (19) с произволом две функции одного аргумента

* = p(r,) eos --^-), у = р(П) sin ^--^-j ,

где q(r¡) и tp(r¡) — произвольные функции переменной r¡ и p2{rf) = 2/q2(rf)dr¡.

Также найдена алгебра Ли системы (19) (лемма 3.6.3).

Результаты данного параграфа получены в работе [10].

В параграфе 3.7 рассматривается n-мерное однородное уравнение Монжа-Ампера и описываются его функционально-инвариантные решения ранга п — 1. Более точно, пусть и = и(х), х = (х1,...,!"). — решение уравнения Монжа-Ампера

det(ul(lj) = 0. (20)

Отметим, что уравнение (20) равносильно тому, что частные производные их i,..., их* функционально-зависимы. Будем говорить, что функция и(х) имеет ранг п - 1, если ранг матрицы (uxtxj) равен п - 1. Ввиду симметрии матрицы (uxíxí), это условие равносильно тому, что одш1 из диагональных миноров порядка п — 1 отличен от нуля. А это, в свою очередь, равносильно тому, что соответствующие 71 — 1 частных производных, рассматриваемые как функции от соответствующих n —1 переменных, функционально-независимы. Доказгша

Теорема 3.7.1. 1) Пусть и(х) — функционально-инвариантное решение уравнения (20) ранга п — 1, тогда найдется такая однородная функция степени однородности один <р{уЛ,..., уп). что

ip(ux¡, ■ ■ ■ ,ихп) = 0. (21)

2) Если и{х) — решение уравнения (21), где ipiy1, ■ ■ ■, уп) однородная функция степени однородности один, то и(х) — функциопплыю-инвариантиос решение уравнения (20).

Результаты данного параграфа получены в работе [6].

В параграфе 3.8 получено описание касательных преобразований функций одной переменной в терминах дифференциальных соотношений, связывающих правые части касательного преобразования. Также приводится обсуждение проблемы нахождения факторгруппы группы всех касательных преобразований по подгруппе ипфипитези-мальиых касательных преобразований. Справедлива

Теорема 3.8.1. Пусть А = А(х,и,р) — произвольная функция, функции В = В(х,и,р) и С = С(х,и,р) являются региениями систем

Врр = 2Аи + РАир + А1р, Вхр = Ви - РВир + 2рАхи + р2Аии + Azx (22)

и

Ср = 2А + рАр, Сх = В + рАх + т?Аи - рСи, Си = Вр - Ах, (23)

соответственно. Тогда если определить функцию / = f(x,u,p) как решение уравнения

Afx + Cfu = Bfp, (24)

а (функции h = h(x, и, р) и у = д(х, и,р) определить последовательно из систем уравнений

А = /¡ц/р — hpfu, B = hJx-hxf,l, C = hpfx-hxfp. (25)

и

9p = hfp, gx = hfx-pC + p2A, gu = hfu + С — pA, (26)

то отображение (x.u.p) i—> (f,g,h) будет задавать касательное преобразование.

И наоборот, если тройка функций /, g, h от переменных х, и, р задает касательное преобразование, то она является решениель системы (22)—(26), которая находится е инволюции.

Отлетим, что система (22-26) является преобразованием типа Бэклупда, связывающим два набора функций (А, В, С) и (f,g,h).

Результаты данного параграфа получены в работе [18].

В параграфе 3.9 приведено описание дискретных автоморфизмов дифференциальных уравнений второго порядка

аихх + 2Ьиху + сиуу -f d,ux + еиу + fu = 0, (27)

где х, у — переменные, и, а, Ь, с, d, е, f — функции от х, у, при условии, что группа Ли инфшштезпмальных преобразований уравнения (27) имеет размерность не меньше двух. А также получено описание автоморфизмов соответствующих алгебр Ли. (Проводимые вычисления, в основном, соответствуют алгоритму, разработанному в работах G.Gaeta, М.A.Rodriguez (1996) и P.E.Hydon (1997).)

Как известно (см. Л.В.Овсянников (1978)), уравнение (27), при условии, что его алгебра Ли имеет размерность не меньше двух, преобразованием переменных приводится к одному из следующих видов

2 - - ■ 4Р „ = 0, (28)

ху д{х + у) я{х + у) и Я2(х + у)

их„ Т хих + руиу + рхуи — 0, (29)

т. . .

иху = иу + —и, (30)

где р, qф0, то — некоторые вещественные числа.

Каждое нз уравнений (28)-(30) исследуется на наличие дискретных симметрий. Приведем только описание, полученное для уравнения (28).

Алгебра Ли Ь (см. Л.В.Овсянников, 1978) уравнения (28) порождается операторами

2р + 1

к;! — дх - ду, гч2 — хдх Ч- уду Ч--

и.'з = х2дх - у2ду + -(рх — у)иди, ш0 = иЭ„.

Отметим, что < , и?2, шз > — простая подалгебра. < и,<д > — центр алгебры Ь и Ь =< и!д > ф < и'х, а>2,?«з > — прямая сумма подалгебр.

Предложение 3.9.1. Группа автоморфизмов алгебры Ь =< шо, »¿'х. и'2, ,('з > по модулю группы внутренних автоморфизмов порождается центральными автоморфизмами вида {т.е. автоморфизмалш, действующими тождественно по модулю центра алгебры Ь)

■шо" = 7о1"(Ь и,1<Р = и'Ъ — ш2, = и>з,

где 7о ф 0 — произвольное вещественное число, а также следующими двумя автоморфизмами второго порядка, действие которых на порождающие задается равенствами

«.'О* = «¿0, = —ги1; и12Р = и'2, Из^ = —^3,

Ы! о^ = К'о, «11^=^3, = и.'2, 11'з'е=и)1.

Предложение 3.9.2. 1) Автоморфизм т^ = —ич, и^ = «»2, = -и>3. и^* = »о реализуется заменой переменных х = —ж, у = —у, и = и.

2) Автоморфизм то* = 7о^о, = Шх, = и^г, = шз реализуется заменой переменных х ' —у, у = —2. и — и только при 7о = 1 (тождественный автоморфизм) .

3) Автомо])физл1101* = '"-'31 ^¡2Р = '"-'2! и-'з*' = "'1: и-'а4' ~ а>о не реализуется заменой переменных.

Предложение 3.9.3. Дискретные автоморфизмы уравнения 2 2 р Ар

«■„--;-г«!--;--и„ Ч--ггт-гтгИ = О

9 (ж + у) ч{х + у) у <12(х + у)2

1) при р ф 1 порождаются единственным преобразованием перелштых

х~—х, у=—у, и = и, 1) при р = 1 порождаются двулм преобразованиями пере.м.енных

х = —х, у = —у, и. = и и х — у, у = х, и = и. Результаты данного параграфа получены в работе [11].

Результаты параграфа 3.10 связаны с вопросами классификации структуры алгебры Ли на пространстве гладких функций из К1 в К2. В работе А.А.Кириллова (1976) введено понятие локальной алгебры Ли на пространстве бесконечнодифферен-щфуемых сечений гладкого вещественного векторного расслоения Е над многообразием М. В частности, если Е = К" х Кт, М = К'1, то скобка Ли на пространстве Кп,т - ]1£т) определяется формулой

К*]8 ^^иМЭ^'ЭУ, (31)

где х — (ж1,..., ж") — набор переменных, Asijhl(x) е C*(R"), s,i,j = 1,...,т. дк, д1 — сокращенное обозначение для операторов ■ ... • и gjjj-'1 • ... • ¿ß-'",

к — (ki,... ,ки), I = (¿х,..., ln) — мультииндексы, [и, и]', иг, гj — компоненты вектор-функций [u, ü], и, v 6 Rn'm . Суммирование в (31) идет но всевозможным значешгам целых неотрицательных индексов, причем только конечное число функций Ая^к1(х) отлично от нуля. Отображение (и, v) 1—> [u, v] должно удовлетворять стандартным соотношениям алгебры Ли

[и, и] + [и, к] = 0, [au + ßv, tu] = а [и, ш] + ß[v, 'а'], [[и, и], ш] + [[г;, ги], и] + [[и», и], и],

где в — произвольные вещественные »гасла, и, v, w — произвольные элементы пространства К™'171. В той же работе А.А.Кириллова (1976) был поставлен вопрос о классификации локальных алгебр Ли с неодномерпым слоем, например, для пространства К1-2.

В параграфе 3.10 приведена классификация скобок Ли на пространстве К1,2 в самом простейшем случае: порядок скобки Ли не превосходит единицы (скобка Ли (31) имеет порядок N, если в правой части (31) порядок старшей производной не превосходит N и есть непулевая производная порядка А7), "тензор"А|)|1.;(ж) при производных старшего порядка симметричен по индексам г, j и все коэффициенты А\-к1(х) являются аналитическими функциями от переменной х. Классификация проводится по модулю действия группы GL2(F), F — пространство аналитических функций от переменной х. Показано, что при т > 2 существуют скобки Ли сколь угодно большого порядка (при т = 1 это пе так (см. А.Л.Кириллов (1976), лемма 2). Основные результаты сформулированы в теоремах 3.10.1 и 3.10.2. Теорема 3.10.1 утверждает, что аналитических симметричных скобок Ли первого порядка ровно шесть, а теорема 3.1 Ü.2 утверждает, что с точностью до изоморфизма эти скобки Ли задают пять пеизо-морфпых структур алгебры Ли па пространстве R1'2. Более точно (далее D =

Теорема 3.10.2. Любая локальная алгебра Ли Ж1,2 с аналитической симметричной скобкой Ли первого порядка, с точностью до изомор</]изма, может быть задана одной и только одной из следующих скобок 1) = (Du1 v1 — и1 Dv1, Du2v2 — u2Dv2)-, 2) [u, v] = (DhV - m1!)«1^); 3) [«, t>] = («V - UV,0); 4) [u,»] = (Duh,2 - u2Dvl + Du V - u1 Da2, Du2u2 - u?Dv2); 5) [u,v] = (0,0).

Результаты данного параграфа получены в работе [21].

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

— Доказала теорема о существовании универсального алгебраического тождества для модуля дифференцирований произвольного ассоциативного коммутативного кольца. Для кольца гладких функций в полученном тождестве установлено разбиение параметров па зависимые и независимые. Доказано, что для достаточно широкого класса кинетических уравнений есть дифференциальные тождества с заранее фиксированной квадратичной формой. Построены тождества для кинетических уравнепий со скобкой Якобн, для кинетических уравнений па многообразии со связностью. Получено тождество для кинетического уравнения Вольцмана-Власова и доказана теорема

сдинствсшгости для соответствующей обратной задачи. Получены некоторые точные представления для решения и коэффициентов кинетического уравнения Власова. Построенные решения обладают функциональным произволом.

— Для квантового кинетического уравнения получено дифференциальное уравнение бесконечного порядка. Для соответствующего дифференциального уравнения конечного порядка получено дифференциальное тождество на основе которого доказана теорема единственности соответствующей обратной задачи. Доказаны теоремы единственности в одномерной задаче восстановления потенциала и получено существование решения обратной задачи, при условии, что данные обратной задачи есть квазиполиномы.

— Для кинетического уравнения предложенного в работе Ю.Е. Апикопова (1995) в качестве математической модели этноса установлено, что существуют решения с функциональным произволом, и доказаны теоремы существования решения ряда обратных задач. Приведена система уравнений, охватывающая взаимодействие нескольких этносов (суперэтноса), и найдены некоторые се точные решения.

— Приведены новые представления решений и коэффициентов гиперболических и параболических уравнений, которые частично использованы в работе при изучении одномерных и многомерных обратных задач. Рассмотрены нелинейные задачи управления перевода субстанции из одного состояния в другое при наличии краевой информации. Предложены конструктивные аналитические способы исследования.

— Для достаточно произвольного риманова многообразия с краем получены дифференциальные соотношения па метрику и годограф, которые выполняются или пет одновременно. Данные результаты применены к конструктивному исследованию обратной кинематической задачи.

— Рассмотрены обратные задачи для уравнении гиперболического, параболического и эллиптического типа с параметром. В случае гиперболических и параболических уравнений удается при некоторых ограничениях свести общие линейные обратные задачи к конкретным интегральным уравнениям первого рода типа Абеля с последующим аналитическим продолжением. В случае нелинейных обратных задач для эллиптических уравнений, содержащих параметр, выписаны системы и интегродиф-ференциальные уравнения, не содержащие искомого коэффициента. В одномерном случае сформулирована и доказана теорема существования аналитических решений.

— Доказаны теоремы единственности для многомерного интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода над конечномерными вещественными алгебрами с делением.

— Для уравнения теплопроводности и волнового уравнения с переменным коэффициентом при производной по времени найдены преобразования Ли, сохраняющие вид уравнения. Результаты применены к обратным и краевым задачам: в предположении, что симметрии краевого условия продолжаются на все решение, определяется возможный вид коэффициентов и решений уравнений.

— Найдена группа преобразований эквивалентности системы уравнений Максвелла в неоднородной среде. Дало полное описание решений системы Максвелла: а) с нулевыми инвариантами, б) однопараметрических решений.

— Частично проинтегрирована переопределенная система дифференциальных уравнений, соответствующая частично-инвариантному решению (фактор-модель ¿зд) кубического уравнения Шредннгсра.

— Получена оценка па произвол решения уравнений движения сплошной среды со специальной термодинамикой в двумерном случае (не более четырех функций одного переменного) и построены точные решения содержащие две произвольные ф}41кции.

— Для многомерного однородного уравнения Монжа-Ампера получено полное описание фупкциопалыю-шшариаптпых решений коразмерности один.

— Получено описание касательных преобразований функций одной переменной в терминах дифференциальных соотношений, связывающих правые части касательного преобразовании.

— Получено описание дискретных автоморфизмов линейных дифференциальных уравнений второго порядка при условии, что группа Ли ппфшштезимальных преобразований уравнения имеет размерность пе меньше двух.

— Получено описание структур алгебры Ли па пространстве гладких функций из R1 в R2. Показано, что: а) есть скобки Ли сколь угодно большого порядка, б) аналитических симметричных скобок Ли первого порядка ровно шесть, б) с точностью до изоморфизма эти скобки Ли задают пять неизоморфных структур алгебры Ли.

Список работ автора по теме диссертации

1. Neshehadim M.V. Он uniqueness of the solution of an integral equation of the first kind over real algebras with division of the finite dimension// J. Inv. Ill-Posed Problems. 1997. V. 5, X» 5. P. 455-4G1.

2. Neshehadim M.V. Dynamical model of the ethnic system. Formulas in direct and inverse problems// J. Inv. Ill-Posed Problems. 1998. V. 6, № 6. P. 605-617.

3. Пощадим М.В. О единственности решения интегрального уравнения первого рода над вещественными конечномерными алгебрами с делением// ДАН. 1998. Т. 362, № 3. С. 306-308.

4. Neshehadim M.V. Group analysis and formulas in inverse problems of mathematical physics/,/ J. Inv. Ill-Posed Problems. 2000. V. 8, № 3. P. 287-305.

5. Нещадим M.B. Групповые свойства уравнения теплопроводности. Обратные и краевые задачи// Дифф. уравнения. 2002. Т. 38, № 3. С. 379-384.

6. Нещадим М.В. Функционально-инвариантные решения уравнения Монжат-Ампера.// Вестник НГУ, сер. математика, механика, информатика. 2002. Т. 2, № 1. С. 53-57.

7. Нещадим М.В. Одиоиараметрические решения системы Максвелла//' Сибирский журнал индустриальной математики. 2002. Т. 5, № 2. С. 160—165.

8. Neslichailim M.V. Equivalent transformations and some exact solutions to the system of Maxwell's equations// Selcuk J. Appl. Math. 2002. V. 3, № 2. P. 99-108.

9. Нешадим М.В. Некоторые представления решений и коэффициентов кинетического уравнения электродинамики// Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. Т. 6, № 3. С. 114-11S.

10. Нещадим М.В. Теорема единственности для кинетического уравнения движения частиц в плазме// Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. Т. 6, Л"» 1. С. 88-92.

11. Нещадим М.В. Дискретные преобразования дифференциальных уравнений второго порядка// Вестник НГУ, сер. математика, механика, информатика. 2003. Т. 3, № 3. С. 81-90.

12. Нещадим М.В. Обратные задачи и некоторые тождества для кинетического уравнения электродинамики// ДАН. 2004. Т. 395, № 4. С. 601-604.

13. Нещадим М.В. Дифференциальные тождества в теории обратных задач кинетических уравнений// Сибирский журнал индустриальной математики. 2004. Т. 7, № 2. С. 99-102.

14. Нещадим М.В., Обратные задачи для кинетических уравнений. Алгебраические и дифференциальные тождества//' ДАН. 2005. Т. 400, № 3. С. 315-318.

15. Нещадим М.В. Обратные задачи для кинетического уравнения Больцмапа-Власова: представления решений и коэффициентов// Сибирский журнал индустриальной математики. 2005. Т. 8, № 1. С. 101-105.

16. Neshcliadiin M.V. Uniqueness of solution to integral equation of the first kind over real algebras with division of finite dimension (a general case)/,/ J. Inv. Ill-Posed Problems. 2005. V. 13, № 5. P. 495-502.

17. Нещадим М.В. Решения системы Максвелла с нулевыми инвариантами// Вестник НГУ, сер. математика, механика, информатика. 2006. Т. 6. № 3. С. 59-61.

18. Нещадим М.В. Характерпзацня одномерных касательных преобразований в терминах дифференциальных соотношений// Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42, № 1. С. 114-119.

19. Апикопов Ю.Е., Нещадим М.В. Тождество для приближенных квантовых уравнений и обратные задачи/'/ Сибирский журнал индустриальной математики. 2007. Т. 10, № 4. С. 3-9.

20. Нещадим М.В. Некоторые вопросы конструктивных методов в теории обратных задач// Сибирский журнал индустриальной математики. 2007. Т. 10, Л"° 2. С. 101-109.

21. Нещадим М.В. Скобки Ли па пространстве гладких функций из R1 в Н2// Вестник НГУ, сер. математика, механика, информатика. 2007. Т. 7, № 3. С. 96-110.

22. Ncshchadim M.V. Differential identities and uniqueness theorem in inverse problem for the Boltzman-Vlasov equation/'/ J. Inv. Ill-Posed Problems. 2008. V. 16, № 3. P. 283-291.

23. Аниконов Ю.Е., Нещадим М.В. Некоторые обратные задачи для квантового кинетического уравнения/'/ Вестник НГУ, сер. математика, механика, информатика. 2008. Т. 8, № 4. С. 13-22.

24. Нещадим М.В., Чупахин А.П. Частично-инвариантные решения кубического уравпепия Шредингера// Вестник Удмуртского университета. 2008. Вып. 3. С. 35-41.

25. Нещадим М.В. Закопы сохранения для системы типа реакция-диффузия//' Сибирский журнал индустриальной математики. 2008. Т. 11, № 4. С. 125-135.

26. Нещадим М.В. Дифференциальные соотношения в обратной кинематической задаче// ДАН. 2009. Т. 424, № 4. С. 445-448.

27. Нещадим М.В., Дифференциальные соотношения в обратной задаче определения метрики по годографу/,/ ДАН. 2009. Т. 427, № 3. С. 318-320.

28. Нещадим М.В. Некоторые вопросы конструктивных методов в теории обратных задач акустики/'/ Вестник НГУ, сер. математика, механика, информатика. 2009. Т. 9,

№ 4. С. 66-70.

21). Аниконов 10.15., Пощадим М.В. Представления решений, коэффициентов. символов операторов эволюционных уравнений и обратные задачи// Вестник НГУ, сер. математика, механика, информатика. 2010. Т. 10, № 2. С. 25-36.

30. Апикопов К).Е., Пощадим М.В. Обратные задачи и некоторые вопросы динамики этнических процессов// Научное периодическое издание "Современные исследования социальных проблем". 2010. Л'« 4.1. С. 689-700.

3]. Аниконов Ю.Е., Кривцов Ю.В., Пещаднм М.В. Конструктивные методы в нелинейных задачах теории управления// Сибирский журнал индустриальной математики. 2010. Т. 13, № 2. С. 30-45.

32. Аниконов Ю.Е., Нещадим М.В. Ветвящиеся процессы, отображения н обратные задачи// Препринт № 247. 2010. СО РАН, Институт математики, 14 с.

33. Аниконов ГО.Е., Нещадим М.В. Об аналитических методах в теории обратных задач математической физики//' Сибирские электронные математические известия. 2010. Т. 7. С. 11-61. http://semr.math.nsc.ru

34. Нещадим М.В. Законы сохранения для системы типа реакция-диффузия с одной пространственной переменной// Сибирский журнал индустриальной математики. 2010. Т. 13, № 4. С. 64-69.

35. Anikonov Yu.E., Neshchadim M.V. Inverse problems for quantum kinetic equations. J. Inv. Ill-Posed Problems. 2011. V. 18. P. 727-740.

36. Нещадим М.В. Скобка Якобп, дифференциальные тождества и обратные задачи для кинетических уравнении// ДАН. 2011. Т. 436, № 2. С. 170-173.

37. Апикопов Ю.Е., Нещадим М.В. Об аналитических методах в теории обрат-пых задач для гиперболических уравнений. I/7 Сибирский журнал индустриальной математики. 2011. Т. 14. К« 1. С. 27-39.

38. Аниконов Ю.Е., Нещадим М.В. Об аналитических методах в теории обрат-пых задач для гиперболических уравнений. II// Сибирский журнал индустриальной математики. 2011. Т. 14, Л* 2. С. 28-33.

39. Аниконов Ю.Е., Нещадим М.В. Об аналитических методах в теории обратных задач для параболических уравнений//' Вестник ИГУ, сер. математика, механика, информатика. 2011. Т. 11, № 3. С. 20-35.

40. Нещадим М.В., Чупахин А.П. О некоторых решениях уравнений движения сплошной среды со специальной термодинамикой// Сибирские электронные математические известия. 2011. Т. 8. С. 317-332. http://semr.math.nsc.ru

41. Аниконов Ю.Е., Нещадим М.В. Об обратных задачах для уравнений математической физики с параметром// Сибирские электронные математические известия. 2012. Т. 9. С. 45-64. http://semr.math.nsc.ru

Нещадим Михаил Владимирович

АЛГЕБРО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 12.04.12. Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 2.0. Уч.-изд. л. 2.0. Тираж 120 экз. Заказ № 27.

Отпечатано в ООО "Омега Принт" пр. Лаврентьева, 6, 630090 Новосибирск

Введение

Глава 1. Кинетические уравнения: алгебраические и дифференциальные тождества, обратные задачи, точные решения

§1.1. Обратные задачи для кинетических уравнений. Алгебраические и дифференциальные тождества.

§1.2. Свойства полученных тождеств и некоторые приложения.

§1.3. Дифференциальные тождества и теорема единственности решения обратной задачи для уравнения Больцмана-Власова.

§1.4. Некоторые представления решений и коэффициентов кинетического уравнения Больцмана-Власова.

§1.5. Тождества и обратные задачи для квантового кинетического уравнения

§1.6. Динамическая модель этнической системы. Формулы в прямых и обратных задачах.

§1.7. Дифференциальные соотношения в обратной задаче определения метрики по годографу.

Глава 2. Аналитические методы в теории обратных задач

§2.1. Аналитические методы в теории обратных задач для гиперболических уравнений.

§2.2. Аналитические методы в теории обратных задач для параболических уравнений.

§2.3. Аналитические методы в нелинейных задачах теории управления.

§2.4. Об обратных задачах математической физики с параметром

§2.5. Ветвящиеся процессы, отображения и обратные задачи.

§2.6. О единственности решения интегрального уравнения первого рода над вещественными конечномерными алгебрами с делением.

Глава 3. Групповые свойства: точные решения, обратные и краевые задачи, вопросы классификации

§3.1. Групповой анализ и формулы в обратных задачах математической физики.

§3.2. Законы сохранения для системы двух уравнений с двумя пространственными переменными.

§3.3. Законы сохранения для системы с одной пространственной переменной.

§3.4. Преобразования эквивалентности и некоторые точные решения системы уравнений Максвелла.

§3.5. Частично-инвариантные решения кубического уравнения Шре-дингера.

§3.6. О некоторых решениях уравнений движения сплошной среды со специальной термодинамикой.

§3.7. Функционально-инвариантные решения уравнения Монжа-Ампера.

§3.8. Характеризация одномерных касательных преобразований в терминах дифференциальных соотношений.

§3.9. Дискретные преобразования дифференциальных уравнений второго порядка.

§3.10. Скобки Ли на пространстве гладких функций из М1 в I2.

В работе развиваются алгебраические и аналитические методы исследования дифференциальных и интегральных уравнений математической физики; разрабатываются приложения дифференциальных тождеств и преобразований для нахождения точных решений, доказательства теорем единственности и существования, интегрирования переопределенных систем.

Актуальность. Функция распределения является основным объектом исследования в статистическом моделировании системы многих частиц. Она удовлетворяет кинетическому уравнению Больцмана [51, 68, 120, 143]. Прямые задачи для кинетического уравнения заключаются в определении функции распределения при заданных дополнительных данных, например, для уравнения переноса — плотности падающего на среду потока при всех известных коэффициентах [13, 75, 76, 84, 115, 120, 143, 151, 221, 253, 258].

Обратные задачи, как правило, состоят в одновременном определении решения прямой задачи и какого-нибудь коэффициента либо правой части уравнения по условиям, составляющим прямую задачу, и некоторому дополнительному условию, которое называется условием переопределения.

Изучение обратных задач для уравнения переноса началось с работ Г.И. Мар-чука [148, 149] (смотри также [153]) посвященных постановке и обсуждению одной обратной задачи в плоскопараллельном случае. М.В. Масленников [154] рассмотрел стационарное односкоростное уравнение переноса в полупространстве и исследовал обратную задачу о восстановлении индикатрисы рассеяния по угловому распределению излучения в глубине слоя.

В книгах Р. Беллмана, Р. Калаба и Р. Латтес, Ж.-Л. Лионе (см. [53, 144]) обратные задачи для уравнения переноса рассматриваются с точки зрения получения численных результатов. Для уравнения переноса данными для обратной задачи, например, являются начальное условие, условие нулевого входящего потока и финальное определение. Для уравнения, учитывающего зависимость от времени, постановки и обсуждения обратных задач имеются в работах А.И. Прилепко, А.Л. Иванкова [224, 226, 228]. В работах А.И. Прилепко, А.Л. Иванкова, Н.П. Волкова (см. [225, 227]) доказаны теоремы существования и единственности решения обратных задач для уравнения переноса в предположении, что диаметр рассматриваемой области достаточно мал (диаметр оценивается через данные задачи). В работе А.И. Прилепко, И.В. Тихонова [229] рассмотрены обратные задачи определения плотности источников и сечения рассеяния для уравнения переноса (по начальному условию, условию нулевого входящего потока и финальному определению). Доказаны теоремы единственности в предположении, что есть ограничение на порядок экспоненциального роста полугруппы, порождаемой оператором переноса. Общая схема определения неоднородного слагаемого в абстрактном эволюционном уравнении при дополнительном условии (помимо условия Коши) специального переопределения рассмотрена в работе А.И. Прилепко, И.В. Тихонова [230]. Кинетическому уравнению на римановом многообразии и связанным с ним вопросам теоретической фотометрии посвящены работы В.Р. Кирейтова [117, 118].

Теория обратных задач для кинетических уравнений, исследование вопросов единственности и существования решений развивались и развиваются многими авторами (см., например, работы А.Х. Амирова, Ю.Е. Аниконова, Д.С. Анико-нова, А.Е. Ковтанюка, И.В. Прохорова, М.М. Лаврентьева, А.Н. Бондаренко, JT.H. Пестова, A.C. Компанеец, В.Г. Романова, В.Г. Васильева, С.П. Шишатского, В.Г. Орловского, В.А. Шарафутдинова, В.Г. Бардакова У.М. Султангазина [7, 8, 11-13, 26, 28, 33, 47, 124, 135, 137, 139, 140, 213, 237, 239, 247, 253, 272, 282, 283, 285-287, 292-294] и литературу в них).

Один из методов доказательства теоремы единственности обратной задачи состоит в использовании дифференциальных тождеств специального вида, справедливых для решений рассматриваемого класса уравнений. В работах Р.Г. Мухоме-това, В.Г. Романова, JI.B. Вертгейма, Ю.Е. Аниконова, А.Х. Амирова, JI.H. Пестова, В.А. Шарафутдинова, G. Uhlmann, В.Г. Бардакова (см. [20, 31, 71, 166, 216, 217, 236, 273, 295, 330]) для соответствующих кинетических уравнений было установлено существование дифференциальных тождеств специального вида и исследованы вопросы единственности, существования и устойчивости решения, соответствующих обратных задач.

Метод дифференциальных тождеств, частным случаем которого является, например, метод сопряженных уравнений, основанный на тождестве Лагранжа, широко используется также в задачах оптимального управления, линейных и нелинейных задачах математической физики: теории малых возмущений в спектральных задачах и т.д. [152, 153]. Метод дифференциальных тождеств позволяет по информации в обратной кинематической задаче восстановить строение метрики, см. работы Ю.Е. Аниконова, Л.Н. Пестова, А.Г. Меграбова, A.B. Боровских [15, 47, 69, 70, 156].

В связи с этим направлением в теории обратных задач является актуальным развитие единого подхода к получению дифференциальных тождеств с применением алгебраических конструкций и их использование для доказательства теорем единственности, существования, получения оценок решений и коэффициентов уравнений математической физики (в частности, кинетических уравнений).

Обратные задачи обычно приводят к операторным уравнениям 1-го рода, часто интегральным. Некоторые из них редуцируются к интегральным уравнениям типа Вольтерра 1-го рода. Это дает, в основном в одномерных обратных задачах, возможность получить уравнение 2-го рода с оператором, обладающим достаточно хорошими свойствами (например, оператором сжатия). Но во многих случаях, особенно в многомерных обратных задачах, когда информация о решениях уравнений задается лишь на части границы рассматриваемой области, сведение обратной задачи к интегральному уравнению 2-го рода часто оказывается невозможным. Одна из причин этого — некорректность таких задач. Подобные вопросы требуют новых подходов. Общая теория операторных уравнений 1-го рода и их приложений разработана в работах в работах А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова, В.Я. Арсенина, В.А. Морозова, Р. Латтеса, Ж.Л. Лионса, A.M. Денисова, А. Лоренци и др. (см. [50, 89, 92, 111, 136, 144, 164, 252, 254, 305]). В работах Ю.Е. Аниконова [14-16] разработан общий подход к доказательству теорем единственности для операторных уравнений первого рода на основе понятия квазимонотонного оператора. Неявно это свойство использовалось в работе А.Н. Тихонова [249] для доказательства единственности решения одномерной обратной задачи электроразведки. В многомерном случае это свойство применил Ю.М. Березанский [56] при доказательстве единственности решения обратной задачи для уравнения Шредингера в классе кусочно-аналитических функций.

Представляют значительный интерес задачи распространения данных методов на более широкие классы уравнений, обладающие, вообще говоря, некоторой дополнительной структурой. Так теорема единственности для уравнений Вольтерра 1-го рода в классе аналитических функций над полем комплексных чисел была доказана в работе Ю.Е. Аниконова [22]. Аналогичный результат над телом кватернионов доказал О.Н. Смирнов [244].

Аналитические и конструктивные методы исследования позволяют не только доказывать существование решения исследуемой задачи, но часто приводят либо к конструктивному построению решения, либо к некоторому приближенному выражению для него. К этому направлению относится построение функционально-инвариантных решений гиперболических уравнений [99, 246], аналитические представления решений и коэффициентов параболических уравнений [122], представление решения и коэффициента уравнения Штурма-Лиувилля с применением в обратных задачах теории рассеяния (см. [237, 280]), построение гармонических и других потенциалов для вычисления решений (скорости) и коэффициентов (давления) системы уравнений газовой динамики и т.п. (см. [63, 80, 133, 151]), задачи идентификации нескольких коэффициентов [30, 54, 55].

Представление решений дифференциальных уравнений в виде w — F(U(x,t)), где F(U) периодическая функция, a U(х, t) — фазовая функция, широко используется при изучении нелинейных уравнений (см. [171]). Представление решения в виде w = F(U), где U = х — vt, использовано в классической работе А.Н. Колмогорова, И.Г. Петровского, Н.С. Пискунова [123] (см. также [169, 170]) для качественного исследования модели типа реакция-диффузия и широко используется в математической биологии. Также отметим построение точных решений нелинейных систем эллиптических уравнений в виде Wj(x) = Fj(v(x)), j = 1, .,m, где x = (xi,.,xn), v(x) — произвольная гармоническая функция, a вектор F(s) — (Fi,., Fm) — решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений [58]. В книге М.М. Лаврентьева, К.Г. Резницкой, В.Г. Яхно [138] для решения уравнения теплопроводности получена формула, и эта формула использована для решения обратной задачи — нахождения неизвестного коэффициента. В задачах идентификации динамических систем предпочтительно иметь явные формулы для решений, содержащие параметры, которые нужно конкретизировать (см. Л. Льюнг [146]). Для многомерных обратных задач также желательно иметь представления решений и коэффициентов дифференциальных уравнений, которые содержали бы произвольные функции одного или многих переменных.

Исходя из сказанного, круг задач, связанных с поиском новых представлений решений и коэффициентов уравнений математической физики, построением многомерных аналогов классических дифференциально-алгебраических преобразований и их использованием для построения решений и коэффициентов уравнений математической физики с учетом начально-краевой информации, нелинейных задачах управления перевода субстанции из одного состояния в другое при наличии краевой информации, является важным и актуальным.

Все вышеперечисленные вопросы непосредственно связаны с преобразованием дифференциальных уравнений. Классическими примерами таких преобразований являются преобразования Эйлера-Дарбу, преобразования Бэклунда, преобразование Мутара, преобразование Хопфа-Коула, итерационный метод Лапласа, известный также как каскадный метод Лапласа и т.п. (см., например, [179, 303, 318], а также [114] и литературу в ней). Сюда же относятся вопросы связанные с групповыми свойствами дифференциальных уравнений, (см., например, классические книги Л.В. Овсянникова, У. Миллера, П. Олвера, Н.Х. Ибрагимова [107, 158, 206, 211]) и методы построения решений на основе дополнительных дифференциальных связей (А.Ф. Сидоров, В.П. Шапеев, Н.Н. Яненко [243]). Групповой анализ дифференциальных уравнений — является одним из наиболее мощных и универсальных методов отыскания широких классов точных решений дифференциальных уравнений произвольного вида. Особенно эффективны его приложения в механике сплошных сред и математической физике, поскольку в математические модели, как правило, изначально заложены свойства инвариантности относительно некоторой группы преобразований. К сфере приложений теории группового анализа дифференциальных уравнений относится групповая классификация краевых и обратных задач математической физики, задачи связанные с классификацией законов сохранения и изучением их алгебраической структуры.

Классические результаты использования законов сохранения связаны с построением априорных оценок, доказательством теорем существования и единственности, получением физических величин, сохраняющихся с течением времени, обоснованием условий на разрывы для решений гиперболических систем, содержащих ударные волны, вопросами устойчивости и т.д. [62, 85, 141, 153, 211]. В вычислительной математике законы- сохранения широко используются для контроля результатов вычислений. Отметим, что вопросы построения законов сохранения тесно связаны с задачей построения сопряженного дифференциального уравнения [78, 79, 152, 153] и естественно возникают, например, при исследовании как одиночных так и матричных систем солитонных уравнений [103, 267]. Для уравнений, возникающих при решении вариационных задач, законы сохранения удается получить на основе допускаемой ими группы [95, 105, 106, 173, 211, 259, 264, 281]. Вопросы поиска законов сохранения для вариационных моделей тесно связаны с обратной задачей вариационного исчисления [259]. Высшие симметрии и законы сохранения [74, 197, 211] являются важными внутренними свойствами уравнения — они чрезвычайно полезны как при построении точных решений, так и для качественного понимания поведения решений в целом. С надлежащими уточнениями наличие высших симметрий и законов сохранения может быть принято за определение интегрируемости. См., например, работы A.B. Михайлова,

A.Б. Шабата, Р.И. Ямилова, Н.Х. Ибрагимова, С.И. Свинолупова, В.В. Соколова,

B.В. Жаринова, В.Э. Адлера, В.А. Галактионова, В.А. Дородницына, Г.Г. Еленина, С.П. Курдюмова, A.A. Самарского, Ю.Е. Елькина, Дж. Марри,

A.Д. Полянина, В.Ф. Зайцева, Ю.М. Романовского, Н.В. Степановой, Д.С. Чер-навского, Ю.А. Чиркунова, А.Н. Кусюмова, М.Б. Шефтеля, Е. Вигнера, В. Ро-зенхауса, В.В. Козлова [2, 3, 72, 73, 81, 97, 100, 108-110, 116, 121, 157, 161-163, 219, 220, 232, 240, 241, 268, 269, 276, 291, 298, 299, 301, 306, 328]. Представляют интерес задачи поиска законов сохранения для уравнений не имеющих вариационную природу (см. работы Н.Х. Ибрагимова и А.Н. Кусюмова [132, 314]).

В настоящее время активно разрабатываются новые алгебро-геометрические методы интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений и систем (система Дарбу-Егорова, системы кратных волн, система Гаусса-Ламе, система ассоциативности или уравнения Виттена-Дийкграафа-Верлинде-Верлинде, уравнения Эйлера на алгебрах Ли, уравнения Эйнштейна, система движения сплошной среды со специальной термодинамикой, уравнений пластичности и др.) возникающих на стыке математической физики, механики и дифференциальной и алгебраической геометрии. Как правило, это переопределенные систем дифференциальных уравнений в частных производных для которых известны только некоторые частные решения, не говоря о том, что далеко не все они приведены в инволюцию (в смысле теории переопределенных систем). См., например, работы Б.Д. Аннина, В.О. Бытева, С.И. Сенашова, В.Е. Захарова, А.Е. Миронова, И.А. Тайманова, Б.А. Дубровина, И.М. Кричевера, С.П. Новикова, В.В. Козлова, Д.П. Новикова,

B.В. Трофимова, А.Т. Фоменко, Д.Ф. Егорова, Ю.А. Чиркунова, С.П. Царева, О.В. Капцова, М.В. Павлова, A.A. Ахметшина, Ю.С. Вольковского, А.П. Чупа-хина, C.B. Хабирова, C.B. Головина, A.A. Черевко, C.B. Мелешко В.К. Андреева и др. [10, 49, 87, 94, 96, 102, 159, 214, 262, 263, 266, 268, 270, 301, 334].

Актуальны задачи связанные с групповыми свойствами дифференциальных уравнений, построением точных решений, разработкой теории и аппарата инвариантных, частично-инвариантных и дифференциально-инвариантных решений, интегрированием нелинейных систем дифференциальных уравнений в многомерном случае, когда не работают приемы существенно использующие маломерность систем. В то же время представляют интерес вопросы, связанные с групповой классификацией дифференциальных уравнений относительно касательных и дискретных преобразований. Здесь имеются как алгебраические вопросы, например, построение соответствующих факторгрупп и факторалгебр и исследование их алгебраических свойств, так и вопросы аналитического использования применительно к теории дифференциальных уравнений.

Цель работы. Разработка аппарата дифференциальных тождеств для кинетических уравнений и его приложений к вопросам единственности решения обратных задач. В частности, построение универсального тождества в классе тождеств квадратичных по первым производным. Исследование вопросов существования решений кинетических уравнений, приложение метода моментов Грэда для построения представления для решений и коэффициентов в классе квазиполиномов.

Разработка аппарата дифференциальных тождеств для обратной кинематической задачи. Построение систем дифференциальных уравнений для метрического тензора и их исследование с точки зрения переопределенных систем, построение классов точных решений.

Разработка алгебраического подхода к исследованию вопросов единственности решения многомерных интегральных уравнений. В частности, для многомерного интегрального уравнения первого рода типа Вольтерра нахождения классов алгебр и классов функций со свойствами единственности решения.

Исследование обратных задач для уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типа с параметром. Исследование вопросов существования аналитических решений. Построение дифференциально-алгебраических тождеств для дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, разработка аналитических методов теории обратных задач и вопросов конструктивного построения решений и коэффициентов соответствующих уравнений по начально-краевой информации, разработка задачи управления оператором второго порядка.

Исследование групповых свойств уравнений второго порядка и построение решений с функциональным произволом. Нахождение инвариантных, частично-инвариантных решений. Приложение аппарата группового анализа к исследованию обратных и краевых задач. Исследование соответствующих переопределенных систем (вопросы существования, приведения в инволюцию, широты решения). В частности, построение классов точных решений для системы уравнения Максвелла в анизотропной среде, многомерного уравнения Монжа-Ампера, кубического уравнения Шредингера, системы уравнений движения сплошной среды со специальной термодинамикой. Классификация систем уравнений типа реакция-диффузия по законам сохранения. Разработка классических вопросов группового анализа связанных с построением касательных и дискретных преобразований дифференциальных уравнений в частных производных.

Методы исследования. В диссертации используются методы и аппарат:

- классической и дифференциальной алгебры;

- теории переопределенных систем дифференциальных уравнений с частными производными (в частности, аппарат теории Рикье), теории решения задач типа Коши-Ковалевской;

- группового анализа: построение групп Ли непрерывных преобразований и алгебр Ли, построение инвариантных и частично инвариантных решений (в частности, функционально-инвариантных решений), теории дифференциальных инвариантов, групповой классификации решений; интегральных преобразований; дифференциальной геометрии и тензорного анализа.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и связаны со следующими исследованиями: разработка аппарата построения дифференциально-алгебраических тождеств и исследование вопросов единственности и существования решений обратных задач для кинетических и связанных с ним уравнений; разработка аналитических методов исследования обратных задач математической физики; исследование переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных, связанных с математическими моделями механики сплошных сред, теории поля, квантовой механики и классификацией таких систем по законам сохранения; разработка отдельных вопросов группового анализа, связанных с группами касательных и дискретных преобразований, классификацией дифференциально-алгебраических операций.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и методы могут найти применение в дальнейших исследованиях по уравнениям математической физики, в частности, в вопросах единственности и существования решений обратных задач математической физики, в вопросах связанных с исследованием алгебраических структур для уравнений как в частных производных так и для обыкновенных дифференциальных уравнений. Найденные точные представления для решений и коэффициентов уравнений математической физики могут быть использованы в вопросах моделирования физических процессов. Многие доказанные утверждения в диссертации носят законченный характер и могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов.

Краткий обзор содержания работы.

В главе 1 для уравнения п • ди> где х — (х1,.,хп) — набор переменных, w = w(x), Л = А(х), А1 = Аг(х), г = 1,. ,п, рассматривается следующая обратная задача:

Найти функции w(x), Х(х) в области Q С Кп, если известна функция wo = w\r, где Г — граница области Q.

Как правило, функция Л(х) удовлетворяет дополнительному соотношению. Например, не зависит от части переменных или является решением некоторого дифференциального уравнения.

Один из методов доказательства теорем единственности состоит в использовании дифференциальных тождеств. Причем тождество должно учитывать как специфику рассматриваемого уравнения так и геометрию области fI. Искомые тождества можно условно представить в виде трех слагаемых:

K + L + D = О, дии где 1) слагаемое К зависит от х, —:, i = 1,., п, знакопостоянно в области Q и

С/ Jb с)\и обращается в нуль если, и только если все —г = 0, i = 1,., п; 2) слагаемое L

С.J JU обращается в нуль в области О, в силу условий на правую часть Л; 3) слагаемое D при интегрировании по области Q, обращается в нуль.

В параграфе 1.1 данной главы формулируется теорема о существовании алгебраического тождества для модуля дифференцирований произвольного ассоциативного коммутативного кольца (теорема 1). Как следствие из этой теоремы получаются тождества для кинетических уравнений, которые использовались в работах [20, 31, 71, 166, 216, 217, 236, 273, 295, 330]

Для кольца гладких функций в полученном тождестве можно разбить все параметры на зависимые и независимые и, соответственно, выразить зависимые параметры через независимые (теорема 2). В параграфе 1.2 проводится качественный анализ найденных тождеств в зависимости от вида свободных параметров и геометрии области. Один из основных вопросов это знакоопределенность соответствующей квадратичной формы. Доказано, что для достаточно широкого класса кинетических уравнений есть тождества с заранее фиксированной квадратичной формой (теорема 1). В теоремах 2, 3 утверждается, что есть аналогичные тождества для кинетических уравнений рассматриваемых на многообразии со связностью и для уравнений содержащих слагаемые типа 6w. В качестве примера приведено тождество для скобки Якоби и скобки Пуассона со слагаемым 9w. Результаты параграфов 1.1, 1.2 опубликованы в работах [185, 187, 199].

В параграфе 1.3 рассматриваются тождества, которые получаются для кинетического уравнения Больцмана-Власова и доказываются теоремы единственности для соответствующей обратной задачи. Результаты параграфа 1.3 опубликованы в работах [182, 186, 325, 327].

В параграфе 1.4, используя идею метода моментов Трэда, получены некоторые точные представления для решения и коэффициентов кинетического уравнения Власова. Построенные решения обладают функциональным произволом. Результаты параграфа 1.4 опубликованы в работах [184, 188].

В параграфе 1.5 рассматривается квантовое кинетическое уравнение. Разложением в ряд по постоянной Планка интеграл заменяется на дифференциальный оператор бесконечного порядка. Оставляя только конечное число слагаемых, получаем приближенное уравнение. Специфика полученных приближенных уравнений позволяет получить тождество на основе которого исследуются вопросы единственности соответствующей обратной задачи (теорема 1). Также доказывается теорема единственности в одномерной задаче восстановления потенциала (теорема 2) и приводятся некоторые результаты существования решения обратной задачи, при условии, что данные обратной задачи есть квазиполиномы. Результаты параграфа 1.5 опубликованы в работах [35, 36, 290].

В параграфе 1.6 рассматривается кинетическое уравнение предложенное в работе [26] для описания математической модели этноса. Доказывается, что существуют решения, содержащее функциональный произвол, формулируются и доказываются теоремы существования решения ряда обратных задач. Приводится система уравнений, охватывающая взаимодействие нескольких этносов (суперэтноса), и находятся некоторые её решения. Приведены представления для решений и символов операторов эволюционных уравнений. Результаты параграфа 1.6 опубликованы в работах [39, 40, 320].

В параграфе 1.7 рассматривается задача определения структуры риманова пространства дМ по интегральной информации. Найдены дифференциальные соотношения на метрику д{х), х € М, и годограф ъи^^г), у, г € дМ, которые выполняются или нет одновременно. Метрика д(х) имеет произвольный вид. Одним из возможных приложений является проблема восстановления метрики по информации в обратной кинематической задаче. Результаты данного параграфа получены в работах [195, 196].

В главе 2 исследования связаны в основном с построением дифференциально-алгебраических тождеств для дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, разработкой аналитических методов теории обратных задач и вопросов конструктивного построения решений и коэффициентов соответствующих уравнений по начально-краевой информации, разработкой задачи управления оператором второго порядка. Также проводится исследование обратных задач для уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типа с параметром, вопросов существования аналитических решений. Разрабатывается подход к исследованию вопросов единственности решения многомерных интегральных уравнений на основе использования специальных классов алгебр.

В параграфах 2.1, 2.2 приведены новые представления решений и коэффициентов гиперболических и параболических уравнений, которые частично использованы в работе при изучении одномерных и многомерных обратных задач. Существенно то, что найденные представления имеют функциональный произвол. Это обстоятельство позволяет использовать данные представления при изучении одномерных и многомерных обратных задач. Отметим, что большая часть полученных представлений для решений и коэффициентов справедлива и для ком-плекснозначных функций. Результаты параграфов 2.1, 2.2 получены в работах [41-44, 192, 197].

В параграфе 2.3 рассматриваются нелинейные задачи управления перевода субстанции из одного состояния в другое при наличии краевой информации. Фактически такого рода задачи управления являются также как и в линейных случаях обратными задачами для дифференциальных уравнений. Исследования связаны в основном с поиском дифференциальных операторов 2-го порядка с тремя коэффициентами не зависящими от времени. Предлагаются конструктивные аналитические способы исследования с применением, в частности, формулы Бюрмана-Лагранжа. Результаты данного параграфа получены в работе [34].

В параграфе 2.4 рассмотрены обратные задачи для уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типа с параметром. В случае гиперболических и параболических уравнений удается при некоторых ограничениях свести общие линейные обратные задачи к конкретным интегральным уравнениям первого рода типа Абеля с последующим аналитическим продолжением. В случае нелинейных обратных задач для эллиптических уравнений, содержащих параметр, выписаны системы и интегродифференциальные уравнения, не содержащие искомого коэффициента. В одномерном случае сформулирована и доказана теорема существования решения при условии аналитичности. Результаты данного параграфа получены в работе [45].

В параграфе 2.5 приводятся формулы для производящих функций вероятностных процессов. Эти формулы содержат общие нелинейные отображения линейных пространств в себя и обратные. Используя полученные формулы и групповые свойства, удается наметить путь исследования ряда нелинейных многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений типа управления. При этом существенным моментом является применение теории функциональных уравнений. Результаты данного параграфа получены в работе [38].

В параграфе 2.6 рассматривается многомерное интегральное уравнение первого рода типа Вольтерра над конечномерными вещественными алгебрами с делением. При дополнительных предположениях на функции доказываются теоремы единственности решения. Результаты параграфа 2.6 получены в работах [174, 319, 326].

В главе 3 исследования связаны, в основном, с изучением групповых свойств дифференциальных уравнений второго порядка и построением инвариантных, частично-инвариантных решений, вопросами исследования переопределенных систем (приведение в инволюцию, широта решения). В частности, построены классы точных решений для системы уравнения Максвелла в анизотропной среде, многомерного уравнения Монжа-Ампера, кубического уравнения Шредингера, системы уравнений движения сплошной среды со специальной термодинамикой. Разрабатываются классические вопросы группового анализа, связанные с построением касательных и дискретных преобразований дифференциальных уравнений в частных производных, классификацией дифференциально-алгебраических операций.

В параграфе 3.1 изучаются групповые свойства уравнения теплопроводности и волнового уравнения с переменным коэффициентом при производной по времени. Находятся локальные преобразования пространства, сохраняющие вид уравнения (локальные преобразования Ли). Естественно, что преобразования зависят от вида коэффициента. Это позволяет найти коэффициенты, при которых есть нетривиальные преобразования. Рассмотрены некоторые применения полученных результатов к обратным и краевым задачам: в предположении, что симметрии краевого условия продолжаются на все решение, определяется возможный вид коэффициентов и решений уравнения теплопроводности. Результаты данного параграфа получены в работах [178, 321].

В параграфе 3.2 дано полное описание законов сохранения первого порядка для системы уравнений вида vt = vxx + vyy + F(t, x, у, v, w), wt = wxx + wyy + G(t, x, y, v, w).

В качестве приложения приведены примеры построения законов сохранения как для абстрактных систем такого вида, так и для известных моделей встречающихся в литературе (кусочно линейная модель ФитцХью-Нагумо, модель хищник-жертва, брюсселятор, модель химической кинетики). Эти результаты получены в работе [194].

В параграфе 3.3 рассматривается система уравнений

Щ = ихх + F(t, х, и) типа реакция-диффузия, где вектор-функция и = (и1, .,ип) зависит от переменных t, х G М, F — (F1,., Fn) — вектор-функция указанных аргументов, нижние индексы обозначают взятие частных производных по соответствующим переменным. Найдены необходимые и достаточные условия при которых допускаются нетривиальные законы сохранения первого порядка, а также установлена теорема о базисе законов сохранения. Результаты этого параграфа получены в работе [198].

В параграфе 3.4 изучаются групповые свойства системы уравнений Максвелла, а также приводятся новые классы точных решений. Более точно, в первой части параграфа приводится полное описание преобразований эквивалентности системы уравнений Максвелла в неоднородной среде. Во второй части получено полное описание решений системы уравнений Максвелла (в однородной среде) с нулевыми инвариантами. В третьей части получено описание однопараметриче-ских решений системы уравнений Максвелла (в однородной среде), параметром является функция плотности электрических зарядов. Результаты данного параграфа опубликованы в работах [181, 189, 323].

В параграфе 3.5 рассматривается вопрос интегрирования переопределенной системы дифференциальных уравнений, соответствующей частично-инвариантному решению (фактор-модель L3.1)кубического уравнения Шредингера. Результаты данного параграфа получены в работе [200].

В параграфе 3.6 исследуется система уравнений, dlt , „ „ . „ dh — + Vxh = 0, Vx-T? = 0, — = 0. dt dt описывающая движение сплошной среды. Здесь it = (u,v,w) — скорость среды, h — термодинамическая функция, которая сохраняется вдоль траекторий, например, давление для тепловых движений; "af = (x,y,z) — декартовы координаты d д ^ „ и с — время, — = — + и ■ Vx — полная производная, индекс х при градиенте dt ot указывает переменные по которым действует этот оператор.

В двумерном случае выбором лагранжевых координат исходная система приводится к виду

Xtt -Щ = 0, Уи + Щ = 0, Х£Уг, - xvy£ = 1.

С использованием теории переопределенных систем дифференциальных уравнений (теорию Рикье) получена оценка на произвол решения этой системы. Установлено, что произвол решения составляет не более 4-х функций одного аргумента. С другой стороны найдено точное решение с произволом две функции одного аргумента. Результаты данного параграфа получены в работе [201].

В параграфе 3.7 рассматривается n-мерное однородное уравнение Монжа-Ампера и описываются его функционально-инвариантные решения ранга п — 1. Результаты данного параграфа получены в работе [180].

В параграфе 3.8 получено описание касательных преобразований функций одной переменной в терминах дифференциальных соотношений, связывающих правые части касательного преобразования. Также приводится обсуждение проблемы нахождения факторгруппы группы всех касательных преобразований по подгруппе инфинитезимальных касательных преобразований. Результаты данного параграфа получены в работе [190].

В параграфе 3.9 приведено описание дискретных автоморфизмов дифференциальных уравнений второго порядка аихх + 2 Ьиху + сиуу + dux + euv + /и = 0, где х, у — переменные, и, а, 6, с, d, е, / — функции от х, у, при условии, что группа Ли инфинитезимальных преобразований имеет размерность не меньше двух. А также получено описание автоморфизмов соответствующих алгебр Ли. Результаты данного параграфа получены в работе [183].

Результаты параграфа 3.10 связаны с вопросами классификации структуры алгебры Ли на пространстве гладких функций из М1 вМ2. В работе [119] введено понятие локальной алгебры Ли на пространстве бесконечнодифференцируемых сечений гладкого вещественного векторного расслоения Е над многообразием М. В частности, если Е = Mn х Mm, М — Rn, то скобка Ли на пространстве Mn,m = С°°(МП, Mm) определяется формулой Е Asl3kl(x)dkuldlv\ где х = (х1,. ., хп) — набор переменных, As kl{x) G С°°(МП), s,i,j — 1,., га, дк, о/ гг д д кп д д 1п о — сокращенное обозначение для операторов ^ • . . • и ^ • . • , к = I = (¿I,.,/™) — мультииндексы, иг, v3 — компоненты вектор-функций [u,v], и, v 6 Жп'т, суммирование идет по всевозможным значениям целых неотрицательных индексов, причем только конечное число функций

А^к1(х) отлично от нуля. Отображение (и, у) >—> [и, у] должно удовлетворять стандартным соотношениям алгебры Ли.

В той же работе был поставлен вопрос о классификации локальных алгебр Ли с неодномерным слоем, например, для пространства К1,2.

В параграфе 3.10 приведена классификация скобок Ли на пространстве М1,2 в самом простейшем случае: порядок скобки Ли не превосходит единицы (скобка Ли имеет порядок ЛГ, если в правой части формулы порядок старшей производной не превосходит N и есть ненулевая производная порядка ./V), "тензор"А^к1(х) при производных старшего порядка симметричен по индексам г, ] и все коэффициенты Ацк1{х) являются аналитическими функциями от переменной х. Классификация проводится по модулю действия группы (21/2{Р), ^ — пространство аналитических функций от переменной х. Показано, что при т > 2 есть скобки Ли сколь угодно большого порядка (при т — 1 это не так (см. [119], лемма 2). Доказано что аналитических симметричных скобок Ли первого порядка ровно шесть, и с точностью до изоморфизма эти скобки Ли задают пять неизоморфных структур алгебры Ли на пространстве Ж1,2. Результаты данного параграфа получены в работе [193].

Апробация работы. Доклады, основанные на результатах диссертации, сделаны на Втором сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996); на Международной конференции посвященной памяти академика А.Н.Тихонова (Москва, 1996); на II Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 1997); на ИНПРИМ (Новосибирск, 2000); на Конференции молодых ученых СО РАН, посвященной М.А. Лаврентьеву (Новосибирск, 2002); на Третьей Международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения" (Красноярск, 2002) на Девятой международной конференции по Современному групповому анализу (Москва, 2002); на Всероссийской конференции приуроченной к 85-летию академика Л.В.Овсянникова (Новосибирск, 2004); на Международной конференции "Тихонов и современная математика" (Москва, 2006); на Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика И.Н.Векуа (Новосибирск, 2007); на Российской конференции "Математика в современном мире", посвященной 50-летию Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (Новосибирск, 2007); на Международной конференции "Обратные и некорректные задачи математической физики", посвященной 75-летию академика М.М.Лаврентьева (Новосибирск, 2007); на Международной конференции посвященной 100-летию со дня рождения С.Л.Соболева (Новосибирск, 2008); на Всероссийской конференции "Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение" приуроченной к 90-летию академика Л.В.Овсянникова (Новосибирск, 2009); на Конференции "Современные проблемы анализа и геометрии" (Новосибирск, 2009); на Международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" посвященной 110-летию академика М.А.Лаврентьева (Новосибирск, 2010).

Результаты работы докладывались на следующих научных семинарах:

Групповой анализ дифференциальных уравнений", ИГиЛ СО РАН, Новосибирск (рук. академик РАН Л.В.Овсянников и проф. А.П.Чупахин); "Теоретические и вычислительные проблемы задач математической физики", ИМ СО РАН, Новосибирск (рук. проф. А.М.Блохин); "Избранные вопросы математического анализа", ИМ СО РАН, Новосибирск (рук. проф. Г.В.Демиденко); "Геометрия, топология и их приложения", ИМ СО РАН, Новосибирск (рук. академик РАН И. А.Тай-манов); "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы анализа", ИМ СО РАН, Новосибирск (рук. проф. В.С.Белоносов и проф. М.В.Фокин); "Обратные задачи математической физики", ИМ СО РАН, Новосибирск (рук. проф. Ю.Е.Ани-конов); семинаре отдела условно-корректных задач, ИМ СО РАН, Новосибирск (рук. член-корр. РАН В.Г.Романов); "Общеинститутский математический семинар" ИМ СО РАН, Новосибирск (рук. академик РАН Ю.Г.Решетняк); семинаре кафедры дифференциальных уравнений МГУ, Москва (рук. проф. Е.В.Радкевич).

В тексте диссертации при ссылках на формулу (теорему) из другого параграфа указывается номер параграфа и номер формулы (теоремы), например, (1.1.13) — параграф 1.1, формула (13).

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

Доказана теорема о существовании универсального алгебраического тождества для модуля дифференцирований произвольного ассоциативного коммутативного кольца. Для кольца гладких функций в полученном тождестве установлено разбиение параметров на зависимые и независимые. Доказано, что для достаточно широкого класса кинетических уравнений есть дифференциальные тождества с заранее фиксированной квадратичной формой. Построены тождества для кинетических уравнений со скобкой Якоби, для кинетических уравнений на многообразии со связностью. Получено тождество для кинетического уравнения Больцмана-Власова и доказана теорема единственности для соответствующей обратной задачи. Получены некоторые точные представления для решения и коэффициентов кинетического уравнения Власова. Построенные решения обладают функциональным произволом.

Для квантового кинетического уравнения получено дифференциальное уравнение бесконечного порядка. Для соответствующего дифференциального уравнения конечного порядка получено дифференциальное тождество на основе которого доказана теорема единственности соответствующей обратной задачи. Доказаны теоремы единственности в одномерной задаче восстановления потенциала и получено существование решения обратной задачи, при условии, что данные обратной задачи есть квазиполиномы.

Для кинетического уравнения предложенного в работе Ю.Е. Аниконова (1995) в качестве математической модели этноса установлено, что существуют решения с функциональным произволом, и доказаны теоремы существования решения ряда обратных задач. Приведена система уравнений, охватывающая взаимодействие нескольких этносов (суперэтноса), и найдены некоторые ее точные решения.

Приведены новые представления решений и коэффициентов гиперболических и параболических уравнений, которые частично использованы в работе при изучении одномерных и многомерных обратных задач. Рассмотрены нелинейные задачи управления перевода субстанции из одного состояния в другое при наличии краевой информации. Предложены конструктивные аналитические способы исследования.

Для достаточно произвольного риманова многообразия с краем получены дифференциальные соотношения на метрику и годограф, которые выполняются или нет одновременно. Данные результаты применены к конструктивному исследованию обратной кинематической задачи.

Рассмотрены обратные задачи для уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типа с параметром. В случае гиперболических и параболических уравнений удается при некоторых ограничениях свести общие линейные обратные задачи к конкретным интегральным уравнениям первого рода типа Абеля с последующим аналитическим продолжением. В случае нелинейных обратных задач для эллиптических уравнений, содержащих параметр, выписаны системы и интегродифференциальные уравнения, не содержащие искомого коэффициента. В одномерном случае сформулирована и доказана теорема существования аналитических решений.

Доказаны теоремы единственности для многомерного интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода над конечномерными вещественными алгебрами с делением.

Для уравнения теплопроводности и волнового уравнения с переменным коэффициентом при производной по времени найдены преобразования Ли, сохраняющие вид уравнения. Результаты применены к обратным и краевым задачам: в предположении, что симметрии краевого условия продолжаются на все решение, определяется возможный вид коэффициентов и решений уравнений.

Найдена группа преобразований эквивалентности системы уравнений Максвелла в неоднородной среде. Дано полное описание решений системы Максвелла: а) с нулевыми инвариантами, б) однопараметрических решений.

Частично проинтегрирована переопределенная система дифференциальных уравнений, соответствующая частично-инвариантному решению (фактор-модель -^зд) кубического уравнения Шредингера.

Получена оценка на произвол решения уравнений движения сплошной среды со специальной термодинамикой в двумерном случае (не более четырех функций одного переменного) и построены точные решения содержащие две произвольные функции.

Для многомерного однородного уравнения Монжа-Ампера получено полное описание функционально-инвариантных решений коразмерности один.

Получено описание касательных преобразований функций одной переменной в терминах дифференциальных соотношений, связывающих правые части касательного преобразования.

Получено описание дискретных автоморфизмов линейных дифференциальных уравнений второго порядка при условии, что группа Ли инфинитезимальных преобразований уравнения имеет размерность не меньше двух.

Получено описание структур алгебры Ли на пространстве гладких функций из Ж1 в М2. Показано, что: а) есть скобки Ли сколь угодно большого порядка, б) аналитических симметричных скобок Ли первого порядка ровно шесть, б) с точностью до изоморфизма эти скобки Ли задают пять неизоморфных структур алгебры Ли.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987.

2. Адлер В.Э. Ли-алгебраический подход к нелокальным симметриям интегрируемых систем. ТМФ. Т. 89, № 3(1991), с. 323-336.

3. Адлер В.Э., Шабат A.B., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к проблеме интегрируемости. ТМФ., Т. 125, № 3(2000), с. 355-424.

4. Айзенберг Л.А., Южаков А.Н. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1979.

5. Алексеев A.C. Обратные динамические задачи сейсмики. Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. М.: Наука, 1967, с. 9-84.

6. Алексеев A.C., Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Романов М.Е. Теоретические и вычислительные вопросы сейсмической томографии. Математическое моделирование в геофизике. Новосибирск: Наука, 1988, с. 35-50.

7. Амиров А.Х. Об одном классе многомерных обратных задач. ДАН СССР. Т. 272, № 3(1983), с. 265-267.

8. Амиров А.Х. Теоремы существования и единственности решения одной обратной задачи для уравнения переноса. СМЖ. Т. 27, № 6(1986), с. 3-20.

9. Аналитические методы в теории эллиптических уравнений. Новосибирск: Наука, 1982.

10. Андреев В.К., Бублик В.В., Бытев В.В. Симметрии неклассических моделей гидродинамики. Новосибирск: Наука, 2003.

11. Аниконов Д.С. Об обратных задачах для уравнения переноса. Дифф. уравнения. Т. 2, № 1(1974), с. 7-17.

12. Аниконов Д.С. Многомерные обратные задачи для уравнения переноса. Дифф. уравнения. Т. 20, № 5(1984), с. 817-824.

13. Аниконов Д.С., Ковтанюк А.Е., Прохоров И.В. Использование уравнения переноса в томографии. М.: Логос, 2000.

14. Аниконов Ю.Е. Об операторных уравнениях 1-го рода. ДАН СССР. Т. 207, № 2(1972), с. 257-258.

15. Аниконов Ю.Е. Об одном классе операторных уравнений. СМЖ. Т. 13, №- 6(1972), с. 1383-1386.

16. Аниконов Ю.Е. О квазимонотонных операторах. Мат. проблемы геофизики. АН СССР, Сиб. Отделение, ВЦ, вып. 3, 1972, с. 86-99.

17. Аниконов Ю.Е. Несколько частных решений обратной кинематической задачи. Математические проблемы геофизики, АН СССР, Сиб. Отделение, ВЦ, вып. 4, 1973, с. 30-60.

18. Аниконов Ю.Е. О единственности решения интегральных уравнений 1-го рода. Матем. заметки. Т. 14, № 4(1973), с. 493-498.

19. Аниконов Ю.Е. К задаче определения римановой метрики ds2 = А2(ж)|бЬ|2. Матем. заметки. Т. 16, № 4(1974), с. 611-617.

20. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1978.

21. Аниконов Ю.Е. Формулы и неравенства в одной обратной кинематической задаче, ДАН СССР. Т. 245, № 3(1979), с. 521-523.

22. Аниконов Ю.Е. О единственности решения интегральных уравнений первого рода с целыми ядрами. Матем. заметки. Т. 28, № 3(1980), с. 401-407.

23. Аниконов Ю.Е. Обратная кинематическая задача сейсмики и некоторые вопросы звездной динамики. ДАН СССР. Т. 252, № 1(1980), с. 14-17.

24. Аниконов Ю.Е. Об одном признаке двумерных римановых пространств нулевой кривизны. Матем. заметки. Т. 35, № 6(1984), с. 841-845.

25. Аниконов Ю.Е. Об однозначности решения обратной задачи для квантового кинетического уравнения. Матем. сб. Т. 181, № 1(1990), с. 68-74.

26. Аниконов Ю.Е. О математическом моделировании этнических процессов. ДАН. Т. 345, № 1(1995), с. 7-9.

27. Аниконов Ю.Е. Формулы для решений и коэффициентов дифференциальных уравнений 2-го порядка. СМЖ. Т. 37, № 3(1996), с. 483-491.

28. Аниконов Ю.Е. Формулы в обратной задаче для кинетического уравнения и интегральной геометрии. ДАН. Т. 371, № 5(2000), с. 585-586.

29. Аниконов Ю.Е. К теории конструктивного исследования обратных задач для эволюционных уравнений. Препринт № 143, ИМ СО РАН, Новосибирск, 2004, 32 с.

30. Аниконов Ю.Е. Конструктивные методы исследования обратных задач для эволюционных уравнений. Сибирский журнал индустриальной математики. Т. 11, № 2(2008), с. 3-20.

31. Аниконов Ю.Е., Амиров А.Х. Теорема единственности решения обратной задачи для кинетического уравнения. ДАН СССР. Т. 272, № 6(1983), с. 1292-1293.

32. Аниконов Ю.Е., Аюпова Н.Б. Формулы для решений и коэффициентов дифференциальных уравнений 2-го порядка и обратные задачи. Препринт № 165, ИМ СО РАН, Новосибирск, 2005, 58 с.

33. Аниконов Ю.Е., Бондаренко А.Н. Многомерные обратные задачи для кинетических уравнений. ДАН СССР. Т. 176, № 4(1984), с. 779-781.

34. Аниконов Ю.Е., Кривцов Ю.В., Нещадим М.В. Конструктивные методы в нелинейных задачах теории управления. Сибирский журнал индустриальной математики. Т. 13, № 2(2010), с. 30-45.

35. Аниконов Ю.Е., Нещадим М.В. Тождество для приближенных квантовых уравнений и обратные задачи. Сибирский журнал индустриальной математики. Т. 10, № 4(2007), с. 3-9.

36. Аниконов Ю.Е., Нещадим М.В. Некоторые обратные задачи для квантового кинетического уравнения. Вестник НГУ. Т. 8, № 4(2008), с. 13-22.

37. Аниконов Ю.Е., Нещадим М.В. Аналитические представления решений ряда обратных задач математической физики. Препринт № 218, ИМ СО РАН, Новосибирск, 2009, 32 с.

38. Аниконов Ю.Е., Нещадим M.B. Ветвящиеся процессы, отображения и обратные задачи. Препринт № 247, 2010, СО РАН, Институт математики, 14 с.

39. Аниконов Ю.Е., Нещадим М.В. Представления решений, коэффициентов, символов операторов эволюционных уравнений и обратные задачи. Вестник H ГУ. Т. 10, № 2(2010), с. 25-36.

40. Аниконов Ю.Е., Нещадим М.В. Обратные задачи и некоторые вопросы динамики этнических процессов. Научное периодическое издание "Современные исследования социальных проблем". № 4.1(2010), с. 689-700.

41. Аниконов Ю.Е., Нещадим М.В. Об аналитических методах в теории обратных задач математической физики. Сибирские электронные математические известия. Т. 7(2010), с. 11-61. http://semr.math.nsc.ru

42. Аниконов Ю.Е., Нещадим М.В. Об аналитических методах в теории обратных задач для гиперболических уравнений. I. Сибирский журнал индустриальной математики. Т. 14, № 1(2011), с. 27-39.

43. Аниконов Ю.Е., Нещадим М.В. Об аналитических методах в теории обратных задач для гиперболических уравнений. II. Сибирский журнал индустриальной математики. Т. 14, № 2(2011), с. 28-33.

44. Аниконов Ю.Е., Нещадим М.В. Об аналитических методах в теории обратных задач для параболических уравнений. Вестник НГУ. Т. 11, № 3(2011), с. 20-35.

45. Аниконов Ю.Е., Нещадим М.В. Об обратных задачах для уравнений математической физики с параметром. Сибирские электронные математические известия. Т. 9(2012), с. 45-64. http://semr.math.nsc.ru

46. Аниконов Ю.Е., Пестов JI.H. Интегральная геометрия и структура рима-новых пространств. ДАН СССР. Т. 307, № 3(1989), с. 90-93.

47. Аниконов Ю.Е., Пестов JI.H. Формулы в линейных и нелинейных задачах томографии. Новосибирск, Изд. НГУ, 1990.

48. Аниконов Ю.Е., Пятков С.Г. О некоторых представлениях решений обратных задач для уравнений второго порядка. Межвузовский сборник научных трудов. Неклассические уравнения математической физики, Новосибирск, 1993, с. 108-111.

49. Аннин Б.Д., Бытев В.О., Сенашов С.И. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности. Изд-во:Наука, 1985.

50. Арсенин В.Я. О методах решения некорректно поставленных задач. Курс лекций. М.: Изд. МИФИ, 1973.

51. Арсеньев A.A. Лекции о кинетических уравнениях. М.:Наука, 1992.

52. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972.

53. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968.

54. Белов Ю.Я., Полынцева C.B. Об одной обратной задаче с двумя неизвестными коэффициентами. Тр. III между нар. конф. "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск: Ин-т вычисл. моделирования СО РАН, 2002, с. 60-65.

55. Белов Ю.Я., Полынцева C.B. Об одной задаче идентификации двух коэффициентов многомерного параболического уравнения. ДАН. Т. 396, № 5(2004), с. 1-4.

56. Березанский Ю.М. К теореме единственности в обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера. Труды Моск. мат. об-ва. Т. 7(1958), с. 3-51.

57. Берштейн И.Н., Гервер M.JI. О задаче интегральной геометрии для семейства геодезических и об обратной кинематической задаче сейсмики. ДАН СССР. Т. 243, № 2(1978), с. 302-305.

58. Бицадзе A.B. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1982.

59. Благовещенский A.C. Об обратной задаче теории распространения сейсмических волн. Проблемы мат. физики, вып. 1. Изд-во ЛГУ, 1966, с. 68-81.

60. Благовещенский A.C. Одномерная обратная краевая задача для гиперболического уравнения второго порядка. Математические вопросы теории распространения волн. Записки научных семинаров ЛОМИ, 2(1969), с. 85-90.

61. Благовещенский A.C. Обратные задачи акустики в движущейся среде. Проблемы мат. физики, вып. 11. Изд-во ЛГУ, 1986.

62. Блохин A.M. Интегралы энергии и их приложение к задачам газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1986.

63. Блохинцев Д.И. Акустика неоднородной движущейся среды. М.: ОГИЗ. Гостехиздат, 1964.

64. Блохинцев Д.И. Квантовая механика. М.: Изд-во МГУ, 1988.

65. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1976.

66. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Квантовые поля. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

67. Бокуть Л.А., Жевлаков К.А., Кузьмин E.H. Теория колец. Итоги науки и техники. Сер. Мат. Алгебра. Топология. Геометрия. 1968. ВИНИТИ М. 1970, с. 9-56.

68. Больцман Л. Лекции по теории газов. М.: Мир, 1956.

69. Боровских A.B. Групповая классификация уравнений эйконала для трехмерной неоднородной среды. Матем. сборник. Т. 195, № 4(2004), с. 23-64.

70. Боровских A.B. Двумерное уравнение эйконала. Сибирский мат. журнал. Т. 47, № 5(2006), с. 993-1018.

71. Вертгейм Л.Б. Интегральная геометрия с матричным весом и одна нелинейная задача восстановления матриц. ДАН СССР. Т. 319, № 3(1991), с. 531-535.

72. Вигнер Е. Симметрия и законы сохранения. УФН. Т. 83, № 4(1964), с. 729739.

73. Вигнер Е. Инвариантность и законы сохранения: Этюды о симметрии. М.: Едиториал УРСС, 2002.

74. Виноградов A.M., Красильщик И.С. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики. М.: Изд-во Факториал Пресс, 2005.

75. Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. Тр. МИАН СССР. Вып. 61(1961), с. 3-158.

76. Владимиров B.C. Особенности решения уравнения переноса. ЖВМ и МФ. Вып. 8, № 4(1968), с. 842-851.

77. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

78. Владимиров B.C., Волович И.В. Законы сохранения для нелинейных уравнений. ДАН СССР. Т. 279, № 4(1984), с. 843-847.

79. Владимиров B.C., Волович И.В. Законы сохранения для нелинейных уравнений. Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования. Новосибирск: Наука, 1985, с. 147-162.

80. Габов С.А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. М.: Наука, 1986.

81. Галиуллин A.C. Обратные задачи динамики. М.: Наука, 1981.

82. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции. Изв. АН СССР. Сер. мат. Т. 15, № 4(1951), с. 309-360.

83. Гермогенова Т. А. Локальные свойства решения уравнения переноса. М.: Наука, 1986.

84. Годунов С.К., Роменский Е.И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. Новосибирск: Научная книга, 1998.

85. Годунов С.К., Султангазин У.М. О дискретных моделях кинетического уравнения Больцмана. УМН. 26:3(159)(1971), с. 3-51.

86. Головин С.В. Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых уравнениями газовой динамики в случае политропного газа. Препринт № 5-96, 1996, СО РАН, Ин-т гидродинамики, 32 с.

87. Гумилев Л.Н. Этногенез и биосфера Земли. Изд-во ЛГУ, 1989.

88. Денисов A.M., Лоренци А. О нелинейном интегральном уравнении первого рода. Изв. вузов. Матем. № 11(2000), с. 34-41.

89. Денисов A.M. Обратные задачи для нелинейного одномерного стационарного уравнения теплопроводности. Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 40, № 11(2000), с. 1725-1738.

90. Денисов A.M. Единственность решения задачи определения нелинейного коэффициента системы уравнений в частных производных в малом и целом. СМЖ. Т. 36, № 1(1995), с. 60-71.

91. Денисов A.M. О приближенном решении уравнения Вольтерра I рода. ЖВМ и МФ. Т. 15, № 4(1975), с. 1053-1056.

92. ДийкстраХ. Нелинейная физическая океанография. М.: Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика Ин-т компьютерных исследований, 2007.

93. Дубровин Б.А., Кричевер И.М., Новиков С.П. Интегрируемые системы. Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики. Фунд. направления. М.: ВИНИТИ, 1985. Т. 4, с. 179-284.

94. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.

95. Егоров Д.Ф. Работы по дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1970.

96. Елькин Ю.Е. Автоволновые процессы. Математическая биология и биоинформатика. Т. 1, № 1(2005), с. 27-40.

97. Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую. ПММ. Т. 16, № 2(1952), с. 659— 670.

98. Еругин Н.П., Смирнов М.М. Функционально-инвариантные решения дифференциальных уравнений. Дифф. уравнения. Т. 17, № 5(1981), с. 853-865.

99. Жаринов В.В. Законы сохранения эволюционных систем. ТМФ. Т. 68, № 2(1986), с. 163-171.

100. Жданов В.М. Явления переноса в многокомпонентной плазме. М.: Энер-гоиздат, 1982.

101. Захаров В.Е. Интегрирование уравнений Гаусса-Кодацци. ТМФ. Т. 128, № 1(2001), с. 133-144.

102. Захаров В.Е., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория со-литонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980.

103. Ибрагимов Н.Х. Инвариантные вариационные задачи и законы сохранения. ТМФ. Т. 1, № 3(1969), с. 350-359.

104. Ибрагимов Н.Х. Законы сохранения в гидродинамике. ДАН СССР. Т. 210, № 6(1973), с. 1307-1309.

105. Ибрагимов Н.Х. Группы Ли-Бэклунда и законы сохранения. ДАН СССР. Т. 230, № 1(1976), с. 26-29.

106. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983.

107. Ибрагимов Н.Х., Шабат А.Б. Эволюционные уравнения с нетривиальной группой Ли-Бэклунда. Функц. анализ и его прилож. Т. 14, № 1(1980), с. 25-36.

108. Ибрагимов Н.Х., Шабат А.Б. О бесконечных алгебрах Ли-Бэклунда. Функц. анализ и его прилож. Т. 14, № 4(1980), с. 79-80.

109. Иваницкий Г.Р., Медвинский А.Б., Цыганов М.А. От динамики популяци-онных автоволн, формируемых живыми клетками, к нейроинформатике. УФН. Т. 164, № 10(1994), с. 1041-1072.

110. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах. Матем. сб. Т. 61, № 2 (1963), с. 211-223.

111. Измайлова К.К., Чупахин А.П. Теоретико-групповые решения кубического уравнения Шредингера, порожденные алгебрами симметрии размерности 3 в двух постоянных полях. Нелинейная динамика. Т. 3, № 3(2007), с. 349-362.

112. Кабанихин С.И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1988.

113. Капцов О.В. Методы интегрирования уравнений с частными производными. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.

114. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972.

115. Кернер B.C., Осипов В.В. Автосолитоны. Современные проблемы физики. М.: Наука, 1991.

116. Кирейтов В.Р. О фотометрических величинах на римановом многообразии. ДАН СССР. Т. 252, № 1(1980), с. 27-32.

117. Кирейтов В.Р. Обратные задачи фотометрии. АН СССР. Сиб. отд-е. Вычислит. центр. Новосибирск, 1983.

118. Кириллов A.A. Локальные алгебры Ли. УМН. Т. 31, № 4(1976), с. 57-76. Поправка. УМН. Т. 32, № 1(1977), с. 266.

119. Климонтович Ю.Я. Статистическая физика. М.: Наука, 1982.

120. Козлов В.В. Избранные работы по математике, механике и математической физике. М.: Ижевск. НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, Институт компьютерных исследований, 2010.

121. Колмогоров А.Н. Об аналитических методах в теории вероятностей. УМН. Вып. 5(1938), с. 5-41.

122. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием вещества, и его применение к одной биологической проблеме. Бюлл. МГУ. Математика и механика. Т. 1, № 6(1937), с. 1-26.

123. Компанеец A.C. Физико-химическая и релятевистская газодинамика. М.: Наука, 1977.

124. Красовский A.A. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем. М.: Наука, 1974.

125. Красовский A.A. Условия существования аттрактора в виде квадрики для полиномиальных динамических систем. ДАН. Т. 344, № 4(1995), с. 463-464.

126. Красовский A.A. Достаточное условие устойчивости полиномиальных кубических динамических систем. ДАН. Т. 344, № 5(1995), с. 605-606.

127. Крищенко А.П. Локализация предельных циклов. Дифф. уравнения. Т. 31, № 11(1995), с. 1858-1865.

128. Кузьмин E.H. О некоторых классах алгебр с делением. Алгебра и логика. Т. 5, № 2(1966), с. 57-102.

129. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. М.: Наука, 1962.

130. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964.

131. Кусюмов А.Н. Симметрии и законы сохранения невариационных систем уравнений. Дифференциальные уравнения и процессы управления. Электр, журнал. Т. 28, № 3(2003), с. 100-107. http://www.neva.ru/journal.

132. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1977.

133. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода. ДАН СССР. Т. 127, № 1(1959), с. 31-33.

134. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО РАН СССР, 1962.

135. Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Новосиб. ун-т, 1973.

136. Лаврентьев М.М., Аниконов Ю.Е. Об одном классе задач интегральной геометрии. ДАН СССР. Т. 176, № 5(1967), с. 1002-1003.

137. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, 1982.

138. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Васильев В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1969.

139. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.Т. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

140. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Механика. Т.1. М.: Наука, 1973.

141. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Электродинамика сплошных сред. Т. VIII. М.: Наука, 1992.

142. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Физическая кинетика. Т. X. М.: Наука, 2001.

143. Латтес Р., Лионе Ж.Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970.

144. Линник Ю.В. Островский И.В. Разложение случайных величин и векторов. М.: Наука, 1972.

145. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991.

146. Малков A.C., Малинецкий Г.Г., Чернавский Д.С. Моделирование развития аграрных обществ с позиции нелинейной динамики. Новое в синергетике. Новая реальность, новые проблемы, новое поколение. М.: Наука, 2007, с. 134-148.

147. Марчук Г.И. О постановке некоторых обратных задач. ДАН СССР. Т. 156, № 3(1964), с. 503-506.

148. Марчук Г.И. Уравнения для ценности информации с метеорологических спутников Земли и постановка обратных задач. Космические исследования. Вып. 2, № 3(1964), с. 462-477.

149. Марчук Г.И. Численные методы в прогнозе погоды. Л.: 1967.

150. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. Математическое моделирование. Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1989, с. 238-254.

151. Марчук Г.И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем. М.: Наука, 1992.

152. Марчук Г.И., Агошков В.И., Шутяев В.П. Сопряженные уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики. М.: Наука, 1993.

153. Масленников М.В. Проблема Милна с анизотропным рассеянием. Тр. МИ-АН СССР. Вып. 61(1961), с. 3-158.

154. Маслов В.П. Операторные методы. М.: Наука, 1973.

155. Меграбов А.Г. Дифференциальные тождества, связывающие лапласиан скалярной функции, модуль ее градиента и угол его направления. ДАН. Т. 424,5(2009), с. 599-603.

156. Мельников B.K. Законы сохранения для одного класса систем нелинейных эволюционных уравнений. Функц. анализ и его прилож. Т. 15, № 1(1981), с. 43-60.

157. Миллер У. Симметрия и разделение переменных. М.: Мир, 1981.

158. Миронов А.Е., Тайманов И.А. Ортогональные криволинейные системы координат, отвечающие сингулярным спектральным кривым. Тр. МИАН. Т. 255 (2006), с. 180-196.

159. Мирошин Р.Н. Простейшая обратная задача нелинейной динамики. Вестник СПбГУ. Сер. 1, вып. 2, № 8(1996), с. 44-49.

160. Михайлов A.B., Шабат A.B. Условия интегрируемости систем двух уравнений вида щ = А(и)ихх + F(u,ux). I. ТМФ. Т. 62, № 2(1985), с. 3-53.

161. Михайлов A.B., Шабат A.B. Условия интегрируемости систем двух уравнений вида щ = А(и)ихх + F(u,ux). II. ТМФ. Т. 66, № 1(1986), с. 3-53.

162. Михайлов A.B., Шабат A.B., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем. УМН. Т. 42, № 4(1987), с. 3-53.

163. Морозов В.А. Методы решения неустойчивых задач. М.: Изд-во Моск. унта, 1967.

164. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1974.

165. Мухометов Р.Г. Задача восстановления двумерной римановой метрики и интегральная геометрия. ДАН СССР. Т. 232, № 1(1977), с. 32-35.

166. Мухометов Р.Г. Об одной задаче восстановления римановой метрики. СМЖ. Т. 122, № 3(1981), с. 119-135.

167. Мухометов Р.Г., Романов В.Г. К задаче отыскания изотропной римановой метрики в n-мерном пространстве. ДАН СССР, Т. 243, № 1(1978), с. 41-44.

168. Мюррей Д. Математическая биология. Том 1. Введение. М.-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика. Институт компьютерных исследований, 2009.

169. Мюррей Д. Математическая биология. Том 2. Пространственные модели и их приложения в биомедицине. М.-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика. Институт компьютерных исследований, 2011.

170. Нелинейные волны. М.: Мир, 1977.

171. Нетесова Т.М. Групповой анализ краевых задач математической физики. Укр. мат. журн. Т. 51, № 1(1999), с. 140-144.

172. Неттер Э. Инвариантные вариационные задачи. В сб. Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз, 1959, с. 611-630.

173. Нещадим М.В. О единственности решения интегрального уравнения первого рода над вещественными конечномерными алгебрами с делением. ДАН. Т. 362, № 3(1998), с. 306-308.

174. Нещадим М.В. Восстановление динамической системы по заданному статистическому процессу. Сибирский журнал индустриальной математики. Т. 1, № 1(1998), с. 148-154.

175. Нещадим М.В. Динамические процессы, определяемые статистическими соотношениями. Сибирский журнал индустриальной математики. Т. 2, № 1(1999), с. 108-116.

176. Нещадим М.В. Групповой анализ и формулы в обратных задачах математической физики. Препринт № 75, ИМ СО РАН, Новосибирск, 2000, 33 с.

177. Нещадим М.В. Групповые свойства уравнения теплопроводности. Обратные и краевые задачи. Дифф. уравнения. Т. 38, № 3(2002), с. 379-384.

178. Нещадим М.В. Дифференциальные инварианты и операторы инвариантного дифференцирования уравнения Монжа-Ампера. Материалы конференции молодых ученых СО РАН, посвященной М.А. Лаврентьеву, 2002, с. 28-35.

179. Нещадим М.В. Функционально-инвариантные решения уравнения Монжа-Ампера. Вестник НГУ. Т. 2, № 1(2002), с. 53-57.

180. Нещадим М.В. Однопараметрические решения системы Максвелла. Сибирский журнал индустриальной математики. Т. 5, № 2(2002), с. 160-165.

181. Нещадим М.В. Теорема единственности для кинетического уравнения движения частиц в плазме. Сибирский журнал индустриальной математики. Т. 6, № 1(2003), с. 88-92.

182. Нещадим М.В. Дискретные преобразования дифференциальных уравнений второго порядка. Вестник НГУ. Т. 3, № 3(2003), с. 81-90.

183. Нещадим М.В. Некоторые представления решений и коэффициентов кинетического уравнения электродинамики. Сибирский журнал индустриальной математики. Т. 6, № 3(2003), с. 114-118.

184. Нещадим М.В. Дифференциальные тождества в теории обратных задач кинетических уравнений. Сибирский журнал индустриальной математики. Т. 7, № 2(2004), с. 99-102.

185. Нещадим М.В. Обратные задачи и некоторые тождества для кинетического уравнения электродинамики. ДАН. Т. 395, № 4(2004), с. 601-604.

186. Нещадим М.В. Обратные задачи для кинетических уравнений. Алгебраические и дифференциальные тождества. ДАН. Т. 400, № 3(2005), с. 315-318.

187. Нещадим М.В. Обратные задачи для кинетического уравнения Больцмана-Власова: представления решений и коэффициентов. Сибирский журнал индустриальной математики. Т. 8, № 1(2005), с. 101-105.

188. Нещадим М.В. Решения системы Максвелла с нулевыми инвариантами. Вестник НГУ. Т. 6, № 3(2006), с. 59-61.

189. Нещадим М.В. Характеризация одномерных касательных преобразований в терминах дифференциальных соотношений. Дифференциальные уравнения. Т. 42, № 1(2006), с. 114-119.

190. Нещадим М.В. Итерационный процесс Лапласа и некоторые точные решения стационарной системы Максвелла в двумерном случае. Сибирский журнал индустриальной математики. Т. 9, № 4(2006), с. 136-145.

191. Нещадим М.В. Некоторые вопросы конструктивных методов в теории обратных задач. Сибирский журнал индустриальной математики. Т. 10, № 2(2007), с. 101-109.

192. Нещадим М.В. Скобки Ли на пространстве гладких функций из Ж1 в Ж2. Вестник НГУ. Т. 7, № 3(2007), с. 96-110.

193. Нещадим М.В. Законы сохранения для системы типа реакция-диффузия. Сибирский журнал индустриальной математики. Т. 11, № 4(2008), с. 125-135.

194. Нещадим М.В. Дифференциальные соотношения в обратной кинематической задаче. ДАН. Т. 424, N 4(2009), с. 445-448.

195. Нещадим М.В. Дифференциальные соотношения в обратной задаче определения метрики по годографу. ДАН. Т. 427, № 3(2009), с. 318-320.

196. Нещадим М.В. Некоторые вопросы конструктивных методов в теории обратных задач акустики. Вестник НГУ. Т. 9, № 4(2009), с. 66-70.

197. Нещадим М.В. Законы сохранения для системы типа реакция диффузия с одной пространственной переменной. Сибирский журнал индустриальной математики. Т. 13, № 4(2010), с. 64-69.

198. Нещадим М.В. Скобка Якоби, дифференциальные тождества и обратные задачи для кинетических уравнений. ДАН. Т. 436, № 2(2011), с. 170-173.

199. Нещадим М.В., Чупахин А.П. Частично-инвариантные решения кубического уравнения Шредингера. Вестник Удмуртского университета. Вып. 3(2008), с. 35-41.

200. Нещадим М.В., Чупахин А.П. О некоторых решениях уравнений движения сплошной среды со специальной термодинамикой. Сибирские электронные математические известия. Т. 8(2011), с. 317-332. http://semr.math.nsc.ru

201. Овсянников Л.В. Сингулярный оператор в шкале банаховых пространств. ДАН СССР. Т. 163, № 4(1965), с. 819-822.

202. Овсянников Л.В. Частичная инвариантность. ДАН СССР. Т. 186, № 1(1969), с. 22-26.

203. Овсянников Л.В. Нелинейная задача Коши в шкале банаховых пространств. ДАН СССР. Т. 200, № 4(1971), с. 789-792.

204. Овсянников Л.В. Аналитические группы. Введение в теорию бесконечных непрерывных групп преобразований: Лекции. Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 1972.

205. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

206. Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика. Прикладная математика и механика. Т. 58, № 4(1994) с. 30-55.

207. Овсянников Л.В. О 11 простых "решениях уравнений динамики политроп-ного газа. ПМТФ. Т. 40, № 2(1999), с. 5-12.

208. Овсянников Л.В. Некоторые итоги выполнения программы ПОДМОДЕЛИ для уравнений газовой динамики. ПММ. Т. 63, № 3(1999), с. 362-372.

209. Овсянников Л.В. Лекции по газовой динамике. М.: Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика. Ин-т компьютерных исследований, 2003.

210. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989.

211. Ораевский В.Н., Коников Ю.В., Хазанов Г.В. Процессы переноса в анизотропной околоземной плазме. М.: Наука, 1985.

212. Орловский В.Г. К задаче определения параметра эволюционного уравнения. Дифф. уравнения. Т. 26, № 9(1990), с. 1614-1621.

213. Павлов М.В. Интегрируемость егоровских систем гидродинамического типа. ТМФ. Т. 150, № 2(2007), с. 263-285.

214. Пестов JI.H. Первые интегралы геодезических конформной метрики и обратная кинематическая задача сейсмики. Вопросы корректности обратных задач математической физики. Новосибирск: Выч. центр СО АН СССР, 1982, с. 109-119.

215. Пестов J1.H. Задача интегральной геометрии для тензорных полей на геодезических римановой метрики. Исследования неклассических задач математической физики. Новосибирск: Выч. центр СО АН СССР, 1985, с. 90-94.

216. Пестов JI.H. Вопросы корректности задач лучевой томографии. Новосибирск: Сибирское научное изд-во, 2003.

217. Погорелов А.И. Многомерное уравнение Монжа Ампера det||zy|| = = <p(zi,., zn, z, xi,., xn). M.: Наука, 1988.

218. Полянин А.Д. Точные решения нелинейных систем уравнений диффузии реагирующих сред и математической биологии. ДАН. Т. 400, № 5(2005), с. 606-611.

219. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2002.

220. Поляченко B.JL, Фридман А.Н. Равновесие и устойчивость гравитирую-щих систем. М.: Наука, 1976.

221. Поммаре Ж. Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли. М.: Мир, 1983.

222. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. Т. 2. М.: Наука, 1988.

223. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала. Мат. заметки. Т. 14, № 15(1973), с. 777-789.

224. Прилепко А.И., Волков Н.П. Обратные задачи определения параметров нестационарного кинетического уравнения переноса по дополнительной информации о следах искомой функции. Дифф. уравнения. Т. 24, № 1(1988), с. 136-146.

225. Прилепко А.И., Иванков А.Л. Обратные задачи для нестационарного уравнения переноса. ДАН СССР. Т. 276, № 3(1984), с. 555-559.

226. Прилепко А.И., Иванков А.Л. Обратные задачи определения коэффициента, индикатрисы рассеяния и правой части нестационарного многоскоростного уравнения переноса. Дифф. уравнения. Т. 21, № 5(1985), с. 870-875.

227. Прилепко А.И., Иванков А.Л., Волков Н.П. О некоторых обратных задачах нестационарного уравнения переноса. УМН. Т. 41, JV2 4(1986), с. 156-157.

228. Прилепко А.И., Тихонов И.В. Единственность решения обратной задачи для эволюционного уравнения и приложения к уравнению переноса. Мат. заметки. Т. 51, № 2(1992), с. 77-87.

229. Прилепко А.И., Тихонов И.В. Восстановление неоднородного слагаемого в абстрактном эволюционном уравнении. Изв. Акад. Наук, сер. матем. Т. 58, № 2(1994), с. 167-188.

230. Рашевский П.К. Геометрическая теория уравнений с частными производными. М.: Едиториал УРСС, 2003.

231. Розенхаус В. Бесконечные законы сохранения для дифференциальных систем. ТМФ. Т. 160, № 1(2009), с. 202-210.

232. Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск. НГУ, 1973.

233. Романов В.Г. Об одной теореме единственности для задачи интегральной геометрии на семействе кривых. Математические проблемы геофизики. 1973, Вып. 4. Новосибирск, Вычислительный центр СО АН СССР, с. 140 146.

234. Романов В.Г. Об однозначности определения изотропной римановой метрики внутри области через расстояния между точками границы. ДАН СССР. Т. 218, № 2(1974), с. 295-297.

235. Романов В.Г. Интегральная геометрия на геодезических изотропной римановой метрики. ДАН СССР. Т. 241, № 2(1978), с. 290-293.

236. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

237. Романов В.Г. Формула обращения в задаче интегральной геометрии на эллипсоидах. Матем. заметки. Т. 46, № 4(1989), с. 124-126.

238. Романов В.Г. Устойчивость в обратных задачах. М.: Научный мир, 2005.

239. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М.: Наука, 1984.

240. Свинолупов С.И., Соколов В.В. Об эволюционных уравнениях с нетривиальный законами сохранения. Функц. анализ и его прилож. Т. 16, № 4(1982), с. 86-87.

241. Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. М.: Наука, 1971.

242. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко H.H. Метод дифференциальных связей и его приложение в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984.

243. Смирнов О.Н. О единственности решения интегрального кватернионно-го уравнения первого рода. Некласс, ур-я мат. физ., НГУ, межвуз. сб. научных трудов, Новосибирск, 1993, с. 104-107.

244. Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: ИЛ, 1955.

245. Соболев С.Л. Функционально-инварианатные решения волнового уравнения, Труды физ.-мат. инст. им. В.А.Стеклова. Т. 5(1934), с. 259-264.

246. Султангазин У.М. К вопросу математической теории дискретных уравнений Больцмана. УМН. 40:4(244)(1985), с. 201-202.

247. Татарский В.И. Вигнеровское представление квантовой механики. УФН. Т. 139, № 4(1983), с. 587-619.

248. Тихонов А.Н. О единственности решения задачи электроразведки. ДАН СССР. Т. 69, № 6(1949), с. 797-800.

249. Тихонов А.Н. О решении нелинейных интегральных уравнений первого рода. ДАН СССР. Т. 156, № 6(1964), с. 1296-1299.

250. Тихонов А.Н. О нелинейных уравнениях первого рода. ДАН СССР. Т. 161, № 5(1965), с. 1023-1027.

251. Тихонов А.H., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974.

252. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов A.A. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987.

253. Тихонов А.Н., Иванов В.К., Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. М.: Наука, 1970.

254. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 2004.

255. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: ИЛ, 1957.

256. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. T. I, II. М.: Физматгиз, 1963.

257. Уленбек Г.Е. Некоторые фундаментальные проблемы статистической физики. Современные проблемы математики. Межд. мат. конгресс в Эдинбурге 1958. М.: Гос. изд-во Физ. мат. литературы, 1962, с. 248-262.

258. Филиппов В.М., Савчин В.М., Шорохов С.Г. Вариационные принципы для непотенциальных операторов. Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Нов. достиж., 40, ВИНИТИ, М, 1992, с. 3-176.

259. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана. М.: Гостехиздат, 1948.

260. Фущич А.П., Штелень В.М., Серов Н.В. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики. Киев: Наук, думка, 1989.

261. Хабиров C.B. Свойство определяющих уравнений алгебры в задаче групповой классификации волновых уравнений. СМЖ. Т. 50, № 3(2009), с. 647-668.

262. Хабиров C.B. Классификация дифференциально инвариантных подмоделей. СМЖ. Т. 45, № 3(2004), с. 682-701.

263. Хамитова P.C. Структура группы и базис законов сохранения. ТМФ. Т. 52, № 2(1982), с. 244-251.

264. Хренников А.Ю. Введение в квантовую теорию информации. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2008.

265. Черевко A.A. Оптимальная система подалгебр для алгебры Ли операторов, допускаемых системой уравнений газовой динамики с уравнением состояния р = /(5)5/3. Препринт № 4-96, 1996, СО РАН, ин-т гидродинамики, 40 с.

266. Чередник И.В. Эллиптические кривые и матричные солитонные дифференциальные уравнения.Итоги науки и техники. Сер. Мат. Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 22. ВИНИТИ М. 1984, с. 205-265.

267. Чиркунов Ю.А. Групповой анализ линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Новосибирский государственный университет экономики и управления, 2007.

268. Чиркунов Ю.А. О групповых свойствах и законах сохранения для квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка. ПМТФ. Т. 50, № 3(2009), с. 64-70

269. Чупахин А.П. Барохронные движения газа. Общие свойства и подмодели типов (1,2) и (1,1). Препринт № 4-98, 1998, СО РАН, ин-т гидродинамики, 66 с.

270. Шарафутдинов В.А. Интегральная геометрия тензорного поля на многообразии ограниченной сверху кривизны. СМЖ. Т. 33, № 3(1992), с. 192-204.

271. Шарафутдинов В.А. Обратная задача определения источника в стационарном уравнении переноса. ДАН. Т. 347, № 5(1996), с. 446-448.

272. Шарафутдинов В.А. Интегральная геометрия тензорных полей. Новосибирск: ВО Наука, 1993.

273. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. М.: Наука, 1972.

274. Шварцбург А.Б. Дисперсия электромагнитных волн в слоистых и нестационарных средах (точно решаемые модели). УФН. Т. 170, № 12(2000), с. 1297-1324.

275. Шефтель М.Б. Группы Ли и дифференциальные уравнения: симметрии, законы сохранения и точные решения математических моделей в физике. ЭЧАЯ. Т. 28, № 3(1997), с. 15-685.

276. Шнеерсон М.С. Уравнения Максвелла и функционально-инвариантные решения волнового уравнения. Дифф. уравнения. Т. 4, № 4(1968), с. 743-758.

277. Шустер Г. Детерменированный хаос. М.: Наука, 1988.

278. Эйлер Л. Интегральное исчисление. Т. 3. М.: ГИФМЛ, 1958.

279. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2007.

280. Якоби К.Г.Я. Лекции по динамике. Л.-М.: Главная ред. общетехн. литер., 1936.

281. Amirov A.Kh. Inverse problem for a kinetic equation. J. Inv. Ill-Posed Problems. V. 3, № 5(1996), p. 351-358.

282. Anikonov Yu.E. Multidimensional Inverse and Ill-posed Problems for Differential Equation. VSP, Utrecht, The Netherland, Tokyo, Japan, 1995.

283. Anikonov Yu.E. Some results in inverse problems for kinetic and other evolution equations. J. Inv. Ill-Posed Problems. V. 5, № 3(1997), p. 205-234.

284. Anikonov Yu.E. Formulas in Inverse and Ill-Posed Problems. VSP, Utrecht, 1997.

285. Anikonov Yu.E. Inverse problems for kinetic and other evolution equations. VSP, Utrecht, The Netherland, 2001.

286. Anikonov Yu.E., Ayupova N.B. On the mathematical models in the problems of ethnogeny and evolution of populations. J. Inv. Ill-Posed Problems, V. 3, № 5(1996), p. 359-382.

287. Anikonov Yu.E., Cheng J., Yamamoto M. The inverse problem for a system of Maxwell equations. J. Inv. Ill-Posed Problems. V. 6, № 6(1998), p. 563-570.

288. Anikonov Yu. E., Lorenzi A. Explisit representation for the solution to a parabolic differential identification problem in Banach space. J. Inv. Ill-Posed Problems. V. 15, № 7(2007), p. 669-683.

289. Anikonov Yu.E., Neshchadim M.V. Inverse problems for quantum kinetic equations. J. Inv. Ill-Posed Problems. V. 18(2011), p. 727-740.

290. Barannyk T. Symmetry and exact solutions for systems of nonlinear reaction-diffusion equations. Proc. Inst. Math. NAS Ukraine. V. 43, № 1(2002), p. 80-85.

291. Bardakov V.G. Uniqueness theorem for the solution of the inverse problem for a generalized kinetic equation. J. Inv. Ill-Posed Problems. V. 3, № 5(1996), p. 383-392.

292. Bardakov V.G. One inverse problem for a system of kinetic equations. J. Inv. Ill-Posed Problems. V. 6, № 6(1998), p. 571-575.

293. Bardakov V.G. Two inverse problems for a system of quantum kinetic equations. J. Inv. Ill-Posed Problems. V. 7, № 2(1999), p. 105-119.

294. Bardakov V.G. Inverse problems for systems of kinetic equations. J. Inv. Ill-Posed Problems. V. 10, № 5(2002), p. 465-485.

295. Bozis G. The inverse problem of dynamics: basic facts. Inverse Problems. V. 11, № 4(1995), p. 687-708.

296. Bukhgeim A.L. Volterra Equations and Inverse Problems. VSP, Zeist. 1999.

297. Cherniha R.M., King J.R. Lie symmetries of nonlinear multidimensional reaction-diffusion systems I. J. Phys. A: Math. Gen. V. 33, 7839-7841(2000), p. 267-282.

298. Cherniha R.M., King J.R. Lie symmetries of nonlinear multidimensional reaction-diffusion systems II. J. Phys. A: Math. Gen. V. 36(2003), p. 405-425.

299. Congweu Liu, Lizhong Peng. Generalized Helgason-Fourier transforms associated to variants of the Laplace-Beltrami operators on the unit ball in Mn. Indiana University Math. Journal. V. 58, № 3(2009), p. 1457-1491.

300. CRC Handbook of Lie groups analysis of differential equations, V. 1, Symmetries, exacting solutions, concervation laws. CRC Press. 1994.

301. Dairbekov N. Integral geometry problem for nontrapping manifolds. Inverse problems. V. 22(2006), p. 431-435.

302. Darboux G. Lecons sur la theorie generale des surfaces (3), 1889.

303. Denisov A.M., Lorenzi A. An inverse problem for a first order nonlinear ordinary differential equation. J. Inv. Ill-Posed Problems. V. 1, № 2(1992), p. 217227.

304. Denisov A.M. Elements of the Theory of Inverse Problems. VSP, Zeist. 1999.

305. Dorodnitsyn V.A., Svirchevskii S.R. On Lie-Baclund groups admitted by the heat equation with a source. Preprint N 101, Keldysh Inst. Appl. Math., Academy of Scienses, Moscow, 1983.

306. Gaeta G., Rodriguez M.A. On discrete symmetries of differential equations. Nuovo Cimento. V. 111B(1996), p. 879-891.

307. Gagnon L., Winternitz P. Lie symmetries of f generalised non-linear Shrodinger equation: I. The symmetry group and its subgroups. J.Phys. A. V. 21(1988), p. 1493— 1511.

308. Gagnon L., Winternitz P. Lie symmetries of f generalised non-linear Shrodinger equation: II. Exact solutions. J.Phys. A. V. 22(1988), p. 469-497.

309. Gagnon L., Winternitz P. Exact solutions of the cubic and quintic non-linear Shrodinger equation for a cylindrical geometry. Physical Review A. V. 39(1989), p. 296306.

310. Grad H. On the kinetic theory of rarefied gases. Commun. Pure and Appl. Math. V. 2, № 4(1949), p. 331-407.

311. Hydon P.E. How to use Lie symmetries to find discrete symmetries. Morden Group Analysis VII. Developments in Theory, Computation and Application. MARS Publishers, 1997, p. 141-147.

312. Jacoboni C., Bertoni., Bordone P., Giacobbi N. Simulation of Wigner function transport in tunneling of quantum structures. Technical Proceedings of the 2002 International Conference on Modeling and Simulation of Microsystems NanoTech 2002 -MSM 2002.

313. Ibragimov N.H. The answer to the question put to me by L.V.Ovsyannikov 33 years ago. Arhives of ALGA. V. 3(2006), p. 53-80.

314. Losovik Yu.E., Filinov A.V. Tunneling times of wave packets: the method of quantum trajectories in the Wigner representation. Workshop Kadanoff-Baym Equations. Rostock, October 20-24, 1999.

315. Mancini S., Man'ko V.I., Tombesi P. Different realizations of the tomographic principle in quantum state measurement. J. Modern Optics. V. 44, № 11-12(1997), p. 2281-2292.

316. Marek Kuczma. Functional equations in a single variable. Warszawa, 1968.

317. Moutard M. Construction des equations de la forme ~Qxgy = \{x,y), qui admettent une integral g er egale explicite. J. de L'Ecole Polytechnique. V. 28(1878), p. 1-11.

318. Neshchadim M.V. On uniqueness of the solution of an integral equation of the first kind over real algebras with division of the finite dimension. J. Inv. Ill-Posed Problems. V. 5, № 5(1997), p. 455-461.

319. Neshchadim M.V. Dynamical model of the ethnic system. Formulas in direct and inverse problems. J. Inv. Ill-Posed Problems. V. 6, № 6(1998), p. 605-617.

320. Neshchadim M.V. Group analysis and formulas in inverse problems of mathematical physics. J. Inv. Ill-Posed Problems. V. 8, № 3(2000), p. 287-305.

321. Neshchadim M.V. System of Maxwell equations in inhomogeneous medium and its equivalents transformations, Thesis of the 9th International Conference on Modern Group Analysis, Moscow, 2002, p. 252-253.

322. Neshchadim M.V. Equivalent transformations and some exact solutions to the system of Maxwell's equations, Selcuk J. Appl. Math. V. 3, № 2(2002), p. 99-108.

323. Neshchadim M.V. Inverse dynamic problems, the Focker- Plank-Kolmogorov equation and the Laplace iterative process. J. Inv. Ill-Posed Problems. V. 10, № 1(2002), p. 91-106.

324. Neshchadim M.V. Inverse problems for the kinetik equation of plasma physics and a uniqueness theorem. Selcuk J. Appl. Math. V. 4, № 1(2003), p. 87-94.

325. Neshchadim M.V. Uniqueness of solution to integral equation of the first kind over real algebras with division of finite dimension (a general case). J. Inv. Ill-Posed Problems. V. 13, № 5(2005), p. 495-502.

326. Neshchadim M.V. Differential identities and uniqueness theorem in inverse Problem for the Boltzman-Vlasov equation. J. Inv. Ill-Posed Problems. V. 16, № 3(2008), p. 283-291.

327. Nikitin A.G., Wiltshire R.J. Systems of reaction-diffusion equations and their symmetry properties. J. Math. Phys. V. 42, № 4(2001), p. 1667-1688.

328. Prilepko A.I., Orlovsky D.B., Vasin I.A. Methods for solving Inverse Problems in Mathematical Physics. Marcel Dekker, New York, 2000.

329. Sharafutdinov V., Uhlmann G. On deformation boundary rigidity and spectral rigidity of Riemannian surfaces with no focal points. J. Diff. Geom. V. 56, № 1(2000), p. 93-110.

330. Tachibana S. On conformal Killing tensor in a Riemannian space. Tohoku Math. J. V. 21(1969), p. 56-64.

331. Tanenbaum B.S. Plasma physics. N.Y.: McGraw-Hill, 1967.

332. Wigner E.P. On the quantum correction for thermodynamic equilibrium. Phys. Rev. V. 40(1932), p. 749-759.

333. Zakharov V.E. Description of the n-orthogonal curvilinear coordinate systems and Hamiltonian integrable systems of hydrodynamic type, I: Integration of the Lame equations. Duke Math. J. V. 94, № 1(1998), p. 103-140.