О некоторых свойствах равномерных алгебр, заданных на компактах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ6 ^тлн.иигиъ

., г,- ^^((Д! С[р{1 ¡1 р шф"! 1*11 Цт[

<иШ2_5А>!ДП|Ш311 1ШГМ1 ?>Я-ЛГ!-

чпгг^иадъ&г}- -1га иа илагг шт? 1 и ъ г и д и с 1 ■!. г,-г I » ПГПС. ЛИЗМПг^-ЗЛт^Ъ&Г!- ишл-ъ

1Гши*11Шц[1inrH.pjni.Y4 —.01 .01—((К!^!«!^« иДии^щ

Лфц^чЦш—иЧирЬ^ишфЦшЦш'и q{nлпLj7>JПL',^^'lJЬp}^ рЬЦЪшсзпф ^[ипшЦш'и ишифлиЛф Ьи^у^шЪ штЬ"и иф! п ипIрjиЛ1

ЕРЕВАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Па правах рукописи

ЗАСЛАВСКАЯ МАРИЯ ИГОРЕВНА

0 НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ РАВНОМЕРНЫХ АЛГЕБР, ЗАДАННЫХ НА КОМПАКТАХ

специальность-01.01.01—математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ереван-1995

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений

и функционлыюго анализа Ереванского Государственного Университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук Григории С. Л.

Официальные оппоненты: 'I .Доктор физико-математических

наук,профессор Мартиросян В.М.

2.Кандидат физико-математических наук:, доцент Ватикян Б.Т.

Ведущая организация-Институт проблем передачи информации АН РФ.

Защита диссертации состоится " Г1/[ И) 199$г.

на заседании специализированного совета К 055.01.13 по присуждению ученой степени кандидата физшга-математически наук при Ереванском государственном университете по адресу: 375025, Нреван-25, ул. А. Манукяна 1.

С диссертацией мокно ознакомиться в библиотеке

Ереванского Государственного Университета.

Автореферат разослан " {0 " 193бг.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических

наук, доцент Т.Н. Арутюнян

О Б Щ Л Я л Л Р Л К Т И Р И С О? И К Л Р Л Б О Т Ы

. 1 > 2 >

актуальность теин. Теория оанаховмх алгеор , в частности , теория равномерных алгебр функций, начала разрабатываться около полувека назад п связи с запросами естественных паут;, в том числе, для приложений в области квантовой мег.антгн. В раккак этой теории исследовались, в частности, свойства алгебр функций, заданны:; на те;; или шшх конкретны:: множествах . Приложения Функциональных алгебр в современны:: направления;: теоретической Физики требуют изучения разнообразных алгебр подобного типа. Один из естественных классов функциональных алгебр, а именно, класс равномерных алгебр операторных полей (являющийся некоммутативным аналогом .класса равномерных

■I >

алгебр), был, впервые рассмотрен Дзг.Холлом , в дальней-

5 > (5 >

шеи Д.Тейлором . В работах В.Л. Лрзуманяна и С.Л.

1 .Гзмелин Т. Равномерные алгебры. И.; "Мир",1973

2 .Браттели О., Робинсон Д. Операторные алгебры и кван-

товая статистическая механика,М.; Мир,1982

П ,й'коппе1 I .}. М. К, 11г'«1 раг1з оГ ип I ( о г ш а1<-(С'Ьга-- /У

РасьГИс .}. Мо1. Ь. , 1 <>73 , х-. 4 о. р 23У-Я-1-? . Р«11 . 'ГЬ® гиси.ие о/ а1д<->Ьгаг* о( ор->га1ого {

Лс.1'.1. пкйЬ.Ю 3, 4,ЮсН,р . 233-2ПО .

5. Тоу1ог 1>- Iritcjr-pol.ati.ori 1п яЛчоЪгсп оТ орога1ог^ (Ч.лЫ-зХ/

Ы' КипсС. апа1. ,10,2,1072,р. 150-1Р0

о. "Геу О. Л з<?гюга1 11о(1тап-Могтог ЬЬоогг-т Гот ■■ЦдоЪгоч

о( орога1ог Гт еЬ:!о/-',--' Ргос, о Г Л. М. Я. ,32,1!г>75,р. Zt9.-2.ir>

Григоряна ' 'Саш; исследованы алгсбри oneparopmui нолей с постоянным слоен; в частности, были да мм о б о oí цепия ряда о1фод«--ли1шй н теорем теории коммутативны:-; радшокер-ннх алгебр. Исследования, отраженные в настоящей работе,

моасно рассматривать, нал продолжение- исследований 3)?)fi>s>í

из

Цель__работы - исследование свойств коммутативных и некоммутативных алгебр. Исследуются, в частности, свойства коммутативных равномерных алгебр на многомерном торе и многомерной сфере, а также свойства равномерны::: алгебр операторных полей с аппроксимативно-конечномерным (>лг-) слоем в зависимости от свойств этого слоя.

. В работе применены методы алгебры, функцианального анализа, теория аналитических функций к многомерных комплексных пространствах.

* ®со Результаты работы являются новыми.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах института математики HAH РА, (1990-1994), на семинаре гю банаховым алгебрам МТУ (Москва 1990г.),на

v. Арзуманян В.А., Григорян С.А. Спектр равномерных алгебр

операторных полей-'V Изв.АН АРМ ССР , 1985 ,т .21 ,>F Ъ,с23~70

о. Арзуманян В.А., Григорян O.A. тЬо boundaries of uniform

algebras; of operator floldsW ИЗВ.АН АРМ ССР , 1990 , Т . 25 , fí 5

с .422-438

S>. Арзуманян В.А., Григорян С,А. Noncorr>mut«tive- um form algebras..-'/ J. O per. Theory ;>0-<i3,p. ioi-ioa

симинлрах кафедры дифференциальных уравнений и Функционального анализа и кафедр?I катематк чоского анализа ЕрГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опублико панн п А—г. статья;:, приведении;: п конгцс? автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена па страницах, состоит из введения и четырех глав.

Библиография содержит ^ 0 наименований .

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Б_главе_1 дани определения некоторое понятий, относящихся к равномерны?! алгебрам, а rair.se указан ряд и;: изве стных свойстз, ислользуекмх в дальнейшее. Приведем нетто— торые основные определения.

Е"! паковой алгеброй илсмилеп ксмплсксное банахоно про-

С"4 г-: I | } *Т V? »• ) "-"{' 1 ТЧ »•■ «*-.»», \Т » Т 1 ГГЦ ■> . г . . -п - т - ■ 1П г 1 . ) : . <

л.^,.'!'«.^ н.; случала о <соои ог<л«1р1шаалп:'. в дальнейшем) понятие банаховой алгебры будет рассматриваться без уело-ния замкнутости по -норме.

О -алгеброй называем любую банахову алгебру, в котороой введена одноместная операция инволюции * , удовлетворяющая следующим условиям :

■r 'i . --i -л, . л , v — ;■„■'—■ 'Т , ч * +

:: - (х + у) - к -!- у ; (л.;:,) - Л к ; ) -у :: :

Ü !1 -I! •• Г

Пусть Л - некоторая банахова алгебра. Равномерной Л-ал-геброй на маусдорфовсм кошшкте Т называется всякая банахова» алгебра jit непрерывных функций, отобрака'яцих Т в Л, которая снабжена гир-нпрмой,замкнута но этой норме, содержит все Функции-константы и разделяет точки компакта Т в

следующем смысле: для любим t ,t с 'j1 и .а £- A cvit-"—

1 ' i г i • z -

ствует такая í Ш, что f(t ) = а . í't't j- а .

i i ' ' ?. '

Алгебру всех непрерывных Л-зиачных Функций, заданшix на Т, будем обозначать через С(Т,Л).

Бели Л есть алгебра комплексных чисел, то равномерные А-алгебры на Т будем называть просто "равномерными алгебрами на Т". Равномерную алгебру на Т, содергсагцуго все непрерывны« комлглексиозначние функции на Т, будем обозначать через С(Т).

Пусть Ш - равномерная алгебра на Т. Тогда через Re

г X X п ^

обозначаем множество {_____, к с М }. Для случая ком-

илекснозначных равномерных алгебр Re ill будет с(ч:и:;.дить

с пространством дейсгпительнш: частей функции,

Комплексным ri-MC'WUIM ТО ЮМ л.1 - ! С OOTBOTCTIÍellIIO , ПОЛИ —

г

1ТП Т1П

кругом U , замкнутым ноликругок и ) векторного радиуса Р = <Р ,Р ' называем множество точек f " i г п

а - <й ,2, . . ,z > »'змеиного комплексного пространства,

1 г-,

у до вл т i • о dh клп:';: vc л о л: i я м I z -- I *. (с о с? т т ? w с v я шо,

jsj .Г. . I i Г. ), при 1 i L i •

- ,->r' , tiOiiUJH-KCllOH n-i!(;PHOH СФС'рОИ >■ > t COOTi3eTCTB';lJlJO ша-

r

рог,; Ь , замкнутым шаром и ) ралиуса г* называем кно-

П " П ~

•пество точек 25 = <й -К.....2 > п-морного комплексного

17. II [

п 7.

пространства .удовлетворяющих условию . I! | 2, | ~ 2' (соот-

II п

веттственно, .3 ¡'¿.\ < Г. .2 \\ 5? .Г ).

1.-» 1 I 1 ',-1 1 г. 1

Через будем обозначать алгебру все:; А-аналити-

ческих на Т функций, т.е. функций, которые разлагаются

в окрестности каждой точта й. Т в сходящийся ряд

» л- к"°-1----

В случае когда Т = В* , Л = С, алгебра ЭД называется диск-алгеброй.

В случае, когда Т = и*'. А = С, алгебра 'И называется

„ п

поликруговои алгеброй, и тогда Т = Б , называем сфери-

ческой алгеорой.

Аппроксимативно—конечномерной алгеброй (или лг-алгеброй) называем любую С —алгебру А. содоргахцум единицу и пред— сталимуга в виде замыкания объединения последовательности вложенных друг в друга ее кон ем и он ершгс подалгебр А с

общей единипей (таким образом, А с А С Л С ... и А~, U А, ) ' \ 1 ,, — j — 2 — I- -о

Пусть Т - хаусдорфов компакт,А—банаховая алгебра, Ш -равномерная А-алгебра иа Т, М - равномерная алгебра на Т. Будем говорите, , что Ш рассекаемая и порождается алгебрами М и А,и писать 111 =[ М, А] , если замыкание (в *:ир-норяо

алгебры 311 ) множества сумм вида . >] Г. а , где И ,

Ъ ~ .11-1 I

А при 15^ | , совпадает с 'Щ .

Б дальнейшем равномерные А—алгебры па хаусдорфовы::

компактах, будем называть,в соответствии с устанивиншей-• „ , И

сн тирминологиеы "равномерными алгеорами с А -с л ,

Т Г. 7->4-,

л-алгеор и свойствами им Л1'—сло^-в; в частности, доказывается, что в случае, когда Л - простая А1'1-ал г «бра, либо имеет не более, чем два нетриьиальных замкнутых двусторонних идеала, то равномерная А-алгебра рассекаема, либо, соответственно, представнма в виде суммы двух или трех рассекаемых алгебр. Отметим, что изучение свойств рассекаемом А-алгебры во многих случаях сводится к рассмотрению аналогичных свойств лорождага^сй ом коммутативной Г'.ЯВ! ЮМ'.;"! II 1ПЙ аЛГ^Ори,

Исследовании рнсс икаем! IX Л—ллгибр и'.'счииц-.и *Л» глагм 3, где Рассматнивак.'тс}; некоторые иоиятил, сьяоашше с та" шши алгебрами, в частности, исследуются некоторые оооо-щениия понятий спектра равномерно» алгебры, и преобразования Гельфанда.

Структура равномерной алгебры , как коммутативной, так и некоммутативной, во многом зависит от свойств вещественного пространства Не Ш. В §3 главы 3 рассматривал си своисч ¿а л.—15 111 и * .у'С-'"-Ь1Н|,

¡ал!1Гй<лмнл на Re Ж.

»'»>

Устанавливается аналог теоремы Го;!*.{лна~Вермора для \-алгебр с. АI1'-слоек, а именно, доказ!тается, (теорема 3.3.1), что всякая равномерная А-алгебра Ж, с замкну-гым пространством Re 'Ж, где к - АУ -алгебра, совпадает с 1Лгеброй О(Т,Л) •

В том же параграфе рассматриваются равномерные Л-алгебры 111, заданные на торе Т^ в многомерном комплексном фостранстве С" , п ^ 2, удовлетворяющие условию Fie ^ = = Re , где - алгебра веек А - аналитических функций, 1 А - коммутативная С -алгебра.

Доказывается (теорема 3.3.2), что каждая такая алгебра предетавима в виде сунны двух рассекаемых алгебр, 'а,именно, существует самосопряженный пологительнмк проектор р g А такой, что алгебра Ш изоморфна алгебре

D + (е—р) . Эта теорема обобщает результаты, рас с —

з > ^

ттриваемые, в работе ОКоннела" для случая II -1 и А .

Следствием теоремы 3.3.2 для случая П ^ 2 и А - С является теорема /1.2.1 из главы 4, устанавливающая, что в случае п >' 2 справедливо более сильное утверждение по "равнению с тем, которое было установлено в работе ОКоннела для П = 1 . Л именно, всякая равномерная алгебра М (не обязательно замкнутая), комплекснозначпых функций па горе Т^ (теорема Д.2.1), либо на сфере S" (теорема 4.3.1 ) такая, что Re М - Re Л, где А - соответственно, К»> Hoffman К. , Vernier J. , Л charaktorization of crAiS/

Pacific J. Hath. , 12, jff 3 <1 «><S2>, frH-yi-i.

g

поликруговая, либо сфоричоская алгебра, совпадает либо с Л, либо с А . Доказывается так:-,:« аналогичный результат для равномерной алгебры М, у которой множество logjM1 совпадает с множеством log | А 1 | для поликруговой (соот

ветственно сферической) алгебры А (А - множество обратимых элементов алгебры А ).

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1.Григорян С.А..Заславская М.И. О действительных частяк функциональных алгебр jj Мат .заметки,том. 50, if 3,1991, с 20-25.

2.Заславская М.И. О некоторых представлениях равномерных алгебр на единичной окружности и политоре jj Ученые заметки ЕГУ, 1939,1,? 2, стр. 16-20.

З.Григорян G .А. .Заславская М.И. Равномерные алгебры операторных полей с AF-слоем jj Изв. HAH РА, 1993, № 2. Д.Заславская М.И. Некоторые свойства равномерных алгебр операторных полей с аппроксимативно-конеч^юмерным слоем jj Изв. HAH РА.

3 цтГгипуп -iJ^- 16V — rç,ni7jd,q

001- V|mf\mcJmhi<j

•u 4 <

02, ilq^unrnj^

•aif dqa/tjui-^huljuirriy bujidqdmd -qft r^ijúqnjuf ImyniJ п/пу q'JqnJudi nib qui ?u $ piunjd r¡ pw'dTnqb i\mf£¡ -itjqmûmm Jn/ni/imtrniJp ifrpu? dlinm Птптф ní'rn ' % t/nminry nqJrRmj •.{ Jprni'ßhuLnln i alq riß n/n nj/jt '¿rnyrnd rimy qwlmpmy1) üjiij Imyrndqmy g pi и JipbnrnJ/rndq'h JtuIndqJ/ "uqpdmijp fiulqnlq Benjuí ¿jiupbmß i/dqrimp rimJjrnUiJ i(dqnmiJ6}}niu<j> duluß bun/nhuindn n/J-<~l dim fr/im ФVй fàqm drnpmy t/Jt l rnyrndnmy g iftnijm qmh la piuainqb -tynt-fij i u/pvd mm naqllnpulj buaqtyu njuïfJujn/nqmbuijartï iflqjtm Bdîjqp ÜU '„5 piufwwfímlny-) ißlfÜnnmtJßbnjii'J' Jniffnmn lïnnHn.tri m nffnVnn^r:

n>p~ii.ij 4f iiif,ùh,l(UmJ (ршл/Jrj btluûifJij nmt¿¡тгшфгнщинп гщ piuji -J ц'птгцаипш üntiüu) Udqnjnj ¿ mymd nmy ij7qri}uiji rrihqm buphd m mu <¿;

ulp m i'-ßj ; ud i/nrnnji юти if dqnqw/'-¿¡ i upbrnJ cfdqnrrip nrnl/rndi/ ûri/ndi\ ddqnnj ulsjiuTjuirny ifdqnjid Imymd nmy iflqnjuifrrrib -qui aq pwjïïjd mini/-¡J -Jqulinuhuad ]fm lu J и ijdqnßij I rnynd amy iJlndui qmjilri r/rnri t\q p > up и d nrn nji i urn и Jiudqnjjmnjrihq nrnpf\ 'dqi\ -Imqbif ijnrnpdu}¡}¡dq luljdq rijrid 4jlq)im ?u i/r/iu q,-V ddq 'nwÜ -Inqh nj'rn t/rçu ijbqin dÜnrnpmbnrny n/npn üu pn/J/Glußrrifny}

vdpmi'çj

-lunbo i/dqnjimürynpbrrrJ rpnfipbrnrj ôijdqdJmui i/fi Irnyrr/d nrny y V d¡¡ ¿rnyrnd rt^my qmB rnijbmâ БijdqnmL¡6}¡nju<¡¡ nijí'mjifj du-lt\ij hrßrnd -aTjutmln j ijlqdmt/ UdqrirniJùljrijijfi du!un Ъигапр ¿qp l¡ft Irnyndrt/ny Irníjtm piuÜJnqb В pud и 'idq^mpfmh r\p piujidifnrnnpwmи dmрту i/dqrijiif Imymdn/ny Impudäfyruuß Lffnifm bíyj 'tjjilrnymdnrny y dnjníji -nii-dujirrf^dqjt /\qduJ>L¡mmpijíidudlrim pmjidurnupm du^ry/ np pwrynJf -uirrib ddqrtuqfídrn Sr\udu 'Bl¡dqnmtfßhrijиф cJm/TnnJ'm r/p qrnGrnlßimß ( pwdqan]iufh bdudûq r¡ bdud}¡dq nrn ¡'я i unun/mnpmm aq pwjidi/nrnr{ -pjunw unudu) ddqiijnj Irnyrndnmy fjiqaju^imbqui tu hußjdmuiij^j

•.dqnjtd Zniyrr/dnjny iJJynJuifirnüqLn ?u t¡ dlqnjuifirnbqm iflnijin qm]i np pwltdifttmnjuurn¡ц ■dqpfii/ Imymdnmy ddqn/nL¡á7¡niu<l' qm]mjr>pymn mdfi rJdqnml/mJnpu/j np piujunubmmq

JÍ Vu uï 77 ИГ di Vf