Алгебры новых обобщенных функций и дифференциальные уравнения в них тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГб од

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

1 !\ 1ШИ шз

На правая.рукописи

НТО ФУ ТХАНЬ

АЛГЕБРЫ НОВЫХ ОБОЕЩИШХ йГАЩИЙ И дафФЕРЕНЦШЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В НИХ ( 01.01.02 - д^ферегщ.иалшцо уравнения )

АВТОРЖЕРАТ диссертации на соискание ученной степени кандидата физико-математических наук

.НаучпиИ руководитель Доктор физико-математических наук профессор Я.В.РАДОНО

Минск 1993

Работа выполнена на кафедре функционального анализа Белорусского государственного университета..

Научный руководитель ! доктор физико-математических неук,

профессор Я.В.РДЦЫНО.

Официальные оппоненты : - академик АН Беларуси И.В.Гайшун,

- кандидат физико-математических наук доцент Ю.Ы.Вувуникян

Ведущая организация : Институт прикладных проедем механики и математики АН Украины ( г.Львов ).

Защита состоит " " М*^ 1993 г. в 10 часов на заседании Специализированного Совета К.056.03.Ю в Белорусском государственном университете по адресу г 220050, Беларусь, Минск, пр. Ф.Скоривы, 4, гл.корпус , ауд. 206.

С диссертацией мойго познакомиться в библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан " " МлЗ 1993 г.

Ученный- секретарь специализированного еоветв Доцеят

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ Актуальность томи. Многие физические приложения теории обобщенных функций приводят к необходимости придать сшсл произведению двух обобщенных функций. Важность задачи введения ассоциативного умножения постоянно стимулирует появление новых работ многих математиков, как В.К.Иванов , А.В.Ким , В.В.Перминов , Хр.Я.Христов и В.П.Дамядов , Г.Еремерман и Л.Дюран, М.Жевре, Г.Глаезер, Б.Фишер , Ли Вант Хе, Я.Минусинский, Е.Е.Розингер , Т.Д.Тодоров , и др.

В 80-х годах в работах Ж.Ф.Коломбо и ряда его последователей развивается новая теория обобщенных функций, в которой определено ассоциативное умноалнсэ. Затеи Ю.В.Егоров построил более простую по сравнению о Коломбо г о орда обобщенных функций и дал ее применения к нелинейным дифференциальным уравнениям о частными производными. Подход втих авторов основан на введении вместо пространства распределений алгебр новых объектов, которые, обладая основными'свойствами распределений, допускают корректную операции умнойения. На основе анализа ряда конструкций, в первую очередь Коломбо и*1 Егорова, А.В.Антонович и Я.В.Радыно предложили общий метод, позволяющий строить, кроме упомянутых выше, новые алгебры "обобщенных функций" .

Данная диссертационная работа посвящена построению новых обобщенных функций и исследованию дифференциальных уравнений в них. Цель работы. В данной диссертационной работе на основе метода

Антоновича - Радыно отроятся новые алгебры обобщенных функций/

■ -1»

и , содержание в себе распределения Шпарца. Они.

достаточно просты для обращения. В них отроится обобщенный анализ • и решдопнразные дифференциальше уравнения.

-3 _

'айТ'ОДЫ Д'ЗОД5дОВЭ15аЯ. В pâuOTG Щ23йё31ЛЮ~0Л М81СДЫ î'SûpUK

обобщенных функций и теории дафферендаалышх уравнений.

Научная новизна. В даосэртавдя получены следующие основные результаты

1. Построены Hoçîie алгебры обобщенных функций 9(£'(iRn) ) и l/(i'(Rn)), являющиеся расширением пространств распределении Шварца.

2. Построен обобщонвна ешшз в ' этих алгебрах. Доказана обобщенная теорема Цоредя.

3- Изучена лйнэ&еыо дифференциальные уравнения с постоянными коейэдиентвш в алгебре £(i?(R) ).

А. Исследованы задачи Кош в" алгебрах t?(£(Rn)).

Ъ. Изучено уравнение su = î в Доказана теорема о

существовании решения.

Практическая ценность■ Работа носит теоретический характер. Однако , èe результата могут найти применение в прикладных задачах щ& моделировании физтеогш систем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинара по функциональному анализу и дифференциальным уравнениям ( ' руководители профессора А.Б.Антоневич, П.П.Забрейко, Н.А.ЛукаЩбЕйЧ, Я.В.Радыно, Н.И.Юрчук ), семинаре по обобщенным функциям ( руководитель проф. А.Б.Антоневич, проф. Я.В.Родыно ) в Еелгооушшерситбте , и на конференциях в Киеве (май .сентябрь 1992) Гродно ( сентябрь-октябрь 1992 ).

Публикации. Основные результаты даоертации опубликованы в работах [1-6].

' Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего Э9 наименований. Обпдай объем работы ЮС стр.

краткое содержание работы Первая глава посвящена построению алгебр !?(е(Нп)) п &(£'(£<")) » которые являются основным предметом нашего исследования. Параграф 1 носит вспомогательный характер. Здоаь кратко напоьгапаотся основные определения и вазише моменты теорий обобщенных функций Глдсизо и Егорова. Изложен общий метод построения пошх алгебр обобщении функций, предложенный Антснепичем и Радшо. В параграфа 2 дается общая конструкция алгебр &(е(Кл)) и ¡?(У(КП)). Определение алгэбр и ЩаЧК")).

Вводам следующие обозначения

(Т. ) : Г е , V « й (0,Ю , з и е И| з 1 > О,

к к

1 •

Н(®(К")) = { (!,,) : 1 е <?(КП) , V « = (в.К) , V т с И, 3 й > О,

р (1 ) & йк19, V к 4 И

с* к J

I к

р (i,) £ ант", v 1с е н

в К

$?(£№")) = С„(5(КП)) / ЩвОР))

Г»

5 йкв, V к б и |

) » (1) ! 1, б , V а = (в,11) , з И е И, э 4 > О,

Н ^ к К

Жт")) = | (Гк) : Гк е У(И?П) , V « = (е,К) , V и « Й, э й > О,

ч (Г, ) Й (ИГ™, V 1С с И 1

а к ^

\

где р (1) = вир №"Г(х)1 , а. ЛГ) = вир I х'О'Кх) I

",к X 6 К ' |а|23

Множество 0и(®(Кп)) ( ) является алгеброй с

л Н

операцией покоординатного умношшя. А ) (соотв. И(У(КП)))

является идеалом в С11(е(Кп)) ( ) ).

Н Л

Элементы фактор-алгебр и будем называть

новыми обобщенными функциями.

Во второй главе излагается обобщенный анализ в этих новых алгебрах. Показано, что в е(е(1Яп)') и Р(У(КП)) можно перенести все основные понятия из классического анализа. В параграфах 3 и 4 вводятся понятия обобщенных чисел, значения обобщенной функции в точке, носителя обобщенной функции, интеграла по компактному множеству, преобразования Фурье, свертки и т.п. Определение алгебры новых обобщенных чисел. Обобзначиы через

в„(с) в | (2Ь>, гке с ! з тем. з а>|0, я акт, ук |

N(0 » { (О, е. в С ! V теИ, з <Ь0, 12,1 £ <1к~", Ук )

у к к к J

Множество СН(С) является алгеброй с операцией покоординатного

умножения, а И(С) - идеалом в

Положим с* = С„(С) / И(С) .Элементы алгебры С* будем называть н

обобщенными числами.

, Значение обобщенной.функции в точке.

Пусть теперь (Гк) е ан(€(Кп)) ( соотв. К(С(К")) ) и х0е К". -4.

Нетрудно видеть, что последовательность (?к(яо)) принадлежит 0)((С) ( соотв. ЖС) ). Поэтому можем определить значение обобщенной

функции в точке хо с К" как обобщенное число о представителем

(Гк(х0)) , где (Гк)- любой представитель Г . Носитель обобщенных функций.

Аналогичным образом можем строить алгебру 5(5(0)) , где

0 - открытое множество вЕ" .

Пусть 0 , С!" - открытые множества в К" , й с й', и пусть

1 е 9(5(0')) . Тогда определил отображение сужения из 9(5(0')) в 9(5(0)) следующим образом

1П : 9(5(0')) -> 9(5(0))

+ N(5(0'))-» (1ь1а) + Н(в(А))

Будем говорить, что обобщенная функция ? обращается в нуль на

0 , если со сужение Яй является нулевой функцией в 9(5(0)) .

Теорема 3.1. Пусть 01 , 1 с I, открытые множества в К" и 0) е 0 . Пусть Г с $(£(0)) обращается в нуль на каждом 05 . Тогда

1 обращается в нуль на и о .

1<£ I

Эта теорема позволяет нам ввести понятие носителя обобщенной функции.

Определение . Пусть 1 с 9(5(0)) . Дополнение к свмсму большому открытому множоству в 0 , на котором í обращается в нуль, будем называть со носителем. Обозначаем носитель 1 через вирр I.

-7-

Интеграл обобщенной функция по ко?ягакту. Пусть Г с ) , К - компактное множество в К". Пусть

(1 ) - представитель í . Обобщенное число I с представителем

( |гк(х)й2 ) будем называть интегралом обойденной функции I по к

компактному шонзству К , и будем обозначать I = (х)йх .

К

Влоиение 2>'(К") в д(&(1Н")).

Пусть а(х) с 2>(е") , и (х) а о , и(х) = о при 121 & 1, и

|и(х)йх = 1 . Такие функции и будем называть ядрами усреднения.

Через обозначим кпи(кх).

Определяем вложения е(К") и 2)" (К") в алгебру )

следующим образом

^ : «<«?") э 1 —у <гь) + ы(Шп)) с еши")) , где .1, в I, у к 4 й ,

л *

^ I »•(&") э и--» (и * ик) + Щ£(кп)) 6 &(ШП)) .

Теорема 3.4. Для любого и € »'(К") последовательность

(и * вк) принадлежа Он(е(Пп)).

Операщш дифференцирование, умножение, преобразопатае Фурье свертка.

Поскольку дифференцирование является непрерывным линейкын одераторш, а ■ ушокеше является непрерывным билииейт.'

-8-

отображением d î(R°) , то они покоординатно поднимаются до операций в !?(£(Rn)). Л п У((КП) крене ш действуй? п пресбразовятгле Фурье и свертка , поэтому в алгобру S7(y(Rn ) ) поднимаются преобразование Фурье и свертка.В эти опершим обладают многкш хоропими и

очень удобными Для приложения' свойствами. Такие овейива сохраняются и в

Как в §3, можем определить значение обобщенной функции из !?(У(КП) ) в точке, понятия сукения, носителя, интеграла по компактному множеству и дакэ по всему пространству ( поскольку вое функции из У(К") интегрируемы ).

В дальнейшем для простоты нзлоаения да рассмотрим случай п = 1

Вложение У(й") и У'(ЙП) в g(y(R")).

Пусть

А е Э(К) :0 1, - 0 при |s|a2, р(х) ~ 1 при |х|а 1 j.

Для любой функции ф из А обозначим

Фь(х) = ip(x/k) ; ak(x) = pk(s) = kp(la) ,

( здесь и в дальнейшем под л и v будем понимать прямое л обратное'преобразование Фурье соответственно ).

Определим влояение i'(Rn) и S"(Rn) в алгебру ff($>(Rn)) следующим образом

3 : У(Ю э I--» (fj -I N(<»(R)) е t?WR)) ,

где f я i, v к с N ;

J9 : э u---> <I>jHVl) * UJ 4 N(y(IR)) e ) ,

где ç с A .

Справедливы слел7теио Teopot-ш

Теорема 4.1. Для любой функции X из справедливо включение

( 1 - 25-(Рк1). * вь ) Я(У(К)) , V г с А. Теорема 4.2. Пусть и е У(К) . Тогда

( ЯГ (?ьи) * "к* е СМ<У(К))-Параграф 5 посвящен обобщенной теореме Еореля, являющейся обобщением известной классической теоремы Вореля. Установлено, что для любой заданной последовательности обобщенных чисел {о"*)

п

существует обобщенная функция 1 из ) (или )) такая, что

Г(п>(0) = п!о" , V п = 0, 1, 2....

п

Третья глава посвящена решению дифференциальных уравнений в алгебрах £(£(КП)) и £7(У(К")). В параграфе 6 изучаются, линейные дифференциальные уравнения с постоянными ковффициентами в ).

Рассмотрим уравнение Р(1))и = X , (1)

где Р(И)и = апи<п) +.а и'""1' +...+ а^' + а0'

,и

а. с с , а * О ; и , Г € е(3(К)).

I п

Установлено необходимое и достаточное условие существования и единственности сильного решения

Теорема 6.1. Уравнение (1) разрешимо тогда и только тогда, когда существует такой представитель (Гк) функции 1 , что

Л г п.

Г (х) = П Сх-Ъ^ 1 .0 (х) , (в ) е См(2)

1м1

где •Ь( вещественные корни многочлена Р(1х) кратностей п1 соответственно. Более того, в втом случае уравнение (1) имеет

единственное решение с представителем (ик), где ик - ( вк/а

Теоремы 6.2 -6.4 посвящены слабим решениям в 8(У(К)). Показано, что все классические решения являются слабыми решениями, но кроме них имеются и такие слабые решения. которые не являются распределениями.

Параграф 7 посвящен задачам Коши. В теореме 7.1 приведено достаточное условие существования и единственности решения следующей задачи Коши

и* = пи , 11(0) = 2 ,

где и, а - обобщенные функции из 9(£(К)) , а е С*- заданное обобщенное число.

Теорема 7.1. Пусть существует такой представитель (ак) функции

л

а такой, что V й е N. э 1 > О зир | Г а. й? I ® й-1п]1.

1«1*ъ I

Тогда рассматриваемая задача Кош имеет единственное решение в алгебро 9(5(1?)).

Лольшз риромптртаеотся следующая задача Коши для линейного в алгебре £

[ эа . 1

волнового уравнения в алгебре 9(£(к4))

I сП2 j

"К-о = и° ' И ^ и1 • Доказана теергмм 7.3 о существовании "и единственности решения отой задачи Коим при любых заданных 1 с №(£(£■<*)). и0, и5 с 9(5(К3)) .

й ¡и ^ 1 .

-И-

' В параграфе 8 изучается уравнение эц - 1 в алгебре е(£(Ка)).

Установлено, что это уравнение всегда имеет решение ( теорема 8.1).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору фааико-цатеывтйчебких наук,, профессору Я.В.Радыно за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

СПИСОК РАБОТ, ^ПУВДЩааАШШ: по 5ШШ ДИССЕРТАЦИИ

1. Нго фу .Тяань, Сабра Рамадан. Преобразование Фурье в алгебре новых обобщенных' , фушсций // Тезису докладов конференции

"Моделирование и иослодование устойчивости процессов11, ( 26-20 мая 1992 г,, Киев Часть 2, о.1?.

2. Нго фу Тхань.; Дийеренциалыше уравнения в алгебре новых обобщенных: функций // резней докладов конференции, посвященной памяти академика Кравчука М.Ф. Киев - Луцк, 1992 г.

3. Нго Фу Тхаиь, Сабра Рамадан. Слабые решения дафферанциальнш уравнений в алгебре нйвиу обобщешзцх функций // Тозиси докладов конференции математиков Беларуси ( 29/9 - 2/ю 1992 г., Гродно). Часть 2, С»112» 'V"-,' ; ' . , '

4. Радано Я .В., Нго Фу Тганъ, Сабра ,Рамадан. Преобразование Фурье в алгебрах новых обобщенных фу|шциа // Докл. РАН, 1992, Т.327, N1, 0,20-24.

5. Радшо . я.В., Нго Фу Тжань. Дифференциальные уравнения в алгеОро новых обобщенных функций // Докл. АН Беларуси, 199; ( в печати ).

6. Нго Фу Ткань. Задача Ксивд в алгебрах новых обобщенных функций // Весц1 АН Беларуси, 1993 ( в печати ).

Подписано к печати " 2РСЬ. 1993 г. формат 60*84/16. ' Объем I п.л. Тираа 100 вка. Заказ N , Веоплатно. Отпечатано наротрпрнцте БГУ: Мдаск, ул. Бобруйская, 7.