Аналитическая теория оптимизации траекторий точки в гравитационных полях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАКГГВЭ'НУЯ УНИВЕРСИТЕТ имена М.В. ЛС?!№ОСОВЛ

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах д?коп;:си

КОНПУНСВА Наталья Александровна

•АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ШТИЛЕ А ЩИ ТРАЕКТОРИЯ ТОЧКИ В ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЯХ

0I.02.DI - Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических каух

Москва - 1992

FaooTa вшюлнена в Ташкентском государственном университете.

Научный консультант - доктор физико-математических наук, профессор А.Г. Азизов

Офвдиальние оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор В.Г. Демин ;

доктор технических наук, профессор В.Ф. Кротов;

доктор физико-математических наук, профессор B.C. Новоселов;

Ведущая организация - Московский авиадионно-технологический институт км. К.Э. Циолковского.

Задита состоится " г. в 16.00 часов

на заседании специализированногосов§га Д 053.05.01 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: ШБ99, Москва, Ленинские горы. Главное здание МГУ, сектор "А", ауд. I&-I0.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки механико-математического факультета ШУ

Автореферат разослан

.1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета, г ф.-м.н.

Д.В. Трещев

itiV. Л ..ЪШЯ ^-l^iii

0ШАЯ ХАРАКТЕР,СТИКА РАБОТО

Настоящая диссертация пос вялена проблема определения оптимальных траекторий центра касс косьмческих аппаратов в гравитационных полях аналитическим методами. Основное вггп-мание уделяется исследовали» задали в центрольпш льютонов-оком поле.

Актуальность проблемы. ттшизацяя две лил центра масо космического аппарата является одяо^ кз ослопаха заглч динамика полёта. Её исследованию посвтаено большое чз'сло работ, достаточно ладный обзор которых ыозшо найти в ряде известных монографий. Вопрос шли аналитического интегрирования дифференциальных уравнепкй, ошюыващих оптимальное движение точки в гравитационных полях, в частности в центральном ньютоновском поле, занимались ююгив учение: Д.Ф.Лоуден, а.к.Егоров, Д.Евевскн, Дх.Дейтмаан, А.И.Лурье, А.Ыиеле, Г.Мойер, B.C.Новоселов, С.Пайнс, Б.Тэпли, Т.Эдель-баум и другие. Ряд работ посвдаен определение перзых интегралов даффереицналькьос уравнений вариационной задачи, привлечению к исследованию этшс уравнений методов алалитическсЗ механики. Однако, задача определения управлений (величины и направления тятя) и оптимальных траекторий точки остается до сих пор неразрешенной проблемой не только для центрального ньютоновского поля. Трудности определения аналитических решений для активных учаотков привели к создаю® тэягулъсной теории, к разработке методов построения приближенных решений, к численному интегрировании на ЗЕЧ. ■

Так как определение точных оптимальшлс траекторий коо-ничеоких аппаратов представляет особый интерес, то является актуальным ооздание единой аналитической теории оптимизации траекторий точки в Гравитационных полях, включахцей такие вопросы как определение полной системы первых интегралов уравнений вариационной задачи, пояихеше порядка сштеглы этих уравнегшй, отыскание её частных иктвгралсз и потных реэтний, исследование аналитических и геометрических аспектов природы интегрируемости, выяснения качественных свойств

движения к ряд других вопросов, вгшшх ¡сак с точка зрения обцеЛ теор;:;;, гак к с течки зрея; и юс практического применения. Построение такой теории позволяю бы решить проблему' опг;г.!Изацш1 траекторий кос/ачесиос алтаратоз в центральном ньютоновском и других полях.

Тьма диссертация входит в основной план гаучно-нссле-довлтельскгс работ хзфздри оозей ьгсхапики фа^льтета прикладной математика к механики Ташкентского государственного университета. Тема ИКР ка-.?оари омеханики: "Вопросы управления, эптгелзацк;: к интегрирования уравнений в механике" , номер гсорегистрацпи 0184)082536.

1:41! ь работа, Сведение проблемы определения етгекгаль-ккх траекторий центра ыасс коелкчеехкх аппаратов в грави-таиронкои вале, явдявдуяся задачей олкгшьного управления, к проблеме интегрирования замкнутых гампльтоновых систем. Применение к исследовании и резенив проблеьш Лувдамекталь-ньэс результатов, падучеи-ых в области интегрирования уравнений классических задач теоретической механики.

Применение подученных результатов для отыскания новых оптимальных траектория полёта в гравитационных полях.

Научная новизна. В диссертации сделан далькейпй шаг в становлении метода -траекторий, позволявшего построить рациональную- теории исследования проблем механика оп-тгаального полёта. Предлагаемый подход к проблеме определения оптимальных траекгорй центр масс хомтеэских аппаратов в гравитационных полях позволит применить к её решению фундаментальные результат::, полученные в области интегрирования уравнений классических задач теоретической механики.

В диссертации получена следувдие результаты, р.нноси-гае на защиту.

- показано, что вопрос определения управлений и оптимальных траекторий точки сводится к проблеме интегрирования замкнутых г&мйльтоновых систем четырздгртого порядка по участка'.', нулевой, промежуточной и максимальной тяг. Это даёт л ллежнооть широко попользовать при решения вариационных задач аппарат аналитической механики, развитый для гашиьтоновнх систем.

- Прсшедён анализ первых интегралов уравнения вариационной задачи с точки з ре пил их использования для понижения порядка системы.

- Установлено, что осксвиими "ру^.цтиалькда.и трудностями решения проблегт определения -лалитэте? -га реиениЯ задача об оптимальном движении точки з цент^:лхм;х полях являются отыскание сапогс- интеграла для участков прег/ьху-точной тяги и четырёх для участков махсимальноД тях•'/..

- Предложен новий метод определения поведения базиз-вектора на участках нулевой тяги.

- Доказана возможность применения при отыскании тест-ннх ретениЭ ряда задач оптжкзя^гл траекторий ¡¿етодоп Леви-Чивига и Лемпн-филе.

- Методами Леви-Чивита и Леиан-Еиле найдеи ряд новых чаотннх решений задачи о минимизации харакгеристическоД скорости на учаоткэх промежуточной тягл в пэнтраяьном ньютоновском поле. Определены аналитические вирехения всех величин, опискващих: траектории, величину и направление тяги. '

- Показано, что найденные учзстю: промежуточной тятя могут быть практически использованы для построения конкретных перелётов, например, в задачах об оптимальном повороте плоскости и оси эллиптической орбиты.

- Дано решение задачи с повороте плоскости эллиптической орбиты с минимизацией хврякгеристическоЗ скорости, испсяъзувдее промежуточную траектории с промежуточной тягой. Показано, что этот поворот при помад и участка промежуточной тяги может оказаться энергетически более выгодным, чел*. импульсные повороты.

- Дано новое ретенне задачи о повороте линии апсид эллиптической орбиты в её плоскости с минимизацией харак-териотичеокой скорости,' исподьзущее промежуточную траекторию с промежуточной тягой. Показано, что при небольших эксцентрицитетах характеристическая скорость, необходимая для этого участка промежуточной тяги, мотет не превшать величины импульоа скорости.

- Методом Леви-Чивита найден глас о частных решений задачи о минимизации характеристической скорости на

участках промежуточно:! тяги для предельного варианта задачи двух неладвдашх центров.

- Пачучекы новые частные шггеграта для учзотков мак-стаачьиой тети а центральном ньютоновском поле, позволяющие свести вариационную задачу к квадратурам.

- Получено частное репение на участках максимальной тяхк, которое ког.ет найти практическое применение, например, в задачах типа разгона.

- Дано ¡-:овое решение задачи ухсда с эллиптической орбиты, гопат1 зуицее найденный участок максимальной гягк.

- Сведена к квадратурам вариационная задача ка участках «атональной тяти в цзнтральном линейном поле в случае, когда годографом базис-вектора является эллипс.

- Показано, что решением ряда вариационных задач в случае, когда двкхеккс происходят в гонком сферическом слое центрального кыэтонозского поля с тягой, близкой к траксверсатькоЯ, будет с достаточно!! степенью точности рв-ие1ше задачи, полученное для центрального линейного поля. Найлеив спибха оптимального значения функционала при аппроксимации центрального ньютоновского псдя центральным линейным.

- Показано, что при определенных начальных условиях

у част ко« максимальной тяги в центральном линейном поле ыо-гет быть дуга окружности. Это решение может найти применение и в центральном ньютоновском псяе при рассмотрении ряда прикладных задач. .

- даны к проанализировали новые резеяия вариационных задач о мягкой встрече на круговой орбите и об уходе с неё в центральном ншгоновском поле, исполъзуздие найденное решение для участков максимальной тяги.

Практическая ценность. Путём сведения вариационной задачи к проблеме интегрирования замкнутых гамильтоновых с кот ем по участка:/ нулевой, промежуточной и максимальной тяг можно единым методсы исследовать проблему определения аналитических решений задачи об оптимальном движении кос-мичее ->го аппарата в гравитационном поле, привлекая для этого аппарзт аналитической механики, развитый для -гамильтоновых оиотем.

Полученные в работе результаты позволяй значительно раоширить круг задач, для исследования которое оказываются оффект газ ними методы аналитической механики. эти результаты можно квалифицировать как новое перспективное направление в теоретической механике, ук&зиваьи-е пучь р>" пс-ния многих звдач оптимизации траекторий точки » гранить ,.юнних полях.

Кроме того, полученные результаты могут с.ить практически использованы для построения конкретных пер^тоз в небесной баллистике.

Анпробация работы, Результаты исследований, составляющих данную работу, докладывались на У и УТ Всесоюзных съездах по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата, 1981; Ташкент, 1986), на 14 и 15 Гагарянских научных чтениях по космонавтике и авиации (Москва, 1934, 198 5), на республиканской научной конференции "Моделирование сложных механи-чеокях енот ем" (Ташкент, I9SI), на П Четаезской конференции "Аналитическая механик-, устойчивость и управление движением" (Казань, I9S2">. па научных семинарах кафедр» теоре-мзхонкки КГУ таени М.З.Ломоносова: на оемкпаро по классической динамике (рук. проф.. З.Г.Дёмин, д.ф.-м.н. Я.В.Татарянов, доц. И.К.Носенко - 1982, 1991), на семинаре но механике космического попета (рук. проф. В.А.Егорез, проф. В.В.Белецкий, доц. К.Г.Григорьев - I9P8, 1991); на семинаре в ВЦ АН СССР (рук. проф. В.В.Румянцев - 1991); на ежегодных отчетных научных конференциях профессорско-препо-дезательского состава Таа!ГУ; на научном семинаре кафедри общей механики ТшД^У (рук. проф. а.Г.Азизов - 1983, 1937, 1990,.1991). -

Публикации. Диссертация представляет собой развернутое нзлозение методов и результатов, опубликованных в рзботох автора (I - 18).

• Объём. Диссертационная работа содержит 248 отраниц машинописного текста, 50 рисунков.

■ ССДЕШНИЕ ДИССЕРТАЦИИ И ЕЁ 0СК0ВНКЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Дисоертацня ооотоит >з введения, пяти глав, разута па двадцать девять параграфов, заключения и описка лиге. -

j-

тури.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается краткая характеристика полученных к настоящему времени результатов исследования в области интегрирования диМ^р-'и^алыгих уравнений задачи об оптимальном движении точки в гравитационных полях, а такте краткое описание по-лучешкх в диссертации результатов.

В пер) о Г: главе исследуется проблема интегрирования диф|орекц;<алъшх уравнений оптимального движения точки в централы их педях.

Вариационная задача ставится в виде задачи Майера для точки с ограниченным секундным расхода,! массы Г)Ь , а именно: среди ^сочно непрерывных управлений т и 3* (единичный вектор направления тяги) и непрерывных функций ¿Т7 , ЗГ" . ^¿1 (скорость, радиус-вектор, масса точки), удовлетворяйте дифференциальным уравнениям

и ограничении

О -- т ' /п (= ео^и X

найти такие, которие переводили бы точку из начального по-лоаеш'л У~-= , £*== ) в некоторое

конечное, минимизируя при этом заданный функционал (функ-щаа конечного состояния). Величина относительной скорости истечения С- считается постоянной, - гравитацион-

ное ускорение.

В §1 приводятся необходимые условия оптимальности, выраженные через функцию переключения и базис-вектор множитель, сопряженный скорости .

В §2 показано, что дифференциальные уравнения вариационной задачи сводятся к замкнутым каноническим уравнениям на «чадом га участков оптимальной траектории с соответ-ствуиц.чЛ гамильтонианом, получаемым из функции

Г(ж я +Т> ^т

при 171=0 для участков нулевой яги, при С*■< /71 < пг для участков промежуточной тяги и при /71 = /-3 для участков максимальной тяги. Здесь X* . Х~ъ , у?// - июпг.ели, сопряженные скорости, радиусу-вектору я массе соответственно.

Следовательно, вопрос определения управлений и оптимальных траекторий сводится к проблеме интегрирования по учаоткам замкнутых гамнльтоновнх систем четырнадцатого порядка. Это даёт возможность использовать при ревении вариационной задгчи аппарат аналитической механики, реэв'.ггый для гамилътоновых оистем.

В §4 находятся некоторые первые интегралы введенных гамильтоновых систем. В диссертации показано, что на всех участках оптимальной траектории имеют место четыре иитег-рала: интеграл, соответствующий сохранению гамильтониана (I) и илещй место для любых стационарных полей, и векторный интеграл I аналогичный интегралу плсцадей), имгкшй место для центрачькых палей. Составляющие, векторного интеграла линейны относительно множителей и любой из них могло сделать циклическим интегралом. Кроме того, на участках промежуточной тяги имеет место ещё трл интеграла: два из них не зазисят от вида паи (интеграл, содержащий массу и интеграл, внражаыцкй постоянство величины базис-векторе), а третий интеграл, содермчцяй характеристическую скорость, к.квг место для центральных полей. Для учаогков максимальной тяги, креме указанных четырёх, известен ещё только гдщг интеграл, олеяущий из поотоянсгва секундного расхода.массы и не зависящий от вида паяя.

Таким обрезом, для участков промежуточной тятя гавест-■ но семь независимых- первых интегралов, а для участков максимальной тяти система четырнадцатого порядка имеет только пять извеотных интегралов.

В §6 дан ответ на вопрос о минимальном количеств ин-

тегралоз, псобхецшгм для саздегая дийеренииглышх урав-ис-п;:.1, оклеивших кзрпацпоннун задачу, к квадратурам кз уч,:-сг;-х.л прсме^тэчиоЛ ¡: ка;;о;?.:альноЛ тяг. Показано, что прни'дг.падькал трудность реаеакя прострьиственкой задачи нй участках промежуточной тяги в квадратурах заключается в отыс;.'!:!:::: тать ко одного интеграла. Для ¡шоского случая арсдахугочиог тягг. я-.'¡.-¿м десять уравнений с пять® известным;: интегралами, позвают»:/.;: свести задачу к квадратурам.

Мшяяэ интегралов д.тл участкоз максимальноЛ тятя показал (>'5), что в случае центральных полей прганзшдальнад годность сведения зад.!";;! к кяадрагуреш в преет рзнственном случае заключается в огнеканки четырех интегралов н-и двух, находящихся в илзатацзз;, а в плоском случае - в отыскании трех интегралов.

Вторая глава г.оовадена возможности использования не-котегкх методов аналитической механики для определения и анализа оптимального движения точки.

Б §7 рассматривается приложение канонических преобразований и связанной о ними теории Гамильтою-Якоби к дифференциальным урзвнеш^зд, оплсывапцнм вариационную задачу. Приедятся формулы преобразования множителей из одной системы координат в другую.

В §8 едким методом при пемсгци теоремы Нет ер получены все известные интегралы дифференциальных уравнений, описы-вахщих вариационную задачу, зта теорема позвол;ла установить причины, по которым тот или ино?. интеграл имеет место на опред&леш'.оы участке оптимальной траектории, и привела к тому. что к известным интегралам для участков нулевой тяги добавлен еяё один.

Сведение уравнений вариационной задачи к квадратурам на участках нулевой тяги в центральном ньютоновском поле было впервые проведено Д.Ф.Лоуденом на основе предложенного им метода. В диссертации (§10) предлагается новая методика, основанная на свойстве линейных относительно импульсов канонических систем. Она позволяет определить поведение ба-зис-в. .гора на участках нулевой тяги для любого поля тяготения, в котором задача пассивного движения интегрируема. •

В тех случаях, когда не удаётся подучить общего реае-ния, естественным образом встаёт вопрос об отыскании частных решений. К методам наховдения частных ранений гамиль-тоновых систем относится метод Леви-Чивита, псполъзущиД внание только некоторого числа интегралов ил:? инвариантных соотнесений, находящихся в инволюции, и метод Лемал-силе, иопользупций знание неполного интеграла уравнения Гьмнль-тона-Якоби. В диссертации найдены условия, при выполнении KOTOjax можно применить метод Леви-Чивита С Sil) и метод Леман-Филе (§12) для определения частных реиений вариационных задач. Доказаны соответствующие теоремы.

Третья глава поовящена участкам промежуточной тяги в случае центрального ньютоновского палл. Показано, что так как три га известных для участков промежуточной тяги интегралов находятся в инволюция, то предоставляется возможность применить метод Леви-Чивита отыскания частных решений.

В §14 при помощи метода Леви-Чивита нойдеы новый юга с о чаотных решений задачи о минимизации характеристической скорооти точки. Он соответствует круговым траекториям, летящим на сфере произвольного радиуса : t=2c> &= 60 Срио.1).

■ Рио. I

Величина и направление тяги определится формулами

2 «_о п

Точка движется по траектории с постоянной по величине .скоростью, меньсей местной круговой. Характеристическая скорость V , ;

:еобходимая для движения по дуге окрухности с центральным углом ^/3 , определяется формулой

Здесь Я( , Ях » -Яз, - с ос то злящие единичного вектора тяги в сферической системе X ; гравитационный

парометр.

В 515 для задачи о минимизации харакгеркотической скорости точки найден непалшй интеграл уравнения Гамильтопа-Якоби

содержаний три произвольные постоянные , , Хо, • Это позволило применить метод Леман-филе построения частных решений. Здесь 2у , , - составляющие скорости в сферической системе. В этом г.е параграфе методом леиан-Фияе найдено частное решение и показано, что оно может быть получено из реаения, найденного в §14 методом Леви-Чивита.

Участки промежуточной тяги с точки зрения общей теории принадлежат к особым. Не все найденные в диссертации частные решения удовлетворяют достаточному условии оптимальности особых участков. Однако, они могут плеть определенный пракгп -0кий интерес и найти применение при осуществлении различных маневров. В §§16, 19 показано, что в некоторых

случаях расход топлива при нспсш>зоваккп найденных участков промежуточной тяги не превышает, дли существенно меньше, расхода топлива при импульсных маневрах.

В §16 решается задача о повороте с минимальной характеристической скоростью плоскости „ллщгтичеснзй орбиты от-

0,3 V 1,3 2,5 2,/

Рис.2. Сплошная лшия - поворот о промежуточной тягой, штриховая линия - сднокшульсный поворот, штрихпункгирная линия - трёхимпульсннй поворот.

носительно линии узлов, расположенной под произвольным углом к линии апсид. Этот поворот обычно осуществляется при пом аз и самого импульса, приложенного г узле орбиты, или же при покаци п pot-; ежу точной орбиты, иопользущей три импульса. Здесь хе приведется решение задачи о повороте при помощи промежуточной траектории с промежуточной тягой, являидимся одни« из частных решений, найденных в §14 методом Леви-Чи-вита. Пр'.зодится сравнение значений характеристической скорости, необходимой для осуществления этого поворота при пома.;;: одкоиипульснаго, трёхимпульсного маневров и о использованием участка ппомекутотаой тяги Срис.2). Показывается, что в определенных пределах изменения угла поворота плоскости орбиты (при 30° для всех углов & и при ЬОВО ° для углов 30& -t? 50° ) маневр с ис-пользбьшшем промежуточной тяги энергетически совпадает о одкопмцульским маневром и даёт значительный выигрыш в расходе топлива по сравнению с трёхкмпульскым поворотом. следовательно, применение участков промежуточной тяги метет оказаться практически выгоднее, чем использование импульсных маневров, например, при отсутствии возможности создания импульсов.

В §18 показано, что дифференциальные уравнения, описн-вавдие задачу о минимизации характеристической скорости допускают ещё один класс частных реаений. Этим частным решениям соответствует движения точки с np0N".eicyT04}i0J радиальной тягой по окру^остям, плоскости которых проходят через центр тяготения. Величина скорости меньше или больше местной круговой скорости и зависит от закона изменения

массы

V-^fâ при

при Я/ —.

где Л] - радиальная составляющая <5азис-вегагора.

В §19 полученные траектории с промежуточной радиальной тягой применяются при решении задачи о повороте о минимальной характеристической скоростью лиши апсвд .эллиптической орбиты в её плоскости. Этот поворот обычно осуществляется в шпульоной постановке приложением одного шяульса в узле орбиты или, например, при помощи энергетически более выгодного двухжгульспого поворота. Приведены графики сравнения

Рис.2. Сплошная линия - ] тягой, штриховая линия -штрпхпункгирная линия - ■

поворот с промежуточной ■ однокмпульсный поворот, трёхишульсный поворот.

значений характеристической скорости, необходимой для осуществления поворота оси эллиптической орбиты при помощи .участка промекутсчной тяги

Мм,

/ -f+e

/ fi г ^

(./Сс«- - угол поворота, € - экоцентриоитет.орбиты , одного шпуль с а и при помощи-двух импульсов (рис.З). Графики . построены для эллипсов о эксцентриситетами: 0,05; 0,1; 0,2; 0,3;-..; 0,9. доказывается, что при малых углах поворота (до G0") и при небольших эксцентриситетах-характеристическая скорость, необходимая для участка промежуточной тяги, почти не отличается от величины нмпульоа скорости.

Таким. образом, найденные в данной главе участки проме-куточной тяги могут найти практическое применение при решении прикладных задач.

3 четвёртой главе рассматриваются участки промежуточной тяги.в нецентральном осесидметричном поле. То обстоятельство, что три из известных 'для участков промежуточной тяги интегралов находятся в инволюции, дало возможность поженить метод Деви-Чивита отыскания частных решений и найти новые траектории в задаче о минимизации характеристической скорости для центрального ньютоновского поля (§14).

ш этих интегралов не зависят от вида поля, а третьим интегралом является любая из составляющих векторного интеграла, идещего место для центральных полей. Б случае ке нецентрального, ко осеоимметричного, псяя имеет место только одна ть соотььлящхк векторного интеграла. Поэтшу для таких полей, существует одна окстема трёх интегрелов, находящихся з инволюции, что даёт возможность определения частных решений при помаци метода Деви-Чивита.

Б §21 рассматривается задача о шшимизаг&щ харакгери-стичеексй скоротси точки для предельного варианта задачи двух неподвияных центров. Бри помада метода Деви-Чивита ча..льтся класс частных решений, к от о дам соответствуют • круговые трвекюрии, лежащие в плоскостях, перпендикуляр- " них Л1гнии цеьтров,

Где = - постоянная тяготения,

- масса неподвижного центра, масса второго,неог-

раниченно удалянцегося, центра, - расстояние мевду центрами.

На рис.4 изображено геометрическое место точек пересечения этих окрунностей с плоскостью, проходящей через центр ' тяготения параллельно силовым линиям однородно^ю паля. ■

Рис. 4

Найдены выражения всех величин, сяшсыьащих траекторию, величину и направление тяги, построены графики изменения этих величин. Движение по каждой окружности происходит о постоянной для егой окружности скоростью

которая убывает при удалении от неподвижного центра в сто' рону второго центра, при этом редиус окружностей возрастает. Для кадей траектории вектор тяги образует определенный постоянный угол с радиусоа-вегсгором точки. С приближением к неподвижному центру вокгор тяги всё ближе приближается к радиусу-вектору точки

Характеристическая скорость и закон изменения массы определяются формулами .

Пятая глава посвящена некоторым методам определения частных решений дифференциальных уравнений, описызавдих рассматриваемую вариационную задачу на участках максимальной тяги в центральных полях. Интегрирование диф^еренциаль-ных уравнений вариационной задачи на участках максимальной тягл - наиболее важная, но и наиболее трудная часть проблемы. в связи о тем, что к настоящему времени проштегриро-ва их на этих участках, например, в центральном ньютоновском коле, не удаётся, приходится аппроксимировать участки максиАйльной тяги точками соединения, то есть за-

менять члког>*ялт.иуп тягу импульсной. Кшульсна/; теория до-паты:о хорогао развита. Но поскольку на пра:«шсе такал аппроксимация часто не отражает истинного маневра, то ссобоо значение приобретает заг/ена пг.тиулъоней тяги другиил при(5-л'.^ениями.

В §22 раоо.'ргриг.яется случай, когда уча отек максиг.'.алъ-гей тяги легжт г. п.7сс;гастп, проходящей, черэз цгптр тяготения. В ото;,: с.гг.т.з тег'жедеиавэ сгстема лиЬ^еррнкпзльннх уравнен;-;?! дег.,ч'Тсго порсска, опкоиваопая участки .г.акенглгаь-кой тяги, имеет три известных интзграла. При помощи двух янтетралсв эта оттека сведена к другой глшьтшовой системе шестого порядка с гамильтонианом

где Ц , ; , Я2 ; , 2 - - соотав-

лящие скорости , базис-вектора ^ , множителя Я% в полярной системе 7соответственно, - произвольная постоянная.

В §23 для нахождения частных интегралов системы о гамильтонианом (2 ) предложен метод, используемый в работах по интегрированию дифференциальных уравнений движения твердого тела и связанный с некоторыми вопросами интегрирования систем однородных линейных уравнений с частными • производными первого порядка. Этот метод основан на анализе интегралов, которые могли бы иметь место на участках . максимальной тяги, но до сих пор не найдены. В диссертации показано, что не существует общего интеграла для участков максимальной тяги, зависящего только от переменных ,

, X или только от переменных .Я/ > Л^ • Яу • Е0-™ первый интеграл для этих учаотков зависит от множителя 2/ , то он обязательно должен зависеть и от множителя 2 у • При помощи предлагаемого метода в §23 получены частные интегра-

лы для участков макс шальной тяги в случае ^центрального ньвтонойзкого поля. Один из них осответствует радиального движению, а другие два частных интеграла выражают условие коллинеарности вектора тяти и скорости

___г?

л ~ '

где Л- , ^ - произвольные постоянные.

Б §24 определены уоловия существования этих двух частных интегралов, соответствующие движении о максимальной касательной тягой. Они находятся в инволюции и позволяют получить решение уравнений вариационной задачи на-участках максимальной тяги ь квадратурах. Прозедя каноническое преобразование с-производящей функцией

с _____з_____уТ +

__^ _у.

( А , В - некоторые постоянные, А/5

мнохители, соответствующие новым переменным У , , пркводяцел систему д^фзрекцй&дашх уравнений к автококной и иирегр:здемо£, в этом хс параграфе получено частно« решение ня участках максимальной тяги, Траекториями оказались раекручкзамдиеся сплрадевидние кривы о

' " (и ' у Г

■ где 6 . 5 - произвольнее постоянные, - гравитационны!: па^екетр.

Б шчестзы приложения а тих траекторий с максимальной

касательной тягой в 525 рассмотрена задача типа разгона: обеспечение максимальной кинетической энергии точки при заданном восходе массы ¿71 — Д/а. При выполнении определенных начальных условий, которые обеспечиваются в некоторых точках кемеровской эллиптической траектории (в точках пересечения эллиптической траектории с перпендикуляром, проведенным через центр притяязния к бсяьаой оси эллипса), и при регулировании величины и направления тяги в соответствии с полученными законами, точка будет двигаться по найденной спиралевидной кривой с максимальной тягой. Получено условие на отношение начальной массы к конечной и на эко-центриситет эллипса, обеспечивакщее разгон до скорости, ке меньшей параболической,

Показано, что с увеличением эксцентриситета начального эллипса е уменьшается отноаекие масс, увеличивается конечная скорость, уменьшаете.? радиальная и угловая дальности, время движения (р - параметр начального эллипса).

При решении ряда вариационных задач в случае центрального ньютоновского паля можно найти практически ватные аналитические решения, если воспользоваться методом аппроксимации ньютоновского поля центральным линейным.

Йэвеотно, чт в случае центрального линейного поля . ( -¡2 /с = СС/г$£) уравнение для базис-вектора интегрируется. Исследовании оптимального движеньл точки в таком поле посвящен ряд работ, в которих найдены приближенные решения, полученные путём дополнительных упрощений. Так как в центральном линейном поле имеют место шесть дополнительных первых интегралов, то согласно результатам, полученным в §6, уравнения вариационной задачи на учас ках максимальной тяги должны свестись к квадратурам. Это сведение к квадратурам проведено в §26, где найдены соотнесения, определяющие полное решение вариационной задачи на учаотках максимальной тяги в центральном линейном поле з

случае, когда годографом базис-вектора является эллипс

Т -•= Г-зт Ш + Xю -6,

£ > (£ -произвольные постоянные. Показано, что при определенных начальных уоловиях участком максимальной тяги полег быть дуга окружности произвольного радиуса.

Б случае, когда движение происходит в тонком сферическом слсе центрального ньютоновского лоля, толщина которого мала по сравнению с расстоянием до центра притяжения, гравитационное ускорение можно записать в виде

- к Г- к-е. ->- Ж

/ _ ¿¿г С У-

где /С ~ / &— / , ¿1- - средний радиус слоя.

Б §27 находятся условия, при ВЫГОЛНОНИИ которых ЕШ-мшро аапрорскмиразать центральное нымшсвское поле центральным линейшм полем и, следовательно, диЭДерекциальше ураявенкя вариационной задачи для цент ¿¡ильного шетонозско-го поля можно заменить дкйереньт^лъл»«! урсг.неняя;«! ото" задачи доя центрального линейного к«;я. Д«па оценка тйзданы слоя, для двккс-ния в котором в оз удач а токая аппроксимация, введена шибка онтшалъиого знач&иад функционала, зависящая от отклонения вектора тяги от троноВсроального направления.

Танш обрезом, для ряда вариационных задач, когда движение происходит в тонком сферическом слсе! центрального ньютоновского поля о тягой, близноЗ к трансъеряалъноЛ, . мохго вг-сполъзоватъся реяеккем, паяучв'ниыч в §26 для участков максимальной тяги в центральном линейном поле.

В следусщкх двух параграфах приводятся примере» испаяь-зсвакЕЛ одного из частных решений (дуга окружности)» полученного в §26 для центрального ньютоновского поля.'

Б §28 роаена задача о мягкой встрече о минимумом расход- '/.ассы двух точек на круговой орбите в рамках этого частного решения, накладываюцего ограничения на начальный

угол рассогласования и на угловую протяженность маневра. Показано, что траектория маневра встречи зключает в себя два участка максимальной тяги (КГ), разделенных ревероом тяги по треноверсалъной составляюцей базис-вектора (рис.5, 6). На рис.5 изображен график функции переключения 26. . Гсдсграфом базис-вектора являются две дуги эллипса (рис.6). Найден закон изменения направления вектора тяги

где - угол, который вектор тяги составляет со скоростью точки, у - угловая протяженность участка. Приведены формулы и графики зависимостей от начального угла рассогласования длительности участка максимальной тяги, его угловой протяженности, угла, который вектор тяги составляет со.скоростью точки, шибки оптимального значения функционала.

рис. 5 . рис. 6

В §29 в рамках того же частного решения реаена задача об уходе о круговой орбиты с минимальным расходом массы в центральном ньютоновском поле.. Приводятся формулы и графики для времени маневра, коэффициента увеличения скорости, закона изменения направления вектора тяги, шибки оптимального значения функционала, угловой протяженности активного участка в зависимости ог эксцентриситета гиперболы ухода.

Таково краткие содержание полученных в диссертации результатов. Сан доказывают, что применение метода р* -, траекторий к исследовании задач оптимизации траекторий в

гр&витацаешщх полях является оффзкпшным и перспективным • направлением.

Основные результаты опубликованы з следущих работах:

1. Пркмзысш.с метода Яевц-Чквита при анализе оптимальных траекгори.: // Космпч, исследования.- 1979.- Т.17. Вып.З. - 0.378-265 (с Авшовым А.Г.).

2. Об одно:« массе частных решений вариационной з?дачи полёта в нецентральном поле // Космич. иоследования.-

. 1980.- Т.18. Вып,4,- С.643-646 (с Азлзовым А.Г.).

3. СЗ эжтролальшх траекториях предельного варианта задачи двух ьепедшпных центров // Прикл. мат ем, и мех. / Шучкке труди ТашГ/.- 1280,- В-П.621.- С.7-10 (с Азимовым А.?.)«

4. 05 однем решении задачи о повороте оси аллшпкческой. . орб1гтц // Прикл. матсм. и мех. / Научные труда ТапЦУ.-1&60,- Вып.621.- С.46-53.

5. О яексторых нознх решениях варлациокной задачи полёта

£ гравитационных палях // Пятый всесоюзн. съезд по теор. и при»:. мех., Алма-Ата, 27 мал - 3 июня, 1991: Ашгот. докл.- Алма-Ата, 1931,- С.II Сс Азизсязым А.Г.).

6. 05 одном участко максимальной тяги в центральном. иьюто-нозском поле // Прикл. матем. и мох. / Сб. научн. трудов .ТазГУ.- 1982.- & 683.- С.10-14 (с Азизовым А.Г.).

7. О траекториях налога с максимальной касательной тягой в центральном ньютоновском поле // Космич. исследования.-1933.- Т.21. Выг>.4.- С.638-642 (с Азизовым А.Г.).

8. 1\ вопросу определения оптимальных траекторий в ньютоновском толе Ц Проблзмн мех, упр. движения..Нелинейные длга.улч,-системы / Межвуз. сб. научн. трудов,- Перюкий

ун-т, 13В4„- С. 5-10 С с Доизовым А.Г.?. Применение метода лекан-5ило прл анализе оптимальных трпекторнЕ,- В : Приложения дкТф. уравнений в мех. и .еоритт учрзьл. процессов / Сб. научн. тр. ТашГУ.- Ташкент, 1985.- С.29-35.

Ю.Пртасненпб теоремы Нётер при анализе оптимальных троек-

торий.- в кн.: Гагаринские научные чтения по космонавт, и авиации, 1935 г. М. : 1Гаука, Г986.- С.93 (с Азизо-вым А«Г.).

11. Применение теорзмы Кётер при анализе оптимальных траекторий // Алгоритга и числ. метсщн решения задач прикл. мат ем. и упрощения / Сб. научн. тр. ТаиГУ.- Ташкент, 1986.- С.51-55. ^ •

12. Сп. сиг cnaAjtiaxl icHuticn, of ikz. орМтшгь tmizctcvj (ivcf.itm. In, Ct n-tanntaicjMb întol Ц ШШMtcArms.- v. iî.mrP. Ml-m (Amw J.

13. К проблеме отыскания аналитических решений на активных участках оптимальной траектории // Шестой всесоюс::. сьезд по теор. и прикл. мех., Ташкент, 24-30-сент., 1986: А плот. докл.- Тая кем, I98S.- 0.19-20 С с Азязо-вым А .Г О.

14. К вопросу определения аналитических реиечкй на участках максимальной тяги // Упрзвл. динамич. системы и их тгри-лок. / Сб. научн. тр. ТашГУ.- Ташкент, 1987.- С.10-13 (с Азизовым А.Г.). , .

15. Вариационные задачи механики космического полёта.-Учебное пособие.- Ташкент: ТалГУ, 1990.- 84 с. (с Азизовым А.Г.).

16. Об оптимальных траекториях в гравитационных полях, до-пускакцих аппроксимацию центральным линейным // космич. исследования.- 1991.- Т.29. Вып.4.- С.525-531 (о Азизовым А.Г.).

17. Задача о мягкой встрече двух аппаратов на круговой орбите // Научн. конф. "моделирование слатагх мех. систем" 1991 : Тезисы докладов.- Ташкент, 1991.- С.80'.

18. Оптимизация маневра встречи на круговой орЗите // Узбекский журнал "Проблемы механики".- 1992.- ÎS 2.-С.3-7.