Аналитические методы исследования кинетики процессов растекания капель

Лесев, Вадим Николаевич

Аналитические методы исследования кинетики процессов растекания капель тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Лесев, Вадим Николаевич АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нальчик МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Аналитические методы исследования кинетики процессов растекания капель»

Автореферат диссертации на тему "Аналитические методы исследования кинетики процессов растекания капель"

На правах рукописи

Лесев Вадим Николаевич

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КИНЕТИКИ ПРОЦЕССОВ РАСТЕКАНИЯ КАПЕЛЬ

Специальность 01.04.07 - Физика конденсированного состояния

Автореферат диссертации па соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 5 ИЮЛ 2013

Нальчик - 2013

005531686

Работа выполнена на кафедрах физики наноеиетем и дифференциальных уравнений ФГБОУ НПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова» (КБГУ)

Научный консультант: Созаев Виктор Адыгеевич, доктор физико-

математических наук, профессор

Официальные оппоненты: Хоконов Мурат Хазреталиевич, доктор

физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова» (г. Нальчик), заведующий кафедрой теоретической физики

Гуфан Александр Юрьевич, доктор физико-математических наук, доцент, ФГАНУ НИИ «Специализированные вычислительные устройства защиты и автоматика» (г. Ростов-на-Дону), заведующий лабораторией телекоммуникационных технологий

Симоновский Александр Яковлевич, доктор физико-математических наук, профессор, ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказский федеральный университет» (г. Ставрополь), профессор кафедры теоретической физики

Ведущая организация: НИИ Физики при ФГАОУ ВПО «Южный

федеральный университет» (г. Ростов-на-Дону)

Защита диссертации состоится 18 октября 2013 года в 15— на заседании диссертационного совета Д 212.076.02 при ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова» по адресу: 360004, КБР, г.Нальчик, ул.Чернышевского, 173, зал заседаний диссертационного совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КБГУ по адресу: 360004, КБР, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173, КБГУ, корпус 1.

Автореферат разослан 9 июля 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.076.02, д.ф.-м.н., профессор

А.А. Ахкубеков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблемы разработки фундаментальных основ и применения аналитического аппарата для исследования свойств реальных объектов являются одними из наиболее востребованных направлений современной теории физики конденсированного состояния. При этом особый практический интерес вызывают разработка, обоснование и апробация математических методов используемых при изучении межфазных границ, а также развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования соответствующих моделей, позволяющих изучать природу и физические свойства систем при различных внешних воздействиях.

Распад пленок, напыление красок, металлических расплавов и полимеров, пайка, растекание крови и плазмы, проблемы адсорбции и диффузии нефтепродуктов, а также пропитки пористых поверхностей - все это лишь некоторые из процессов, в описании и исследовании которых главенствующими являются законы кинетики капель. Фундаментальное значение этих законов проявляется и в процессах, связанных с динамикой жидких металлических и иных расплавов малых объемов на поверхностях твердых тел, которые лежат в основе физико-химических явлений, широко применяемых в технологических процессах.

Более глубокое и детальное понимание условий становления равновесия в зоне трехфазного контакта систем жидкость-твердое тело-окружающая среда открывает новые возможности и для практического их применения во многих современных технологиях, в том числе для изучения нанокомлозитов, получаемых из металлоорганических производных и обладающих качественно новыми физическими свойствами.

В настоящее время особую значимость в подобных исследованиях приобретает задача контроля и регулирования кинетики процессов растекания капель, которая представляется чрезвычайно актуальной и подразумевает проведение комплексного, всестороннего исследования сложных физико-хими-

ческих явлений, а также разработку более эффективных способов влияния на них посредством внешних полей. Но даже при отсутствии внешних сил гидродинамические условия кинетики капель на твердых подложках очень сложны и определяются свойствами жидкости, твердого тела, а также геометрией системы, включая степень однородности поверхности.

Кроме того, важнейшее значение при исследовании межфазных границ приобретает такой фактор, как спектр соединений, к которым применим реализуемый метод, поэтому разработка унифицированных теоретических методов, позволяющих всесторонне исследовать капиллярные свойства неорганических и органических веществ, представляется актуальной и востребованной.

Степень разработанности темы диссертации. Большой вклад в изучение кинетики капиллярных процессов внесли: С.Н. Задумкин, Х.Б. Хоконов, Б.Д. Сумм, А.И. Быховский, С.И. Попель, В.М. Самсонов, В.В. Калинин, В.И. Костиков, A.C. Романов и другие отечественные ученые.

Однако аналитическим методам исследования кинетики растекания капель посвящено мало работ и данная теория далека от своего завершения.

Цель работы. Основная цель диссертационной работы - разработка и развитие аналитических методов исследования кинетики растекания капель. В рамках общей цели ставились и частные, в том числе: аналитическое описание процесса растекания капель под действием сил различной природы, разработка алгоритмов и моделей, позволяющих адекватно описывать поведение жидких фаз, и обоснование применяемых методов для изучения процессов, отличающихся своей нелинейностью. Под адекватным описанием понимается учет максимального количества фактории, н том числе: поверхностных свойств систем, влияния уровня шероховатости подложки, межфазной энергии, а также одновременного влияния на процессы смачивания капиллярных, гравитационных и электромагнитных сил.

Помимо перечисленных, преследовались цели по развитию качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей прогнозирования изменения физических свойств конденсированных

веществ в зависимости от внешних условий, а также по проведению вычислительных экспериментов, направленных на количественное изучение отдельных физических параметров капель, с учетом возможностей современных технологий моделирования.

Методы исследования. В работе использовались как физические, так и математические методы. В частности, при изучении моделей статических явлений применялись методы дифференциальных уравнений и специальных функций. При проведении исследований динамики жидких фаз со свободными границами использовались: квазистационарный метод, методы асимптотических приближений, разделения переменных и малого параметра, а при решении задач растекания и капиллярного впитывания под воздействием электромагнитных сил - методы математического моделирования и модифицированный метод Фурье.

Из численных методов были использованы: Рунге - Кутта четвертого порядка, прогонки, баланса, интерполяции, а также современные методы обработки графических объектов, включая градиентный, и методы, реализованные в современных прикладных пакетах.

Научная новизна. В работе впервые получены результаты по обработке данных натурных экспериментов в высокотемпературных полях, моделированию трехмерных стационарных профилей капель расплавов свинца с малыми добавками лития на графитовых подложках, а также систем Бп-Ва, Бп-Ад, 1п-"П в различных температурных режимах. Проведен сравнительный анализ результатов вычислительных и натурных экспериментов с оценкой погрешности расчетных значений. Разработан алгоритм, позволяющий оценивать относительную погрешность при определении физических параметров системы.

Изучено влияние отдельных параметров системы на кинетику растекания капли и функцию тока для воды, спиртов и их водных растворов. На основе полученных результатов проведены вычислительные эксперименты для безразмерных переменных.

Построены и исследованы математические модели профилей "плоских" капель лежащих на неровных симмечричных и асимморпчпых относительно вертикальной прямой, проходящей через апекс поверхностях. В результате построено аналитическое решение задачи и виде неявно определенной функции, выраженной через эллиптические интегралы первого и второго рода, и выполнены соответствующие графические построения.

Предложены новые методы моделирования процессов растекания капель в гравитационных и температурных полях.

Изучено влияние электромагнитных сил на статику и динамику профилей капиллярных поверхностей жидких фаз. При этом исследованы случаи как постоянного, так и переменного поля. Для каждого из случаев в рамках соответствующих математических моделей определены функциональные зависимости между геометрическими и физическими параметрами системы.

Установлены основные закономерности процесса пропитки при растекании капли, а также проведены вычислительные эксперименты по моделированию режимов ламинарного движения проводящей жидкости внутри капилляра в магнитном поле.

Выполнение работы проходило при поддержке гранта молодых ученых Кабардино-Балкарского государственного университета им. Х.М. Бербекова.

Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечивается их соответствием экспериментальным данным, строгими математическими выводами и апробацией исследованных моделей на реальных системах.

Теоретическая и практическая значимость. Развитие имеющихся и разработка новых моделей теории капиллярности на основе строгих математических и численных методов стимулируется практическими потребностями различных отраслей науки и производств. При этом фундаментальное значение принимают новые математические методы и алгоритмы, служащие имитационными моделями и позволяющие адекватно интерпретировать натурные эксперименты.

Кроме того, всестороннее исследование систем газ-жидкость-твердое тело позволяет не только лучше понимать процессы, проходящие внутри сложных физико-химических систем, но и управлять ими, что дает возможность предсказания их поведения в различных условиях под воздействием внешних сил и открывает новые перспективы с точки зрения практического использования.

Применение математического аппарата к исследованию задач механики жидкости является ключевым условием при установлении качественных и количественных связей, характеризующих физические основы изучаемых процессов, чему и способствуют результаты диссертационной работы. Это позволяет, в свою очередь, применять современные средства визуализации для обработки установленных закономерностей, что также положительно отражается на теоретической и практической значимости работы.

Полученные результаты могут быть применены при разработке тяжелых теплоносителей для атомных реакторов, бессвнниовых припоев для пайки изделий злектрониой техники, разработке систем металлизации керамики и полупронодникон. а также ошимизацни технологии изготовления микроканальных пластин для приборов ночного видения, алмазометаллических композиции методом пропитки жидкими расплавами капиллярно-пористой шихты и т.д.

Немаловажным является и тот факт, что отдельные, постулируемые в работе утверждения внедрены в учебный процесс при проведении занятий по поверхностным свойствам конденсированных фаз и нелинейным уравнениям и их приложениям в Кабардино-Балкарском государственном университете.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности. Тема, цель работы, ее положения и выводы, а также методика исследования соответствуют формуле специальности 01.04.07 - Физика конденсированного состояния, и пунктам 1, 2 и 5 областей исследований паспорта специальности.

Апробация. Основные положения п pejyjibiагы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях п семинарах: Ц-м Международном семинаре «Темлофн знчсскис свойства веществ (жидкие металлы и сплавы, наносистсмы)» (Нальчик, КБГУ, 2006); 51" International Conference «High Temperature Capillarity» (Alicante, Spain, 2007); 1Х-м Российско-Китайском симпозиуме «Новые материалы и технологии» (Астрахань, 2007); П-й Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, ВГТА, ВГТУ, ВГУ, МГУ, 2007); VUI-м Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2007); XLIV-й Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, РУДН, 2008); Международной конференции по математической физике и ее приложениям (Самара, СГУ, Московский институт им. В.А. Стек-лова 2008); 1Х-м Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2008); Vl-й Международной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, ВНЦ РАН, 2008); 1Х-м Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Волгоград, 2008); 6lh International Conference «High Temperature Capillarity» (Athens, Greece, 2009); 12-м Международном симпозиуме «Упорядочение в минералах и сплавах» (Ростов-на-Дону, Лоо, 2009); Х-ом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Санкт-Петербург, 2009); Международном конгрессе студентов, аспирантов и молодых ученых «Перспектива-2010» (Нальчик, КБГУ, 2010); Международных конференциях: «Современные проблемы математики и смежные вопросы» (Махачкала, ДГТУ, 2007, 2008, 2010); Ш-й Международной научно-технической конференции «Микро- и нанотехнологии в электронике» (Нальчик, КБГУ, 2010); научных семинарах КБГУ.

Личный вклад. Выносимые на защиту результаты получены соискателем лично. В работах, выполненных коллективом соавторов, постановка и

исследование задач осуществлялись совместными усилиями при непосредственном участии соискателя. При этом соавторам принадлежат результаты натурных экспериментов.

Публикации. По теме диссертации опубликованы: две монографии [1-2], семнадцать публикаций в изданиях, включенных в перечень ВАК [3-19], а также двадцать три работы [20-42] в других научных журналах и сборниках. Получены два свидетельства о государственной регистрации программ [43-44].

Основные результаты и положения, выносимые на защиту

1. Новые аналитические методы исследования динамики капель с учетом закономерностей межфазного равновесия. Новый алгоритм обработки экспериментальных данных для определения основных физических свойств и параметров системы, включая углы смачивания, радиус растекания капли и поверхностное натяжение.

2. Модели статических явлений теории капиллярности, позволяющие сочетать теоретические и экспериментальные исследования свойств жидких металлических расплавов. Результаты вычислительных экспериментов и сравнение полученных данных с результатами натурных экспериментов для металлических расплавов на основе свинца, олова и индия с малыми добавками лития, бария, серебра и титана.

3. Расчеты функции тока для задачи о конвекции в капле и решение задачи о нахождении стационарного профиля «плоской» капли, лежащей на неровной поверхности.

4. Модели растекания капель по горизонтальным подложкам с учетом гравитационного и температурного полей, а также результаты сравнительного анализа применения различных аналитических методов к исследованию проблемы неизотермического растекания.

5. Результаты по теоретическому исследованию кинетики капиллярных поверхностей под действием электромагнитных сил. В том числе результаты: по изучению процесса влияния постоянного тока на форму поверхностей

жидких фаз; исследованию задачи о движении профиля капли, частично смачивающей твердую поверхность, под действием осциллирующей поперечной электромагнитной силы с последующим анализом результатов.

6. Теоретические методы для изучения проблем пропитки и капиллярного впитывания. Результаты исследования процесса растекания капли с эффектом частичной пропитки подложки, на основе методов математического моделирования и изучения характерных режимов ламинарного движения жидкости внутри капилляра.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 221 страницах и состоит из введения, пяти глав, разбитых на 16 параграфов, заключения, а также списка литературы, содержащего 282 наименования. Нумерация формул двойная: первая цифра указывает на номер раздела, а вторая -на номер формулы в нем. Работа содержит 6 таблиц, иллюстративный материал включает 37 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении диссертационной работы приводится анализ известных результатов по теме диссертации, обосновывается выбор направления исследований и формулируются основные проблемы теории. Здесь же излагается общая методика исследований и приводится краткое содержание главных результатов, выносимых на защиту.

Первая глава носит вводный характер. В ней приводятся базовые понятия, определения, обозначения и известные результаты по системам газ-жидкость-твердая подложка. Помимо этого, в первой главе описаны основные закономерности межфазного равновесия, проблема гистерезиса, а также связанная с ней задача корректного определения краевых углов смачивания. Завершается глава изучением вопроса обработки экспериментальных данных для углов смачивания в высокотемпературных полях на основе нового алгоритма.

В частности, в разделе 1.1 вводятся основные параметры, определяющие специфику взаимодействия в системе газ-жидкость-твердая подложка, в том числе: функция Н(х), определяющая профиль радиального сечения; межфазное поверхностное натяжение сг, радиус растекания капли х0; краевой угол смачивания 0 (рисунок 1).

Кроме того, в этом же разделе приведены условия термодинамического равновесия изучаемых систем с учетом образования прекурсорной пленки.

Раздел 1.2 посвящен проблеме оценки влияния адгезионных и когезион-ных сил на межфазное равновесие и анализу базовых соотношений, связывающих математические и физические характеристики системы.

Раздел 1.3 содержит основы математического моделирования проблемы гистерезиса, а также сравнительный анализ аналитических методов, направленных на расчет краевых углов смачивания с учетом шероховатости подложки и её неоднородности.

Новый метод обработки экспериментальных данных для капель расплавов металлов и керамики в высокотемпературных полях предложен в разделе 1.4. В этой части работы изложены математические основы указанного алгоритма и проведена его апробация. Результаты вычислительных экспериментов по определению физических параметров системы для капель,

лежащих в высокотемпературных полях, с применением данного алгоритма свидетельствуют о его эффективности и практической ценности.

Предлагаемый метод существенно отличается от других и позволяет минимизировать инструментальную погрешность измерений при уменьшении временных затрат на обработку данных, а также устанавливать множества граничных точек, негативно влияющих на точность определения расчетных значений трехфазного угла контакта, поверхностного натяжения и вязкости жидкости.

Вторая глава посвящена исследованию профилен капель на отшлифованных и неровных подложках.

В разделе 2.1 представлена модель, дающая возможность имитировать деформации жидких капель на твердой горизонтальной подложке. На основе разработанного алгоритма численной реализации модели исследованы статические капиллярные поверхности свинца с малым содержанием лития в неизотермическом поле. Помимо системы РЬ~и, вычислительные эксперименты проводились и для систем Бп-Ва, Бп-А£, 1п-Тг

В основе математической модели, используемой для описания профиля

капли, лежащей на твердой подложке, было выбрано уравнение:

сШ „, этЭ ...

— = а ■ г + 2Ь--, (1)

М х

где а - капиллярная постоянная, Ь - кривизна вблизи апекса, 0 - угол трехфазного контакта, I: - длина дуги профиля, отсчитываемая от апекса.

Уравнение (1) было дополнено системой четырех дифференциальных уравнений, характеризующих связь геометрических и физических параметров системы с нулевыми начальными данными. Полученная задача решалась численными методами. Графические изображения размерных "идеальных" профилей, выполненные в пакете «МаИ.аЬ», представлены на рисунках 2 и 3.

Рисунок 2 - Трехмерный профиль капли расплава (РЬ + 0,1 ат % Ы) при температуре Т = 743 К

х10'3Г.:а;

Рисунок 3 - Трехмерный профиль капли расплава Эп + 0,03%Ag при температуре Т = 730 К

Также изучена возможность решения обратной задачи, т.е. получения значений физических параметров на основе анализа геометрии профиля капли и приведены примеры возникающих при этом погрешностей.

Расчеты показывают, что ошибки в определении физических параметров системы (в частности, поверхностного натяжения) в значительной степени зависят от формы и размеров капли и могут достигать существенных (десятков процентов) величин. Лишь соответствующим образом подбирая объем расплава и подложку можно улучшить качество исследований, проводимых методом большой капли. Некоторые, наиболее характерные результаты проведенных опенок отклонения значений основных параметров системы РЬ + 0,1 ат % Ы при температуре 606 К, выраженные в процентах, приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Изменения геометрических и физических параметров системы РЬ + 0,1 ат % 1л

х0% а % 2 Ь % ег%

98,50 100,68 100,80 105,23 95,81 95,03

101,51 99,20 98,94 95,50 104,19 104,71

97,00 101,29 101,65 109,90 92,17 90,99

103,05 98,37 97,90 90,72 108,76 110,23

91,98 103,85 104,75 128,86 78,47 77,60

Здесь, Л0 - высота капли в апексе, Я - радиус капли, х0 - радиус растекания, а - поверхностное натяжение жидкой фазы.

Помимо анализа влияния возможных ошибок в определении линейных размеров капли на физические параметры системы, изучалось и обратное влияние погрешностей физических параметров на определение геометрии системы. Характерные данные, полученные для капли свинца с 0,03 - процентным содержанием лития при температуре 933 К, представлены в таблице 2.

Таблица 2 - Изменения параметров системы РЬ + 0,03 ат %

Параметр Ли 0 Ь ■V,, !

Отклонение (%) -0.07 - 0.79 -0.54 0.525 1

В таблице 2 приведены выраженные в процентах отклонения: высоты капли в апексе, трехфазного угла 0, кривизны вблизи апекса и радиуса растекания, соответствующие увеличению поверхностного натяжения на 1% при прочих равных условиях.

Результаты проведенных исследований могут быть использованы для анализа кинетики адсорбции, проведения многофакторного анализа влияния различных параметров на статику и динамику капли на твердой поверхности, оценки и контроля качества проводимых исследований, что представляет значительный практический и теоретический интерес.

В разделе 2.2 исследована модель естественной конвекции в жидкой капле при неполном смачивании. На основании аналитического решения для дифференциального уравнения:

( 29 ^ 1

а /г" - р д Ь' - а р д р Тч. /г /г I + —а/г --- = 0, (2)

V 40 ур+а/г]"

где а - межфазное поверхностное натяжение на границе жидкость-окружающая среда, г = /г (.г) - уравнение профиля жидкой фазы, а - коэффициент теплоотдачи, ТЛ - температура подложки, р - плотность жидкой фазы, д - ускорение силы тяжести; был проведен ряд вычислительных экспериментов.

В частности, было исследовано влияние отдельных параметров системы на кинетику растекания капли и функцию тока для воды, спиртов и их водных растворов. Результаты расчетов, проведенных с учетом данных натурных экспериментов, свидетельствуют о том, что при прочих равных условиях, функция тока в большей степени зависит от скорости изменения поверхностного натяжения с ростом температуры и плотности жидкой фазы, чем от других параметров системы.

На основе проведенных вычислений также можно сделать вывод, что с увеличением температуры твердой поверхности краевой угол смачивания уменьшается вместе с высотой капли в апексе, абсцисса точки трехфазного контакта увеличивается.

Аналитическое решение задачи о нахождении стационарного «плоского» профиля капли, лежащей на неровной поверхности получено в разделе 2.3.

На основе соотношений, характеризующих энергию системы газ-жидкость-подложка, с использованием методов дифференциальных уравнений вопрос разрешимости данной задачи был эквивалентно редуцирован к вопросу разрешимости нелинейного однопараметрического обыкновенного дифференциального уравнения:

где а - капиллярная постоянная, с, , постоянные ninei рирования, причем с, прямо пропорциональна значению высоты капли в апексе h(l.

В результате исследования соотношения (3) методом специальных функций было построено решение задачи в виде неявно определенной функции через эллиптические интегралы первого и второго рода.

На основании найденного решения в пакете «Mathcad» были построены профили безразмерных капель как для симметричных, так и для асимметричных профилей подложек, определенных непрерывно дифференцируемыми функциями.

В третьей главе исследованы безразмерные математические модели процессов гравитационного и неизотермического растекания капель по горизонтальным твердым поверхностям.

Раздел 3.1 посвящен задаче о гравитационном растекании капли,

которая в безразмерных переменных: Г = t/t., h = h/h., х = х/х,, обозначение которых опускаем, была сформулирована в виде:

где s = const >0, а условия (5) - представляют собой условия сохранения объема, симметрии профиля капли относительно вертикальной оси и обращения в ноль высоты жидкой пленки при ее растекании на линии трехфазного контакта.

Здесь через а « 1 и Р « а обозначены постоянные, зависящие от физических параметров системы, причем указанные требования неравенст-венного характера гарантируют превосходство капиллярных сил над вязкими,

(4)

(5)

и в свою очередь - действие расклинивающего давления над капиллярными силами для абсцисс, при которых высота капли остается пока значительной.

Условия (5) представляют собой условия сохранения объема, симметрии профиля капли относительно вертикальной оси и обращения в ноль высоты жидкой пленки при ее растекании на линии трехфазного контакта.

Очевидно, что нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка (4) не допускает построения точного аналитического решения. Поэтому для его исследования был применен метод асимптотических приближений.

В результате получены соотношения, позволяющие качественно и количественно оценивать процесс изотермического растекания капли. При этом сам профиль жидкой фазы был разбит на две зоны, первая из которых -объемная часть капли, описываемая функцией Ь, а вторая - область снижения вплоть до точки трехфазного контакта, характеризующаяся функцией Ч'. Проведенные исследования позволили установить асимптотические зависимости для радиуса растекания и высоты капли в апексе.

Для частных случаев были проведены расчеты и построены графики временных зависимостей радиуса растекания капли и сс апекса, представленные на рисунках 4 и 5.

-2 г,м

О 0.5 1 1.5 2 2.5 3 (, с Рисунок 4 - Динамика радиуса растекания капли при начальных данных:

I) хи (0) = 0.0! м, 2) .г„(0) = 0.0! 5 м, 3) д;„(0) = 0.02 м

Рисунок 5 - Изменение высоты капель в апексе при начальных данных: 1) Ь„ = 0.003 м, 2) Л„ = 0.0035 м, 3) = 0.004 м

Сравнительный анализ полученных зависимостей, а также результаты проведенных вычислительных экспериментов показывают, что при увеличении значения параметра п скорость растекания капли также увеличивается.

В разделе 3.2 изучена математическая модель процесса неизотермического растекания капли по горизонтальной твердой подложке на основе двух аналитических методов, а также проведено сравнение полученных результатов.

На основе метода разделения переменных и квазистационарного метода исследовано движение трехфазной границы для различных случаев градиента температуры подложки.

Полученные результаты по термокапиллярной кинетике жидкой капли на твердой горизонтальной поверхности позволяют определять высоту и фронт распространения жидкой фазы. При этом количественные характеристики системы, в зависимости от реализуемого метода отличаются лишь на постоянный коэффициент. Как следует из численных экспериментов, точность результатов и в том, и в другом случае остается удовлетворительной и прямо зависит от исходных физических параметров системы.

Помимо этого, предложенные методы не требуют временных затрат на численную реализацию, которая представляется очевидной, и в то же время позволяют провести качественный и количественный анализ исследуемых явлений теории капиллярности. Кроме того, предложенные методы не дают разрыва решения на фронте распространения жидкости.

В разделе 3.3 в предположении того, что высота капли в апексе достаточно мала и того, что температура в капле постоянна по ее толщине и совпадает с температурой соответствующей ей точки подложки, аналитическими методами исследована математическая модель растекания жидкой капли по горизонтальной поверхности.

В приближении теории смазки, предполагающей изменение величины

углов трехфазного контакта в интервале (о, 90°], для оеесимметричной капли было получено следующее соотношение, записанное в безразмерных переменных:

(6)

0t Ох

,з dh . , , ,

где p,Y = const - безразмерные параметры, имеющие смысл отношения характерных гравитационных и термокапиллярных сил к вязким силам, а i = xu(t) - граница растекания капли.

Дополняя уравнение (6) условием сохранения объема, была получена система, представляющая собой математическую модель, описывающую процесс изотермического растекания капли вязкой жидкости по гладкой горизонтальной поверхности.

Для исследования данной задачи был применен квазистационарный подход, который обеспечил эффективность в условиях отсутствия точного решения и позволил проанализировать основные закономерности кинетики капли.

Безразмерный профиль капли, рассчитанный в пакете «Ма^сас!» для различных моментов времени /, представлен на рисунке 6.

Рисунок 6 - Профиль капли для различных моментов времени: I - .г„(£) = 1.4; 2-.г„(£) = 1.6; 3-*„(() = 1.8; 4-дг„(() = 2

В данном разделе также было показано, что предлагаемый метод позволяет учитывать и другие эффекты. В частности, если считать, что угол трехфазного контакта является функцией, зависящей от времени, то аналитическое решение исходной физической задачи также существует.

Четвертая глава посвяшена исследованию задач, моделирующих статику и динамику капиллярных поверхностей под действием электромагнитных сил. Глава состоит из трех разделов.

В разделе 4.1 исследовано влияние постоянного тока на форму капиллярных поверхностей жидких фаз. В качестве основы для математической модели была выбрана система, в которой покоящаяся на горизонтальной твердой подложке капля расположена симметрично между двумя электродами, равноудаленными от начала к-оордннат. Центр тяжести тиком капли не осуществляет горизонтальных передвижений, а результирующая сила имеет только вертикальную составляющую.

В математической постановке сформулированная задача отыскания соответствующего профиля межфазного контакта была редуцирована к параметрическому дифференциальному уравнению:

v [h0 - h {x)] + p = 0, Vie(-Vl),

с нелокальным» условиями'.

h(xj = h(-xu) = 0, h'(0) = <>, j h(x) d

Здесь 7,p,5 = const, причем S - площадь радиального сечения капли.

В результате решения задачи было найдено неявное представление для функции h(a-), а также получено выражение для расчета радиуса растекания капли и установлены оценки для длины дуги профиля радиального сечения, отсчитываемой от апекса.

В разделе 4.2 представлено аналитическое исследование модели движения капли (симметричной относительно плоскости х=0) электропроводной частично смачивающей жидкости (т.е. такой жидкости, для которой равновесный краевой угол смачивания принадлежит интервалу (0;f)), свободно лежащей на горизонтальной подложке, в случае, когда вдоль оси ординат Оу через систему пропускается периодический электрический ток (рисунок 7). Т.е. исследовано движение капли, частично смачивающей твердую поверхность, под действием осциллирующей поперечной электромагнитной силы.

'у

г = h (х, t /

Рисунок 7 - Капля электропроводной жидкости в магнитном поле

В своей математической постановке в безразмерных величинах u = h/(L•tgO), х = х/Ь, Г = £/£п, обозначение которых, как и ранее опускаем, задача имеет вид:

dt сх

о'и , ди

-- - к" —(1 + sin 2nt)

rx âx

= 0, (7)

ou ex

Ul|.r|=j-„ = <и*>Цх„ =

= О, ~ = 0, Г udx = M, vxy „ J

(8)

где p = 3p v/{t„ Lo tg' ()). K~(t) = jB/a - коэффициенты, зависящие от

плотности жидкой фазы р. кинематической вязкости v, краевого угла смачивания 0, характерной длины капли L, характерного времени, равного периоду колебания тока в системе <„, амплитуды колебаний внешнего магнитного поля и плотностм тока, его вызывающего В„, ;'„, a M = m/(fl„pL;) -

характерный объем, зависящий от массы капли m и среднего значения краевого угла смачивания 0О.

Для решения задачи (7), (8) был использован метод малого параметра, т.е. приближенное аналитическое решение было найдено в виде:

u(x,t) = ип(х) + е ■ и, (.r,i), (9)

где 8 = const «1, a u0(x) = (u(x,t)> - безразмерный профиль капли в

начальный момент времени.

После определения функции w„(x) представление для u,(x,t) было найдено в виде суперпозиции элементарных тригонометрических функций.

На основе полученных результатов были проведены вычислительные эксперименты. Результаты одного из таких экспериментов, выполненных в пакете «MatLab» для капли олова при температуре 600 К и входных данных: В0 = 0,1Тл, ;'„ = I01 A/M, Та = 10"!с, х0 = 3, представлены на рисунке 8.

12"""-.... .-'-"0.6 08'"—---. . .--''-0.6 I 0.4*"--,. --'"-1.8 х

о~з

Рисунок 8 - Профиль функции и, (х, I) Решение и {х, г) исходной задачи (7), (8) находилось из соотношения (9). Динамика профиля капли, описываемая функцией и(х,£) и рассчитанная для указанных выше значений физических параметров, изображена на рисунке 9.

Рисунок 9 - Безразмерный профиль функции и(х,г) На основании полученного аналитическими методами решения задачи и стствующих физических данных в пакете «УЫЬаЬ» также были рассчи-

таны и построены трехмерные профили для различных моментов времени. Один из полученных профилей представлен на рисунке 10.

Рисунок 10 — Расчетная 3с1 поверхность для безразмерных переменных при с = 0.2

На рисунке 10 изображен безразмерный профиль трехмерной капли, зафиксированный в момент времени t =0,2.

Помимо вычислительных экспериментов по расчету динамики профилей поверхностей капель в переменном электромагнитном поле, были проведены и другие исследования, направленные на более детальное изучение вклада электромагнитных сил в процесс движения жидкой фазы. Результаты этих исследований приведены в разделе 4.3.

В частности, в данной части работы представлены расчеты амплитуды колебаний различных точек свободной поверхности проводящей капли под действием осциллирующей электромагнитной силы. Анализ проведенных исследований свидетельствует о том, что амплитуда колебаний точек профиля растет с высотой, достигая наибольшего значения в апексе капли, а интенсивность движения жидкости в капле существенно зависит от значения краевого угла смачивания. Некоторые из соответствующих зависимостей, представлены на рисунке 1 1. Построение данных графиков было выполнено в пакете МАТЬЛВ для тех же входных данных, что и при расчетах, проведенных в разделе 4.2.

Рисунок 11 - Колебания точек профиля поверхности капли на высотах, соответствующих абсциссам: 1 - ж = 0,72 ; 2 - х = 0,34 ; 3 - о- = О

Кроме того, результаты проведенных исследований, позволяют утверждать, что взаимодействие переменного тока, проходящего внутри капли с внешним магнитным полем, активизирует тепло-массообменные процессы в трехфазной системе, причем, изменяя величину и направление векторов В и можно управлять процессами смачивания и растекания, которые находят применение во многих современных технологических процессах.

В пятой главе проведены теоретические исследования основных закономерностей пропитки и капиллярного впитывания.

Раздел 5.1 посвящен проблеме изотермического растекания капли, пропитывающей подложку. При описании данной модели общая задача была разбита на две: определение профиля капли над уровнем подложки и определение границ распространения жидкости в самой подложке.

В результате исследования данной задачи была определена система соотношений, которая на основе экспериментально полученных начальных данных позволяет поэтапно рассчитывать характерные для рассматриваемого процесса параметры. Вместе с тем здесь следует заметить, что точность полученных таким образом результатов во многом зависит от физико-химических

свойств реагирующих фаз и точности начальных данных. Кроме того, характерной особенностью полученных оценок является тот факт, что они остаются справедливыми и в тех случаях, когда речь идет о потере массы капли через границу раздела фаз жидкость-газ, т.е. о процессе активного испарения жидкости или ее высыхания.

Анализ существующих моделей капиллярного впитывания и методов их исследования приведен в разделе 5.2. В частности, этот раздел содержит обзор имеющихся на сегодняшний день моделей распространения жидкой фазы по капилляру, основанных на нелинейных дифференциальных уравнениях. Здесь же приводится анализ математических методов, используемых для исследования подобных моделей, а также предложен новый метод построения общих решений для отдельных частных случаев уравнения, моделирующего процесс капиллярного впитывания.

Помимо этого, в данной части работы показано, что все известные на сегодняшний день дифференциальные уравнения, применяемые для описания процесса движения жидкости в капилляре, как на начальных, так и на более поздних стадиях, могут быть редуцированы к "каноническому" уравнению относительно высоты поднятия жидкости в капилляре h = h(t):

h£lt + ЛИ)2 + + = (10)

df ydt) dt

где - постоянные, a / = /(t) - заданная функция, зависящие от

физических параметров системы.

Кроме того, здесь показано, что процесс затекания жидких фаз в стеклянные капилляры и процесс движения вязкой проводящей жидкости внутри цилиндрического капилляра в поперечном магнитном поле, могут быть описаны на основе уравнения

А dt

представляющего собой частный случай соотношения (10).

±{К>

dtv

j h

+ -+ 2кЬ = 2/. (11)

В разделе 5.3 для уравнения (11) исследована задача с начальными данными:

а,- о®

где \ - высота поднятия жидкости в начальный момент времени, и -начальное значение скорости затекания жидкости в капилляр.

Исследование задачи Коши (II), (12) было проведено модифицированным методом Фурье. Применение данного метода позволило выявить и исследовать два основных режима капиллярного впитывания. На основе полученных результатов были проведены вычислительные эксперименты.

В частности, была рассчитана кинетика капиллярного впитывания соответствующая задачи о течении проводящей жидкости внутри капилляра магнитном поле, т.е. для следующих значений коэффициентов уравнения (11):

f, ц = 0, к = gsinip, / = ^-=-cosO, pr" pl С J Pr

I Л

l-ße '"

где г радиус капилляра, у удельная проводимое гь, с скорость света, ч -вязкость, а,, - межфазное поверхностное натяжение, Н. - составляющая вектора напряженности магнитного поля, ф - угол наклона капилляра к

с о s 0о

горизонту, 8? - равновесный краевой угол, 9 < л/2, ß = 1 - ^^ , t0 - время

релаксации краевого угла.

Результаты одного из вычислительных экспериментов, проводимых в безразмерных переменных х = h/hM, т = *£, где х - выражается через основные параметры системы, а hM - максимальное перемещение жидкости в

капилляре, представлены на рисунке 12.

При построении кривых капиллярного впитывания суммирование рядов проводилось до значения п = 50, что позволило производить расчеты с точностью близкой к микро величинам (10 5).

0 6 /

• /

04 //

0 0.2 04 0.6 08 1 1.2 1.4 1 6 т

Рисунок 12 - Кинетика капиллярного впитывания дистиллированной воды в магнитном поле в безразмерных переменных: 1 - первый режим , 2 - второй режим

Полученные результаты позволяют утверждать, что наличие двух режимов капиллярного впитывания будет характерным и в случае применения других методов линеаризации уравнения (10), а следовательно и уравнения (11). При этом, как и для случая представленного на рисунке 12, остаются справедливыми основные закономерности капиллярного впитывания. А именно, сохранится режим постепенного поднятия жидкости по капилляру до некоторого максимально значения, что соответствует первому режиму, изображенному на рисунке 12 и более быстрое впитывание с последующим спадом уровня жидкой фазы, что характерно для второго режима.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Проведен анализ применения аналитических методов исследования динамики капли на поверхности подложки с учетом закономерностей межфазного равновесия. Предложен новый алгоритм обработки экспериментальных данных для определения основных физических свойств и параметров системы, включая поверхностное натяжение, угол и радиус смачивания капли.

3. На основе уравнения Лапласа разработаны математические модели, позволяющие имитировать профили жидких капель, свободно лежащих на твердой горизонтальной подложке в температурном поле. Проведены вычис-

jiiitcjii.iii.il- эксперименты но сравнению полученных результатов с результатами натурных экспериментом лля металлических расплавов на основе свинца, олона и индия с малыми добавками лиши, барин, серебра и титана на графите и стали марки 12Х18! 19Т.

3. Получены результаты по расчету скорости движения жидкости для задачи о конвекции в капле, для спиртов и их водных растворов. Найдено аналитическое решение задачи об определении стационарного профиля «двумерной» капли на неровной поверхности, позволяющее рассчитывать профили капель, для подложек с различным уровнем деформации.

4. Решены задачи о растекании капель по горизонтальным подложкам с учетом грани рационного и температурного полей, а также проведен сравнительный анализ применения различных аналитических методов к исследованию проблемы неизотермического растекания. Установлены временные зависимости радиуса растекания капли и ее высоты в апексе.

5. Получены результаты по аналитическому описанию проблем динамики капиллярных поверхностей под действием электромагнитных сил. В том числе: изучен процесс влияния постоянного тока на форму поверхностей жидких фаз и решена задача об изменении профиля капли, частично смачивающей твердую поверхность, под действием осциллирующей поперечной электромагнитной силы с последующим анализом результатов.

6. Впервые, на основе методов математического моделирования, проведено исследование процесса растекания капли с эффектом частичной пропитки подложки. В результате, получены характерные оценки изменения объема капли и угла смачивания.

7. Представлен анализ современных математических моделей процесса капиллярного впитывания. Определен «общий» вид уравнения моделирующего данный процесс. Проведены вычислительные эксперименты по расчету уровня поднятия проводящей жидкости внутри капилляра в электромагнитном поле.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Монографии:

1. Лесев, В.Н. Исследование статики и динамики малых капель. Фундаментальные основы, математические модели, численные методы / В.Н. Лесев, В.А. Созаев. - Saarbrücken (Gemiany): Lambert Academic Publishing. 201 1. -128 p.

2. Лесев, В.Н. Математические методы в исследовании статики и кинетики капиллярных поверхностей / В.Н. Лесев. - Нальчик : Принт-Центр, 201 1. -162 с.

Публикации н изданиях из перечня ВАК:

3. Канчукоев, В.З. Динамика проводящей капли на твердой поверхности в электромагнитном иоле / В.З. Канчукоев, Б.С. Карамурзов, В.Н. Лесев // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2007. -№ 3. - С. 33-39.

4. Kanchukoev, V.Z. The (emperaliire effeel on shape of free surface of liquid drop/ V.Z. Kanchukoev. V.N. l.esev, V.A. Sozaev // Перспективные материалы. Специальный выпуск. - 2007. - С, 331-332.

5. Лесев, В.Н. Моделирование кинетики профиля поверхности малой капли расплава Pb—Li в различных температурных режимах / В.Н. Лсссв // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2008. -№ 3. - С. 70-73.

6. Лесев, В.Н. Математическая модель динамики поверхности проводящей капли в переменном электромагнитном поле / В.Н. Лесев, А.М. Лайпанова // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. - Т. 15. -Вып. 2. - С. 325-326.

7. Лесев, В.Н. Аналитическое решение задачи о нахождении стационарного профиля малой «плоской» капли лежащей на неровной поверхности / В.Н. Лесев // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2009. -№ 2. - С. 38^)2.

8. Лесев, В.Н. Нелинейная математическая модель гравитационного растекания капли по твердой поверхности / В.Н. Лесев // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008 - Т. 15. - Вып. 5. - С. 899-900.

9. Камчукосв, В.З. Оценка возможных погрешностей при анализе профилей поверхности малых капель металлов / В.З. Канчукоев, В.Н. Лесев, В.Л. Созаев // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2009. - № 4. - С. 44-48.

10. Лесев, В.Н. Динамика профиля поверхности малой капли свинца под действием температурного поля / В.Н. Лессв // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2009. - Т. 16. - Вып. 3. - С. 537-539.

11. Алчагиров, Б.Б. Компьютерная реализация расчетов адсорбции компонентов в металлических расплавах в пакете "Ма^сасГ / Б.Б. Алчагиров, В.Н. Лесев, Л.X. Афаунова, Р.Х. Архестов, Ф.Ф.ДышековаДА.Кегадуева // Доклады АМАН.-2009.-Т. 11, № 1.-С. 125-127.

12. Лесев, В.Н. Исследование процесса конвекции в малой капле, лежащей на горизонтальной твердой поверхности / В.Н. Лесев II Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2009. - № 4. - С. 28-33.

13. Лесев, В.Н. Определение профиля малой капли, лежащей на неровной поверхности / В.Н. Лесев // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2009. - Т. 16. - Вып. 5. - С. 882-883.

14. Лесев, В.Н. Алгоритм расчета физических параметров малых капель расплавов и керамики в высокотемпературных полях / В.Н. Лесев, В.А. Созаев // Экологический вестник научных центров ЧЭС. -2010. 1. - С. 49-53.

15. Лесев, В.Н. Исследование задачи о растекании жидкой капли по горизонтальной поверхности / В.Н. Лесев, В.А. Созаев // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2010. - № 3. - С. 28-31.

16. Лесев, В.Н. Моделирование режимов ламинарного течения жидкости внутри капилляра в магнитном поле / В.Н. Лесев // Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2010. - № 3. - С. 25 29.

17. Лесев, В.Н. Применение натурного и вычислительного экспериментов к исследованию малых капель бинарных металлических расплавов на основе олова / В.Н. Лесев, А.З. Кашежев, В.А. Созаев Н Экологический вестник научных центров ЧЭС. - 2011. - № 1. - С. 37-41.

18. Лесев, В.Н. О новом методе обработки экспериментальных данных для малых капель расплавов / В.Н. Лесев, В.А. Созаев // Известия КБГУ. -2011. - Т. 1, № 1.-С.3-8.

19. Лесев, В.Н. Аналитический метод исследования кинетики процесса растекания капли / В.Н. Лссев // Политематический сетевой электронный научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс], 2013. - № 05 (89). - С. 1-12.

В других научных изданиях:

20. Канчукоев, В.З. Определение профиля проводящей капли в электромагнитном поле при малоугловом смачивании твердой поверхности / В.З. Канчукоев, Б.С. Карамурзов, В.Н. Лесев, В.А. Созаев, В.В. Чернов // Адгезия расплавов и пайка материалов. - 2005. - Вып. 38. - С. 33-43.

21. Лесев, В.Н. Математическая модель движения поверхности малой капли / В.Н. Лесев, A.A. Мидов // Сборник научных трудов молодых ученых. -Нальчик : Каб.-Балк. ун-т. - 2005. - С. 343-350.

22. Канчукоев, В.З. Статика и динамика проводящей капли на твердой поверхности в электромагнитном поле / В.З. Канчукоев, В.Н. Лесев, В.А. Созаев // Труды II международного семинара: Теплофизические свойства веществ (жидкие металлы и сплавы, наносистемы). - Нальчик : Каб.-Балк. ун-т, 2006.-С. 102-107.

23. Kanchukoev, V.Z. The influence of the temperature of the solid body on the shape of the free surface of liquid drop in case of incomplete wetting / V.Z. Kanchukoev, V.N. Lesev, V.A. Sozaev // 5th International Conference High Temperature Capillarity, Alicante (Spain), 2007. - P. 122.

24. Лесев, В.Н. Математическая модель распада тонкой пленки частично смачивающей жидкости под действием периодического возмущения /

B.Н. Лесев // Современные проблемы математики и смежные вопросы: материалы Международной конференции. - Махачкала : ДГТУ, 2007. -

C. 66-68.

25. Лесев, В.Н. Применение метода Фурье к исследованию разрешимости задачи изотермического растекания малой капли / В.Н. Лесев // Сборник научных трудов молодых ученых. - Нальчик : Каб.-Балк. ун-т, 2007. -С. 31-32.

26. Лесев, В.Н. Математическая модель изотермического растекания малой капли на твердой подложке / В.Н. Лесев // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: Материалы II Международной научной конференции. - Воронеж, 2007. - С. 121-122.

27. Лесев, В.Н. Динамика формы поверхности жидкой капли расплава под влиянием температуры / В.Н. Лесев // Современные проблемы математики и смежные вопросы: материалы Международной конференции. -Махачкала : ДГТУ, 2008. - С. 122-125.

28. Лесев, В.Н. Математическая модель растекания капли под действием гравитационных сил / В.Н. Лесев, О.И. Бжеумихова // XLIV Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии: тезисы докладов. - М. : РУДН, 2008. - С. 33-34.

29. Канчукоев, В.З. Математическая модель растекания капли по нагретой твердой поверхности / В.З. Канчукоев, В.Н. Лесев // Исследования по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию: сб. науч.тр.- Владикавказ : ВНЦ РАН, 2008. - С. 114-118.

30. Лесев, В.Н. Математическая модель, характеризующая зависимость профиля капли расплава от температуры / В.Н. Лесев // Сборник научных трудов молодых ученых. - Нальчик : Каб.-Балк. ун-т, 2008. - С. 49-54.

31. Лесев, В.Н. Об одной задаче со свободной границей теории капиллярности / В.Н. Лсссв // Международная конференция по математической физике и ее приложениям: тезисы докладов. Самара, 2008. - С. 118-120.

32. Лесев, В.Н. О приближенном решении одного нелинейного уравнения меюдом Фурье / В.Н. Лесе». В.З. Канчукоев, Л.Ф. Напсо // Вестник КБГУ. Серия математические науки. - 2008. - Вып. 5. - С. 52-56.

33. Kanchukoev, V.Z. The non-isothermal spreading of the conductive drop in magnetic field / V.Z. Kanchukoev, V.N. Lesev, V.A. Sozaev // 6lh International conference High Temperature Capillarity, Athens (Greece). - 2009. - P. 144.

34. Лесев, B.H. Численное моделирование профилей малых капель с реализацией алгоритмов программными средствами / В.Н. Лесев // Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики: материалы Международного российско-абхазского симпозиума. - Нальчик : КБНЦРАН, 2009. -С. 147-148.

35. Канчукоев, В.З. Исследование динамики движения проводящей жидкости в магнитном поле внутри цилиндрического капилляра / В.З. Канчукоев, В.Н. Лесев, В.А. Созаев // 12-й Международный симпозиум «Упорядочение в минералах и сплавах»: труды симпозиума. - Ростов-на-Дону, 2009. - Т. 2.-С. 169-171.

36. Лесев, В.Н. Применение квазистационарного и метода Фурье к решению уравнения неизотермического растекания капли / В.Н. Лесев, М.К. Губжева// Перспектива-2010: Материалы Международной научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов. - Нальчик : Каб.-Балк. ун-т, 2010.-Т. 5.-С. 132-136.

37. Лесев, В.Н. Математическая модель профиля малой капли лежащей в электрическом поле / В.Н. Лесев // Современные проблемы математики и смежные вопросы: материалы Международной конференции. - Махачкала : ДГТУ, 2010.-С. 82-86.

38. Канчукоев, В.З. О конвекции в малой капле дистиллированной воды, растекающейся по нагретой твердой поверхности боратно-бариумного стекла / В.З. Канчукоев, В.Н. Лесев, B.C. Пунис // Материалы 111 Международной научно-технической конференции «Микро- и наиотехпологии в электронике». - Нальчик : Каб.-Балк. ун-т, 2010. - С. 57-60.

39. Кашежсв, Л.З. Исследование металлических расплавов на основе олова методами лежащей капли и математического моделирования / А.З. Кашежсв, В.Н. Лссев, В.А. Созаев // XIIl-я Российская конференция

но теплофичнчсским свойствам веществ: тезисы докладов. - Новосибирск. 2011. - С. 227 228.

40. Лесев, В.Н. Исследование математической модели динамики малой нест-ратифицированной капли / В.Н. Лесев // Труды Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Математика и математическое моделирование». - Саранск, 2011. - С. 202-206.

41. Лесев, В.Н. Математическое моделирование статичного профиля малой капли, расположенной на неровной поверхности // Инновации в природо-обустройстве: сб. науч. тр. - Нальчик : Изд-во М. и В. Котляровых, 2011. -С. 142-144.

42. Lesev, V.N. The study of the mathematical model of capillary soaking in the magnetic field / V.N. Lesev // Modern scientific research and their practical application. 2012. - Vol. J31209. - P. 19-39.

Свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ:

43. Лесев, В.Н. Расчет динамики проводящей капли на твердой поверхности в переменном электромагнитном поле / Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. № 2012619753. Федеральная служба по интеллектуальной собственности, 2012.

44. Лесев, В.Н. Моделирование профиля поверхности малой капли в переменном электромагнитном поле / Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. № 2012661413. Федеральная служба по интеллектуальной собственности, 2012.

В печать 08.06.2013. Тираж 100 экз. Заказ №6846. Полиграфический участок ИПЦ КБГУ 360004, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173.

Текст научной работы диссертации и автореферата по физике, доктора физико-математических наук, Лесев, Вадим Николаевич, Нальчик

КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. БЕРБЕКОВА

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КИНЕТИКИ ПРОЦЕССОВ РАСТЕКАНИЯ КАПЕЛЬ

01.04.07 - Физика конденсированного состояния

диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи

Лесев Вадим Николаевич

Научный консультант: д.ф.-м.н., профессор Созаев В.А.

Нальчик - 2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 4

1. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИДРОДИНАМИКИ МАЛЫХ КАПЕЛЬ 27

1.1. Основные параметры, определяющие геометрию системы 27

1.2. Закономерности межфазного равновесия 33

1.3. Краевые углы и проблема гистерезиса 38

1.4. О новом алгоритме обработки экспериментальных данных 52

2. РАСЧЕТ ПРОФИЛЕЙ КАПЕЛЬ НА ОТШЛИФОВАННЫХ И НЕРОВНЫХ ПОДЛОЖКАХ 62

2.1. Моделирование профилей поверхностей малых капель расплавов в различных температурных режимах 62

2.2. Исследование процесса конвекции в малой капле, лежащей

на горизонтальной твердой поверхности 77

2.3. Аналитическое решение задачи о нахождении стационарного профиля малой "двумерной" капли, лежащей на неровной поверхности 84

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ РАСТЕКАНИЯ 98

3.1. Математическая модель гравитационного растекания капли 98

3.2. Применение квазистационарного метода и метода Фурье к решению задачи о неизотермическом растекании капли 114

3.3. Исследование задачи о растекании жидкой капли по горизонтальной поверхности с учетом эффекта проскальзывания 124

4. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ О СТАТИКЕ И ДИНАМИКЕ КАПИЛЛЯРНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОНДЕРОМОТОРНЫХ СИЛ 132

4.1. Влияние постоянного тока на форму капиллярных поверхностей жидких фаз 132

4.2. Исследование математической модели движения поверхности малой капли в переменном электромагнитном поле 142

4.3. Динамика проводящей капли на твердой поверхности в переменном электромагнитном поле 160

5. ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К ИЗУЧЕНИЮ ПРОБЛЕМ ПРОПИТКИ И КАПИЛЛЯРНОГО ВПИТЫВАНИЯ 165

5.1. Исследование основных закономерностей процесса пропитки при растекании капли 165

5.2. Капиллярное впитывание в гравитационном поле 172

5.3. Моделирование режимов ламинарного движения жидкости внутри капилляра 179

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 184

ЛИТЕРАТУРА 187

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Проблемы разработки фундаментальных основ и применения аналитического аппарата для исследования свойств реальных объектов являются одними из наиболее востребованных направлений современной физики конденсированного состояния. Особый интерес вызывают разработка, обоснование и апробация математических методов, используемых при изучении межфазных границ в конденсированных средах. При этом существенную роль играет развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования соответствующих моделей, позволяющих изучать физические свойства систем при различных внешних воздействиях.

Распад пленок, напыление на поверхности из паровой фазы различных составов, пропитки, пайки и другие явления формируют особый интерес к исследованию смачиваемости и растекания жидкостей по поверхности подложки, в зависимости от внешних полей и сред, которые лежат в основе физико-химических явлений, широко применяемых в технологических процессах. Фундаментальное значение аналитических методов проявляется в процессах, связанных с взаимодействием жидких металлических и керамических расплавов малых объектов с поверхностями твердых тел.

Глубокое и детальное понимание природы указанных явлений и их аналитического описания связаны с использованием условий равновесия в зоне трехфазного контакта в системе твердое тело-жидкость-окружающая среда.

В настоящее время особую значимость приобретает задача контроля и регулирования кинетики процессов смачивания и растекания капель, которая представляется чрезвычайно сложной, актуальной и требует проведения

комплексного исследования сложных физико-химических процессов, а также разработки эффективных способов влияния внешних воздействий. Но даже при отсутствии внешних сил гидродинамические условия кинетики растекания капель на твердых подложках достаточно сложны и определяются свойствами границ раздела жидкость-твердое тело и жидкость-газ.

Важное значение при исследовании межфазных границ приобретает разработка унифицированных теоретических методов, позволяющих всесторонне исследовать капиллярные свойства неорганических и органических жидкостей при их контакте с поверхностью твердой подложки. Поэтому тема диссертационной работы представляется актуальной и востребованной.

Степень разработанности темы диссертации. Большой вклад в изучение кинетики капиллярных процессов внесли отечественные ученые: П.А. Ребиндер, В.К. Семенченко, С.Н. Задумкин, Л.М. Щербаков, Б.В. Де-рягин, С.И. Попель, Б.Д. Сумм и другие.

Академические же основы данной теории были заложены в работах Томаса Юнга [281, 282], которому принадлежит разработка качественной теории поверхностного натяжения, и Пьера Симона Лапласа [245], впервые предложившего на основе ряда упрощающих допущений математическое описание этого явления.

Одними из первых подробные исследования равновесной формы лежащих капель с учетом капиллярных сил провели Башфорт и Адаме. В частности, в работе [196] ими были рассчитаны профили для различных значений поверхностного натяжения и радиуса кривизны в апексе капли воды, лежащей на стекле. Полученные данные авторы свели в таблицы, исполь-

зование которых в значительной степени было ограничено каплями определенных размеров, структур и форм. А профили радиальных сечений капель, представленные в работе, построены по расчетным точкам, число которых для первого квадранта варьируется от семи до восемнадцати.

К началу прошлого столетия исследования малых капель приобрели разнонаправленный характер. Началось изучение не только статики отдельных лежащих и свисающих капель, но и их взаимодействия с другими структурами и полями. Так, в публикациях Уортингтона [275, 276], объединенных позже в издании [277], приведены результаты экспериментальных данных по исследованию процесса падения капель на твердую горизонтальную подложку и предложены соответствующие приборы для проведения подобных опытов. А в работе Рэлея [257] впервые проведено исследование стабильности профиля заряженной капли электропроводной жидкости при малых тепловых изменениях ее формы.

Позже были получены новые результаты, которые можно охарактеризовать как важнейший этап в развитии теории капиллярности. В частности, Б.В. Дерягиным, М.М. Кусаковым и А.Н. Фрумкиным в работах [38, 41, 220] впервые было обнаружено, исследовано и корректно учтено действие расклинивающего давления. Практически одновременно с этими работами публикуются результаты исследований Я.И. Френкеля [173, 174, 219], также бесспорно внесшие существенный вклад в теорию кинетики малых капель. Детальное развитие теория капиллярности получила в работах Д.В. Гиббса [28].

Вместе с тем и перечисленные работы, и последующие за ними (в том числе [1, 51, 121, 158, 176]), хотя и привнесли существенный вклад в

общую теорию капиллярности, а также послужили фундаментом дальнейших исследований в этой области, носили прежде всего экспериментальный характер и были направлены на изучение конкретных систем, не предоставляя возможности аналитического обобщения полученных результатов. Применение унифицированных теоретических методов к описанию и исследованию процессов статики и динамики капиллярных поверхностей было затруднено в силу ярко выраженных нелинейных зависимостей, связывающих физические и геометрические параметры указанных систем.

Качественное изменение в подходе к изучению капиллярных эффектов проявилось с середины 80-х и совпало с интенсивным технологическим подъемом в промышленности и электронике. Появились новые возможности для проведения как натурных, так и вычислительных экспериментов [16, 134, 206, 247, 251].

В последние годы интерес к исследованию капиллярных поверхностей возрос, причем как со стороны отечественных, так и иностранных авторов [43, 115, 152, 268, 271]. Интенсивно ведутся исследования сразу по нескольким направлениям физики межфазных явлений [11, 150, 164, 178, 210, 221, 239]. Разрабатываются программные комплексы, позволяющие автоматизировать процесс оценки теплофизических и капиллярных свойств по форме капель. Но, по-прежнему, фундаментальные проблемы подобных процессов образуют широкий класс нелинейных задач, теория которых только формируется.

В связи с этим возникает необходимость дальнейшего развития точных и приближенных аналитических методов, позволяющих адекватно описывать статику и динамику капиллярных объектов, учитывая при этом

такие факторы как поверхностные свойства систем, влияние уровня шероховатости подложки, межфазные энергии, размерные зависимости свойств малых капель, а также одновременное влияние на процессы смачивания капиллярных, гравитационных, электромагнитных и других сил.

Цель работы. Основная цель диссертационной работы - разработка и развитие аналитических методов исследования кинетики растекания капель по твердой подложке. В рамках общей цели ставились задачи: аналитическое описание процесса растекания капель под действием сил различной природы; разработка моделей и алгоритмов, позволяющих адекватно описывать поведение жидких фаз; обоснование применяемых методов для изучения процессов, отличающихся своей нелинейностью. Адекватное описание предполагает учет максимального количества факторов, влияющих на смачивание и растекание: поверхностных свойств систем, уровня шероховатости подложки, межфазных энергий и адгезии, одновременного влияния на процессы смачивания капиллярных, гравитационных и электромагнитных сил.

Помимо перечисленных ставились задачи по развитию качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей прогнозирования изменения свойств конденсированных веществ в зависимости от внешних условий, а также по проведению вычислительных экспериментов, направленных на количественное изучение отдельных физических параметров капель с учетом возможностей современных технологий моделирования.

циальных функций. При проведении исследований динамики жидких фаз со свободными границами использовались: квазистационарный метод, методы асимптотических приближений, разделения переменных и малого параметра, а при решении задач растекания и капиллярного впитывания под воздействием электромагнитных сил - методы математического моделирования и модифицированный метод Фурье.

Из численных методов были использованы: Рунге-Кутта четвертого порядка, прогонки, баланса, интерполяции, а также современные методы обработки графических объектов, включая градиентный, и методы, реализованные в современных прикладных пакетах.

Научная новизна. 1. В работе впервые построен и реализован программными средствами алгоритм по обработке снимков и цифровых данных натурных экспериментов для капель металлических и керамических расплавов в температурных полях, превышающих температуру плавления в полтора- два раза. Разработанный метод позволяет учитывать такие факторы, как наличие прекурсора и незначительных углов наклона подложки относительно горизонтальной оси.

2. Разработана методика моделирования трехмерных стационарных профилей капель металлических расплавов на различных подложках (в частности расплавов РЬ-1л, 8п-Ва, Sn-Ag, 1п-Тл на графите и стали). Сравнительный анализ результатов вычислительных и натурных экспериментов, с учетом форм и размеров капель, показал вполне удовлетворительное согласие между ними.

3. На основе модели естественной конвекции в жидкой капли при неполном смачивании впервые проведены расчеты профиля капли и функ-

ции тока для воды, спиртов и их водных растворов. Показано, что функция тока при увеличении температуры зависит от изменения поверхностного натяжения и плотности жидкой фазы.

4. Впервые, на основе соотношений, характеризующих энергию системы газ-жидкость-подложка, получено уравнение, моделирующее двухмерный профиль капли, лежащей на деформированной подложке. Построено аналитическое решение задачи в виде неявно определенной функции, выраженной через эллиптические интегралы первого и второго рода, и выполнены соответствующие графические построения.

5. При изучении процесса растекания капель в гравитационных полях, получено новое асимптотическое решение задачи по определению профиля капиллярной поверхности для трех различных случаев изотерм расклинивающего давления. На основе полученных соотношений проведены расчеты динамики радиуса растекания капли и изменения её высоты в апексе. В рамках задачи о растекании капли в температурном поле построено новое решение, не имеющее разрыва в точках, соответствующих фронту движения жидкости, в отличие от аналогичных результатов уже имеющихся в научной литературе.

6. В приближении теории смазки и при выполнении условия сохранения объема капли, впервые разработана математическая модель, описывающая процесс изотермического растекания осесимметричной вязкой капли жидкости по горизонтальной подложке.

7. Определено влияние электромагнитных сил на статику и динамику профилей капиллярных поверхностей жидких фаз в случаях как постоянного, так и переменного поля. Для каждого из случаев в рамках соответст-

вующих математических моделей определены функциональные зависимости между геометрическими и физическими параметрами системы.

8. Предложен способ описания процесса растекания капли с одновременной потерей массы через границу жидкость-подложка, связанный с последовательным решением двух задач: определение профиля капли над уровнем подложки и определение границ распространения жидкости в самой подложке. Получены временные зависимости для профиля капли, ее объема и угла смачивания.

9. Установлен канонический вид уравнения моделирующего процесс капиллярного впитывания. Найдено его общее решение для случая горизонтального расположения капилляра и/или случая невесомости. Построены кривые капиллярного впитывания проводящей жидкости в зависимости от напряженности внешнего электромагнитного поля.

Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечиваются их соответствием экспериментальным данным, строгими математическими выводами и апробацией исследованных моделей на реальных системах.

Кроме того, всестороннее исследование систем газ-жидкость-твердое тело позволяет не только лучше понимать процессы, протекающие внутри сложных физико-химических систем, но и дает возможность предсказывать их поведение в различных условиях под воздействием внешних сил и открывает новые перспективы управлять ими с точки зрения их практического использования.

Применение математического аппарата к исследованиям задач механики жидкости является ключевым условием при установлении качественных и количественных связей, характеризующих физические основы изучаемых процессов, чему и способствуют результаты диссертационной работы. Это позволяет, в свою очередь, применять современные средства визуализации для обработки установленных закономерностей, что также положительно отражается на теоретической и практической значимости работы.

Полученные результаты могут быть применены при разработке теплоносителей для атомных реакторов, бессвинцовых припоев для пайки изделий электронной техники, разработке способов металлизации керамики и полупроводников, а также оптимизации технологии изготовления микроканальных пластин для приборов ночного видения, алмазометаллических композиций методом пропитки жидкими расплавами капиллярно-пористой шихты и т.д.

Публикации. По теме диссертации опубликованы две монографии [92, 111], а также работы [7, 61, 64-69, 73, 82-91, 93-100, 102, 105-110, 112, 113, 236-238], и