Аналитические методы изыскания периодических решений гиперболических уравнений второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Мшктерство освгги Укра'ши Льв1вський державний ушверситет ¡м. 1в.Франка

РГб ол

1 7 О НТ ^Нп На правахрукопису

ХОМА НАД1Я ГРИГОРЮНА

АНАЛ1ТИЧНТМЕТОДИ В1ДШУКАННЯ ПЕРЮДИЧНИХ РОЗВ'ЯЗКШ Г1ПЕРБОЛ1ЧНИХ Р1ВНЯНБ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

01.01.02 — диференщальш р1вняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертащУ на здобуття вченого ступеня кандидата ф^зико-математичних наук

Льв1в - 1996

Дисертащею е рукопис.

Робота вшсонана на кафедр1 математичного анаМзу Тернотльського державного педагопчного щституту.

Науковий кер1вник — кандидат ф1зико-математичних наук, доцент Гром'як МЛ.

Офщшш опоненти:

доктор ф1зико-математичних наук, професор Пташник Б.Й., кандидат ф1знко-математичних наук, доцент Кщ>илич В.М.

Проврана установа — 1нститут математики НАН Укра'ши, м.Кшв.

Захист вщбудеться "•/П/СУГ) ¿lB.iL 1996 р. о •/р" год. на заоданш спешашзовано! вчено"1 'ради Д 04.04.01 при Львтському державному ушверситеп ш. 1в. Франк а (290001, м. Льв1в, вул. Ушверситетська, 1).

3 дисертащею можна ознайомнтися в б1блютещ Льв^вського держ-ушверситету (м. Льв1в, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат роз1слано

1 02М/ЛЛ1

¿/ж 1996 р.

Вчений секретар спещал1зовано1 вчено! ради

Микиток Я.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальшсть теми. В теорп звичайних диференшальних р1внянь роз-роблено ряд аналггичних метода вццпукання перюдичних розв'язгав як лшшних, так i нелшшних диференшальних piBiwitb.

Щодо ршнянь з частинними похщшми, особливо piBffiotb другого порядку ппербо.тачного типу, то можна стверджувати, що аналггачш метода вццпукання перюдичних розв'язюв почали тшьки недавно розроблятися. До 80-х роюв здебшыпого доведения юнування перюдичних розв'язгав пперботчних piBimin, другого порядку проводилося за допомогою ряда Фур'е, причому перюд Т i крайова умова шдбиралися так, щоб можна було досягти бажаиого результату.

Першою серед po6iT в цьому напрямку була робота Н.А.Артем'ева [Артемьев Н.А. Периодические решения одного класса уравнений в частных производных // Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1937. - №1. - С. 1550], в якш в области {0 < х, t < 1} розглядалася задача

hi ~ «Ч* = О + 00> (J ч

z(0,f) = 2(1, t) = 0, Z(.Y,0) = 2(Х,\), 2,(л-,0) = 2г(л,1).

Доведено, що коли a=(2m+\)lp (m, р — щш числа, рФ0), то при В1дп01!1днмх обмеженнях на функцп Ф(х, t) i fiz) при достатньо малому s кнуе единий класичний розв'язок задач1 (1) в iciaci функцш, яю зображаються за допомогою ряду7

со

i(.y, 0= X z2k+1 (0 sin(2A- +1) юс. (2)

k=0

Ана.шзуючи стан розвитку теори нел1ншних крайових задач дта pirn ишь з частшшими похщними, можна стверджувати, що комплекс питань, пов'язаних з проблемою дослщження розв'язив цих задач, ще недостатньо вивчений. В ряд po6iT з диференшальних р1внянь rinep-бо.шчного тип}', яю появилися останшм часом, вивчаеться одном1рне ппербол1чне р1вняння, шншна частина якого — оператор Даламбера, а нелшшщсть мае вигляд F]u](x, t. е) = fix, t, и, и,, их, s), де s — малий параметр. При цьому для встановлення теорем кнування викорис-товуються методи нелнпйного функщонального анал!зу, Teopii' неявних функцш, liapiauiiiHi методи, а також Teopin монотонних onepaTopiB.

Широка б1б.шограф1я по перюдичних розв'язках диференшальних i диференшально-операторних р1внянь наведена в роботах О.Вейводи [Vejvoda О.. Hartman L., Lovikarova Н. et all. Partial differential equations: Time periodic solutions. - In: Alphen aan. den Rijn. SijthofF: Noordhoff. 1981. -

358+XIII p.] i Б.Й.Пташника [Пташник Б.И. Некорректные граничные задачи дня дифференциальных уравнений с частными производными. -К.: Наук, думка, 1984. - 264 е.]. Серед po6ti, ям не включеш в дану 61бл1ографпо, треба вщмптгги роботи сучасних математиков Митропольського Ю.О., Рудакова M.I., Хоми Г.П., в яких розглядаеться лшшна крайова перюдична задача

ип - а2ихх = g(.v, г), (.v, t) б I x R, ,3)

и(0, t) = u{n, t) = 0, u(x, t + T) = u(x, I), (x, t) e I x R,

на конкретно визначених просторах функщй, ticho пов'язаних з множиною I, перюдом 7'i параметром а.

Зауважимо, що лише при певному Buoopi перюду Т-1 i вщповщних крайових умовах при х=0 i х=\ Артем'еву вдалося довести вище згаданий результат. Такий шдхад при доведенш ¿снування перюднчннх розв'язив р1внянь з частинними похиними використовувався багатьма математиками (В.Н.Карп (1960, 1963); А.П.Митряков (1948, 1949); Г.Т.Соколов (1953); М.В.Соловйов (1939)), причому результата одер жув а лися кож ен раз в спещально видшених просторах функщй.

В 1984 рощ чеськнми математиками О.Вейводою i М.Штедри в poooTi [Венвода О., Штедры М. Существование классических периодических решении волнового уравнения: Связь теоретико-числового характера периода и геометрических свойств решений// Дпффс*ренц. уравнения. -1984. - 20, №10. - С. 1733-1739.] вдалося класифшувати нижче вказаш простори функшй при умов1, що осташп належать С i G,. де С — клас функщй двох змпшпх х i /, неперервних i обмеженнх на R": G, — клас функщй двох змпшнх .г i t, неперервпих i обмеженнх на R' разом з пох1Дною по /. Коротко зупншшося на основнпх результатах вказано! роботи. По-перше, видшено таи три перюди i три просторп функшй для випадку я=1:1) w, = Ълр !q, р - непарне, q -парне, (p. q) = 1,Л\ - {и: и(х. t)= =г/(дг. ЖгО = и{я-х. /)}; 2) it-; = 2nplq, р -парне, q - непарне, (р, q) - 1, ={гс и{х, t) = -п(х. t+w2/l)}: 3) ir3 = Inplq, p i q - Henapni, {p. q) = 1. Аъ = {и: u(x. t) = n(tr- x, Жгз/2) = ti(x. Жп)}.

По-др\те, доведено, що однорщна крайова перюдична задача

ill - ¡4 = 0 , и°(0. /) = и\т1. О = 0. (4)

и°(х. l+w,) = «V, О- 0 < х < я. t е R, / = 1, 2. 3.

мае лише трнв1альннй розв'язок ii\x. t) = 0, а, отже, вщповщна неоднородна задача (3) при g(x. t) е Л,, i = 1. 2. 3, мае сдиннй розв'язок

и(х, I) е Л,-, / = 1,2,3.

По-трете, проведена класифцсащя робгг за вказашши просторами Л„ /=1,2,3, тобто названо пращ, результата яких одержано в простор! Л\,Л2, 1 зауважено, що проспр А3 розглянуто у робот! вперше.

По-четверте, розв'язки задач! (3) шукаються за допомогою просто! модифжацп формули Даламбера, яка дозволяе уникнути виразхв, в яких пoтpiбнo сумувати несюнчент ряди. Перевагою розробленого аналогичного методу, який використовуеться в простор! неперервно диференщйованих функцш, крш надзвичайно! простота, е 1 вщсутшсть умови на значения функцш, та стоять в правш частиш ртняння и,, - иш =/{х, г, и, иь их, £•), в межових точках штервалу [0, п\.

Потр1бно зауважити, що в анотованш више робот! О.Вейводн 1 М.Штедри не вивчасться проблема виникнення простор!в А„ / = 1, 2, 3, 1 не точно побудована формула розв'язку задач! (3) в простор! Аз. Тому, природньо, постають питания: чи ¡снують шин простори функщй, в яких може бути розв'язана задача (3)? Якнй вигляд мае розв'язок в таких просторах?

Вирипенню Щ1Х питань, а також вццпукашгю аналтганих розв'язгав лшшно! задач! (3) 1 вивченшо на основ! !х властивостей нелшшних крайових перюдичних задач ! прнсвячена дисертащйна робота.

Мета роботи. Встановити умови ¡снування розв'язюв крайових перю-дичннх задач для квазшшйних ппербол!чних р!внянь другого порядку та встановити простори функцш, в яких вказаш задач! сумшш. Знайти аналггичш розв'язки лшшно! кранов си перюдично! задач!.

Метод» дослиження. В днсертащйшй робо-п використовуються метода '¡а га льнем теори диференщальних р!внянь ¿з частинними по.одними, теорп штегральних р!внянь 1 функщонального ана.шзу.

Наукова новизна.

- Встановлено функщональш умови розв'язносп лшшно! крайово! перюдично! задач!.

- Визначено конкретт простори функц!й, в яких кттоть класичн! ро зв'язки лшшно! крайово! перюдично! задач!.

- Знайдено для кожного визначеного простор) обернений оператор, який породжуе розв'язок лашйно! крайово! пер!одично! задач!.

- Доведено теорему ¿снування ! единос-п класичного розв'язку .тетино'! крайово! перюдично! задач! для конкретних простор!в функц!й.

Отримано умови кнування гладкого розв'язку нелзшнно! крайово! пер!одично! задач!.

Теоретична ! практична цшшеть. Результат» дисертацп с вагомим внеском в теорио крайових пер!одичних задач для квазшшйних гшербо-

шчних рйзнянь другого порядку. Знайдеш алгоритми можуть бута використаш для вивчення копкрспшх задач практики.

Апробащя роботн. Результата робота доповщалися на М1жнароднш науковш конференци "Нелшшт крайов1 задач! математачно! ф1зики i !х застосування" (м.Тернопшь, 1994р.); на М1жнароднш науковш конференци, присвяченш 150-р1ччю в!д дня народження видатного украшського фвика i електротехнша 1вана Пулюя (м.Терногаль, 1995р.); на Третш i Четвертш \пжнароднш науковш конференци ш. академжа М.Кравчука (м.Кшв, 1994, 1995р.); на Всеукра'шськш науковш конференци "Розробка та застосування математичних метода в науково-техшчних дослщженнях", присвяченш 70-р1ччю в1д дня народження професора П.С.Казвпрського (м.Льв1в, 1995р.); на ceMimpi Bi;uÜJiy теорй нелппйних коливань i математачно! ф1зики 1нституту математики HAH Украши (кер1вник — академж Ю.О.Митропольський); на ceMmapi вщгцлу теорй р¿внянь з частинними похщними Гнституту математики HAH Украши (кер1вник — доктор ф1зико-математичних наук, професор М.Л.Горбачук); на Льв1вському м1ськомуи ceMinapi з теорй' диференщальних р1внянь (кер1вники Б.Й.Пташник, В.Я.Скоробагатько, С.П.Лавренюк, 1996р.).

Публиящи. Основш результата дисертацй опублжоваш в роботах [1-11], список яких подано в кшш автореферату .

Особпстнй внесок днсертанта. Основш результата дисертацй' отримаш автором самост!йно, теорема 11.2.1 — у сшвавторств1 з Ю.О.Митропольським, а теорема 111.5.2 — у сгававторст з Л.Г.Хомою.

Основш положения дисертацй, то внносяться на захист:

- Знаходження обернених оператор1в i вивчення ix властивостей.

- Доведения теореми ¡снування i единосп класичного розв'язку Jii-ншно! крайово! перюдично! задач1 в конкретних просторах функцш.

- Встановлення умов ¡снування гладкого розв'язку нелнийно! крайово! перюдично! задачь

Структура i об'ем роботп. Дисертацшна робота складаеться 3i вступу, трьох глав, висновку i списку лшгратури, внкладених на 119 сторшках машинописного тексту. Список лггератури мктить 122 найменування.

3MICT РОБОТИ

У встут зроблено короткий огляд лггератури по TCMi дисертацй", ви-кладено основш результата роботи.

У першш глав! дослщжусться ¡снування та едишсть розв'язгав крайово! перю.тмчо! задач!

i<tt - a2u„ =fix, t), (x, t) e R2,

u(0, t) = «(/г, 0 = 0, u(x, t+T) = u(x, t), (x, t) e R2

Розглядаються тага простори функцш: С - npocrip функцш двох змшних x i t, неперервних i обмежених на R2; Gx - npocTip функцш двох змшних x i t, неперервних i обмежених на R2

разом Í3 похщною по х; Q2, - npocrip 2;г-перюдичних по х на R2 функцш;

- npocrip непарних по х i 2тг-перюдичних по х на R2 функцш; Qt - npocrip Г-перюдичних по t на R2 функцш; Hab - npocrip функщй/сС, íiici задовольняготь на R2 умови

r(x, ау,Ь + т) = —г(х, ау, г),

о ь

J í/rjr(x,a(r+ w),b + r)dw= О,

-г о

де b — дшсне число, вщмшне вщ нуля, а

г(х, ау, т) = - J {/(.Y+ а (у -т),т)+ /(х- а (у - г), г)};

C'J - npocTip функшй i раз диференцшованих по х i j раз диференцшо-

ваних по t (якщо i = J, то C' j (R2) = C'(R2)); <3Ф - npocTip функций двох 3MÍHHHX x i t, якi розкладаються в piBHOMipHo зб{жш ряди виду

/(.v,0 = ¿/H(0sin/uc

л=1

На ochobí видозмши розв'язку 1 ' '

(.p0f)(x,t,a) = -¡dr¡ {/(x + а{у- г), г) + /(х - а(у - г), r))dy

2 О t

MiuiaHoï задач1

и„ - а2 и^ =/(х,[), 0 < л- < л, и(х, 0) = <р(х), u¿x, 0) = у/(х).. 0 < х < тт. 0 < / < Г, м(0. 0 = и(л. г)=0. 0 < t < Т. Ж fix. t) — непарне 2/Т-перюдичне продовження функцп / по змшнш х з BÍipÍ3Ka [0. 7Î\ на всю числову bícb, в §2 побудовано onq^aTop

it b t (Ff)(x,t,a,b) = jdrjr (x, ay, r) dy-jdrjr (x, ay, r)dy,

Or t r

за допомогою якого встановлюються умови ¡снування розв'язку крайово! перюдично! задач1 (5). Доведено таке твердження:

Теорема 1.2.4. Для/е Gx о QT n Q^ п НаЬ функщя и = Р/с функщею з

простору C2(R2), яка задовольняе умови (5).

В §3 на основ1 nepuioi' залежносп, що визначае npocTip НаЬ, виведено функщональне р1вняння

f{ab -z,b + t) =/(z, г), V (г, г) е R2, (6)

при допомоз1 якого визначено таи три перюди i три простори функцш:

Ti=(2p-l)*, (2p-l,aq) = \, fe, = Txq, aq

Bla = {/(л-, t):f(x, t) = -f(-x, t) = f(x, r + 7^) = /(* - x, o};

T, = 2^2P~l\ a ^ 2a, q = 2s-\, {2p-\,aq) = \, b-, = T,q/2, aq

Bl = if(x, t)-.f(x,l) = f(n-x, t + T212) --f(-x, t) = f{x,r + T2) =

= f(x + 2x,t)}:

= q = 2s~\, д * 2a, (k,aq) = 1, b,~T3q/2, aq

Bl = {/(-v,r): f(x, t) = -/(-.v, t) = /(*+2n, t) = -f(x,t + T3 / 2)}. Детально вивчено таи властивосп простору В\ : Лема 1.3.1. Якщоf е В1а г\ С, то/е Q2)r о С.

Лема 1.3.2. Якщо для фушаш/еС пВ] справедливий розклад в ряд Фур'е

со

/(*.') = LA(0 srnfcv,

к = ]

то/;„(0 = 0 для BC1X л = 1, 2, 3, .... тобто в цьому випадку ряд мае вигляд

00

/(Л,0 = 1/2,-1 (0 sin(2i-l)x

i=l

Основна лема 1.3.3. Якщо/е С гл В1а , то/е Hai) п С.

Теорема 1.3.2. Для/ е От о В\ функщя

и(х,0 = = $ 0(т)4т$ г(х,ау,т)(1у,

О г

де

Г1,

I щ

с функщею з простору С2 п В\, яка задовольняе умови крайово! перюдично! зада'н (5), прнчому

деа^01||/(л-,0||с = 5ир{]/(х,0|; (х,Г) е К2}.

В §3 також показано, що функци/ ей] п С задовольняють обидв! умови простору НаЬ, а функцп/е В*а гл С, .ч = 2, 3, — лише першу. Однак 1снус клас функцш / е В^ г\ С, 5 = 2, 3, яю задовольняють другу умову простору Наг>.

Лема 1.3.5. Якщо / е Щ п С, 5 = 2, 3, розкладаеться в р!вношрно зб1жннн ряд Фур'с виду

со

/(лс,г) = Х/|.(Ояп их

Л=1

для вс1х ? е [0, 7^], 5 = 2, 3, то / е Наг, пС,1 = 2,3.

Теорема 1.3.3. Для /е Ох о гл <3':> функщя

Ь, х + а(Г-г)

О х-вГ,-г) (8)

Ь$ = ТЛП. 5 = 2, 3.

с функщею ¡з простору С2, яка задовольняе кранову першдичну задач}' (5).

Доведено, що тшъки оператор Р\ вщображае проспр функцш Вха сам в себе (теорема 1.3.2); побудоваш операторы Р?, э = 2, 3, не вадображають вказаш простори 2, 3, самих в себе, але при

додаткових умовах (теорема 1.3.3) дають розв'язок крайово!' перюдично! задач! (5), причому лема 1.3.5 вказуе достатню умову, при якш шукана функщя и(х, 0 = (Р? j)(х, г) е С2 п ££, х = 2, 3.

В даному параграф! зауважено, що теорема 1.3.2 е узагальненням вщповщно! теореми, яка була вперше сформульована в робот! Н.А.Артем'ева в 1937 рощ при Т\ = я ! а = (2р - \)1д, р е Ъ, q е N. причому шукана функщя зображалася у вигляда ряду Фур'с, вказаного в ле\п 1.3.2.

В §4 доведено, що однородна крайова перюдична задача ийп - а2и0^ = 0, (х. I) е Я2, и°(0, 0 = «V, О = о, и°(х, 1+Т) = и\х, о, (*> 0 е И2, в побудованих просторах функцш Ва, / = 1, 2, 3, для а е О мае лише тргшальний розв'язок, на основ! чого в §5 сформульовано наступш теореми !снування! единосн розв'язку неоднородно! задач!.

Теорема 1.5.1. Для/е в* пВ^, а е О, функщя и = визначена формулою (7), е единою функщею ¡з простору С2 о В]а, яка задовольняе умови крайово! перюдично! задач! (5).

Теорема 1.5.2. Для/е г\Вагл О*, я е <3, функщя и = I?/, /=2. 3, визначена формулою (8), е единою функщею ¡з простору С2, яка задовольняе умови крайово! перюдично'! задач! (5).

За допомогою побудованого в першш глав! оператора Р для роз-в'язност! лшшно1 задач! (5) та ощнок розв'язку ще! задач! в другш глав! одержано результата! для нелшшно! крайово! пер!однчно! задач!.

Друга глава присвячена двом частковим випадкам, а саме, розглядаються рйвняння виду и„ - а2ихх = Т7 [и, и,] ! и„ - и^ = Р [и. и,. их]. де Г — оператор, який кожну гладку функцш и(х. !) переводить в скалярну неперервну функцио 0 I. и(х, ?)) в простор! В]а .

На основ! принципу стиснених виображень ! його узагальнення доведено таи дв! теореми ¡снування ! единост! розв'язку вище вказаних задач.

Теорема 11.2.1. Нехай скалярна функщя Р[и. иЦ{х. /) =/(х. /, и{х. /).

0) задовольняе так! умови:

1) fix, t, u(x, t), ut(x, /)) e C(R2 X ||и||с<ос x ||мг|[с< oo);

2) 0 < |F[0,0](.x,i)||c = Г <oo ;

3) \F[u",u',](x,t) - F[u',u[](x,r)| < A',\u"(x,t) -u'(x, t)\ + N2|«r"(.v, t) - u't(x,r)|;

4) F[0,0](x. t)eBla,a e Q; 5) для Bcix u(x, t) e B\ n C^R2)

F[u, ut](x, t) e Bxa n C(R2). Тода при виконанш умови

4 1 2 " 2

задача

"я - а2ихх = F [и, и,], (х, 0 б R2, (9)

и(0, г) = »(я-, f) = 0, и(х, t+T) = и(х, г), (-V, г) е R2, (10)

мае единий гладкий розв'язок и(х, t) е Вха n C^R2).

Теорема IL3.2. Нехай скалярна функщя F [и, и,, их](х, г) = /[х, Г, и(х, /), ut(x, I), их(х, 0) задовольняс таю умови:

1) fix, U и(х, 0, ufc, 0 , «Лх, 0) е C(R2 х ||и||с< оо х ||и,||с< со х ||их||с< со);

2) 0<|Н0,0,0](х,0||с = Г<оо;

3) \F[u", и'/, и"]{х, г) -F[u\и;, и'х ](х, 0| < .V,|м"(-*,0 -«'(х,0| + + л'2|к;'(.1-,о - мг'(лг,г)|+ .Уз|»;'(х,/)-«;(л-,/)|;

4) F[0,0,0](x. t) eBla,a е Q; 5) для Bcix и(х. t) е Bla n C'(R2)

и„ нх](х, /) e ß] n C(R2). Тола при виконашп умови

4 1 2 V *

задача

И» -и«- = Р ["• и,, "г], (X. г) е R2, и(0. 0 = и(я. t) = 0. м(х, Н-7) = и(х, /). (х. /) е R2, (11)

мае единий гладкий розв'язок и(х. t) е Вха гл C>(R')-

Одержан! теоремн включають в себе результата для р1зннх часткових випадюв, а саме в §4 наведено таи два внпадки:

Теорема II.4.1. Нехай F\u, и,. м,г](х. t) - fix. t) + е fi(u) i fix. t) i fi(ii) задовольняють vmobii:

1) fix, t) е C(R2) nfl'.aeQ; 2) О < ||/(x,r)||c = Г2 < oo; 3)/,(0) = 0;

4Ш«) e Lip (Ni, R), Ni = const; 5)/,(-«) = -/i(«)-

Тода при достатньо малому за модулем £• нешншна задача

Ии -Ли =ЛХ, 0 + £•/!(«), (*, 0 е R2, а2)

и(0, Í) = и(к, t) = 0, и(х, t+T) = и(х, 0, (л:, 0 е R2,

при а е Q мае единий гладкий розв'язок и(х, t) е Bla r\ С'(R2).

Теорема II.4.2. Нехай викоиуються таю умови: 1) J(x, 0 е C(R2) nfi'.aeQ; 2) 0 < ||/(x,í)||c = Г3 <с»; 3)/2(0) = 0;

4Ш»,) е Lip (N2, R), Л'2 = const; 5)/2(-m,) = -/2(и,).

Тода при достатньо малому за модулем £-нелшшна задача и„ -,а2и/) + £fz(ut). (*, 0 е R2, м(0, i) = м(тг, г) = 0, м(х, t+T) = w(,v, í), (,v,í)eRJ, (13) при а б Q мае единий гладкий розв'язок и(х, t) е о Cl(R2)-

Розглянуто приклади р1внянь, яю задовольняготь умови теореми II.4.1 або умови теореми II.4.2.

Як гиде умок зробленого, в трстш raaei на ochobí onepaTopie Вейводи-Штедри дослщжуються умови ¡снування i единосп розв'язку ряду крайових перюдичних задач.

Розглядаються таю простори функцш: С* - npocTip функщй двох зм1нних х i t, неперервних i обмежених на [0, л\ х R;

Gw - npocTip функцш двох 3MÍHHHX .V i t, неперервних i обмежених на

[О, 7t¡ х R разом з похщною по Г, Q„r - npocTip функцш g(.v, t), ям задовольняють на [0, л] х R сшввщно-шення g(x, t+T) = g(х, t). В §§ 2-4 визначено простори функщй, в яких cymíchí крайов1 перюдичш задач1 виду

и„ -ихх = F[u, и„ и,.], 0 < .V < /Т, t е R, (14)

«(0, /) = м(;г, f) = 0, и(х, t+T) = и(х, г). (15)

Зокрема, в §2 розглядаються операторн i Si, що визначаються формулами

. х t+.\-£

(Slg)(x,t) = --¡d4 jgtf,T)dr, (16)

О t-\+£

(%)(*,?) = I8(4,Т)с1т, (17)

х г+х~4 1 ДОВОДИТЬСЯ IX властивость

Леиа 111.2.1. Якщо g(x, г) е С11г п то кожна з функцш и1 = 1 г/2= е розв'язком лшшного неоднородного р1вняння и'п = 8(х,г), /=

=1, 2, причому и'(х, Г) е , / = 1, 2. Також розглядаеться оператор

(.%)(*, 0 = г) + Г)) , (18)

що володас нижче вказаними властивостями.

Лема Ш.2.2. Якщо g(x, I) е п (ХжТ, то функщя и(х, г) = (х, г) е розв'язком тако'1 задачк

и,, -ихх = g(x, г), и(х, 1+Т) = и(х. /), 0 < х < л, / е II,

причому

= (19)

4 о ,-4

^ ж 1+п-4

= ¡8(4,т)<1т. (20)

о 1-/С+4

Кр1М того, за уважен о, що при виконанш ум о ни я(я-х, Г) = Г) прав1 частшш р1вностей (19) 1 (20) р1вт М1Ж собою. Якщо тепер розглядати проспр функцш

Л( = {и: и(х, I) = и{тт - х, I) = и(х,1 + Т)} ,

визначених на [0. яг] х И, то на основ1 форму л (16)—(18) 1 леми Ш.2.2 справедлив! наступи твердження.

Лема Ш.2.3. Оператор 5' володн: такими властивостями:

5 е Цсх о 4Г, С! о Л,г), С\ с Л?).

Лема Ш.2.4. Якщо §(х, г) е (7Я п л[, то ф\икшя и{х, !) = (5^) (х, г) с класичним розв'язком тако! краново1 задачк

"„ ~ "лл = о. "(0.1) = и(л. о,

и(х, ¡+Т) = и(х. 0, 0 < х < я, ! е И. На основ1 одержаних в §2 результат >'§§314 дослзджлтоться липши крайо1н л\ 2я-перюдичш задачь

Зокрема, в §3 дано вщповщь на питания про розв'язшсть шншно! крайово! тг-перюдично! задач! виду:

Щг ~ ихх~8(х1 0> 0 < х < я; / е К, и(0, 0 = и{п, Г) = 0, и(х, С+Т) = и(х, 0, 0 <х< тс, I е И. (21) Справедливе наступне твердження.

Теорема Ш.3.1. Якщо I) е (?яп Л" = & g(x, Г) = ¿{тс - х, ()= =g(x, 1+п>), и' = тdq, ц е Гчт}, то функщя

«(х, I)=(дг §)(х, г) = (%)(*, фт

4 о

с единою функщею ¿з простору С2 г\ А" , яка задовольняе умови (21), причому

||М((х,о||Сл *§к(хо||Ся, ¡м*.')^ < §1И*,о|!с,,

де ¡£(*,/)||Ся = 5ир{|5(х,/)|; 0 < х < я, / еЯ).

В §4 дослщжуеться така 2тг-пер1одична задача:

Ч„ -ихх = §(х, г), О < X < тс, I 6 К, и(0, г) = и(л, I) = 0, и(х, Г+2я) = и(х, ?), (х, г) е[0,я] х И. (22) Показано, що в конкретно визначеному простор! А= {и: и{х, /) = =м(?г-х, Г+я) = и(х, г+2я-)} функщя виду

_ я- 1+г

и(х, I) = (/^)(х, 0 = (5^)(х, I) + -| | §(£, Г)</Г +

4я" о г~г

¡т 1+я-е

4/Г о г-,т+г

при ^ е Бя п Л22,т с класичним розв'язком задач! (22), причому справедлив! наступи! твердження.

Лема Ш.4.1. Оператор володце такими властивостями:

Я?" е Ц(СЛ г, А;л, С' о ,122'т), 1<;'т е о А;л, С; о ).

Теорема Щ.4.1. Якщо g(x, t)eGM п , то функщя и(х, t)-(^2(х< О

е единою функщею i3 простору С; о А]", яка задовольняе умови (22), причому

||и,(X, г)||с^ < Y\\g(x, o||Q ; ||мг(х,ol^ < ;r|g(*,o||Q • У п'ятому i шостому параграфах дослщжуеться ¡снування гладкого е розв'язку нелпшших крайових я i 2,т-псрюдичиих задач. В §5

розглядасться задача

"« - Чхх ~ F(u, и„ их), 0 <х< я. t е R, и(0, 0 = и{я, 0=0, и(х, t+7dq) = а(х, t), (х, t) е[0,я] х R, geN; (23) а в §6 —

и„ - Ый- F{u, и,), 0 < х < л; t е R, и(0, t) = и(я, 0=0, и(х, t+2x) = и(х, 0, (-V, 0 е[0,я] х R, (24) де F — onqniTop, який кожпу гладку функцйо и е Ci п Л[< (/=1, T\=jt, /'=2,

Т2-2я) переводить в скалярну неперервну функцйо /^(.v.f) е С, о Д7' •

На основ! принципу стпсненнх вщображень i його узагальнення доведено теореми кнування i единостз розв'язку вище вказаних задач.

Теорема Ш.5.2. Нехай скалярна функщя F [и. и,. г/^](х, t) = fix. t. и(х, t). ut(x, t), ux(x. t)) задовольняе таи умови:

1) fix. t. u{x. t). 11,(x. t) , ux(x, t)) e C([0, я] x R x ||г/||с < 00 x ||м,| < 00 x x |«х|Ся < oo); 2) 0 < |j/q0,0,0](.v,0ÜQ = Г <00;

3) |Flu".и;1.<:](x./) - F[u',и'„и'х](x.r)|< A7,|«"(x, t)-u'(x,0| +

+ .v2|H,"(.v,O -»;(.v,o|+А?зК"(Х,О -«;(-v,o|:

4) F[0,0,0](x. t) e Л* ; 5) для Bcix 11 (x. t) e Л* n C'

F[u. и,. «X](x. t) e Ar{ n CT. Тод при виконанш wiobu

задача (23) мае единий гладкий розв'язок u{x,t) е Л? о С\.

Зауважено, що при послабленш умови (25) доведения можна провести на основ! узагальнення принципу стиснених вщображень.

Теорема Ш.5.3. Нехай виконуються умови 1) - 5) теореми III.5.2. Тода при виконанш умови

задача (23) мае единий гладкий розв'язок u(x,t) е А* гл Ö ([0, л\ х R).

Теорема Ш.6.1. Нехай g е Сяг\ Ä?. Тода лшшна задача (22) мае

единий гладкий розв'язок и = R^geA^n, С*1 для якого справедлив! ощнки теореми III.4.1.

Теорема Ш.6.2. Нехай скалярна функщя F[u, ut](x, t) = fix, t, u(x, t), u,(x, t)) задовольняе таи умови:

1) fix, t, u(x, t), uix, t)) e C([0, я\ x R x ||«||Q < oo x < oo);

2) 0< ||JFI0)O](.v)i)||Q = Г<«>;

3) \F\u",u;](x,t)-/l«',u;](.v,r)| <iV,¡1v"(-v,o -и\х,г)\+Ar,|w;'(.v,i) -m;(x,o|;

4) /<J0,0](x, t) e A\K; 5) для Bcix u(x, t) e А:" о C\ ([0, jjxR)

F[u, u,](x,t) e А;* глСл.

Тода при виконанш умови

3 N,n2 NiTT , ——+—=— < I 4 2

задача (24) мае единий гладкий розв'язок и(х, () е Aj" о С]. .

висновки

В дисертацшшп poooTi дослижена лшшна та нелшшна крайова пе-рюдична задача для плерботчного р1вняння другого порядку. Встановлено теорему кнування i единосп класнчного розв'язку лншшо! крайово'1 перюдично'1 задачь Внведено функщональне р1вняння, при допомоз1 якого визначено конкретн1 просторы функцш, в яких icHye класичний розв'язок лшшно1 крайово1 nqiio;.oi4Hoi задачь Вивчено властивосп обернених onepaTopiB. Знайдено аналпичш розв'язки aininnoi крайово! перюдично! задачь Отримано умови юнування гладкого розв'язку нелнййно! крайово! перюдично! задачь

Основш положения дисертаци опубласоваш в наступних роботах:

1. Хома Н.Г. Розв'язшсть одша крайово!" задач1 //Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. -Киев: Ин-т математики HAH Украины, 1994. - С. 195-196.

2. Хома Н.Г. Про сумкшсть одше! крайово! задач! //Третя \пжнародна наукова конференшя Lvi. академйса М.Кравчука (Ки'ш, 25-27 травня 1994р.): Тез.доп. -К.: 1н-т математики HAH Украшн, 1994. -С.121.

3. Хома Н.Г. 1снування гладкого розв'язку одше! крайово!' задач! //Укр. мат. журн. -1995. -47, №12. -С. 1717-1719.

4. Хома Н. 1нтегралъш зображення хвильових процеав //М!жнародна наукова конференшя, присвячена I50-pi44io вщ дня народжения вндатного украшського ф1зика i електротехшка 1вана Пулюя (Терношль, 24-28 травня 1995 р.): Тез, доп. -Терношль, 1995. -С.37-38.

5. Хома Н.Г. Простори розв'язгав одше! краново!" задач! //Доп. HAH Укра'ши. -1996. -№1. -С.17-19.

6. Хома Н.Г., Петр!вський Я.Б. Про першдичш розв'язкн квазшшйних ргвнянь ппербол1чного типу //Четверта м1жнародна наукова конференшя lm. Академжа М.Кравч\тса (Knie, 11-13 травня 1995 р.): Тез. доп. -К.: 1н-т математики HAH Украшн, 1995. -С.241.

7. Мнтропольськнп Ю.О., Хома Н.Г. Перюдичн! розв'язки квазшшйних rinep6o.ii4Hiix р1внянь другого порядку //Укр.мат. ж\рн. -1995.-47, №10. -C.I370-1375.

8. Хома Л.Г., Хома Н.Г. Про властнвкть розв'язюв одше! краново! задач! //Доп. HAH Украшн. -1994. -№3. -С.38-40.

9. Хома Л.Г., Хома Н.Г., Пе'цлвськнй Я.Б. Tpi-mia.Tbui розв'язки однор!дно! краново! nepio;ni4HOi задач! //Волинський математнчннп вкннк. -1995, внп.2. -С. 195-196.

10. Хома Лариса, Хома Надя. Розв'язшсть одше! краново! перюдично! задач! для кваплшного ппербол!чного р!вняння другого порядку //Всечтсра'шська наукова конференшя "Розробка га застосування математичиих метода в на\ково-течшчнпх достижениях, присвячена 70-pi44io bü дня народження професора П.С.Каз!м!рського (Льв!в, 57 жовтня 1995 р.): Тез. доп. -Львш, 1995. -С.60-61.

11. Хома Л.Г., Хома Н.Г.Узагальнен! перюднчи розв'язки квазшшйних ршнянь //Укр. мат. ж\рн. -1996. 48, №3. -С.406-411.

Хома Н.Г. Аналитические методы изыскания периодических решений гиперболических уравнений второго порядка.

Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 дифференциальные уравнения, Львовский государственный университет им. Ив. Франко, Львов, 1996.

В диссертации определены конкретные пространства функций, в которых существует классическое решение линейной краевой периодической задачи. Установлено теорему существования и единственности классического решения линейной краевой периодической задачи. Получены условия существования гладкого решения нелинейной краевой периодической задачи.

Khoma N.G. Analitical methods of investigation of periodical solutions of second order of hyperbolic equations.

Manuscript. The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.02. — differential equations. L'viv State University , L'viv, 1996.

Specific functional spaces in which boundary-value periodical problems classical solution exist are determined. Theorems of existense and uniqueness of linear boundary-value periodical problems solution are fixed. Conditions of existence of smooth solution of nonlinear boundary-value periodical problems are obtained.

Кшочов1 слова: краиова перюдична задача, гшербо.шчшсть, простори функцш, операторн.

Шдписано до друку 23. 05. 96. Формат 60*84/16. Пагар друк. №1. Друк. офс. Умовн. друк. арк. 1,2. Ум. фарб. виб. 1,2. Обл.-впд. арк. Тираж 100. Зам.5.

РедакшГшо-вндавнич1ш витдщ Терношльський державнпй педагопчнин шстнтут