Аналитические методы в теории диффузионных процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАПІМ « С Інститут мптсмлтіплі

гі»*“

^ На пр-іпах рукопису

КОПИТКО Богдан Іваиоиич

АНАЛІТИЧНІ МЕТОЛИ В ТЕОРІЇ ДИФУЗІЙНИХ ПРОЦЕСІВ

мІ.ОІ.Ой Теорія ймоніриостсй і математична. ета пн і їж і 01.01.02-.... .Лііф«.'рі‘ішіальііі рішшинн

А п і о р о ф о р а і1

дисертації на адибуїтя наукового стуиеші -доктора <!>і інко-математичітч наук

Киїп І !)!).*•

. Дисертація е рукопис. ,

Робота виконана н Інституті математик» ІІЛ1) України.

Офіційні опоненти:

‘ доктор фЬшсо-математичшіх наук,

професор і пасншеп С. Д., доктор фі:нн;о-математичних наук, професор Кочубеіі Л.И., доктор финко-математичних наук, професор Куліїш1 Г. Л.

Провідна установа: Інститут прикладної математики та механіки ІІЛН України, м.Донецьк.

Захист відбудеться, ” '41 ” 1995р. о год.

'ви засіданні снемінлЬонаної ради Л ОІ.СО.О) при Інституті математики 1ІАН України за адресою: 252001 Киїп -1, ГСИ, вуя. Тере-шенківська, 3.

З дисертації!!) можна ознайомитись у бібліотеці інституту,

Автореферат розісланий ''-і ” 1995р. '

Вчений секретар

спеціалізованої ради

доктор фЬико'Ман’Ьіатіїчннх наук

Гуся»: Д. В.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Дифузійні ііроцсси становлять клас .процесій, які характеризуються настуиними властивостями: марко-вістю , пси |)(’|)іиііс гіо траєкторій, а також вимогою існування локальних характер лстик руху — вектора переносу і матрині ли-фузії. Одна з нажіїиних задач теорії дифузійних нроцесіп ноли гае в розробці методів їх побудови за заданими матрицею ли фузії і вектором переносу, а у иішалку простору станів з краем - -за заданими загальними крайовими (’граничними) умовами тішу

О. Д. Ветцеля. Ній задачі і присвячена лана робота.

Можна виділити два основних методи нобудопи дифузійних процесі» за заданими локальними характеристиками: аналітичний і ймовірноешш. Оснонні класичні результати я процесі вивчення даної проблеми одержали Л. М. Колмогоров, В. Федлер, 1.1. Гіхман, К. Іто, Є. Б. Липкій. Спій дальший розвиток обидва ме тодп знайшли відображення' п роботах Л. В. Скорохода,' Д. В. Струна і С. Р. С.Варадаиа, Г. Л. Кудінича, М. СІ. Кризова, X. Танака, М. 1' ІІортенка, А. Н. Кочубея, И.Ікеда і С, В,-. і лплбе,

, С. В. Анулової, Б. Гриґеліоніса і Р. Мікулявічуса. Зокрема, ЇЛ.1. Иортенко, корис туючись аналітичними методами, вперше шпилив клас ненерернинх маркіпських процесія, для яких матриця дифузії достатньо регулярна, а вектор нерепос.у існує Лише н узагалг.нено-му сенсі. Такі процеси були названі узагальненими дифузійними. Про їх важливу роль підкреслювалось у роботі М. Мастраіг.кола

і Л. Деена (Bull. Sc. math., 2 sorie.- НІУ‘2. - p. 67-03). В иііі за-значасдься, ній дифузійні процеси, икі допускають узагальнений вектор переносу, знаходять застосування при.моделюванні -і.ізііч-пнх процесів, шо відбуваються в ядерному репіп'орі.

В даній роботі показано, що більш загальні класи узагальнених дифузійних процесій можна одержати, розв’язуючи.так знану задачу про склеювання двох дифузійних процесів н г.кінчри-ікишмірному евклідовому просторі. ІІЯ задача, яка за своєю постановкою узагальнює попередню, с основним об'єктом нашого ‘ допомогою аналітичних метолів. Іїри такому під-

ході розв’язок проблеми практично зводиться до дослідження під-повідних кранових задач або задач спряження для лінійних параболічних рівнянь 2-го порядку, кранові умови або умони спряження яких також визначаються даферешнальпіпш операторами 2-го порядку. При цьому ми вимагаємо, щоби розв’язки них задач можна було виражати через теплові потенціали. Застосуванню теорії нотеїшіаліп ири вивченні параболічних крайових задач (задач спряження) як для-рівнянь, так і для їх систем присвячено багато робіт. Серед них ми відзначаємо монографії О. А. Ладиженської,

ІЗ. Д. Солоішикова та І!. Н. Уральнсвої, А. Фрідмапа, С. Л. Ейдель-мана, С. Л.Івасншоиа, а також роботи О. А. Олійник, Р. Аріма, Л. І. Камиїпна. В. II. Михайлова, М.1. Матінчука, Е. А.Бадорко, Б. ІЗ. Базалія, Л. В. Сіпакова, Г.І. Біжанової та ін. Необхідно зп-уц.гжіпи, шо в иостаяовках параболічних крайових задач (задач спряження), досліджуваних згаданими авторами, (шмагається, іцооп для крайових операторів (операторів спряження) виконувались умови доповпялміості (умови сумісного накрнвання). Для задач, то розглядаються в даній роботі, такі умови не виконуються. .Тому, на наш погляд, запропонована тематика е актуальною як з точки зору загальної теорії маркіпських процесів, пж і для теорії диференціальних рівнянь и частинних похідних.

Мета роботи полягає в розвитку аналіт ичних исто.,чіп для побудови найбільш загальних класів узагальнених ,дифузійних процесів.

Наукова новизна роботи полягає

— у введенні до розгляду спеціального фундаментального розв’язку (с.ф.р.) для лінійного параболічного рівняння 2-го порядку та вивченні основних його властивостей;

— н дослідженні методом теплових потенціалів параболічних крайових задач (задач спряження), для яких крайові оператори (оператори спряження) визначаються диферепціальпи-ми операторами 2-го порядку і не задапольняють умову до-пошінлі,пості (умови сумісного накривання);

- в побудові напіигрупи операторів, що описує дифузійний процес в напівобмеженій області із загальними граничними умовами тішу 0.21. Вентцеля;

— н побудові достатньо широких класів узагальнених дифузій-

них процесів за допомогою аналітичних методів, для яких узагальненими функціями можуть бути як вектор переносу, так і матриця дифузії. . .

Методи дослідження. В роботі використовуються класичні методи теорії теплових потенціалів і теорії напівтруп. Центральне місце займає побудова соціального параболічного потенціалу, за допомогою якого ішганіш про існування розв'язків параболічних крайових задач (задач еиряжепші), шо розглядаються, зводиться до дослідження' розч’язків інтегральних рівнянь (систем інтегральних рівнянь) Вольтерра II роду з ядрами, які мають іптегровану ос.облітіпь.

Наукова 'та практична цінніст ь рмоотм. І'ойна мас теоретичний характер і її результа і и ( формулі,омані у внгллді теорем. Розроблені метоли лають можливість розв'язувати важливі ноні класи параболічних крайових калач і задач спряження за допомо-. гою теплових потенціалів. Отримані аналітичні зображення для напівтруп операторі її, іцо ошісую'п. дифузійні пронеси в областях ’ з краєм за наперед заданими загальними граничними умовами, можуть бути застосовані до вивчення різноманітних функціоналів від узагальнених дифузійних процесів.

Результати дисертації можуть бут и використані- також при дослідженні важливих проблем фЬоки та біології.

Апробація роботи. Результати роботи доповідались:

— в,і V Вільнюськім міжнародній конференції з -теорії ймовірностей та математичної статистики (Вільнюс, И)8!)рЛ;

—- на VIII зимовій школі по стохастичітх проносах та овтималь-йому контролю в Німеччині ІГеоргента.ль, 1990р.);

— на. VI Радянсько Японському симпозіумі з теорії ймовірностей та математичної статистики (Київ, 1991]).);

наШ Донецькій міжнародній конференції "Ймовірності моделі процесів в управлінні та надійності” і .Лонеиьк, НШр.);

— на Міжнародній математичній конференції, присвяченій нам’яті Ганса Гана (Чернівці, 1991р.);

— на Засіданнях секції теорії Ймовірної; и-ії ї мигематмчної ста-

тистики Іпститугу математики ПАП України і керівники: академік ПАН України В. С. Короліок, академік ІІДІ1 України • А. В. Скороход); '

— на Засіданні секції математики Західного наукового метру

НАІІ України (Львів, Н)!ІІрЛ: .

' .1

• - на семінарі з теорії диференціальних рівнянь п частинних ію-хідпих і) Чернівецькому держуніверситеті ім. Ю.Федьковича (керівник професор С. Д.Івасипіен, НШр.);

— на семінарі з теорії диференціальних рівнянь в чпстинпнх похідних Інституту математики НДН України (керіннш; професор М. Л. Горбачук, І!>5) 1 p.);

-— па об’єднаному семінарі з теорії диференціальних рівнянь і теорії (імовірностей та математичної статистики Інституту математики і механіки НАМ-У країни (керівники: академік Н АП України І. ІЗ. Скрипник, професор Ю.М. Ліньков, 1!)!Мр.).

Публікації. Основпі результати дисертації опубліковані в роботах ангора [1 - 15].

Структура та об’см роботи. Дисертація складається з вступу, трьох розділів та списку питовліюї літератури, що нараховує SO наймспупапь. Повний об’єм роботи —298 сторінок машинописного тексту.

Зміст роботи

У вступі обгрунтовано актуальність теми,, дано короткий огляд результатів, шо мають безпосереднє відношення до теми роботи, викладено зміст дисертації.

Розділ І "Розв’язок методом иотенціліп параболічної кранової задачі в напіпобмеженШ області з крайовим оператором другого порядку, коефіцієнти якого не задовольняють умову лопоппильності” складається з трьох параграфів.

□ §1.1 наведені основні позначення, результати, пов'язані із звичайним фундаментальним розв’язком (з. ф. р.) параболічних рівнянь другого порядку, необхідні відомості з теорії напінгрун,

які ііикиріїс юную и.ся н роботі. В кінні параграфу сформульована Л'к ліджуїілпи краГгона. задача. Моетанонка її іиилядас гак.

IIoxn.il О = {.г = Є Кт,л’ш > 0} - області» н Ит,

ні > 2, &' = {ж : х = (х',хт) Є К"',.гт = 0} - границя області І);

О = О и 6' - замикання області £>. Тут через г = (хі,... ,хт-і) позначається точка, яка належить 6'. В облас ті (1,г) Є (0, +со) х 1) розглядається наступна краНона задача для лінійного нпраболіч-?тго рівняння 2-го порядку;

(1,.т) Є (0,а-' х О, (1)

и(о,а:) = р(х), х Є О, (2)

г <т_ , м0и(/,-т',П) , (ід»(/.А'\0) .

Іци(1,х ,0) = ціх >------—---------1- ) аь(х }-------■;-----Т

ОХ", і)хк

1 ^ . „д3и\1, ж',0) . „ .

+ 77 У] РкіІ—7Г—^------- = о, ІІ,Л )€ 1.0,о

2 д-Ск'Ух, де Ь - диференціальний оператор 2-го порядку вигляду

і ^ Л2 ^ - л

. Ь ~ о о—+ X] акіх)-їг-,

■ .2*4 .дхк&х} дхк

■ к= 1

оо) к 5, (3)

(4)

коефіиіп ти якого є обмеженими неперервними функціями, визначеними па К"\ ір(х),х € К’п - задана обмежена ненереріша функ-иін. 'ч(х'),аь(х'),іЗь;(х’) задані обмежені неперервні функції на 5, причому• іпі*<€>-«/(*’)■>'0 1 матриці Ь(х) = та /?(*') =

- симетричні, додатно визначені і рівномірно пенироджені. Заунажимо, то, як ненажко перекопатися, для коефінінтів оператора І. о не виконується умова доповняли пості. Відзначимо гакож. шо нас. цікавить існування класичного розв’язку задачі

(1)-(3), якіііі е неперервним у замкненій 'н'ііі.к'іі і/,.сі ^ (О.ооі ч- /),

обмеженим на пеекіпчеппопі відносно х. мас неперорппі похідні

ди. ди д2и . ' . . ... .

—, -—, -—-—, к,-} = І,...,т у внутрішніх точках пін ооласм, оі ох і ихкОЛі

задовольняє и них точках рівнянії)! (І), а гіри / = 0 і ІІ,х') Є (0,сс) х 6’ умови (2) і (;{).

Існування шукаиого розп'нзку не,іаповлюельсн нами за допомогою мсто пі її теорії теплових потенціалі» шляхом введення до розгляду спеціального *(іупламеитальііоі о розв'язку (с.ф.р.) для

В .

оператора — — /,, шо підпопідаг крановому оператору Цобу* дові с.ф.р. присвячується 51.2. 'Гу т ми додатково припускаємо, що «лементи матриці Цх) мають обмежені похідні першого іюрцд-ку, які разом з функціями (ік(х).к = 1 та елементами ма-

триці /Цх') о гольдеропіпш підпопі;піо на -К"1 та 5 з деяким иока і

ннком А(0 < А < 1). Крім цього, покладати ч(.г') = 1. Якщо вико/)

наїїі перелічені умови, то с.ф.р. опоі)атора -— І; шізпачасться за

’ . оі .

формулою

Сг(і,т,у') = С\>(1,х,у') + 6’|(<,х,у'), І > (І,.р .= К'",і/ Є : (Г>) де . '

ам,х,у, = -^ г/и^_—- у)<ь

9оУ \1,х> ~ + «) = я\?- і’)|і>п,=-и - з.ф.р. оператора

д 1 ^

ді 2 /г* і)хк<)х,

/і,у ^(и, Vі - у') (и > 0, и\у' € Б) - з.ф.р. оператора

ди о ^ І ,ЛІ ’ікііОіи'

Ьі)~ і 1

7

Л'(У) = {>/) (і'(У.) = (0,..',.,0,1) € К"’> - вокто|> конормалі,

6’іЦ,х,у')= ( <іт [ д(і - г,х,г)ію{т,2,у')іЬ,

Jo J кт

у(1,х,г) (І > 0,х,г €Л“) -з.ф.р. оператора ^ - £,

/ »\ 1 ^ п і \ і і і^д2Єо(т,г,у')

Мг.г.У ) = - 2^ (ЬіДг) - Ьь/(у )) —тг—-------Ч

2*/=і

. (г*г>У')

+ .4-1'*(‘) ■ 9,, ■

і|=І

Відзначимо деякі з властивостей функції О:

а) 6'(/., дг, у') як функція аргументів / і ж п області (<, я) Є (0, сю)х

О неперервно диференційована по і, двічі неперервіюдифереіщій-ована по х і задовольняє рівияшія (1);

б) для будь-яких і >.0,і € О та у' Є 5' виконується сніввідно-

ПІЄІ1НЯ

. дан.х,,/) /і ^'в ,^си,х,у') ‘

-яг-+5 2 '•'гаг= .

%и(М,у') ,

• = дм(у'Го(’,У)'

де уп - головна частіша з.ф.р., у, . •

> = в,;: ••+ г ьАі(?> з««*і 1

' «і-1

причому, якню І Є (0,Т) (Т > 0 фіксоване), х Є £>,у! € 5', то для И7о виконується нерівність

ІИ^,(г,зг,у')| < с’г,+^фс,о < 7 < а, (6)

х ехр с — — -— ^<іи, і > 0, я Є У, у'Є 5’. (7)

Заунаїкішо, що через функцію Фс,7(<, х, у') виражаються також оцінки для функції С та и похідних.

13 §1.3 сформульована і доведена наступна теорема.

Теорема 1. Нехай для коефіцієнтів онераторін Ь і вико-папі умови, які забезпечують існування як з.ф.р. д, так і с.ф.р. С для оператора — - Тоді, якщо початкова функція ір з умоьп

(2) двічі пеперерпло диференційована і обмежена ралом зі своїми похідними, то існує обмежений розв’язок задачі (1) (3), піп має вигляд .

и(1,х) = [ д(1,х,у)ір(у)іІу + [ <іт [ С(і-т,х,у')У{г,у',ір)і1у'. (8) . Тут V - розв’язок інтегрального рівняння ІЗолмерра II роду

У(<,а-.',<р) = ф(г,х', V?) + / Уг / А'(« - т,х\у)У(т,у',<р)(Іу\ (9)

, J і) ./5

де . ; .

г» м\_ [ \дии>х',у) ,.дд(і.х',у) .

*=1

1 , ,\д^(1,х\у)

. 1 V"1 /з / -І\и гмм*

'Аи)<ІУї І>0,х'є5,

і,;=і

а ядро К (І — т,х',у') при 0 < т < < < Т,х',у' £ 5’ та деяких сталих С і с допускає оцінку .

|А'(.І - т,х\у')\ < С (І - г)“І+-^Іфе,г(< “ г,х',у'). (10)

Піи.ч/ііашііі іісрініїос і і і 1(11 дас можливість при знаходженні ро-зв’н.іку |) і пі і? 1111111 і!) і застосуна ш .цо нього ііиічаіітііі метод послідовних наближень. І Ірії ньому, якщо початкова, функція ір задовольняє умопу теореми, то доведено, що розв’язок рівняння (0) с неперервним н області {І,ж') Є (0,оо) > і', і для нього при І Є (0, Г], а'Є 5 справедлива оцінка

де

т-«р Ё Щ . т~ т- £

У*к' Г7І.

Ірір(х)

дхкд.г^ І

к,і= і

ііанлії висновок н кінцевому підсумку і забезпечує розв'язок задачі (1)-1.3). •

Єдиність розв'язку задачі (1)--ПП випливає з принципу максимуму для загального лінійної о параболічноги рівшшпя другою порядку.

У розділі II методом тсшюішх потенціалів досліджуються задачі спряжения для лінійного параболічного рівняння 2-го порядку з розривними коефіцієнтами у випадку, коли поверхнею розриву пихідшіх коефіцієнтів є гшершюішша, і для яких опера горн, що входять в умови спряження, по задовольняють’ умови сумісного накривання. В найбільш загальному вигляді одна із задач спряжения розглянута в §2.3.

Сформулюємо її постановку. ’ . .

Нехай Пі - {х : х Є К"\ (- > 0), і - 1,2 область в

ЦІГІ, .т > 2, 5 = {х : = {■>:’,-г,„> € К"'.х,„ = 0} - границя >5ласті

Оі, ТГі = І), и 5 - замикання ибласі і.£){, і - 1,2. Припустимо, ніо

' . ! П

п Пі,і =1,2 заданий дяфєрєнціальїтй оператор другого порядку

и- •

5 ‘-‘А (“).

де б|у (*). а%\х) - ліЙспі обмежені пеперервт функції, визначені па ї?т, матриця Ь,(х) = (^*/(®))к . , * = 1,2 симетрична, додатно

визначена і рівпомірно непироджена. ■

Задача іюлягае в знаходженні функції и{і,х), визначеної і неперервної н області (і,х) Є [П, сх)) хНт, обмеженої на нескінченності нілпосио х, яка одночаспо е розв’язком наступної задачі спряження: •

Г\ ,

~-Ь,и = 0, [1,х) € (0,оо) х Пі, і = 1,2, (13).

и(0,з:) = <р(х), х Є Кт, .. (14)

и(і,х',-0) = и(/,і',+0), (І,х') є [0,оо) х 5, (15)

/„.їй,і»-* +щМ2ї%і±о>+

С/Хт

т —1 л /, » л\ і т —1

, V"4 _ /~*\ииУ1*х >и/ І 1 К""4 а ґ-.і\и и\Ь* >и/ _ А

+ 2: «*(* )-^г'+аА,(1 “ "•

<=1 1 '

[і, х') є (0,оо) х 5. (16|.

гГут <р’та дііЯ2,Ок,Рк) - дійсні обмежені неперервні функції, ви* значені відповідно на Н.т та 5, причому q\(xl) < 0,<ь(х') > 0, іпГ*'Єь-(дз(а:') ~ 9і(*')) > 0 5 матриця 0{х') - (0кі(х'))к,7Іі симе* тріїчна, додатно визначена і рівномірно иевироджепа. „

Існування шуканого розв’язку задачі (13)—(16) рстановлюеть-сл наступною теоремою.

Теорема 2. Припушімо, що коефіцієнти оператора L,, і = 1,2, задовольняють умови теореми 1, а. коефіцієнти оператора Ln з умови (16) є гельдероними на S з. деяким показником А(0 < А < 1). Тоді, якпіо початкова функція <р двічі неперервно диференційована і обмежена разом зі сиоїми похідними, то існує розв’язок задачі (13)—(10), пін має вигляд

u(<,a-)= [ g,(i,x,y)v(y)dy + f dr ї G,(l - г,.т,у'Щ(т, ?/',<p)dy', J Rm Jn Js

t > (),a; Є D„i = 1,2, (IT) ()

де gi та G{ відповідно з.ф.р. та с.ф.р. оператора — — Li, і = 1,2, a. Vi,і = 1,2 - розв’язок деякої системи інтегральних рівнянь Вольтер pa II роду.

Насамперед відзначимо, що функції б'і і 0% визначаються ріп-іюстями, подібними до зображення (5). При цьому їх головпі ча-спиш, тобто функції <jjo і Gao підбираються так, щоб для G\ і Gj виконувалися співвідношення

дОі(і,х,у') і у1' У4* Рьі(у‘) г)!аіІІ,х,у') __ дх,п , 2 ч3(у') - ц(у’). дхкОхі

= !/'). < > 0,-т є О,,і = 1,2,

де діо - головна частина з.ф.р. .у;, і - 1,2, іУ,(ц') = Ь,(у')ііу'), і = 1,2 - вектор коцорналі, а для И',іАі,х,у'), і - 1,2 при і Є (0,2’),х Є О і, у' Є 5 справедлива нерівність виду (б), в якій змінну *т у виразі для ФСі7(і,а;,}/') слід замінити на |я,„|. 'Годі, якщо записати розв’язок задачі (13)-(1(3) у вигляді (17) з невідомими ШІЛЬПОСТЯМИ Уі= 1,2 і припустити, ШО ПІ функції € неперервними при і > 0,х1 € 5' та обмеженими в кожній області вигляду

(і,а'1) € (О,Т\ > .V. го, після підстадюнки даного ішра:>у для іц|,аі). її умони і и і >ян.сімі її (і 51, < Ил, дли І',, і 1.2 одержимо наступну систему in ч-еі’і» ;і..ч її 1111 х ріімніш.:

[ '!т [ У* у;,-jiy')G, Jit ^

(f - I'i*t,- v-iir.v','p)Vhi+

•f f dr f У Is'-'Ut - r,:r',t/')Vj(r,t/, <f> )<■/,(/' - /, ,u,.i:',(p),

• J ' ГІ

+ У' f f Kj(t~ r:s\!tlVj(T,t/',f)dy'-+ і = 1,2,

(18)

до

/„(/, з;', Vі) = J dr fyjti 1 ~ Г, -Vі, іIі) - G’i(f ~ r, ■і',,ї/,)],/'(г> у', r)rly'+

-f Ф(/-, j:\yj), ■

<!>(/,л:', v‘j - f \<te(Ux',!l) - gt(t,^,u)}'p[y)dy,

./»<-> ••

! <hn[l,x'.y) ; , <>*(*')

'Ox „

+ HU

IT I , Vfcbl •»{*'>

m_l fhj < 02gAt,x',y)

і v--»

*" 2 72(s:')-- ut(x') Oxkdxji

і = 12 , * - 1,^1

, ,ч 1 -t-1 -1 >,<y(^'.> . , <7,(1)+ </:,(£’)

Т. I* =---------------------------■ і = К-’, <7U ) -------------------7.--------; і

2 . 9г і *) - VUJ:')

а для яд<*р К j * г* A >, j ” Ї/- *ф*> ^ S’ r 7 S '/’>

ГШКОІН'ЮТІїСИ OJlimat *

j h’, 11 ~ 7‘. ;/ »l :V. < ''

»i*t v*/ — r,x',u'i, <• < 7 < A. (20}

i:t

Перше рівняння у (14) є інтегральиим рівнянням Иолыерра 1 роду. Лля Йото перетворення вводиться спеціальним чином підібраний інтегро-диференціальний оператор Л Формула, за якою визначається цей оператор € громіздкою, тому ту і її їм; наводи: мо. Застосування оператора £ до обох частиц першого рінняшія у (18) перетворює його до рівняння Вольтерра II роду. Як наслідок, система (18) замінюється еквівалентною їй системою інтегральних рівнянь Вольтерра (І роду, розв'язаних підпої мо І/,, і — 1,2,

І для ядер якої справедливі оцінки вигляду ГЛІІ. Не означає, що до одержаної системи рівнянь можна застосувати иетод послідовних наближень. Зокремч, коли початкова функція ір задовольняє умову теореми, то доведено, що функції і Уі є неперервними в області (І, х') Є [0, ос) а 6’ і для них справедлива оцінка нагляду

(II). Ланиіі висновок обгрунтовує паші апріорні припущення підносно V,,» = 1,2, а отже, і твердження про те, що функція и(1 ,а) є шуканим розв’язком задачі «КІНЇЙ)-

У перпніх двох параграфах розділу И .задача (КІ)-(Кі') иив-чається в припущенні, що оператор спряження /,„ *; диференціальним оператором 1-го порядку. Так, у §2.1 розглянуто випадок, коли умова спряження (16) задається лише лінійною комбінацією конормальвих похідних від функції «, а в !(2.2 задача (КІ)-(Ю) ро-

зв’язанг при умові, що у виразі для і.0 матриця (і = 0. їіі задачі

' і ' ■ . . досліджуються при тих самих умовах відносно коефіцієнтів опера*

торів Ьі,і - 1,2, /.и та функції ню Гі задача (1 :И ІИіі, і тією лише

різницею, що від елементів матриці Ьі,і — 1,2 не треб;* .вимагати

їх диференційованості, а 'і ілі.ки виконання для них умови Гельде-

ра. їх розв’язки також зображую ться у иш-ляді (17; з відповідною

заміною там в потенціалі простого шару с.ф.р. (!, на з.ф.р. </,

(у першому випадку) або на с.ф.р. Папьї (у другому випадку). У відповідності до цього, очевидно, будуть змінювати спій пигляд як система рівнянь (18), так і оператор Є, який, нагадаємо, відіграє роль рогулярпзатори в розумінні перетворення даної системи рів-нннь до еквівалентної їіі системи інтегральних рівнянь Вольтерра

II роду.

Відзначимо, то кдипість розв'язку задачі (13)-(1(3) та її часткових випадків випливає з принципу максимуму для.лінійного параболічного рітншния 2-го порядку з розрипннми коефіцієнтами.

Розділ III має иалпу ” Узагальнені дифузійні процеси”. В ньому побудовані напівтрупи операторів, що описують дифузійні процеси в напівобмежених областях простору й’в із заданими на границі цих областей достатньо загалі.ними граничними умовами типу О.Л. Вентпеля. Аналітичні зображення цих напівтруп визначаються розв’язками відповідних крайових задач і задач спряження, вивчених у розділах І і II.

У §3.1 досліджується нанівгрупа '/<,/ > 0, породжена розв'язком задачі (1)--(3). Зауважимо, що постановка і розв’язок цієї крайової задачі є відображенням на мові класичного аналізу перто-і

го етапу на піляху до розв'язку задачі про побудову дифузійного пронесу в замкненій області О. який у внутрішніх точках цієї області керується заданим тнірішм оператором Ь, а його поведінка н точках границі області описується граничною умовою, визначеною за допомогою крайового оператора. Ьп. Таким чином, якщо виконані упоїш теореми 1, то визначається правою

частішою співвідношення (8). Далі ми доводимо, що побудовану сім’ю операторів 1\ при І > 0 можна визначити на класі всіх дійсних обмежених вимірних функцій. Переконуючись також п тому,

що оператор» Ті при кожному і > 0 иеперерині відносно поточко-пої збіжності функцііі ір при рівномірній обмеженості їх норм, і що 7’<^у(а:) = 1 Для функції = І, приходимо до висновку, що визначена за формулою (8) напівгруна операторів описує і» Ддеякий однорідний необршший маркінський процес. Після нього доводимо, іиу одеі)жаішй процес і; пенервним. Л це буде означати, іцо побудова дифузійного проносу и замкненій області і), який відповідає тиірному оператору ( І) і нентнелінській граничній умові

(3) завершена.

У заключних двох параграфах третього розділу за допомогою аналітичних методів досліджується задача про склеювання двох дифузійних происс'т п екінчештотімірному еиклідотюму просторі. Сформулюємо її постановку.

Нехай донка поверхня-А' розділяє простір К'" на дні частини:

1)\ і П 2, гак, що О і и П г и А’ = Нехай л області Пі, і — 1,2 заданий твірний оператор //, деякого дифузійного процесу. Потрібно з’ясувати питання про існування напіві-рупії операторів, яка описує неперервній! феллерівський процес в Зі"1, такий, ідо його частішії в області Пі, і = 1,2 збігаються,з дифузійним процесом, керованим.оператором а його поведінка, н точках границі областей відповідні • зал»ним на Я достатньо загальним умовам спряження. .

Ми розглядаємо випадок, коли області П\ і Щ с відповідаю нижнім і верхнім нанівпросторами з незадер жую чого границею 6'. Тоді, на моні аналізу, розв'язок сформульованої проблеми зводиться до розв’язку задачі спряження 11.'!)-У розділі II було доведено, що коли Коефіцієнти операторів А,,і — 1,2,Ьо та початкова функція ір задовольняюсь умови теореми 2, то шукай;, папіл-групу 7(,{ > 0 можна визначиш за формулою (!7). Досліджуючи

цю напівтрупу за попередньою схемою, приходимо до висновку, що вона описує такий клас необрнвпих феллерівсьних процесів в Rm, ймовірності переходу P(t,x,dy) яких заадовольняють умови:

1) sup / І у-x\gP{t,x,dy) <Ct*, (21)

ієКт Ук”

де t Є (0,Т), С - деяка стала; ,

2) для всякого в Є Rm та всякої фінітної неперервної функції

ір{х),х Є IRm з дійсними значеннями виконані співвідношення

Ііш І Ifi(x) U І (y- x,6)P{t,x,dii)\dx -<—°У 1.1 J J

= / <p(x)a(x)dx + j i){x')(aix'),0)<f (x')dx', (22)

J К’-1 Js

Jim / <p(x) Ij / (у - x, в)2 P(t, x, dy) 1 dx -■ *—0 JS.™ L f JK~ J

■ = f lp{x)ib[x)e,e)dx + [ p(x')il]ix')e\$,)'p(x')dx', (23)

jet* Js

де a(x) = a;(x), x Є I>i, i - 1,2, a,(x) = .

. . ‘ \ / к—1

o(x') = («1(1'),... ,a,„-i(x'),7i (x>) + Qiix')) Є. Rm, 6(1) - - bi(x),

2 Є £>;,* = 1,2,

1

P(x') = ~.-------------------^-----------L.

(Мпт(а:')) ‘

Нерівність (21) та рівності (22), (23) означають, шо одержаний процес е неперервним та узагальненим дифузійним процесом. Для нього, як вектор переносу, так і матриця дифузії існують лите в узагальненому сенсі. Відзначимо, що для процесів, породжених розв’язками часткових випадків задачі (ІЗ)-(ІС), узагальненою функцією буде лише вектор переносу.

Поиедінку побудованого процесу в ріпних частинах простору Кт можна трактувати так. Поки процес знаходиться и області £>і, і = 1,2, віп збігається із звичайним дифузійним процесом, керованим оператором Після виходу на поверхню 6', його поведінка характеризується векторним полем «. ІІри цьому процес ’’встигає ” відчути на собі також иплив граничної дифузії, дія якої визначається матрицею р, хоч сумарний час, який процес проводить на 5 має лебегову міру нуль.

Основний результат, одержаний в розділі III, можпа відобразити за допомогою наступної теореми. '

Теорема 3. Нехай в областях 1>і і Ол епклідопого простору Нт, т > 2, розділених між собою г'шерыющшюю 5і, задані твірпі оператори Ь\ та Ьг відповідно деяких нообривних дифузііі-дах процесів. Припустимо, що коефіцієнти них операторі», а також функції д,,і = 1,2; = 1 ,...,т - 1, то визначені на

5, задовольняють умови теореми 2. Тоді існує палівгрупа операторів, яка описує достатньо загальний клас неперервних мар-ківських процесів в «т таких, що їх частини в областях І)\ і і)-і збігаються із заданими дифузійними процесами, а їх попедіпка в точках грашші 5 характеризується 'умовами спряження (їй), (16). Побудовані процеси мають також ту властивість, що для них дифузійні коефіцієнти існують лише п узагальненому сенсі.

Основні резільтати дисертації опубліковані в наступних роботах:

1. Копытко Б.И. Склеивание двух диффузионных ироцесов на’ плоскости // Некоторые вопросы теории случайных лроцес-сов. - Киев: Ин-т математики АН УССР. - 1984. - с. 48-04.

18

2. Копытко 13.И. О склеивании двухдпффу.шонных процессов п

конечномерном евклидово! 1 пространстве // Случайныепроцессы, теория и практика. - Кием: Ин-т математики

АН УССР. - с. 53-01.'

3. Копытко Н.И. Лиффузиоппыс процессы г обобщенным вектором переноса, сосредоточенным на гиперплоскости разрыва матрицы диффузии // Вероятностные методы исследования систем с бесконечным числом степеней слободы. - Кнеи: Ин-т математики ЛИ УССР. - 19SG. - с. 05-71.

4. Лналпнчшн! метод склеювашш днох дифузшних npouecin з постнншми коефпйситамп i; S'" j j Питания математичпого мо-делюнанпя фЬико-мехашчппх процесш. Dicinn:- Лыппськото ушверситету. - 3937. - вип. 27. - с. S2--37.

5. Обобщенная диффузия гга плоскости // Некоторые вопросы современной кюрии случайных процессии. - Клеи: Ин-т математики АН УССР. - 1933. - с. 70-78.

6. Копытко Б.И. Полугруппы операторов, описывающие обобщенную диффузию п копечио-мерном евклидовом простран--стпе // Стохастический анализ и его приложения. - Киев: Ин-т математики АН УССР. - 1989. - с. 70-78.

7. Копитко (Kopytko B.I.) Uber das vcrkniipfon zweier Dilfusionspro-cesse mil konst,anten DifTusionsmntrr/en an einerIh-perebene // Mathematical Research. Stochastic Prozessf-s mid Related Topics.

- Akadt’Hiie— Verlag Berlin. - 1991. - V. 61, - p. 75-79.

S. Копитко (Kopytko B.l.'l Diffusion processes with generalized drift vector and diffusion matrix-// Probability theory and mathematical statistics. Proceedings of the fM.h IJSSR-Japan Symposium, Kiev, August. 5-10, Г991. - World Scientific. Singapore, 1992, p. 109-175.

І». Кошітко Б.І. І іагатоішмірпі дифузійні процесії з частково під-бинаючіїм екраном на гіперплоїцині ■// Математичні студії. Праці Львівського математичного товариства.1992. • ніш.

. І. -с. 81-88.

11). Копитко Б.І. Метод теплових потенціал in п задачі про склеювання днох дифузійних процесів // Лон. All України. Мато матика. - 1902. - N 12. - с. 0—11.

11. Копитко (Kopytko В.I.) Semigroups of operators describing a multidimensional diffusion with partly reflecting borrier on a hyperplanc // Random Oper. St.och. Egs., 199*2. - 1, N 1, p. 95-102.

12. Кошітко Б.І. Про існування напіигруип операторів, що описує віцерівськиіі процес в напіпобмеженій орласті з нскласичпнші граничними умовами і і Математичні студії. Праці Лівійського математичного товариства. - 199:1. - ніш. 2. - с. 94-100.

13. Кошітко Б.І. Неперервні маркіпські процеси, склеєні з днох' вінерівських процесів на гіпернлоїціші, які допускають узагальнений вектор переносу і узагальнену матрицю дифузії // Асимптотичний аналіз випадкових сволюцій. - Кнїп: Інститут математики АН України. 1994. с. 1.V2- 1(і7.

14. Кошітко ( Kopytko 13.J.) Construction of the diffusion process with

generalized drift, vector by moans of .solut ion f-ome conjugat ion proli-leni for t,ho second-order parabolic type, equation // Random Oper. Stoch. Eqs. - 1994. - 2, N 1. p. 33-38. . ,

15. Богдан Копитко. Метод теорії параболічних потенціалів у задачі про склеювання двох дифузійних процесів. - Міжнародна математична конференції), нрисничсна пам’нті Ганс.а Гана (10-15 жовтня 1994 року, Чорнінні). Тези доповідей, Чорнінні: 1994. -с. 73,

2tl

КОНЫТКО В. И. Л [|,л ЛИТИЧеСКНО мо голы И т

/ipOIICCCOH. '

Лисссрташш на соискание учениц степени магических наук по специальностям 01.01. стой и математическая статистика, 1)1.01.02 уратюния. Ин I математики МАП Украины eroi 1Г) научных работ, которые содержат tj нания но теории диффузионных процессов .цами. С* ..омощьто иетодоп теории тепло ко сущестнопапие решении параболичес^ сопряжения), для которых не ВЫПОЛНЯЮ ЧС$ услонип дополнительности (совместного покрывания). Построены аналитические выражения для полугрупп оператором, ошкын.-цоших диффузионные процессы и нолуи! ранпченных областях при заданных достаточно общих граничных услониях. '

мате-'11)1 леропшо-решшалып.ге I !)!)•). Натища-

ЇМССКМе ІИ. СЛЄДО-

штическнми мето-іі іт'о 11 ци ,і л о 11 док аз а-рас-пыхзадач (задач

Kopyt.ko H.l. Analytic methods iu the theory of diffusion processes.

Doctor of Science Thesis (Physics and Mathematics), specialization -probability theory and mathematical stat istic, differential equations. Institute of Mathematics, NAS ol‘ Ukraine, Kyiv, M)9i.

15 scientific papers containing theoretical studies on the theory of diflision processes by analytic methods are defended. With the aid of method of heat potential theory existence of solutions of parabolic boundary problems (conjugation problem) for which >.he complementarity (common covering) conditions are not satisfied is proved. Analytical expressions for semi-group of operators describing diffusion processes in semi-bounded domains under i>;iven sufficiently general boundary conditions are constructed.

Ключові слона: ,

узагальпена дифузія, аналітичні методи, загальні граничні попи, спеціальні фундаментальні розв'язки.

Підписано до друк* 24.02.95. Формат 6004/16. Папір друк. И. Друк офсет. Умови, друк. арк. 1,5.. Умови.-фарб. відб. 1,5.

00л.-вид. ари. 1,5. . Тираж 100. Зам. зз# . .

Машинно-офсетна лабораторій Львівського державного університету ім.І.Франка. Львів, вул. Університетсьіса, 1,