Кинетика диффузионных фазовых превращений в нестационарных условиях

Лукин, Олег Анатольевич

Кинетика диффузионных фазовых превращений в нестационарных условиях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Лукин, Олег Анатольевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2000 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Кинетика диффузионных фазовых превращений в нестационарных условиях»

Автореферат диссертации на тему "Кинетика диффузионных фазовых превращений в нестационарных условиях"

На правах рукописи

на правах

РГЗ од

2 Я &ЯГ 23П*

ЛУКИН Олег Анатольевич

КИНЕТИКА ДИФФУЗИОННЫХ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ УСЛОВИЯХ

Специальность 01.04.07 - Физика твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж-2000

Работа выполнена на кафедре высшей математики и физико-математического моделирования Воронежского государственного технического университета

Научный руководитель

кандидат физико-математических наук, доцент Батаронов ИЛ.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Хухрянский Ю.П.

доктор физико-математических наук, профессор Свиридов В.В.

Ведущая организация

Институт металлургии и материаловедения им. A.A. Байкова РАН (г.Москва)

Защита диссертации состоится 20 июня 2000 г. в 14® часов в конференц-зале на заседании диссертационного совета Д 063.81.01 при Воронежском государственном техническом университете по адресу: 394026 Воронеж, Московский проспект, 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного технического университета

Автореферат разослан </9 мая 2000 г.

диссертационного совета

Ученый секретарь

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из важных проблем физики твердого тела в настоящее время является исследование кинетики диффузиоиных фазовых превращений в приповерхностном слое твердого тела в результате взаимодействия с газовой фазой. Актуальность таких исследований продиктована широкими перспективами использования их результатов как в научном, так и в практическом плане.

Эта проблема является всесторонне исследованной для случая постоянства внешних условий (температура, давление газовой фазы). Однако при анализе реальных процессов, условия протекания которых зачастую строго таковыми не являются, применимость законов кинетики превращений в стационарных условиях является спорной, а законы кинетики превращений в нестационарных условиях не исследованы. Поэтому большую ценность представляет получение эффективных уравнений, позволяющих выявлять аналитические зависимости для скорости протекания диффузионных фазовых превращений в изменяющихся внешних условиях.

Работа была выполнена на кафедре высшей математики и физико-математического моделирования Воронежского государственного технического университета в рамках ГБ 96.13 "Математическое моделирование физических процессов в твердых телах и операторные уравнения" и Федеральной целевой программы "Государственная поддержка интеграции высшего образования и федеральной науки на 1997-2000 годы" № А-0032.

Цель работы. Теоретическое исследование кинетики диффузиоиных фазовых превращений в изменяющихся внешних условиях (температура, давление газовой фазы).

В соответствии с целью в диссертации были поставлены следующие задачи:

• описать кинетику диффузионных фазовых превращений в приповерхностном слое твердого тела в результате взаимодействия с газовой фазой при изменяющихся внешних условиях;

• исследовать влияние на кинетику таких превращений геометрических факторов;

• рассмотреть особенности кинетики протекания диффузионных фазовых превращений в условиях ограниченной емкости источника диф-фузанта.

Научная новизна. Установлены режимы кинетики диффузионного фазового превращения и последовательность их реализации в условиях монотонного нагрева.

Получено эффективное уравнение, описывающее кинетику диффузионных фазовых превращений в приповерхностном слое материала при взаимодействии с газовой фазой, как при стационарных, так и при нестационарных внешних условиях.

Получены аналитические зависимости, описывающие изменение толщины прослойки новой фазы от температуры и скорости ее изменения.

Установлено, что при монотонном повышении температуры может происходить растворение слоя продукта превращения за счет интенсификации диффузионных процессов в матрице.

Научная и практическая значимость работы. Предложенный в работе подход к анализу кинетики диффузионных фазовых превращений при взаимодействии с газовой фазой в нестационарных условиях и полученная на его основе классификация режимов протекания таких превращений могут служить основой для интерпретации экспериментальных исследований скорости роста и растворения пленок на металлах, а также могут быть использованы для оптимизации процессов химико-термической обработки материалов.

Результаты, полученные в работе, открывают принципиальную возможность определения условий, обеспечивающих заданный закон роста (растворения) пленок на металлах в результате взаимодействия с газовой фазой.

Результаты исследований были использованы для оптимизации процесса диффузионной сварки гитана при определении условий самоочистки его поверхности от окисла (д-р техн. наук, проф. В.В. Пешков, канд. техн. наук, доц. В.Ф. Селиванов, ВГТУ).

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Уравнение кинетики диффузионного фазового превращения на поверхности твердого тела в нестационарных условиях.

2. Закономерности кинетики диффузионного фазового превращения при взаимодействии твердого тела с газовой фазой в условиях монотонного нагрева.

3. Двухстадийность процесса диффузионного фазового превращения в условиях ограниченной емкости источника диффузанта.

ники и прикладной математики" (Воронеж, 1998); Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 1999); Втором Всероссийском семинаре "Нелинейные процессы и проблемы самоорганизации в современном материаловедении" (Воронеж, 1999); ежегодных научных конференциях сотрудников ВГТУ; научных семинарах ВГТУ (Воронеж, 1997-2000).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ в виде 3 статей и 6 тезисов докладов, перечень которых приведен в конце автореферата.

Личный вклад автора. Автором самостоятельно получены, обработаны и проанализированы все основные результаты, выносимые на защиту. Постановка задач, определение направлений исследований, обсуждение результатов осуществлялись совместно с научным руководителем кандидатом физико-математических наук, доцентом И.Л. Батароновым, доктором технических наук, профессором В.В. Пешковым, кандидатом технических наук, доцентом В.Ф. Селивановым.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и списка литературы из 112 наименований. Работа содержит 121 страницу, включая 15 рисунков. »

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, показана научная новизна полученных результатов и их практическая значимость, представлены основные положения, выносимые на защиту, приведены сведения об апробации результатов работы, публикациях, личном вкладе автора, структуре и объеме диссертации.

В первой главе сделан краткий литературный обзор по теме диссертации. В этом разделе работы приведен анализ места диффузионных фазовых превращений в ряду превращений в твердых телах. Приведен обзор известных в литературе данных о влиянии различных факторов (температуры, давления газовой фазы) на кинетику диффузионных фазовых превращений в системе газ - твердое тело.

Рассмотрены теории Вагнера и Мотта-Кабрера, описывающие кинетику таких превращений для процессов термического окисления металлов.

Анализ литературных данных показал, что на момент начала данной работы теоретический анализ кинетики диффузионных фазовых пре-

вращений в изменяющихся внешних условиях практически отсутствует. Этим обстоятельством и обусловлено определение цели и задач данной работы.

Вторая глава работы посвящена анализу кинетики диффузионных фазовых превращений в системе газ - твердое тело, где в результате взаимодействия фаз происходит образование продукта превращения. Малая толщина образующейся новой фазы по сравнению с кривизной поверхности позволяет ограничиться одномерной задачей.

Кинетика таких превращений описывается изменением толщины слоя новой фазы % со временем Г. Фазовое превращение складывается из четырех процессов: сорбции длффузанта из газовой фазы, его диффузии через слой продукта превращения (фаза I), реакции образования (распада) продукта на границе его раздела с матрицей и диффузии в матрице (фаза [I). Предполагается, что химическая реакция протекает быстрее по сравнению с процессом установления диффузионного равновесия и, следовательно, на границе между твердыми фазами выполняется условие локального термодинамического равновесия. В этом случае концентрации диффузанта ('1 и С2 на этой границе соответствуют диаграмме фазового равновесия.

Математическая постановка задачи сводится к диффузионным задачам в фазах I и II, а также условию баланса потоков диффузантау7 и ]'ц на границе раздела фаз, и аналогична известной проблеме теории теплопроводности - так называемой задачи Стефана об анализе тепловых процессов, протекающих с изменением агрегатного состояния вещества. Решения этой задачи получены для случая постоянства внешних условий, однако, предполагаемая зависимость температуры от времени приводит к зависимости от времени кинетических коэффициентов, что исключает получение обозримого точного аналитического решения этой задачи.

С целью получения приближенного решения были рассмотрены диффузионные задачи в фазах, решение которых с помощью тепловых потенциалов позволило аппроксимировать потоки 7; и }ц и, с учетом этого, получить из условия баланса потоков нелинейное дифференциальное уравнение

д, С°~С] -—-(1)

где и £>2 - коэффициенты диффузии диффундирующего компонента в продукте превращения и матрице соответственно, а С0 - концентрация диффузанта на поверхности твердого тела. Эффективное уравнение (1)

описывает изменение толщины слоя новой фазы со временем и применимо как в изотермических, так и в неизотермических условиях. В общем случае получение решения нелинейного дифференциального уравнения (I) в изменяющихся температурных условиях наталкивается на значительные математические трудности. Однако практический интерес представляют предельные случаи его решения, которые фактически реализуются в широких т^мпературно - барических областях ввиду резкой зависимости параметров уравнения (1) от температуры. Эти решения также позволяют провести качественный анализ кинетики фазового превращения.

Так, если расход диффузанта происходит, в основном, за счет образования новой фазы, а диффузионный поток в матрицу мал, то изменение толщины слоя продукта превращения со временем описывается выражением

4 = . (2) У Ц о

В случае медленного движения границы раздела, соответствующего сильному, по сравнению с конвекционным С,£, потоку диффундирующего 'элемента в фазу II, кинетика превращения определяется формулой

(3)

С2 У О

Показано, что в том случае, если начальная толщина £0 фазы I пре-

ьышает значение, определяемое выражением (2) или (3), что имеет место, например, при резком понижении температуры, то реализуется третий предельный случай, соответствующий режиму "чистого" растворения

Vк с, \|0

Слой новой фазы будет растворяться согласно выражению (4), пока его т олщина не достигнет значения, определяемого выражением (2) или (3) для соответствующей температуры.

Установлено, что при монотонном росте температуры при условии 2U,<U„ ((!, и Uи- энергии активации величин D, и D2 соответственно) наблюдается принципиальное отличие кинетики превращения от ожидаемой в изотермических условиях. Оно заключается в том, что при достижении некоторой температуры Т^ рост слоя новой фазы от поверхности может смениться ее растворением. Такая немонотонность существенно

связана с режимом возрастания температуры, поскольку в изотермических условиях толщина фазы I монотонно возрастает.

В третьей главе произведен учет роли адсорбционных процессии на поверхности твердого тела в кинетике диффузионных фазовых превращений. В том случае, если влияние указанных процессов является существенным, величину ДС = С0-С1 необходимо рассматривать как функцию

времени, определяемую уравнением баланса адсорбционных потоков на поверхности твердого тела

^ = оу>(СЛв - Св)-ЭСд -У+Са + у_йС(Са0-С.), (5) м

где а , р, у+ и у_ - кинетические параметры, характеризующие скорость адсорбционного процесса для двухатомного газа, р - давление в газовой фазе, Са и Са0 - концентрация и максимальная концентрация диффузанта в адсорбционном слое.

Для случая равновесия адсорбционных потоков на поверхности твердого тела показано, что эффективное уравнение для определения зависимости толщины слоя новой фазы от времени (1) обобщается в виде

' 2 К,

4 + Л/г0(ОЛ'

16 к.

где праметры А", определяются соотношениями

(6)

кС( С, а

(7)

а рй - параметр давления, характеризующий термодинамическое равновесие между газовой фазой и избыточной концентрацией диффузанта в фазе I, Э(1|) - функция Хевисайда.

Уравнение (6) описывает кинетику диффузионного фазового превращения при произвольно меняющейся температуре с учетом скорости адсорбционных процессов. Его решение в изотермических условиях для случая слабого диффузионного потока в матрицу (К0 »О) с учетом аппроксимации 1 + у11+х + приводит к так называемому уравнению Эванса = А',4 + К^} . Однако уравнение (6) остается справедливым и

для изменяющихся температурных условий. Таким образом, его можно

рассматривать как обобщение уравнения Эванса для нестационарных условий с учетом диффузии в матрице.

Рассмотрение кинетики фазового превращешм в изотермических условиях с учетом процесса растворения продукта превращения в матрице ( К0 > О ) удобно производить в двух интервалах времени. В первом из них,

отвечающем формальным значениям < 0, происходит насыщение приповерхностного слоя матрицы диффузантом до величины его растворимости в матрице. Этот временной интервал заканчивается при достижении времени задержки /3, определяемого соотношением /3 = кй)к\ . Затем начинается рост слоя новой фазы, описываемый решением уравнения (6) для второго временного интервала

(¿¡ + 1)07-1) + ^

9+3

9-3

■= V

= 1,

где использованы безразмерные переменные С, = V., г| =

£ =

(8) 2 К,

I =-

Ко

16 К?

ч =

4Г, +К,

К,

Уравнение (8) описывает неявным образом зависимость С(т}) для значения параметра д * 3, а для случая д = 3 имеет место следующее соотношение

(9)

Масштабные множители '£, и Г не влияют на характер зависимости толгцины слоя новой фазы от времени, который определяется только значением параметра q (рис. 1). В нормированных координатах с увеличением времени все решения выходят на одну асимптотику, совпадающую с (9).

Для этой асимптотики было получено приближенное соотношение, аналогичное уравнению Эванса, /-/д = £,2/к1 +£>(Кг. Однако входящие сюда параметры Г, и К2, вообще говоря, не имеют аррениусовской зависимости от температуры, в отличие от величин К,.

В рассмотренных стационарных условиях во всех случаях с увеличением времени происходит монотонный рост слоя новой фазы. Такие условия на практике могут быть достигнуты путем быстрого нагрева до

заданной температуры (время нагрева меньше (3) и последующей выдержки. При медленном нагреве температурные условия уже не являются стационарными и весь интервал изменения температуры удобно разделить на области реализации различных режимов кинетики превращения. Анализ проводился для случая монотонного возрастания температуры. В результате были выделены четыре возможных режима кинетики превращения.

Рис. 1. Зависимость приведенной толщины продукта превращения от времени при постоянной температуре и различных значениях параметра q (кривая 1 при значении q = 1,5; 2 - q = 2, 1 - q = 3,4 - q = 6, 5 - q = 150)

Кинетический режим с растворением продукта превращения в матрице. Этот режим реализуется в том случае, когда процесс сорбции диффу-занта является более медленным по сравнению с его диффузией через слой продукта превращения. Изменение толщины слоя продукта превращения от времени в этом режиме определяется соотношением

' и, -¡Ти0Кй л

5 =

Т2Кг ти,

1—

ип тк,

(10)

где Г - мгновенная скорость изменения температуры, и, - энергия активации величины А',, ТО) - температура, измеряемая в энергетических единицах. В этом режиме, если V п > 21]а , где 17а - энергия активации скорости процесса адсорбции, то с ростом температуры может произойти

полное растворение слоя продукта превращения и освобождение поверхности твердого тела. Такое поведение принципиально невозможно в изотермических условиях.

Кинетический режим без растворения продукта превращения в матрице. Реализация этого режима возможна при тех же условиях, что и кинетического режима с растворением продукта превращения, но дополнительно в пренебрежении диффузией в матрице. Зависимость толщины слоя новой фазы от времени описывается тем же выраже1шем (10) при АГ0 = 0 .

Диффузионный режим без растворения реализуется в том случае, когда скорость адсорбционных процессов на поверхности твердого тела превосходит скорость процесса диффузии атомов растворенного компонента через слой новой фазы, а также в пренебрежении диффузией в матрице. Изменение толщины слоя продукта превращения от температуры описывается в этом случае выражением

(И)

Ш,

Реализация диффузионного режима с растворением возможна в том случае, кода расход диффузанта происходит в основном за счет его поглощения матрицей. В этом случае закон роста (растворения) слоя новой фазы определяется выражением

/ п-^

2 _ Т2КI

гад

, 4тк0и0

2 ТК2

(12)

В этом режиме так же, как и в кинетическом с растворением, при условии и,/>2иа возможно полное растворение слоя продукта превращения. Однако характер кинетики превращения в диффузионном с растворением режиме (рост иди растворение прослойки) определяется также соотношением величин I!п и 21], - Vр , где Vр - энергия растворения диффузанта в фазе I. При условии ии>2и] ~ир с ростом температуры в этом

режиме рост продукта превращения также может смениться его растворением.

Как в кинетическом, так и диффузионном режимах растворение новой фазы происходит за счет того, что скорость процесса откачки диффузанта в матрицу превосходит скорость его подвода к границе раздела твердых фаз. Как видно из условий на энергии активации, в кинетическом режиме это происходит за счет малой скорости адсорбции атомов внедряе-

мого компонента из газовой фазы, а в диффузионном, кроме этого, еще и за счет малой скорости его диффузии через слой новой фазы.

При получении выражений (10) - (12) вычисление интегралов производилось по методу Лапласа. Следует отметить, что условия применимости метода Лапласа требуют медленности изменения параметров (в данном случае р и Т ) на интервалах изменения температуры ДТ ~Тг¡V, . На этом же интервале происходит "забывание" начальных условий задачи, в частности, толщины слоя, сформировавшегося в предыдущей области и переход к нестационарной кинетике, описываемой выражениями (10) -(12).

Анализ условий, при которых выполняются зависимости (10) - (12), показал, что на основе соотношения параметров Q0 = ^Ти0К0 ,

У, =-^/П/|А'| , =1ТК2 и £>2 =ТКг110/и2 можно дать следующую классификацию режимов превращения;

О Q.г>Qo>Qг " кинетический режим с растворением продукта превращения в матрице; 1') й > 22 > 2о " кинетический режим без растворения; 2) (?2>(?1>во ~ диффузионный режим без растворения; 3) ()2 > > Ох - диффузионный режим с растворением.

Области реализации перечисленных режимов удобно изображать на р-Т диаграмме. Было установлено, что допускаются только два типа диаграмм, приведенных на рис. 2, где область условий, в которых отсутствует продукт превращения, обозначена цифрой ноль.

Рис. 2. Типы р-Т диаграмм областей реализации режимов диффузионного превращения в условиях монотонного нагрева

Анализ диаграмм показал, что смена режимов превращения при росте температуры происходит в последовательности участков цепочек 0-1-Г-2-3-0 или 0-3-2-Г-1-0 в зависимости от соотношения величин {/,.

Диаграммы данного вида позволяют прогнозировать превращение в приповерхностном слое при заданных условиях или, наоборот, определять условия, обеспечивающие, например, полное растворение образовавшейся прослойки продукта превращения. Этот подход был использован В.В. Пешковым, В.Ф. Селивановым при оптимизации процесса диффузионной сварки титана дня самоочистки его поверхности от окисла.

В четвертой главе рассмотрена кинетика диффузионного фазового превращения в конечной области. Проведенный выше анализ соответствовал случаю, когда матрица рассматривалась как полубесконечная. Для учета возможного влияния ограниченного размера матрицы с использованием тепловых потенциалов было построено решение задачи диффузии в матрице толщиной 21 , иа основании которого произведена аппроксимация потока в исходную фазу и соответствующее обобщение уравнения (6) в

виде

<Л

Ко

1-ехр

(/-г;)2

2К,

1 + . 1 +

161ч2е©

->(13)

где А =--

4 С2,

Отметим, что при условии (/~4)2 » А-|.Ко(1')Л' уравнение (13)

сводится к уравнению (6) , для которого характерны решения (10) - (12). Реализация этого условия возможна в случае, если диффузионная длина в матрице намного меньше ее геометрического размера.

При условии (/ -£)2 «А-^К^уИ? для анализа возможных режи-

мов превращения наряду с О, необходимо введение дополнительно еще четырех параметров: толщины А, прослойки продукта превращения, сформированной в кинетическом режиме без растворения; толщины Ь2 новой фазы, сформированная в диффузионном режиме без растворения;

толщины ¿3 новой фазы, сформированная в диффузионном режиме с растворением и диффузионной длины в матрице.

Если Л > /, то это означает, что превращение в соответствующем режиме завершено по всему объему. Таким образом, условия Ц = 1 на /;-'/' диаграмме определяют границы области, в пределах которой указанная выше классификация режимов превращения нарушается и имеет место новый режим, соответствующий полному превращению.

При условии ЬС1 >1 - Ц > 0 матрица насыщена диффузантом, и внутри области, ограниченной на р-Т диаграмме линией Ь^ = / - , отсутствуют режимы с растворением прослойки продукта превращения в матрице. Разбиение на диффузионный и кинетический режимы для этого случая остается справедливым.

Проведен анализ модификации р-Т диаграмм и установлено, что полученные диаграммы имеют принципиальное отличие от рассмотренных ранее. С целью показать это рассмотрим на модифицированной, с учетом влияния ограниченного размера матрицы, р-Т диаграмме (рис. 3) две точки, соответствующие двум фиксированным значениям температуры и давления А(р1,Т]) и В{рг,Тг),причем рх> рг и Г, < Тг.

Рис. 3. Варианты смены режимов кинетики диффузионного фазового превращения в конечной области в условиях монотонного нагрева.

В условиях монотонного нагрева из состояния, соответствующего точке А, в состояние, соответствующее точке В, можно перейти по различным траекториям, уменьшая давление. Выберем две такие траектории а и Ь. Из рисунка видно, что движение по траектории а приводит (в точке С) к

1п(р) Полное

ИТ

смене режима превращения с кинетического на диффузионный, причем растворения продукта превращения не происходит. В состоянии В, в этом случае, образец представляет собой гетерофазную систему, состоящую из матрицы и слоя новой фазы определенной толщины.

Переход из состояния, соответствующего точке А, в состояние, соответствующее точке В, по траектории Ь приводит (в точке О) к завершению диффузионного превращения во всем объеме образца. Поскольку считалось, что единственным механизмом растворения новой фазы является "откачка" диффузанта в матрицу, то дальнейшее движение по траектории Ь (а также по любой другой траектории из точки О) не будет приводить к изменению состояния образца. В точке В образец представляет собой однофазную систему, состоящую целиком из продукта превращения.

Таким образом, кинетика диффузионного фазового превращения в приповерхностном слое образца определяется, для случая учета геометрических размеров диффузионной области, не только внешними условиями, но и его предыдущей фазовой траекторией на р-Т диаграмме (эффект "памяти"). Так как этот эффект наблюдается только при прохождении фазовой траектории через область р-Т диаграммы, соответствующую полному превращению по всему объему, то целесообразно считать границы этой области полупрозрачными. Это означает, что попав в область, соответствующую полному превращению, выйти из нее уже невозможно.

Наряду с ограниченным размером матрицы, возможное влияние на кинетику диффузионного фазового превращения в приповерхностном слое твердого тела может оказывать ограниченная емкость источника диффузанта. Изменение давления в газовой фазе в этом случае определяется уравнением Менделеева - Клайперона. С использованием также уравнения (1) была построена эффективная система уравнений для определения толщины прослойки продукта превращения £,(/) и относительной концентрации Сд/(0 диффузанта в источнике:

(14)

лг ^ ' н <и н\{ <и 2щ

где Н - геометрический параметр емкости источника.

Анализ возможных решений системы позволил сделать заключение, что поглощение диффузанта из газовой фазы проходит в два этапа: 1) уменьшение до нуля концентрации диффузанта в источнике с ростом и частичным растворешкм новой фазы; 2) полное растворение новой фазы при истощении источника.

Получены явные решения системы (14), описывающие кинетику истощения источника диффузанта, доя ряда предельных случаев. Так, если поглощение диффузанта матрицей преобладает над его поглощением за счет роста слоя продукта превращения, изменение концентрации диффу-ашта в источнике определяется выражением

С«,=СдД 0)-т, (15)

где САу(0) - начальная концентрация диффузанта в источнике.

В противном случае, когда преобладает поглощение диффузанта за счет образования новой фазы, кинетика вакуумирования определяется следующим выражением:

Г Су ( 1 су Ь 7 7_

усу<0)[ ЗСА/(0^ 3 ' I 2Я2С],у(0)

Л'. (16)

Получено выражение, определяющее изменение толщины прослойки продукта превращения со временем. Вне зависимости от реализации того или иного режима кинетики истощения источника оно остается неизменным и имеет вид

Приведенный анализ обобщается на случай наличия слоя продукта превращения толщиной £,0 перед началом процесса. Показано, что при условии ¡;0 « Е учет с0 приводит лишь к некоторому видоизменению начального участка решения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Получено эффективное уравнение, описывающее кинетику диффузионного фазового превращения в приповерхностном слое образца при взаимодействии с газовой фазой, как для постоянных, так и для изменяющихся температурно-барических условий. Показано, что это уравнение в изотермических условиях без учета процессов диффузии в матрице сводится к известному эмпирическому уравнению Эванса.

кинетического без растворения, а также состояния без новой фазы. Получены аналитические зависимости, описывающие кинетику роста новой фазы для каждого из этих режимов и предложена их классификация.

3. Предложен новый подход к прогнозированию кинетики превращения в приповерхностном слое твердого тела в нестационарных внешних условиях, основанный на использовании кинетических р-Т диаграмм. Показана возможность построения таких диаграмм на основе кинетических параметров процессов диффузии и адсорбции.

4. Показано, что при условии U и >2Ua рост новой фазы от поверхности при превышении определешюй температуры может смениться ее растворением вплоть до полного исчезновения прослойки новой фазы (Uц - энергия активации коэффициента диффузии в матрице, Uа - энергия активации скорости процесса адсорбции).

5. Рассмотрено влияние геометрических размеров системы на кинетику протекания превращения. Произведена модификация кинетических р-Т диаграмм с учетом того, что при достижении диффузионной длиной размера матрицы реализация режимов с растворением новой фазы становится невозможной, а при достижении толщиной слоя продукта превращения размера кристалла превращение заканчивается по всему объему.

6. Изучена кинетика диффузионного фазового превращения в приповерхностном слое твердого тела в условиях ограниченной емкости источника диффузанга. Показано, что поглощение диффузанта из газовой фазы проходит в два этапа: уменьшение до нуля концентрации диффузанта в источнике с ростом и частичным растворением новой фазы; полное растворение новой фазы в матрице при истощении источника. Получены аналитические зависимости, определяющие кинетику истощения источника диффузанга.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

1. Кинетика диффузионного фазового превращения в нестационарных условиях / И.Л. Батаронов, ВВ. Пешков, В.Ф. Селиванов, O.A. Лукин И Действие электромагнитных полей на пластичность и прочность материалов: Тез. докл. Междунар. конф. Воронеж, 1996. С. 64-65.

2. Батаронов И.Л., Лукин O.A. Компьютерное моделирование задачи Стефана в нестационарных условиях // Действие электромагнитных

полей на пластичность и прочность материалов: Тез. докл. Мсждунар. конф. Воронеж, 1996. С. 107-108.

3. О кинетике роста и растворения слоя новой фазы в нестационарных условиях / И.Л. Батаронов, В.В. Пешков, В.Ф. Селиванов, В.В. Шурупов, O.A. Лукин // Вестн. ВГТУ. Сер. Материаловедение Воронеж, 1996. Вып. 1.1. С. 61-68.

4. Математическое моделирование диффузионных превращений при взаимодействии с газовой фазой / И.Л. Батаронов, В.В. Пешков, В.Ф. Селиванов, O.A. Лукин//Изв. вузов. Черная металлургия. 1997. № 5. С. 76-80.

5. Математическое моделирование диффузионных превращений при взаимодействии с газовой фазой / И.Л. Батаронов, В.В. Пешков, В.Ф. Селиванов, O.A. Лукин // Актуальные проблемы материаловедения в металлургии: Тез. докл. V Междунар. конф. Новокузнецк, 1997. С. 156.

6. Батаронов И.Л., Лукин O.A. Нестационарная задача Стефана в условиях ограниченной емкости источника // Современные проблемы механики и прикладной математики: Тез. докл. Воронеж, 1998. С. 39.

7. Батаронов И.Л., Лукин O.A. О классификации решений нестационарной задачи Стефана в конечной области // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Гез. докл. 1999 г. Воронеж, 1999.

8. Батаронов И.Л., Лукин O.A. О классификации режимов диффузионных фазовых превращений в нестационарных условиях // Нелинейные процессы и проблемы самоорганизации в современном материаловедении: Тез. докл. Воронеж, 1999. С. 118.

9. Батаронов И.Л., Лукин O.A. О режимах диффузионных фазовых превращений в нестационарных условиях в ограниченной области // Вестн. ВГТУ. Сер. Материаловедение Воронеж, 1999. Вып. 1.5. С. 77-81.

С. 31.

ЛР № 066815 от 25.08.99. Подписано в печать 17.05.2000. Формат 60x80/16. Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 185.

Издательство

Воронежского государственного технического университета 394026 Воронеж, Московский просп., 14

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Лукин, Олег Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. КИНЕТИКА ДИФФУЗИОННЫХ ФАЗОВЫХ

ПРЕВРАЩЕНИЙ

1.1. Диффузионные фазовые превращения

1.2. Влияние внешних факторов на кинетику превращений при взаимодействии твердых тел с газовой фазой

1.2.1. Толщина слоя продукта превращения

1.2.2. Давление газовой фазы

1.2.3. Температурная зависимость

1.3. Кинетические теории фазовых превращений в системе газ - твердое тело

ГЛАВА 2. ЭФФЕКТИВНОЕ ОПИСАНИЕ КИНЕТИКИ ДИФФУЗИОННОГО ФАЗОВОГО ПРЕВРАЩЕНИЯ В

НЕСТАЦИОНАРНЫХ УСЛОВИЯХ

2.1. Постановка задачи

2.2. Решение диффузионной задачи для фазы II

2.3. Решение диффузионной задачи для фазы I

2.4. Растворение слоя продукта превращения (фаза I)

2.5. Рост слоя фазы I

2.6. Кинетика превращения в нестационарных условиях

2.7. Кинетика превращения при монотонном росте температуры

ГЛАВА 3. ВЛИЯНИЕ АДСОРБЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ НА ПОВЕРХНОСТИ НА КИНЕТИКУ ПРЕВРАЩЕНИЯ

3.1. Учет влияния адсорбционных процессов на поверхности твердого тела на кинетику превращения

3.2. Кинетика превращения в изотермических условиях

3.3. Кинетика нестационарного диффузионного фазового превращения для полубесконечной области

3.3.1. Кинетический режим диффузионного фазового превращения

3.3.2. Диффузионный режим превращения

3.4. Классификация режимов превращения

ГЛАВА 4. КИНЕТИКА ДИФФУЗИОННЫХ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ В ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЪЕМАХ

4.1. Постановка и решение диффузионной задачи для матрицы

4.2. Изменение классификации режимов превращения для случая ограниченного геометрического размера матрицы

Введение диссертация по физике, на тему "Кинетика диффузионных фазовых превращений в нестационарных условиях"

Актуальность темы. Одной из важных проблем физики твердого тела в настоящее время является исследование кинетики диффузионных фазовых превращений в приповерхностном слое твердого тела в результате взаимодействия с газовой фазой. Актуальность таких исследований продиктована широкими перспективами использования их результатов как в научном, так и в практическом плане.

Цель работы. Теоретическое исследование кинетики диффузионных фазовых превращений в изменяющихся внешних условиях (температура, давление газовой фазы).

В соответствии с целью в диссертации были поставлены следующие задачи:

• исследовать влияние на кинетику таких превращений геометрических факторов;

• рассмотреть особенности кинетики протекания диффузионных фазовых превращений в условиях ограниченной емкости источника диффу-занта.

Результаты исследований были использованы для оптимизации процесса диффузионной сварки титана при определении условий самоочистки его поверхности от окисла (д-р техн. наук, проф. В.В. Пешков, канд. техн. наук, доц. В.Ф. Селиванов, ВГТУ).

Основные положения, выносимые на защиту.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях, семинарах и школах: IV Международной конференции "Действие электромагнитных полей на пластичность и прочность материалов" (Воронеж, 1996); V Международной конференции "Актуальные проблемы материаловедения в металлургии" (Новокузнецк, 1997); Воронежской школе "Современные проблемы механики и прикладной математики" (Воронеж, 1998); Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 1999); Втором Всероссийском семинаре "Нелинейные процессы и проблемы самоорганизации в современном материаловедении" (Воронеж, 1999); ежегодных научных конференциях сотрудников ВГТУ; научных семинарах ВГТУ (Воронеж, 1997-2000).

Личный вклад автора. Автором самостоятельно получены, обработаны и проанализированы все основные результаты, выносимые на защиту. Постановка задач, определение направлений исследований, обсуждение результатов осуществлялись совместно с научным руководителем, 8 кандидатом физико-математических наук, доцентом И.Л. Батароновым, доктором технических наук, профессором В.В. Пешковым, кандидатом технических наук, доцентом В.Ф. Селивановым.

Заключение диссертации по теме "Физика конденсированного состояния"

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

2. Изучены возможные режимы кинетики диффузионных фазовых превращений в нестационарных условиях. Показано, что возможна реализация четырех режимов: диффузионного с растворением новой фазы, диффузионного без растворения, кинетического с растворением новой фазы, кинетического без растворения, а также состояния без новой фазы. Получены аналитические зависимости, описывающие кинетику роста новой фазы для каждого из этих режимов и предложена их классификация.

3. Предложен новый подход к прогнозированию кинетики превращения в приповерхностном слое твердого тела в нестационарных внешних условиях, основанный на использовании кинетическихр-Т диаграмм. Показана возможность построения таких диаграмм на основе кинетических параметров процессов диффузии и адсорбции.

4. Показано, что при условии ип>2иа рост новой фазы от поверхности при превышении определенной температуры может смениться ее растворением вплоть до полного исчезновения прослойки новой фазы (ип -энергия активации коэффициента диффузии в матрице, иа - энергия активации скорости процесса адсорбции).

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Лукин, Олег Анатольевич, Воронеж

1. Кристиан Дж, Теория превращения в металлах и сплавах: Пер. с англ. -М.: Мир, 1978. - 806 с.

2. Кан Р. Физическое металловедение: В 4 т. Пер. с англ. М.: Мир, 1968. -Т.2.-490 с.

3. Хачатурян А.Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов. М.: Наука, 1974.-384 с.

4. Архаров В.И. О механизме реакционной диффузии // Диффузионные процессы в металлах. Тула: Изд-во Тульск. политехи, ин-та, 1973, с. 111 -124.

5. Архаров В.И. Окисление металлов при высоких температурах. Свердловск: Металлургиздат, 1945. - 171 с.

6. Моррисон С. Химическая физика поверхности твердого тела: Пер. с англ. М.: Мир, 1980.-488 с.

7. Агеев В.Н. Адсорбционно-десорбционные процессы на поверхности твердого тела // Поверхность. Физика, химия, механика. 1984. - №3. - С. 5-26.

8. Агеев В.Н., Ионов Н.И., Устинов Ю.К. Исследование хемосорбции водорода на поликристаллических вольфрамовых нитях методом вспышки с помощью импульсного масс-спектроскопа // ЖТФ. 1964. - №11. - С. 2056-2066.

9. Борисов С.Ф., Балахонов Н.Ф., Губанов В.А. Взаимодействие газов с поверхностью твердых тел. М.: Наука, 1988. - 200 с.

10. Ю.Зайт В. Диффузия в металлах: Пер. с нем. М.: Иностранная литература, 1958.-382 с.1.l

11. П.Фаст Дж.Д. Взаимодействие металлов с газами: В 2 т. Пер. с англ. M.: Металлургия, 1975. - Т. 2. - 351 с.

12. Попов A.A. Фазовые превращения в металлических сплавах. М.: Метал-лургиздат, 1963. - 311 с.

13. Любов Б.Я. Кинетическая теория фазовых превращений. М.: Металлургия, 1969. - 264 с.

14. Дмитров В.И. Простая кинетика. Новосибирск: Наука, 1982. - 384 с.

15. Хауффе К. Реакции в твердых телах и на их поверхности: Пер. с нем. М.: Иностранная литература, 1962. - 4.1. - 416 с.

16. Хауффе К. Реакции в твердых телах и на их поверхности: Пер. с нем. М.: Иностранная литература, 1963. - 4.II. - 276 с.

17. Кубашевский О., Гопкинс Б. Окисление металлов и сплавов: Пер. с англ. -М.: Металлургия, 1965. 428 с.

18. Окисление металлов / Под ред. Ж.Бенара: Пер. с франц. М.: Металлургия, 1968. - T.I. - 499с.

19. Окисление металлов/Под ред. Ж.Бенара: Пер. с франц. М.: Металлургия, 1968. - Т.Н. -488с.

20. Wagner С. Beitrag zur Theorie des AnlaufVorganges // Z.Physik.Chem. (B). -1933. V.21. - P.25-41.

21. Wagner C. Beitrag zur Theorie des AnlaufVorganges // Z.Physik.Chem. (B). -1936. Y.32. - P.447-461.

22. Wagner C. Diffusion and high temperature oxidation of metals. Atom movement. Cleveland: Amer. Soc. of Metals, 1951. - 239p.

23. Кофстад П. Высокотемпературное окисление металлов: Пер. с англ. М.: Мир, 1969.-392 с.

24. Hoar T.R., Price L.E. The electrochemical interpretation of Wagner's theory of tranishing reactions// Trans. Farad. Soc. 1958. - V.34. - №8. - P.867-874.

25. Gesmundo F., Yiani F. The formation of myltilayer scales in the parabolic oxidation of pure metals. 1. Relationships between the different rate constants// Corros. Sci. 1978. - V.18. - №3. - P.217-230.

26. Gesmundo F., Viani F. The formation of myltilayer scales in the parabolic oxidation of pure metals. 2. Temperature and pressure dependence of the different rate constants// Corros. Sci. 1978. - V.18. - №3. - P.231-243.

27. Gesmundo F., Viani F. Application of Wagner's theory to the parabolic growth of oxides contantining different kinds of deffects. 1. Pure oxides// J. Electro-chem.Soc. 1981. - V.128. - №2. - P.460-469.

28. Белый А.А., Овчинников А.А., Тимашев С.Ф. О граничных условиях в диффузионной химической кинетики // Журн. физ. химии. 1979. - Т.53. -№4. - С.948-952.

29. Овчинников А.А., Тимашев С.Ф., Белый А.А. Кинетика диффузионно контролируемых химических процессов. М.: Химия, 1986. - 288 с.

30. Mott N.F. A theory of the formation of protective oxide films on metals // Trans. Farad. Soc. 1939. - V.35. - P. 1175-1177.

31. Mott N.F. A theory of the formation of protective oxide films on metals // Trans. Farad. Soc. 1940. - Y.36. - P. 472-476.

32. Mott N.F. A theory of the formation of protective oxide films on metals // Trans. Farad. Soc. 1947. - V.43. - P. 429-434.

33. Cabrera N., Mott N.F. Theory of the oxidation of metals // Rep. Prog. Phys.1948. V.ll. -№12. -P.170-177.

34. Cabrera N., Mott N.F. Theory of the oxidation of metals // Rep. Prog. Phys.1949. V.12. - №2. - P.163-184.

35. Cabrera N. On the oxidation of the metals at low temperatures and influence of light // Phil. Mag. 1949. - Y.40. - №2. - P. 175-188.

36. Колобов H.A., Самохвалов M.M. Диффузия и окисление полупроводников. М.: Металлургия, 1975. - 456с.

37. Анохин В.З. Кинетика и механизмы термического окисления кремния. -Воронеж: Изд-во ВГУ, 1983. 196с.

38. Пространственная модель кинетики процессов твердое тело газ/ Я.А. Угай, В.З. Анохин, И.Я. Миттова и др.// Докл. АН СССР. - 1981. - Т.259. -№3. - С.648-650.

39. Кинетическое уравнение многостадийного процесса термического окисления полупроводников и металлов/ Я.А. Угай, В.З. Анохин, И.Я. Миттова и др.// Докл. АН СССР. 1982. - Т.266. - №4. - С. 1188-1190.

40. Жук Н.П. Курс теории коррозии и защиты металлов. М.: Металлургия, 1976.-472 с.

41. Дельмон Б. Кинетика гетерогенных реакций: Пер. с фран. М.: Мир, 1972. - 556 с.

42. Барре П. Кинетика гетерогенных реакций: Пер. с фран. М.: Мир, 1976. -399 с.

43. Безденежных A.A. Инженерные методы составления уравнений скоростей реакций и расчета констант. JL: Химия, 1973. - 256 с.

44. Безокислительный нагрев редких металлов и сплавов в вакууме / Б.Л. Ли-нецкий, A.B. Крупин, Б.К. Опара, А.Г. Ракоч. М.: Металлургия, 1985. -346 с.

45. Метод интерференционной индикации физико-химических процессов / Е.С. Воронцов, В.П. Горшунова, В.Ф. Забровская и др. Воронеж: ВПИ, 1985. - 226 с. Деп. в ВИНИТИ. - №63-хп.

46. Воронцов Е.С. О температурной зависимости скорости физико-химических процессов с участием пленок // Изв. вузов. Черная металлургия. 1982. - №10. - С. 1-3.

47. Исследование физико-химических процессов на поверхности прокатанного металла методом интерференционной индикации / Е.С. Воронцов, Ю.В. Спичкин, О.Л. Кириллова, В.И. Коротких // Металлургия и коксохимия. -Киев: Техника, 1986. Вып. 89. - С. 8-14.

48. Окисление титана и его сплавов / A.C. Бай, Д.И. Лайнер, Е.И. Слесарева, М.И. Цыпин. М.: Металлургия, 1970. - 224 с.

49. Пульцин И.М. Взаимодействие металлов с газами. М.: Металлургия, 1969.-216 с.

50. Войнович Р.Ф., Головко Э.И. Высокотемпературное окисление титана и его сплавов. Киев: Наукова думка, 1984. - 225 с.

51. Пешков В.В., Рыжков Ф.Н., Воронцов Е.С., Холодов В.П. О кинетике растворения оксидных пленок в титане // Журн. прикл. химии. 1985. - Т.59. -№5. - С. 1244-1246.

52. Тихомиров В.И., Дьячков В.И. Окисление металлов при высоких температурах в нестационарной (переходной) области. I. Феноменологический анализ процесса // ФММ. 1969. - Т.27. - №3. - С. 459-465.

53. Дыбков В.И. Высокотемпературное взаимодействие металлов с газами. I. Образование слоев химических соединений на границе раздела металл -газ. Кинетика роста однофазного слоя. // Порошковая металлургия. 1982. - №7. - С.52-58.

54. Дыбков В.И. Высокотемпературное взаимодействие металлов с газами. II. Кинетика роста многофазных слоев химических соединений на границе раздела металл газ. // Порошковая металлургия. - 1982. - №8. - С.47-54.

55. Дьячков В.И. Окисление титана и его сплавов в нестационарной (переходной) области //Журн. прикл. химии. 1990. - №10. - С. 2162-2169.бО.Эванс Ю.Р. Коррозия и окисление металлов: Пер. с англ. М.: Машгиз, 1962. - 856 с.

56. Джураева Л.Т., Ганиев И.Н. Окисление сплавов системы алюминий-лантан // Расплавы. 1990. -№5. - С.86-90.

57. Roy S.K., Bose S.K., Sircar S.C. Pressure Dependencies of Copper oxidation for low- and high-temperature parabolic laws // Oxid, Metals. -1991. №1-2, -P. 1-18.

58. Larsen D.E. The evaluation of the parabolic rate constant for the growth of NiO on the (100), (110) and (111) faces of pure Ni using the Pieraggi method // Scr. met. 1987 - №10. - P. 1379-1383.

59. Kusbiraki K., Kuroda N., Motohira I., Ooka T. High temperature oxidation of pure titanium in C02 and Ar -10% C02 atmospheres // Oxid. Metals. - 1997. -№3-4. - P. 289-302.

60. Чупина В.Г., Шаля И.М.Изучение процессов окисления водородопогло-щающего интерметаллида TiFe // Водород, материаловед, и химия гидридов мет.: Тез. докл. 8-15 октября 1993 г. Кацивели, 1993. - С.54.

61. Salomonsen G., Norman N., Finstad T.G. Kinetics and mechanism of oxide formation on titanium, vanadium and chromium thin films // J. Less-Common Metals. 1990. - №2. - P. 251-265.

62. Stakebake J.L., Leroy L.A. The kinetics and oxygen pressure dependence of the high themperature oxidation of Pu -1% Ga // J. Less-Common Metals. 1988. -№2. - P. 349-366.

63. Дьячков В.И. Кинетика окисления сплавов титана с цирконием в атмосфере воздуха при 300 700 К // Ж. прикл. химии. -1991. - №5. - С. 978-984.

64. Дьячков В.И. Окисление сплава титана в атмосфере воздуха при высоких температурах//Ж. прикл. химии. 1992. - №6. - С. 1244-1253.

65. Philibert J. L'oxydation a chaud des metaux // Res. met. (Fr.). 1993. - №12. -P. 1601-1606.

66. Любов Б.Я. Рост кристаллов. M.: Наука, 1965. - 100 с.

67. Любов Б.Я. Диффузионные процессы в неоднородных твердых средах. -М.: Мир, 1979.-422 с.

68. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.: Наука, 1964. -568 с.

69. Lugomer S., Stipancic М., Kerenovic М. Growth of Ta-oxide on thin tantalum films containing groin boundary particles // Vacuum. 1987. - № 1-2. - P. 8991.

70. Paljevic M. High-temperature oxidation of ZrAl // J. Less Common Metals. -1988. -№1.- P. 107-111.

71. Lugomer S., Stipancic M., Kerenovic M. Comparative in situ study of tantalum thin film oxidation in isothermal and nonisothermal conditions // Vacuum. -1988.-№1.-P. 15-19.

72. Paljevic M. Non-selective oxidation of ZrAl3 // J. Less Common Metals. -1991,-№2. -P. 289-294.

73. Paljevic M. Selective oxidation of Zr2A13 // Alloys and Compounds. 1993.-P. 27-29.

74. Lugomer S., Stipancic M., Kerenovic M. Study of tantalum oxidation kinetic // Vacuum. 1993. -№ 5. - P. 116-119.

75. Нестеренко А.И. Моделирование на ЭВМ кинетики диффузионных процессов при получении и эксплуатации покрытий // Защит, покрытия на металлах 1987. -№21. - С. 5-11.

76. Roming A., Pehlivanturk N., Inal О. Modeling of diffusion processes: numerical solutions of the diffusion equation // Diffus. Anal, and Appl.: Proc. Symp. -1989. №4. - P. 45-77.

77. Simmich O., Machmer M., Will H. Approximative solutions for the kinetics of diffusion-limited dissolution and growth of planar precipitates // Phis. Status solid. 1989. -№1.-P.27-30.

78. Десутте И., Колаар Д., Декарпиньи Ж.Н. Двумерное моделирование диффузии при окислении с помощью метода конечных элементов // Моделирование полупроводниковых приборов и технологических процессов. Последние достижения. М., 1989. - С. 158-161.

79. Morral J.E., Dupen В.М., Law С.С. Application of commercial computer codes to modeling the carburizing kinetics of alloy sleels // Met. Trans. A. 1992. -№7.-P. 2069-2071.

80. Разуваев Г.А., Грибов Б.Г. Металлорганические соединения в электронике. М.: Наука, 1972. - 479 с.

81. Кукушкин С.А., Слезов В.В. Дисперсионные системы на поверхности твердых тел (эволюционный подход): Механизмы образования тонких пленок. СПб.: Наука, 1996.-312 с.

82. Эмануэль H.M., Кнорре Д.Г. Курс химической кинетики. М.: Высшая школа, 1984. - 463 с.

83. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела: Пер. с англ. М.: Мир, 1979.-Т.1.-447 с.

84. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела: Пер. с англ. М.: Мир, 1979. -Т.2. -422 с.

85. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. - 576 с.

86. Любов Б.Я. Теория кристаллизации в больших объемах. М.: Наука, 1975. - 256 с.

87. Будак Б.М., Тихонов А.Н., Самарский A.A. Сборник задач по математической физике. М.: Наука, 1972. - 687 с.

88. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974. - 544 с.

89. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. - 368 с.

90. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981.- 800 с.

91. Цвикер У. Титан и его сплавы. М.: Металлургия, 1979. - 510 с.

92. Константы взаимодействия металлов с газами / Я.Д. Коган, Б.А. Кола-чев, Ю.В. Левинский и др. М.: Металлургия, 1987.-368с.

93. Влияние давления воздуха на кинетику роста окисных пленок на титане / Ю.В. Спичкин, В.В. Пешков, М.Н. Подоприхин, В.Н. Милютин // Журн. прикл. химии. 1990. - №1. - С.27-31.

94. Кинетика изменения толщины оксидных пленок на титане при нагреве в вакууме / Ю.В. Спичкин, В.В. Пешков, М.Н. Подоприхин, В.Н. Милютин // Физико-химическая механика материалов. 1988. - №.5. - С.20-23.

95. ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

96. Батаронов И.Л., Лукин O.A. Компьютерное моделирование задачи Стефана в нестационарных условиях // Действие электромагнитных полей на пластичность и прочность материалов: Тез. докл. Междунар. конф. Воронеж, 1996. - С. 107-108.

97. О кинетике роста и растворения слоя новой фазы в нестационарных условиях / И.Л. Батаронов, В.В. Пешков, В.Ф. Селиванов, В.В. Шурупов, O.A. Лукин // Вестн. ВГТУ. Сер. материаловед Воронеж, 1996. -. Вып. 1.1. - С. 61-68.

98. Математическое моделирование диффузионных превращений при взаимодействии с газовой фазой / И.Л. Батаронов, В.В. Пешков, В.Ф. Селиванов, O.A. Лукин // Изв. Вузов. Черная металлургия. 1997. -№5.-С. 76-80.

99. Батаронов И.Л., Лукин O.A. Нестационарная задача Стефана в условиях ограниченной емкости источника // Современные проблемы механики и прикладной математики: Тез. докл. 21-29 апреля 1998 г. -Воронеж, 1998. С. 39.

100. Батаронов И.Л., Лукин O.A. О классификации решений нестационарной задачи Стефана в конечной области // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. 27 января 4 февраля 1999 г. - Воронеж, 1999. - С. 31.

101. Батаронов И.Л., Лукин O.A. О классификации режимов диффузионных фазовых превращений в нестационарных условиях // Нелинейные процессы и проблемы самоорганизации в современном материаловедении: Тез. докл. 3-5 февраля 1999 г. Воронеж, 1999. - С. 118.

102. Батаронов И.Л., Лукин O.A. О режимах диффузионных фазовых превращений в нестационарных условиях в ограниченной области // Вестн. ВГТУ. Сер. материаловед. Воронеж, 1999. - Вып. 1.5. - С. 77-81.