Аналитические мотивы построения областей асимптотической устойчивости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КАЗАКОВА Наирэ Леоновна

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ 4 УСТОЙЧИВОСТИ ' -

01.01.09 - математическая кибернетика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ленинград - 1990

Работа выполнена на кафедре теории управления факультета прикладной математики-процессов управления Ленинградского ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственного университета

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИШЬ: член-корреспондент АН СССР, доктор

физико-математических наук, профессор В.И.Зубов

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.А.Рябов кандидат физико-математических наук А.Ю.УтешеБ

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Институт кибернетики АН УССР

Защита состоится "_" _ 1990 г. в "_"

часов на заседании специализированного Совета K-063.57.I6 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Ленинградском государственном университете по адресу: г. Ленинград, В.О., 10-я линия, дом 33.

С диссертацией можно ознакомиться по адресу: г. Ленинград, Университетская наб., 7/9, библиотека ЛГУ.

Автореферат разослан "_" _ 1990 г.

Ученый секретарь специализированного Совета кандидат физико-математических наук, доцент

В.Ф.Горьковой

ОЩАЯ ХАРАКТЕРНОТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие задачи управления техническими объектами, технологическими процессами, социально-экономическими, экологическими системами сводятся к исследованию решений систем дифференциальных уравнений, правке части которых зависят от управляющих параметров. Ключевым вопросом здесь является построение управлений, обеспечивающих переход системы в равновесное состояние.

Цель работы:

- конструктивное построение управлений, как функций фазовых зостояний системы, при которых наперед заданная область D является областью асимптотической устойчивости;

- выделение подкласса управлений на основе условий, вытекгю-цих из постановок конкретных задач;

- построение математических моделей управления с использованием полученных результатов, а также методов теории игр и многокритериальной оптимизации.

Научная новизна. На основе теоремы В.И.Зубова получены ко-зые конструктивные теоремы, описывающие класс синтезирующих управлений (зависящих от фазовых состояний, при которых наперед заданная, содержащая точку положения равновесия системы область D является областью асимптотической устойчивости. ■

При этом явные аналитические формулы для управлений полутени:

- для звездных областей на плоскости, класса областей в трехмерном пространстве, единичного шара в rv-мерном пространстве.

Для получения управлений для широкого класса областей для' -

плоскости использована теорема Римана о конфликтном отображении. Найден также общий вид управлений для звездных областей в п. -мерном случае. Предложены новые подходы к исследованию задачи "хищник-жертва" Вольтерра, модели экономики обмена, предложена и исследована новая модель задачи разоружения и сохранения баланса вооружений. Для указанных задач найдены управления, образующие ситуацию равновесия по Нэшу и Парето-оптимальную ситуацию в соответствующей дифференциальной игре.

Общая методика исследований. При решении поставленных задач использованы методы теории математического анализа, высшей алгебры, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, оптимального управления.

Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач оптимального управления техническими объектами, технологическими процессами, социально-экономическими, экологическими системами, везде, где возникают задачи стабилизации управляемых систем. •

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на

1. шестой всесоюзной конференции по управлению в механических системах. Львов, 1988г.

2. на конференции по математическим проблемам экологии. Чита, 1988 г.

3. на конференции по математическим проблемам экологии. Чита,1990г,

а также на научных семинарах кафедры теории управления Ленинградского госуниверситета.

Публикации-. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах 1-3.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, II параграфов, разбитых на три глэеы, заключения, списка литературы. Общий объем работы 102 страницы машинописного текста. Список литературы включает 37 названий.

КАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Бо введении обсуждается общая проблематика исследования, представлен обзор работ, примыкающих к теме диссертации, приводится краткое содержание работы по главам.

В главе I дается общая постановка задачи построения управлений^ для системы

ССС ^ + О-^Съ. ..., зга}

(I)

Начальные условия системы (I) заданы в области 1><= й. , которая является открытым связным множеством, содержащим начало координат. Положением равновесия системы (I) является точка 0. Необходимо построить такие управления ^(ос,,..., а^.), чтобы заданная область Т> являлась областью асимптотической устойчивости положения равновесия системы (I).

Пусть осС-и ,яг<>>-£<>')_ решение системы (I) при начальных уело--ВИЯХ 1*1-0, зс=х.а .

Определение. Множество А всех точек £Е0, для которых

при

называется областью асимптотической устойчивости (или областью притяжения).

В §1 на основании теоремы В.К.Зубова об области асимптотической устойчивости найдены явные аналитические формулы для управлений, при которых открытый единичный шар с центром в начале координат является областью асимптотической устойчивости.

Пусть дана система дифференциальных уравнений (I). ^(х,,. ...,!£,)£?[- классу допустимых управлений, представляющих собой вещественные, непрерывные и определенные на-°°< а ^ функции; кроме того, удовлетворяющие условию Липшица по пере-мешшм х, , ....сс*. в любой конечной области, принадлежащей К ; ограниченные на любом замкнутом множестве 7>1=»Т> . Функции ^¿(а, • определены, вещественны и непрерывны при - со

удовлетворяющие условию Липшица по переменным сс, в любой

п

конечной области пространства к и ограничены на любом замкнутом множестве о1> .

Пусть существуют функции Ч^ , г =/,..., о- и УС^ч,--. ^ такие, что".

1. и определены, вещественны и непрерывны при -оос яс+оо :

2. Ф^ ограничены на любом замкнутом множестве 3> л

I ..., ¿м , м >1 , г = ■■■, п- ;

3. и "V" удовлетворяют условию Липшица по переменным сг,, ...; осп. в любой конечной области из Е.*";

4.функция %,) удовлетворяет условиям теоремы В.И.Зубова.

Теорема I. Пусть ас « о является положением равновесия системы (I). Тогда при управлениях

1 1*2

¿ = 2.,..., ^

открытый единичный шар с центром в начале координат является областью асимптотической устойчивости положения равновесия системы (I).

Б §2, применяя теорему I, найдена формула для управлений, при которых заданная наперед зЕездная область Т> является областью асимптотической устойчивости для системы

/

Ъ = , > "Ч ,

1. « 2, ... , и. , j г i , ..., .

И-

Определение. Открытую область 7>в в пространстве К. , содержащую единичный шар с центром в начале координат, будем называть звездной, если отрезок, соединяющий точку О с границей области, целиком содержится в этой области.

В основе построения управлении ил,...) и.^ лежит взаимно однозначное отображение звездной области в открытый единичный шар с центром в точке

Сг'Ч~)-- р , . ^ в - Я*- % Со$ч>г (2) к- V. •••>Ч'«-1 )

ОС.

Б.кФ^СО^.

Управления а/, ... , и^. записываются

в виде

Ы-'^ - - ^ 1__(3)

>г-1 . и-а ^.....ЧЪ-О

г Б.К ... Ът^-г

ь* ..., ГЪ ,

где й - К- С ^ , ... , 1С,,.,)- управление границы звездной области Д> , а

7)лГ< с! сс, .

•г о. ЪЧл о/тг г>ч>и_.

'Э «г*. с/се«.

'Ъ'х, 7>Ъ с/ 'Ь

Вектор ( *.....с! сс^^Т

^ ^ ' сЛъ ' стоит в ъ-оы ст°лбце

определителя"^ , причем й Л

. -2:- соьЧ> Л ^ \ -<7* ,7г

Н7Е * * 1 ~ ^ ^ ,

dfEts-icr./j-«———cos % (p.

fC-i, из формулы (2).

В §3 формула (3) используется для построения управлений в случае трехмерного шара произвольного радиуса Й, , для которого в явном виде получены управления

, / Jbi-л

" " г. И ( 1 ~rz J >

- Ф3 si к ,

u'^^-^ctg^C^cos^-^siH^-).

В главе П подробно исследован двумерный случай. В §1 в явном виде получены упрощенные формулы для управлений о^о.у), для системы

ДС = (зс,У) + MXi ,

а - , (4)

при которых открытый единичный круг Cfo#o) является областью асимптотической устойчивости положения равновесия системы (4).

Теорема 2. Пусть сс=о , а = о положения равновесия системы (4). Тогда при управлениях

у-) = vcCl*v)-ч<У »3

а>аС«.*) = y<T-f +V) + =с 0> -^Гат.У^

открытый единичный круг с центром в начале координат является областью асимптотической устойчивости положения равновесия системы (4).

Функции У^сс/Л и Ч^ (о:, ч") удовлетворяют условиям теоремы I.

В §2 для построения управлений, при которых связная область Л? является областью асимптотической устойчивости применяется аппарат теории функции комплексного переменного. В основе этого построения лежит теорема Римана о возможности взаимно однозначного и конформного отображения связной области (исключая полную плоскость и плоскость с выключенной точкой) во внутренность единичного круга. Пусть такое отображение осуществляется посредством аналитической в области 25 функции г) , или иначе

л -ъсз, г

у = ъ 0>

где - координаты точек открытого единичного круга С (о, о)

Теорема 3. Пусть область 3> задана в плоскости комплексного переменного • Пусть аналитическая в области 3> функция ^(г) взаимно однозначно и конформно отображает область 3> на внутренность единичного крута с С(о, о) . Тогда можно построить управления • ^

и, --—--—-

дЗ* ^ туСх

ъ г гд

при которых область ]> является областью асимптотической устойчивости положения равновесия системы

I

. , (5)

г - ** >

где положением равновесия системы (5) является прообраз точки при данном отображении. Далее теорема 3 применяется для случая, когда область представляет собой полуплоскость.

В §3 в явном виде получены формулы для управлений, при которых произвольная звездная область 3> на плоскости, содержащая открытый единичный круг ССо,о) , является областью асимптотической устойчивости.

Доказана следующая теорема.

Теорема 4. Пусть на плоскости задана звездная область 3>

содержащая открытый единичный круг с С(о,о)г с уравнением

— - , -ч | Е/(ч)1

границы Ч=-Й.Сч>) . Пусть отношение | ^^ [ ограничено в

области 2) . Тогда при управлениях

"ЕС*)

область 3) является областью асимптотической устойчивости положения равновесия х. =о, ^ в о системы

X =

(6)

. I

<-? = ^г.

В основе доказательства теоремы 4 лежит взаимно однозначное отображение звездной области Т> в открытый единичный круг С(о,о), при котором произвольная точка Ма 3> с полярными координатами (ъ > переходит в точку М' ( }

принадлежащую единичному кругу.•

В §4 сформулированы пять следствий из теоремы 4. Получены явные формулы для управлений в случае открытого круга произвольного радиуса и эллипса, симметричных относительно осей координат, равносторонней звезды, правильного многоугольника и цроизвольного звездообразного многоугольника.

В главе Ш полученные результаты используются для исследования конкретных задач управления сложными системами.

В §1 выводятся явные аналитические формулы для управлений, гарантирующих равновесное состояние экологической системы в точке С^/с', а/с - ёе/сс')дт управлений Зольтерра. В данной экологической задаче представляет интерес нахождение класса управлений, сохраняющих знак в процессе движения. Рассмотрен случай, когда этот знак будет отрицательным, что соответствует управлению системой путем сокращения плотности популяций.

В §2 на множество решений уравнения Больтерра с управлением накладывается дополнительная связь, имеющая скисл балансового соотношения ^ С^С/УЭ'О . Хснолъзуя наличие пронзволь-

ной функции в управлениях, построенных для этой задачи в §1, строятся управления, гарантирующие переход в равновесное состояние (е/с', сь/с -бе/сс^при выполнении балансового соотношения.

В §3 результаты, полученные в главах I и П, применяются для построения математической динамической модели экономики обмена по .¿.-П.Обену. Задача сводится к построению управлений скоростью изменения цен, переводящих экономическую систему в равновесное состояние.

Вследствие наличия сложных фазовых ограничений получения управлений в явном виде затруднительно. В этом же параграф» рассмотрена древовидная и иерархическая игра обмена между центром Ао, определяющим цены, и потребителями благ Ь-,, В*. В такой игре найдено Парето-оптимальное равновесие по Нэшу.

В §4 приводится математическая постановка задачи разоружения, как задача перехода управляемой системы в равновесное состояние при выполнении в процессе движения балансовых соотношений. Задача формулируется как дифференциальная игра п. -лиц с фазовыми ограничениями.

Публикации автора по теме диссертации.

1. .Сазакова а.Л. Аналитические методы построения управлений, гарантирующих равновесное состояние экологической системы.-- Тезисы докладов II всесоюзной школы "Математические проблемы экологии". Чита, 1988, с. 79-80.

2. Казакова П.Л. Определение управлений, гарантирующих устойчивость экологической системы в многомерном случае. - Тезисы докладов Ы всесоюзной школы "Математические проблемы эколо-

- 14 -

гш". Чита, 1990, с. 92-93. 3. Казакова Н.Л. Об областях асимптотической устойчивости управляемых систем. - Тезисы докладов 6-ой всесоюзной конференции по управлению в механических системах. - Львов, 1988, с. 171.