Аналитические решения краевых задач фильтрации с подвижными границами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

<•> I и

ПОМЕРАНЕЦ Михаил Владимирович

АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ

01.02. 05 - механика жидкостей, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1994

Работа выполнена в отделе теории фильтрации НИИ математики и механики имени Н.Г.Чеботарева Казанского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, старший научный сотрудник

Н.ДЛкимов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Р.Б.Салимов

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник М.М.Алимов

Ведущая организация: С.-Петербургский архитектя рно-

строительный университет

Защита состоится " ^ " 1994 г. в 14 час

30 мин. в ауд. физ.2 на заседании специализированного Советг Д.053.29.01 по защите диссертаций на соискание ученой степеи, доктора физико-математических наук по механике при Казанское государственном университете (420008, г.Казань, ул. Ленина, 18)

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им Н.И.Лобачевского Казанского государственного университета;.

Автореферат разослан " ¿х^^К-Й 1994 г.

Ученый секретарь специалинированного Совета кандидат физ.-мат. наук, старший научный сотрудник

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В теории движения грунтовых вод, как и вообще в механике, общеизвестна ценность аналитических решений. Помимо самостоятельных практических приложений, точные решения предоставляют надежный материал для тестирования повсеместно используемых численных методов. К настоящему времени аналитических решений задач с движущимися депрес-сионными границами, особенно в точной гидродинамической постановке, получено очень немного. А весьма важные проблемы суффозионного разрушения грунтов практически не исследовались строгими математическими методами.

Цель диссертационной работы состоит в формулировке и аналитическом решении задач с подвижными границами, возникающих при движении депрессиошгых кривых и при суффозионном рдзрушении грунта.

/ Научная новизна. В диссертации сформулированы краевые задачи об опускающейся и поднимающейся в наклонном слое грунта депрессионной кривой, сохраняющей в процессе движения свою форму; на основе метода П.Я.Полубариновой - Кочиной найдены формы кривых в зависимости от исходных параметров — угла наклона слоя и скорости изменения уровней воды в водоеме; определены углы, образуемые движущейся депрессионной кривой с откосами; найдена зависимость размеров участка высачивания от перепадов уровней воды при их опускании; указано ограничение на скорость опускания, при которой существует решение. Расширена область применимости функции Б1,гаск'а и Аз^ап'а на движущиеся депрессионные кривые неизменной формы. Предложена математическая модель развивающегося суффозионного канала, представляющая собой краевую задачу с подвижной границей, исследованы ее свойства. В качестве примера методами аналитической теории линейных дифференциальных уравнений решены две задачи о движении капала равновесной формы — в слое грунта при наличии водоупора и без него. Исследована устойчивость процесса каналообразования. Новым является также применение указанных аналитических методов к задачам с движущейся областью фильтрации.

з

Практическая ценность. Результаты первой главы данной теоретической работы могут как непосредственно использоваться при расчете схем процессов, подобных рассматриваемым, так и служить тестовым материалом для более сложных схем. Результаты второй главы могут использоваться при качественном изучении практически важных процессов суффозии.

Достоверность результатов обеспечивается применением при исследованиях в рамках принятой модели строгих рассуждений, аналитических методов и согласием с имеющимися результатами других авторов. Использованная в работе математическая модель фильтрации с депрессионными границами является апробированной, хорошо изученной и широко применяемой.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на Всесоюзной научной конференции "Краевые задачи теории фильтрации и их приложения" (Казань, 1991), на научной конференции студентов и преподавателей университетов Татарстана (Казань, 1991), на II Республиканском научно-техническом семинаре "Машинные методы решения задач теории фильтрации" (Казань, 1992), на V Всесоюзной научной школе "Гидродинамика больших скоростей" (Чебоксары, 1992), на Итоговых научных конференциях Казанского университета (1991-1994), на Научных семинарах отдела теории фильтрации НИИ математики и механики Казанского университета (рук. докт. ф.-м. наук Е.Г.Шешуков).

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 108 страницах машинописного текста, содержит 23 рисунка; список литературы включает 83 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен обзор литературы по теме, указана цель диссертационной работы, изложен порядок расположения материала, сформулированы основные результаты, выносимые на защиту.

Среди немногих известных решений задач теории фильтрации с движущимися депрессионкыми поверхностями большинство решалось в упрощенной, гидравлической постановке (J.Boussinesq, Н.Н.Веригин, Г.И.Баренблатт и др.), не позволяющей выявить некоторые особенности картины фильтрации и поведения депрес-сионной границы, в частности, в плоском случае вблизи ее концов. Решения в гидродинамической постановке (П-Я.Полубари-нова - Кочина, Н.Н.Кочина, Л.А.Галин, G.Dagan, Н.К.Калинин, П.П.Куфарев, S.Irmay и некоторые другие) почти все сложны и содержат те или иные упрощения или элементы аппроксимации.

Одним из путей получения несложных точных решений является формулировка задач, позволяющих исключить из постановки переменную времени, что дает возможность использовать аффективные 'стационарные' методы решения. Таким образом может быть рассмотрен довольно широкий круг задач, представляющих практический интерес, в которых область фильтрации при движении депрессионных границ остается подобной самой себе. Формулировки и исследование таких задач предложены Н.Д.Якимовым. Также М.И.Гещелем решена задача о самоподобном движении де-прессионной кривой в клинообразной области.

Традиционными методами решения плоских или осесимметрич-ных стационарных задач с депрессионными границами являются методы конформных отображений и методы аналитической теории линейных дифференциальных уравнений класса Фукса. В первых используются области функций комплексного потенциала, годографа скорости, функций Жуковского, Гамеля, также функции, которую предложили в 1978 году O.D.L.Strack и MJ.Asgian. Основанный на теории уравнений класса Фукса метод П.Я.Полубариновой - Кочиной продолжает широко применяться и развиваться, в частности, в работах Э.Н.Береславского, А.Р.Цицкишвили, S.D.IIowison и J.R.Kmg и других.

Задачи с движущимися эквипотенциальными границами (вытеснение подвижной жидкостью более вязкой, движение в лотке Hele-Shaw) решали P.S.Saffman и G.Taylor, A.A.Lacey, S. Richardson, S.D.Howison и другие. Задачи с движущейся г раницей раздела двух сред исследовали J.Bear, G.Dagan, A.M.Shapiro.

Фильтрационная суффозия (эрозия) как одна из частых при-

о

чин разрушения грунта в гидротехнических и иных объектах рассматривалась в работах многих исследователей — E.W.Lane, K.Terzaghi и R.B.Peck, М.М.Гришина. А.Н.Патрашева, В.С.Истоминой, Р.Р.Чугаева, А.И.Антинова, J.L.Sherard, В.Н.Жиленкова и Н.И.Шевченко и других. В числе различных случаев эрозии наблюдаются такие, когда процесс эрозии вначале выражается в образовании сравнительно тонких каналов в грунте, растущих против фильтрационного потока. Глубокого математического исследования этого явления не проводилось. Имеющиеся работы, в основном, ограничиваются общим описанием и выяснением условий возникновения эрозии с целью недопущения ее в проектируемых объектах. Вместе с тем, сущность суффозионного ка-налообразованйя достаточно понятна, если разрушение происходит по локальным дефектам структуры грунта и/или в условиях очень неравномерного, сосредоточенного фильтрационного потока. Возможность возникновения и развития каналов в однородных условиях представляется неочевидной. В связи с этим в диссертации делается попытка на основе математического моделирования рассмотреть проблемы осуществимости такого процесса, его возможный механизм и некоторые свойства при исходно однородном грунте и в целом равномерной фильтрации.

Первая глава посвящена задачам с депрессионными кривыми, движущимися в наклонном слое грунта с параллельными границами вслед за изменяющимся ypt внем воды в водоеме, когда форма депрессионных кривых в процессе движения не меняется.

В §1 определяется класс решаемых задач, описывается модель течения — плоская линейная фильтрация, однородный изотропный грунт. При постоянной скорости изменения уровня воды в водоеме по прошествии достаточного времени с начала движения форма области фильтрации перестает изменяться, и задачи допускают стационарную постановку.

Выписываются краевые условия, в том числе кинематическое 'стационарное' условие на депрессионной кривой:

dh _ am(ß- ß) дп sin р

где h — напор, п — нормаль, R* = Нтп/к — безразмерная скорость изменения уровня воды {R —размерная скорость, m — пористость

Рис. 1: а) — Область течения в задаче о подъеме депрессионной кривой; Ь) — область течения в задаче об опускании депрессионной кривой

грунта, к — коэффициент фильтрации), р — угол наклона касательной к депрессионной кривой, /л — угол наклона откосов.

Иллюстрируется механизм образования и продвижения депрессионной кривой, не являющейся линией тока.

В §2 рассматривается простейший случай течений описываемого типа — когда скорость фильтрации одинакова по величине и направлению во всей области течения во все моменты времени. Депрессионная кривая при этом получается прямолинейной. Указывается ряд схем с прямолинейной депрессионной кривой. Определяются углы, образуемые депрессионной кривой (не обязательно прямолинейной) с откосами в зависимости от скорости изменения уровня воды в водоеме и угла наклона слоя. Анализируются некоторые общие свойства движения депрессионных кривых.

В §3 решается задача об определении формы поднимающейся депрессионной кривой в бесконечном слое грунта с параллельными границами, одна, из которых непроницаема (рис. 1а). Граница области фильтрации состоит из трех участков, на каждом из которых выполняется по два условия в виде линейной комбинации

функций комплексного потенциала w = ф + гф и переменной физической плоскости г = х + ty:

Dif : ф — const,y = itg/x,

DM : = const,;/ = xtgn -f const,

ifilf : 4> + ky = const, ^ — Rxnctg/i • y + Rxn • x — const,

что дает возможность применить метод ПЛ.Полубариновой - Ко-чиной. При этом в области годографа получаются круговой треугольник, а дифференциальное уравнение, соответствующее задаче, имеет три особые точки. Показатели функций W и Z около особых точек определяются из анализа локального поведения этих функций. В полученную в явном виде формулу для Z = dz/dÇ (С — переменная вспомогательной верхней полуплоскости) входят значения углов кругового треугольника в области годографа ум и ук в точках M к К соответственно, и углов в области течения ам и ак. В окрестности точки Ç = оо (точка D) решение 1шеет вид:

x.F(aM + ак - 1, ам + ак + 7м; 1/2; 1/С), где С\ — вещественный 'масштабный' множитель, a F (а, Ь; с; С) — гипергеометрический ряд, сходящийся в круге |С| < 1. Зат^м решение аналитически продолжается на отрезок 0 < Re(C) < 1, соответствующий депрессионной кривой. Получающиеся формы депрессионных кривых в зависимости от параметров i£* и /х приведены на рис. 2a-d.

В §4 строится форма опускающейся депрессионной кривой в бесконечном слое грунта с двумя параллельными проницаемыми границами (рис. lb). В этом случае граница области течения состоит из четырех участков, в том числе участка высачивания АК, на которых по-прежнему выполняется по два условия в виде линейной комбинации w и z. Однако в годографе также получается круговой треугольник, т.е. одна из особых точек, точка £ = d, соответствующая точке D, является устранимой, что позволяет ойять эффективно применить метод ПЛ.Полубариновой - Кочи-ной. Решение имеет вид:

Zço = Cie«'+">(C - d)-lCu-l{-0-°un<*M,<*i* + 7м; 1; 1/С),

С

Рис. 2: Формы депрессионвых кривых при подъеме. Цифрами обозначены величины 1С

где обозначения аналогичны описанным ранее. Величина <1 определяется отношением Н(Ь (Н — перепад уровней воды в водоемах, Ь — ширина слоя грунта). На рис. 3 показаны депресси-онные кривые при различных углах ц и безразмерных скоростях опускания Д*. Незначительность отклонения движущейся депрес-сионной кривой от неподвижной (при Я* = 0) объясняется очень малыми скоростями Я\ при которых возможна данная схема с одним участком высачивания:

Определяется зависимость размера участка высачивания от величины Н.

В §5 показывается, что вдоль движущихся депрессионных кривых, не изменяющих форму в процессе движения, аргумент функ-

ции Б^аск'а и Ав^рап'а

с

Рис. 3: Депрессионные кривые при Л/Ь — 1/2 и различных значениях р и 1С. Цифры над кривыми указывают значения |Я*|; пунктиром показаны кривые при 1С = О

(д — Ят/Ах — лашдлексная скорость) сохраняет достоянное значение. Это обстоятельство предоставляет альтернативную возможность решения рассматриваемых задач методом конформных отображений, поскольку теперь имеются две области с полностью известными границами — область годографа скорости и область функции Б^аск'а и Аврап'а. Обсуждаются встречаемые при атом трудности. Указывается на предложенный в 1988 году С.Ве1оигпау и О.Б.Ь.Б^аск 'полуаналитический' метод.

Вторая глава посвящена проблеме образования суффозионных

каналов.

В §6 описываются предположения и допущения, полагаемые в основу модели суффозионного разрушения грунта, среди которых 'снос' процессов разрушения на движущуюся границу канала и принятие зависимости скорости разрушения от величины скорости фильтрации и, возможно, угла наклона границы.

В §7 формулируется постановка краевой задачи с подвижной границей, являющейся математической моделью процесса кана-лообразования. При этом на движущейся границе канала выпол-

няются два условия: условие постоянства напора h и кинематическое условие, задаваемое функцией

Vn = f(J,6), (1)

где Vn — скорость перемещения развивающейся границы (по нормали), в — угол между вертикалью и нормалью к границе, 0 < в < 7Г, J — величина градиента напора, J = dh/dn. Функция /, отвечающая реальному процессу, должна удовлетворять, в частности, следующим условиям.

a) При градиенте, меньшем критического, разрушения не происходит:

/(J,6) = 0 при J<J,(Ö),

где «7*(0) >0 — критический градиент (нормаль считается направленной внутрь грунта). В частности, / < J„ на неразрушающихся участках стенок канала.

b) При увеличении интенсивности фильтрации скорость разрушения растет:

/(Jb0) </(J2,0) при Ji<J2,J*<J2.

c) При увеличении наклона границы скорость разрушения не уменьшается:

/(•W < Я-W при 0 <*!<*,<*.

В §8 строится пример канала равновесной формы, т.е. такого, который при продвижении сохраняет свою форму. Канал развивается в неограниченном снизу слое грунта (рис. 4а). Кинематическое условие (1) на неизвестном движущемся участке канала заменяется условием равновесности:

Vn = Vírsme,

где Vir — скорость продвижения канала (не зависящая от времени). В целях получения аналитического решения ставится также условием, чго в области годографа неизвестному участку соответствует дуга окружности (рис. 4Ь). (Подобный полуобратный подход применялся в теории фильтрации довольно часто —

зионноы канале в неограниченном слое грунта; Ъ) — область годографа скорости

' В.И.Аравиным, С.Н.Нумеровым и другими). Теперь в задаче известны две области — комплексного потенциала и годографа. Решение строится методом конформных отображений, причем на круговой треугольник -в годографе верхняя полуплоскость отображается методом аналитической теории линейных дифференциальных уравнений. В окрестности точки ( = оо (точка А) решение имеет вид:

& - _ 1 Л./2%«+1 1- м/с)

2 ; 1 ' ^(6+1-с,6;гг+1-а;1/С)'

где 1> — величина расхода через участок — кри-

тическое значение скорости фильтрации д = <1хо/<1г (черта означает комплексное сопряжение) для угла в = 0, а выра; каются

через Г-функции, зависящие от углов в годографе 7с и 7д в точках С и В соответственно.

Рассматривается также более простой частный случай ус + 7в = 3/2. Тогда на участке ВС для q получаем следующее выражение:

q = g*cos0 + ?вбш0, (2)

где qs — скорость фильтрации в точке В. Выражение (2) соответствует условию в виде линейной связи между w и z:

ф — q*x + qBy — const,

и решение можно получить методом П-Я.Полубариновой -Ко-чиной. Проводится исследование свойств полученных решений. Вводится величина I, характеризующая интенсивность фильтрационного режима — напряженность фильтрации. Приводятся рассуждения о модели грунта для семейств равновесных решений. Для указанного частного случая определяется и строится модель грунта, названного специальным.

В §9 решается похожая задача о развивающемся канале равновесной формы, но слой грунта ограничен снизу на глубине Т водоупором. Слева на бесконечности скорость фильтрации постоянна и равна qA. При этом в области годографа скорости также круговой треугольник. Около точки ( ~ оо решение имеет вид:

J,(q,a + l-c;a + l-6;l/C) F(b+1 — 1-е; 1/0 ' где неизвестный заранее параметр конформного отображения р определяется величиной скорости q^.

Также рассматривается частный случай 7с + 7в = 3/2, допускающий применение метода П.Я.Полубариновой - Кочиной.

Полученные решения сравниваются с решениями из предыдущего параграфа. Показано, что при одинаковой напряженности фильтрации с увеличением глубины водоупора формы каналов стремятся к формам каналов в неограниченном слое грунта — см. рис. 5а,Ь.

0 2 0 2 4

Рис. 5: Сравнение форм каналов в ограниченном слое (тонкие линии) с формами каналов в неограниченном слое (жирные линии) □ри одинаковой напряженности фильтрации / = 2 и критической скорости q' = 1. Две обозначает величину расхода через участок ВС

В §10 рассматривается вопрос устойчивости процесса канало-образования. Применяя принцип Заремба к разности напоров возмущенного и расчетного течений, получаем, что как 'наибольший обгон', так и 'наибольшее отставание' возмущенного решения относительно расчетного растут — это означает неустойчивость движения границы. При этом в рассуждениях не используется свойство равновесности границы, а только монотонность ее координат и соотношение (1). Поэтому отмеченная неустойчивость движения характерна не только для равновесных форм, но и для решений произвольных нестационарных задач рассматриваемого тина.

В §11 излагаются рассуждения о свойствах процесса по предложенной модели. Обсуждаются вопросы критического режима

фильтрации и ограничения толщины каналов, ветвления" и конкуренции каналов, прекращения движения отдельных участков и непрекращаемости процесса в целом.

Одно из свойств процесса применительно к напорной фильтрации около гидросооружений, когда грунт обладает соответствующими суффозионными свойствами, а в схеме сооружения не предусмотрены защитные устройства, можно, сформулировать следующим образом. Даже если расчетный фильтрационный режим не является суффозионным, то есть расчетные значения скорости фильтрации всюду меньше критических, при которых начинается суффозия, все равно возможно образование суффозионных каналов, которые постепенно пересекут грунт от нижнего бьефа до верхнего.

В §12 обсуждаются сходство и различие предложенной модели каналообразования с моделью вытеснения подвижной жидкостью более вязкой.

»

В §13 затрагивается вопрос практичности предложенной модели, обсуждаются ее достоинства и недостатки.

В заключении подводятся итоги проведенных исследований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Решения в стационарной постановке задач о движущихся депрессионных кривых в наклонном слое грунта с параллельными границами: определение углов, образуемых депрессионными кривыми с откосами, построение формы депрессионных кривых, определение величины участка высачивания для случая опускания.

2. Расширение сферы применимости функции Б^аск'а и Asgian'a на движущиеся депрессионные кривые неизменной формы.

3. Формулировка математической модели для изученйя качественных кинематических свойств фильтрационно-эрозионного каналообразования.

4. Аналитические решения задач о равновесной форме развивающегося суффозионного канала в неограниченном снизу слое грунта и при наличии на конечной глубине водоуаора.

*

5. Доказательство неустойчивости процесса каналообразова-нин.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1." Померанец М.В., Якимов Н.Д. Аналитическое решение задачи о движении депрессионной кривой // Тезисы докл. Всесоюз. науч. конф. "Краевые задачи теории фильтрации и их приложения", 23-27 сект. 1991г., Казань, сс. 89-90.

2. Померанец М.В. Применение метода ПЛ.Полубариновой -Ко чиной к задаче о движении депрессионной кривой / / Тезисы докл. науч. конф. студ. и препод, университетов Татарстана, с. 32, Казань, 1991.

3. Померанец М.В. Аналитическое решение нестационарных задач безнапорной фильтрации // Тезисы докл. второго Респ. науч.-тех. сешш. "Машинные методы решения задач теории фильтрации", 23-25 июня 1992г., Казань, с. 22.

4. Померанец М.В., Якимов Н.Л. Математическое моделирование развивающегося суффозионного канала. Деп. в ВИНИТИ 02. 06. 1994, N0 1367 - В94. 47с.

5. Померанец М.В., Якимов Н.Д. Решения задач о движении депрессионных кривых в стационарной постановке. Деп. в ВИНИТИ 02. 06. 1994, N0 1366 - В94. 27с.

Сдано в набор 5.08.94 г. Подписано в печать 4.08.94 г. Форм.бум. 60 х 84 I/I6. Печ.л.1. Тира« 100. Заказ 315.

Лаборатория оперативной полиграфии КГУ 420008 Казань, Ленина, 4/5