Аналитические свойства решений нелинейных дифференциальных уравнений типа Пенлеве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Белорусок и.й государственный университет

Р у ОД На правах рукописи

¿. о иуд!

КАЗАКОВ Владимир Анатольевич

АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЦХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА ПЕНЛЕВЕ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

МИНСК 1993

Работа выполнена в Вологодском государственном педагогическом институте

Научные, руководители:

доктор физико - математических наук,

профессор Матвеев Н.Н.; кандидат физико - математических наук, доцент Богословский Б.П.

Официальные Оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Лукашевич Н.А кандидат физико-математических наук, доцент Дехурко Ю.И

Ведущая организация:

Гродненский государственный университет

Защита состоится 1993 года в / О ча

на заседании специализированного совета К 056.03.10 присуждению учоной степени кандидата физико' - математичес наук в Белорусском государственном университете (220С Минск, пр. Ф. Скарины; .4, комната 206).

С диссертацией можно ознакомиться $ библиотеке БГУ. Автореферат разослан, ib.il. 1993 года.

Ученый секретарь специализированного совета, к.ф.-м. наук, доцент

В.И. Корз

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теиы. Многие задачи естествознания и (хники в плане их теоретического обоснования тесно связаны с [фференциальными уравнениями,в том числе и с обыкновенными.

Основная теорема аналитической теории дифференциальных: ¡авнений - .теорема Коши - при весьма общих предположениях |рантирует существование и 'единственность голоморфного «пения дифференциального уравнения при заданных начальны:: ловиях. Но метод Коши не позволяет изучить особые точки «пения. ' •

Вопрос о поведении решений дифференциальных уравнений в местности особых точек впервые был поставлен Врио и Буке , итавшими особыми тзкио точки, в которых нарушается хотя бы зга из условий теоремы Коши о существовании и единственности «пения.

Нелинейные дифференциальные уравнения, как . правило, 1еют подвижные особые точки.

Особые точки аналитических функций разделяют обычно на позначные и многозначные, изолированные и неизолированные, простейщкми- из них считаются изолированные однозначные юСые точки типа полюсов. Поэтому естественно, что первые ¡следования в • аналитической теории нелинейных фференциалыгах уравнений второго порядка были направлены на I, чтобы построить классы уравнений с наиболее простыми явижнымл особенностями. В работах Пенлеве, Пикара, Гарнье, ¡мбье и других авторов была решена задача выделения класса ¡эвнений, решения которых свободны от многозначных подвижных ■обых точек, из уравнений вида

= (1) [ей- рациональная. относительно V и п функция с >ломорфными в некоторой области коэффициентами 'по г (эту дачу позднее стали называть задачей Пенлеве).

Полученные при решении- задачи Пенлеве результаты можно

«л

сформулировать следующим образом: множество уравнений видг (!), все подвижные особые точки которых однозначны, содержит 50 канонических уравнений; шесть из низ (неприводимые уравнения Пенлеве) поровдавт, вообще говоря, новые трнсцендентные.функции (трансцендентные Пенлеве).

Н.П. Еругин в 1952 и 1957 годах поставил ряд зада' относительно свойств решений уравнений Пенлеве. Среди них i такие: что мокно сказать о тех уравнениях вида (1}, которьк отсеяны методом Пенлевэ, как уравнения заведомо имеющие подвижные многозначные особые точки? каков характер эти: особых точек? как можно построить -ешение в их окрестности' Об этих же задачах говорят в 1990 году в своей монографи "Аналитические свойства решений уравнений Пенлеве" Грома: В.И. и Лукашевич H.A.

• В диссертации названные задачи рассма .'ркваются д честных случаев уравнения (1). Интересно сравнить вно получающиеся- результаты с уже- известными, поэтому д исследования выбраны уравнения, имеющие при некотор значениях коэффициентов только однозначные подвшаше особ точки. ■

Для того чтобы уравнение (1) имело только однозначные подвижные особые точки, необходимо, чтобы функция P.(w',w,2 была относительно w' полиномом второй степени:

w" = A(w,z)w'a + B(v?,z) w' + C(w,zi, (;

где А,В,С рациональные по w функции с голоморфными по коэффициентами. А допускает одну из следующих возможносте!

1) 0: 2) J-, 3) (1 - -l-j-i-. n > 1; 4) 4- -¡J^s

8> T(w+ + w - H )' H постоянная и

зависит от z.

4 а.

В диссертации для А выбраны второй и третий случаи, при их условиях В(я,г), С(м?,г) должны иметь вид: Р^я'.г)-^;

и,г)4, где Р , Р, полиномы соответственно второй и

п 2 4

■вертой степени относительно я с голоморфными по 2 в области гоэффициентами.

Целью данной работы является изучение структуры решений

жрестности многозначной подвижной особой точки уравнений ' '. '

2 Ж

г = и'2 + У7'£ а (г)*2"-1 + Е Ъ (г)?г \ (3)

)«о J >о 1

ww' = [1 - -уИя'2 + ет'Е а (г)«2"-1 + Е Ь (г)?»4"3. (4)

1 } j-o } ¡-о '

называется, что условия отсутствия логарифма в построенных

пениях являются достаточными для отсутствия многозначных

гвижных особенностей во всех решениях уравнений (3) и (4).

Методика исследования. В большинстве случаев для

следования структуры решений уравнений используется прием

рехода от уравнения к системе двух уравнений Врио и Буке.

характеру решений этой системы делается вывод о структуре

пений уравнений (3), (4).

Если характеристическое уравнение- соответствующей

стемы двух уравнений Врио и. Буке имеет нулевой корень или *

удается перейти к ■ системе Врио и Буке, го решение авненлй (3) и (4) в окрестности многозначной подвижной ' обой точки строится методом Н.П. Ерухина.

Научная новизна. Новыми в диссертации являются следующие зультаты:

описывается структура решений уравнений (3) и (4) в рестности многозначной подвижной особой точки;

получает дальнейшее развитие метод Н.П. Еругина строения решений уравнений в окрестности подвижной особой чки;

предлагается (с помощью метода Еругина) описание руктурн решений уравнений (3), (4), когда соответствующая

система двух уравнений Врио и Буке имеет нулевой корень.

Практическая ценность. Приведенные в диссертации подхо, и полученные результаты могут быть использованы д исследования дифференциальных уравнений более общего вида для изучения конкретных математических моделей в физике.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались обсуждались на семинаре кафедры математического анализа Р им.А.И. Герцена (Ленинград, 1985, руководитель проф. Матв Н.М.); семинаре преподавателей математических каф педагогических, институтов северо - запада Рос (Вологда,1989); семинаре кафедры дифференциальных уравне: БГУ (Минск, 1988, 1991, руководитель проф. Лукашевич H.A.).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликов в трех печатных работах, список которых дан в ко: автореферата..

Структура и объем работы. Диссертация состоит .1 введения, трех глав и списка . цитированной . литературы (' наименования). Общий объм работы - 91 страница машинописно: текста. " „

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение посвящено историческому обзору результато1 связанных с Выделением уравнений и систем уравнений, решен которых обладают наперед заданными свойствами, и кратко» изложению содержания диссертации. •'..

Первая глава содержит • результаты [1], связанные исследованием уравнения (3). В § 1 этой главы показываете! что уравнение (3) может иметь подвижные особые точки тш полюсов первого или второго порядка. § ¿.посвящен построен! решений уравнения (3). в окрестности подвижной особой точ! г , обладающих свойством

я•* <о при г-* {I

N

Эти решения могут быть записаны с помощью одной из следующих фврмул:

_ О о Н*г«1_

и - --,

где т не целое и Ие ш > 0; ш - 2 со

1вк+г«1

и = -

2 - 20

где и целое положительное, иг? 2, г

±/пг1+ * с(к'г)(2-20)к((2-2 )31п(2-2)) О О к*г«1"

да - ---

й - 20

„ _ О4 О к*г«1_ ,

2 -г.

2

т

_ ~1Ч~0' к*гш!

В этом же параграфе получены условия отсутствия логарифма в отмеченных решениях. В § 3 строятся решения, обладакщие свойством

чг-+0 при2-»го. (В)

Они записываются с помощью формул:

в 2 - ао

да _ ---

т-2 со

1 п'

2-0' к + г а 1

где га не целое, Ие т > 0; .

2-2

Я =

Г 0{к->(2-20)к((2-20)2Ьп(2-20))Г

4 О к + г»1

2_И

те ---

и <0 •

+ Е 0'к"-'(2-20)к((2-20)Ъп(2-20))1

.2 О' к»г«1

л со

3 О к 4 ге1

Здесь же получены условия отсутствия логарифма в этих решениях.

В § 4 доказывается, что при .выполнении условий отсутствия логарифма в решениях, обладающих свойствами (А) и (В), все решения уравнения (3) будут свободны от многозначных подвижных особенностей. Выводы этого параграфа ' полностью согласуются с классическими результатами, полученными методом малого параметра.

Во второй главе рассматривается уравнение (4) [2]. В § 1 тем же методом, что и в. первой-главе, описывается структура решений в окрестности многозначной подвижной особой точки.. В §' 2 показывается, что условия' отсутствия . логарифма в решениях, построенных в ..первом параграфе, являются достаточными для . отсутствия многозначных подвижных особенностей во всех решениях уравнения (4), что полностью

*

§

совпадает с уже известными результатами.

Наиболее сложными и интересными при рассмотрении уравнений (3), (4) оказались случаи, когда характеристические уравнения соответствующих систем Врио и Буке имеют нулевой корень [3].или не удается- перейти к системе Врио и Буке. °ассмотрению этих случаев посвящена третья глава диссертации. Для уравнения '

2 4

т" = V?'2 + и'£ а (г)«2"-1 + £ Ь Ыкт4"-' (5;

.1 = 0 1 ]=о

при условии

ь0--тв; (б)

соответствующая система двух уравненний Врио и Буке имеет корни характеристического уравнения: • = - 1, . = О. Рассмотрению систем Врио и Вуке для нулевого корня характеристического уравнения посвящен ряд работ., В частности, их рассматривал М. 1тапо. В § 1 третьей главы рассматривается уравнение (5) при условии (6) без перехода к системе Врио и Буке.

Вводя переменные х и у согласно равенствам

1» = ху, чг' = х(1 + х)у2, (7)

делается переход от уравнения (5) к системе

1 - хО 1

с1х --¿у , йя = ---с1у. (б)

у( 1 + 0) хзГ(1 + й)

С помощью метода Еругина получаем формальные ряды

х = (Ln у + С)

IB (Ln у + C)-J U-o nJ

>|1 + E

L n»i

(ifA (toy + .

удовлетворяющие системе (8). Для доказательства сходимости рядов (9) вводятся новые функции:

x = J [1 + u(tt, n)], z - 20 = v(u, n) и новые независимые переменные;

1

У '

и =

1

Ln у + "0 '

(10)

(11)

Б новых переменных формальное решение системы (8) имеет вид:

(12)

и = £ u (u)rj" , V = Е V (u)rjn.

. п п

П"1 п*1

При каждом фиксированном п существуют функции, которые асимптотически разложимы при и-»0 в степенные ряды по и:

00 СО

и « Ей У, V „Ev У (13)

n jto nJ n jto nJ

в каждом замкнутом секторе S с вершиной в точке и = 0 и центральным углом, не превосходящим П :

2 с S = |о < IЫI s р, а < otQ s arg ü s < а + п| .(

14)

С помощью мажорантных рядов доказывается сходимость рядов (13) при достаточнол малых rj, по крайней мере вдоль лучей arg w = oonst из S в (14). Тогда уравнение (5) при

условии (б) имеет решение в параметрической форме

ч< - у(1лу + 0)

03

1 + Е

п = 1

Е В .(ьпу + С) и-о п>

00 ее 2 - 2 = £

п*1

Е А .(Ьпу + С)"-*

и-1

обладающее свойством w —> » , в' —» «о , г - г —* 0 при у —» от по пути Ъ(оо,.у) € Б , и область Б естественным образом, связана с сектором Б.

В § 2 третьей главы рассматривается уравнение (4) при

а_(2) = Ъ.(2) =0, Ь (г) * 0.

2.% Э

(16)

Поскольку при рассмотрении уравнения■(4) при условии (16) во второй главе не.удалось перейти к системе Врио и Буке, в § 2 третье"! главы решение ' данного уравнения строится в параметрической форме в соответствии с рассуждениям § 1 этой главы.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих

работах:

1. Казаков В.А. О дифференциальных уравнениях, близких к третьему уравнению Пенлеве. - Дифференц. уравнения в частных производных, межвузовский сборник научных трудов, Ленинград, 1986, с. 19 - 22.

2. ' Казаков В.А*. О многозначных подвижных особых точках

одного класса дифференциальных уравнений. - Дифференц. уравнения в частных производных, мезквузозссский сборник научных трудов, Ленинград, 1987, с. 153 - 157.

3. Богсловский Б.П., Казаков В.А. О подвижных особенностях одного нелинейного уравнения. - Дифференц. уравнения, 1993, т.29, N б, с. 933 - 937.

11 Зак. »900 ЪгршМ

ОШ Волупрстот /////