Аналитические свойства решения нелинейных дифференциальных уравнений типа Пенлеве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Казаков, Владимир Анатольевич АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Минск МЕСТО ЗАЩИТЫ
1993 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.02 КОД ВАК РФ
Автореферат по математике на тему «Аналитические свойства решения нелинейных дифференциальных уравнений типа Пенлеве»
 
Автореферат диссертации на тему "Аналитические свойства решения нелинейных дифференциальных уравнений типа Пенлеве"

Белорусок и.й государственный университет

Р у ОД На правах рукописи

¿. о иуд!

КАЗАКОВ Владимир Анатольевич

АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЦХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА ПЕНЛЕВЕ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

МИНСК 1993

Работа выполнена в Вологодском государственном педагогическом институте

Научные, руководители:

доктор физико - математических наук,

профессор Матвеев Н.Н.; кандидат физико - математических наук, доцент Богословский Б.П.

Официальные Оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Лукашевич Н.А кандидат физико-математических наук, доцент Дехурко Ю.И

Ведущая организация:

Гродненский государственный университет

Защита состоится 1993 года в / О ча

на заседании специализированного совета К 056.03.10 присуждению учоной степени кандидата физико' - математичес наук в Белорусском государственном университете (220С Минск, пр. Ф. Скарины; .4, комната 206).

С диссертацией можно ознакомиться $ библиотеке БГУ. Автореферат разослан, ib.il. 1993 года.

Ученый секретарь специализированного совета, к.ф.-м. наук, доцент

В.И. Корз

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теиы. Многие задачи естествознания и (хники в плане их теоретического обоснования тесно связаны с [фференциальными уравнениями,в том числе и с обыкновенными.

Основная теорема аналитической теории дифференциальных: ¡авнений - .теорема Коши - при весьма общих предположениях |рантирует существование и 'единственность голоморфного «пения дифференциального уравнения при заданных начальны:: ловиях. Но метод Коши не позволяет изучить особые точки «пения. ' •

Вопрос о поведении решений дифференциальных уравнений в местности особых точек впервые был поставлен Врио и Буке , итавшими особыми тзкио точки, в которых нарушается хотя бы зга из условий теоремы Коши о существовании и единственности «пения.

Нелинейные дифференциальные уравнения, как . правило, 1еют подвижные особые точки.

Особые точки аналитических функций разделяют обычно на позначные и многозначные, изолированные и неизолированные, простейщкми- из них считаются изолированные однозначные юСые точки типа полюсов. Поэтому естественно, что первые ¡следования в • аналитической теории нелинейных фференциалыгах уравнений второго порядка были направлены на I, чтобы построить классы уравнений с наиболее простыми явижнымл особенностями. В работах Пенлеве, Пикара, Гарнье, ¡мбье и других авторов была решена задача выделения класса ¡эвнений, решения которых свободны от многозначных подвижных ■обых точек, из уравнений вида

= (1) [ей- рациональная. относительно V и п функция с >ломорфными в некоторой области коэффициентами 'по г (эту дачу позднее стали называть задачей Пенлеве).

Полученные при решении- задачи Пенлеве результаты можно

«л

сформулировать следующим образом: множество уравнений видг (!), все подвижные особые точки которых однозначны, содержит 50 канонических уравнений; шесть из низ (неприводимые уравнения Пенлеве) поровдавт, вообще говоря, новые трнсцендентные.функции (трансцендентные Пенлеве).

Н.П. Еругин в 1952 и 1957 годах поставил ряд зада' относительно свойств решений уравнений Пенлеве. Среди них i такие: что мокно сказать о тех уравнениях вида (1}, которьк отсеяны методом Пенлевэ, как уравнения заведомо имеющие подвижные многозначные особые точки? каков характер эти: особых точек? как можно построить -ешение в их окрестности' Об этих же задачах говорят в 1990 году в своей монографи "Аналитические свойства решений уравнений Пенлеве" Грома: В.И. и Лукашевич H.A.

• В диссертации названные задачи рассма .'ркваются д честных случаев уравнения (1). Интересно сравнить вно получающиеся- результаты с уже- известными, поэтому д исследования выбраны уравнения, имеющие при некотор значениях коэффициентов только однозначные подвшаше особ точки. ■

Для того чтобы уравнение (1) имело только однозначные подвижные особые точки, необходимо, чтобы функция P.(w',w,2 была относительно w' полиномом второй степени:

w" = A(w,z)w'a + B(v?,z) w' + C(w,zi, (;

где А,В,С рациональные по w функции с голоморфными по коэффициентами. А допускает одну из следующих возможносте!

1) 0: 2) J-, 3) (1 - -l-j-i-. n > 1; 4) 4- -¡J^s

8> T(w+ + w - H )' H постоянная и

зависит от z.

4 а.

В диссертации для А выбраны второй и третий случаи, при их условиях В(я,г), С(м?,г) должны иметь вид: Р^я'.г)-^;

и,г)4, где Р , Р, полиномы соответственно второй и

п 2 4

■вертой степени относительно я с голоморфными по 2 в области гоэффициентами.

Целью данной работы является изучение структуры решений

жрестности многозначной подвижной особой точки уравнений ' '. '

2 Ж

г = и'2 + У7'£ а (г)*2"-1 + Е Ъ (г)?г \ (3)

)«о J >о 1

ww' = [1 - -уИя'2 + ет'Е а (г)«2"-1 + Е Ь (г)?»4"3. (4)

1 } j-o } ¡-о '

называется, что условия отсутствия логарифма в построенных

пениях являются достаточными для отсутствия многозначных

гвижных особенностей во всех решениях уравнений (3) и (4).

Методика исследования. В большинстве случаев для

следования структуры решений уравнений используется прием

рехода от уравнения к системе двух уравнений Врио и Буке.

характеру решений этой системы делается вывод о структуре

пений уравнений (3), (4).

Если характеристическое уравнение- соответствующей

стемы двух уравнений Врио и. Буке имеет нулевой корень или *

удается перейти к ■ системе Врио и Буке, го решение авненлй (3) и (4) в окрестности многозначной подвижной ' обой точки строится методом Н.П. Ерухина.

Научная новизна. Новыми в диссертации являются следующие зультаты:

описывается структура решений уравнений (3) и (4) в рестности многозначной подвижной особой точки;

получает дальнейшее развитие метод Н.П. Еругина строения решений уравнений в окрестности подвижной особой чки;

предлагается (с помощью метода Еругина) описание руктурн решений уравнений (3), (4), когда соответствующая

система двух уравнений Врио и Буке имеет нулевой корень.

Практическая ценность. Приведенные в диссертации подхо, и полученные результаты могут быть использованы д исследования дифференциальных уравнений более общего вида для изучения конкретных математических моделей в физике.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались обсуждались на семинаре кафедры математического анализа Р им.А.И. Герцена (Ленинград, 1985, руководитель проф. Матв Н.М.); семинаре преподавателей математических каф педагогических, институтов северо - запада Рос (Вологда,1989); семинаре кафедры дифференциальных уравне: БГУ (Минск, 1988, 1991, руководитель проф. Лукашевич H.A.).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликов в трех печатных работах, список которых дан в ко: автореферата..

Структура и объем работы. Диссертация состоит .1 введения, трех глав и списка . цитированной . литературы (' наименования). Общий объм работы - 91 страница машинописно: текста. " „

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение посвящено историческому обзору результато1 связанных с Выделением уравнений и систем уравнений, решен которых обладают наперед заданными свойствами, и кратко» изложению содержания диссертации. •'..

Первая глава содержит • результаты [1], связанные исследованием уравнения (3). В § 1 этой главы показываете! что уравнение (3) может иметь подвижные особые точки тш полюсов первого или второго порядка. § ¿.посвящен построен! решений уравнения (3). в окрестности подвижной особой точ! г , обладающих свойством

я•* <о при г-* {I

N

Эти решения могут быть записаны с помощью одной из следующих фврмул:

_ О о Н*г«1_

и - --,

где т не целое и Ие ш > 0; ш - 2 со

1вк+г«1

и = -

2 - 20

где и целое положительное, иг? 2, г

±/пг1+ * с(к'г)(2-20)к((2-2 )31п(2-2)) О О к*г«1"

да - ---

й - 20

„ _ О4 О к*г«1_ ,

2 -г.

2

т

_ ~1Ч~0' к*гш!

В этом же параграфе получены условия отсутствия логарифма в отмеченных решениях. В § 3 строятся решения, обладакщие свойством

чг-+0 при2-»го. (В)

Они записываются с помощью формул:

в 2 - ао

да _ ---

т-2 со

1 п'

2-0' к + г а 1

где га не целое, Ие т > 0; .

2-2

Я =

Г 0{к->(2-20)к((2-20)2Ьп(2-20))Г

4 О к + г»1

2_И

те ---

и <0 •

+ Е 0'к"-'(2-20)к((2-20)Ъп(2-20))1

.2 О' к»г«1

л со

3 О к 4 ге1

Здесь же получены условия отсутствия логарифма в этих решениях.

В § 4 доказывается, что при .выполнении условий отсутствия логарифма в решениях, обладающих свойствами (А) и (В), все решения уравнения (3) будут свободны от многозначных подвижных особенностей. Выводы этого параграфа ' полностью согласуются с классическими результатами, полученными методом малого параметра.

Во второй главе рассматривается уравнение (4) [2]. В § 1 тем же методом, что и в. первой-главе, описывается структура решений в окрестности многозначной подвижной особой точки.. В §' 2 показывается, что условия' отсутствия . логарифма в решениях, построенных в ..первом параграфе, являются достаточными для . отсутствия многозначных подвижных особенностей во всех решениях уравнения (4), что полностью

*

§

совпадает с уже известными результатами.

Наиболее сложными и интересными при рассмотрении уравнений (3), (4) оказались случаи, когда характеристические уравнения соответствующих систем Врио и Буке имеют нулевой корень [3].или не удается- перейти к системе Врио и Буке. °ассмотрению этих случаев посвящена третья глава диссертации. Для уравнения '

2 4

т" = V?'2 + и'£ а (г)«2"-1 + £ Ь Ыкт4"-' (5;

.1 = 0 1 ]=о

при условии

ь0--тв; (б)

соответствующая система двух уравненний Врио и Буке имеет корни характеристического уравнения: • = - 1, . = О. Рассмотрению систем Врио и Вуке для нулевого корня характеристического уравнения посвящен ряд работ., В частности, их рассматривал М. 1тапо. В § 1 третьей главы рассматривается уравнение (5) при условии (6) без перехода к системе Врио и Буке.

Вводя переменные х и у согласно равенствам

1» = ху, чг' = х(1 + х)у2, (7)

делается переход от уравнения (5) к системе

1 - хО 1

с1х --¿у , йя = ---с1у. (б)

у( 1 + 0) хзГ(1 + й)

С помощью метода Еругина получаем формальные ряды

х = (Ln у + С)

IB (Ln у + C)-J U-o nJ

>|1 + E

L n»i

(ifA (toy + .

удовлетворяющие системе (8). Для доказательства сходимости рядов (9) вводятся новые функции:

x = J [1 + u(tt, n)], z - 20 = v(u, n) и новые независимые переменные;

1

У '

и =

1

Ln у + "0 '

(10)

(11)

Б новых переменных формальное решение системы (8) имеет вид:

(12)

и = £ u (u)rj" , V = Е V (u)rjn.

. п п

П"1 п*1

При каждом фиксированном п существуют функции, которые асимптотически разложимы при и-»0 в степенные ряды по и:

00 СО

и « Ей У, V „Ev У (13)

n jto nJ n jto nJ

в каждом замкнутом секторе S с вершиной в точке и = 0 и центральным углом, не превосходящим П :

2 с S = |о < IЫI s р, а < otQ s arg ü s < а + п| .(

14)

С помощью мажорантных рядов доказывается сходимость рядов (13) при достаточнол малых rj, по крайней мере вдоль лучей arg w = oonst из S в (14). Тогда уравнение (5) при

условии (б) имеет решение в параметрической форме

ч< - у(1лу + 0)

03

1 + Е

п = 1

Е В .(ьпу + С) и-о п>

00 ее 2 - 2 = £

п*1

Е А .(Ьпу + С)"-*

и-1

обладающее свойством w —> » , в' —» «о , г - г —* 0 при у —» от по пути Ъ(оо,.у) € Б , и область Б естественным образом, связана с сектором Б.

В § 2 третьей главы рассматривается уравнение (4) при

а_(2) = Ъ.(2) =0, Ь (г) * 0.

2.% Э

(16)

Поскольку при рассмотрении уравнения■(4) при условии (16) во второй главе не.удалось перейти к системе Врио и Буке, в § 2 третье"! главы решение ' данного уравнения строится в параметрической форме в соответствии с рассуждениям § 1 этой главы.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих

работах:

1. Казаков В.А. О дифференциальных уравнениях, близких к третьему уравнению Пенлеве. - Дифференц. уравнения в частных производных, межвузовский сборник научных трудов, Ленинград, 1986, с. 19 - 22.

2. ' Казаков В.А*. О многозначных подвижных особых точках

одного класса дифференциальных уравнений. - Дифференц. уравнения в частных производных, мезквузозссский сборник научных трудов, Ленинград, 1987, с. 153 - 157.

3. Богсловский Б.П., Казаков В.А. О подвижных особенностях одного нелинейного уравнения. - Дифференц. уравнения, 1993, т.29, N б, с. 933 - 937.

11 Зак. »900 ЪгршМ

ОШ Волупрстот /////