Аналитическое решение второй задачи Стокса в разреженном газе тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Шатеева Виктория Александровна

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ВТОРОЙ ЗАДАЧИ СТОКСА В РАЗРЕЖЕННОМ ГАЗЕ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

17 ИЮЛ 2014

-Ш1Ю1Ш4_

Москва —2014

005550646

005550646

Работа выполнена на кафедре математического анализа и геометрии Московского государственного областного университета

Научный руководитель: заслуженный деятель науки РФ,

доктор физико-математических наук, профессор Латышев Анатолий Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Завитаев Эдуард Валерьевич, кандидат физико-математических наук Дудко Владимир Владимирович

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Московский государттаенньш

технологический университет СТАНКИН»

Защита диссертации состоится 25 сентября в 16:00 часов на заседании диссертационного совета Д212.155.07 при Московском государственном областном университете по адресу 105005, Москва, ул. Радио, д. Юа.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного областного университета.

Автореферат разослан «7^1» 2014г.

Ученый секретарь диссертационного Совета Кандидат физико-математических наук,

лопент Барабанова Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы н объект исследования. Диссертация посвящена аналитическому решению граничной задачи о поведении разреженного газа, заполняющего полупространство, вблизи колеблющейся поверхности. Задача, в которой рассматривается поведение газа вблизи движущейся твердой поверхности, вызывает большой интерес в последние годы. Это основано на развитии современных технологий, а именно, технологий наноразмеров. В предыдущих работах решение этой задачи осуществлялось приближенными и численными методами. В данной работе доказано, что эта задача имеет аналитическое решение, которое строится с помощью сингулярных интегральных уравнений и теории обобщенных функций.

В современных условиях стремительно развивается вакуумная технология (в том числе и нанотехнологии), совершенствуется авиационная и космическая техника В связи с этим целесообразным и важным является развитие области исследований, относящейся к определению учета влияния взаимодействия молекул разреженного газа с твердой плоской поверхностью на перенос импульса молекул в системе "разреженный газ - твёрдая поверхность" при любом разрежении газа и выявлением соотношения физических свойств междуфазной границы с макроскопическими газодинамическими характеристиками.

Предметом исследования является решение граничной задачи, описывающей вторую задачу Стокса для разреженного газа и состоящую в нахождения решения кинетического уравнения, удовлетворяющего граничным условиям на колеблющейся стенке и вдали от нее.

Первым ученым, приступившим к изучению задачи о поведении газа над поверхностью, совершающей колебательные движения в своей плоскости, был Дж. Г., Стоке. Решение задачи осуществлялось гидродинамическим методом. Данную задачу принято называть второй задачей Стокса.

Целью диссертационной работы является получение аналитического решения второй задачи Стокса в рамках рассматриваемой модели.

Задача работы состоит в исследовании полученного аналитического решения, в нахождении основных характеристик газа: функции распределения, массовой скорости газа; в вычислении силы трения, которая действует со стороны газа на колеблющуюся границу, и диссипации энергии пластины.

Научная новизна работы. В диссертации впервые получено аналитическое решение второй задачи Стокса для разреженного газа с применением кинетического уравнения с модельным интегралом столкновений релаксационного типа. Впервые на основе решения дан подробный анализ основных характеристик газа. В частности, впервые найдена массовая скорость газа в полупространстве, отыскивается ее значение непосредственно у стенки, найдена сила сопротивления, действующая со стороны газа на границу, совершающую в своей плоскости колебательное движение, отыскивается мощность диссипации энергии, приходящаяся на единицу площади колеблющейся пластины, ограничивающей газ.

Практическая значимость результатов исследования.

Полученные результаты могут быть использованы при исследовании высоко скоростных нанотечений. В частности, при экспериментальных исследованиях с использованием наномеханических резонаторов. А также при конструировании вакуумных приборов и при изучении резонансных операций наноэлектромеханических систем в вязких течениях.

Личное участие автора. Постановка задачи принадлежит Латышеву A.B. и Юшканову A.A. Основные результаты диссертационного исследования получены соискателем самостоятельно.

Научные положения и результаты, выносимые на защиту

1. Аналитическое решение второй задачи Стокса для разреженного газа с диффузными граничными условиями в рамках рассматриваемой модели (разделение переменных, вывод характеристического уравнения, нахождение собственных функций непрерывного и дискретного спектров, разложение решения задачи по собственным функциям, условие разрешимости задачи).

2. Решение задачи о поведении разреженного газа вблизи колеблющейся поверхности с зеркально-диффузными граничными условиями.

3. Выражение скорости газа в полупространстве и непосредственно у колеблющейся поверхности. Численные расчеты и сравнение с предыдущими результатами. Выражение скорости газа в гидродинамическом режиме.

4. Выражение силы трения, действующей со стороны газа на колеблющуюся поверхность. Численные расчеты и сравнение с предыдущими результатами. Выражение силы трения в гидродинамическом и свободномолекулярном режиме.

5. Выражение мощности диссипации энергии, приходящейся на единицу площади поверхности площади колеблющейся поверхности. Исследование мощности диссипации энергии в гидродинамическом пределе.

Апробация работы. Результаты работы были обсуждены и доложены на

следующих конференциях:

1. ежегодная научная конференция профессорско-преподавательского состава МГОУ (Москва, 2010 - 2012 гг.);

2. Всероссийская конференция, посвященная 110-летию математического факультетаМПГУ (Москва, 14- 1бмарта, 2011г.);

3. Международная научно-практическая конференция «Математика и ее приложения. Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Орел, Россия, 20 - 21 мая, 2011 г.);

4. Вторая международная научная конференция «Моделирование нелинейных процессов и систем» (МГТУ СТАНКИН, Москва, Россия, 6-10 июня, 2011г.);

5. Научная конференция преподавателей, аспирантов и молодых ученых Московской области, посвященной 300-летию М.В. Ломоносова и 80-летию МГОУ (Москва, 1-2 декабря, 2011 г.);

6. Научная сессия НИЯУ МИФИ-2012 (Москва, 30 января - 4 февраля, 2012г.);

7. XIX конференция «Математика. Компьютеп. Образование» (Дубна, Россия, ЗОянваря - 4февраля, 2012г.);

8. VII международная научно-практическая конференция «Новината за напреднали наука - 2011» (София, Болгария, 17 - 25 мая, 2011г.);

9. VIII международная научно-практическая конференция «Образование!» и наукатанаХХ1 век-2012» (София, Болгария, 17-25 октября, 2012г.);

10. Всероссийский конкурс достижений талантливой молодежи «Национальное достояние России» (24 - 26 марта, 2013г.).

Публикации. Результаты диссертационного исследования опубликованы в 20 работах соискателя. В конце автореферата приведен полный список работ. Статьи [1-5] опубликованы в изданиях из перечня ведущих рецензируемых изданий, утвержденного ВАК. В данных публикациях отображены основные результаты исследования по теме диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографии. Объем работы составляет 118 страниц текста, в том числе 19 рисунков. Библиография включает в себя 99 наименований, в том числе и публикации диссертанта по теме исследования. Каждая глава разбита на параграфы, имеющие двойную нумерацию с указанием на соответствующую главу. Внутри каждого параграфа формулы имеют двойную нумерацию, с указанием на параграф. Тройную нумерацию имеют формулы при ссылке из другой главы, причем первым идет номер главы. Рисунки имеют двойную нумерацию с указанием на главу.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели и основные результаты исследования. Также проведен обзор литературы по теме диссертационного исследования.

В первой главе осуществляется постановка задачи. Рассматривается плоская поверхность, расположенная в плоскости х = 0. Пусть полупространство х > 0 занимает газ, одноатомный и разреженный. Вдоль оси у поверхность (у, г) совершает

гармонические колебания по закону М{(/) = и0е .

Рассмотрим линеаризованное кинетическое уравнение

В(1) V — т - частота столкновений газовых молекул, т — время между двумя последовательными столкновениями молекул, ш - масса молекулы, к — постоянная Больцмана, Г-температура газа, иу(х) - массовая скорость газа,

«УС,X) = -^УуЯЛх.у, (2)

п - числовая плотность (концентрация) газа. В исследуемой задаче температура и концентрация газа считаются константами.

Обезразмерим параметры и скорости: безразмерная скорость молекул равна (/3 = т/(2кТ)), безразмерное время Г, = V*, безразмерная массовая скорость

(1,х) II безразмерная скорость колебаний пластины V5{С)-V0е ""',

где и0 = " безразмерная амплитуда скорости колебаний границы

полупространства. Следовательно, уравнение (1) примет следующий вид:

Ё£ + Сх^ + <р(1х,хх,С) = 2Суиу(1х,хх), О)

5/, ас,

где

иМх,хх)=-^]ы?{-С2)Су<р«х,хх,С)с1гС. (4)

п

В задаче о колебаниях газа требуется найти функцию распределения /(7,,*,,С) газовых молекул. Функция распределения связана с функцией ^1,Х1,Сх) соотношением:

/(1х,хх,С ) = /м(С)[1 + <р«х,хх,Сх)], (5)

где

/м(С) = "(5) ехр("С2)

- есть абсолютный максвеллиан.

Для решения задачи о колебаниях газа проведена линеаризация согласно (5) при

условии, что [С/^(?,,*,)[«1. Это неравенство эквивалентно неравенству |иу(Г,,х,)] (( ит, ит=м4Р- тепловая скорость молекул, которая имеет порядок скорости звука. Величина безразмерной массовой скорости иу(Ц,хх) согласно ее определению (2) равна:

иу^,хх) = ^\^{-С2)су9{ц,хх,СУС. (6)

я

Кинетическое линеаризованное уравнение (3), учитывая (6) запишем в следующем виде:

оГ, дхх л "

Сформулируем зеркально-диффузные граничные условия относительно функции <р(1х, хх, С):

<р(1ь0,С) = 2дСуи1(1]) + (1-йЖ1х,0,-Сх,Су,С1), Сх>О, (8)

<р(1х,хх ->+со,С) = 0. (9)

Таким образом, граничная задача о колебаниях разреженного газа вдоль колеблющейся поверхности сформулирована полностью. Она состоит в решении уравнения (7) с условиями (8) и (9) вблизи стенки и вдали от нее. Функцию (р^х,хх,С) ищем в виде

<р{хх,Ь,С)=СуН^,хьСх). (Ю)

С помощью указанной подстановки кинетическое уравнение (7) преобразуется к виду:

дН дН \ ™ ( ,г\ ,

—+С,^+Я(/1,*1,С,)=-Г/Ц-с, жЦ^С^С;. (П) о/] -4л -и V у

Граничные условия (8) и (9) преобразуются в следующие:

ЩГ1ДС,) = 2д1/,(г1) + 0-«)Я(Г„0.-С1), Сд>0, (12) Л(г1,х,-»+со,Сх) = 0.- (13)

У неизвестной функции выделим временную переменную

Н{1ьхх,Сх)=е-',ш^КхъСх) . (14)

Граничную задачу (7) - (9) относительно Кх\ >/О перепишем в виде:

оо

А(0,/4) = 2дС/0+(1-дЖО,-//), р>0, (16)

—» +оо, //) = 0. (17)

Разделение переменных в уравнении (15) осуществляется следующей подстановкой

/

^ф^) (18)

Получив характеристическое уравнение

{V-и) Чп,м) = -Д- Техр(-//2)ф(г/,//'У//>

-со

ищем его решение в пространстве обобщенных функций для действительных значений параметра т].

Обобщенное решение уравнения записывается так:

= + , -оо <т],/и <+оо, (19)

где - дельта-функция Дирака; Рх~х - главное значение интеграла от функции х-1. Собственные решения уравнения (18) имеют вид

ч-ех^2)^)^»/-^) . (20)

В выражении (20) введена дисперсионная функция задачи

ЯОО^-,-«,,* * /«р

В процессе решения задачи введена критическая частота колебания пластины, ограничивающей газ: ю, = тах т/-(/*) + .?2(/¿) » 0.733.

0<р<+со

Показывается, что при 0 < < ю\, то есть, когда частота колебаний пластины меньше критической, индекс функции вр) равен единице. В этом случае число комплексно-значных нулей дисперсионной функции равно двум. При СО > (йх (частота колебаний пластины превышает критическую) - индекс функции = нулю:

%((3) = О. Это говорит о том, что в верхней и нижней полуплоскостях дисперсионная функция нулей не имеет, а значит, исходное кинетическое уравнение не имеет дискретных (частных) решений.

Общее решение уравнения (15) записывается так:

В формуле (21) а{т])- неизвестная функция - коэффициент непрерывного спектра, а 0 - неизвестный постоянный коэффициент - коэффициент дискретного спектра, Ф{т],ц) - собственные функции характеристического уравнения, отвечающие

непрерывному спектру и единичной нормировке.

Во второй главе рассматривается метод для аналитического решения второй задачи Стокса. В основе лежит решение однородной краевой задачи Римана с

коэффициентом в(ц) = Д+(//)/Г (ц): Х*(ц) = С{ц)Х~{ц), //> 0.

В задаче Римана ищется функция Х(г), аналитическая в комплексной плоскости с разрезом вдоль действительной положительной полуоси. При этом в первом

диапазоне изменения параметра Щ (0, £[0,©,*)) функция Х(г) ищется в классе аналитических функций в области 0Ж+, исчезающих в бесконечно удаленной точке. Во втором диапазоне (когда о, е[а>,\-+°о)) функция Аф ищется в классе аналитических в области d:\IU функций, ограниченных в бесконечно удаленной точке.

В случае, когда индекс задачи равен единице, решение задачи имеет вид

= ^ехрГ(г), = АЗ^ЬШ^ ф) = 9{и) _ 2 яг.

г 2т о и-г

Если же индекс равен нулю, приращение угла на положительной полуоси равно нулю и решение однородной краевой задачи Римана дается формулой

В параграфе 2.2 главы 2 выводятся интегральные представления функции Х{г).

В параграфе 2.3 устанавливается формула, представляющая собой факторизацию дисперсионной функции: Х{г) = 1ф1(:2 -г]1)Х{г)Х{-г) в случае единичного индекса, и Х{г) =-шхХ{г)Х{-2) в - нулевого индекса.

В третьей главе строится аналитическое г -.тсние поставленной задачи. Решение ищется в виде суммы собственной дискретной моды, умноженной на неизвестную постоянную (коэффициент дискретного спектра) и интеграла от

собственных непрерывных мод, умноженных на неизвестную функцию (коэффициент непрерывного спектра).

В классическом виде решение уравнения (15) представляется в виде

(%-/<) I ^о I п) п-м { м )

(22)

где в+ (/г) -функцияХэвисайда, 9+ С«) = | д

Подставляя (22) в граничное условие на стенке, получим уравнение сингулярное одностороннее с ядром Коши. Путем введения неизвестной функции это уравнение сводится к неоднородной краевой задаче Римава, соответствующая, однородная задача которой рассматривается во второй главе. С помощью решения задачи Римана находятся коэффициенты разложения решения исходной краевой задачи.

Коэффициент непрерывного спектра задачи (в случае нулевого индекса) имеет

вид

2^зшф) если же индекс задачи равен единице, имеем

4тс цХШл-т]о)

В параграфе 3.3 главы 3 отыскивается скорость разреженного газа непосредственно у колеблющейся плоскости и вдали от нее.

Если частота колебаний пластины а [в (со],-но), то массовая скорость газа в полупространстве равна

я ; V V ) чх(п)

и непосредственно у стенки гУ><0,/!) = гУ0^| или, в размерном виде

«/0,0= и0\УГ\е-«о,-Р\ (23)

Здесь \}¥| - безразмерная амплитуда скорости газа (рис. 1), а (р = - сдвиг фазы

скорости (см. рис. 2),

цг - (У-^) + - 4а>

Здесь и ниже выбор знаков радикалов определяется требованием затухания скорости в глубину газа.

Если индекс задачи равен единице, т.е. частота сах е[0,<У]*), то скорость газа

над колеблющейся поверхностью в полупространстве X! > 0 равна

^^ 1)Х(7])(Т}-Т}0)

(24)

Размерная скорость газа непосредственно у стенки вычисляется также по формуле (23), в которой

©.г.

1^0

И

Рис. 1. Зависимость амплитуды безразмерной Рис. 2. Зависимость сдвига фазы скорости скорости газа непосредственно у стенки от газа непосредственно у стенки от частоты частоты колебаний ограничивающей газ колебаний ограничивающей газ плоскости, плоскости.

Рассмотрим полученные результаты с точки зрения физики процесса. Из рисунка 1 видно, что при со ,= со!у —» 0 скорость газа стремится к величине скорости ограничивающей газ плоскости. Этот результат вполне понятен. Случай ш^О означает, что плоскость, ограничивающая газ, движется поступательно, без колебаний, со скоростью щ. Число Кнудсена в этом случае стремится к нулю, то есть газ можно рассматривать как сплошную среду. Скорость газа при этом равна скорости стенки. Молекулы газа, обмениваясь импульсом со стенкой, приобретают скорость стенки щ. Если же со» оо (со» у ) , то число Кнудсена, пропорциональное квадратному корню из частоты колебаний со , достаточно велико. Такой режим близок к свободно молекулярному. Движущиеся к стенке молекулы имеют нулевую массовую скорость. А отраженные от стенки молекулы приобретают скорость стенки. Так что массовая скорость потока газа равна но/2. На рисунке 1 представлен точный закон убывания амплитуды скорости от щдо иц/2.

В четвертом параграфе третьей главы приведено сравнение значений амплитуды скорости газа и ее фазы (см. таблицы) непосредственно у стенки, найденных по формулам настоящей работы, со значениями из численного расчета Шарипова Ф. и Калемпы Д. и со значениями, полученными с использованием моментного метода Дудко В.В.

Сравнение результатов показывает, что гидродинамический подход обеспечивает приемлемую точность только при малых числах Кнудсена, как это и следует из его области применения. Под числом Кнудсена понимается отношение

10

Кп = И8, где I - длина свободного пробега газовых молекул, 8 = со, ук -

кинематическая вязкость газа. Отметим, что точность численного расчета снижается при малых числах Кнудсена.

Таблица 1. Амплитуда скорости газа у стенки .

число Кнудсена а, гидродинамическое решение [7] [65] Настоящая работа

СО 00 - 0.5 0.5 0.5

8.8623 100 - 0.5000 0.5000 0.50001

6.2650 50 - - - 0.50003

3.9623 20 - - - 0.50002

2.8025 10 0.6563 0.5008 0.5008 0.50078

0.8862 1 0.7354 0.5538 0.5539 0.55377

0.3963 0.2 0.8012 0.7291 0.7291 0.72912

0.2802 0.1 0.8534 0.7988 0.7988 0.79878

0.1981 0.05 0.8781 0.8532 0.8531 0.85319

0.1401 0.025 0.8933 0.8939 0.8872 0.89395

0.1144 1/60 - 0.9125 0.9078 0.91259

0.0991 1/80 - 0.9239 0.9150 0.92387

0.0886 1/100 - - - 0.93165

0.0626 1/200 - - - 0.95120

0 0 1 1 1 1

Таблица 2. Фаза скорости газа у стенки ф.

число Кнудсена гидродинамическое решение [7] [65] настоящая работа

СО да - 0 .0 0

8.8623 100 - 0.0025 0.0025 0.00249

6.2650 50 - - - 0.00999

3.9623 20 - - - 0.01249

2.8025 10 - 0.0249 0.0250 0.02489

0.8862 1 - 0.1792 0.1791 0.17916

число Кнудсена 0, гидродинамическое решение [7] [65] настоящая работа

0.3963 0.2 0.3028 0.2062 0.2062 0.20617

0.2802 0.1 0.2385 . 0.1699 0.1699 0.16989

0.1981 0.05 0.1831 0.1318 0.1319 0.13179

0.1401 0.025 0.1376 0.0988 0.1074 0.09883

0.1144 1/60 0.1155 0.0827 0.0824 0.08270

0.0991 1/80 0.1017 0.0726 0.0802 0.07264

0.0886 1/100 - - - 0.06559

0.0626 1/200 - - - 0.04746

0 0 0 0 0 0

В параграфе 3.5 главы 3 показано, что при малых ф, решение (23) переходит в известное решение:

„-xlö J(x/S-e>t) f,c\

v = u0e ех (¿jj

В параграфе 3.6 найдена сила трения, приходящаяся на единицу площади, действующая со стороны газа на пластину. В случае нулевого индекса имеем

Fs{h)=2pU,o)x\Vx\e-^->"2\ (26)

где ср - сдвиг фазы, <р = arg Vj.

На границе полупространства сила трения газа, действующая на границу, если индекс задачи равен единице, равна

W = где F0 = -2t70/>ffl, [ifoo - V\)] •

В параграфе 3.7 главы 3 рассматривается сила трения в гидродинамическом пределе. Получается также известный результат

Fs (0 = -л]сорт] и0 cos(0t +7~).

В следующем параграфе рассмотрен случай <ах»\, что соответствует условию - число Кнудсена много больше единицы: Кп»1, то есть свободномолекулярный режим. Сила трения в этом режиме равна

Fs(t,) = 2pU0e

,-iüV,

0.282-—0.053—0.022

(27)

<Э[ (Ох

Из формулы (27) видно, что при больших числах Кнудсена величина силы стремится к своему асимптотическому значению.

В параграфе 3.9 рассмотрен вопрос диссипации энергии при рассматриваемом колебательном движении разреженного газа. Во второй задаче Стокса искомая

диссипация вычисляется как работа сил трения. В случае единичного индекса задачи мощность диссипации энергии равна

U1

= (28)

При нулевом индексе имеем

U2 U2

WE=^pai]K\™<p = -j^pa>llmVl. (29)

В конце параграфа показано, что величина мощности диссипации энергии в гидродинамическом пределе переходит в известный результат

We "oV® PI cos®(fflf+-^)cosa>/ >= (30)

В четвертой главе диссертации решена вторая. задача Стокса как полупространственная граничная задача кинетической теории с зеркально-диффузными граничными условиями. Метод основан на идее продолжить функцию распределения в сопряженное полупространство х < 0 и включить в кинетическое уравнение граничное условие в виде члена типа источника. С помощью преобразования Фурье кинетическое уравнение сводится к характеристическому интегральному уравнению Фредгольма второго рода, которое решается методом последовательных приближений.

Граничные условия включаются в кинетическое уравнение следующим образом: dh

М— + z0h(x, ju) = 2U(x) + \фдU0 - qh(+Q,/¿)]j(x), (31}

где 5{x)~ дельта-функция Дирака. Верхний знак минус в (31) отвечает первой задаче в полупространстве х > 0, а нижний знак плюс - второй задаче в полупространстве х <

Решение уравнения (31) ищем в виде интегралов Фурье:

2U(x) = -L |eilaE(k)dk S(x) = — ]eikxdk

-¿Я"-со ' 2ж ^о

h(x,M) = ~]ei^(k,M)dk. (32)

J.7t —со

Зависимость функции распределения ^{х,/!) от спектральной плоскости Е(к) массовой скорости следующая: -

h (Х>М) = — J-(33)

Z/Т z0 + гкц

Подставляя интегралы Фурье (32) л равенство (33) в уравнение (31) и определение функции U(x) получаем характеристическую систему уравнений:

Ф (k,jjXz0+ik^) = E{k) + \ju\

2л _a,Z0+ 1кф

E{k) = ^r]e-'1<b(k,t)dt. л/тг -<»

Опуская промежуточные преобразования, приходим к интегральному уравнению Фредгольма второго рода

E{k)L{k) + ^-1j{k,kx)dkA=2qUQTx{k). (35)

2

Разложим решение характеристической системы в ряды по степеням коэффициента диффузности q . Подставим их в уравнения (35) и (34). Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях q и получаем систему зацепленных уравнений. При. ç" получаем:

E„(k)L(k) = - J- ]j(k,kl)E„_l(kl)dk1 ,

¿Я

<S>n(k,MXz0 + ад = Еп(к)I ,... .

2л- —со z0 +

Массовую скорость U(x) и функцию распределения также разложим в ряды по степеням q:

U(x) = qU0[U0(x) + qUl(x) + q2U2(x) + ...]

h{x, M) = qU0[h0 (x, fi) + qh ¿x, /¿) + q2h2 (x, m)+ ■■■]■ Массовая скорость в нулевом приближении равна:

ее

U^(x) = qUQU0{x) = qUQj- ]eikxE,{k)dk = gU0± J

—00

В линейном приближении массовая скорость вычисляется по формуле 1 7 Jtoi? плл1г , Ч '~rJbi

Щх) = qU0 а функция распределения - по формуле h{x,fi) = qUfi

f e^EoWdk+^- le'^EWdk

2;г_оо 2л-а,

- J е1к*Ф0(k,ju)dk + i |Ф¿k,fî)dk 7t 7t _оо

В последнем параграфе 4 главы приведен анализ решения в предельном случае больших частот.

В нулевом приближении получаем:

Из формулы (36) следует, что для скорости газа —1 гиверхности колеблющейся плоскости справедлива формула:

что при полностью диффузном отражении молекул от стенки (5 = 1) совпадает с классическим результатом.

Скорость газа представим в виде иу(х) = и0у>у(х), где У/у(х)~ нормированная на амплитуду щ скорость газа в полупространстве х > 0.

На рис. 3 (при СО 1 = 5) и на рис. 4 (при <7 = 1) изображена зависимость нормированной скорости газа м'уСхО:

оо

<7 f -t2 , wy{x) = e cos--dt.

Отличная от нуля (х, у) - компонента потока импульса в газе равна:

Рху(х,*)\*=о= о1*2».

Сила, действующая со стороны газа на единицу площади пластины, равна

■ЯП -00

Из последних рисунков 3 и 4 видно, что по мере проникновения вглубь газа массовая скорость экспоненциально убывает.

Проведенный анализ показывает, что, во-первых, вдали от колеблющейся плоскости массовая скорость газа стремится к нулю, т.е. возмущение, вызванное колебаниями стенки, затухает по мере проникновения вглубь газа.

Нами найден закон убывания скорости газа с ростом координаты на основании точного решения.

Рис. 3. Нормированная скорость газа в

Рис. 4. Нормированная скорость газа в

нулевом приближении, «¡=5, кривые 1,2, нулевом приближении,д = 1, кривые 1,2,. 3 отвечают значениям коэффициента 3 отвечают значениям безразмерной

аккомодации q = 1,0.7,0.3. частоты а, =5,7,9.

Во-вторых, показано, что при больших частотах колебания ограничивающей газ плоскости (много больших частоты столкновений молекул) массовая скорость газа и0

равна иу(А)~ Я—. Выясним физический смысл этого равенства. В объеме газа при

больших частотах колебаний плоскости средняя массовая скорость летящих к стенке молекул стремится к нулю с ростом расстояния от колеблющейся стенки. Характерная такая длина имеет порядок нескольких длин свободного пробега молекул. Отметим, что при малых частотах колебания стенки, когда период колебания возрастает, то глубина проникновения влияния колебания стенки вглубь газа возрастает. При больших частотах такая глубина невелика. В непосредственной же близости у поверхности стенки отраженные молекулы газа приобретают скорость стенки. Так что при полном диффузном отражении средняя скорость стенки равна щ/2. При отражении молекул с коэффициентом диффузности q средняя массовая скорость молекул, естественно, равна иод /2.

Основные результаты и выводы диссертации

В результате проведенного исследования

1. Аналитически решена вторая задача Стокса в разреженном газе при диффузном отражении молекул от гармонически колеблющейся поверхности.

2. Построено точное выражение в рамках рассматриваемой модели функции распределения по скоростям молекул газа в полупространстве, а также непосредственно вблизи колеблющейся поверхности.

3. Получено выражение скорости газа в полупространстве и непосредственно у колеблющейся поверхности. Проведены численные расчеты и сравнение с предыдущими результатами. Оказалось, что значения амплитуды и фазы скорости, рассчитанные моментным методом, весьма близки к значениям, рассчитанным согласно аналитическому методу. Найдено выражение скорости газа в гидродинамическом режиме.

4. Получено выражение силы трения, действующей со стороны газа на колеблющуюся поверхность. Проведены численные расчеты и сравнение с результатами других авторов. Найдено выражение силы трения в гидродинамическом и свободномолекулярном режиме. Для амплитуды силы трения оказалось, что при больших числах Кнудсена результаты и моментного метода, и численного метода совпадают с аналитическими результатами. При малых же числах Кнудсена результаты моментного метода ближе к аналитическим результатам, нежели результаты численного метода. Фаза силы трения, рассчитанная численными методами, ближе к аналитическим результатам практически для всех чисел Кнудсена.

5. Получено выражение мощности диссипации энергии, приходящейся на единицу площади колеблющейся поверхности. Найдено выражение мощности диссипации в гидродинамическом пределе.

6. Решена вторая задача Стокса с зеркально-диффузным отражением молекул от стенки. В результате анализа решения в случае больших частот получены выражения скорости газа и силы трения.

Автор искренне благодарен научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору A.B. Латышеву и доктору физико-математических наук, профессору A.A. Юшканову за постановку задачи, постоянную поддержку и участие в обсуждении работы.

Список работ соискателя по теме диссертации 1. Акимова В.А., Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение второй задачи Стокса о поведении газа над колеблющейся поверхности. - Известия РАН. Серия «МЖГ». 2013. №1, стр. 125-140.

2. Акимова В.А., Латышев А.В., Юшканов А.А. Вторая задача Стокса с зеркально-диффузными граничными условиями. - Известия ВУЗов. Серия. Физика. № 3, т. 56, стр. 101-105,2013.

3. Акимова В.А., Латышев А.В., Юшканов А.А. К теории поведения разреженного газа над колеблющейся поверхностью. - Вестник МГОУ, Серия Физика-Математика, № 1 (2012), 58-70.

4. Акимова В.А., Латышев А.В., Юшканов А.А. Нули дисперсионных уравнений из второй задачи Стокса о поведении газа над колеблющейся поверхностью// Вестник МГОУ. Сер. "Физика - Математика". 2012. № 2. С. 3-13.

5. Акимова В.А., Бугримов А.Л., Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение дисперсионного уравнения из второй задачи Стокса. - Вестник МГОУ, Серия Физика-Математика, 2013. № 1. С. 3-20.

6. Акимова В.А., Латышев А.В., Юшканов А.А. Задача Рэлея о поведении газа над движущейся поверхностью/ЛТЬе Modeling of Nonlinear Processes and Systems (MNPS-201 l).The Second International Scientific Symposium. Moscow. June 06 - 10 201 l,c. 246-247.

7. Акимова B.A. Постановка и линеаризация задачи о поведении газа над движущейся поверхностью//' Математика, информатика и методика их преподавания. Материалы Всероссийской конф., посвященной 110-летию матем. ф-та МПГУ. 213 с. (Москва. 14-16 марта 2011 г.), с. 23-24.

8. Акимова В.А. Решение задачи о поведении газа над движущейся поверхностью// Сборник трудов конференции (научный журнал) "Новости передовой науки". Per. номер 86471. Дата подписания к печати 05-19-2011.

9. Акимова В.А., Латышев А.В., Юшканов А.А. Решение задачи о поведении газа над движущейся поверхностью// Сборник трудов 7-й Международной научно-практич. конф. Математика, Физика. Т. 22. Болгария. София. 2011, с. 36-41.

10. Акимова В.А., Латышев А.В., Юшканов А.А. Вторая задача Стокса для разреженного газа над колеблющейся поверхностью с диффузными граничными условиями// Сборник трудов 8-й Международной научно-пракгич. конф. Математика, Физика. Т. 43. Болгария. София. 2012, с. 53-57.

11. Akimova V.A., Latyshev A.V., Yushkanov А.А. Analytical solution of the second Stokes problem on behavior of gas over oscillation surface. Part I: eigenvalues and eigensolutions//ArXiv: 1111.3429vl [math-ph] 15 Nov2011,27pp.

12. Akimova V.A., Latyshev A.V., Yushkanov A.A. Analytical Solution of Second Stokes Problem on Behavior of Gas over Oscillation Surface. Part II: Mathematical Apparatus for Solving of Problem Аналитическое решение второй задачи Стокса о поведении газа над колеблющейся поверхностью. // ArXiv: 1111.5182vl [math-ph] 22 Nov 2011,26 pp.

13. Akimova V.A., Latyshev A.V., Yushkanov A.A. Analytical Solution of Second Stokes Problem on Behavior of Gas over Oscillation Surface. Part П1: Solving of Problem and Applications// arXiv: 1112.1283vl [math-ph] 6 Dec 2011,40 pp.

14. Акимова B.A., Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о поведении газа над колеблющейся поверхностью. "Связь времен и поколений. Наука. Образование и искусство". Сб. материалов научн. конф. преподавателей, аспирантов и молодых ученых Московской области, посвященной 300-летию М.В. Ломоносова и 80-летию МГОУ, 1-2 декабря 2011. С. 25-30.

15. Акимова В.А., Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение задачи о поведении газа над колеблющейся поверхностью// Фунд. физико-матем. проблемы и моделирование технико-технолог. систем. Вып. 14. Материалы

второй Международной научной конференции "Моделирование нелинейных процессов и систем". М. 2011. С. 37-43.

16. Akimova V.A., Latyshev A.V., Yushkanov А.А. The Second Stokes Problem with Specular - Diffusive Boundary Conditions in Kinetic Theory// arXiv: 1201.2624vl [math-ph] 12 Jan 2012. 20 pp.

17. Акимова B.A., Латышев A.B., Юшкапов A.A. Аналитическое ^ решение линеаризованной задачи о поведении разреженного газа над колеблющейся поверхностью// Научная сессия НИЯИ МИФИ. Аннотации докладов. Конференция "Методы математической физики и матем. моделирование физич. процессов". М.: 2012. С. 134.

18. Акимова В.А., Латышев А.В., Юшканов А.А. Точное решение линеаризованной второй задачи Стокса// XIX-ая конференция серии "Математика. Компьютер. Образование". Школа-Конференция "Анализ сложных систем". Вып. 19. Тезисы. Дубна, 30 января - 4 февраля 2012 г. С. 159.

19. Akimova V.A., Latyshev A.V., Yushkanov A.A. Exact solution of dispersion equation corresponding to ellipsoidal statistical equation from Stokes' second problem. // arXiv: arXiv: 1211.0402 [math-ph] 2 Nov 2012. 23 pp.

20. Акимова B.A. Аналитическое решение второй задачи Стокса о поведении разреженного газа над колеблющейся поверхностью / VII Всероссийский конкурс талантливой молодежи «Национальное достояние России»: Тезисы докладов. -Москва, 2013.

Подписано в печать: 08.07.2014 г. Бумага офсетная. Гарнитура «Times New Roman». Печать офсетная. Формат бумаги 60x84/16. Усл. п. л. 1,25.

_Тираж 60 экз. Заказ № 87._

Изготовлено с готового оригинал-макета в ИИУ МГОУ. 105005, г. Москва, ул. Радио, д. 10а.