Анализ чувствительности лазерных гравитационных антенн с оптической жестокостью

Лазебный, Владимир Иванович

Анализ чувствительности лазерных гравитационных антенн с оптической жестокостью тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.01 ВАК РФ

Лазебный, Владимир Иванович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Анализ чувствительности лазерных гравитационных антенн с оптической жестокостью»

Автореферат диссертации на тему "Анализ чувствительности лазерных гравитационных антенн с оптической жестокостью"

На правах рукописи

005008620

Лазебный Владимир Иванович

Анализ чувствительности лазерных гравитационных антенн с оптической жесткостью

Специальность 01.04.01 — приборы и методы экспериментальной физики

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 9 ЯНВ 2012

Москва 2011 г.

005008620

Работа выполнена на кафедре физики колебаний Физического факультета Московского Государственного Университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук,

профессор С. П. Вятчанин;

доктор физико-математических наук,

профессор А. Б. Манукин;

доктор физико-математических наук,

профессор В. И. Денисов.

Институт радиотехники и электроники РАН

(г. Москва).

Защита состоится 16 февраля 2012 г. в 15.30 час. на заседании Диссертационного совета Д 501.001.66. в МГУ им. М. В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, аудитория СФА.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан «30» декабря 2011 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета Д 501.001.66.

кандидат физико-математических наук

И.Н. Карташов

1 Общая характеристика работы

1.1 Актуальность темы

Существование гравитационных волн впервые было предсказано А.Эйнштейном в общей теории относительности [1]. Гравитационная волна представляет собой волну градиентов ускорения, перпендикулярных направлению распространения волны. То есть плоская гравитационная волна, распространяющаяся вдоль оси г, вызывает сокращение расстояний по оси х и увеличение расстояний вдоль оси у в один полупериод и наоборот в другой полупериод. Стоит отметить, что для ее регистрации необходимо измерить изменение расстояния Ы между пробными массами, расположенными на расстоянии I друг от друга, которое при оптимальной ориентации измерительного устройства по отношению к падающей волне равно ДI = где к — безразмерная амплитуда гравитационной волны (возмущение метрики). Источником гравитационных волн служит любая система масс с ненулевой третьей производной по времени квадрата тензора квадрупольного момента. Простейшим вариантом такой системы являются две массы, вращающиеся вокруг своего центра масс по круговой орбите. В выражение для полной мощности, излучаемой такой системой, входит комбинация фундаментальных физических констант в4/^. Таким образом, излучение гравитационных волн оказывается эффектом пятого порядка по параметру 1 /с. Вместе с малостью гравитационной постоянной это обстоятельство приводит к тому, что эффект от воздействия гравитационной волны оказывается чрезвычайно слабым. Поэтому в первую очередь можно ожидать обнаружения излучения от объектов с большой массой, т.е. от астрофизических источников. По оптимистичным оценкам величина относительного смещения ^ пробных масс от гравитационных волн, вызванных асимметричными взрывами сверхновых, слиянием нейтронных звезд или черных дыр, составит ~ (Ю-21 - 10"22) [2]. Заметим, что известно косвенное доказательство существования гравитационных волн. Р.Халс и Дж.Тейлор в 1974 году [3] обнаружили изменение орбитального периода пульсара в двойной звездной системе РЭИ 1913+16, которое хорошо объясняется потерями на гравитационное излучение. Однако, опыт по прямому детектированию при помощи гравитационно-волновой антенны значительно более интересен, поскольку кроме подтверждения общей теории относительности он даст еще один канал получения космологической информации.

Использование лазерного интерферометра для детектирования гравитационных волн первыми предложили М.Е.Герценштейн и В.И.Пустовойт в 1962 году. В настоящее время в лабораториях по всему миру уже функционируют несколько лазерных гравитационно-волновых антенн, это проекты

LIGO (Laser Interferometer Gravitational Wave Observatory) [4, 5, 6], VIRGO [7, 8], GEO-6OO [9,10], TAMA [11,12]. Проекты AIGO, Advanced LIGO, LCGT, Einstein Telescope находятся на стадии разработки или строительства.

Существует множество различных случайных воздействий на пробные массы, которые приводят к ограничению чувствительности гравитационно-волновой антенны. Среди них можно выделить: собственные тепловые шумы пробных масс и их покрытий, шумы подвеса пробной массы, сейсмические флуктуации, гравитационно-градиентные шумы, флуктуации частоты, амплитуды и фазы лазера и т.д. Эти шумы являются техническими, то есть могут быть устранены, или, по крайней мере, сильно уменьшены, простым улучшением параметров установки (сейсмической изоляции, нитей подвеса, охлаждения зеркал).

В отличие от всех этих источников шум силового воздействия со стороны измерительного прибора (обратное флуктуационное влияние) является принципиально неустранимым и связан с принципом неопределенности Гейзен-берга, то есть представляет собой макроскопическое проявление квантовых эффектов. Если удастся уменьшить технические шумы, то основным шумом станет взаимодействие пробной массы с измерителем. Обнаружение гравитационной волны наблюдается по смещению зеркал, то есть мы имеем дело с непрерывным измерением координаты. Для такого измерения существует ограничение, называемое стандартным квантовым пределом (СКП).

В данной диссертационной работе подробно анализируются лазерные гравитационные антенны с оптической жесткостью и предлагаются методы, позволяющие увеличить их предельную чувствительность.

1.2 Цель работы

1. Рассмотреть топологию лазерной гравитационно-волновой антенны с зеркалами рециркуляции мощности (PRM) и сигнала (SRM). Исследовать возможность преодоления стандартного квантового предела чувствительности с помощью внесения малошумящей оптической жесткости. Проанализировать интегральную чувствительность к некоторому широкополосному сигналу и найти оптимальные параметры антенны, при которых достигается наилучшая чувствительность.

2. Учесть оптические потери в зеркалах антенны и их влияние на общую чувствительность. Известно, что неклассические состояния света чрезвычайно чувствительны к потерям. Выяснить, существуют ли подобные ограничения в случае классической накачки, при условии использования в антенне оптической жесткости.

3. Рассмотреть "трансформатор смещений", представляющий собой модификацию резонаторов Фабри-Перо в плечах. Исследовать возможность преодоления стандартного квантового предела чувствительности гравитационной антенны с использованием трансформатора смещений.

1.3 Научная новизна работы

1. Проведен детальный анализ чувствительности гравитационной антенны с зеркалами рециркуляции мощности и сигнала (PRM и SRM) и оптической жесткостью. Также произведен анализ интегральной чувствительности к некоторому широкополосному сигналу и найдены оптимальные параметры антенны, при которых достигается наилучшая чувствительность.

2. Впервые найдено общее выражение для чувствительности гравитационной антенны с оптической жесткостью и зеркалами рециркуляции мощности и сигнала с учетом оптических потерь в зеркалах. Показано что для параметров интерферометра Advanced LIGO потери незначительно ухудшают чувствительность.

3. Исследована возможность использования оптического трансформатора смещений в лазерной гравитационной антенне и показано, что такая топология антенны позволяет преодолеть стандартный квантовый предел чувствительности.

1.4 Практическая ценность работы

Детально проанализирована топология гравитационной антенны с зеркалами рециркуляции мощности и сигнала и найдено общее выражение для чувствительности. Это позволяет выбирать оптимальный режим работы антенны. Доказана возможность преодоления стандартного квантового предела в лазерной гравитационно-волновой антенне с помощью внесения малошумящей оптической жесткости. Важно, что требуемая для этого мощность меньше, чем запланированная в проекте Advanced LIGO.

Найдено выражение для интегральной чувствительности гравитационной антенны с оптической жесткостью к широкополосным сигналам. Это позволяет выбрать параметры антенны, при которых достигается наилучшая чувствительность к сигналам такого типа.

1.5 Апробация работы

Результаты работы докладывались на научных семинарах кафедры физики колебаний Физического факультета МГУ, на научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (Москва, 2005 г.), на международной конференции "The International Conference on Advanced Optoelectronics and Laser«" (Украина, 2005 г.).

1.6 Публикации и вклад автора

По теме диссертации опубликовано 6 работ, список которых приведен в конце настоящего автореферата, в том числе 4 работы в реферируемых журналах и 2 работы в тезисах конференций. Постановка задач осуществлялась совместно с научным руководителем. Все выкладки и вычисления произведены автором полностью самостоятельно. Статьи написаны совместно с соавторами.

1.7 Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы. Диссертация содержит 108 страниц текста и 28 рисунков. Список литературы содержит 70 наименований.

2 Краткое содержание диссертации

Во введении рассмотрены общие вопросы, связанные с фундаментальными ограничениями чувствительности детектирования гравитационных волн гравитационно-волновой антенной. Представлен краткий обзор различных случайных воздействий на пробные массы антенны, которые включают в себя собственные тепловые шумы пробных масс, термоупругие и терморефрак-тивные шумы в объеме зеркала и в его покрытии, шумы подвесов пробных масс и т.д. Рассмотрены причины, приводящие к возникновению Стандартного Квантового Предела (СКП) чувствительности гравитационно-волновой антенны, и приведен простой расчет величины СКП для смещения свободной массы, а также для силы, вызывающей это смещение. Обосновываются актуальность темы и формулируются цели диссертационной работы.

первая глава посвящена расчету чувствительности лазерной гравитационной антенны с зеркалами рециркуляции мощности и сигнала. В первом разделе данной главы диссертационной работы рассматривается прохождение плоской электромагнитной волны через частично пропускающее зеркало.

Анализируется одномерный случай в предположении, что амплитуда волны много больше уровня квантовых флуктуаций.

Амплитуда электрического поля в электромагнитной волне излучения от лазера равна [13, 14]:

оо I-

E{t) = J f-^ (Ио + + И5 + ¿»1^) %, (1)

где Ло — классическая комплексная амплитуда падающей волны, á+(w), а(ы)

— операторы рождения и уничтожения квантов с частотой и, подчиняющиеся стандартным коммутационным соотношениям [á(w), á+(u/)] = 2iró(u¡ — и'), S — площадь сечения пучка, с — скорость света. Так как полоса пропускания резонаторов и частоты наблюдения fí лежат в интервале 10 — 1000 Гц, а излучение лазера имеет среднюю частоту coq ~ 1015 Гц, то в формуле (1) можно представить ш = lüq + Í2 и использовать разложение по малому параметру Предполагается, что плечи интерферометра идентичны, R — коэффициент отражения зеркал El и JV1, Rs — коэффициент отражения зеркала SRM, а Т и Ts — соответствующие им коэффициенты пропускания (R2 + Т2 = 1, R2S 4- Tj = 1, то есть оптические потери в этой главе предполагаются равными нулю). В расчете используются значения Т2 = 0.005 — из проекта Advanced LIGO, Tg ~ 0.05 — параметр, который можно варьировать. Плечи интерферометра (Е1-Е2 и ÍV1-JV2) имеют равные длины.

Для амплитуд поля в случае прохождения света через неподвижное одиночное зеркало известны формулы

В\ = RAi + гТА2, (2)

В2 = RA2 - iTA\, (3)

где R, Т — коэффициенты отражения и прохождения света сквозь зеркало, А\ и А2 — амплитуды поля, падающего на зеркало слева и справа, а В\ и В2

— соответственно амплитуды выходящего слева и справа поля. В дальнейшем будем пользоваться методом возмущений и представлять амплитуды полей как сумму средней амплитуды (обозначаемой большой буквой, например, А\) и малой добавки (обозначаемой той же малой буквой, например, ai), так как это сделано в формуле (1), которая содержит флуктуационные компоненты, члены пропорциональные смещениям зеркал и гравитационный сигнал. Учтем изменение амплитуды отраженной волны из-за смещения зеркала на малое расстояние х. В этом случае появляется дополнительный малый сдвиг фазы из-за того, что волне приходится пройти другое расстояние, который учитывается по теории возмущений. В частности, изменение амплитуды волны, отраженной от полупрозрачного зеркала с коэффициентом отражения R,

Рис. 1: Схема интерферометра Advanced LIGO.

равно RA{\ - е21ф) ~ 2RAгф, где А — средняя амплитуда падающей волны, а ф <С 1 — изменение ее фазы, равное ^ [х — смещение зеркала в направлении распространения волны). Тогда для малых добавок полей имеем:

6i(w0 + ü) = ñai(w0 + П) + гТа2(и0 + SI) - 2iRA^(ü), (4)

b2(ojо + íí) = ña2(w0 + íí) - ¿Tai(^o + Í2) + 2ША2ф(П), (5) = (6)

с w

Здесь ai, аг, £>i, 62 — Фурье-образы малых флуктуационных добавок к большим средним амплитудам поля Ль А2, Въ В2, а ж(П) — Фурье-образ координаты зеркала.

Простейшая схема лазерной интерферометрической гравитационной антенны представляет собой интерферометр Майкельсона, образованный двумя резонаторами Фабри-Перо, оптические оси которых расположены перпендикулярно друг другу (см. рис.1).

Во втором разделе показывается, что для расчетов вместо этой схемы

можно рассматривать один эквивалентный резонатор: записав уравнения для амплитуд и флуктуаций оптической мощности на каждом из зеркал, можно перейти к другому базису, в котором изменение длин двух резонаторов под действием гравитационной волны будет описываться одной обобщенной координатой 2 = х - у, где х = (хЕ1 - хЯ2) и у = (удл - Ут)- Добавляя к этим уравнениям условия отражения и прохождения волны на светоделителе и на дополнительном зеркале, называемом зеркалом рециркуляции сигнала, можно получить зависимость флуктуаций Ьо в выходной волне от входных флуктуаций аи, среднего поля внутри плеча интерферометра А2 и флуктуаций координат зеркал:

VSЪD = - {в23{в2 - Я) + Я5(1 - Я02)) ав - 2ЯГ5^(1 - 1{в2)А^у- (7)

- 21А2ТТвВ08-[х - Шу), с

(8)

где коэффициент Т>з равен

= 1 - Д02 ~ ДД^! + в2в\Я3. (9)

Кроме влияния положения зеркал на выходное поле есть и обратный эффект — сила светового давления вносит изменения в движение зеркал. Эта сила имеет как регулярную, так и флуктуационную часть. Флуктуационная часть, также называемся силой обратного флуктуационного влияния, растет с ростом мощности внутри резонатора. Поэтому нельзя неограниченно повышать мощность для того чтобы регистрировать координату зеркал с большей точностью.

Регулярная часть силы светового давления, то есть пропорциональная зависимость силы от координаты зеркала, называется оптической жесткостью.

Далее в данной главе работы приведена иллюстрация динамических свойств оптической жесткости на примере одиночного резонатора Фабри-Перо. Для такой системы рассчитана величина жесткости, эволюция координаты зеркал во времени под действием регулярной внешней вынуждающей силы, а также спектральная плотность мощности шума смещения зеркал.

Информация о сигнальном воздействии гравитационной волны содержится в квадратурной компоненте выходного излучения. Обычный фотодетектор регистрирует квадрат амплитуды сигнала и никак не выделяет его фазовую компоненту. Для обнаружения необходимой квадратуры обычно используют балансный гомодииный детектор, устройство которого рассматривается далее в данном разделе. Пусть волна, амплитуду которой необходимо измерить, падает на светоделитель вместе с "опорной" волной известной амплитуды и

высокой интенсивности. Амплитуды волн на выходах светоделительного зеркала составляют сумму и разность от входных. Затем каждая из этих волн падает на обычный фотодетектор, измеряющий интенсивность падающего света, которая, как известно, пропорциональна квадрату амплитуды. Сигналом балансного гомодинного детектора является разность фототоков.

В следующем разделе с использованием всех предыдущих результатов рассчитывается чувствительность — величина, пропорциональная эффективности обнаружения гравитационного сигнала на определенной частоте. Чувствительность рассчитывается как для интерферометра с зеркалом рециркуляции сигнала (£(П)), так и без него (£<»„„ (П)).

т =

(10)

p = p1 + ip2, . (11)

Fa = ft4 + fl2(jg - б2) + Jj{6 - 7o sin 2a), (12)

Pi = To (Jf(l + cos 2a) - 2П2^) , (13)

Q = 2QyJ J77o ((70 - Ш) cos a - 6 sin a) , (14)

(15)

^conv(^) — 2

274 fi2(i)2 + 72)

,fi2(fi2 + 72) 274

Здесь fl — частота наблюдения, 7 — ширина полосы пропускания резонатора в плечах интерферометра, 70 — ширина полосы всего интерферометра (с учетом влияния зеркала рециркуляции сигнала), S — отстройка от резонанса, J — нормированная мощность, a — гомодинный угол.

Большинство сценариев астрофизических катастроф, описывающих форму гравитационных всплесков, предсказывают широкополосный сигнал. Поэтому в следующем разделе анализируется возможность использования найденных режимов и определяются оптимальные параметры для детектирования широкополосных сигналов. Для того, чтобы найти наилучшие значения параметров 7, 70, 6, J, рассматривается отношение сигнал-шум. В общем случае это отношение определяется по формуле:

J ^noise

где Fa(Q) — Фурье-преобразование сигнала, а 5n0ise — спектральная плотность мощности шума. В качестве модели для широкополосного сигнала принимается, что Fs(tt) = const,/П. Для того чтобы определить, какой выигрыш в интегральной чувствительности дает, антенна с зеркалом рециркуляции сигнала (signal-recycled Advanced LIGO) по сравнению с антенной без

SRM (conventional LIGO), подсчитывается следующее отношение:

c SN,srm /,--, ■bjv =-, (1'J

^Njconv

в котором величина Sn^rm имеет смысл отношения сигнал-шум для антенны с зеркалом рециркуляции сигнала, a 5yv,Conu _ отношение сигнал-шум для антенны без зеркала SRM.

На рис.2 представлены графики отношения сигнал-шум в зависимости от параметра Д, определяемого как расстояние между двумя минимумами выражения (10). Максимум отношения сигнал-шум увеличивается пропорционально квадратному корню из 7о/<5, а оптимальное значение Д уменьшается пропорционально 7о/<5- Из построенных графиков также видно, что чем меньше параметр 70, тем лучшую чувствительность удается получить. Однако, так как 70 является шириной полосы пропускания всей системы, ее уменьшение влечет за собой увеличение необходимого времени наблюдения.

вторая глава диссертации посвящена анализу интерферометра Advanced LIGO с потерями в зеркалах. В данной главе зеркала PRM, SRM и светоделитель считаются неподвижными и не вносят потерь. Резонаторы Фабри-Перо в плечах предполагаются идентичными, их входные зеркала El, N1 имеют коэффициент пропускания (по амплитуде) Т <С 1 и коэффициент отражения = -^/l — Т2 — г\, зеркала Е2, N2 имеют коэффициент отражения Ri = yjl — т\, где n, г 2 — коэффициенты оптических потерь (для пар зеркал E1,N1 и E2,N2 соответственно). Все зеркала предполагаются одинаковой массы т. Используя эти предположения, записываются уравнения для средних полей и флуктуаций внутри плеча интерферометра и находится выражение для поля, выходящего из резонатора в плече. По аналогии с рассмотрением в предыдущей главе осуществляется переход к другому базису, в котором изменение длин двух резонаторов в плечах под действием гравитационной волны описывается одной обобщенной координатой. Добавляя к этим уравнениям уравнения для амплитуд и флуктуаций при отражении и прохождении волны через светоделитель и зеркало SRM, выводится зависимость флуктуаций в выходной волне от входных флуктуаций, среднего поля внутри плеча интерферометра и флуктуаций координат зеркал. В эту формулу входит обобщенный коэффициент потерь г, который описывает суммарные потери в волне при отражении от двух зеркал, образующих плечо

резонатора, и величина Ло = ТТ ,ф

Далее в данной главе производится расчет величины чувствительности

О 0.01 0.02 0.03 0.04 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0 0.01 0О2 0.03 0.04

Рис. 2: График отношения сигнал-шум в зависимости от относительной ширины полосы Д для различных отношений 7о/<5 = 0.1, 0.01, 0.001 (слева направо). Кривая 1 — точная формула, кривая 2 — приближенная аналитическая формула.

£(Г2), по аналогии с тем как это было сделано в первой главе.

№ =

Р1 + Р2 + Рз

1/2

(18)

Входящие в это выражение члены Р\, Р2, Рз,<3 являются обобщением формулы чувствительности (10 — 14) на случай с потерями:

Pi = р4 - П2(<52 - 7о2+) + J (So - 70 sin 2а) ,

Р2 = 7о(25оП2 - J( 1 - cos 2а))2,

Рз = |Л|2{ [П4 - (¿о2 + 7о2)«2 + Л0]2 + 47о2П6} ,

4 J70O41 . 2

Q = ——|(7о-í")sma - óocosa| .

(19)

(20) (21)

(22)

Графики чувствительности приведены на рис.3. Сравнение чувствительности для параметров и величины потерь интерферометра Advanced LIGO показывает что потери незначительно ухудшают чувствительность. В следующем разделе рассчитывается зависимость коэффициента сжатия х в выходной волне — параметра, характеризующего близость состояния к классическому и определяемого как

Х(П) =

I (Ь(Ь+ + Ь+Ь()

(avacavac avacav>

(23)

а = 0 а = 7г/2

терь, сплошные — при наличии потерь; пара кривых 1 построена для случая 7о/^о = 0.01, пара кривых 2 — для 70/Г20 = 0.001. Прямая линия соответствует чувствительности СКП. Правый график: все то же, но для а = 7г/2.

Очевидно, что для когерентного состояния х(^) = 1- Оказывается, что коэффициент сжатия близок к единице (см. рис.4). Это означает что вклад сжатия незначителен, то есть форма кривой чувствительности и значение в максимуме определяются значением оптической жесткости.

ТРЕТЬЯ ГЛАВА диссертационной работы посвящена исследованию возможности преодоления стандартного квантового предела в лазерной интер-ферометрической антенне с помощью трансформатора смещений.

В первом разделе данной главы описывается понятие трансформатора смещений — двух масс, связанных при помощи пружины. В гравитационно-волновой антенне вместо пружины логичным представляется использовать оптическую жесткость, имеющую гораздо меньший уровень шумов. Показывается, что схема из трех зеркал, два из которых образуют трансформатор смещений, и два — длинный резонатор, испытывающий отклик на гравитационную волну, эквивалентна схеме антенны типа LIGO с дополнительными резонаторами на концах каждого из плечей. Для упрощения анализа используются предположения: ограничение на чувствительность схемы возникает только из-за квантовых оптических шумов, то есть не учитывается влияние классических шумов, а регистрация происходит при помощи наблюдения за выходным полем из короткого резонатора. Световая волна, циркулирующая в длинном резонаторе используется только для создания оптической жесткости.

В следующем разделе решаются уравнения движения для данной системы из трех зеркал и находятся величины оптической жесткости для каж-

Ы = о, V = 0, 7о° '"""/По = 0.01 |го| = 1, 7? = 0, 7о+/По = 0.01

Рис. 4: Графики коэффициента сжатия \ как функция построены для случая г] = 0, ^ = 0.01, гомодинный угол а принимает значения 0,7г/6, тт/3, 7г/2 (кривые 1, 2, 3 и 4 соответственно). Левый график: случай без потерь: г0 = 0, правый график: потери равны |г0| = 1.

дого резонатора, силы обратного флуктуационного влияния и выражение для чувствительности к гравитационному сигналу. Для того чтобы найти оптимальный набор параметров для достижения высокой чувствительности, необходимо ввести некоторые дополнительные приближения: жесткость в коротком резонаторе (в трансформаторе смещений) не зависит от частоты, а механические резонансные частоты системы незначительно отличаются друг от друга. Величина оптической жесткости в длинном резонаторе сильно зависит от частоты, поэтому в движении зеркал этого резонатора есть две парциальные частоты. Эти частоты зависят от расстройки Д в этом резонаторе, поэтому удобно ввести параметр Б, такой что Д = где Пм — его

механическая резонансная частота. Простейший случай двойного резонанса соответствует равенству /3 = 1.

Выбирая оптимальный гомодинный угол Хщ>г = агс!ап(—|) можно переписать выражение для чувствительности в безразмерном виде. Графики чувствительности приведены на рис.5. Здесь параметры а и /3 определены следующим образом: а = т , Р = , где Мг и М2 — массы зеркал,

образующих длинный резонатор, &т0 — масса дополнительного зеркала, образующего вместе с зеркалом М\ короткий резонатор. Видно, что оптический трансформатор смещений позволяет преодолеть СКП в более широкой полосе частот по сравнению со стандартной схемой, незначительно проигрывая при этом в чувствительности.

П/По

П/П0

Рис. 5: Графики зависимости чувствительности от параметра (П/fio)2 для случая несовпадающих частот механических резонансов в длинном резонаторе (D = 1.15) и совпадающих частот в длинном и коротком резонаторах (Пт = üjif) при оптимальных параметрах Xopt и 6/j. Кривые 1, 2 и 3 соответствуют параметрам aß равным 0.25, 0.005 и 0.0005, а кривая 4 — случай одиночного резонатора (отсутствие трансформатора смещений). Пунктирная кривая соответствует СКП hsQíity/hsQb{Qо)-

Выводы

В ВЫВОДАХ сформулированы основные результаты работы, выносимые на защиту и приводимые ниже:

1. Доказана возможность преодоления стандартного квантового предела в лазерной гравитационно-волновой антенне с помощью внесения ма-лошумящей оптической жесткости. Важно, что требуемая для этого мощность (порядка 600 кВт) меньше, чем запланированная в проекте Advanced LIGO (800 кВт).

2. Показано, что чувствительность лазерной гравитационно-волновой антенны с оптической жесткостью, вносимой зеркалом рециркуляции сигнала, может быть больше чувствительности стандартного квантового предела в 10 раз в полосе ДП/П ~ 0.2 или в 3 раза в полосе Afi/П ~ 0.4.

3. Проанализирован случай двойного резонанса, при котором выигрыш в чувствительности максимален. Показано, что при этом в отличие от

обычного резонанса отношение сигнала к шуму в конечной полосе обратно пропорционально ширине полосы.

4. Оптические потери, присутствующие в зеркалах интерферометра типа Advanced LIGO с оптической жесткостью, незначительно уменьшают чувствительность (на 5-10%).

5. Показано, что использование оптического трансформатора смещений позволяет преодолеть стандартный квантовый предел чувствительности лазерной гравитационной антенны в более широкой полосе частот по сравнению со стандартной схемой плеча интерферометра Майкель-сона с оптической жесткостью.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

[Al] V.I. Lazebny, S.P. Vyatchanin, «Optical rigidity in signal-recycled configurations of laser gravitational-wave detectors», Physics Letters A, Vol. 344, pp. 7-17, (2005);

[A2] F.Ya. Khalili, V.I. Lazebny, S.P. Vyatchanin, «Sub-SQL sensitivity via optical rigidity in the advanced LIGO interferometer with optical losses», Phys. Rev. D 73, 062002 (2006);

[A3] V.I. Lazebny, S.P. Vyatchanin, «Displacement transformer in laser gravitational-wave detectors», Physics Letters A, Vol. 372, Issue 44, (2008);

[A4] В.И. Лазебный, С.П. Вятчанин, «Оптическая жесткость в лазерных гравитационных детекторах с рециркуляцией сигнала», Известия Российской Академии Наук. Серия физическая, 2005, том 70, № 3, с. 327-334

[А5] В.И.Лазебный, «Широкополосное детектирование гравитационных волн в проекте LIGO с использованием зеркала рециркуляции сигнала», XII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов-2005», секция «Физика», подсекция «Радиофизика», 2005, (Сборник тезисов, Москва);

[А6] F.Ya. Khalili, V.I. Lazebny, S.P. Vyatchanin, «Optical rigidity in signalrecycling configurations of laser gravitational-wave detectors with lossy mirrors», Proceedings of LFNM 2005. 7th International Conference on Laser and Fiber-Optical Networks, 2005, pp.237-239

Список литературы

A. Einstein. Kosmologische betrachtungen zur allgemeinen relativitatstheorie // Sitzungsber. Konigl. Preuss. Akad. Wiss.— 1917. — Vol. l.-Pp. 142-152.

C. Cutler and K.S. Thorne. in proceedings of the 16th international conference on general relativity and gravitation. — 2001.

R.A. Hulse and J.H. Taylor. Discovery of a pulsar in a binary system // Astrophys. J. - 1975. - Vol. 195. - Pp. L51-L53.

A.Abramovici et al. Ligo: The laser interferometer gravitational-wave observatory // Science1992.- Vol. 256,- P. 325.

Daniel Sigg et al. Status of the ligo detectors // Class. Quantum Grav. — 2008. - Vol. 25. - P. 114041 (8pp).

LIGO website, http://www.ligo.caltech.edu.

F. Acernese et al. Status of virgo // Class. Quantum Grav. — 2008. — Vol. 25.-P. 114045 (8pp).

VIRGO website, http://www.virgo.infn.it.

H. Grote et al The status of geo 600 // Class. Quantum Grav. — 2008.— Vol. 25.-P. 114043 (9pp).

GEO website, http://www.geo600.uni-hannover.de.

R. Takahashi et al. Operational status of tama300 with the seismic attenuation system (sas) // Class. Quantum Grav.— 2008.— Vol. 25.— P. 114036 (8pp).

TAMA website, http://tamago.mtk .nao.ac.jp.

C.M. Caves and B.L.Schumaker. New formalism for two-photon quantum optics, i. quadrature phases and squeezed states // Phys.Rev.A.— 1985. — Vol. 31.— P. 3068.

[14] B.L.Schumaker and C.M.Caves. New formalism for two-photon quantum optics, ii. mathematical foundation and compact notation // Phys.Rev.A.— 1985.-Vol. 31.-P. 3093.

Подписано в печать 25.12.2011

Усл.п.л. -1.0 Заказ №07446 Тираж: ЮОэкз.

Копицентр «ЧЕРТЕЖ.ру» ИНН 7701723201 107023, Москва, ул.Б.Семеновская 11, стр.12 (495) 542-7389 www.chertez.ru

Текст научной работы диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Лазебный, Владимир Иванович, Москва

61 12-1/451

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ _имени М. В. ЛОМОНОСОВА_

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра физики колебаний

На правах рукописи

Лазебный Владимир Иванович

Анализ чувствительности лазерных гравитационных антенн с оптической жесткостью

Специальность 01.04.01 — приборы и методы экспериментальной физики

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Вятчанин С.П.

Москва 2011 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ 4

1.1. Твердотельные гравитационно-волновые системы....................6

1.2. Лазерные интерферометрические антенны............................8

1.3. Стандартный Квантовый Предел и невозмущающие измерения . . 18

ГЛАВА 2. Расчет чувствительности лазерной гравитационной антенны с

зеркалами рециркуляции мощности и сигнала. 23

2.1. Постановка задачи и используемые обозначения...........23

2.2. Расчет средних амплитуд и флуктуаций в плечах..........27

2.3. Светоделитель..............................29

2.4. Приближения...............................31

2.5. Световое давление............................32

2.6. Уравнение движения...........................35

2.7. Динамические свойства оптической жесткости при отсутствии потерь ....................................37

2.8. Устройство балансного гомодинного детектора............46

2.9. Отношение сигнал-шум.........................48

2.10. Поиск оптимальных параметров....................50

2.11. Чувствительность к широкополосным сигналам...........56

ГЛАВА 3. Анализ интерферометра Advanced LIGO с потерями в зеркалах. 62

3.1. Постановка задачи, обозначения и приближения...........62

3.2. Резонаторы в плечах...........................64

3.3. Светоделитель..............................66

3.4. Выходное поле..............................67

3.5. Силы светового давления........................69

3.6. Выходной сигнал.............................71

3.7. Чувствительность............................73

3.8. Анализ чувствительности........................75

3.9. Отношение сигнал-шум.........................80

ГЛАВА 4. Преодоление стандартного квантового предела в лазерной ин-

терферометрической антенне с помощью трансформатора смещений. 85

4.1. Введение .................................85

4.2. Постановка задачи............................86

4.3. Анализ трансформатора смещений...................88

4.3.1. Случай двойного резонанса (D = 1).................95

4.3.2. Случай двух отдельных резонансов (D > 1) ............97

ГЛАВА 1 ВВЕДЕНИЕ

32 а4М12М|(М1 + М2)

5 с5 Я5 ' 1 ]

где Мх52 — массы этих двух тел, в — гравитационная постоянная, с — скорость света в вакууме, И, — расстояние между массами. Таким образом, излучение гравитационных волн оказывается эффектом пятого порядка по параметру 1 /с. Вместе с малостью гравитационной постоянной С это обстоятельство приводит к тому, что эффект оказывается чрезвычайно слабым. Поэтому в первую очередь можно ожидать обнаружения излучения от объектов с большой массой, т.е. от астрофизических источников. По оптимистичным оценкам величина относительного смещения пробных масс от гравитаци-

онных волн, вызванных асимметричными взрывами сверхновых, слиянием нейтронных звезд или черных дыр, составит ~ 10~21 — 10~~22 [3]. Заметим, что известно косвенное доказательство существования гравитационных волн. Р.Халс и Дж.Тейлор в 1974 году [4] обнаружили изменение орбитального периода пульсара в двойной звездной системе РЭИ 1913+16, которое хорошо объясняется потерями на гравитационное излучение. Однако, опыт по прямому детектированию значительно более интересен, поскольку кроме подтверждения общей теории относительности он даст еще один канал получения космологической информации.

( \ & \ ^ I I / >

V У V ) \ ] \

Г = 0 г = Т/4 г = Т/2 1=3174 г = т

</ \ // м / л у. / л

I ; с ) { ) V и )

Рис. 1.1. Схема эволюции во времени кольца из свободных точечных масс под воздействием гравитационной волны периода Т. Направление распространения волны перпендикулярно плоскости рисунка. Сверху: поляризация гравитационной волны снизу: поляризация гравитационной волны Нх.

1.1. Твердотельные гравитационно-волновые системы

Впервые схема для обнаружения гравитационных волн была реализована в 1968 году в работе Дж.Вебера [5]. В этом эксперименте гравитационная волна космического происхождения и соответствующей поляризации должна возбуждать продольные колебания в массивном алюминиевом цилиндре двухметровой длины, весом в 1400 кг (рис. 1.2). Эти колебания на нижней резонансной частоте цилиндра (порядка нескольких килогерц) регистрировались пьезоэлектрическими датчиками. Несколько таких детекторов могут работать в схеме совпадений. Эксперимент Вебера был повторен в нескольких лабораториях в мире, в том числе в МГУ, но гравитационных волн зарегистрировано не было, что было объяснено недостаточной чувствительностью установки, составлявшей 10~15 в единицах безразмерной метрики. Однако главная заслуга Вебера в том, что его эксперименты привлекли внимание к проблеме детектирования гравитационных волн.

Рис. 1.2. Фотография твердотельной антенны Вебера.

Примером антенны классической веберовской схемы, работающей в настоящее время, является итальянский проект AURIGA [6]. Важными улучшениями являются уменьшение температуры пробной массы, сделанной из сплава

алюминия А15056, до нескольких милликельвин для снижения уровня тепловых шумов и применение сверхпроводящих квантовых интерференционных устройств (SQUID, Superconducting Quantum Interference Device) для обнаружения колебаний. Текущая чувствительность составляет 1СГ21 в единицах 1/л/Гц на двух резонансных частотах 911 и 929 Гц в полосе 1 Гц. Аналогичные проекты [7] работают в ЦЕРН,Швейцария (EXPLORER, с 1986 г) и INFN,Италия (NAUTILUS, с 1995 г). Их чувствительность также составляет около 10"21 в единицах 1/\/Гц в полосе 1 Гц на резонансных частотах в районе 900 Гц.

Приход гравитационной волны из космоса можно ожидать с любого направления и в любой поляризации. Поэтому можно улучшить классическую схему, изготовив детектор в форме шара и разместив датчики смещения в различных точках его поверхности. Таким детектором является проект MiniGRAIL [8], с диаметром 68 см из сплава медь-алюминий. Его масса составляет 1400 кг, а рабочая частота — 2.9 кГц. Он также является резонансным детектором, то есть предельный уровень чувствительности, составляющий Ю-21 в единицах 1/\/Гц, достигается в узкой полосе частот, составляющей единицы герц (при средней частоте порядка килогерца).

Еще одним возможным направлением в твердотельных системах является вычитание тепловых шумов в схеме из двух сферических детекторов [9]. Идея заключается в размещении датчиков в промежутке между поверхностями двух пробных масс, одна из которых имеет форму шара, а другая — форму концентрической сферы. Резонансные частоты у них различны. Наибольший интерес представляет область частот между первыми квадрупольными ре-зонансами внешней и внутренней пробной массы, т.е. там где их отклики на гравитационную волну различаются по фазе на 7г. В этом случае можно увеличить отношение сигнала к шуму по сравнению с одиночной пробной массой.

1.2. Лазерные интерферометрические антенны

Использование интерферометра Майкельсона для детектирования гравитационных волн первыми предложили М.Е.Герценштейн и В.И.Пустовойт в 1962 году [10]. Основная идея данного метода — обнаружение смещения пробных масс по измерению сдвига фазы отраженного от них лазерного луча. В настоящее время в нескольких лабораториях по всему миру уже получают научные результаты ([11, 12, 13, 14]) и заняты дальнейшим улучшением чувствительности лазерных гравитационно-волновых антенн: проекты LIGO (Laser Interferometer Gravitational Wave Observatory) [15,16,17], VIRGO [18, 19], GEO-6OO [20, 21], TAMA [22, 23].Проводятся эксперименты по совместным измерениям, в которых данные с нескольких антенн обрабатываются одновременно, с учетом их взаимной ориентации по отношению к возможному источнику и задержкой прохождения сигнала до различных точек Земли [24], [25], [26].

Рис. 1.3. Схема лазерной гравитационной антенны на основе интерферометра Майкельсона с резонаторами Фабри-Перо в плечах.

Принципиальная схема интерферометра показана на рис. 1.3. Два зеркала, подвешенные на большом расстоянии друг от друга, образуют одно плечо интерферометра, и два таких же зеркала образуют второе плечо, перпендикулярное первому. Зеркала на концах плеч полностью отражают свет, а вторая пара зеркал, расположенная рядом со светоделителем, имеет коэффициент отражения близкий к единице, и таким образом они формируют два резонатора Фабри-Перо. Лазерный луч проникает в них через светоделительное зеркало, расположенное в точке пересечения линий распространения света, которое отражает и пропускает половину падающего на него излучения. Свет претерпевает многократное отражение от зеркал внутри каждого резонатора, прежде чем он вернется на светоделитель. Если длины двух резонаторов совпадают, то за счет интерференции выходящих из них волн, весь свет направляется обратно к лазеру. Гравитационная волна, падающая перпендикулярно плоскости антенны, оси поляризации которой направлены вдоль плеч интерферометра, периодически изменяет расстояния между зеркалами так, что один резонатор Фабри-Перо испытывает удлинение, а другой сокращение длины. А если существует некоторая разница между длинами этих резонаторов, то часть светового излучения распространяется по направлению к фотодетектору и регистрируется им.

Наиболее длинные плечи резонаторов на сегодняшний день имеет проект LIGO. На двух обсерваториях в Ливингстоне (штат Луизиана) и Хэнфорде (штат Вашингтон) в вакуумных камерах длиной 4 км могут быть установлены до пяти интерферометров в каждой. В настоящее время в них работают два интерферометра длиной 4 км и один длиной 2 км. Масса пробных масс, которыми являются зеркала из плавленого кварца с многослойным отражающим покрытием, составляет 10 кг, циркулирующая мощность — 20 кВт, максимальная текущая совместная чувствительность — Ю-22 в единицах 1/\/Гц в полосе частот 100 — 200 Гц. График чувствительности последней серии наблюдений S5 приведен на рис. 1.4. Ухудшение чувствительности на низких

частотах связано с сейсмическим шумом, на высоких частотах — с квантовыми флуктуациями излучения лазера.

Рис. 1.4. График спектральной плотности мощности шума антенны LIGO в серии наблюдений S5 [16]. Красная кривая — 4км интерферометр в Хэнфорде, зелёная кривая — 4км интерферометр в Ливингстоне, синяя кривая — 2км интерферометр в Хэнфорде, чёрная кривая — запланированная чувствительность.

Проект VIRGO, расположенный в Италии, представляет из себя одну антенну с плечами длиной 3 км. Его преимущество заключается в более эффективной, чем у проекта LIGO, системе сейсмической изоляции, позволяющей добиться лучшей чувствительности (рис. 1.5) в диапазоне частот 10 — 30 Гц, которая составляет 10~20 - Ю-21 в единицах 1/\/Гц (для сравнения чув-

ствительность LIGO в этом диапазоне составляет Ю-15 — 10"19 в единицах 1/л/Гц)- В диапазоне 100 — 200 Гц чувствительность VIRGO составляет 10~22 в единицах 1 /\/Гц.

tr (

в о О W

о о и

Еч о

в §

л §

р<

в «

<0 1=1 Ü

Частота [Гц]

Рис. 1.5. График спектральной плотности мощности шума антенны VIRGO

[18].

Антенна проекта СЕО-бОО (Германия) отличается тем, что в ней не используются резонаторы Фабри-Перо, свет однократно распространяется вдоль плеча и обратно (эффективная длина — 1.2 км). На сегодяшний день это единственная антенна, в которой уже установлены зеркала рециркуляции мощности и сигнала. Её чувствительность (рис. 1.6) составляет 3 х 10~22 в единицах 1/\/Гц в диапазоне частот около 600 Гц.

Антенна проекта ТАМА-300, расположенная в Японии, имеет длину 300 м и также построена по схеме Майкельсона с резонаторами Фабри-Перо в

Частота [Гц]

Рис. 1.6. График спектральной плотности мощности шума антенны

СЕО-бОО [20].

плечах. Её чувствительность (рис. 1.7) составляет 10~18 в единицах м/уТц хв диапазоне частот около 1000 Гц.

Все вышеперечисленные антенны имеют наибольшую чувствительность в диапазоне от сотен герц до единиц килогерц. Идея детектирования волн с существенно большими частотами была предложена в работе [27].

Следует также отметить, что помимо выполнения непосредственной зада-

1 Обычно шумы гравитационных антенн пересчитывают в единицах безразмерной метрики, измеряя соответствующую спектральную плотность мощности Традиционно характеристикой чувствительности является величина л/Б^Щ), имеющая размерность 1/л/Гц. Иногда применяют другую величину, квадратный корень из спектральной плотности мощности флуктуаций смещения пробной массы с размерностью м/уТц, которая есть ни что иное как квадратный корень из спектральной плотности мощности умноженный на длину плеча антенны.

-|-1—I I I I 111-1-1—I I I 1111

I................I...........I.........I......I.....1111

I...........I 1 II и

Еч

к к и

св >>

к в о о к

А Н о О

к ь о

и «

се

и л ч

ей

а н м 0) с о

10'

I I I I 111-1-1—I I I I 111

1СГ

10*

Частота [Гц]

юч

4—I I I I 1-Й

ю5

Рис. 1.7. График спектральной плотности мощности шума антенны

ТАМА-300 [22].

чи детектирования гравитационных волн, рекордные значения чувствительности лазерных гравитационно-волновых антенн также позволяют использовать их для решения других фундаментальных задач, например, для проверки справедливости квантовой механики в макроскопическом мире [28] или проверки гипотезы о нелинейной электродинамике вакуума [29], [30].

Для регистрации гравитационных волн необходимо поддерживать длины между зеркалами постоянными, так как различные случайные воздействия могут вызвать смещение зеркал, что, в свою очередь, изменит разность фаз между двумя лучами и имитирует приход гравитационной волны. Поэтому необходимо добиться максимальной изоляции зеркал от разного рода внешних воздействий и добиться устойчивого распространения мощных

световых пучков между зеркалами и их интерференции друг с другом. Существует множество различных силовых случайных воздействий на пробные массы, которые приводят к значительному ограничению чувствительности гравитационно-волновой антенны. Среди них можно выделить: собственные тепловые шумы пробных масс, сейсмические флуктуации, шумы подвеса пробной массы, флуктуации частоты, амплитуды и фазы лазера, шум силового воздействия со стороны измерительного прибора (обратное флуктуаци-онное влияние).

• Тепловой (броуновский) шум зеркала (объема).

Это один из основных шумов, который рассматривается как возможный ограничитель чувствительности лазерных антенн [31], [32], [33]. Он возникает из-за затухания объемных механических мод, которое по флуктуационно-диссипационной теореме (ФДТ) [34] пересчитывает-ся в флуктуации координат поверхности зеркала. Численно спектральная плотность мощности флуктуаций координаты поверхности зеркала, усредненная по площади передней поверхности зеркала, на которую падает гауссов световой пучок с эффективным радиусом го, равна

о,иЬ _ 2квТф(П(1 - а2,)

Ьв ~ *»/*Y.r0f ' (1J)

где к в — постоянная Больцмана, Т — температура зеркала, ф(/) — угол потерь на частоте / в материале зеркала, as — коэффициент Пуассона материала зеркала, Ys модуль Юнга материала зеркала. Броуновский шум также ограничивает возможности по стабилизации частоты лазера с помощью резонаторов [35].

• Тепловой броуновский шум в покрытиях зеркал.

Из-за большей величины угла механических потерь фœat(/) в покрытиях, даже несмотря на то, что их толщина составляет всего несколько десятков длин волн входного лазера, величина шума смещения поверхности зеркала, возникающего из-за этих потерь и рассчитываемого по

ФДТ, может быть сравнима с величиной броуновского шума в объёме зеркала. Этот шум той же природы, поэтому он описывается аналогичным образом [36, 37]. Спектральная плотность мощности флуктуаций координаты поверхности зеркала равна:

ссоаг _ ЫвТфсоа1{Л( 1 - а2)

Ьв - 7Т3/2УГ0/ ' 1 }

где фсоаг(Л ~ угол потерь на частоте / в материале покрытия, а — коэффициент Пуассона материала покрытия, У — модуль Юнга материала покрытия.

• Термоупругий шум в объеме зеркала.

В [38] был предложен еще один механизм, который может привести к �