Анализ и синтез интегрального многообразия фазовой системы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ



о;\

КАЗАХСКИЕ! ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АЛЬ-ФАРАБИ

на правах рукописи

КУЛАХМЕТОВ Мурат Умирзакович

удк 62-50

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ИНТЕГРАЛЬНОГО МНОГООБРАЗИЯ ФАЗОВОЙ СИСТЕМЫ

Специальность 01.01.11 • Системный анализ и автоматическое управление

Авторсф ерат

диссертации на соискание ученой степени кандидата фшико-ыатематических наук

Алматы, 1996

Работа выполнена на кафедре математического обе спечет ЭВМ Казахского государственного национального университете имени аль-Фараби.

Научный руководитель-. - кандидат физико-математических нау

доцент Мазаков Т.Ж.

Официальные оппоненты: - доктор физико-математических наук,

профессор Неронов B.C. - кандидат физико-математических нау CHG Жуматов С.С.

Ведущая организация: - Казахский Национальный технический

университет

Защита диссертации состоится "/-/" аМ>7_ 1996 г.

в -у О часов на заседании специализированного совета К 14/а си.оз по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Казахском государственном национальном университета им. аль-Фараби

по адресу: 480012, г.Алматы, улица Масанчи, 39/47.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КазГУ. Автореферат разослан "-/6'« ¿¿^грб^с&у 199ь г.

Ученый секретарь специализированного совета,

доцент ^ '-Ш-А-АИПАН0В

к.ф.-м.н., доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность_работи. В работе исследуются интегральные

многообразия динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Одной из важнейших задач исследования динамических систем является проблема устойчивости. Исследование устойчивости динамических систем актуально как с точки зрения теоретического интереса, так и с точки зрения практических приложений. Системами обыкновенных дифференциальных уравнений описываются переходные процессы в различных механических и робототех-нических системах, динамические процессы в экономике и экологии.

Для фазовых систем, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями с угловой координатой, основными методами исследований являются метод нелокального сведения Леонтьева и метод периодических функций Ляпунова. Дифференциальными уравнениями с угловой координатой описываются движения маятниковых систем, переходные процессы в электроэнергетических системах. Кроме того, фазовые системы нашли применение в системах синхронизации, связи.

Исследование интегральных нелинейных многообразий для фазовых систем является актуальной задачей с точки зрения приложений.

Ш5ь_работы. Исследование устойчивости и управляемости интегрального многообразия фазовой системы. Разработка прог-

раммного обеспечения для ПЭВМ,облегчающего применение теоретических результатов для исследования динамических систем.

Методы_исследования. В основе исследований лежат методы

теории обратных задач дифференциальных уравнений, исследования интегральных многообразий, теории устойчивости движения, теории управляемости, теории оптимального управления, численных методов решения экстремальных задач, компьютерной алгебры.

■ Полученные достаточные условия устойчивости интегрального многообразия для фазовой системы, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Исследована задача управляемости и оптимального управления интегральным многообразием.

0сновше_пдложежяЛ_вшос1^е_на_защитх. Критерии устойчивости и управляемости интегрального многообразия фазовой системы.

Теореттеская_и_практот .' Все полу-

ченные в диссертации теоретические результаты сформулированы в виде теорем, математически полностью доказаны и применены для исследования модельных задач. Разработанное программное

обеспечение может применяться при исследовании различных динамических систем.

Апробация_работы. Основные результаты диссертации докладывались на IX Республиканской межвузовской научной кон-

ференции по математике и механике (Алма-Ата, 1999), научных конференциях молодых ученых и специалистов Казахского государственного национального университета (198?, 3991, 1993), а также на научных семинарах кафедры теории управления КазГУ (под рук. проф. Айсагалиева С.А.) и кафедры кибернетика (Под рук. проф. Биярова Т.Н.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы ь печатных работ, список которых приводится в конце автореферата.

Обьем_и_стр^кт^ра_работы. Диссертационная работа состоит

из введения, з глав, заключения, 2 приложений и списка литературы. Общий обьем работы составляет 93 страницы; список литературы включает 86 наименований.

СОДЕЩЩЕ.РАБОТЫ

Во введении дается общая характеристика работы, приводятся постановки исследуемых задач, дается обзор литературы по проблеме и краткое содержание глав диссертации.

?_П§Е§9й:_главе диссертационной работы рассматривается нелинейная динамическая система, описываемая обыкновенными дифференциальными уравнениями

8 = 5,

В = - О 5 - ¿(Ъ) + с"X, (1)

л- = Д х + q s + ь и,

где о > о - скаляр, д - постоянная лкп-матрица, с, ц, ь -л-мерные векторы, С - угловая координата, s - угловая скорость, .V - n-мерный вектор состояния регулятора, и - скалярное управление. Первые два уравнения описывают динамику объекта регулирования, а последующие п уравнений описывают динамику регулятора.

Предполагается, что нелинейность системы f<8? является непрерывно-дифференцируемой 21с-периодической функцией, удовлетворяющей условиям:

f(Q) = r-fS + 2%к) для любых б e R* , к = О, ± 1, ... , 21с

- f(Q) d5 < О, (2)

21с j О

f(O) = о, г" (О) > о, f<'Q ) = о, í fS J < о,

е ° е °

где в = о и в = б - нули функции т(б) на множестве со,2то. Производная функции f(Q) удовлетворяет условиям:

d f(Q)

<--------< \ÍZ, Ц, Ц2 < о. (3)

d о

Введем вектор-функцию и = (и , шг, соа), элементы которой определены следующим образом:

= s, и2 = с*я, шз = /('S;. Ставится следующая задача: определить условия, налагаемые на параметры системы регулирования си и управление, при которых и = о является устойчивым интегральным многообразием

исследуемой системы.

Введем обозначения:

* * о * *

а = с £7 + с Ь р, = с г, ад = с Ь 7?

Т» = Р,> 72 = рг, тз = *ь Р3-

VIЬ) = ( vl(t), д(б) = Vе

-О 1 -1 ТА с? О

П(6) = ' а <я_ 12 3 О 7 ш о ' 2 2

д(5) О О о О 7эшэ

Теорема 1. Пусть существуют постоянные 5, Ъ Р2

• *

векторы а. г такие, что А + Ь а = г с .

Тогда при управлении

а = л*« + р е + 7 /гб; + р^ + Р2с*х +

+ V (±)

(5)

ш = о является интегральным многообразием системы (1), где ч^а), V (ь) - произвольные функции.

Доказательство основано на известной теореме Н.П.Еругина. В дальнейшем, в этой главе при исследовании устойчивости

будет предполагаться, что постоянные (32, (Зз равны нулю. Обозначим

с< f(Q) а

£ =--------=-------5 = а(Э; ы4,

<1 t а б

а =

-О 1 -1

О О О

в =

Г. =

Р» ° £То

о о о

еуо о рг+ е2 т2/Р1

о о о

с =

1

о

(6)

Г2 =

о о

о о

О

0

1

А =

-О 1

Г (А.) = Ке

Г = Г - г I1

О 1 2

а\Е - в ) 1

аке - а ) в

12 3

в

Используя введенные обозначения, сформулируем критерий устойчивости интегрального многообразия ш = о системы (1).

Теорема 2. Пусть существуют постоянные (3, 7, е > о, >

£) > о, т > о и векторы а, г такие, что

* *

1) Д + Ь = г с .

2) матрица д гурвицева,

з) пара ( а, в) управляема, т.е. выполнено неравенство

а, - О а - з.а - <э_ и . ± а 2 э э

4) выполнено скалярное частотное условие Г (\) < о для любого К е ^ \ * о.

Тогда управление

и = + Р 5 + 7 У^сб^ (7)

обеспечивает устойчивость интегрального многообразия ш = о системы (1).

Доказательство основано на методе периодических функций Ляпунова,с использованием процедуры Бакаева-Гужа.

В п.1.4. Исследована модельная задача: фазовая система 4-го порядка

Вторая_глава диссертации посвящена исследованию управляемости интегрального многообразия.

■ Ставится следующая задача: определить условия, налагаемые

на параметры системы регулирования (1) и управление, сбеспе-

- 1 о -

чивающие перевод системы ш из начального состояния б(о> =<Зо, si'oj = sD, >:(0) = ,vo на интегральное многообразие wct) = о з конечное фиксированное время т.

Введем обозначения:

» » _ * *

а^ = с q + с Ь р, а2 = с /-, а = с Ь f»

7t = с*б pif т2 .= с*ь ра, Т3 = сь р,,

V(t) = ( ví(t)„ vzCt), va(t)), Ц = fQÍO), g(Q) = f'Q(Q) - JJL ,

-D 1 -1 о о О О

А = S2. дз , ® = 1 1 1 , о = 1

V- О О о о О О

R<O, =

O O

g(Q) С U

F(W)

7,4 <> O tf T w O

о 0 ТоЧ

■ з 3

Пусть 6 (*<:,) - фундаментальная матрица решений-линейной однородной системы у = я у, тогда вп; = е^1, Ф(ь,1)=Ва) б"1^;. Обозначим

wro, t; = |

Ф(С,Х) В В*Ф*(0,1) dX,

L = ||C|| |Ф('0, T)\ max ( а£>~ф. - (i1>, af?sf|i - >), s (t) = - d*<&* (o.t) ti1 (0, П, Szi'tJ = ®rt,OJ,

= - sx(t) ы(о, t) if1 (о, T),

Ф (t, 5, =Ф(-о, t; яj'Q,o),i. Теорема з. Пусть существуют постоянше > о и

векторы а, г такие, что * *

1) Д + 6 а = г с ,

2) ьцо, т) - неособая матрица,

3) Г ||С|| + L Т ( ||Sl II + IIS2 II + IIS3 \\ ) < 1.

Тогда интегральное многообразие 0) = о

управляемо, т.е. существует хотя бы одно управление, переводящее траекторию системы ш на интегральное многообразие за заданное время т.

Доказательство основано на принципе сжатых отображений.

В п.2.з. Приводится пример исследования управляемости интегрального многообразия для фазовой системы 4-го порядка.

В_трэт_ьей_главе . диссертационной работы рассматривается

- 12 -

задача оптимального управления фазовой системой (i).

Ставится следующая задача: определить условия, налагаемые

на параметры системы регулирования <п и управление, обеспечивающие перевод системы m из начального состояния 6(0)=Qo,

s(0) = во, л'(о) = л'о на многообразие wen = о за конечное

фиксированное время г и доставляющее минимум функционалу

г

J(u) = - J г и CZ) di, (0)

О

где г > о.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (i) при начальных условиях

6(0)=Qq, 5(0.1 = 50, >:(0) = хо (9)

Сформулируем условия, которым должно удовлетворять управление, доставляющее минимум функционалу <а> и переводящее систему (i) из начального состояния (9) на многообразие W(tj = о.

Теорема а. Пусть (act)., В (t), s(t), >:(t)), t e со, п -оптимальное управление и оптимальная траектория системы (i).

Тогда необходимо существуют непрерывные функции <t>, ф2(t),

вектор-функция ty3(t), t со, пи постоянные а^ а2, <зд такие, что

i) фг('t,>, фэгt^ - решение сопрякенной системы

Ф* = Vе-' Ф2>

ф2 = - ф1 V- О ф2 - ч ||)э, (10)

•Фз = " с Ф2 " Д*Фз'

2) управление и(ь) определяется по формуле

1 - ,

иа) = — ь фэа)

г

3) выполняются условия трансверсальности на правом конце

ф 1(Т) = а1 Сб (Т)), $г<Т) = а2, Ф3^ = с,

/гвт; = о, в(Т) =о., с*х(Г> = о.

Доказательство основано на принципе максимума Л.С.Понтря-гина для задачи оптимального управления с подвижным правым концом.

Рассмотрим функционал

т г

J(u) = - \ г и СX) ЬХ + - к У"2 Гб (Т)) + - гг52 (Т) +

J 7

О

+ - гз £ с%С7\|} , (11)

где > о, г-2 > о, гз > о.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (1) при

- 14 -

начальных условиях (9) и функционал un

Теорема 5. Функционал un при условиях (п, (9)

непрерывен и дифференцируем по u(t> в смысле нормы ¿'2со, п.

причем его градиент определяется по формуле

J (и) = г и - £>*фэ, (12)

где фз с í ^ - решение сопряженной системы ио при условиях на правом конце

= - г ftdrrjsfQfófT.);

$г(Г) = - г2 в(Т), (14)

• *

Ф3 (Т) = - га с >:(Т) с.

Более того, градиент функционала j(и) удовлетворяет условию Липшица

Л/ Л/

II J (и + h) - J (и) II < L II h II

X X

Z 2

для любых управлений и. и + /?.

У

Теорема ь. Пусть выполнены все условия теоремы 5 и, кроме того, выполняется неравенство

г > |£>| е.-.-р (75 Г) 7с /7 .

Тогда последовательность {и }, определенная по формул

и , = и - (и ), п = О,Л,

п +■1 п ^ г» •

является минимизирующей.

Для решения поставленной задачи предлагается алгоритм мин мизации последовательности функционалов г

*- р 2

.7. (и) = - г и (%) + - Г'к' г"2 Сб С Т)) + - г<к>5г(Г) +

J 2

^ I к > Г * "1 * ^ гз ^ г , к = О, 1, ... (15)

„„„ <к<-11 _ , < к > „ где г. = 2 * г. ,1=1,2, 3,

Шаг 1. Пусть к = о. По теореме ь выберем константу Липшица дл;

Л/

функционала ^ /и; равным = ю. Параметры модельной зад,-

чи удовлетворяют неравенству (з.з&), т.е. (и) являете? выпуклым функционалом. Здесь = /~2<0> = гэ<0> = 0.02

Выберем начальное управление = о, t е ю, п-

Шаг 2. Пусть j'= о.Перед выполнением следующего шага нам извест

Шаг з. Подставляя управление к (.к'<<:), t е со, п в правую част системы дифференциальных уравнений (1) и решая задачу Кош

Шаг 4. Подставим вычисленные на предыдущем шаге функции

=*к><и, л^к)т, е с со, 71 в правую часть сопряженно

системы дифференциальных уравнений ао и условия на кони (14). Решая задачу Кош для сопряженной системы в обратно

направлении, определим функции ф^'иь ф^к)т,

£ е со, 71.

Шаг 5. По формула (12) вычислим градиент функционала

«V

ьГкС(.гк>;. Определим новое приближение для управления

но начальное управление *<<:), <: € со, л.

при известных начальных условиях (9) определим б(к)т,

5 .

(^ , и) , £ 6 со, 71.

Шаг 6. Если

\u\H(t)-*M(t)\ <8. t e Ю, Г]

то осуществляется переход к шагу 7,

иначе 3 увеличиваем на единицу и переход к шагу 3-Здесь в - достаточно малое число (требуемая точность).

Шаг 7- Обозначим

uik)(t) = Ilm ujk>fU t e [О, Г]. j->ro

Шаг 8. k увеличиваем на единицу, вычисляем коэффициенты штрафа

/V

г*1'* = 2 * r[fc-1> , i = 1, 2, 3 для функционала JfcCuJ. В качестве начального управления для градиентного метода

A4

минимизации функцинала JkfuJ выберем оптимальное управленп

«V

определенное для функционала т.е.

ио(к)а; = uife"l}rt;. t « [о. Г].

Шаг 9. Если не достигнута требуемая точность попадания на инте ральное многообразие, то переход к шагу 2.

В приложениях приводятся краткое описание программного обеспечения, реализованных на языке фортран и klduce к главам и Ii диссертационной работа.

- 13 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие результаты: 1.Для объекта управления, описываемого обыкновенными дифференциальными уравнениями, на основе теории обратных задач дифференциальных уравнений и теории интегральных мно-госср2з:й построены уравнения двихекяя управляющих устройств, обеспечивающих устойчивость объекта управления. Пригодится пример исследования устойчивости интегрального многообразия для фазовой системы 4-го порядка.

2. На -основе подхода, предложенного С.А.Айсагалиевым, решена задача перевода фазовой системы на заданное интегральное многообразие за фиксированное время. Приводится пример

исследования управляемости интегрального многообразия для

модельной фазовой системы.

3. На осноие градиентного метода и метода штрафных функций предложен алгоритм последовательного приближения для -вычисления оптимального управления и оптимальной траектории, переводящей фазовую систему из заданного начального состояния на интегральное многообразие. Полученные теоретические результаты демонстрируются на модельной задаче.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Маззков Т.Ж., Кулахметов М.У. К задаче оптимального интегрального многообразия //- В кн.:Математика и механика. Тезисы докл. ix респуб.межвуз.науч.конф.по мат-ке и механ. 4.2.

- 19 -

Витлсл.матем., информатика. Алма-Ата: КазГУ, 1989, с.117.

2. Казаков Т.Ж., Кулахметов И.У. Устойчивость интегрального многообразия. //Тезисы конф.молод.ученых и спец.КазГУ. Ч. I. - Алма-Ата: КазГУ, 1989, с.7-

3. Мазанов 'Г.Ж., Кулахметов М.У. Управляемость и оптимальное управление линейного интегрального многообразия //Управляемость к стабилизация динамических систем. - Алма-Ата: КазГУ, 1990. с.39-43.

4. Кулахметов М.У., Дарибаев A.M. Анализ устойчивости динамических систем на ПЭВМ //Тезисы конф.молод, ученых и спец. КазГУ. - Алматы: КазГУ, 1993, с.25.

5. Мазгков Т.Ж., Кулахметов М.У., Оспанов Т.Ж. Исследование управляемости линейных систем на ПЭВМ //Тезисы конф.молод, уч. и спец. КазГУ. - Алматы: КазГУ, 1993, с.26.

6. Мазаков Т.Ж., Кулахметов М.У. Устойчивость интегрального многообразия фазовой системы. - Алматы, 1994. - 12 с. Рукопись предст. Каз.ун-т. Деп. в КазШ/ШККИ, 21 ноября 1994,

N 5559 - Ка94-

ЦУЛАХМЕТОВ Мурат 6М1рзаи;-улы

ИНГЕГРМДЩ К6ПБЕЙНЕЛ1К ФАЗАЛЩ СИСТЕМАНЩ ТАЛДАУЫ ЖАНЕ СИНТЕЗ I oi.oi.il - Жуйелеп талдау жане аутоматтьщ Оаск;ару физико-математика гылымдарышщ кандидаттын; гылыми дарежеине

Дифференциалды« тввдеулер твориясшшц кврх есептерI, крзгалысгьщ орнык;тылык, теориясы, басщару теориясы,оптималдык; баск;ару теориясы, эсктремалдык; есептердщ шеш1мдерхшц сандык; тэсищер1 мен К0мпьютерл1К алгебра тас1лдер1 неизшде щарапайым дифференциалдык тевдеулермен сиппаталатын фазалык, жуйе уш1Н интегралдак кепбейнелгн оршщтшшгыньщ жетгалхкт! шарттары алынды.

Баскару есеб1 мен интегралдык, кепбейнелштщ оптималдык; басцару есеб! зерттелд!.

KlJl.AKHMETOV Murat ANALYSIS AND SVNTHESYS OF INTEGRAL MANYFC1LD OF PHASE SYSTEM

01.01.11 - System analysis and automatic control for scientific degree of candidate CF'hD) of physics and mathemathics

Based on methods of reverce problems differencial equation, theory of stabilisation of movements, theory of control, theory of optimal control, numeric solution methods of E?;;tremal problems and computer algebra, we have got sufficient condition of stability of integral rranyfold for phase system, by discribed ordinary differential equation.

Investigated problem of controling and optimal controling of integral manyfold.