Анализ модельного подхода теории расширений в скалярной задаче дифракции и системах нежестких кристаллов фуллеритов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ЗАДАЧА ДИФРАКЦИИ НА ТОНКОМ НЕКОМПАКТНОМ ТЕЛЕ ВРАЩЕНИЯ.И

1.1. Постановка задачи.

1.2. Задача А.

1.3. Задачи В и С, асимптотика решения.

ГЛАВА II. МОДЕЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ.

II. 1. Постановка задачи,описание семейства модельных операторов.

II.2. Построение модельного оператора задачи дифракции.

ГЛАВА III. ЛОКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ НЕЖЕСТКИХ

КРИСТАЛЛОВ ФУЛЛЕРИТОВ С60,С70.

III. 1. Физические системы с нежесткостью. Принципы построения перестановочно-инверсионных групп симметрии.

111.2. Перестановочно-инверсионные группы симметрии нежестких кристаллов.

111.3. Физически значимые неприводимые представления группы Vc и симметрия относительно перестановок тождественных ядер.

111.4. Перестановочно-инверсионная симметрия фуллерита С60 в высокотемпературной фазе.

111.5. Перестановочно-инверсионная симметрия фуллерита С70 в высокотемпературной фазе.

111.6. Перестановочно-инверсионная симметрия фуллерита С70 в промежуточной фазе.

Термины: "модельный подход", "модельная задача" встречаются в различных разделах теоретической физики. Так, например, в теории дифракции^ в физике твердого тела получил широкое распространение модельный подход имеющий непосредственное отношение к методу потенциалов нулевого радиуса. Впервые потенциалы нулевого радиуса были введены Е. Ферми ([1],[2]), что позволило точно решить ряд физических задач.

Введение потенциалов нулевого радиуса сводится к заданию "граничного условия" на волновую функцию Ф в точке: 1 а(г»м,ут г->о \гЧ?(г,9,<р) дг) где г - расстояние от "центра потенциальной ямы" - точки, где находится потенциал нулевого радиуса, а - вещественный параметр. Активное применение и дальнейшая разработка метода начались с шестидесятых годов ([3]-[6]) и продолжаются в настоящее время [7|,[8]. Так, например, в работе [9] решена задача о возмущении оператора Лапласа А сингулярным потенциалом вида Ja{z)5{l¿^ - ^еМ3,геК, (0.2) к сосредоточенным на прямой М с функцией а{г) е Ь2 (К, (1 + 22)1сЬ). Там же было показано, что оператор Лапласа возмущенный сингулярным потенциалом вида (0.2) с функцией а(г) = 1 может быть задан описанием его области определения, в которую входят все те функции и из пространства Гильберта Ь2(Ш), которые удовлетворяют "граничному условию" и(р, <р, г) + р (1п р + Н(г)) и(р, (р, г) -> 0, (0.3) ор Р^ О где р - расстояние до прямой Ж, Н(г) - некоторая абсолютно непрерывная веществен-нозначная функция. Задачи о введении потенциалов нулевого радиуса и сингулярных потенциалов вида (0.2) могут быть рассмотрены методами теории расширений симметрических операторов в пространстве Гильберта [10]. При этом "граничные уеловия" (0.1),(0.3) описывают область определения самосопряженных операторов с сингулярными потенциалами. Важным этапом при рассмотрении той или иной модельной задачи является приведение модели в соответствие физическому содержанию задачи [11],[12],[13]. В случае потенциала нулевого радиуса, описывающего короткодействующее взаимодействие двух частиц при низких энергиях их относительного движения, неопределенным является параметр а, который по своему физическому содержанию определяет сечение упругого столкновения частиц [б]. В общем случае, физическая интерпретация "модельных параметров" следует из сравнения решений модельных задач с решениями реальных задач полученных прямыми методами. В некоторых случаях, как например в физике твердого тела, сужение множества параметров в модельных задачах может быть достигнуто использованием симметрийных соображений. Для функции Н(г) в работе [9] не дается физического толкования. Тем не менее, сама постановка задачи имеет отношение к скалярной теории дифракции на некомпактных препятствиях с осевой симметрией. К задачам скалярной теории дифракции приводят задачи о рассеянии акустической волны на "акустически абсолютно твердых" и "акустически абсолютно мягких" телах [14]. При этом, в случае "акустически абсолютно твердого" тела Б решение и (потенциал скорости) удовлетворяет граничному условию 0 для производной по внешней нормали к границе 5 и граничному условию $ 0 в случае "акустически абсолютно мягкого" тела [14]. Типичной для большого круга задач скалярной теории дифракции в трехмерном простанстве Е3 является следующая постановка задачи (стационарный по времени подход).

Пусть в пространстве К3 имеется компактная или некомпактная поверхность 5. Отыскивается решение к ) (рассеянное ноле) удовлетворяющее во внешности поверхности 5 уравнению Гельмгольца

0.4) и на поверхности $ одному из граничных условий

1?(+ 0 (задача Дирихле),

0.5) д щ(~а?')) |5= 0 (задача Неймана), 4

0.6) ш+ $('И?) 4- |5= 0 (смешанная задача), (0.7) где функция к ) = ехрг( к ) определяет начальное возмущение.

Для однозначной разрешимости поставленных задач требуется, что бы функция к ) удовлетворяла условию излучения

- ¿мф) = о , -> ОО. (0.8) в случае компактной поверхности Б или условию погашаемости в случае некомпактной поверхности 5. Такого рода задачи и в более общей постановке (обобщения и нестационарный по времени подход) всесторонне исследованы [18]-[20] и возможно выделить два основных подхода к их рассмотрению. Первый из них использует абстрактную теории рассеяния в духе теории Лакса-Филлипса [15] или теорию 5'-матрицы. В другом основное внимание уделяется построению решения. Выбор того или иного подхода тесно связан со спецификой рассматриваемой задачи.

Так в асимптотической теории дифракции (рассеяние в дальней зоне) выбор

1,1. Здесь приближения тесно связан с отношением между величинами к = к - волновой вектор падающей плоской волны, д, и I- максимальный поперечный и максимальный продольный размеры дифрагирующего тела. Построение асимптотики решения задачи дифракции возможно в тех случаях когда хотя бы для одного из параметров = Ы,е2 = к1, £3 = ё/1 выполнено £г <С 1 или 1 (¡=1,2,3,). Последнее обстоятельство связано с тем, что в большинстве рассмотрений одним из основных подходов к задаче является представление решения в виде бесконечного ряда по степеням того или иного малого параметра (по степеням £1 при £г 1 или 1 /е^ при £,; 1) Довольно полный обзор работ связанных с задачами дифракции на односвязных трехмерных препятствиях при различных соотношениях между параметрами приведен в работе [16]. Среди упоминаемых работ имеется статья [17], которая хоть напрямую и не связана с теорий дифракции, но имеет непосредственное отношение к следующей постановке задачи.

Пусть поверхность Бе (56 С К3) в цилиндрической системе координат (г,(р,г) задана уравнением г = £.?г,(г), -оо < г < оо, е > 0, (0.9) ад - 1) 6 с?(Ж), ад > 0.

Здесь Со°(К)- пространство основных функций. Ищется рассеянное ноле к) удовлетворяющее во внешней относительно поверхности области Ое уравнеию (0.4), граничному условию (0.5) и условию погашаемости. Кроме того, исследуется поведение решения к) в пределе при е —> 0, когда поверхность Бе стягивается к оси О/ декартовой системы координат. Имея решение оо егкзг^2сп со« п{ч> - <р0)н£\гу/к* - Щ), (0.10) п=о

Ь0 = еу/к*-к1 сп = иЬ0)/Н^(Ь0). задачи дифракции плоской волны к ) на прямом круговом цилиндре радиуса е, решение задачи (0.4)-(0.5) ищется в виде оо ие{1?) = ^епип(!?,Е) (0.11)

71=0

Для функции шо выбирается представление ^НрЦгу/Р^ёЫЬФ*'**, *2 е [0, оо) (0.12) я

Функция шо удовлетворяет условию излучения по переменной г и уравнению (0.4) во всем пространстве К3 за исключением множества точек оси Ог. Как показано в [17] остается выбором плотности //о(£, е) из (0.12) удовлетворить "парциальному" граничному условию е*3* (Мгу/к*-Щ) - |5е= 0 (0.13)

В работе [17] данное требование (где только функция заменена на произвольную функцию ф из пространства С£°(К)) приводит для определения плотности ио(£,е) к уравнению

1п (е^/^ё) + /«(£ - с'ы&^н' = (о-14) к где 1пе = 1пг + 1п2 + ^(1) + тгг/2, а(£) = к € С,

В работе [17] /г0(£,е) функция считается произвольной из пространства Сд0. Особенность выведенного уравнения заключается в том, что ядро интегрального оператора из уравнения (0.14) принадлежит пространству Шварца, а функция 1п (ё\/к2 — имеет нули и особые точки. Обоснование представления (0.12) требует доказательства однозначной разрешимости уравнения (0.14). В работе [17] само уравнение (0.14) рассматривается в пространстве С([—М, Л/]) функций нспрерывнб1х на замкнутом промежутке [—N. Ж] который не содержит нулей функции 1п (' с \/к2 — . Таким образом рассматривается уравнение вида N

-IV которое однозначно разрешимо в пространстве С ([—/V, Щ).

В первой главе диссертации решается задача аналогичная задаче (0.4),(0.5),(0.9) с тем отличием, что функция может быть произвольной из пространства Шварца 5(М). Так же как и в работе [17] основное внимание уделяется главному члену разложения (0.11), т.е. функции а>0 для которой используется представление (0.12). Неизвестная плотность ищется в виде ряда оо т=0

Для вычисления функций е) выводится система зацепляющихся уравнений вида

1п (еу/к* - е2) + - ^Кт^е)^ = (0.16) к с правой частью е) содержащей все функции //„ ,„, / (£, е) с т' < т. Доказывается существование и единственность решения уравнений (0.16) цепочки и обосновывается представление (0.12) для функции о/о(£, е)>- А именно, показано, что уравнение вида (0.16) для любого возможно рассмотреть в гильбертовом простанстве

2(К3), в котором доказывается его однозначная разрешимость; получены условия на функции Р(г) позволяющие при вычислении функции о/0(£,£) с точностью до величины порядка е использовать в (0.12) вместо плотности г/0(£,в) ее приближенное выражение /^о^, е). Особенностью задачи рассмотренной в первой главе диссертации является исследование поведения решения задачи дифракции в нулевом канале при стягивании дифрагирующей поверхности в прямую. Именно такая предельная форма препятствия делает задачу по своей постановке близкой к задаче возмущения самосопряженного оператора Гельмгольца А + к2 сингулярным потенциалом вида (0.2). В связи с указанной аналогией, представляется оправданной попытка построения такого модельного самосопряженного оператора решение задачи рассеяния им(х,е) для которого близко к решению о;о(£, е) реальной задачи дифракции в нулевом канале.

Такого рода рассмотрение, проведенное во второй главе диссертации ставит своей задачей исследование применимости методов теории самосопряженных расширений в соответствующих задачах дифракции. Важным элементом проводимого рассмотрения является построение всего семейства модельных операторов, соответствующих возмущению оператора Гельмгольца. В своей основной постановке такая задача не нова и наряду с результатами работы [9] имеются исчерпывающие исследования (см. например [21]). Однако имеющиеся описания расширений являются специфическими и не допускают прямого использования для целей проводимого рассмотрения.

В данном случае, описание семейства модельных операторов основано на описании нейтральных подпространств "граничной формы" ,1, определенной на некотором подмножестве гильбертова пространства [22]. Полученные результаты соответствуют имеющимся раннее [23],[24] , но дают более богатое семейство модельных операторов.

Последнее оказывается решающим обстоятельством и позволяет фиксировать параметры модели приводя ее в соответствие с реальной задчей дифракции. Полученный самосопряженный модельный оператор допускает дальнейшее исследование методами спектральной теории линейных самосопряженных операторов. В том числе, устанавливается существование и полнота оператора рассеяния. В качестве критерия близости решений модельной и реальной задач используется величина д = и м к , е) — к , е)

Н1(КЗ) ' где Я-х(М3) = Ь2 + для которой получена оценка

Использование модельного подхода теории расширений в физике твердого тела имеет свои специфические черты. Как правило, в модельном подходе основное внимание уделяется описанию в одночастичном приближении электронов проводимости. При этом ядерная подсистема заменяется решеткой, в узлах которой размещаются идентичные потенциалы нулевого радиуса. Но даже в такой постановке отбор физически значимого модельного оператора представляет сложную задачу. При ее решении зачастую используется пространственная симметрия физической системы [25],[26]. Последнее требует знания пространственных групп моделируемых физических систем и их неприводимых представлений. В последнее время [27],[28] построена модель в которой ядерная подсистема описывается в терминах квазичастиц - фоно-нов - функций на конфигурационном пространстве колективных переменных ядерной подсистемы. Такая модель с небольшими изменениями может быть использована при рассмотрении молекулярных кристаллов с нежесткими движениями - вращением составляющих их молекул [29]. Важную роль при построении физически 'значимого модельного оператора здесь играет симметрийный анализ таких систем.

Яркими представителями класса молекулярных систем с нежесткими движениями являются фуллериты Сбо и CVo - кристаллы на основе фуллеренов CV>o и CVo -молекул, содержащих п (п = 60,70), атомов углерода.

Фуллериты С'бо и С70 представляют собой полупроводники с шириной запрещенной зоны 1,5 — 1,95 эВ и благодаря своим электрическим, оптическим и механическим свойствам имеют значительные перспективы использования [30]. Фуллериты, допированные щелочными металлами (М3Сп) обладают сверхпроводящими свойствами с температурой перехода в сверхпроводящее состояние ~ 33К.

В третьей главе диссертации основное внимание уделяется симметрийному анализу фуллеритов Сбо и С70 с учетом возможного вращения составляющих их молекул. При этом используется группа Vc [29] перестановочно-инверсионной симметрии в рамках которой естественным образом учитываются вращения отдельных молекул.

Как следует из приведенного выше краткого содержания работы, основной ее целью является использование модельного подхода теории расширений в задачах дифракции и физике твердого тела, а также отбор физически значимых модельных операторов соответствующих задач.

Результаты работы докладывались на втором международном семинаре "Фулле-рены и атомные кластеры" в г. Санкт-Петербурге в 1997г., на международной конференции им. М.Г. Крейна " Теория операторов и их применения" в г. Одессе в 1997г., на ХХХ-ой научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава ИТМО в г. Санкт-Петербурге в 1999г., на семинаре лаборатории математической физики Санкт-Петербургского отделения математического институра им. В.А. Стеклова. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [31]-[35].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В работе проведено обоснование асимптотического подхода при построении решения шо)£ скалярной задачи дифракции: а) Доказана однозначная разрешимость основного интегрального уравнения задачи в гильбертовом пространстве квадратично суммируемых функций L2(M). б) Установлена унитарность " парциального" оператора рассеяния. Показано, что выбранный асимптотический ряд для представления решения сходится. Определена зависимость главного члена разложения в асимптотический ряд парциальной амплитуды рассеяния о;0( к , У, е) от малого параметра е.

2. В рамках модельного подхода описан класс "нелокальных расширений" - семейство самосопряженных операторов. Полученно согласование реальной и модельной задач, что дает теоретико-операторное обоснование полученным в реальной задаче приближенным выражениям.

3. Для последовательного проведения модельного подхода при исследовании в приближении Гайтлера-Лондона возбужденных состояний фуллерйтов Сбо, Сто произведено: а) построение перестановочно-инверсионной группы симетрии и неприводимых представлений ее локальной подгруппы для кристалла фуллерита Cgо в высокотемпературной фазе (Т > 249А'); б) построение перестановочно-инверсионных групп симметрии и неприводимых представлений их локальных подгрупп для кристалла фуллерита С^о в промежуточной фазе (270 < Т < 340К) и высокотемпературной фазе (Т > 340А").

4. В рамках групп обобщенной симметриии сформулированы правила отбора для спектров комбинационного рассеяния нежестких кристаллов фуллеритов Сбо, C'7(t.

1. Fermi Е. Sopra lo spontamento per pressione delle rigne elevate delle serie spettrali.// Nuovo Cim., 1934, v. 11, p. 157-166.

2. Ferrai E. Sul moto dei neutroni nelle sostanze idrogenate.// Ric. Sei., 1936, v. 7, p. 13-52.

3. Березин Ф.А., Фаддеев Л.Д. Замечание об операторе Шредингера с сингулярным потенциалом. // Докл. АНСССР, 1961, Т. 137, №5, С. 1011-1014.

4. Березин Ф.А. О модели Ли. // Матем. сб. 1963. Т. 60. С. 425-446.

5. Базь А.И., Зельдович Я.Б., Переломов А,.М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. М.: Наука. 1971. 544с.

6. Демков Ю.Н., Островский В.Н. Метод потенциалов нулевого радиуса is атомной физике. Л.: изд-во ЛГУ. 1975. 240с.

7. Альбеверио С., Гестези Ф., Хёэг-Крон Р., Хольден X. Решаемые модели в квантовой механике. М.: Мир. 1991. 568 с.

8. Шондип Ю.Г. Квантовомеханические модели в RTÍ, связанные с расширениями оператора энергии в пространстве Понтрягина. // ТМФ. 1988. Т. 74. №3. С. 331344.

9. Благовещенский A.C., Лаврентьев К.К. Трехмерный оператор Лапласа с граничным условием на оси. // Вестник ЛГУ 1977. №1 С. 9-15.

10. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.:Наука. 1966. 544 с.

11. Зимнев М.М., Попов И.Ю. Выбор параметров модели щелей нулевой ширины. // Ж. вычисл. матем. и мат. физики. 1987. Т.27. №3. С. 466-470.

12. Попов И.Ю. Обоснование модели щелей нулевой ширины для задачи Неймана.// Докл. АНСССР. 1990. Т. 313. №4. С. 806-811.

13. Попов И.Ю. Обоснование модели щелей нулевой ширины для задачи Дирихле. // Сиб. матем. ж. 1989.Т.30. №3. С. 103-108.

14. Хенл X. Мауэ А. Вестпфаль К. Теория дифракции. М.:Мир 1964 286с.

15. Лаке П., Филлипс Р. Теория рассеяния. М. Изд-во Мир 1971 312с.

16. Федорюк М.В. Рассеяние плоской волны на цилиндрической поверхности с длинным возмущением. // Изв. АНСССР. Сер. матем. 1985. Т.45. №1 С. 160-193.

17. Федорюк М.В. Асимптотика решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа и Гельмгольца во внешности тонкого цилиндра. // Изв. АНСССР сер. мат., 1981 Т45 №1 С. 167-186.

18. Эйдус Д.М. О принципе предельного поглощения.// Докл. АНСССР. 1959. Т.125. №3. С. 508-511.

19. Эйдус Д.М. О принципе предельной амплитуды.// Докл. АНСССР. 1964. Т.158. №4. С. 794-797.

20. Буслаев B.C. Рассеянные плоские волны, спектральные асимптотики и формулы следа во внещних задачах.// Докл. АНСССР. 1971. Т.197. №5.,С.999-1002.

21. Кочубей А.Н. Эллиптические операторы с граничными значениями на подмножестве меры нуль. // Ф.А. и его прилжения. 1982. Т. 16. вып.2. С.74-75.

22. Павлов Б.С. Теория расширений и явно решаемые модели. // УМН 1987. Т.42. т. С. 99-131

23. Попов И.Ю. Теория расширений и локализация резонансов для областей лову-шечного типа. // Мат. сб. 1990. вып. 10 С. 1366-1390.

24. Попов И.Ю. Применение теории расширений к исследованию дифракции на цилиндрических и сферических щелевых резонаторах. // Вестн. ЛГУ. 1984. №6. С. 79-83.

25. Гейлер В.А. Двумерный оператор Шредингера с однородным магнитным полем и его возмущение периодическим набором потенциалов нулевого радиуса. // Алгебра и анализ. 1991, Т. 3, №1, С. 1-48.

26. Карпешина Ю.Е. Спектр и собственные функции оператора Шредингера в трехмерном пространстве с точечным потенциалом типа однородной двумерной решетки. // ТМФ. Т57. №3. 1983. С. 137-149.

27. Павлов B.C. Явнорешаемая одномерная модель электрон-фононного рассеяния. // Вестн. ЛГУ. сер.4, 1987, вып.2, №11, С.265-304.

28. Евстратов В.В., Павлов B.C. Электрон-фононное рассеяние, полярон и биполя-рон явнорешаемая модель. // Пробл. мат. физики, вып 13. Диф. ур-ния. Спектральная теория. Распр. волн. Изд-во ЛГУ. 1991. С. 265-304 ■

29. Эварестов P.A., Смирнов В.П. Локальная симметрия в молекулах и кристаллах. Изд-во СПбУ. 1997 372с.

30. Елецкий A.B., Смирнов Б.М. Фуллерены и структура углерода. // УФН. 1995. Т. 165. №9. С. 977-1007.31| Smirnov V.P., Krivospitskii A.N. and Zubok D.A. Generalized symmetry of the high-temperatuere phese of C70.// Mol. mat., 1996, Vol. 8, pp. 131-133.

31. Smirnov V.P. , Zubok D.A. Permutation-inversion group of fullerite C70 in the intermediate phase.- Phys. state sol.(b) 1998 206, pp.611-621.

32. Смирнов В.П., Зубок Д.А. Перестановочно-инверсионная симметрия фуллерита С7о в высокотемпературной фазе // Физика тв. тела. 1997. Т. 39. №10 С. 18951901.

33. Зубок Д.А., Попов И.Ю. Модель рассеяния на возмущенном цилиндре.// Письма в ЖТФ. 1999. Т. 25. вып. 6. С. 42-45.

34. Зубок Д.А., Попов И.Ю. Два физических приложения оператора Лапласа, возмущенного на множестве нулевой меры. // ТМФ. 1999. май №2 С. 295-307.

35. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. TI М. изд-во ИЛ. 1949, 798с.37| Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т1 Теория распределений и анализ Фурье. М., Мир 1987. 314с.

36. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М., Изд-во Мир 1.972 643с.

37. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., Изд-во Наука 1977 640 с.

38. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. Кишинев, Штиинца 1973. с.289.

39. Ваганов Р.В. Каценеленбаум Б.З. Основы теории дифракции. М., Наука 1982 272с.

40. Федорюк М.В. Рассеяние звуковых волн тонким акустически жестким телом вращения. // Акустический журнал 1981 Т27, №4, С. 605-609

41. Федорюк М.В. Задача Дирихле для оператора Лапласа во внешности тогнкого тела вращения. // Тр. сем. им. С.А. Соболева, Новосибирск: Ин-т матем. СО АНСССР 1980 №1 С. 113-131.

42. Курылев Я.В. О граничных условиях на кривой для трехмерного оператора Лапласа. // Зап. научн. сем. ЛОМИ АНСССР 1978. Т.78. С. 112-127.

43. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т.2.М.:изд-во иностр. лит-ры. 1960. 986с.

44. Браун П.А., Киселев A.A. Введение в теорию молекулярных спектров. Л., 1983. 232с.

45. Scott J.F. Soft-mode spectroscopy: experimental studies of structural phase transitions. // Rev. Mol. Phys. 1974. Vol 46. P. 83-128.

46. Michel K.H., Copley J.R.D., Neumann D.A. // Phys. Rev. Let. 1992. Vol. 68. P. 2929.

47. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М., 1967. 395с.

48. Перлин Ю.Е., Цукерблат B.C. Эффекты электронно-колебательного взаимодействия в оптических спектрах примесных парамагнитных йонов. Кишенев, 1974. 247с.

49. Эварестов P.A., Смирнов В.П. Методы теории групп в квантовой химии твердого тела. Л., 1987. 314с.

50. Авармаа P.A. Пьезоскопическое исследование расщепления вращательных уровней нитритного центра в KCl . Опт. и спектр. 1970. Т. 29. №4*С. 715-720.

51. Банкер Ф. Симметрия молекул и молекулярная спектроскопия. М.Мир, 1981. 451с.

52. Внутренее вращение молекул. Под ред. В. Дж. Орвилл-Томаса. М.Мир, 1977. 510с.

53. Жилич А.Г., Киселев A.A., Смирнов В.П. Группы симметрии нежестких молекул и кристаллов. // В сб. Проблемы теоретической кристаллохимии сложных оксидов. Л., 1982. С. 120-158.

54. Киселев A.A., Людерс К. Группы нежестких молекулярных и квазимолекулярных примесных центров в кристаллах. // Вопросы квантовой теории атомов и молекул: Межвуз. сб. Л., 1981 Вып. 2. С. 56-70.

55. Киселев A.A., Людерс К. О группе симметрии нежесткого примесного центра в кристалле. // Вестн. Ленингр. ун-та. 1979. №16. С. 31-38.

56. Королев A.A., Смирнов В.П. Преобразование молекулярных координат, индуцируемое перестановочно-инверсионными элементами молекулярной группы симметрии // Вестник Ленингр. ун-та. 1986. сер.4. №1. С.20-24.

57. Локтев В.М. // Физика низких температур. 1992. Т. 18, №3,С.217-223.

58. Мадзусима С. Строение молекул и внутренее вращение. М.Мир, 1957. 261с.

59. Трещалов А.Б. Поляризация люминесценции и переориентация примесных молекулярных центров в щелочногалоидных кристаллах: Автореф. канд. дис., Тарту, 1978. 20с.

60. David W.I.F., Ibberson R.M., Dennis T.J.S. e.a. // Europhys. Letters. 1992. Vol. 18, №3. P. 219-223

61. Hebard A.F., Rosseinsky M.J., Haddon R. e.a. // Nature. 1991. Vol. 350. P.600.

62. Hougen J.T. Classification of rotational energy levels for symmetric-top molecules. // J. Chem. Phys. 1962. Vol. 37. P. 1433-1441.

63. Hougen J.T. A group theoretical treatment of electronic, vibrational, torsional and rotational motions in the demethylacetylene molecule. // Can.J. Phys. 1964. Vol. 42. P. 1920-1937.

64. Kiselev A.A., Luders K. On the symmetry group of nonrigid impurity centers in crystals. // Phys. stat. sol. (b). 1979. Vol.93. P.285-291.

65. Korolev A.A., Smirnov V.P.Coordinate transformations induced by the elements of the permutation-inversion symmetry group of a nonrigid molecular crystal. // Phys. stat. sol. (b). Vol.129 P.41-47

66. Lounguet-Higgins H.C. The symmetry groups of nonrigid molecules. // Mol. Phys. 1963. Vol.6. P.445-461.

67. Lu J.P., Li X.-P., Martin R.M. // Phys. Rev. Lett. 1992. Vol.68. P.1551-1557.

68. Parsonadge N.G., Staveley L.A. Disorder in crystals. Oxford, Univ. pr. 1978. 921p.

69. Roxlin E.A., Cox D.M., Kaldor A.J. // J. Chem. Phys. 1984. Vol. 81. P. 3322-3328

70. Spirk M., Cheng A., Klein M.L., // Phys. Rev. Lett. 1992. Vol.6. P. 1660-1667

71. Valsarumar M.C., Subramanian N., Yousuf M. e.a. // Phys. Rev. B. 1992. Vol.48. P. 9080-9089