Анализ нелинейных возмущений в двух задачах механики с помощью нормальной формы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГБ ОД 1 4 АВГ 1995

На правах рукописи

Садов Сергей Юрьевич

АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В ДВУХ ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ С ПОМОЩЬЮ НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЫ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1995

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М.В. Келдьша РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник А.Д. Брюно.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.В. Белецкий

доктор физико-математических наук B.C. Самовол.

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН.

Защита состоится " " 1995 г. в часов

на заседании диссертационного совета Д 002.40.03 при ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 125047, Москва, Миусская пл., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ им. М.В. Келдыша РАН.

Автореферат разослан " " 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

М.П. Галашш

овщая характеристика работы Актуальность темы В диссертации применен метод нормальной формы для анализа двух систем обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр. Первая из рассматриваемых задач возникла в недавно предложенном подходе к конечномерной аппроксимации уравнений квантовой механики и является первой подробно изученной моделью в рамках этого подхода! Вторая задача — уравнение движения спутника относительно центра масс — изучалась аналитическими и численными методами на протяжении более 30 лет. В случае эксцентриситета орбиты спутника, близкого к 1, численное исследование связано с большими трудностями. В работах автора впервые применен аналитический подход для этого случая. Диссертация содержит положения, представляющие интерес вне рамок рассматриваемых задач и являющиеся развитием метода нормальной формы.

' Научная новизна

1. Исследована модельная задача, возникшая в новом подходе к конечномерной аппроксимации уравнения Шредннгера.

2. Доказана теорема о том, что бездивергентная система ОДУ, имеющая ряд известных интегралов; при некоторых предположениях имеет дополнительный формальный интеграл.

3. Применен аналитический подход в задаче , о плоских колебаниях динамически почти симметричного спутника в сингулярном случае (для орбиты с эксцентриситетом, близким к единице) и вычислены асимптотики коэффициентов нормальной формы для этого случая.

Практическая ценность диссертации Исследования, выполненные в диссертации, носят теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при вычислении нормальных форм в задачах, аналогичных рассмотренным в диссертации, при разработке алгоритмов аналитических вычислений на ЭВМ, а также при тестировании численных алгоритмов. Результаты главы 1 демонстрируют явно характер задач, появляющихся в рамках нового конечномерного подхода в квантовой механике. Результаты и методы главы 3 могут найти приложения при расчете ориентации космических тел и аппаратов.

Апробация результатов Материалы диссертации докладывались на Международном Конгрессе математиков (Цюрих, Швейцария, 1994), на международных конфе-

ренцнях по гамильтоновой механике (Торунь, Польша, 1993), по дифференциальным уравнениям, бифуркациям и хаосу (Кацивели, Украина, 1994), на Чебышевских чтениях (МГУ, 1994), на конференции но нелинейному анализу (Воронеж, 1995), на семинарах в.Институте прикладной математики, Институте проблем механики РАН и МГУ.

Объем и структура работы Диссертация изложена на 99 страницах текста, обработанного издательской системой Ш^рС и состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, включающего 54 наименования.

Содержание работы Во введении описаны основы метода нормальной формы и дан обзор содержания диссертации. .

Напомним определение нормальной формы (далее — н.ф. системы дифференциальных уравнений

п

¿,- = £ а^х, + МХ), ¿ = 1,...,т», (1)

•=1

в окрестности неподвижной точки X = 0 и связанные с ним понятия. Предполагается, что /,■ — аналитические функции в окрестности нуля или формальные степенные ряды и не содержат членов степени ниже 2.

Пусть Л = (А1,...,А„) е С", X = (хь...,*„) € К" или С", <? = (Яи---,Чп)е2?- Полагаем Xе* = х\1 ...х*?, (<?,Л) = + ... + д„А„.

Определение 1. Моном X® называется А-резонансным, если (С}, А) = 0. Ряд /(X) — £<э /дХ^ называется Л-резонансныМ, если все его члены Л-резонансны. При фиксированном векторе Л говорят просто о резонансных мономах (рядах).

Определение 2. Пусть в аналитической или формальной системе (1) матрица А = (ау) ненулевая, Л = (А1,.. . ,А„) — вектор, составленный из ее собственных значений. Формальная система

& = £ЬиУ; + <7.(П « = 1......», ' (2)

¿=1

называется нормальной формой системы (1), если

1) система (2) связана с системой (1) обратимой формальной заменой переменных, называемой нормализующим преобразованием, У = У(Х) (каждое ¡ц есть формальный степенной рад по переменным ц,... ,х„);

2) матрица В = {Ьц) является жордановой н.ф. матрицы А]

3) все ряды уГ1&(У) являются Л-резонансными.

Определение 3. Говорят, что система (1) находится в к-кратном резонансе, если уравнение {<3, Л) = О имеет ровно к линейно независимых целочисленных решений С}, все компоненты которых, кроме, быть может, одной, неотрицательны, а оставшаяся компонента не меньше —1,

При К-кратном резонансе н.ф. редуцируется к системе порядка к

(1пг.) = /1,(21,..., 24), »'= (3)

относительно резонансных переменных Z, полугенных степенным преобразованием ЬI — а1п У, где а — целочисленная к х п-матрица.

Если исходная система обладает некоторым специальным свойством (например, вещественна или гамильтонова или сохраняет объем), то возникает вопрос о существовании нормальной формы с тем же свойством, т.е. группа допустимых формальных преобразований сужается. Естественные свойства, подобные перечисленным, можно сохранить при нормализации.

Аналитическая классификация ОДУ в окрестности неподвижой точки доступна лишь настолько; насколько известны результаты о сходимости нормализующих преобразований. Основные из этих результатов состоят в следующем.

1. В нерезонансном случае (т.е. к — 0) расходимость нормализующего преобразования связана с тем, что знаменатели членов нормализующего преобразования содержат линейные формы (С}, А), быстро убывающие с ростом |ф| вдоль некоторых направлений. Для почти всех (по мере Лебега) векторов А нормализующие преобразования аналитических систем имеют ненулевой радиус сходимости (К.Л. Зигель, 1952, в уточненном виде — А.Д. Брюно, 1965).

2. В резонансном случае (к > 0) основная причина расходимости состоит в наличии резонансных членов, а не в малых знаменателях. В частности, если все А,- попарно соизмеримы, то |(ф,А)| либо равно нулю, либо ограничено снизу не зависящей от константой. Пусть дополнительно \jj\t < 0 дои некоторой пары индексов 3, к. В этом случае имеется необходимое и достаточное условие того, что множество аналитических систем (1), имеющих фиксированную нормальную форму (2), совпадает с множеством систем, аналитически эквивалентных (2). Оно состоит в том, что н.ф. (2) становится линейной после замены времени, т.е. матрица В диагональна и ряды совпадают при всех » = 1,..., п (А.Д. Брюно). Это чрезвычайно жесткое условие.

Наряду е формальной и аналитической теорией нормальных форм имеется теория й.ф. в классах С°° и С1 (к > 2) (С. Стернберг, К. Чень, B.C. Самовол и др.). Однако полученные в этом направлении результаты, так же, как в классическая теорема Гробмана-Хартмана, относятся к гиперболическому случаю (или, некоторым его обобщениям) и не позволяют решить вопросы об устойчивости особой точки или о существовании ограниченных решений в ее окрестности при наличии чисто мнимых собственных значений лилейной части системы.

Основополагающие результаты о семействах периодических решений в окрестности стационарной точки получены Пуанкаре, Ляпуновым, Хопфом. Эти результаты (для аналитических систем) являются частными случаями теорем А.Д. Брюно об аналитических инвариантных -множествах, определяемых по н.ф. А именно, если в н.ф. (2) собственные числа А,- матрицы В попарно соизмеримы, то множество А, определяемое в координатах Y как

A={Y\ Ebijyj+9i(y) = c\iyi, i= l,...,n},

где с С С — параметр, является аналитическим в координатах X.

Если все Re А,- = 0, то множество А состоит из неподвижных и периодических решений систем (2) и (1).

Для неавтономной системы ОДУ с периодическими коэффициентами

ii = fi{X,t), i = l,...,n, F(X,t) = F(X,t+2r) (4)'

в окрестности стационарного решения X = 0 формальная теория нормальных форм почти полностью повторяет формальную теорию н.ф. автономных систем. Действительно, вводя переменную z-= exp(it) и добавляя к системе (4) уравнение z = iz, получим автономную систему порядка п + 1, отличающуюся от систем вида (1) лишь тем, что ряды fi(X,z) в правой части содержат как положительные, так и отрицательные степени z. Приведение системы (4) к н.ф. можно осуществить, не затрагивая переменную 2. Для С°°-систем с периодическими коэффициентами метод нормальной формы эквивалентен методу осреднения Крылова - Боголюбова. Результаты о сходимости и расходимости нормализующих преобразований для автономных систем имеют аналоги для систем с периодическими коэффициентами. В частности, нормализующее преобразование сходится на аналитическом множестве А, определяемом по нормальной форме и состоящем из 2тг-периодических решений исходной системы.

Система порядка к относительно резонансных переменных обычно имеет вырожденную особую точку с нулевой линейной частью. При анализе таких особых точек необходимо прежде всего рассмотреть первые приближения, или укорочения, системы. Вообще говоря, их может быть несколько, поскольку при разных соотношениях порядков малости переменных могут получиться разные первые приближения. Оставляя в н.ф. члены, соответствующие первому приближению системы (3), получаем укороченную нормальную форму. Для выделения всех первых приближений удобно использовать понятие многогранника Ньютона, введенное А.Д. Брюно. В рассматриваемых здесь задачах выделение укорочений требуется также при изучении множеств Л, заполненных периодическими решениями.

В главе 1 изучается класс систем ОДУ, возникающих при квазиклассическом описании траектории квантовой частицы в следующем после классического порядке приближения по малому параметру Л (постоянной Планка). Такие системы в концептуально оформленном виде выведены в работе В.Г. Багрова, В.В. Белова, М.Ф. Кондратьевой хотя имеются и более ранние варианты. В § 1.2 показано, что системы рассматриваемого класса можно представить в гамильтоновой форме X — з&а*11Г(Х), где оператор косого градиента порождается скобкой Пуассона на фазовом пространстве, изоморфном сумме линейного пространства К2т с обычной скобкой Пуассона и коалгебры Ли яр* (2т, К) с линейной скобкой Пуассона. Переменные из К2т имеют смысл средних значений координат и импульсов квантовой частицы, а переменные из вр*(2ш, К) — компонент матрицы дисперсий координат и импульсов. Ввиду гамильтоновой структуры системы изучаемого класса имеют первые интегралы: интеграл энергии Н(Х) и функции Казимира, число которых зависит от размерности т конфигурационного пространства. При т = 1 существует лишь один независимый интеграл Казимира 6(Х).

Основное содержание главы 1 составляет анализ системы, отвечающей одномерному (т = 1) ангармоническому осциллятору и имеющей вид

¿1 = ¿2,

¿2 = -21 - <р'{ч) - 50-п(р"'(21), ■ &ц = 2(712, (5)

¿12 = -<7ц(1 + ¥>"(21)) + <7Й = -2<712(1+<р"(г1)).

»ТМФ, 1994, т. 98, вып. 1, с. 48-55. (

Здесь Л = (t, —i, 0,2¿, -2t), т.е. имеется четырехкратный резонанс.

С помощью метода нормальной формы исследуется поведение решений системы (5) в окрестности начала координат. В § 1.3 описывается редукция пятимерной системы (5) к четырехмерной формальной системе относительно резонансных переменных вида (3), которая с использованием ивестных интегралов сводится к двумерной. В § 1.4 вычисляется первое приближение четырехмерной системы в частном случае

<p{z{)=az\k,k> 2, (6)

которое оказывается интегрируемой системой. Это означает, что укороченная нормальная форма системы (5), (6) имеет три интеграла: два отвечают интегралам энергии и Казимира исходной системы, во имеется еще дополнительный интеграл.

В § 1.5 на основании анализа укороченной нормальной формы описывается поведение решений системы (5), (6), в частности, найдено в первом приближении множество Л и охарактеризовано семейство периодических решений.

Для приложений более удобна точка зрения на систему (5) в случае (6), при которой параметр а считается малым, а система рассматривается глобально, т.е. не в окрестности начала координат. Информация о решениях укороченной и.ф. равносильна информации о поведении решений исходной системы на временах порядка а-1. Из результатов главы 2 следует, что найденный дополнительный интеграл укороченной н.ф. продолжается до формального интеграла полной н.ф. Это позволяет судить о поведении решений системы (5), (6) с малым а на временах порядка аГы, где N сколь угодно велико.

Теорема 1.1 Пусть в системе (4) с <p(z{) = azf и малым а начальные данные таковы, что ||<т(0)|| < ||г(0)||. Тогда либо это соотношение сохраняется на временах порядка 0(a~N) с любым N, либо z\ + z\ меняется между значеньями, близкими к 2Е и zi(0)2 + 22 (О)2 и 2Í5/5.

Множества начальных данных, отвечающих двум случаям теоремы 1.1, явно описаны. Для начальных данных, соответствующих предположениям, при которых система (5) выведена из уравнения Шредингера, имеет место второй случай.

В главе 2 рассмотривается сохраняющая объем (бездивергентная) система обыкновенных дифференциальных уравнений порядка п в окрестности неподвижной точки. Если система имеет интеграл в виде (хотя бы формального) степенного ряда, то после нормализующего

преобразования этот ряд состоит из резонансных слагаемых. Следовательно, знание интеграла позволяет понизить порядок к системы (3) в резонансных переменных на единицу. Рассматривается ситуация, когда исходная система имеет к — 2 (формальных) интеграла. Тогда можно провести редукцию к системе порядка 2. Свойство беэдавергентности исходной системы можно сохранить при всех дедукциях, вплоть до двумерной системы и проследить преобразования носителя системы (теорема 2.1). Поскольку двумерная бездивергентная система является системой Гамильтона, то ее интеграл есть дополнительный формальный интеграл исходной системы. Точнее, этот интеграл дается выражением, раскрытие которого приводит к ряду, содержащему степени и логарифмы переменных.

Основной результат главы 2 содержат теоремы 2.2 (описание структуры нового интеграла в переменных У) и 2.3 (то же в исходных переменных).

Теорема 2.3. Пусть бездивергентная система (1) имеет резонанс кратности к > 2 и к — 2 интеграла (может быть, формальных). Пусть вектор К £ R" лежит вне некоторого множества коразмерности 1. Тогда система (1) имеет независимый к - 1-й формальный интеграл вида

Ь(Х) = Ъо(Х) + ±Ъ(1OlogM, i-1

где bo(-2Q,..., Ьп(Х) суть формальные ряды, зависящие от выбора вектора К, члены которых упорядочены по степеням К-квазиоднороднос-ти.

Достаточные условия, при которых логарифмы отсутствуют, приведены в теореме 2.4. Этим условиям удовлетворяет система (5). Теорема 2.5 дает усиление результата теоремы 2.4 для системы (5): формальный интеграл в этом случае не содержит отрицательных показателей степеней.

В главе 3 рассматривается уравнение колебаний спутника в плоскости эллиптической орбиты

ч & 6 d6 .

(1 + е cos и) - 2е sin v~ -f р sin о = 4е sin и, (7)

впервые выведенное В.В. Белецким в 1956 г. и опубликованное им в 1959 г.2 Это обыкновенное дифференциальное нелинейное уравнение

"Сб. "Искусственные спутники Земли", вып. 3, с. 13-31.

второго порядка с 2тг-периодическими коэффициентами, зависящее от двух параметров: эксцентриситета орбиты е € [0,1) и инерциального параметра ц, характеризующего асимметричность спутника. Независимой переменной является истинная аномалия и, зависимая переменная 6 есть удвоенный угол между радиус-вектором спутника и одной из осей инерции. .

При е = 0 или ц = 0 уравнение интегрируемо. В области е<1 оно хорошо изучено методами регулярной теории возмущений. При ц = 0 уравнение линейно. Множество его решений в этом случае разбивается на семейства £то(0,е), шбй. Индекс т семейства есть удвоенное число оборотов (в абсолютной системе координат), совершаемых спутником вокруг его центра масс за один оборот по орбите. При ц ф 0 семейства Ап(/л, е) определены, по крайней мере, для целых т как семейства решений, 2?г-периодических в системе координат, вращающейся в абсолютном пространстве с угловой скоростью пш/2, где ш — угловая скорость спутника. Периодические решения уравнения (7) — это решения из семейства С?. Семейства Ст изучались численно, главным образом, при т = 2, а для малых ц — аналитически при помощи метода осреднения. Впервые метод осреднения применен к уравнению (7) в работе Ф.Л. Черноусько 3. В ней в качестве новой независимой переменной вводится средняя аномалия <, а в качестве новой зависимой переменной — резонансная расстройка х. Исходное уравнение второго порядка можно записать в виде эквивалентной системы двух уравнений, которая приводится к нормальной форме — формальной автономной системе, имеющей вид

VI = еуг,

¿2 = е? ¿»^(е,»,»). (8)

>=0

Здесь уиШ суть новые переменные, которые строятся методом осреднения, и е = ^Д/Ц. ,

При малых приведение к нормальной форме (8) позволяет решить следующие задачи: построить асимптотические разложения по ц решений исходной системы, описать периодические решения, исследовать устойчивость периодических решений. Здесь имеются в виду периодические решения в расширенном смысле, т.е. решения, принадлежащие семействам Ст с произвольными целыми т.

Ф.Л. Черноусько нашел первый член н.ф. (8)

_С?го0(е,К) = -вшу1Фт(е) (9)

'ЖВМ в МФ, 1963, т. 3, выл. 3, с. 528-538.

и вычислил график функции $2(е). Первый член Сто(е, У) не всегда является доминирующим членом ряда

(10)

]=о 4

Два случая, когда это не так, рассмотрены А.Д. Брюно в 1976 г.4 Пер- вый случай: т — 0, при этом Фт(е) = 0. Второй случай: т > 0, е близко к корню ео(т) функции Фт(е). В диссертации рассматривается еще один случай, когда для качественного анализа решений уравнения (7) приходится строить высшие приближения нормальной формы (8). Это случай, когда е —» 1. При е = 1 уравнение (7) сингулярно (коэффициент при старшей производной обращается в ноль в точке V = к). Изучение его решений численными методами в области е —> 1 сталкивается с значительными трудностями (определенный прогресс достигнут Ь недавних работах А.Д. Брюно и В.Ю. Петровича 5). Аналитические результаты для значений е, близких к 1, ранее отсутствовали.

Полный анализ осреднениях уравнений, отвечающих различным целым значениям т, в области е —* 1, \ц\ «С 1 должен включать: 1) выделение всех укорочений ряда (10), для чего следует получить оценки членов ряда при е —» 1 и построить ломаную Ньютона в плоскости показателей степеней параметров 1-е а/л; 2) вычисление коэффициентов тех членов, которые входят в укорочения. В итоге этих двух этапов получаются формальные первые приближения осредпенных уравнений. Наконец, этап 3) исследования должен состоять в получении оценок "хвостов" асимптотических разложений и в обосновании найденных на формальном уровне приближений.

Содержание главы 3 составляет частичное выполнение этапов 1 и 2 описанного плана. Изучается поведение при е —* 1 членов £?„,>• ряда (10) с $ < 2 То, что такая точность достаточна, не доказано.. Однако это минимальная точность, в которой укороченная нормальная форма приводит к результатам, согласующимся с результатами, полученным^ численным интегрированием уравнения (7).

В §§ 3.2-3.4 формулы для коэффициентов осредненного уравнения, содержащиеся в работах А.Д. Брюно4, В.А. Сарычева, В.В. Сазонова и В.А. Златоустова®, переписываются в виде, удобном для применения теории функций комплексного переменного. В исходном виде выраже-

4А.Д. Брюво. Локальный" метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М: Науха, 1979, гл.5.

'Препринты ИПМ N 4,44 за 1994 г.

«ВИНИТИ, N 904-77 Дел.

ния для коэффициентов представляют собой кратные интегралы по переменной t (или I/), пробегающей отрезок [—я-, т], в которых подынтегральные выражения вещественны и сингулярны при е —> 1. Суть наших преобразований состоит в том, что заменой независимой переменной t —► £ мы превращаем путь интегрирования в единичную окружность на комплексной плоскости, а подынтегральные выражения записываем через аналитические функции 7±(С), имеющие поточечные пределы при е —» 1, £ ф 1, и полюсы вблизи точки £ = 1, сливающиеся в этой точке при е = 1. При этом функция 7+ имеет (кратный) полюс только внутри, а функция 7_ — только вне контура интегрирования, причем коэффициенты радов Лорана в полюсах имеют конечные пределы при е —» 1. Ограниченность тех интегралов, входящих в формулы для коэффициентов Gtnjt которые выражаются только через одну из функций . 7+ или 7_ следует из возможности деформировать контур интегрирования. Для других интегралов их асимптотика при е —► 1 находится из. модельных интегралов, описывающих "взаимодействие" отдельных членов лорановских разложений в сближающихся полюсах. Это несколько огрубленное описание, поскольку на саком деле изучаемые интегралы берутся от функций, которые сами являются (кратными) интегралами функций 7±, так что разложения в особых точках содержат и степенные, и логарифмические члены.

N Предложенный аналитический метод при m = 0 позволяет получить явные формулы для коэффициентов в элементарных функциях при всех , значениях е € [0,1) ввиду того, что в этом случае у± суть рациональные функции. В § 3.5 тождество Go,i = 0, доказанное в 1977 г. А.Д. Брюно другим методом, выводится из интегральной теоремы Кохии. Первый ненулевой коэффициент есть •.

(теорема 3.2). Приведенная формула согласуется с графиком, вычисленным Сарычевым, Сазоновым и Златоустовым6.

В § 3.6 в случае произвольного т 6 Z доказано, что коэффициенты <?т0 и Gm 1 осредненного уравнения ограничены при е —♦ 1 (теорема 3.3). Асимптотика третьего члена такова. Теорема 3.4. При е —► 1

G^e, Y) = day, (-¿Ч-1 + + Ь2Т) + 0(lnij)) ,

где

т) = {1— е2)1'2.

В § 3.7 проводится стыковка аналитических результатов с численными данными на основе рассмотрения так называемых критических периодических решений. Известно, что множество Л периодических решений вблизи значения ц = 0, описываемое уравнениями yi — О, Gm(p,e,2/i,0) = 0, при любых р, е, т содержит компоненту j/j = yj = 0, соответствующую нечетным периодическим решениям. Найденное укорочение нормальной формы до пордцка 5 по е дает другую компоненту множества Л при е —► 1, ц —» 0 проекция которой на плоскость е, т имеет границу с асимптотикой |/i| ~ const • (1 - е)3'8. (Из теоремы 3.4 следует асимптотическая формула с тремя членами.) Одновременно эта кривая является границей областей устойчивости нечетных периодических решений. Ее численное исследование (при m = 2) вплоть до значений 1 - е и Ю-5, выполнено А.Д. Брюно и В.Ю. Петровичем.5 Для значений 1 — е « 10~8 4- Ю-4 расхождение численных результатов с асимптотической формулой не превышает 5%.

В § 3.8 обсуждается численный метод для нахождения коэффициентов н.ф. (8) при помощи интегрирования в комплексной плоскости. Ранее численное нахождение коэффициентов н.ф. проводилось путем интегрирования по отрезку вещественной оси \—тг,тг) или [0, 2тг]. При значениях эксцентриситета примерно 0.8 и более точность вычислений невелика ввиду того, что в комплексной плоскости вблизи пути интегрирования подинтегральные функции имеют особенности. Выражения для коэффициентов Gmо и Gm\ в (8) удается записать так, что особенность подинтегрального выражения лежит только с одной стороны пути интегрирования. Следовательно, отодвигая в комплексной плоскости путь интегрирования от особенности, мы регуляризуем процедуру вычисления. С дальнейшими Коэффициентами дело обстоит сложнее, поскольку путь интегрирования проходит между сближающимися при е —► 1 особенностями, и никаким шевелением это исправить нельзя. В этом случае можно воспользоваться найденным явным описанием разложений подинтегральных функций в особых точках.

В § 3.9 подробно изучается функция Фт(е), входящая в первый коэффициент нормальной формы. Для нее найдены различные аналитические представления, на основании которых получены эффективные численные алгоритмы и составлены таблицы Фт(е) с большим числом знаков. Найдены предельные значения Фт(1) в виде конечных сумм

функций Бесселя (теорема 3.5):

Ml) = ? [ ■-1 + Ч™) + Тш ^ - 2 Е1 ЛМ - Jm-i(m)

3 V о . *-»

Выведены простые рекуррентные формулы для коэффициентов разложения Тейлора в точке е = О, что дало возможность легко проверить вычисленные ранее отрезки разложений.

В § 3.10 найдена асимптотика функций Фт(е) и их нулей при т —► оо (теорема 3.6). Мы проводим вычисления, следуя стандартной схеме, изложенной в книге М.В. Федорюка "Метод перевала" (гл. 6). В данном . случая имеет мёСто сильное; вырождение: слияние вырожденной точки перевала и полюса кратности 4. Специальная функция; возникающая при вычислении модельного интеграла с такой особенностью и обозначенная в § ЗЛО через glj, вероятно, является новой.

Результаты § 3.10 и вычисления по формулам § 3.9 показывают су-■ хцественные неточвости в графиках функций Фт(е) , построенных численно Лутце (F. Lutze) и Аббнтом (М. Abbit)7, в области е —> 1 при •3 < то < 14, . .

Настоящая работа .частично подержана Российским фондом фундаментальных . исследований, грант 93-01-16045.

Публикации по теме диссертации "Основное содержание диссертации опубликовано в 9 работах:

1. S.Yu. Sadov. A study of a finite-dimensional dynamical system approximating the evolution of quantum averages. - Abstracts Int. Conference on Hamiltonian Mechanics, ТЬгий (Poland), 1993.

2. S.Yu. Sadov. A study of a finite-dimensional dynamical system approximating the evolution of quantum averages. - Hamiltonian Mechanics. Integrability and Chaotic Behaviour. NATO ASI Series. Ser. B: Physics, v. 331, Plenum Press, N.-Y.: 1994, pp. 413-420.

3. S.Yu. Sadov. Integrability of a system connected with the Schrodinger equation; - Abstracts Int. Conference DEBC-94 (Katsiveli, Crimea). Inst, of Math. Ukr. Ac. Sc. Kiev, 1994, p. 88.

4. А.Д. Брюно, С.Ю. Садов. О системе ОДУ, связанной с уравнением Шредингера. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша, 1994, N 49. 31 с.

'Celest. Meet., 1969, v. 1, N 1, р. 31-35.

5. С.Ю. Садов. О динамической системе, возникшей из одной конечномерной аппроксимации уравнения Шредиигера. Матем. заметки, 1994, т. 56, вып. 3. С. 118-133.

6. С.Ю. Садов. Анализ функции, определяющей устойчивость вращения почти симметричного спутника. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша, 1994, N 84. 31 с.

7. А.Д. Брюно, С.Ю. Садов. О формальном интеграле бездивергентной системы. Матем. заметки, 1995, т. 57, вып. 6. С. 803-813.

8. С.Ю. Садов. Коэффициенты осреднепного уравнения колебаний спутника. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша, 1995, N 27. 31 с.

9. С.Ю. Садов. О применении метода осреднения в сингулярном случае. - Тезисы докладов конференции "Современные методы нелинейного анализа"; Воронеж, 1995. С. 79-80.

J