Анализ распространения волн и вынужденных колебаний в трехслойных пластинах сотовой структуры при параметрической модуляции жесткости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Глава 1. Введение. Обзор литературы. стр.

1.1 Общая формулировка задачи контроля вынужденных колебаний конструкций. Активный и параметрический контроль. стр.

1.2 Основы теории сотовых пластин. стр. в

1.3 Обоснование структуры работы. стр.

Глава 2. Распространение волн в бесконечной сотовой пластине в условиях цилиндрического изгиба. стр.

2.1 Кинетическая и потенциальная энергия пластины. стр.

2.2 Вывод уравнений колебаний и граничных условий.

Принцип Гамильтона. стр.

2.3 Анализ дисперсионного уравнения. стр.

2.4 Сравнение описания динамики слоистых пластин в различных теориях. стр.

Глава 3. Применение метода многих масштабов в задаче о распространении волн в сэндвичевой пластине в условиях цилиндрического изгиба. стр.

3.1 Концепция применения метода многих масштабов к анализу распространения волн в сэндвичевой пластине с модулированной жесткостью. Выбор пространственной формы стоячей волны модуляции жесткости, стр.

3.2 Вывод модуляционных уравнений при параметрическом контроле жесткости. стр.

3.3 Анализ распространения волн при пространственно-временной модуляции жесткости. стр.

3.4 Анализ распространения волн при пространственной и временной модуляции жесткости. стр.

3.5 Влияние потерь в материале слоев пластины на эффективность контроля распространения волн. стр.

Глава 4. Применение метода многих масштабов в задаче о распространении волн в бесконечной сэндвичевой пластине, погруженной в жидкость, стр.

4.1 Формулировка задачи связанной стационарной гидроупругости. стр.

4.2 Анализ дисперсионного уравнения для сэндвичевой пластины, погруженной в жидкость (цилиндрический изгиб). стр.

4.3 Анализ распространения волн при пространственной, временной и смешанной модуляции жесткости. стр.

Глава 5. Применение метода прямого разделения движений в задаче о колебаниях сотовой пластины в условиях цилиндрического изгиба. стр.

5.1 Анализ спектра собственных частот и собственных форм колебаний шарнирно опертой сотовой пластины. стр.

5.2 Вынужденные колебания шарнирно опертой сотовой пластины при параметрическом контроле жесткости. стр.

5.3 Анализ частот свободных колебаний шарнирно опертой сотовой пластины с параметрическим контролем жесткости. стр.

5.4 Прямое численное интегрирование исходных уравнений движения пластины с контролируемой жесткостью. стр.

5.5 Сравнение энергии резонансных колебаний пластины с энергией "скрытых" движений среднего слоя пластины. стр.

Данная глава служит в качестве предисловия. Она содержит в п. 1.1 краткое изложение основных понятий теории активного контроля вибрации и теории динамических материалов. Основы теории сотовых пластин в форме, предложенной в работах [1,3,6] кратко изложены в п. 1.2. Пункт 1.3 содержит обоснование структуры работы.

1.1 Общая формулировка задачи контроля вынужденных колебаний конструкции. Активный и параметрический контроль.

Контроль колебаний упругих конструкций является одной из важных задач, которая в последнее время все больше привлекает внимание исследователей [7,13,19,21,25,37,48]. Задача о снижении уровня колебаний различных конструкций в различных областях техники становится все более актуальной в связи с ужесточением технологических требований, предъявляемых условиями эксплуатации. Предметом диссертационного исследования является анализ возможностей активного контроля распространения волн в сэндвичевых пластинах бесконечной протяженности и вынужденных колебаний сотовых пластин конечной длины в вакууме и в контакте с жидкостью с учетом и без учета демпфирования. Цель диссертационной работы состоит в разработке теоретической модели активного контроля вибрации трехслойных пластин при помощи параметрической■X.модуляции их жесткости в рамках концепции приспосабливающихся "динамических" материалов.

В последнее время существенное развитие получили исследования, относящиеся к применению так называемых приспосабливающихся материалов (smart materials) в различных областях техники [4,5,29,30,39,41,42,53,54,55,56]. Существо поведения такого материала состоит в том, что его реологические свойства (инерционные,жесткостные и демпфирующие) могут меняться заданным образом в соответствии с условиями внешнего воздействия на конструкцию, которая из него изготовлена. По-видимому, впервые идея применения такого материала для активного контроля распространения волн была сформулирована в [29,30,41,42], а в [39,54,56] были представлены некоторые результаты расчетов, показавшие возможность подавления как резонансных колебаний, так и распространения волн. Результаты теоретического исследования контроля вибрации конструкций, изготовленных из "динамических" материалов, приведены в работах [9, 11,12,54, 56].

Целью активного контроля вибрации является снижение уровня колебаний механической системы при помощи автоматического изменения ее динамического поведения.

В теории активного контроля вибрации (как и в самой теории колебаний) различают задачи, сформулированные для систем с конечным числом степеней свободы, и задачи для континуальных систем (систем с распределенными параметрами) [37]. В первом случае необходимо решать систему обыкновенных дифференциальных уравнений по времени, во втором - систему дифференциальных уравнений в частных производных, которая описывает колебательный процесс во времени и в пространстве. Другими словами, континуальная конструкция характеризуется не дискретным, а непрерывным распределением инерционных, жесгкостных и демпфирующих свойств. Существует несколько альтернативных способов описания поведения систем с распределенными параметрами, которые соответствуют формулировке исходных уравнений. Один из них состоит в представлении поля перемещений конструкции при ее колебаниях в виде разложения по формам свободных колебаний данной конструкции (так называемый "модальный" подход), другой сводится к формулировке колебательного процесса в виде суперпозиции волн различного типа, которые существуют в данной конструкции (такназываемый "волновой" подход). Выбор наиболее удачного способа j описания вибрации, при котором требуется использование минимального числа параметров, существенно зависит от геометрии конструкции, способа ее закрепления и частоты возбуждения колебаний.

Применение этих двух способов описания вибрации систем с распределенными параметрами связано с различными подходами к активному контролю колебаний. Очевидно, что первый из них связан с контролем колебаний по собственным формам конструкции. Активное уменьшение амплитуд колебаний по этим собственным формам приводит к уменьшению осредненных за период колебательных скоростей на поверхности всей конструкции и такой подход можно назвать "глобальным". В то время, как контроль колебаний по собственным формам соответствует более-менее одинаковому подавлению вибрации по всей конструкции, активный контроль распространения волн обычно применяется в тех случаях, когда необходимо следить за потоками энергии между частями составных и, возможно, неоднородных конструкций. Такие задачи возникают, например, когда в некоторой части конструкции имеется сосредоточенный источник вибрации, а особенно чувствительный к ней элемент конструкции помещен в другой ее части, причем эти две части соединены между собой сравнительно длинным элементом, по которому энергия может переноситься ограниченным числом волн. Таким образом, в активном контроле волн главным является подавление распространения вибрации, а не глобальное уменьшение амплитуд колебаний всей конструкции. Следует заметить, что подавление распространения вибрации в некоторую часть конструкции может привести к большей интенсивности колебаний других ее частей и, таким образом, не способствует "глобальному" контролю. В данной работе будет рассмотрен как "волновой", так и "модальный" контроль. При этом будет рассмотрена только модуляция жесткости, вто время как инерционные и демпфирующие свойства "динамического" материала предполагаются неизменными. Такое ограничение класса динамических материалов по сравнению с рассмотренными в [41, 42] связано с тем, что практически модуляция жесткости может быть осуществлена, например, при помощи изменения пространственной ориентации микровключений в средний слой сэндвичевой пластины, которое модифицирует его жесткость, оставляя без изменения погонную массу. Одновременная модуляция массы и жесткости в принципе возможна, но ее практическая реализация более сложна (см. [39]) и здесь рассматриваться не будет.

Следует отметить, что "динамические" материалы обладают ярко выраженными адаптивными свойствами, позволяющими в зависимости от условий возбуждения изменять параметры модуляции жесткости. Например, если необходимо предотвратить распространение волны в пластине на некоторой частоте возбуждения, то, как будет показано в п. 3.3, нужно задать определенную частоту и пространственную форму пространственно-временной модуляцию жесткости. Если та же конструкция оказывается в условиях возбуждения на другой частоте, то соответствующая модификация пространственно-временной модуляции ее жесткости позволит и в этом случае предотвратить распространение волны.

Название "динамические" материалы указывает на то, что их функционирование предполагает использование так называемых "скрытых" степеней свободы (соответствующих микроструктуре материала), движение по которым и делает возможным изменение реологии на макроуровне. В случае, который рассматривается в данной работе, микродвижения соответствуют стационарным колебаниям элементов среднего слоя сотовой пластины. Эти колебания характеризуются амплитудой и частотой, которые, как показано в п. 4.5, определяют поведение пластины. Таким образом оказывается, что жесткостные свойства пластины характеризуются не толькогеометрическими и жесткостными параметрами слоев пластины, но иjэтими двумя параметрами скрытого движения, которые в [29,30] предложено называть параметрами "вибрационной реологии".

1.2 Основы теории сотовых пластин.

Трехслойные конструкции широко используются в судостроении, авиастроении и других областях техники [1,2,3,6,8,27,28,47,59]. Они состоят из двух однородных относительно тонких жестких внешних слоев и изотропного, толстого среднего слоя или заполнителя. Применяемые заполнители имеют самую разнообразную структуру: сплошные заполнители из легкого изотропного материала, различные реберные заполнители, в частности, заполнители, имеющие сотовую структуру. Примеры таких заполнителей приведены на рис. 1.1.

Ю Щ(а) (Ъ) (с)Рис. 1.1Пластины такого строения широко применяются в различных областях техники, так как наличие сотового слоя позволяет обеспечить достаточно большую изгибную жесткость при небольшом весе конструкции.

В данной диссертации рассматривается трехслойная пластина, средний слой которой имеет сотовую структуру (рис. 1.1с).

Средний слой состоит из трех систем параллельных пластин, которые образуют углы q> j = l,3, с положительным направлением оси ох. Этиуглы выбраны следующим образом: (pt (р2--, <р3=0. В этомслучае элементы среднего слоя представляют собой правильные шестигранные призмы (рис. 1.2).

Рис. 1.2Продольное сечение среднего слоя плоскостью, перпендикулярной оси oz, показано на рис. 1.3.

Использование такой постановки позволяет описать движение сотовой пластины системой двух дифференциальных уравнений шестого порядка с постоянными коэффициентами. Детальный вывод этих уравнений из условия стационарности гамильтониана представлен в пункте 2.1.

1.3 Обоснование структуры работы.

Данная работа имеет следующую структуру. В главе 2 представлены решения задачи о распространении волн в бесконечной трехслойной пластине, полученные в рамках трех теорий: теории упругости, теории сэндвичевых пластин и теории сотовых пластин. Выведены ипроанализированы дисперсионные уравнения, полученные в разкахiэтих теорий. Сопоставление полученных результатов показывает возможность использования любой из них.

Глава 3 является центральной главой диссертации. В ней показана возможность предотвращения распространения волн в сэндвичевой пластине в условиях цилиндрического изгиба за счет определенным образом создаваемой модуляции жесткости. Этот главный теоретический результат получен при помощи метода многих масштабов. Рассмотрены альтернативные способы модуляции и проведено сравнение их эффективности. Кроме того, в этой главе рассмотрено подавление распространения волн за счет внутреннего демпфирования и на его основе предложена концепция эквивалентного демпфирования, создаваемого модуляцией жесткости. В главе 4 предлагаемый способ контроля распространяется на случай колебаний пластины в контакте с несжимаемой жидкостью. Представлена общая формулировка задачи связанной стационарной гидроупругости. Проведен анализ дисперсионного уравнения для сэндвичевой пластины, погруженной в жидкость. Для решения задачи используется метод многих масштабов и показано, что контакт с жидкостью не препятствует устранению распространения волн в пластине предлагаемым способом.

Глава 5 посвящена свободным и вынужденным колебаниям сотовой пластины в условиях цилиндрического изгиба в отсутствии и при наличии модуляции жесткости. В данной главе содержится анализ спектров собственных частот и форм колебаний, рассмотрены вынужденные колебания пластины, а также влияние значений параметров пластины на частоты ее свободных колебаний при наличии модуляции жесткости. С целью проверки полученных результатов проведено прямое численное интегрирование уравнений движения. Для того, чтобы пояснить существо механизма контроля рассматривается динамика отдельной сотовой ячейки среднего слоя пластины.

Представлено сравнение энергии "скрытых" движений ячеек сотовогоIслоя пластины с энергией резонансных колебаний пластины. Полученные результаты демонстрируют эффективность предложенного метода контроля.

Глава 2. Распространение волн в бесконечной сотовой пластине в условиях цилиндрического изгиба.

Прежде чем приступить к решению задачи о распространении волн в сотовой пластине с модулированной жесткостью, необходимо провести описание распространения волн в пластине в отсутствие модуляции жесткости.

В пункте 2.1 выведены кинетическая и потенциальная энергии сотовой пластины. В пункте 2.2 получена система разрешающих уравнений динамики сотовой пластины из условия стационарности ее гамильтониана. В пункте 2.3 проведен анализ распространения однородных волн в сотовой пластине в отсутствие модуляции жесткости при | заданной частоте возбуждения. В пункте 2.4 проведено сравнение результатов, полученных при использовании теории сотовых пластин и сэндвичевых пластин в отсутствие модуляции жесткости, а также сравнение с результатами теории упругости.

2.1 Кинетическая и потенциальная энергия пластины.

Рассматривается сэндвичевая пластина, средний слой которой имеет сотовую структуру, показанную на рис. 1.1с. Для удобства ее описания введены следующие безразмерные параметры [1,3,6]:Е ЕЕ = —- - отношение модулей упругости внутреннего иЕ, Е2внешнего слоев,р = — = — - отношение плотности пластин, формирующих Pi Р2ячейки среднего слоя к плотности крайнего слоя,с — — - безразмерный параметр толщины, где с; =0.5h3.

Удельная (приходящаяся на единицу длины и ширины) потенциальная энергия рассматриваемой пластины представляет собой сумму удельных потенциальных энергий каждого слоя, тоесть П= ink.к=1Удельная потенциальная энергия внешних слоев может быть записана в виде суммы интегралов [6]-с,п=1 \Е2-с,-И(ди да ici+hiс, -7T--Zдх ' дх Qy^1 2 '1 ' 1) с<ди да d2w—+с. -—--zдх дхdz (2.1.1)Здесь w - поперечное перемещение элемента балки в направлении оси z, а- угол сдвига между срединными поверхностями внешних слоев, и - продольное перемещение точек срединной поверхности.

После интегрирования выражение для потенциальной энергии принимает следующий вид:Пк=1внк(ек)2+1онк(кк)2, к = 1,2 (2.1.2)Здесь Внк = - мембранная жесткость, Dm =—1-П2 I2[l-vk2изгибная жесткость, hk - толщина А:-ого слоя, vk - коэффициент Пуассона, Ек - модуль Юнга к -ого слоя. Относительная осевая деформация внешних слоев определяется следующим образом [6]du daк,duda£2 dx 1 dx' h2 CI+Y \K2(2.1.3)Kk =d2w- деформация изгиба, к = 1,2.

Удельная потенциальная энергия среднего слоя имеет вид [6]вюduKdxj+ DHida d2w dx fa2X XjCOs4<pJ + 2c1G3a2 £ Xjcos2(pjj = i(2.1.4)Жесткостные параметры среднего слоя определяются следующимг. п 2с,Е3 „ 2с,3Е3 „ Еобразом В„,=—Dl„=—r1—G' ИЗ 7 ' "113 1-V/3 J-v/W+^Jмодуль сдвигав среднем слое.

2.2 Вывод уравнений колебаний и граничных условий. ПринципГамильтона.

Дифференциальные уравнения движения пластины получены из условия стационарности гамильтониана [4,16] t,iH=\)(K-n)dxdt (2.2.1)hoФормула (2.1.6) для кинетической и формулы (2.1.2), (2.1.4) для потенциальной энергии должны быть поставлены в функционал (2.2.1) и его вариация должна быть приравнена к нулю. После чего проводится стандартная процедура интегрирования по частям, в результате которой дифференцирование вариаций обобщенных перемещений заменяется дифференцированием самих перемещений. Равенство нулю выражений стоящих под знаком интеграла и являющихся коэффициентами перед одноименными вариациями позволяет записать условия стационарности гамильтониана как дифференциальные уравнения движения пластины. Равенство нулю внеинтегральных членов формируют граничные условия к ним.WЕсли ввести в рассмотрение безразмерный прогиб w --- раш иhiX амбезразмерную осевую координату х= разм то дифференциальныеhiуравнения будут иметь вид:DнзЯ жYj?4COS4(pjw"j=I-2' /у DH, + шbmhi2WIV +DH3bhlh,2NY^XjCOS4 (p jtt' j=l+ 2c•4a+ 7?w7я hi 2 Вa -HIВ-w = q" кHI(2.2.2a)Я5лгYJAjcos4q)jw"j=iг Л-2c| c+wm+DнзBHlWNYjXjCos (р^а'П+2c2a1 IВhi j=i2 ВHIВHI(2.2.2b)В уравнениях (2.2.2a) и (2.2.2b) учтено действие нормальной к срединнойi поверхности пластины распределенной нагрузки qw.\В силу симметричного строения балки выполнены следующие равенства В hi = В i,2' Dm = Dm, и продольное перемещение и оказывается несвязанным с поперечным перемещением w и углом сдвига а.

Волновые числа, имеющие положительные вещественные части, описывают распространение волн в положительном направлении оси х. (слева направо). Волновые числа, имеющие отрицательные вещественные части, описывают распространение волн в противоположном направлении (справа налево). В силу симметрии задачи достаточно рассмотреть одну из групп волн. Ограничимся рассмотрением первой группы волн.

Так как величина волнового числа найдена из условия равенства нулю определителя системы двух алгебраических уравнений относительно Rj и R2, то описание волны требует также нахождение модального коэффициента, который показывает какой из видов перемещений, поперечное или сдвиговое, является доминирующим и вычисляется как отношение амплитуд этих перемещений в рассматриваемой волне. Модальный коэффициент может быть найден из любого из двух алгебраических уравнений, равенство нулю определителя которых формирует дисперсионное уравнение. Для каждой комбинации (к, со) справедлива следующая формула для нахождения модального коэффициента(2.3.6)На рис. 2.1 показана зависимость волнового числа к от безразмерногочастотного параметра' coht Л, где с о = ^ Е, / p,[l-V/2) - скорость звука в"о ;материале внешних слоев.cohi0.09 СРис. 2.1Данный график построен при следующих значениях параметров сотовой пластины Е = 0.1, р = 1, с = 5, V]-v2 =v3 =0.3. График на рис. 2.2 представляет собой зависимость модального коэффициента отf coh, Лчастотного параметра 'МРис. 2.2Видно, что значения модального коэффициента существенно больше единицы, что свидетельствует о том, что ветвь дисперсионной кривой нарис. 2.1 описывает преимущественно изгибную распространяющуюсяjволну. Этот результат соответствует результату теории пластин Кирхгоффа, в которой всегда существует такой тип распространяющейся волны.

В рассматриваемой пластине существует еще одна распространяющаяся волна. На рис. 2.3 показана зависимость волнового числа к отбезразмерного частотного параметраcoh,У оcohl0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08Рис. 2.3Значения модального коэффициента, построенного на рис. 2.4 существенно меньше единицы. Это означает, что ветвь дисперсионной кривой на рис. 2.3 описывает преимущественно сдвиговую распространяющуюся волну.мРис. 2.4Отметим также, что данная волна характеризуется наличием частоты = 0.022, то есть частоты, начиная с которой значениеотсечки1cohl ^спv-О ;волнового числа становится чисто вещественным.

Дисперсионные кривые на рис. 2.1 и рис. 2.3 хорошо согласуются с дисперсионными кривыми, полученными при решении уравнений теории упругости в низкочастотном диапазоне [34,36,40,44,45].

2.4 Сравнение описания динамики слоистых пластин в различныхтеориях.

Как было упомянуто в п. 1.1 эффект модуляции жесткости в сотовойIпластине, осуществляемый путем изменения углов между пластинами, составляющими сотовый заполнитель, позволит избежать распространения резонансных бегущих волн в пластине. Использование модели сотовой пластины позволяет достаточно подробно описать механизм создания модуляции жесткости и такая модель будет использована в пункте 5.5. В данном пункте диссертации для того, чтобы дать качественное описание распространения волн в слоистой пластине будет использована более простая модель сэндвичевой пластины. Предлагается сравнить результаты, полученные при использовании теории сотовых пластин и сэндвичевых пластин в отсутствие модуляции жесткости. Поскольку используемая теория гомогенизированных сэндвичевых пластин является приближенной, предлагается также сравнить результаты, полученные при ее использовании с результатами теории упругости.

Приведем описание модели сэндвичевой пластины, которая будет использоваться в дальнейшем [22]. Внешние слои пластины изготовлены из однородного материала, имеющего постоянные параметры жесткости. Средний слой пластины состоит из пенообразного наполнителя. Привыводе уравнений движения пластины используется теория сэндвичевых пластин, в которой основными независимыми неизвестными являются прогиб всего пакета слоев и угол сдвига между лицевыми слоями. Уравнения движения пластины были получены в [49,50,51,52] и имеют вид(D^Xxj))' -I,w"{x,t)+ mw(x,t)-(r(w'(x,/)+0(x,t))) =qw{x,t)(2.4.1a)D2e\x,t)-r(w'(x,/)+в{х,()) 12в(х, t) = -q(j (x,t) Коэффициенты имеют следующий вид(2.4.1b)EiK <12 1-v'2+e3JE.h2 l-v<1+£JГ =E,h, 1^li2(7+v)1+eУm= PihiI, =Prf'122 + e3;I2=2+—Уf j\21 + £Также как и для случая сотовой пластины, чтобы проанализировать волновые процессы в сэндвичевой пластине, необходимо сначала получить и решить дисперсионное уравнение, устанавливающее связь между частотой и волновым числом. Затем построение модальных коэффициентов для каждой из распространяющихся волн позволит установить какой из видов перемещений, поперечное или сдвиговое, является доминирующим.

Чтобы получить дисперсионное уравнение приравняем к нулю нагрузочные члены в уравнениях (2.4.1а) и (2.4.lb). Тогда решение полученной системы уравнений представляется в виде w(x, t)Lj• exp(ikx - icot)в(х, t)=L2 ■ exp(ikx - icot) (2.4.2)Подставим решение (2.4.2) в систему уравнений (2.4.1). ДисперсионноеIсоотношение получено из равенство нулю определителя системы, который имеет видSU s12 S2I s22= 0Компоненты определителя вычисляются по следующим формуламs11 =—к4 122+——к2 12( coh ^22++(i-v)f, 1л21+-\ £jеук2 2+— V е.coh.'о*12 =S2l =2(1-v)1+v Sjеукеукs22=--k2(1-v)еу+— 2 2coh,v о(2.4.3а) hВ формулах (2.4.3а) введены следующие безразмерные параметры е = —h3Рч- параметр толщины, д=— - отношение плотностей среднегоPiиЕзкрайнего слоев, у = —±- - отношение модулей упругости среднего иEiкрайнего слоев.

Как и в случае сотовой пластины, дисперсионный полином имеет шесть корней для заданной частоты возбуждения. Из них рассматриваются только те корни, мнимая часть которых равна нулю. Модальный коэффициент строится как отношение амплитуд изгибных и сдвиговых перемещений в рассматриваемой волне и вычисляется по следующей формулеS22(2.4.3b)На рис. 2.5 представлена зависимость волнового числа к отбезразмерного частотного параметра( cohj Лv с0 / где C0=-Je,/pj\[-V12) скорость звука в материале внешних слоев.cohl0.01 О.С£ 0.03 0.04 0.05 0.06 сРис. 2.5График на рис. 2.6 представляет собой зависимость модальногокоэффициента от частотного параметра/ mhj Лсп V о. Значение модальногокоэффициента существенно больше единицы. Это означает, что ветвь дисперсионной кривой на рис. 2.5 описывает преимущественно изгибную распространяющуюся волну.моРис. 2.6Также как и в сотовой пластине, в сэндвичевой пластине кроме изгибнойjраспространяющейся волны существует еще одна распространяющаяся волна.

На рис. 2.7 представлена зависимость волнового числа к от частотного coh, ^параметра —-.v о уРис. 2.7Данная ветвь дисперсионной кривой описывает преимущественно сдвиговую распространяющуюся волну, так как значение модальногокоэффициента, зависимость которого от частотного параметра представлена на рис. 2.8, меньше единицы.coh,К со ).03 0.04 0.05 0.06 сРис.2.8Все графики построены при следующих значениях параметров е = 0.05, 3 = 0.1, у = 0.01, v;=v2=v3 =0.3.

В данной главе диссертации рассматривается распространение изгибных и сдвиговых волн в бесконечно длинной сэндвичевой пластине с модуляцией жесткости. Рассматривается стационарное распространение сравнительно низкочастотных возмущений, длина волны которых заметно превосходит характерные размеры микро -включений. Как обсуждалось в п.1.1 одним из возможных способов контроля возникающих в сэндвичевой пластине распространяющихся волн является изменение жесткости среднего слоя пластины. Целью исследования, представленного в данной главе, является определение условий, при которых модуляция жесткости позволяет подавить распространение волн. Возможности контроля распространения изгибных волн в пластинах, изготовленных из "приспосабливающихся" материалов были обсуждены в статьях [39,41,55]. Для решения поставленной задачи используется метод многих масштабов, который применяется как по пространственной, так и по временной координате. Модуляции жесткости пластины проводятся на главном параметрическом резонансе.

В пункте 3.1. обоснование возможности применения метода многих масштабов. В пункте 3.2 представлен вывод модуляционных уравнений при параметрическом контроле жесткости. В пункте 3.3 проведен анализ распространения волн при пространственно-временной модуляции жесткости. В пункте 3.4 проанализированы результаты, полученные для случая пространственной и временной модуляции жесткости.

3.1 Концепция применения метода многих масштабов к анализу распространения волн в пластине с модулированной жесткостью.

Выбор пространственной формы стоячей волны модуляциижесткости.

Выбор функции у{ представляет собой предмет специальногоисследования. В данной работе рассматривается простейший случай стоячей волны модуляции жесткости, которая имеет видУ[ Уi cos 'cos Iх ' где У1 ' амплитуда модуляции. (3.1.6)Выбор частоты модуляции жесткости ш и волнового числа модуляции жесткости г] также не является единственным. Мы рассматриваем модуляции жесткости на главном параметрическом резонансе, причем волновое число пространственной модуляции удовлетворяет условию параметрического резонанса [17] на соответствующей ветви дисперсионной кривой.

РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БЙЬЯИСТЕХ*т = 2(о + ц ■ отц = 2к{со)+ц ■ а( (3.1.7)Для учета возможности незначительных отклонений частоты модуляции йг и волнового числа модуляции жесткости г) от условий главного параметрического резонанса, в формулах (3.1.7) введены в рассмотрение два малых параметра ат и. В дальнейшем будем называть ихвременным и пространственным параметрами настройки соответственно.

3.2 Вывод модуляционных уравнений при параметрическом контролежесткости.

Как было сказано в пункте 3.1, мы ограничиваемся рассмотрением двучленного асимптотического разложения, удерживая члены порядка/и /л'. Учитывая это, производные в системе (3.1.1) вычисляются по следующим формуламdw dwn 8w, dwnдх дх дх д^д2м> д2м>0 д2м>, d2w0-—г =-+М-г-+3|И-=-агдх2 дх2 дх2 дхд{d3w d3wn d3w, d3wn -+M-r+j/*дх3 дх3 дх3 дх2д{d2w d2w0 d2wj d2w0 dt2 dt2 и dt2 M dtdTd4w d4wn d4w,. d4wn - + ц-j- + 4fi- "дх4 дх4 дх4 дх3д£d4w d4Wn d4w, d4w0 d4w0dx2dt2 дх 2dt2 dx2dt2 dx2dtdT dxd&t2(3.2.1)Подставляя формулы (3.2.1) в систему уравнений (3.1.1) и собирая члены порядка ц0, получим систему двух линейных однородных дифференциальных уравнений, при решении которой устанавливается зависимость функций w0(x,t, £ Т ) и 00 (х, t,£,T) от "быстрых" координат{x,t).

Из опыта применения метода многих масштабов известно, что достаточно рассмотреть только две системы уравнений. Результаты, полученные при решении этих систем уравнений, будут совпадать. Мы ограничиваемся рассмотрением системы уравнений относительноамплитуд {а1,а'о) и (A,i,IJ).

Подставляя (3.2.13) в уравнение (3.2.10), получим квадратное уравнение/Г \относительно щtvhjУ со )( Г \ а2 /tuhjarj У Со У+at]r mhj Лv о■ (атЬ - а%а)+ с2 =0(3.2.14)/ /Уравнение может иметь вещественные и комплексные корни в зависимости от знака дискриминанта.D=(baT-a(X^-4c2 (3.2.15)Значение дискриминанта, в свою очередь, для каждой ветви дисперсионной кривой зависит от параметров пластины, а также от частоты возбуждения.

Если дискриминант D>0, то корни уравнения вещественные и волна модуляции распространяется в пластине.

Приведем несколько очевидных замечаний, которые возникают при анализе дискриминанта уравнения (3.2.15).

Как видно из формулы (3.2.15) распространяющаяся волна становится1затухающей и в случае, когда выполнено соотношение Ьсгт-аа^ =0, которое в свою очередь может быть переписано как а^ = <тт = 0 (то есть вслучае точной настройки модуляций жесткости), илиат а а^ ЪЛегко видеть также, что коэффициент с в формуле (3.2.15) пропорционален амплитуде модуляции жесткости yj. Это означает, чтов отсутствии модуляции жесткости, то есть при yj =0 дискриминантвсегда положителен, D>0 и, следовательно, нет возможности подавить распространение волны.

3.3 Анализ распространения волн при пространственно-временноймодуляции жесткости.

В пункте 3.2 было показано, что вопрос о возможности подавления распространяющихся волн сводится к исследованию знака дискриминанта (3.2.15), который в свою очередь, зависит не только от параметров пластины, но и от величины параметров настройки, амплитуды модуляции жесткости и частоты возбуждения. Проанализируем результаты, полученные в случае пространственно-временной модуляции жесткости.

На рис. 3.1 - 3.4 представлена зависимость дискриминанта от частотногоah.параметра Q =ч с0. Все кривые построены при следующих значенияхпараметров у = 0.01, 6 = 0.1, в = 0.05, v = 0.3, у1] =0.1у. При этом рассматривается случай о, =оу =0.0001 и а^=ат =0.001.

Кривые на рис. 3.1 и рис. 3.2 построены для преимущественно изгибной волны в первом диапазоне частот, где существует только одна распространяющаяся волна.

Видно, что возможно подавить распространение изгибной волны, если частотный параметр, на котором она возбуждается удовлетворяет неравенству Q> 0.00047 для случая о =0.0001 (рис. 3.1), и Q> 0.0013для случая <т =ат =0.001 (рис. 3.2).оРис. 3.1Рис. 3.2Из сравнения этих рисунков видно, что увеличение параметров настройки приводит к тому, что диапазон частот, в котором происходит подавления распространения волны сужается.

Как было показано в пункте 2.4, в высокочастотном диапазоне существует две распространяющиеся волны. Кривые 1,2 на рис. 3.3 построены для преимущественно изгибной распространяющейся волны. Кривая 1 соответствует случаю а =оу =0.0001, кривая 2 - о =ат =0.001.DРис. 3.3Как в первом, так и во втором случае распространение волны может быть подавлено.

Кривые 1,2 на рис. 3.4 построены для преимущественно сдвиговой волны, которая может распространяться в пластине при условии, что частота ее возбуждения больше, чем частота отсечки.DРис. 3.4Распространение этой волны может быть подавлено во всем рассматриваемом диапазоне частот при а^ =ат =0.0001. Этому случаюсоответствует кривая 1. А при увеличении значения параметров настройки, то есть в случае, когда = ат =0.001, эффект достигается привыполнении неравенства Q > 0.0246.

Таким образом показана принципиальная возможность применения модуляции жесткости для подавления распространения волн.

Проведенный анализ также показывает, что механизм подавленияiраспространения волн, связанный с применением пространственно-временной модуляцией жесткости оказывается весьма сильно зависящим от параметров настройки модуляции жесткости.

3.4 Анализ распространения волн при пространственной и временноймодуляции жесткости.

В данном пункте рассматриваются результаты, полученные при применении метода многих масштабов к задаче о распространении волн в сэндвичевой пластине при наличии чисто пространственной и чисто временной модуляции жесткости.

Кривые на рис. 3.6 построены для преимущественно изгибнои волны, наjрис. 3.7 - для преимущественно сдвиговой волны. Кривые 1 построены для случая ат = 0.0001, кривые 2 - для от = 0.0005.DоРис. 3.6DРис. 3.7Видно, что незначительное отклонение от условий параметрического резонанса приводит к тому, что подавление распространения волн становится невозможным.

Пространственная модуляция жесткости.

Так же как и для временной модуляции жесткости, в случае пространственной модуляции жесткости рассматриваются дваслучая. На рис. 3.8 - 3.11 построена зависимость дискриминанта D от'coh,частотного параметра Q =Сп v и. Кривая на рис. 3.8, построенная дляпреимущественно изгибной волны и кривая на рис. 3.9, построенная для преимущественно сдвиговой волны построены для а^=0.DРис. 3.8DРис. 3.9Кривые 1 и кривые 2 на рис. 3.10 (преимущественно изгибная волна) и рис. 3.11 (преимущественно сдвиговая волна) построены для и^ =0.001 и а^ =0.05 соответственно.DРис. 3.10DРис. 3.11Как видно значение дискриминанта для рассматриваемых выше случаев всегда положительно, что свидетельствует о том, что применение чисто пространственной модуляции жесткости не позволяет добиться подавления распространения как изгибной, так и сдвиговой волн. Приведенный выше анализ соответствует оценкам, полученным К. А. Лурье. Применение пространственно-временной модуляции жесткости оказывается более эффективным, чем модуляция жесткости, проводимая либо только во времени, либо в пространстве.

3.5 Влияние потерь в материале слоев пластины на эффективность контроля распространения волн.

Как было показано в п. 3.4 возможно подавление распространения изгибной и сдвиговой волн в сэндвичевой пластине при помощипараметрической модуляции жесткости. В материале любой конструкции, и в особенности в материале, из которого состоит слоистая пластина происходит рассеяние энергии, которое характеризуется коэффициентом внутренних потерь. Наличие этого рассеяния энергии само по себе обеспечивает преобразование распространяющихся в пластине волн, в затухающие. Создание модуляции жесткости с целью подавления распространения волн может быть целесообразно только в том случае, если эффект подавления значительно сильнее, чем эффект "естественного" подавления за счет диссипации. В данном пункте предлагается сравнить два механизма подавления распространения волн: первый, связанный с учетом внутренних потерь в материале, второй, связанный с предлагаемым способом контроля распространения волн. Целью этого сравнения является установления того диапазона значений коэффициента внутренних потерь, в котором создание модуляции жесткости оправдано. Подавление распространения волн удобно характеризовать с помощью логарифмического декремента колебаний [16].

Уравнения движения пластины с учетом внутренних потерь в материале слоев преобразуются следующим образом12J 12v е/w +xw■ 0П\ 1-V1+1К £еу\6'+х0' + w" + xxv'г+2+*]JlV £\со )\2W2 +S I hм>" = 0<hс00 = 0(3.5.1)(3.5.2)Здесь х параметр диссипации, который вводится в реологические соотношения следующим образомг „ д£ Л V а у' Txz=Gх dt(3.5.3)Эти соотношения определяют упруго-вязкую модель поведения материала.

Видно, что в высокочастотном диапазоне применение модуляции жесткости не является целесообразным, поскольку не выполняется неравенство А > А. Однако, если значение частотного параметраудовлетворяет неравенству' cohj Л<0.008, кривая 1, построенная дляХ = 8-10 6, располагается выше, чем кривая 4, то есть выполняетсянеравенство А > А. Этот результат свидетельствует о том, что т хприменение модуляции жесткости в рассматриваемом диапазоне частот при этом значении коэффициента диссипации оправдано. Если рассматривать взаимное расположение кривой 2 и кривой 4, товыполнение неравенства А > А обеспечивается дляfahj Л-о<0.0065. И,наконец, при / = /0 4 неравенство А >А выполнено, еслиr cohjЛ<0.0044. Зависимость декрементов Ат и А^ колебаний отчастотного параметраГ (ohj Л, описываемая кривой 4 и кривыми 1, 2 и 3различна: с ростом частоты декремент колебаний, связанный с модуляцией жесткости, убывает, а декремент колебаний, связанный с потерями в материале, растет, причем этот рост становится более интенсивным с увеличением коэффициента %.

0.04 г 0.044Рис. 3.13Заметим также, что кривые 1, 2, 3 кривая 4 на рис. 3.12 и рис. 3.13 имеют точки пересечения. Например, точка пересечения кривой 1 и кривой 4 на рис. 3.12 показывает, что при заданной частоте возбуждения, равной (oh, 1—- -0.008, и параметрах модуляции жесткости равными у,=0.05,{ со Jag =ат =0.0001, затухание изгибной волны, создаваемое модуляцией жесткости, соответствует "естественному" демпфированию, которое эквивалентно параметру диссипации % = # ■Для того, чтобы более наглядно представить этот результат, в работе вводится концепция "эквивалентного" демпфирования. При заданном значении частоты возбуждения и параметрах модуляции жесткости устанавливается то значение коэффициента демпфирования у > котороеобеспечивает равенство декремента колебаний А и А.

На рис. 3.14 и рис. 3.15 представлена зависимость "эквивалентного" параметра демпфирования колебаний Igix) от частоты возбуждения( coh,Лпри следующих значениях параметрах модуляции yj =0.1у,ст(=ат =0.0001. График на рис. 3.14 соответствует случаю изгибнойраспространяющейся волны. Видно, что диапазон значений параметра демпфирования в случае, когда Ат = А ^ достаточно широк,х45'1о6>io4шРис. 3.14График на рис. 3.15 соответствует случаю сдвиговой распространяющейся волны. Здесь значения параметра демпфированиярасполагаются в диапазоне 2-105,3-105 ].шРис. 3.15Как для случая изгибной, так и для случая сдвиговой распространяющейся волны с ростом частоты возбуждения значение "эквивалентного" демпфирования уменьшается.

Таким образом, применение модуляции жесткости является эффективным способом подавления переноса энергии распространяющимися волнами, особенно на низких частотах. Как известно, распространение низкочастотной вибрации представляет собой серьезную проблему во многих практических приложениях и традиционные демпферы, успешно применяемые на средних и высоких частотах, теряют эффективность в таких случаях. Если перейти от безразмерных параметров к размерным в рассмотренном примере, то окажется, что для сэндвичевой пластины с заданными параметрами е=0.05, 7=0.05, 3=0.1 и v=0.3 подавление вибрации при помощимодуляции жесткости с амплитудой модуляции у* =0.1у и а^ =ат =0.0001, на частоте равной со =233 Гц соответствует значению эквивалентного демпфирования % = 103. Если рассмотреть подавление этой распространения этой же волны при помощи той же самой модуляции, но на частоте со =2041 Гц, то оказывается, что эквивалентное демпфирование существенно меньше, чем в предыдущем случае и равноХ = 9-10^. В случае, если рассматривать подавление распространения сдвиговой волны, то для той же сэндвичевой пластины та же самаямодуляция будет создавать эквивалентное демпфирование / = начастоте со =15398 Гц.

Глава 4. Применение кетода многих масштабов к задаче о распространении волн в бесконечной сэндвичевой пластине, погруженной в жидкость.

Рассматриваемые в данной диссертации сэндвичевые пластины широко используются в судостроении, авиастроении и других областях техники. В тех случаях, когда колебания происходят в воздухе, допустимо использование несвязанной формулировки задач вибрации и излучения звука и нахождение акустического давления по форме вынужденных колебаний конструкции в вакууме. Если же рассматриваются колебания пластины, погруженной в жидкость, например, пластины судового корпуса, то, как известно, должна использоваться связанная формулировка задач гидроупругости [18,26,38]. В данной главе диссертации предлагаемый механизм подавления распространения волн распространяется на случай, когда пластина погружена в жидкость. В пункте 4.1 представлена общая формулировка задачи связанной стационарной гидроупругости для сэндвичевой пластины, погруженной в жидкость. В пункте 4.2 проведен анализ распространения волн в пластине, погруженной в жидкость в случае цилиндрического изгиба. В пункте 4.3 проанализирован механизм подавления распространения волн в пластине при пространственной, временной и смешанной модуляции жесткости.

4.1 Формулировка задачи связанной стационарной гидроупругости.

Будем рассматривать несжимаемую жидкость, движение частиц которой возникает вследствие колебаний находящейся в контакте с ней бесконечно длинной пластины.

Состояние жидкости в любой точке характеризуется двумя параметрами: давлением в жидкости р и вектором колебательной скорости v „. Как известно [26,38], поле в жидкости можноохарактеризовать одной скалярной функцией - потенциалом скоростей;i(Pjj, которая связана с давлением и колебательной скоростью следующим образом:vfl=Vcpfl (4.1.1)dtp,где рр - плотность жидкости.

Функция cpjj должна удовлетворять уравнению Лапласа:= 0 (4.1.3)дх2 ду2Рассматриваемая нами пластина находиться на границе, разделяющей область, заполненную жидкостью, и область, в которой жидкости нет. На поверхности пластины должно выполняться условие равенства скоростей: vpl = v^. Скорость пластины является скалярной функцией иопределяется равенством:dw /л -л л\V=aT (4Л'4)Скорость жидкости описывается уравнением (4.1.1). В случае, когда пластина находится в контакте с невязкой жидкостью, требуется выполнение только условия равенства скорости пластины и нормальной к пластине составляющей скорости частиц жидкости, которая определяется следующим образом,(4.1.5)где п - внешняя нормаль к поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем жидкости. В данном случае направление этой нормали совпадает с положительным направлением оси оу. Таким образом, на поверхности пластины должно выполняться равенство:Уравнения движения пластины с учетом контактного давления принимают вид: j(D^Xxj)} -1iw%x,t)+mw(xj)-(r(w'(x,t)+e{x,t))) = qw(x,l)+ p(x,0,t) (4.1.7a)Таким образом, общая формулировка задачи включает в себя уравнения колебаний пластины (4.1.7а), (4.1.7Ь), (при этом контактное давление входит только в первое уравнение), уравнение движения жидкости (4.1.3), условие равенства нормальных скоростей пластины и прилегающих к ней частиц жидкости (4.1.6) и формулу для давленияДанная формулировка пригодна для описания как нестационарных, так и стационарных процессов взаимодействия. В случае, когда внешняя нагрузка является периодической, и рассматривается установившийся процесс, в силу линейности задачи справедлив принцип наложения и для каждой из частот спектра возбуждения решение "акустической" части задачи записывается в виде:dwd(P/i(4.1.6)dt дуD20"{x, t) - Г(и>'(х,ф- 0{х, tj)-12 в(х, t) = 0(4.1.7b)(4.1.2).cpji (х, y,t)=C- 4/{y>)-exp[ikx- icot)(4.1.8)Проведем анализ дисперсионного уравнения для рассматриваемой сэндвичевой пластины, погруженной в жидкость.

Это условие соответствует описанию распространения волн в положительном направлении оси ох (слева направо). Модальный коэффициент может быть также найден из любого из двух алгебраических уравнений (4.2.1), (4.2.2), равенство нулю определителя которых формирует дисперсионное уравнение. Для каждой комбинации (к, со) справедлива следующая формула для нахождения модального коэффициентаS22(4.2.17)Перейдем к рассмотрению результатов, полученных при анализе дисперсионного полинома.

График на рис. 4.2 представляет собой зависимость модальногокоэффициента М от частотного параметраг cohl ^моРис. 4.2Значения модального коэффициента, построенного на рис. 4.2 существенно больше единицы, что свидетельствует о том, что ветвь дисперсионной кривой на рис. 4.1 описывает преимущественно изгибную распространяющуюся волну.

На рис. 4.3 показана зависимость волнового числа к от безразмерногочастотного параметраГ coh, ЛВетви дисперсионных кривых,соответствующие пластине в вакууме и в жидкости в данном случае совпадают.

0.0S0.0150.010.005coh 1о.ог о.огг o.ost о.оге о.ого o.ojРис. 4.3Этот эффект объясняется тем, что жидкость является невязкой и слабо вовлекается в движение за счет сдвиговых колебаний пластины. Значение модального коэффициента, построенного на рис. 4.4 меньше единицы, то есть данная ветвь дисперсионной кривой описывает сдвиговую распространяющуюся волну.МРис. 4.4Теперь проанализируем распространение волн в бесконечной сэндвичевой пластине, находящейся в контакте с несжимаемой жидкостью при пространственной, временной и смешанной модуляции жесткости.

4.3 Анализ распространения волн при пространственной, временной исмешанной модуляции жесткости.

Пространственно-временная модуляция жесткости.

1x108x104x102x10-2X100)1} 10.024 0.026Рис. 4.6Если провести аналогичное сопоставление результатов для пластины в жидкости и в вакууме, то частотные диапазоны, в которых возможно подавление распространения преимущественно сдвиговой волны для случаев о ^ - ат =0.0001 (кривые 1) и а^=от =0.001 (кривые 2), совпадут.

Таким образом наличие жидкости приводит к расширению диапазона частот, в котором подавляется распространение преимущественно изгибной волны, в то время как оно никак не сказывается на возможности подавления сдвиговой волны. Этот факт можно объяснить тем, что жидкость дает вклад в массу пластины, не изменяя ее жесткости. При этом если вернуться к колебаниям пластины в вакууме и увеличивать массу пластины, сохраняя неизменной жесткость, можно получить такой же эффект для изгибной волны. В свою очередь, так как жидкость является невязкой, то она слабо вовлекается в движение за счет сдвиговых колебаний пластины. Поэтому эффект модуляции жесткости применительно к сдвиговой волне в пластине с жидкостью и без жидкости один и тот же.

Пространственная модуляция жесткости.

На рис. 4.7 построена зависимость дискриминанта D от частотного/■ \ cohjпараметраспу и /волны, на рис 4.8 распространяющейся волныдля преимущественно изгибной распространяющейся для преимущественно сдвиговойojhi0.005 0.01 0.015 0.0S 0.025 0.03Рис. 4.7Рис. 4.8Параметры пластины выбраны такими же, как и в случае пространственно-временной модуляции жесткости. Кривые 1 построены при о^ =0.0001, кривые 2 при =0.001. Эти результаты аналогичнырезультатам, полученным, в п. 3.4 при анализе распространения волн всэндвичевой пластине в вакууме. Применение пространственной модуляции жесткости к пластине, находящейся в контакте с жидкостью не позволяет предотвратить распространение волн в сэндвичевой пластине.

Временная модуляция жесткости. На рис. 4.9 и рис. 4.10 построена зависимость дискриминанта D от/ Ncohjчастотного параметраспv 0 удля преимущественно изгибнои ипреимущественно сдвиговой распространяющихся волн соответственно.

Кривые 1 построены при aj =0.0001, кривые 2 при ат =0.001.{D7.5X105X10£.5x10wh 1О 0.005 0.01 0.015 0.0£ 0.025 0.03Рис. 4.9DРис. 4.10Также как и в случае пространственно-временной модуляции жесткости для преимущественно изгибной распространяющейся волны наличие акустической среды позволяет расширить диапазон частот, в котором возможно подавление распространения волны. Так для случая ат =0.0001 подавление распространения преимущественно изгибной волны стало возможным благодаря наличию жидкости в высокочастотном диапазоне,coh,)при условии, что -—- > 0.027, в то время как подавлениесп\ О Jраспространения этой волны для случая пластины в вакууме было невозможно.

Для преимущественно сдвиговой распространяющейся волны эффект применения временной модуляции жесткости в пластине с жидкостью и без жидкости один и тот же. Механизм подавления распространения преимущественно сдвиговой волны в случае временной модуляции жесткости оказывается не эффективным.

Глава 5. Применени-е метода прямого разделения движений в задаче оiколебаниях сотовой пластины в условиях цилиндрического изгиба

Заключение. Основные выводы по диссертации. [

По результате выполненного исследования можно сделать следующие основные выводы:

1. Для описания волновых процессов в трехслойных пластинах можно использовать теорию сэндвичевых пластин или теорию сотовых пластин. Это позволяет получить нижние ветви дисперсионных кривых, которые практически совпадают с соответствующими дисперсионными кривыми, полученными при решении задачи в рамках теории упругости.

2. В трехслойной сэндвичевой пластине бесконечной протяженности обнаруживается наличие двух типов волн: преимущественно изгибной волны, распространяющейся при любой частоте возбуждения и 1 преимущественно сдвиговой распространяющейся волны, которая характеризуется наличием частоты "отсечки".

3. Применение пространственно-временной и чисто временной модуляции жесткости пластины позволяет предотвратить распространение волн деформации в случае достаточно точной настройки параметров модуляции жесткости относительно частоты возбуждения. При этом подавление распространения волн при использовании пространственно-временной модуляции жесткости оказывается более эффективным, чем при использовании чисто временной модуляции жесткости. Применение чисто пространственной модуляции жесткости для подавления распространения волн оказывается не эффективным.

4. Поскольку предложенный механизм подавления распространения волн сосуществует с естественным демпфированием в материале пластины, предложена концепция "эквивалентного" демпфирования, которая позволяет судить об эффективности предложенного способа виброизоляции.

5. Наличие несжимаемой жидкости приводит к увеличению диапазона частот, в котором подавляется распространение изгибной волны, в то время как оно никак не сказывается на возможности подавления сдвиговой волны.

6. Трехслойная шарнирно опертая сотовая пластина в условиях цилиндрического изгиба имеет два спектра собственных частот. Первый спектр собственных частот соответствует преимущественно изгибным колебаниям пластины. Второй спектр собственных частот соответствует преимущественно сдвиговым колебаниям пластины. При этом частоты сдвигового спектра значительно больше частот изгибного спектра.

7. Показана возможность резкого уменьшения амплитуды резонансных изгибных колебаний пластины, которые возбуждаются силой, действующей на первой собственной частоте преимущественно изгибного спектра, при помощи модуляции жесткости, которая проводится на частоте, близкой ко второй собственной частоте преимущественно сдвигового спектра.

8. Существование эффекта отстройки резонансной частоты от частоты возбуждения за счет модуляции жесткости подтверждается прямым численным интегрированием исходных уравнений движения по времени.

9. Сравнение энергии движения элементов сотового заполнителя с энергией изгибных колебаний пластины с модулированной жесткостью и без учета модуляции подтверждает эффективность предлагаемого способа контроля колебаний пластины в широком диапазоне частот возбуждения.

1. Александров А. Я. Об определении упругих параметров сотовых заполнителей. Сб.: Расчет элементов авиационных конструкций, М.,1965 №3, с. 5-27.

2. Александров А. Я., Бородин И. Я., Павлов В. В. Конструкции с заполнителями из пенопластов. М.: Оборонгиз, 1962.

3. Андрианов И. В., Лесничая В. А., Маневич Л. И. Метод усреднения в статике и динамике ребристых оболочек, М.: Наука, 1985.

4. Бабаков И. М. Теория колебаний М.: Наука, 1968.

5. Блехман И. И. Вибрационная механика. Москва: Физматгиз, 1994.

6. Быкова Т. И. Колебания трехслойной пластины с сотовым заполнителем. Диссертация на соискание ученой степени к. ф.-м. н., СпбГу, 1992.

7. Вибрации в технике. Справочник в 6 томах. Т6. Защита от вибрации иiударов. Под ред. Фролова К.В. М.: Машиностроение, 1981.

8. Григолюк Е. И., Чулков П. П., A theory of multilayered plates M.: Наука, 1975

9. Гришина С. В. Ершова О. А. Сорокин С.В. Применение высокочастотной параметрической модуляции жесткости для контроля резонансных изгибных колебаний сотовых пластин.//Труды XXVIII Летней Школы Актуальные проблемы механики. СПб., 2001, с.316-322.

10. Двайт Д. Таблицы интегралов. Москва, Мир, 1976.

11. Гришина С.В. Применение метода многих масштабов к анализу распространения волн в слоистых пластинах с модуляцией жесткости, СПбГМТу. Деп. в ЦНИИ им. акад. А. Н. Крылова.

12. Гришина С.В. Анализ спектра собственных частот и собственных форм колебаний шарнирно опертой сотовой пластины, СПбГМТу. Деп. в ЦНИИ им. акад. А. Н. Крылова.

13. Коренев Б.Г., Резников Л. М. Динамические гасители колебаний.

14. Найфе А. Методы теории возмущений. М.: Мир, 1978.

15. Пановко Я. Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем: Современные концепции, парадоксы и ошибки. М.: Наука, 1979.

16. Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука, 1980.

17. Пановко Я. Г. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1985.

18. Попов A. Л., Чернышев A. JI. Механика звукоизлучения пластин и оболочек. М.: Наука, 1994.

19. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник в 3-х томах. Под ред. Бергера И. А., Пановко Я. Г. Москва, Машиностроение, 1968.

20. Пугачев С. И. Пьезо-керамические приборы. JI: Судостроение, 1984.

21. Ростовцев Д. М., Постнов В.А., Калинин В. С. Вибрация корабля, Ленинград, Судостроение, 1980.

22. Скворцов В. Р., Симметрично-неоднородная по толщине пластина как сэндвичевая пластина с мягким наполнителем.// Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1:162-168,1993.

23. Слепян J1. И. Нестационарные упругие волны, П.: Судостроение, 1972.

24. Справочник по строительной механике корабля в 3-х томах Под ред. акад. Шиманского Ю.А. Ленинград, Судостроение, 1958.

25. Тимошенко С. П., Колебания в инженерном деле. М.: Гостехиздат, 1958.

26. Шендеров Е. Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.:Судостроение, 1972.

27. Штамм К., Витте X. Многослойные конструкции. М.: Стройиздат, 1983.

28. Allen H.G. Analysis and Design of Structural Sandwich Panels. Oxford: Pergamon Press, 1969.

29. Blekhman I. I., Forming the Properties of Non-linear Mechanical Systems by Means of Vibration. DCAMM Report #616,1999.

30. Blekhman I. I. and Lurie K.A., Dynamic Materials as the Element of Material Design. Proc. of the Int. Conference Dyname'99, Ulm, Germany, 1999.

31. Crighton D.G. et al., Modern Methods in Analytical Acoustics Springer, Berlin, 1992.

32. Culshaw В., Smart Structures and Materials. Artech House, Boston, 1996.

33. Fidlin A., On the Separation of Motions in Systems with a Large Fast Excitation of General Form. Eur. J. Mech A/Solids 18, 527-538,1999.

34. Frostig Y. and Baruch M. Bending of sandwich beams with transversally flexible core. AIAA Journal 28, 523-531,1990.

35. Frostig Y. and Baruch M. Free vibrations of sandwich beams with a transversely flexible core: a high order approach. Journal of Sound and Vibration, 176(2):i195.208,1994.

36. Frederiksen P. S. Ph.D. thesis, DCAMM Report #S60. Identificationof Material Parametrs in Anisotropic Plates a Combined Numerical/Experimental Method. ISSN 0903-1685,1992.

37. Fuller C.R., Elliot S.J. and Nelson P.A. Active Control of Vibration Academic Press. London, 1995.

38. Junger M. G. and Feit D. Sound, Structures and their Interaction. Cambridge, MA: MIT Press, 1992.

39. Krylov V. and Sorokin S. V., Dynamics of Elastic Beams with Controlled Distributed Stiffness Parameters. Smart Materials and Structures, #6, 573-582, 1997.i

40. Lee L. J., Fan Y. J. Bending and vibration analysis of composite sandwich plates. Computers and Structures, 60(1): 103-112,1996.

41. Lurie K.A. Effective Properties of Smart Elastic Laminates and the Screening Phenomenon Int. J. Solids Structures 34,1633-1643,1997.

42. Lurie K. A. The problem of Effective Parameters of a Mixture of Two Isotropic Dielectrics Distributed in Space-Time and the Conservation Law for Wave Impedance in One-Dimensional Wave Propagation. Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, #454,1767-1779,1998.

43. Nayfeh A.H. and Mook D. T. Non-linear Oscillations. John Wiley, New York, 1979.

44. Nilsson A. S. Wave propagation in and sound transmission through sandwich plates. Journal of Sound and Vibration, 138(1): 73-94,1990.

45. Nilsson E. Dynamic properties of sandwich structures. Препринт, MWL KTH, Stockholm, 2002.

46. Nosier A., Kapania R. K. and Reddy J. N. Free vibrations analysis of laminated plates using a layer-wise theory. AIAA JournaBl, 2335-2346,1993.

47. Reddy J. N. Mechanics of Laminate Composite Plates. Boca Raton, FL: CRC Press, 1997.

48. Shiva Sander Tavallaey Wave propagation in sandwich structures. Stockholm,2001. !i

49. Sorokin S. V. Asymptotic analysis and numerical solution of the two-level boundary equations of a plane problem of stationary hydroelasticity. Journal of Applied Mathematics and Mechanics 57,105-115,1993.

50. Sorokin S. V., Peake N. Vibrations of sandwich plates with concentrated masses and spring-like inclusions. Journal of Sound and Vibration 237(2), pp. 203-222, 2000.

51. Sorokin S. V., Peake N. On the behaviour of fluid-loaded sandwich plates with mean flow. Journal of Sound and Vibration 242(4), pp. 597-617, 2001.

52. Sorokin S. V. Vibrations of and sound radiation from sandwich plates in heavy fluid loading conditions. International Journal of Composite Structures 48, 219230, 2000.

53. Sorokin S. V., Ershova O. A. Forced and free vibrations of rectangular sandwich plates with parametric stiffness modulation. Journal of Sound and Vibrations, 264(1): 17-52, 2002.

54. Sorokin S.V., Ershova O. A., Grishina S.V. The active control of vibration of composite beams by parametric stiffness modulation. European Journal of Mechanics A/Solids, 19: 873-890, 2000.

55. Sorokin S.V., Grishina S.V. Analysis of wave propagation in sandwich plates with parametric stiffness modulations. European Journal of Mechanics A/Solids, (представлена к публикации)

56. Sorokin S.V., Grishina S.V, Ershova O. A. Analysis and control of vibrations of honeycomb plates by parametric stiffness modulations. Smart Materials and Structures, 10(5): 1031-1045, 2001

57. Thomsen J. J. and Tcherniak D. Slow Effects of Fast Harmonic Excitation for Elastic Structures. Non-linear Dynamics, 17, 227-246,1998.

58. Wolfram S. Mathematica: a System for doing Mathematics by computer. Addison-Wesley, 1991.

59. Zenkert D. An Introduction to Sandwich Construction. Chameleon Press. London, 1995.