Анализ транспланковских столкновений частиц в нетривиальных фоновых метриках тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Российская Академия Наук Математический институт имени В. А. Стеклова

На правах рукописи

Багров Андрей Александрович

Анализ транспланковских столкновений частиц в нетривиальных фоновых метриках

01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

Москва 2011

3 О ИЮН 2011

4851352

Работа выполнена в отделе Теоретической физики Математического института имени В. А. Стеклова РАН.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор

Арефьева Ирина Ярославна.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук

Гальцов Дмитрий Владимирович; кандидат физико-математических наук Диденко Вячеслав Евгеньевич.

Ведущая организация — Объединенный институт ядерных

исследований.

Защита состоится «20» октября 2011 года в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 002.022.02 при Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, ул. Губкина, д.8

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математическог института им. В. А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан: «/5» июня 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук

Ю. Н. Дрожжинов.

Общая характеристика работы ктуальность темы.

В теоретической физике фундаментальных взаимодействий сновными величинами, не выводимыми из каких бы то ни было ринципов теории и отвечающими самым базовым свойствам тшей Вселенной, являются гравитационная постоянная Ньютона С, остоянная Планка Н и скорость света с. Естественным образом этим 'онстантам можно сопоставить их размерные комбинации, такие, 1апример, как характерные энергия, время, длина, называемые ланковскими масштабами. Общепринято мнение, что данные величины обладают важным изическим смыслом и указывают на масштаб энергий/времен/рас-тояний, при котором наши представления о мире, выраженные парадигмах квантовой теории и общей теории относительности, тановятся, по всей видимости, неприменимыми.

В связи с этим задача построения картины мира, самосогласованной а всех масштабах энергий, представляет собой центральную роблему физики фундаментальных взаимодействий, попытки ешения которой предпринимаются на протяжении многих есятилетий. И несмотря на отсутствие регулярного способа писания процессов, проистекающих при энергиях выше порога ланка Ер1, можно задаться вопросом о разработке эффективных риближенных подходов, позволяющих получить информацию о изике в транспланковской области.

Важнейший шаг в данном направлении был предпринят в онце 1980-х годов Герардом 'т Хоофтом, который показал, что транспланковской области разумно использовать классическое риближение. В самом деле, если энергия частицы превышает ланковский порог, то ее длина волны де Бройля вполне может ыть меньше планковской длины и меньше формального радиуса варцшильда частицы. В этом случае "квантовые"свойства частицы удут подавлены по сравнению с ее классическими гравитационными

свойствами, и для описания подобных объектов можно использовать классическую гравитацию и квазиклассические поправки к ней.

В своих статьях 'т Хоофт предложил использовать в качестве модели гравитационного поля частицы, обладающей транспланковской энергией, ударную гравитационную волну. Такое нзавание носит решение уравнений Эйнштейна, предложенное в 1971 году П. Айхельбургом и Р. Зекслом, которое порождается безмассовым ультрарелятивистским точечным источником в асимптотически плоском пространстве.

Г. 'т Хоофт рассмотрел рассеяние транспланковских скалярных частиц в системе покоя одной из них и описал этот процесс как рассеяние скалярного поля (т.е. одной из частиц) в метрике ударной гравитационной волны (порожденной второй частицей). Анализ амплитуды рассеяния в эйкональном приближении показал, что при малых прицельных параметрах имеет место нарушение унитарности, которое может быть интерпретировано как рождение черной дыры.

В более поздней работе он построил S-матрицу процессов столкновительного рождения и термодинамического распада черных дыр.

В течение долгого времени физика транспланковских процессов представляла лишь абстрактный академический интерес. В самом деле, планковский порог на много порядков выше энергий, достижимых в лабораторных условиях на ускорителях частиц или же наблюдаемых в космических лучах. Поэтому гораздо большее внимание ученых привлекали формальные аспекты данной области науки (математические вопросы квантования гравитации, построение единой теории поля с позиции теории струн и т.д.), нежели феноменологические.

Обновленный интерес к транспланковской феноменологии возник после того, как в конце 90-х годов Н. Аркани-Хамед, Г. Двали и С. Димопулос, а также JI. Рэндалл и Р. Сандрум сформулировали модели сильной (тераэлектронвольтной) гравитации, кратко называемые ADD и RS моделями соответственно. Выдвинутая

ми гипотеза позволила иначе взглянуть на картину эффектов, бсуловленных гравитацией, и допустить, что транспланковская изика может наблюдаться при энергиях, достижимых на овременных коллайдерах.

Предполагается, что помимо четырех привычных измерений фостранства-времени существует также п пространственных змерений, компактифицированных на окружности малого радиуса. 1ри относительно небольших энергиях частицы не чувствуют аличия дополнительных измерений и их гравитационное заимодействие описывается четырехмерной теорией Эйнштейна со тандартной гравитационной постоянной Ньютона (З4. Однако эта еличина больше не является фундаментальной, - при достаточно ысоких энергиях частицы начинают ощущать присутствие омпактифицированных измерений, и гравитация для них становится + 4-мерной с некоторой иной константой взаимодействия (?*. Поля тандартной Модели при этом не проникают в дополнительные змерения. Принято говорить, что они локализованы на 3-бране 3 здесь отвечает пространственной размерности). Гравитация же аспространяется во всех 4 + п измерениях.

В модели Рэндалл-Сандрума существует всего одно дополнительное змерение, имеющее бесконечную протяженность. Фундаментальный асштаб гравитационного взаимодействия там вводится иным бразом, однако феноменологические следствия из обеих моделей в елом схожи и указывают на то, что эффекты теории гравитации должны быть заметны в экспериментах на ЬНС.

Феноменология дополнительных измерений обширно изучалась, той теме посвящено несколько тысяч работ.

Среди всех гипотетически возможных проявлений сильной равитации одним из наиболее впечатляющих является рождение кспериментально наблюдаемых микроскопических черных дыр при льтрарелятивистских столкновениях частиц. Впервые гипотеза о возможном рождении черных дыр в контексте одел ей сильной гравитации была высказана Т. Бэнксом и М.

Фишлером в работе 1999 года. Из общих соображений ими были получены оценки на сечение рождения черных дыр и выдвинуты предположения относительно возможных экспериментальных проявлений подобного процесса. Конкретных вычислений при этом они не производили.

Первой публикацией, содержавшей явный расчет геометрического сечения рождения черных дыр в транспланковских столкновениях, была статья И.Я. Арефьевой, в которой в рамках трехмерного аналога модели Рэндалл-Сандрума мира на бране было построено явное решение, описывающее формирование черной дыры, и была установлена его связь с гравитацией в большем числе измерений.

Важный прорыв в описании транспланковских столкновений удалось сделать С. Гиддингсу и Д. Ердли в 2002 году. В своей статье они, работая в рамках представления об ударных волнах, применили метод ловушечных поверхностей для получения оценки на сечение рождения черной дыры в четырехмерном пространстве Минковского и ее массу. Значимость их работы заключается в том, что им фактически удалось строго доказать, что при достаточно малых прицельных параметрах и достаточно высоких энергиях формирование черной дыры в транспланковском столкновении неизбежно.

Упомянутые работы были посвящены физике транспланковских взаимодействий в плоском пространстве-времени. Однако особый интерес представляет также влияние возможно нетривиальной метрики фонового пространства на ход подобных процессов. Разумеется, в земных условиях фоновое гравитационное поле исчезающе мало по сравнению с полем ультрарелятивистских частиц. Однако существует как минимум два важных типа метрик, изучение которых представляет феноменологический интерес. Это метрики де Ситтера (¿5) и анти де Ситтера (АйБ).

Метрика де Ситтера интересна по той причине, что она является простейшей моделью пространства-времени с положительной космологической постоянной. Известно, что наша Вселенная является

хаким пространством. И хотя современное значение космологической остоянной Л очень мало, есть все основания полагать, что на анней (инфляционной) стадии эволюции Вселенной значение Л было чень большим, а потому процессы транспланковских столкновений в анней Вселенной были подвержены ее влиянию. В настоящее время езультаты этого влияния могут быть экспериментально обнаружены о следам черных дыр, сформировавшихся в ту эпоху. До сих пор пространство де Ситтера не рассматривалось в аспекте ранспланковской феноменлогии, и данная диссертационная работа роводилась в частности и для того, чтобы в определенной степени аполнить этот пробел. Этому посвящена глава 2. Метрика анти де Ситтера, хотя она и не является непосредственной атематической моделью какой-либо осмысленной физической истемы, в последние годы привлекала намного больший интерес еоретиков как возможный бэкграунд для взаимодействия ударных равитационных волн, нежели метрика де Ситтера. Это связано последними результатами в области применения AdS/CFT-оответствия к описанию физики сильных взаимодействий (С FT -онформная теория поля).

В работе 2001 года Д.Т. Сон, А. Старинец и Дж. Поликастро с юмощью методов Лб^-голографии рассчитали значение сдвиговой язкости сильно коррелированной суперсимметричной кварк-люонной плазмы, описываемой конечнотемпературной N = 4 еорией супер-Янга-Миллса в пределе больших N (здесь N ранг калибровочной группы теории SU(N)). Впоследствии ыяснилось, что наблюдаемое в эксперименте RHIC (Relativis-ic Heavy Ion Collider) значение сдвиговой вязкости реальной варк-глюонной плазмы очень близко к значению, вычисленному ля ее суперсимметричного аналога. Это обстоятельство привело тому, что технику AdS/CFT-соответствия стали формально рименять к теориям с нарушенной конформной и суперсимметрией, ытаясь описывать и предсказывать экспериментально наблюдаемые ффекты в теории сильно коррелированных сред (как в физике

конденсированных состояний, так и в квантовой хромодинамике и теории кварк-глюонной плазмы).

В рамках реализации программы по описанию физики сильных взаимодействий с помощью техники Л(¿й*-голографии К. Кангом и X. Настази в 2004 году была предложена модель сталкивающихся ударных гравитационных волн в пространстве АйБ^ как дуальных партнеров сильно взаимодействующих ультрарелятивистских частиц. При этом зависимость сечения рождения черных дыр от энергии столкновения волн была применена ими для дуального вывода ограничения Фруассара на сечение жестких процессов в квантовой хромодинамкие. Таким образом была установлена связь между двумя столь различными на первый взгляд областями теоретической физики, как теория транспланковских столкновений и теория сильных взаимодействий.

Глава 3 настоящий диссертации посвящена обобщению известных результатов по столкновению ударных волн в АйБ.

Цель работы: Исследование транспланковских столкновений частиц в пространствах де Ситтера и анти де Ситтера в рамках приближения классической гравитации. Получение явного вида метрик ударных гравитационных волн, порожденных ультрарелятивистскими заряженными частицами в йЯ/Айв. Анализ возможности формирования ловушечных поверхностей и черных дыр в столкновениях таких волн, исследование зависимости параметров возникающих ловушечных поверхностей от параметров сталкивающихся частиц.

Научная новизна. Основные результаты:

1. Получены явные решения уравнений общей теории относительности, описывающие ударные гравитационные волны, порожденные заряженными точечными ультрарелятивистскими источниками в пространстве-времени де Ситтера и анти де Ситтера.

2. Проанализирована возможность формирования ловушеченой поверхности при столкновении ударных гравитационных волн в

пространстве де Ситтера. Исследована зависимость ее явной формы и площади от параметров ударных волн (энергии, заряда, космологической постоянной пространства). Обнаружен критический эффект невозможности формирования ловушечных поверхностей при слишком высоких энергиях соударяющихся частиц. Площадь формируемой ловушечной поверхности интерпретируется как сечение рождения черной дыры.

3. Известные ранее результаты по транспланковским столкновениям пространстве анти де Ситтера обобщены на случай заряженных частиц. Проанализировано формирование ловушечных поверхностей, исследована зависимость их площади от энергии и заряда частиц.

Методы исследования. В диссертации используются методы бщей теории относительности, дифференциальной геометрии, еории дифференциальных уравнений.

Теоретическая и практическая ценность. Настоящая иссертационная работа имеет теоретический характер. Результаты лавы 2 и приложения могут быть использованы в дальнейших сследованиях проблемы транспланковского рождения черных ыр в ранней Вселенной. Полученные в главе 3 результаты меют непосредственное отношение к задачам прикладной AdS-олографии, которая в последние годы стала активно применяться ля анализа сильно связанных систем. В частности, рассмотренная главе 3 заряженная ударная волна в AdS, является дуальной оделью релятивистского тяжелого иона, обладающего ненулевым имическим потенциалом. Результаты диссертации могут быть спользованы в работах, проводимых в МИАН, ПОМИ, ФИАН, ИЯИ, ТФ ОИЯИ, ИТЭФ, на физическом факультете МГУ.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, окладывались автором на семинарах отдела теоретической изики Математического института им. В. А. Стеклова РАН, на еминаре по квантовой теории поля отдела теоретической физики изического института им. П.Н. Лебедева РАН, на семинаре

лаборатории теоретической физики Объединенного института ядерных исследований, а также на следующих международных конференциях:

1. 6-я летняя школа и конференция по современной математической физике, Белград, Сербия, 2010

2. Летняя школа «Теория струн: формальные результаты и приложения», Каржез, Корсика, Франция, 2010

3. Конференция «Кварки-2010», Коломна, Россия, 2010

4. Международная конференция «Проблемы теоретической и математической физики - 2009» памяти H.H. Боголюбова, Дубна, Россия, 2009

5. 16-й Международный конгресс по математической физике, Прага, Чешская республика, 2009

6. 2-я Международная конференция по струнной теории поля и смежным вопросам, Москва, Россия, 2009

Публикации. Основные результаты, перечисленные выше, получены автором данной диссертации, являются новыми и опубликованы в работах [1, 2, 3, 4].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, заключения, приложений и списка цитируемой литературы, включающего 89 наименований. Объем диссертации составляет 115 страниц.

Содержание работы

Во введении дан краткий обзор результатов, полученных в теории транспланковских взаимодействий, сформулированы мотивация и цели данного исследования, а также описана структура диссертационной работы.

В Главе 1 вводятся основные объекты, необходимые для описания транспланковских столкновений частиц.

В параграфе 1.1 определяется понятие ударной гравитационной волны как ультрарелятивистского предела некоторой стационарной метрики и объясняется, почему классическое приближение осмысленно при описании процессов взаимодействия частиц, обладающих энергией выше порога Планка.

В параграфе 1.2 приведен ряд формальных определений объектов общей теории относительности, с помощью которых можно инвариантным бескоординатным образом определить горизонт событий и ловушечную поверхность.

Параграф 1.3. посвящен подробному выводу уравнения на ловушечную поверхность, базирующемуся на аналогии между ноль-геодезическими в пространстве-времени и линиями тока в деформируемой сплошной среде. Обсуждается физический и геометрический смысл ловушечной поверхности как индикатора существования в пространстве-времени горизонта событий.

Глава 2 посвящена анализу столкновений ударных гравитационных волн в пространстве-времени де Ситтера.

В параграфе 2.1 проводится вывод метрики ударной гравитационной волны, порожденной заряженным источником в пространстве ¿Б произвольной размерности. Предполагается, что в покоящемся состоянии метрика гравитационного поля частицы является метрикой Райсснера-Нордстрема-де Ситтера:

¿з2 = -д{П)(1Т2 + д^уЧв2 + Д2сЮ|

£>-2>

(1)

где

д(Я) = 1 -

дЯ-3 + д2(Л-3) ^

2 м д2

+

(2)

Здесь

871ввд2

(£>-2)(£>-3)'

8тг Срт

Пространство де Ситтера представляется как гиперболоид, погруженный в пространство Минковского на единицу большей размерности. Соответственно, эта метрика переписывается в терминах координат объемлющего пространства, и осуществляется ее буст вдоль одного из направлений в объемлющем пространстве.

В итоге получается следующее выражение для метрики ударной волны

¿з2 = + О2, ¥в)5{и)йи2, (5)

где Уг - плоские координаты объемлющего пространства, и — Уо + - переменная светового конуса, а форм-фактор ударной гравитационной волны определяется формулой:

РпММ, О2, Ув) = Ув) - УЬ), (6)

где

ОО

И

М = Му/1 - и2 = М/ч, (8)

С? = = (9)

Параграф 2.2 посвящен решению уравнений на ноль-геодезические в пространстве <¿5, содержащем ударную гравитационную волну.

При этом уравнения на геодезические рассматриваются как уравнения Эйлера для лагранжиана п-поля с условием связи на поверхности гиперболоида (представляющего пространство де

Ситтера):

(12)

С = 1<1т - Л (хм(т)9ммх"(т) - а2)

(10)

где М, N = 0,..., .0, дмы - метрика, определенная на гиперболоиде, а (Зд/лг(я(т)) - метрика де Ситтера, возмущенная присутствием дарной гравитационной волны:

Смлг = ШЛГ + Р8{и)дл?. (11)

Результатом вычислений являются следующие явные выражения для геодезических:

V = уо + VI и + <2(:г^)0(и) + Л(х^)0(и)и,

хг = х10 + х\и + .?г(9(м)и здесь

Видно, что геодезические испытывают излом на поверхности ударной волны.

Центральным результатом данной главы является приведенный в параграфе 2.3 вывод уравнения на ловушечную поверхность, формируемую при лобовом столкновении ударных гравитационных волн в ¿Б4 (впоследствии мы обощаем это уравнение на произвольную размерность без доказательства).

Метрика с/54, содержащая две ударные волны, была переписана в виде

—2<Ш сЕ + 2|сПГ + (£0(£) + И^(И0)(#Тг^т +

[1 - (И^Е - ТТ + (£0(Е) + \¥9{]¥))С/2а2)]2

Здесь Н - форм-фактор ударной волны, записанный в новых координатах, индексы означают производные по соответствующему аргументу.

В силу того, что в заданном пространстве-времени ловушечная поверхность может быть неединственной, было сделано следующее предположение о ее геометрии. Мы допустили, что ловушечная поверхность состоит из двух идентичных симметричных частей, расположенных на гиперплоскостях W = 0, £ < 0 и Е = О, W < 0, являющихся касательными к поверхности светового конуса прошлого, вершиной которого является точка столкновения ударных волн.

Соответственно, поверхность ищется в виде W = О, Е = — Фх(Т, Т) и£ = 0, = -Ф2(Т,Т).

Уравнение на каждую из ее компонент имеет вид:

(О+Ш2^)^«^0- (15)

В параграфе 2.4 обсуждается, какие граничные условия необходимо наложить в области соединения компонент ловушечной поверхности, и решается соответствующая краевая задача для случая нейтральных гравитационных волн.

Показано, что в dSi явная форма искомой ловушечной поверхности задается выражением

где ро - радиус окружности, по которой сшиваются две части поверхности. Уравнение на ро имеет простую алгебраическую форму

х 2-х2 М' [ 4

здесь х = ро/а-

Продемонстрировано, что при слишком большой энергии волн, превышающей порог рсг = ловушечная поверхность не возникает.

При энергиях ниже критического порога ее площадь определяется формулой

л4=(18)

Параграф 2.5 посвящен учету влияния электрического заряда гравитационных волн на физику процесса.

Глава 3 посвящена аналогичному исследованию столкновений ударных волн в случае пространства АйБ.

В параграфе 3.1 выводится метрика ударной гравитационной волны, порожденной релятивистским зарядом в пространстве анти де Ситтера.

В параграфе 3.2 по аналогии с вычислениями в 2.2, 2.3, но более сжато, приводится вывод уравнения на ловушечную поверхность, формируемую в А(13/±. При тех же предположениях о ее структуре и в использованных выше обозначениях получаемое уравнение имеет вид

v-N 2

1 \ Ф-Я

2aV = (19)

Параграф 3.3 содержит детальное обсуждение зависимости площади ловушечной поверхности от энергии и зарядов волн в AdS4 и AdS5. Строятся графики, демонстрирующие, при каких значениях параметров (М, Q, а) возможно, а при каких невозможно формирование ловушечной поверхности.

Уравнение на радиус ловушечной поверхности ро в случае AdS$ имеет вид

(2 ~ *2)3 (М _ Q2 5 (2 - х2)2\ 16 х2(2 + х2)\а2 а4 64 я2 ) Зтг' У '

А ее площадь в пределе малых и сверхвысоких энергий

определяется, соответственно, формулами

16\/27га3 /ЗтгМ / 5Q2 \\3/2

и

В заключении перечисляются главные результаты диссертации. В приложении приведен вспомогательный математический результат, заключающийся в регуляризации интегрального выражения, определяющего форм-фактор ударной гравитационной волны в пространстве де Ситтера. Продемонстрировано, что интегралы, возникающие при рассмотрении ударных волн в dS, могут быть доопределены с помощью некоторой процедуры перенормировки. При этом вычитаемая бесконечная часть не зависит от координат пространства-времени и параметров ударной гравитационной волны, а потому заведомо не вносит вклада в физически содержательные выражения.

Публикации автора по теме диссертации

[1] I. Ya. Aref'eva, A.A. Bagrov, Е.А. Guseva, Critical formation of trapped surfaces in the collision of non-expanding gravitational shock waves in de Sitter space-time; hep-th: 0905.1087; JHEP 0912:009,2009

[2] И.Я. Арефьева, А.А. Багров, Формирование ловушечных поверхностей в столкновениях нерасширяющихся гравитационных ударных волн в пространстве-времени AdS±, ТМФ, 161:3 (2009), 382-399 (англ. I.Ya. Aref'eva, A.A. Bagrov, Formation of trapped surfaces in the collision of nonexpanding gravitational shock waves in an AdS4 space-time, Theoretical and mathematical physics, vol. 161, N3, 1647-1662, December 2009)

[3] I.Ya. Aref'eva, A.A. Bagrov, L.V. Joukovskaya, Critical trapped surfaces formation in the collision of ultrarelativistic charges in (A)dS, hep-th:0909.1294, JHEP 03(2010)02

[4] И.Я. Арефьева, A.A. Багров, Jl.В. Жуковская, Некоторые аспекты применения обобщенных функций к анализу ударных гравитационных волн в общей теории относительности, Алгебра и анализ, 22:3 (2010), 3-15

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Основные методы анализа транспланковских столкновений частиц

1.1 Ударная гравитационная волна.

1.2 Инвариантное описание черных дыр.

1.3 Ловушечная поверхность

ГЛАВА 2. Транспланковское рождение черных дыр в пространстве-времени де Ситтера

2.1 Ударная гравитационная волна в пространстве

2.2 Структура светоподобных геодезических

2.3 Вывод уравнения на ловушечную поверхность.

2.4 Оценка на сечение рождения черной дыры.

2.5 Столкновение заряженных частиц.

ГЛАВА 3. Транспланковское рождение черных дыр в пространстве-времени анти де Ситтера

3.1 Ударная волна в пространстве А(13.

3.2 Формирование ловушечной поверхности в

3.3 Решение уравнения для ловушечной поверхности.

В теоретической физике фундаментальных взаимодействий основными величинами, не выводимыми из каких бы то ни было принцииов теории и отвечающими самым базовым свойствам нашей Вселенной, являются гравитационная постоянная Ньютона С, постоянная Планка К и скорость света с. Естественным образом этим константам можно сопоставить их размерные комбинации, такие, например, как характерные энергия, время, длина (называемые планковскими масштабами):

Общепринято мнение, что данные величины обладают важным физическим смыслом и указывают на масштаб энергий/времен/расстояний, при котором наши представления о мире, выраженные в парадигмах квантовой теории [1-4] и общей теории относительности [5, 6] становятся, по всей видимости, неприменимыми. Дело в том, что на таких масштабах должны стать существенными эффекты квантовой гравитации, которые пока не подлежат теоретическому описанию в силу неперенормируемости квантованной теории гравитации Эйнштейна.

В связи с этим задача построения картины мира, самосогласованной на всех масштабах энергий, представляет собой центральную проблему физики фундаментальных взаимодействий, попытки решения которой предпринимаются на протяжении многих десятилетий. В частности, наиболее многообещающим и результативным подходом к проблеме квантования гравитации является теория струн [7].

Тем не менее, несмотря на отсутствие регулярного способа описания а) процессов, проистекающих при энергиях выше порога Планка Ер\, можно задаться вопросом о разработке эффективных приближенных подходов, позволяющих получить информацию о физике в транспланковской области. Одному из таких подходов и посвящена данная диссертация.

В 1971 году П. Айхельбург и Р. Зексл нашли точное решение уравнений Эйнштейна, порожденное безмассовым ультрарелятивистским точечным источником в асимптотически плоском пространстве, которое они назвали ударной гравитационной волной [8]. Эта работа была посвящена чисто классической теории гравитации, однако специалисты быстро увидели связь ударных гравитационных волн с транспланковской физикой. В самом деле, если энергия частицы превышает планковский порог, то ее длина волны де Бройля вполне может быть меньше планковской длины и меньше формального радиуса Шварцшильда частицы. В этом случае ’’квантовые” свойства частицы будут подавлены по сравнению с ее классическими гравитационными свойствами, и для описания подобных объектов можно использовать классическую гравитацию и квазиклассические поправки к ней. Более подробно это объясняется в параграфе 1.1.

Впервые на возможность (квази) классического приближения в теории транспланковских столкновений обратил внимание Г. ’т Хоофт в статьях [9, 10], где он рассмотрел рассеяние трансиланковских скалярных частиц в системе покоя одной из них и описал этот процесс как рассеяние скалярного поля (т.е. одной из частиц) в метрике ударной гравитационной волны (порожденной второй частицей). Анализ амплитуды рассеяния в эйкональном приближении показал, что при малых прицельных параметрах имеет место нарушение унитарности, которое может быть интерпретировано как рождение черной дыры.

В более поздней работе ’т Хоофт построил Б-матрицу процессов столкновительного рождения и термодинамического распада черных дыр [И].

Интересный результат был получен Г. Верлинде и Э. Верлинде, которым удалось выйти за рамки квазиклассического приближения и дать квантовое описание процесса транспланковсокго рассеяния вперед в терминах топологической квантовой теории поля [12].

В течение долгого времени физика транспланковских процессов представляла лишь абстрактный академический интерес. В самом деле, планковский порог (1) на много порядков выше энергий, достижимых в лабораторных условиях на ускорителях частиц или же наблюдаемых в космических лучах. Поэтому гораздо большее внимание ученых привлекали формальные аспекты данной области науки (математические вопросы квантования гравитации, построение единой теории поля с позиции теории струн и т.д.), нежели феноменологические. Среди публикаций по транспланковской феноменологии можно выделить цикл работ Д. Амати, М. Чиафалони и Г. Венециано [13-17], посвященный возможным проявлениям струнных эффектов, а также статьи И.Я. Арефьевой, И.В. Воловича и К. Висванатана по столкновительному рождению черных дыр [18,19].

Повышенный интерес к транспланковской феноменологии возник после того, как в конце 90-х годов Н. Аркани-Хамед, Г. Двали и С. Димопулос [20, 21], а также JI. Рэндалл и Р. Сандрум [22,23] сформулировали модели сильной (тераэлектронвольтной) гравитации, кратко называемые ADD и RS моделями соответственно. Их гипотеза состояла в том, что пространство-время обладает дополнительными измерениями, присутствие которых ощущают лишь частицы, обладающие достаточно высокими (порядка ТэВ), но экспериментально достижимыми энергиями. Данная гипотеза позволила иначе взглянуть на картину эффектов, обсуловленных гравитацией, и допустить, что транспланковская физика может наблюдаться при энергиях, достижимых на современных коллайдерах. Кратко опишем основные идеи модели ADD.

Предполагается, что помимо четырех привычных измерений пространства-времени существует также п пространственных измерений, компактифицированных на окружности малого радиуса. При относительно небольших энергиях частицы ”не чувствуют” наличия дополнительных измерений и их гравитационное взаимодействие описывается четырехмерной теорией Эйнштейна со стандартной гравитационной постоянной Ньютона С?4. Однако эта величина больше не является фундаментальной, - при достаточно высоких энергиях частицы начинают ощущать присутствие компактифицированных измерений, и гравитация для них становится п -Ь 4-мерной с некоторой иной константой взаимодействия (?*. Поля Стандартной Модели при этом не проникают в дополнительные измерения. Принято говорить, что они локализованы на 3-бране (3 здесь отвечает пространственной размерности). Гравитация же распространяется во всех 4 + п измерениях.

Рассмотрим механизм, приводящий к тому, что фундаментальный масштаб энергии становится существенно меньше энергии Планка. Работая в рамках АББ-модели, будем предполагать, что п дополнительных измерений компактифицированы на окружности радиуса Ь, так что пространство имеет структуру Л^4 х Тп. Обозначим многомерную гравитационную постоянную как (?* и запишем многомерное гравитационное действие вдгау = J^+Пх у/9* л*; (2) здесь д* и 1т!* относятся к £) = (4 + п)-мерному пространству, метрика которого с1з2 = дмм<1хм(1х1^. Чтобы связать и Сдг, будем полагать для простоты, что дополнительные измерения плоские и, значит, (4 + п)-мерная метрика имеет вид йз2 = д^{х)(1х1х(1хи — 6аьйуа(1уь, (3) где д^и - четырехмерная часть метрики, которая зависит только от координат х11. Координаты же в дополнительных измерениях параметризуются с помощью уа, а = 1, Отсюда сразу видим, что л/ї#*ї = у/\9(л)\, а Д(4+гг) = 12(4). Интегрируя по дополнительным координатам, получим эффективное четырехмерное действие: — дгог» = ~2б7гС~ ] ^ ^ V ^ где Уп = Ьп - объем пространства, образуемого дополнительными измерениями. В итоге имеем, что

С?4 = С*/К =<?*/£". (5)

То есть получается, что ньютоновская постоянная - это лишь эффективная четырехмерная постоянная, получаемая размерным перемасштабированием многомерной, действительно фундаментальной, постоянной. Мы видим, что в рассматриваемом классе теорий энергия Планка, определяемая через (?4 как

Ері =

Ксъ

1/2 1.22 х 1019 ГэВ , (6) в А больше не является фундаментальной постоянной. На ее место встает Е*:

1/(2+п)

Е*

П1+пс5+п

7)

2*

Итак, мы получили, что Е* - это фундаментальный масштаб энергии. Определим его величину. Е* соответствует энергии, на которой становятся заметными квантово-гравитационные эффекты. Но мы знаем, что вплоть до энергий порядка сотен ГэВ гравитационные эффекты в физике частиц не наблюдаются. Это значит, что по меньшей мере Е* > 1 ТэВ.

Рассмотрим, какие ограничения накладываются на размер и количество дополнительных измерений. Если считать, что Е* = 1 ТэВ, то

Ер1 ~ Е1+пЬп (8) то есть, учитывая, что 1 ГэВ = 2 • 10 14 см для п =1 I ~ 1013см для п — 2 I ~ 10~2см дляп = 3 I ~ 10-7см

Очевидно, что на расстояниях, меньших, чем размер дополнительных измерений, наблюдатель зафиксирует отклонения от Ньютоновского закона, поэтому, разумеется, дополнительные измерения должны быть меньше чем расстояния, на которых на данный момент проверен закон Ньютона: г ~ 0.1мм. То есть, если в дополнительных измерениях может распространяться только гравитация, то

Мы видим, что для данного значения Е* допустимым является только п ^ 2.

В модели Рэндалл-Сандрума существует всего одно дополнительное измерение, имеющее бесконечную протяженность. Фундаментальный масштаб гравитационного взаимодействия там вводится иным образом, однако феноменологические следствия из обеих моделей в целом схожи и указывают на то, что эффекты теории гравитации должны быть заметны в экспериментах на LHC.

Феноменология дополнительных измерений обширно изучалась, этой теме посвящено несколько тысяч работ. В частности можно упомянуть работы [24]-[43], а также обзор [44].

Среди всех гипотетически возможных проявлений сильной гравитации одним из наиболее впечатляющих является рождение экспериментально наблюдаемых микроскопических черных дыр при ультрарелятивистских столкновениях частиц.

Впервые гипотеза о возможном рождении черных дыр в контексте моделей сильной гравитации была высказана Т. Бэнксом и М. Фишлером

L < 0.1 мм

10) в работе [45] 1999 года. Из общих соображений ими были получены оценки на сечение рождения черных дыр и выдвинуты предположения относительно возможных экспериментальных проявлениях подобного процесса. Конкретных вычислений при этом они не производили.

Первой публикацией, содержавшей явный расчет геометрического сечения рождения черных дыр в транспланковских столкновениях, была статья И.Я. Арефьевой [46], в которой в рамках трехмерного аналога модели Рэндалл-Сандрума мира на бране было построено явное решение, описывающее формирование черной дыры, и была установлена его связь с гравитацией в большем числе измерений.

Важный прорыв в описании транспланковских столкновений удалось сделать С. Гиддингсу и Д. Ердли в 2002 году. В своей статье [47] они, работая в рамках представления об ударных волнах, применили метод ловушечных поверхностей для получения оценки на сечение рождения черной дыры в четырехмерном пространстве Минковского и ее массу. Мы будем активно использовать именно этот подход в данной диссертационной работе. Пока же отметим, что ловушечная поверхность в асимптотически плоском пространстве является объектом, существование которого по теореме Хокинга-Пенроуза с неизбежностью влечет за собой существование черной дыры [48]. И в этом аспекте важность их работы заключается в том, что им фактически удалось строго доказать, что при достаточно малых прицельных параметрах и достаточно высоких энергиях формирование черной дыры в транспланковском столкновении неизбежно.

Целесообразно отметить, что, разумеется, физика транспланковских процессов не ограничивается только лишь эффектами формирования черных дыр.

В частности, при больших значениях прицельного параметра гравитационное взаимодействие частиц проявляет себя в изменениях амплитуд рассеяния частиц в эйкональном приближении. Подробно этот вопрос излагается, например, в обзорах [49,50].

Также при трапспланковских взаимодействиях становится теоретически допустимым столь сильное искривление пространства, что может происходить нарушение причинности, и формируются микроскопические машины времени (кротовые норы), т.е. области пространства-времени, содержащие замкнутые времениподобные кривые. Этот вопрос также исследовался, однако, в силу его огромной сложности (в первую очередь идеологической и логической), пока прояснен очень слабо [51-55].

Отдельный интерес представляют процессы, при которых гравитационное взаимодействие не доминирует над сильным, а сравнимо с ним (область энергий вблизи планковского порога в моделях сильной гравитации). При этом феноменологическая картина становится гораздо более сложной за счет нетривиальной интерференции между двумя фундаментальными взаимодействиями. Но пока не существует адекватного способа описания физики в этом диапазоне энергий в силу неприменимости квазиклассического приближения и модели гравитационных волн. •

В данной диссертации мы сосредоточим внимание на вопросах, связанных с проблемой рождения черных дыр.

Пока что мы обсуждали лишь физику транспланковских столкновений в пространстве Минковского. Однако особый интерес представляет также влияние нетривиальной метрики фонового пространства на ход подобных процессов. Разумеется, в земных условиях фоновое гравитационное поле исчезающе мало по сравнению с полем ультрарелятивистских частиц. Однако существует как минимум два важных типа метрик, изучение которых представляет феноменологический интерес. Это метрики де Ситтера (<18) и анти де Ситтера (А<18). ■

Метрика де Ситтера интересна по той причине, что она является простейшей моделью пространства-времени с положительной космологической постоянной. Известно, что относительно недавние экспериментальные данные коллаборации WMAP показали, что космологическая постоянная нашей Вселенной имеет значение около А = 10~47ГэВ4 [56]. И хотя данное современное значение Л очень мало, есть все основания полагать, что на ранней (инфляционной) стадии эволюции Вселенной значение Л было очень большим, а потому процессы транспланковских столкновений в ранней Вселенной были подвержены ее влиянию. В настоящее время результаты этого влияния могут быть экспериментально обнаружены по следам черных дыр, сформировавшихся в ту эпоху, на картах реликтового излучения эксперимента "PLANCK". В принципе, в данном аспекте имеет смысл рассмотреть не только dS1 но и более сложные модели пространства-времени с положительной космологической постоянной (такие как метрика Фридмана-Робертсона-Уолкера и др.), но в этой работе мы пока ограничимся лишь простейшим случаем пространства де Ситтера.

До сих пор пространство де Ситтера не рассматривалось в аспекте транспланковской феноменологии, и единственный результат, который стоит упомянуть в связи с этим контекстом, - полученные Дж. Подольски, Дж. Гриффитсом и М. Ортаггио точные решения типа ударных гравитационных волн, порожденных ультрарелятивистскими источниками различного типа в метрике де Ситтера произвольной размерности1 [57-60], а также работу [61].

Метрика анти де Ситтера, хотя она и не является непосредственной математической моделью какой-либо осмысленной физической системы, в последние годы привлекала намного больший интерес теоретиков как возможный бэкграунд для взаимодействия ударных гравитационных волн, нежели метрика де Ситтера. Это связано с последними результатами в области применения AdS/CFT-соответствия к описанию физики сильных взаимодействий (СFT - конформная теория поля). Здесь уместно сделать

1 Отдельный интерес представляет исследование К. Сфетсоса, посвященное ударным гравитационным волнам, распространяющимся над бэкграундами типа черных дыр [62] небольшое отступление от темы1.

В работе 2001 года [64] с помощью методов уЫ5-голографии было расчитано значение сдвиговой вязкости сильно коррелированной суперсимметричной кварк-глюонной плазмы, описываемой конечнотемиературной N — 4 теорией супер-Янга-Миллса в пределе больших N (здесь N - ранг калибровочной группы теории SU(N)). Впоследствии выяснилось, что наблюдаемое в эксперименте RHIC (Relativistic Heavy Ion Collider) значение сдвиговой вязкости реальной кварк-глюонной плазмы очень близко к значению, вычисленному для ее суперсимметричного аналога. Это обстоятельство привело к тому, что технику AdS/CFT-соответствия стали формально применять к теориям с нарушенной конформной и суперсимметрией, пытаясь описывать и предсказывать экспериментально наблюдаемые эффекты в теории сильно коррелированных сред (как в физике конденсированных состояний, так и в квантовой хромодинамике и теории кварк-глюонной плазмы). Причем развитие подобного подхода, несмотря на его кажущуюся смелость и необоснованность, дало неожиданно хорошие результаты как с качественной, так и с количественной точек зрения.

В рамках реализации программы по описанию физики сильных взаимодействий с помощью техники Лйй'-голографии К. Кангом и X. Настази в 2004 году была предложена модель сталкивающихся ударных гравитационных волн в пространстве AdS$ как дуальных партнеров сильно взаимодействующих ультрарелятивистских частиц2 [66, 67]. При этом зависимость сечения рождения черных дыр от энергии столкновения волн была применена ими для дуального вывода ограничения Фруассара на сечение жестких процессов в квантовой хромодинамкие. Таким образом было установлена связь между двумя столь различными на первый

1Подробное изложение идеологии и техники AdS/CFT-cocrrBeicniiiin см. в [63]

2Вообще говоря, ио-видимому, впервые на ударные гравитационные волны с точки зрения AdS/CFT-соответствия обратили внимание в гораздо более ранней статье [65], однако к голографическому описанию реальной физики сильных взаимодействий эта работа отношения не имела. взгляд областями теоретической физики, как теория транспланковских столкновений и теория сильных взаимодействий. Необходимо также упомянуть работы X. Настази [68, 69], в которых он развивает голографический подход к рождению черных дыр в Ас13.

В работах С. Габсера и соавторов [70, 71] также рассматривались столкновения ударных гравитационных волн в пространстве анти де Ситтера, а их дуальным партнером служили сталкивающиеся тяжелые ионы. Вычисление площади ловушечных поверхностей, формируемых в Ас13, соответственно давало оценку на энтропию потоков частиц, рожденных при столкновении ионов.

Важный прогресс в этом направлении был достигнут П. Ромашке и Д. Грумиллером в статье [72], где им удалось построить приближенную метрику пространства-времени после столкновения двух ударных гравитационных волн в А(13$- Это позволило вычислить тензор энергии-импульса дуальной кварк-глюонной плазмы, сформированной в результате столкновения тяжелых ионов, и оценить время ее термализации.

Работы [70-72] вызвали достаточно широкий резонанс и инспирировали большое количество публикаций но голографии ударных волн. Сравнимыми по важности публикациями, посвященными данному вопросу, также являются [73-75].

В данной диссертационной работе мы проводим расчет ловушечных поверхностей, формирующихся при столкновении заряженных ударных гравитационных волн в пространстве А(135. Предположительно, данный результат может быть применен к описанию взаимодействия тяжелых ионов, обладающих ненулевым химическим потенциалом.

Диссертация состоит из трех глав.

В главе 1 вводятся основные объекты, необходимые для описания транспланковских процессов в классическом приближении.

В параграфе 1.1 мы приводим качественные аргументы в пользу справедливости классического взгляда на процессы столкновения частиц, обладающих энергиями выше порога Планка. Также в этом параграфе на примере простейшего случая безмассовой ультрарелятивистской частицы в пространстве Минковского дается определение ударной гравитационной волны как модели гравитационного поля, порожденного источником, у которого кинетическая энергия доминирует над энергией покоя.

В параграфе 1.2 определяются в инвариантной форме некоторые понятия общей теории относительности, необходимые для установления связи между ловушечными поверхностями и черными дырами.

Параграф 1.3 посвящен методу ловушечных поверхностей в общей теории относительности. Мы даем бескоординатное определение ловушечной поверхности в соответствии с монографией [76] и, далее в основном следуя книге [77], проводим детальный вывод уравнения на эту поверхность, допускающего локальную координатную запись. Для этого мы устанавливаем формальную аналогию между моделью линий тока в сплошной среде и светоподобными геодезическими в пространстве-времени. Помимо формального результата данная аналогия позволяет также сделать более прозрачным физический и геометрический смысл ловушечной поверхности.

Главы 2 и 3 содержат основные результаты диссертации.

В главе 2 рассматриваются столкновения ударных гравитационных волн в 4- и 5-мерном пространствах де Ситтера

В параграфе 2.1 мы, действуя по аналогии с работой [78], получаем явные метрики ударных гравитационных волн в пространстве де Ситтера, порожденных нейтральными и заряженными источниками.

В параграфе 2.2, рассматривая уравнения на ноль-геодезические как лагранжевы уравнения модели п-поля, мы находим явные выражения для геодезических в области пространства-времени, предшествующей столкновению ударных волн.

Затем, используя полученные результаты, в параграфе 2.3 мы выводим явное уравнение на ловушечную поверхность, также лежащую в области пространства-времени, предшествующей столкновению.

Параграф 2.4 посвящен получению точного решения этого уравнения в случае, когда ловушечная поверхность формируется при соударении нейтральных волн. Мы находим явный вид этой поверхности и вычисляем ее площадь как функцию космологического радиуса пространства и энергии сталкивающихся волн. Помимо прочего показывается, что при превышении волнами определенного энергетического порога формирование ловушечной поверхности становится невозможным (хотя до этого порога площадь ловушечной поверхности растет с увеличением энергии). Площадь, ловушечной поверхности интерпретируется как геометрическое сечение столкновительного рождения черных дыр в пространстве де Ситтера.

В параграфе 2.5 производится учет влияния электрического заряда волн на формирование ловушечных поверхностей.

Глава 3 посвящена проведению аналогичных вычислений для пространства анти де Ситтера.

В параграфе 3.1 мы приводим некоторые известные результаты, касающиеся геометрии простейших ударных гравитационных волн в и получаем форм-факторы волн, порожденных быстрыми точечными электрически заряженными источниками.

В параграфе 3.2 выводится уравнение на ловушечную поверхность, формируемую при столкновении волн.

В параграфе 3.3 проводится анализ того, при каких соотношения энергий и зарядов гравитационных волн возможно формирование ловушечной поверхности, и выводятся явные формулы для ее площади.

В приложении А приведен вспомогательный математический результат

- процедура регуляризации расходящегося интеграла, формально определяющего форм-фактор ударной гравитационной волны, порожденной точечным источником в пространстве де Ситтера.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты, выдвигаемые на защиту:

1. Получена явная формула для площади ловушечной поверхности, формируемой в столкновениях ударных гравитационных волн, порожденных точечными электрически заряженными источниками в пространстве-времени де Ситтера размерности И = 4, как функции энергии и заряда. Эта формула может быть интерпретирована как зависимость сечения столкновительного рождения черных дыр в транспланковском режиме.

2. На качественном уровне проанализировано, при каких соотношениях энергий и зарядов волн в йБ ловушечная поверхность может быть сформирована, а при каких нет. В частности продемонстрировано, что при столкновении нейтральных ударных волн, обладающих энергией-выше определенного порога, формирование ловушечной поверхности становится невозможным.

Численная оценка показывает, что этот критический порог энергий очень близок к массе экстремальной черной дыры Шварцшильда-де Ситтера. Это может служить дополнительным подтверждением гипотезы, что даже в асимптотически неплоских пространствах наличие ловушечной поверхности является достаточным условием существования горизонта событий, а ее площадь дает довольно точную оценку на площадь горизонта.

3. Результаты анализа столкновений простейших нейтральных ударных в ААвъ, полученные в работах [70, 73], были обобщены на случай взаимодействия электрически заряженных источников.

Получены явные формулы для площади ловушечной поверхности в ААБъ (заряженный случай) и ААБ^ (при нулевом заряде).

Также качественно проанализирована структура областей пространства параметров (М, О) существования и несуществования ловушечной поверхности.

4. Построена процедура регуляризации расходящихся интегралов, описывающих форм-факторы ударных гравитационных волн в пространстве-времени де Ситтера. Показано, что формальные выражения, используемые в предшествующих работах других авторов, верны.

Все выдвигаемые на защиту результаты получены автором данной диссертации, являются новыми и опубликованы в следующих работах:

1. I. Ya. Aref’eva, A.A. Bagrov, Е.А. Guseva, Critical formation of trapped surfaces in the collision of non-expanding gravitational shock waves in de Sitter space-time; hep-th: 0905.1087; JHEP 0912:009,2009

2. И.Я. Арефьева, A.A. Багров, Формирование ловушечных поверхностей в столкновениях нерасширяющихся гравитационных ударных волн в пространстве-времени AdS4, ТМФ, 161:3 (2009), 382-399

3. I.Ya. Aref’eva, A.A. Bagrov, L.V. Joukovskaya, Critical trapped surfaces formation in the collision of ultrarelativistic charges in (A)dS, hep-th:0909.1294, v JHEP 03(2010)02

4. И.Я. Арефьева, A.A. Багров, JI.B. Жуковская, Некоторые аспекты применения обобщенных функций к анализу ударных гравитационных волн в общей теории относительности, Алгебра и анализ, 22:3 (2010), 3-15

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на семинарах отдела теоретической физики Математического института им. В. А. Стеклова РАН, на семинаре по квантовой теории поля отдела теоретической физики Физического института им. П.Н. Лебедева РАН, на семинаре лаборатории теоретической физики Объединенного института ядерных исследований, а также на следующих международных конференциях:

1. 6-я летняя школа и конференция по современной математической физике, Белград, Сербия, 2010

2. Летняя школа «Теория струн: формальные результаты и приложения», Каржез, Корсика, Франция, 2010

3. Конференция «Кварки-2010», Коломна, Россия, 2010

4. Международная конференция «Проблемы теоретической и математической физики - 2009» памяти Н.Н. Боголюбова, Дубна, Россия, 2009

5. 16-й Международный конгресс по математической физике, Прага, Чешская республика, 2009

6. 2-я Международная конференция по струнной теории ноля и смежным вопросам, Москва, Россия, 2009

Автор хотел бы выразить свою признательность сотрудникам отдела теоретической физики Математического института им. В.А. Стеклова* РАН за создание комфортных условий для научной работы.

Особенно я благодарен своему научному руководителю профессору Ирине Ярославне Арефьевой за постановку задачи и постоянные конструктивные интересные дискуссии по теме диссертации, а также за то, что она существенно способствовала моему близкому знакомству с международным научным сообществом и формированию у меня объективного цельного взгляда на современную теоретическую физику.

Также я благодарю своих оппонентов Дмитрия Владимировича Гальцова и Вячеслава Евгеньевича Диденко за внимание к моей диссертационной работе.

1. Н.Н. Боголюбов, Д.В. Ширков, Введение в теорию квантованных полей, Москва, Наука, 1976.

2. Славнов А.А., Фаддеев Л.Д., Введение в квантовую теорию калибровочных полей, 2е изд., Москва, Наука, 1988

3. М.Е. Пескин, Д.В. Шредер, Введение в квантовую теорию поля, Ижевск, РХД, 2001

4. С. Вайнберг, Квантовая теория поля, т.1,2, Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2003

5. Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, Гравитация, т. 1,2,3, Москва, Мир, 1977

6. С. Вайнберг, Гравитация и космология, Москва, Мир, 1975

7. Грин М., Шварц Дж., Виттен Э., Теория суперструн, т.1,2, Москва, Мир, 1990

8. P. Aichelburg and R.Sexl, On the gravitational field of a massless particle, Gen. Rel. and Grav. 2 (1971) 303

9. G. ’t Hooft, Gravitational collapse and particle physics, Proceedings: Proton-antiproton collider physics, Aachen, 1986, pp. 669-688;

10. G. ’t Hooft, Graviton dominance in ultrahigh-energy scattering, Phys. Lett. B198 (1987) 61;

11. G. ’t Hooft, On the factorization of universal poles in a theory of gravitating point particles, Nucl. Phys. B304 (1988) 867

12. H. L. Verlinde, E. P. Verlinde, Scattering at Planckian energies, Nucl. Phys. B371 (1992) 246-268. hep-th/9110017J.

13. D. Amati, M. Ciafaloni and G. Veneziano, Superstring collisions at Planckian energies, Phys. Lett. B197 (1987) 81;

14. D. Amati, M. Ciafaloni and G. Veneziano, Classical and quantum gravity effects from Planckian energy superstring collisions, Int. J. Mod. Phys. A3 (1988) 1615;

15. D. Amati, M. Ciafaloni and G. Veneziano, Can space-time be probed below the string size? Phys. Lett. B216 (1989) 41;

16. D. Amati, M. Ciafaloni and G. Veneziano, Higher order gravitational deflection and soft bremsstrahlung in Planckian energy superstring collisions, Nucl. Phys. B347 (1990) 550;

17. D. Amati, M. Ciafaloni and G. Veneziano, Planckian scattering beyond the semiclassical approximation, Phys. Lett. B289 (1992) 87

18. Ya. Aref’eva. K. Viswanathan and I. V. Volovich, Planckian-energy scattering, colliding plane gravitational waves and black hole creation, Nucl. Phys. B452 (1995) 346; Erratum, ibid. B462 (1996) 613 hep-th/9412157.;

19. Ya. Aref’eva, K. S. Viswanathan and I. V. Volovich, On black hole creation in Planckian energy scattering, Int. J. Mod. Phys. D5 (1996) 707 hepth/9512170.

20. N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos and G. R. Dvali, The hierarchy problem and new dimensions at a millimeter, Phys. Lett. B429 (1998) 263 hepph/9803315.;

21. Antoniadis, N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos and G. R. Dvali, New dimensions at a millimeter to a Fermi and superstrings at a TeV, Phys. Lett. B436 (1998) 257 hep-ph/9804398.

22. L. Randall, R. Sundrum, An Alternative to compactification, Phys. Rev. Lett. 83, 4690-4693 (1999). hep-th/9906064.,

23. L. Randall, R. Sundrum, A Large mass hierarchy from a small extra dimension, Phys. Rev. Lett. 83, 3370-3373 (1999). hep-ph/9905221.,

24. A. Ringwald and H. Tu, Collider versus cosmic ray sensitivity to black hole production, Phys. Lett. B525 (2002) 135 hep-ph/0111042.;

25. E. J. Ahn, M. Cavaglia and A. V. Olinto, Brane factories, Phys. Lett. B551 (2003) 1 hep-th/0201042.;

26. S. N. Solodukhin, Classical and quantum cross-section for black hole production in particle collisions, Phys. Lett. B533 (2002) 153 hep-ph/0201248.;

27. E. Kohlprath and G. Veneziano, Black holes from high-energy beam-beam collisions, J. High Energy Phys 06 (2002) 057 arXiv:gr-qc/0203093.;

28. H. Yoshino and Ya. Nambu, Black hole formation in the grazing collision of high-energy particles, Phys. Rev. D67 (2003) 024009 gr-qc/0209003.;

29. O. I. Vasilenko, Trapped surface formation in high-energy black holes collision hep-th/0305067.;

30. H. Yoshino and V. S. Rychkov, Improved analysis of black hole formation in high-energy particle collisions, Phys. Rev. D71 (2005) 104028 hep-th/0503171.;

31. M. Cavaglia, Black hole and brane production in TEV gravity: A review, Int. J. Mod. Phys. A18 (2003) 1843 hep-ph/0210296.;

32. P. Kanti, Black holes in theories with large extra dimensions: A review, Int. J. Mod. Phys. A19 (2004) 4899 hep-ph/0402168.;

33. S. B. Giddings and V. S. Rychkov, Black holes from colliding wavepackets, Phys. Rev. D70 (2004) 104026 hep-th/0409131.;

34. V. Cardoso, E. Berti and M. Cavaglia, What we (don’t) know about black hole formation in high-energy collisions, Class. Quant. Grav. 22 (2005) L61-R84 hep-ph/0505125.;

35. G. L. Landsberg, Black holes at future colliders and beyond, J. Phys. G322006) R337 hep-ph/0607297.;

36. D. M. Gingrich, Black hole cross section at the LHC, Int. J. Mod. Phys. A21 (2006) 6653 hep-ph/0609055.;

37. H. Stoecker, Mini black holes in the first year of the LHC: Discovery through di-jet suppression, multiple mono-jet emission and ionizing tracks in ALICE, J. Phys. G32 (2006) S429;

38. B. Koch, M. Bleicher and H. Stoecker, Black holes at LHC? J. Phys. G342007) S535 hep-ph/0702187.;

39. N. Kaloper and J. Terning, How black holes form in high energy collisions 0705.0408.;

40. M. Cavaglia et al., Signatures of black holes at the LHC 0707.0317.;

41. P. Meade and L. Randall, Black holes and quantum gravity at the LHC 0708.3017.;

42. S. B. Giddings, High-energy black hole production 0709.1107.

43. R. Emparan, Exact gravitational shockwaves and Planckian scattering on branes, Phys. Rev. D64 (2001) 024025 hep-th/0104009.

44. S. Dimopoulos and G. Landsberg, Black holes at the LHC, Phys. Rev. Lett. 87 (2001) 161602 hep-ph/0106295.

45. T. Banks and W. Fischler, A model for high energy scattering in quantum gravity hep-th/9906038.

46. I. Ya. Aref’eva, High-energy scattering in the brane world and black hole production, Part. Nucl. 31 (2000) 169 hep-th/9910269.

47. D. M. Eardley and S. B. Giddings, Classical black hole production in high-energy collisions, Phys. Rev. D66 (2002) 044011 gr-qc/0201034.

48. S. W. Hawking and R. Penrose, The singularities of gravitational collapse and cosmology, Proc. Roy. Soc. Lond. A314 (1970) 529

49. G. F. Giudice, R. Rattazzi and J. D. Wells, Quantum gravity and extra dimensions at high-energy colliders, Nucl. Phys. B544 (1999) 3 hep-ph/9811291.;

50. G. F. Giuduce, R. Rattazzi and J. D. Wells, Transplanckian collisions at the LHC and beyond, Nucl. Phys. B630 (2002) 293 hep-ph/0112161.

51. I. Ya. Aref’eva and I. V. Volovich, Time machine at the LHC, Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. 05 (2008) 641 0710.2696.

52. A. Mironov, A. Morozov and T. N. Tomaras, If LHC is a mini-time-machines factory, can we notice? 0710.3395.

53. A. A. Bagrov, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 216, 211-213 (2011).

54. P. Nicolini and E. Spallucci, Noncommutative geometry inspired wormholes and dirty black holes 0902.4654.

55. I. D. Novikov, N. S. Kardashev and A. A. Shatskiy, The multicomponent universe and the astrophysics of wormholes, Phys. Usp. 50 (2007) 965 Usp. Fiz. Nauk 177 (2007) 1017.

56. E. Komatsu et al. WMAP Collaboration., Five-year Wilkinson microwave anisotropy probe (WMAP) observations: Cosmological interpretation, Astrophys. J. Suppl. 180 (2009) 330 [0803.0547]

57. J. Podolsky and J. B. Griffiths, Impulsive waves in de Sitter and anti-de Sitter space-times generated by null particles with an arbitrary multipole structure, Class. Quant. Grav. 15 (1998) 453 gr-qc/9710049.

58. J. Podolsky and J. B. Griffiths, Nonexpanding impulsive gravitational waves with an arbitrary cosmological constant, Phys. Lett. A261 (1999) 1 grqc/9908008.;

59. J. Podolsky, Exact impulsive gravitational waves in spacetimes of constant curvature gr-qc/0201029.

60. J. Podolsky and M. Ortaggio, Symmetries and geodesics in (anti-)de Sitter space-times with nonexpanding impulsive waves, Class. Quant. Grav. 18 (2001) 2689 gr-qc/0105065.

61. G. Esposito, R. Pettorino and P. Scudellaro, On boosted space-times with cosmological constant and their ultrarelativistic limit gr-qc/0606126.

62. K. Sfetsos, On gravitational shock waves in curved space-times, Nucl. Phys. B436 (1995) 721 hep-th/9408169.

63. O. Aharony, S. S. Gubser, J. M. Maldacena, H. Ooguri, Y. Oz, Large Nfield theories, string theory and gravity, Phys. Rept. 323, 183-386 (2000). hepth/9905111. '

64. G. Policastro, D. T. Son, A. O. Starinets, The Shear viscosity of strongly coupled N=4 supersymmetric Yang-Mills plasma, Phys. Rev. Lett. 87, 081601 (2001). hep-th/0104066.

65. G. T. Horowitz and N. Itzhaki, Black holes, shock waves, and causality in the AdS/CFT correspondence, JHEP 02 (1999) 010 hep-th/9901012.

66. K. Kang and H. Nastase, High energy QCD from Planckian scattering in AdS and the Froissart bound, Phys. Rev. D72 (2005) 106003 hep-th/0410173.;

67. K. Kang and H. Nastase, Planckian scattering effects and black hole production in low M(P1) scenarios, Phys. Rev. D71 (2005) 124035 hep-th/0409099.

68. H. Nastase, On high energy scattering inside gravitational backgrounds hep-th/0410124.

69. H. Nastase, The RHIC fireball as a dual black hole hep-th/0501068.

70. S. S. Gubser, S. S. Pufu and A. Yarom, Entropy production in collisions of gravitational shock waves and of heavy ions, Phys. Rev. D78 (2008) 066014 0805.1551.

71. S. S. Gubser, S. S. Pufu and A. Yarom, Off-center collisions in AdS with applications to multiplicity estimates in heavy-ion collisions 0902.4062.

72. D. Grumiller and P. Romatschke, On the collision of two shock waves in AdS5 0803.3226.

73. L. Alvarez-Gaume, C. Gomez, A. S. Vera, A. Tavanfar and M. A. Vazquez-Mozo, Critical formation of trapped surfaces in the collision of gravitational shock waves 0811.3969.

74. E. Shuryak, S.-J. Sin and I. Zahed, A gravity dual of RHIC collisions, J. Korean Phys. Soc. 50 (2007) 384 hep-th/0511199.

75. A. J. Amsel, D. Marolf and A. Virmani, Collisions with black holes and deconfined plasmas, JHEP 04 (2008) 025 0712.2221.

76. S. W. Hawking and G. R. F. Ellis, The large scale structure of space-time Cambridge Univ. Press (1973)

77. E. Poisson, A relativist’s toolkit: The mathematics of black-hole mechanics, Cambridge (2004)

78. M. Hotta and M. Tanaka, Shock wave geometry with non-vanishing cosmological constant, Class. Quant. Grav. 10 (1993) 307

79. D. Astefanesei, R. B. Mann, E. Radu, Reissner-Nordstrom-de Sitter black hole, planar coordinates and dS / CFT, JHEP 0401, 029 (2004). hep-th/0310273.

80. R. Penrose, The question of cosmic censorship, J. Astrophys. Astron. 20 (1999) 233

81. R. Penrose, Results presented at the Cambridge University Seminar (1974) unpublished.

82. T. Dray and G. ’t Hooft, The gravitational shock wave of a massless particle, Nucl. Phys. B253 (1985) 173

83. S. B. Giddings and S. Thomas, High energy colliders as black hole factories: The end of short distance physics, Phys. Rev. D65 (2002) 056010 hepph/0106219.;

84. V. Ferrari, P. Pendenza and G. Veneziano, Beam-like gravitational waves and their geodesics, Gen. Rel. and Grav. 20 (1988) 1185

85. P. D. D’Eath and P. N. Payne, Gravitational radiation in high speed black hole collisions. 1. Perturbation treatment of the axisymmetric speed of light collision, Phys. Rev. D46 (1992) 658;

86. P. D. D’Eath and P. N. Payne, Gravitational radiation in high speed black hole collisions. 2. Reduction to two independent variables and calculation of the second order news function, Phys. Rev. D46 (1992) 675;

87. P. D. D’Eath and P. N. Payne, Gravitational radiation in high speed black hole collisions. 3. Results and conclusions, Phys. Rev. D46 (1992) 694

88. M. Gelfand, G.E. Shilov, Generalized functions, vol. 1, 2, New York and London, Academic Press Inc, 1964

89. V.S.Vladimirov, Generalized functions in mathematical physics, Moscow, 1976, (In Russian); English transl.(“Mir”, Moscow), 1979