Аппроксимационные свойства линейных полиномиальных операторов для функций нескольких переменных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ6 од

1 8 ЛПР 19.94

СЛНКТ-ПВТЕРВУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи ЭДУАРДО ГУТИЕРРЕС ГОНСАЛЕС

УДК 517.5

АППРОКСИМА1ШОННЫЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ДЛЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискашю ученой степсци кандидата физико-математических паук

Санкт- Петербург

1994

Работа выполнена в Санкт-Петербургской государственном университете.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - кандидат физико-математических

наук ,

доцент А.Н.ПОДКОРЫТОВ

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ -

доктор физико-математических наук,

профессор H.A. Широкоо кандидат физико-математических кауv М.А. Скопила

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Санкт-Петербургскй педагогический государственный университет

Защита состоится 28 апреля 1994г. в 15 час. 30 мин. на заседании специализированного совета К 063.57.29 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических паук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу:

198904, Старый Петергоф, Библиотечная пл., д.2, ыатематико-ыеханический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослал { " апреля 1994 г. УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННОГО СОВЕТА КАНДИДАТ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

О.И. РЕЙНОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Работа посвящепа некоторым вопросам аппроксимации функций нескольких перемеп-пых линейными полиномиальными операторами. В первой главе рассматриваются частичные суммы кратного ряда Фурье периодической суммируемой на периоде фупкции, а во второй главе - многочлены Вернштейна разрывной функции нескольких переменных.

В одномерном случае подобные вопросы изучались в работах многих математиков. В большинстве случаев найдены исчерпывающие ответы, которые можно найти в известных монографиях Бари, Зигмунда, Ахиезера, Тимана. В последние годы значительно возрос интерес к приближению функций нескольких переменых. При этом оказалось, что некоторые фундаментальные утверждения не переносятся на многомерный случай (например, принцип локализации Рима-на), некоторые проблемы остаются открытыми до «и пор (в частности, сходимость сферических сумм Фурье почти везде). Кроме того, возникают новые, естественные в кратном случае вопросы, не имеющие аналогов в классическом, одномерном анализе, но играющие решающую роль при приближении функций нескольких переменных. К таким вопросам относится, например, проблема выбора определения суммы кратного ряда (не сходящегося абсолютно).

ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ. Основная цель исследований в первой главе - изучить влияние геометрических свойств множества, определяющего частичные суммы кратного ряда Фурье, на порядок роста соответствующих констант Лебега. Во второй главе - изучить асимптотическое поведение многочленов Бернштейпа фупкции многих пере-

иенных в точке разрыва (типа скачка) этой функция.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В первой главе используются асимптотические свойства преобразования Фурье меры, сосредоточенной на выпуклой кривой, с их помощью изучается поведение на бесконечности многомерных констант Лебега.

Во второй главе с помощью асимптотических представлений слагаемых выделяется их малая группа, определяющая предельное поведение многочленов Бершптейиа.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты работы являются новыми, они приведены с полными доказательствами.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в математической физике, теории вероятностей и теории чисел.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на семинаре проф. Г.И. Натансона по конструктивной теории функций, на конференции по теории функции в г. Днепропетровске (1993г) и на коиферспяии по конструктивной теории функций в С.-Петербурге (1992г).

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1], [2],

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения и двух глав. Общий объем работы - 82 стр. Список литературы содержит 43 названия.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Как уже отмечалось, в первой главе диссертации изучается поведение частичных сумм кратного ряда. Фурье при довольно общем определении частичной суммы. Изучению кратных рядов Фурье посвящено большое число работ вышедших в последние годы. Большая часть обсуждаемых в них результатов связана с двумя наиболее распространенными способами определения суммы кратного ряда Фурье - сферические и прямоуголвые (и, в частности, кубические) суммы. Второй из втих способов суммирования ближе к тра-дидионому, одномерному анализу Фурье - постановка задач и методы их решения зачастую вполне аналогичны классическим (хотя и здесь имеются результаты Ч.Феффермапа, С.В.Конягина не имеющие аналогов в одномерном случае).

Сферические суммы Фурье требуют совершенно ипых методов (см, работы Бохнера, Стейна, Феффермапа и В.А. Ильина). При втом выяснилось, что поведение сферических сумм существенно отличается от поведения сумм по кубам. Во многом это определяется различием в скорости убывания на бесконечности преобразования Фурье характеристических функций куба и шара. Первая из них довольно

быстро убывает (,, почти суммируема ")

*.(«) = / •

[-ЬИ-

что вызывает медленный, логарифмический рост норм операторов взятия частичных сумм (копстапт Лебега). Поэтому требования на гладкость функции, обеспечивающие сходимость таких частичных сумм, аналогичны тем, что известны в классическом, одпомерном анализе (условие Диии-Липшица). Совершенно иной характер убывания преобразо-

-

вания Фурье характеристической функции шара:

Хв (х) = / е-"«'^ = (2т|х|) =

МО

(здесь /г(г) - значение в точке х функции Бесселя порядка 1>). Медленное убывание \в на бесконечности вызывает быстрый (степенной) рост констант Лебега. Поэтому достаточные условия, обеспечивающие сходимость сферических сумм существенно отличаются от одномерных - требуется наличие у разлагаемой функции производных, порядок которых растет пропорционально размерности пространства т (точные условия, вайдешш В.А.Илышым).

Столь сильное различие в поведении кубических и сферических сумм Фурье ставит два, тесно связанных, вопроса: какие геометрические характеристики определяют в то различие? что будет, если вместо шара и куба взять произвольную выпуклую и компактную окрестность начала координат? Этим вопросам и посвящены исследования в первой главе диссертации. В ее первых двух параграфах изучается двумерный случай. Рассматривается поведение на бесконечности преобразования Фурье характеристической функции х» множества IV

*.г(*) = // «-'"»»4У

УГ

и соответствующих констант Лебега (при Л —♦ +оо)

ДйИ') = // £ е-,г"Ч<гх.

С помощью формулы Грина изучение ¿и- сводится к рассмотрению криволинейных интегралов первого рода

(т.е. преобразованию Фурье меры, сосредоточенной на кривой д№). Асимптотическое поведение (при |х| —» +оо) интеграла 1(х) изучалось в работах Герда, Свенссона, Рэндола и других. При этом исследование велось пе только в двумерном случае, но обязательно предполагалась определенная гладкось поверхности дW и ее невырожденность (гауссова кривизна всюду отлична от нуля). В частности, в работе Герца была получена асимптотическая формула для интеграла 1(х) аналогичная формуле (*) для достаточно гладких невырожденных поверхностей: дW (в частпости, для остатка формулы Герца справедлива оценка 0(1/|х|), равномерпая по всем направлениям вектора х). Требования на гладкость не позволяют применять этот результат даже в таких простых случаях, когда IV-полукруг или пересечение двух выпуклых компактов с „хорошими" границами.

В §1 первой главы решается аналогичная задача в двумерном случае, яо при минимальных условиях на кривую дУ/. Предполагается лишь, что она замкнутая и выпуклая, без каких-либо дополнительных предположений о гладкости или кривизпе. Простые примеры показывают, что в »той ситуации невозможно получить равномерную оценку остатка 0(1/|х|), более того, для некоторых направлений вектора х главный член формулы Герца может не иметь смысла (если кривизна кривой равна нулю в тех точках, где нормаль к дЩ пропорциональна вектору х). В то же время ясно, что такие исключительные направления редки и можно надеяться, что главный член формулы Герца останется таковым для почти всех направлений вектора х. Такого рода результат

ей'

был получен в работе А.Н. Подкорытова, в которой предполагалось, что функция К удовлетворяет условию Липшица с показателем 1. Теорема, установленная в §1, существенно снижает требования на. при тех же минимальных требованиях на кривую дУ/\

Теорема 1 (глава I) Пусть функция Р задана на дУ/ и имеет там ограниченную вариацию; х = г е^,, г > О, е^ - (созу.атр); р(<р) — тах{у • е9|у 6 И'}, у^-та точка кривой 8IV, в которой »тот максимум достигается; р(у)- радиус кривизны 81У в точке у^. Тогда для почти всех <р справедливо равенство

/(*)= j Р(у)е-*"*г<и = причем остаток удовлетворяет соотношениям

ж

*(г,<е)-►О и ¡\к{г,ч>)\*Лр*С„{тр\Р\+Чп Г)9.

Г-.+00 J

-ж

ж

В частности, / ]х(г,<р)\Лр -—* 0 при г —► +оо.

- ж

С втш! результатом связана оценка скорости убывания /(х) ври г = |х| —► +00

ж

I |/(гв,)|Мр < \Г\ + Уаг Р?.

— Ж

Таким образом, в среднем (по всем поворотам вектора х)

интеграл 1(х) убывает не медленнее интеграла

J е~3г'х'г<1з = 2л^(2хг) = (соя(2згг - г/4) + 0(1/г)) |У|=1

т.е. кривая А1У = {у | |у| - 1} дает минимальную скорость убывания интеграла /(к).

Во второй параграфе атот результат используется для оценки снизу констант Лебега частичных сумм двойного ряда Фурье

где IV - выпуклая компактная окрестность нуля. Оценкам, констант Лебега ЦК№) при й —► +оо посвящены несколько работ, вышедших в последнее время. В частности, в работах В.А. Юдина показано что

Эти оценки не улучшаемы по порядку:

а) если V? - круг, то ЦПУ/) х -/К;

б) если IV — [-1,1|3, то нетрудно проверить, что £(ЯИ0 1п' Я.

Это соотношение справедливо для любого многоугольника

Дальнейшие исследования (Карешпш, Соарди) показали, что типичной является верхняя оцевх&ЦЯМ?) ? С„ если кривая д\У достаточно гладкая 6 С4) и имеет ненулевую кривизну во всех точках. И. Лифляпдом требования на гладкость несколько ослаблены (д№ 6 С')• Эти результаты получены на основе асимптотической формулы Герца. Использование более слабого варианта а той формулы со среднеквадратичной оценкой остатка (вместо равномерной) позволяет получить оценку снизу > С „'/Л без каких-либо предположений о гладкости кривой Достаточно,

О < А„ 1п2 Я < 1(Я1У) < В„у/Н.

И' Сй?

чтобы она была выпуклой, а ее радиус кривизны р(ч>) был отличен от нуля на множестве положительной меры. Точнее, справедлива

Теорема 2 (глава I) Пусть выпуклое множество V/ содержится в квадрате [-1,1]'. Тогда

¿^ЛГ^ё* ' где

—к

Таюш образом, соотношение ЦПУ/) = о(\[Л) возможно лишь в той случае, когда р(у>) = 0 для почти всех ч>, т.е. экстремальная скорость роста констант Лебега ЦК№) а типична на классе выпуклых компактов IV. Остается открытым вопрос о достаточности условия р(<р) = 0 (для п.в. <р) для справедливости соотношения

В заключительном, третьем параграфе первой главы решается следующая задача. Пусть IV - выпуклый компакт в К™.

ЦЛЩ = / I е-,'<кх|«Ьс

- константы Лебега в периодическом случае, т.е. нормы операторов взятия частичной суммы кратного ряда Фурье Е 1(к)е1ж'кж суммируемой на [-1/2,1/2]"* периодической

функции /:

(/)(*) = £ /(к)е**"с,х. кейттг™

Аналогично определяются константы Лебега в непериодическом случае:

С{Ж)= ! | I е-аг(у ^у|(гх.

- и -

Как показано В.Л. Юдиным при Я £ 2

О < Ь" Я < 1(ЯИ0, С{1М) < В„ я0»*.

Причем девая оценка точна на классе многогранников а правая оценка точна, если IV - шар. Возникает вопрос о существовании промежуточных скоростей роста констант Лебега. В двумерном случае известно (А.Н. Подкарытов, В. А. Юдин)

а) для любого р ^ 2 существует такой выпуклый компакт И'Сй'.что ЦХ\У) х Ь" Я;

б) для любого р € (0,1/2] существует такой выпукый компакт IV С Л3, и числа а, /9 € К, что

О < СгЯПааЯ ^ ЦЛМ) < СзЯ'ЬРя

В то же время в пространствах более высокой размерности (т ^ 3) вопрос о существовании множеств с промежуточной скоростью роста конставтЛебега остается яе вполне исследованным. Из результатов, относящихся к двумерному случаю, легко получить, что для любого д ^ т существует такой выпуклый компакт V С йт, что Ь(НУ), £(ЯУ) х 1п'Я. В качестве V можно взять декартово произведение куба |—1,1]™—3 и множества IV С К4, для которого ~ Лля степенного порядка роста аналогичное построение дает лишь частичный результат - в й™ возможен степенной рост констант Лебега Я' (с точностью до логарифмического множителя) лишь прир € (0, Следовательно, для степенной скорости роста остается не исследованным интервал р € (^х2,В третьем параграфе первой главы для любого р из этого интервала построен пример такого выпуклого, компакта V С й", что соответствующие константы Лебега в непериодическом случае С(ЯУ) растут как Я'. Точнее

О < < £(ВУ) < <7,Я*1п Д

ушЯ

(Я >2)

(для констант Лебега в периодическом случае Ь{ЯУ) аналогичный вопрос остается открытым).

Множество V реализуется в вяде тела вращения подгра-фика некоторой специально подобранной вогнутой ломаной / с бесконечным числом звеньев. Значительная часть технических трудностей преодолевается в лемме 8. Она показывает, что константы Лебега С(Л\У?) множества и" = {у е к» | Ут е [М, у? + - +А-1 < (/ -

положительная убывающая непрерывная и вогнутая на промежутке [Ьо, Ц функция) растут так же как двойные интегралы

*л»я ь 0 0 »0

Для исследования этих интегралов используются хорошо

Р

известные оценки интегралов вида } В связи с

о

тем, что изучение интегралов Зц для конкретной ломаной } требует большого внимания к многочисленным параметрам,

участвующим в оценках, в леммах в и 7 приводятся требуе-

р

мые в дальнейшем оценки интегралов / с явным

а

указанием констант. Эти утверждения не претендуют на новизну и приводятся лишь для удобства читателя.

Во второй главе изучаются многочлены Бернштейпа функций нескольких переменных. Они достаточно подробно изучены в одномерной случае. В многомерном случае имеются несколько обобщений классических многочленов Бернштейпа. При атом существенную роль играет множество, на котором определена приближаемая функция. Мы рассматриваем два наиболее распространенных случая: функции, заданные на кубе и функции, заданные на стандартном симплексе.

Как известно, многие линейные методы аппроксимации, позволяющие приблизить многочленами непрерывную функ-

кию, будучи примененными к разрывной функции, ведут себя довольно регулярно. Например, средние Фейера периодической функции /, имеющей в точке х разрыв первого рода, стремятся к £(/(« + 0) + /(« - 0)). Аналогичным свойством обладают и классические многочлены Бернштей-на. В то же время в многомерном случае точечная сходимость линейных полиномиальных операторов от разрывных функций изучена значительно меньше. Одна из трудностей, возникающих здесь, отсутствие удобной классификации точек разрыва, имеющейся в одномерном случае. Наиболее естественным аналогом разрыва первого рода для функции / нескольких переменных представляется такое поведение функции вблизи точки х, что для любого орта и существует конечный радиальный предел /о(ш) = 1га/(х + t^J). Поведе-

<>о

кие двойного ряда Фурье в таких точках изучалось в работе Аветисяна.

Подобная задача для многочленов Бернштейпа функции нескольких переменных в известной нам литературе не обсуждалась. В двух параграфах второй главы при минимальных и естественных предположениях о функции найдены предельные значения многочленов Вершптейна функции нескольких переменных, В первом параграфе рассматриваются многочлены Бершптейна В„(/,х) ограниченной на кубе [0,1]™ функции. Многочлены в„(/) определяются равенством

Ф<к<а

= Г /^•••.ЬП6^1-*^-1'-0<*1<«1 ;=1 0<к„<пт

Доказывается (теорема 1 глава II), что если ограниченная функция / в точке х £ (0,1)" имеет радиальные пределы /о (сходимость /(х +■ -> /о(«) равномерная по ы), а фуяк-

ция /о интегрируема по Риману на единичной сфере, то при а —> +оо (т.е. тт г»! —» +оо)

*(/,«)-» ИВ / ****

Во второй параграфе аналогичный результат получен для функций, заданных на стандартном симплексе

<?» = {уеКт|й,"- ,уш ^ 0, п + -•• + ?„, $1}.

Для ^ € N многочленом Бернштейна функшш /, заданной на <}», называют (для х = (хи •• • ,гт) положим (х) :=*, +••• + «„)

*£</.*) = £ /(&)^х"(1-(х))"-(к) =

(Ь)<Л

», ,••• Л. >0 № -*»-••• /=, V

Доказывается (теорема 2 гя. И), что если ограниченная

на <?„ функция / имеет радиальные пределы /о (сходимость

/(х +• <и>)-► /0(ы) равномерная по «), а функция /0 инте-

>0

грируема по Римаву на единичной сфере, то при N -+ -Ьоо

/

У

В частности, если функция /0 принимает лишь два значения /+ и /_, причем в противоположных точках сферы значения различны (то есть равенство /0(и>) = /+ равносильно

равенству /о(-ы) - /_), то £j?(f,x) и стремятся

к j(/+. + /_). В обоих случаях нельзя равномерную сходимость к /о заменить на поточечную.

Работы автора по теме диссертации

[1] Гутиеррес Гонсалес Э. О константах Лебега кратных сумм Фурье //В сб.: Конструктивная теория функций. Тезисы докладов конференции, посвященпой 70-летшо проф. B.C. Виденского. С.-Петербург.1992. 77с.

[2] Гутиеррес Гонсалес Э. Оценка снизу двумерных констант JleStza Ц Вестник С.-Петербургского ун-та, 1993. Сер.1. Вып.2. С.119-121.

Подписано к печати 31,03.94. Заказ ИЗ Тираж 100 Объем 0.У5 п.л. ПУЛ СПГУ. 19903А, Санкт-Петербург, наб. Макарова,6.