Аппроксимация электрических полей на плоскости полями точечных мультиполей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Долгоиолова Маргарита Викторовна

Аппроксимация электрических полей на плоскости полями точечных мультиполей

01 04.02 - теоретическая физика Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 4 МАЙ 2007

Красноярск - 2007

003060101

Работа выполнена на кафедре общей физики Сибирского федерального университета

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук, доцент, профессор СФУ Казанцев В.П

Официальные оппоненты.

доктор физико-математических наук, профессор Захаров 10 В

кандидат физико-математических наук, доцент СФУ Степаненко В А

Ведущая организация - Институт Физики им. Л В Киренского СО РАН г Красноярск

Защита состоится 28 мая 2007 г. в 10 час. на заседании диссертационного совета К 212.099.03 в Сибирском федеральном университете по адресу Красноярск, пр Свободный, 79, конференц-зал

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета

Автореферат разослан 27 апреля 2007г

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук У — Золотов О А Ось**

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы_ Характер диссертации определили вопросы построения аналитической

электростатики, как раздела электродинамики, основанной на фундаментальных вариационных принципах

Недостаточное развитие вариационных методов в электростатике объясняется, в основном, трудностью реализации вариационных принципов, связанной с трудностями выбора пробных функций применительно к тем или иным классам задач Поэтому разработка соответствующих вариационных принципов и методов подбора функций представляется весьма актуальной.

В свою очередь, проблемы расчета электрической емкости, проводимосш и других эквивалентных им величин, возникающие при проектировании различных электротехнических устройств и линий связи, требуют как совершенствования существующих методов расчета, так и развития новых, достаточно универсальных и гарантирующих точность вычисляемых параметров. Часто решение таких задач осложнено в большинстве случаев отсутствием возможности получения точных аналитических решений Возможность использования ЭВМ для численных расчетов не снимает остроту этих проблем, а прибавляет проблему оценки погрешности. Поэтому развитие метода энергетических неравенств для расчета двухсторонних оценок интегральных характеристик электрического поля является во многих отношениях перспективным направлением, которое позволяет преодолеть ряд перечисленных трудностей

Для электростатики на плоскости наиболее удобным математическим аппаратом служит комплексный анализ, в связи с этим актуальной является тема объединения методов ТФКП с вариационными методами

Цель работы_ Исследование проблем, возникающих при построении аналитической электростатики, а именно обобщение и формулировка вариационных принципов для

конкретных классов задач, разработка меюдов выбора пробных функций для этих классов задач, в частности, включение методов теории функции комплексных переменных в рамки метода энергетических неравенств

Научная новизна. В работе впервые проведено соединение методов вариационных неравенств с методами теории функций комплексных переменных, где выбор пробных функций осуществляется в виде потенциалов, создаваемых суперпозицией точечных мультиполей или суперпозицией экранированных точечных мультиполей. Рассмотрены в комплексной форме основные электростатические соотношения для точечных мультиполей и экранированных точечных мультиполей

Практическая значимость Диссертационная работа имеет теоретический характер Полученные результаты могут быть применены для расчета электрических полей различных систем на плоскости в инженерных задачах электрофизики.

Научные положения, выносимые на защиту

1 Развитие в комплексной форме схемы реализации вариационных принципов для плоских задач электростатики

2 Аналитические формулы для энергии взаимодействия точечных мультиполей и энергии взаимодействия экранированных точечных мультиполей произвольных порядков на плоскости.

3 Вариационная схема аппроксимации электрического поля для задачи двух и трех кругов.

4 Вариационные схемы аппроксимации поля экранированного провода полями точечных экранированных мультиполей в задачах о погонной емкости кругового провода относительно параллельной одной и двух проводящих плоскостей

Апробация работы. Основные результаты работы были доложены и обсуждены на научных семинарах ИФ СО РАН (г Красноярск), Института Вычислительного моделирования СО РАН (г. Красноярск), на семинаре кафедры теории функции математического факультета СФУ.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 8 работах, из них 6 в изданиях по списку ВАК.

Личный вклад автора состоит в теоретических выводах основных электростатических соотношений, построении вариационных вычислительных схем для конкретных классов задач, проведении расчетов и анализе результатов

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из Введения, трех глав и Заключения Содержание работы изложено на 120 страницах, с 6 таблицами и списка литературы из 40 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава диссертации посвящена основным моментам применения метода вариационных неравенств к задачам электростатики

В первом разделе главы формулируется принцип Дирихле и здесь же доказывается, что емкость части тела не больше емкости целого гела

Во втором разделе показана возможность формулировки вариационного принципа, дуального принципу Дирихле Основанием для него служит возможность формулировки уравнений электростатики не через скалярный, а через векторный потенциал.

В третьем разделе проводится аналитический обзор литературы, посвященной формулировкам вариационных принципов в электростатике, показано, что основные

формулировки принципа Томсона были получены из вариационного принципа, дуального принципу Дирихле, который назван обобщенным принципом Томсона.

В четвертом разделе приведен пример построения расчетных вариационных схем и проведения двухсторонних оценок при помощи метода обобщенных координат. С этой целью рассмотрена задача о емкости цилиндрических конденсаторов Наличие двухсторонних оценок позволяет проводить оценки погрешности, фактически придавая таким утверждениям силу математических теорем.

В пятом разделе рассмотрены понятия функции Грина, а также внешнего и внутреннего конформных радиусов Получена аналитическая формула для комплексного потенциала точечного заряда, определяемого через комплексную функцию Грина.

В шестом разделе построена вариационная расчетная схема задачи об уединенном заряженном теле на плоскости, а также вариационная схема решения задачи об экранированном заряженном теле на плоскости

Метод вариационных неравенств позволяет получать достаточно точные аналитические формулы для двухсторонних оценок, и дает возможность доказывать различные утверждения для этих величин, например, исследовать их асимптотическую зависимость от параметров задачи.

Во второй главе диссертации приведена формулировка в комплексной форме электростатических соотношений для точечных зарядов и точечных мультиполей

В первом разделе главы рассмотрено комплексное представление напряженности электрического поля и энергии взаимодействия точечных зарядов В комплексной форме выражен закон Кулона для точечных зарядов на плоскости Указан физический смысл реальной и мнимой части комплексного потенциала точечного заряда

Во втором разделе предложена нормировка комплексного потенциала зарядов Эта процедура позволяет проводить аналогию для энергетических соотношений между пространственными задачами и задачами на плоскости. Приведены соотношения для нормированного электрического поля и комплексного потенциала системы точечных зарядов. В комплексной форме представлена сила, действующая на р -ый заряд со стороны всех остальных зарядов системы

В третьем разделе представлены комплексная напряженность электрического поля и потенциал точечного диполя, приведены выражения для реальной и мнимой части комплексного потенциала точечного диполя.

В четвертом разделе исследуется взаимодействие точечного диполя с внешним электрическим полем. Выведены соотношения для комплексной потенциальной энергии дипольного момента во внешнем электрическом поле, комплексной силы, действующей на диполь со стороны внешнего поля, а также момента силы; найдены выражения для потенциальной энергии взаимодействия двух точечных диполей и комплексной потенциальной энергии взаимодействия точечного заряда с точечным диполем

В пятом разделе все вышеперечисленные электростатические соотношения распространены для системы точечных диполей.

В шестом разделе рассмотрены понятия электрических точечных мультиполей на плоскости, которые образуются при разложении по степеням комплексной переменной комплексного потенциала системы зарядов

В седьмом разделе получены выражения для энергии взаимодействия двух точечных мультиполей произвольных порядков на плоскости, которые используются в дальнейшем при аппроксимации электрического поля. Формула для энергий взаимодействия мультиполей произвольных порядков на плоскости во внешнем поле имеет вид

00 1 к 12 к = О*'

42)

г = ^ А:

Из нее следует величина.

Л(М2) Г г2 - ^

К

которая согласно принятой нормировки определяет энергию взаимодействия двух точечных зарядов, а величина

IV . (г.,7_) = Ке-V

Пк 1 2 + ^

- энергию взаимодействия двух точечных мультиполей

В восьмом разделе рассмотрена аппроксимация электрических полей проводящих кругов на плоскости полями их характеристических мультиполей.

В девятом разделе вариационный метод применим для задачи расчета электростатических характеристик в системе состоящей из двух одинаковых параллельных круговых проводов Общее решение задачи о двух одинаковых

,(2)

проводящих заряженных зарядами Л^ и Я^ 7 кругах

получаем как суперпозицию потенциалов и

П^ где потенциал соответствует решению

задачи о емкости проводника, образованного соединением

кругов. Другой потенциал П^ \г) получаем, решая задачу о емкости конденсатора, образованного двумя кругами как обкладками Применяя вариационный принцип Томсона, для внешнего конформного радиуса области внешней к двум кругам находим аналитические соотношения, которые хорошо сходятся к точному решению

В десятом разделе рассмотрен более сложный пример -частный случай задачи трех тел. Пусть имеются три круга с одинаковыми радиусами а, центры которых расположены в вершинах правильного

треугольника (рис.1), тогда исследуемая задача эквивалентна задаче о емкости трех соединенных между собой проводящих кругов С помощью вариационного метода получена аналитическая последовательность оценок снизу для внешнего конформного радиуса Погрешность расчета внешнего конформного радиуса, например, с помощью октупольной аппроксимации составляет сотые доли процента.

Рассмотрение полей точечных зарядов и точечных мультиполей на плоскости было проведено в комплексной форме, что удобно для описания физической природы задачи. Использование комплексной формы записи электростатических соотношений позволило в компактной форме вывести формулу для их энергии взаимодействия. Сочетание такого подхода с вариационными принципами дало возможность построить полное решение одной из задач многих гел в электростатике

В третьей главе представлены электростатические и энергетические соотношения для экранированных точечных зарядов и экранированных точечных мультиполей, так как при аппроксимации реальных систем часто требуется

Рис 1

вычислять значения электрической емкости и находить энергетические параметры для экранированных проводников, что является довольно сложной задачей

В первом разделе главы рассмотрено как строится функция Грина и определяется внутренний конформный радиус для экранированных областей.

Во втором разделе выводятся соотношения для комплексного потенциала экранированного точечного заряда и экранированного точечного диполя. Получены выражения для энергии взаимодействия экранированных точечных зарядов и экранированных точечных диполей, соотношения для энергии взаимодействия экранированных точечных заряда и диполя. Полученные энергетические соотношения представлены в удобной для дальнейшего использования матричной форме.

В третьем разделе представлены электростатические и энергетические выражения для экранированных точечных мультиполей произвольных порядков. Выведена аналитическая формула для энергии взаимодействия экранированных точечных мультиполей разных порядков з(0 зО)

Л)2' и Хщ расположенных в точках г я г

Не(ои )0т ]г0 ^, г] )+ Вп [гг )от ^, г], г* ))

Полученные энергетические соотношения представлены в матричной форме

В четвертом разделе приведены электростатические и энергэтические соотношения для экранированных точечных мультиполей любых порядков, расположенных в одной точке на плоскости

Пятый раздел посвящен аппроксимации электрических полей на плоскости полями экранированных точечных зарядов и полями экранированных точечных мулыиполей на примере задачи об аппроксимации поля экранированного

провода полями точечных мультиполей, расположенных в одной точке на плоскости. Простейшая реализация описанной вариационной схемы проводится с помощью экранированных одного точечного заряда и одного точечного мультиполя, а именно рассмотрена аппроксимация электрического поля экранированного провода полями экранированных одною точечного заряда и точечного диполя Полученные соотношения проверены на

Рис 2

имеющей точное решение задаче о погонной емкости кругового провода относительно параллельной ему проводящей плоскости (рис 2) Приведены

электростатические соотношения для аппроксимация электрического поля экранированного провода полями экранированных одного точечного заряда, одного точечного диполя и точечного квадруполя Полученные результаты приведены в таблице

В шестом разделе рассмотрена задача аппроксимации электрического поля экранированного провода в полосе полями экранированных точечных зарядов и экранированных точечных мультиполей (рис.3) Для ее решения найдены выражения для функции Грина полосы и круга, а также комплексный потенциал точечного квадруполя, экранированный прямыми Яег = -£>/2 и Ксг = £>/2 .

D

Рис 3

Аппроксимация электрического поля экранированного провода в полосе проводилась одним точечным зарядом, двумя и тремя точечными зарядами, а также двумя точечными зарядами и точечным квадруполем Результаты расчетов по аналитическим формулам емкости экранированного круга, центр которого находится на одинаковом расстоянии от двух проводящих прямых, приведены в таблице 1.

Таблица 1

a/D 0 05 0 10 0 20 0 25 0.30 0 35 0 40

С п / 2 7Г£0 0 3930 0 5402 0 8636 1 0698 1 3290 1 6715 2 1518

Са / 2 7С£й 0 3930 0 5402 0 8651 1 0754 1 3481 1 7329 2 3565

С(3 /2яе0 0 3930 0 5402 0 8653 1 0760 1 3498 1 7370 2 3657

С / 27Г£0 0 3931 0 5403 0 8653 1 0761 1 3498 1 7369 2 3656

Здесь С | - значение емкости, которая рассчитана при

аппроксимации одним точечным зарядом, С^ и С^ -

значения емкости, рассчитанные для двух и трех зарядов В последней строке таблицы даны значения С, найденные в работе [Knight R С The potential of circular cylinder between the infinite planes] путем численного расчета Как показывают

приведенные в табл 1 данные, погрешность расчета емкости провода относительно экрана здесь не превосходит 0,05 %, когда расстояние от оси провода до экрана £>/2 > 2,5а.

Аппроксимация электрического поля экранированного провода полями двух экранированных точечных зарядов и точечным квадруполем дает возможность получать хорошие оценки для емкости провода относительно экрана для более широкого класса задач по сравнению с исследованными Результаты этой аппроксимации для вышеприведенной задачи даны в таблице 2

Таблица 2

аЮ 0 05 0 10 0 20 0 25 0 30 0 35 0 40

С„ /2 ле0 0 3930 0 5402 0 8653 1 0760 1 3498 1 7370 2 3657

Значения С ^ оптимизированы по расстоянию Ь, на которое

аппроксимирующие точечные заряды отстоят от центра круга. Как видно, результаты совпадают с результатами таблицы 1

В заключении кратко формулируются основные результаты диссертационной работы

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Представлены в комплексном виде основные электростатические и энергетические

соотношения для точечных мультиполей и экранированных точечных мулыиполей 2 Получены аналитические формулы для энергии взаимодействия точечных мультиполей и энергии взаимодействия экранированных точечных мультиполей произвольных порядков на плоскости

3 Построены вариационные схемы и получены численные результаты аппроксимации электрического поля для задачи двух и трех тел, представленных системой круговых проводов

4 Построены вариационные схемы и получены численные результаты аппроксимации поля экранированного провода в задачах о погонной емкости кругового провода относительно параллельной одной и двух проводящих плоскостей.

В целом проведенное теоретическое исследование можно рассматривать как шаг к построению аналитической электростатики. Этому способствует возможность включения методов теории функции комплексного переменного в рамки метода энергетических неравенств, расширение методов подбора пробных функций Эти возможности апробированы на ряде задач, которые демонстрируют высокое качество полученных результатов

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Казанцев ВП Золотое О А, Долгополова MB Энергия взаимодействия электрических мультиполей на плоскости и аппроксимация электрического поля проводников полями точечных мультиполей / УФН -2006.-Т. 176 - №5 - С 537-542.

2. Казанцев ВП Золотое О А, Долгополова MB Аппроксимация электрического поля проводников экранированными точечными зарядами и мультиполями / Известия вузов - Сер. Физика - 2007 -№1 - С 35 - 41

3 Казанцев В П Золотое О А, Долгополова М В Электростатика на плоскости. Нормировка потенциала Емкости уединенного проводника и линии относительно точки Конформные радиусы / Вестник КрасГУ -2005 -№1 -С 32-38.

4. Казатщев ВП Золотое О А, Долгополова МВ Аппроксимация электрических полей на плоскости полями экранированных точечных мультиполей / Вестник КрасГУ - 2006 - № 7 -С.14 - 18

5 Казанцев ВП Золотое О А, Долгополова МВ Электростатика на плоскости Функции Грина Вариационные принципы Аппроксимация электрических полей проводников полями точечных зарядов Расчеты емкости экранированного проводника / Вестник КрасГУ.-2005 -№4 - С 15-25

6 Казанцев ВП Золотое О А, Долгополова МВ Вариационные неравенства для значений емкостей цилиндрических конденсаторов / Вестник КрасГУ -2004.-№5.- С.63 -69.

7 Казанцев ВП Золотое О А, Долгополова МВ Вариационные неравенства в задачах о межэлектродных сопротивлениях / Краснояр. ун-т Красноярск, 2004 Деп в ВИНИТИ № 544-В2004

8 Казанцев ВП Золотое О А, Долгополова МВ Вариационные неравенства в задачах о емкости тел вращения / Красноярск - Препринт 13-2004.

Подписано в печать 2.5.04.Формат 60x84/16 Бумага тип Печать офсетная Уел п л 1. Тираж 100 Заказ ЧЪ.

Сибирский федеральный университет Институт естественных и гуманитарных наук Издательский центр

660041 г Красноярск, пр Свободный, 79

Введение.

Глава 1. Вариационные принципы электростатики.

1.1 Принцип Дирихле.

1.2 Дуальный вариационный принцип.

1.3 Принцип Томсона.

1.4 Двусторонние оценки.

1.5 Функция Грина и определение внешнего и внутреннего конформного радиуса.

1.6 Формулировка вариационных принципов для плоских задач электростатики.

Глава 2. Точечные источники и мультипольные разложения на плоскости.

2.1 Комплексное представление напряжённости электрического поля и энергии взаимодействия точечных зарядов.

2.2 Нормировка комплексного потенциала точечных зарядов.

2.3 Комплексная напряжённость электрического поля и потенциал точечного диполя.

2.4 Взаимодействие точечного диполя с внешним электрическим полем.

2.5 Комплексные потенциал и электрическое поле системы точечных диполей.

2.6 Понятия об электрических точечных мультиполях на плоскости.

2.7 Энергия взаимодействия двух точечных мультиполей.

2.8 Аппроксимация электрических полей проводящих кругов полями их характеристических мультиполей.

2.9 Задача о двух одинаковых проводящих заряженных кругах.

2.10 Задача о внешнем конформном радиусе трех одинаковых и одинаково расположенных относительно друг друга кругов.

Глава 3. Экранированные точечные заряды и мультиполи.

3.1 Функция Грина и поля экранированных точечных мультиполей.

3.2 Электрические поля экранированных точечных зарядов и экранированных точечных диполей.

3.3 Комплексный потенциал и энергетические соотношения для экранированных точечных мультиполей любых порядков.

3.4 Комплексный потенциал и энергетические соотношения для экранированных точечных мультиполей любых порядков, расположенных в одной точке на плоскости.

3.5 Аппроксимация поля экранированного провода полями точечных мультиполей, расположенными в одной точке на плоскости.

3.6 Аппроксимация электрического поля экранированного провода в полосе полями экранированных точечных зарядов и экранированных точечных мультиполей.

Таблицы.

Задача расчета электрической емкости и электромагнитных параметров является достаточно сложной и в то же время актуальной в наше время. Одно из первых руководств по расчету электроемкости вышло в свет в 1909г. [1]. Широкая область приложения задач расчета электрической емкости и эквивалентных ей величин (электрической, магнитной, тепловой проводимости) кратко описана в справочной книге

И.

Развитие таких областей науки как электроника, электро- и радиотехника, исследования в области сверхпроводимости, предъявляет строгие требования к точности расчетных методов. Эти методы должны быть экономичны и доступны для широкого круга инженеров и других пользователей. Кроме того, не менее важна оценка точности полученных результатов, что иногда является более сложной задачей, чем получение самого результата. В реальных электрических системах бывает трудно промоделировать и измерить электрические поля, поэтому для расчета электромагнитных параметров требуется применение методов теоретической физики.

Наиболее перспективными, на наш взгляд, приближенными методами расчета электрической емкости и других электростатических соотношений являются вариационные методы, основанные на вариационных принципах электростатики проводников. Заметим, что о неразвитости вариационного подхода к задачам электростатики свидетельствует то, что в учебниках по электродинамике упоминается лишь принцип Томсона [3-4], относящийся к весьма частному вопросу об энергии электростатического поля системы заряженных проводников. Что же касается принципа Дирихле [5-6], то его исследование на уровне самых общих теорем проводится в математической литературе. Яркие примеры совместного использования принципов Дирихле и Томсона для получения оценок сверху и снизу значений емкостей проводников приведены в книге [6]. Однако её авторы, как нам кажется, допускают непоследовательность, ограничиваясь в некоторых случаях односторонними оценками. Думается, что вариационные принципы для некоторого класса задач электростатики следует считать сформулированными лишь тогда, когда с их помощью могут быть найдены оценки снизу и сверху для значения энергии электростатического поля. Они позволяют проводить численные расчеты с известной на каждом шаге вычислений максимальной погрешностью.

Вариационные принципы Дирихле и Томсона являются дуальными принципами электростатики и позволяют получать оценки сверху и снизу матрицы емкостных коэффициентов. Причем для таких оценок, как правило, не требуется громоздких вычислений, получаемые зависимости имеют аналитическую форму, весьма удобную для практического использования.

Главной проблемой реализации вариационных принципов является построение пробных (аппроксимирующих) полей. Их выбор имеет свои особенности для каждого типа задач. Введение новых понятий, таких как высшие поляризуемости проводников [7], характеристические мультиполя [8], магнитная квадрупольная поляризуемость [9], способствовало развитию методов, которые упрощают выбор пробных полей. В данной работе пробные поля выбираются в виде потенциалов, создаваемых суперпозицией точечных мультиполей или суперпозицией экранированных точечных мультиполей.

Электростатические задачи на плоскости довольно часто возникают на практике [4], [10] когда нужно определять электрическое поле, зависящее лишь от двух декартовых координат плоскости, которые перпендикулярны образующим бесконечных цилиндров, моделирующих реальные физические тела. Самим цилиндрам на плоскости будут соответствовать области, представляющие собой пересечения плоскости с цилиндрами. Эти области будут характеризоваться физическими параметрами, характерными для материалов цилиндров и неизменными вдоль цилиндров. Чаще всего мы будем рассматривать проводящие цилиндры. Им будут соответствовать проводящие области на плоскости (плоские проводники). Эти задачи реализуются, например, для печей СВЧ.

В некоторых задачах выбор пробных функций опирается на хорошо известный из литературы метод "изображений". Он основан на том, что электрическое поле точечного заряда индуцирует на проводящих сфере и плоскости электрические заряды, которые создают вне проводящей области такие же поля, как и точечные заряды, расположенные в области проводника. Применительно к задачам электростатики на плоскости этот метод позволяет дать полное решение задачи об электрической емкости двух проводящих кругов, а также задачи о емкости круга относительно экранирующей его проводящей прямой [11].

Для электростатики на плоскости наиболее удобным математическим аппаратом служит комплексный анализ. Кроме того, методы ТФКП позволяют находить точные решения задачи. Цель данной работы - это соединение методов ТФКП с вариационными принципами. Теория функций комплексного переменного (ТФКП) возникла и развивалась на основании физических представлений [11], с другой стороны, развитие ТФКП позволяет создавать новые методы решения важнейших практических задач. При разработке вариационных схем на плоскости удобно использовать комплексную форму представления электростатических соотношений.

Цель работы. Исследование проблем, возникающих при построении аналитической электростатики, а именно: обобщение и формулировка вариационных принципов для конкретных классов задач; разработка методов выбора пробных функций для этих классов задач, в частности, включение методов теории функции комплексных переменных в рамки метода энергетических неравенств.

Научная новизна. В работе впервые проведено соединение методов вариационных неравенств с методами теории функций комплексных переменных, где выбор пробных функций осуществляется в виде потенциалов, создаваемых суперпозицией точечных мультиполей или суперпозицией экранированных точечных мультиполей. Рассмотрены в комплексной форме основные электростатические соотношения для точечных мультиполей и экранированных точечных мультиполей.

Практическая значимость. Диссертационная работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть применены для расчета электрических полей различных систем на плоскости в инженерных задачах электрофизики.

Научные положения, выносимые на защиту

1. Развитие в комплексной форме схемы реализации вариационных принципов для плоских задач электростатики.

2. Аналитические формулы для энергии взаимодействия точечных мультиполей и энергии взаимодействия экранированных точечных мультиполей произвольных порядков на плоскости.

3. Вариационная схема аппроксимации электрического поля для задачи двух и трех кругов.

4. Вариационные схемы аппроксимации поля экранированного провода полями точечных экранированных мультиполей в задачах о погонной емкости кругового провода относительно параллельной одной и двух проводящих плоскостей.

В первой главе рассмотрены вариационные принципы электростатики, а именно: принцип Дирихле и обобщенный принцип Томсона, которые позволяют получать верхние и нижние границы энергии рассматриваемой системы. При помощи метода обобщенных координат показан пример построения расчетных вариационных схем. Развита схема реализации вариационных принципов для уединенного заряженного тела и для экранированного тела на плоскости.

Вторая глава диссертации посвящена общим представлениям точечных зарядов и точечных диполей, а также рассмотрены понятия электрических точечных мультиполей на плоскости. В работе показана комплексная формулировка напряженности электрического поля и энергии взаимодействия точечных зарядов. Рассмотрен физический смысл реальной и мнимой части комплексного потенциала точечного заряда, описана его нормировка. Выведены комплексные напряженность электрического поля и потенциал точечного диполя, а также комплексные потенциал и электрическое поле системы точечных диполей, показано взаимодействие точечного диполя с внешним электрическим полем. В комплексной форме описаны силы, действующие на точечные диполь и заряд, а также момент силы, действующий на диполь со стороны внешнего электрического поля. В данной главе получены в комплексной форме основные электростатические соотношения для точечных мультиполей произвольных порядков, а также аналитическая формула для энергии взаимодействия мультиполей произвольных порядков на плоскости, и на их основе построены вариационные схемы аппроксимации электрического поля системы параллельных круговых проводов. Рассмотрена задача о двух одинаковых проводящих заряженных кругах и задача о внешнем конформном радиусе трех одинаковых и одинаково расположенных относительно друг друга кругов.

В третьей главе описаны экранированные точечные заряды и экранированные точечные мультиполи. Выведены соотношения для комплексного потенциала экранированных точечных зарядов и для комплексного потенциала экранированного диполя. Рассмотрены их энергетические соотношения. Подробно представлены комплексные потенциалы и энергетические соотношения для экранированных точечных мультиполей любых порядков. Получена аналитическая формула для энергии взаимодействия экранированных точечных мультиполей произвольных порядков на плоскости. Далее исследуется аппроксимация электрических полей на плоскости полями экранированных точечных зарядов и экранированных точечных мультиполей. Одной из простых задач, на примере которой могут быть рассмотрены основные моменты построения вариационных расчетных схем, является задача об аппроксимации поля экранированного провода полями точечных мультиполей, расположенных в одной точке. Рассмотрена задача о погонной емкости кругового экранированного провода относительно параллельной ему проводящей плоскости, и задача о емкости экранированного проводника относительно двух проводящих параллельных плоскостей электрическими полями одного, двух и трех экранированных точечных зарядов, а также полями двух экранированных точечных зарядов и точечным мультиполем.

В заключении кратко формулируются основные результаты диссертационной работы.

Апробация работы. Основные результаты работы были доложены и обсуждены на научных семинарах ИФ СО РАН (г. Красноярск), Института Вычислительного моделирования СО РАН (г. Красноярск), на семинаре кафедры теории функции математического факультета СФУ. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 8 работах, из них 6 в изданиях по списку ВАК.

1 Вариационные принципы электростатики 1.1 Принцип Дирихле

В основу дальнейшего исследования вариационных принципов электростатики будет положен принцип Дирихле [12]: Среди всех кусочно-гладких непрерывных потенциалов принимающих (не обязательно постоянные) значения ui на заданных поверхностях S., минимум функционалу энергии где интегрирование проводится по всему пространству Q, ограниченному поверхностями S., е - симметричный положительно определенный тензор, его можно интерпретировать как тензор диэлектрической проницаемости, доставляет функция ср^, удовлетворяющая в Q уравнению

Здесь и дальше предполагается непротиворечивость граничных условий и вариационного принципа (1.1), то есть, что существует функция, удовлетворяющая условиям (1.3), для которой функционал (1.1) конечен. Уравнение (1.2), как это нетрудно показать, является условием экстремума для функционала (1.1). Чтобы продемонстрировать применяемый в дальнейшем метод, докажем, что этот экстремум - минимум [5]. Пусть <р -произвольная пробная функция, удовлетворяющая условиям (1.3), а решение уравнения (1.2) при тех же условиях. Рассмотрим тождество

W{<p) = w[q> +\p-q>A= w{y )+w\q>-<p J+ \^<pAe--cpAlv. (1.4) Q

1.1)

1.2)

1.3) Q

Предполагая, что последующие операции над у и <pQ выполнимы, преобразуем интеграл в правой части тождества (1.4) интегрированием по частям:

Q ( \ Q (1.5) I \$>-<PqF<PQ-S-<8 dQ где для использовано уравнение (1.2), а интегрирование в последнем интеграле проводится по всем поверхностям 3Q, ограничивающим объем

Q. Поскольку 5Q = U S., на которых в силу условия (1.3) <р = <р^, то последний интеграл в тождестве (1.5) равен нулю. В этом случае тождество (1.4) можно записать в виде w{<p) = w[^)+w[y-(pQ), (1-6) и, в силу положительной определенности w\<p-(p^) {s положительно определен вП) w{cp)>w\^), (1.7) где знак равенства достигается тогда и только тогда, когда (р =

В заключение доказательства отметим, что можно рассматривать и неограниченный объем Q, если в качестве одной из поверхностей S. взять бесконечно удаляющуюся поверхность и условие (1.3) для нее заменить требованием достаточно быстрого стремления потенциала к нулю. В качестве простого примера применения изложенных выше рассуждений докажем, что емкость любой части проводника меньше его общей емкости С. Для этого заметим, что = wL)<W{cp) = \\{v<p).e-{V<p)dv (1.8)

- 1 ZQ где интегрирование проводится по пространству Q между поверхностью проводника и бесконечно удаленной поверхностью, p\s=U (1.9)

- потенциал на поверхности проводника и ср достаточно быстро убывает на бесконечности. Включим в область интегрирования объем проводника v, воспользовавшись тем, что = 0 внутри проводника. В этом случае имеем: т2

С U' -P— = W

IV

1Л°) где индексом р обозначены емкость и потенциал части проводника. Неравенство (1.10) следует из принципа Дирихле (1.7), поскольку <рQ может рассматриваться в качестве пробной функции (р для части проводника как кусочно-гладкая непрерывная функция, достаточно быстро убывающая на' бесконечности и удовлетворяющая условию (1.9) для части проводника.

При решении этой задачи использовалась возможность разбиения рассматриваемой области на несколько частей, тогда как обычный способ состоит в решении уравнения Лапласа в каждой из областей и последующей сшивки решений на их границах [3].

Один из распространенных методов численного решения задач электростатики - метод конечных элементов [13], основан на том, что при достаточно мелком разбиении области непрерывную во всей области пробную функцию, приближающую точное значение, в каждой из подобластей можно взять сравнительно простого вида - например, линейную [14].

В качестве другого метода приближенного решения электростатических задач служит метод не разбиения области, а усложнения вида пробной функции. В качестве примера можно привести метод Ритца [15], где точное решение приближается последовательностью пробных функций, каждая из которых представляется в виде конечной суммы из некоторой полной в данной области системы функций. Таким образом, при увеличении числа членов суммы, получается последовательность все более сложных пробных функций, которая в пределе стремится к точному решению [15].

Основные результаты работы были доложены и обсуждены на научных семинарах ИФ СО РАН (г. Красноярск), Института Вычислительного моделирования СО РАН (г. Красноярск) на семинаре кафедры теории функции математического факультета СФУ и опубликованы в работах: [33],-[35],[36],[37], [38], [39].

В заключение автор выражает благодарность своему научному руководителю В.П. Казанцеву за помощь и поддержку при выполнении данной работы.

Заключение

В диссертационной работе проведено теоретическое исследование вопросов, возникающих при построении аналитической электростатики. Показано, что при разработке вариационных схем на плоскости удобно использовать комплексную форму представления электростатических соотношений. Результаты и выводы всей работы представлены в следующем.

1. Представлены в. комплексном виде основные электростатические и энергетические соотношения для точечные мультиполей и экранированных точечных мультиполей.

2. Получены аналитические формулы для энергии взаимодействия точечных мультиполей и энергии взаимодействия экранированных точечных мультиполей произвольных порядков на плоскости.

1. Orlich Е. Kapazitatund Induktiritat/ Orlich E. Braunshweig, 1909.

2. Иоссель Ю.Я. Расчет электрической емкости/ Иоссель Ю.Я., Кочаев Э.С., Струнский М.Г. JL: Энергоиздат. Ленингр. отд., 1981.

3. Ландау Л.Д. Электродинамика сплошных сред/ Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц.- М.: Наука, 1982.

4. Джексон Дж. Классическая электродинамика/ Дж. Джексон.- М.: Мир, 1965.

5. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике/ С.Г. Михлин.- М.: Наука, 1970.

6. Полна Г. Изопериметрические неравенства в математической физике/ Г. Полна, Г. Cere. М.: ГИФМЛ, 1962.

7. Казанцев В.П. Вариационные принципы и высшие поляризуемости уединенных проводников в плоских задачах электростатики / Казанцев В.П. //Докл. РАН.- 1998.- Т.361.-С.469.

8. Казанцев В.П. Вариационные принципы, электрические характеристические мультиполи и высшие поляризуемости в теории поля / Казанцев В.П. // ТМФ.- 1999.- Т.119.- №3.- С.441.

9. Казанцев В.П. О квадрупольной магнитной поляризуемости и вариационных принципах / Казанцев В.П. // Докл. РАН.- 1999.-Т.369.- №5.- С.617.

10. Батыгин В.В. Сборник задач по электродинамике/ В.В. Батыгин, И.К. Топтыгин. М.: Наука, 1970. - С.31.

11. Лаврентьев М.А. Методы теории функции комплексного переменного/ М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат М.: Наука, 1965 -С.716.4i€

12. Математическая энциклопедия М. Сов. Энциклопедия 1979 т.2 с.1103

13. Зенкевич О. Конечные элементы и аппроксимация/ Зенкевич О., Морган К. М.: Мир, 1986. С.318.

14. Стренг Г. Теория метода конечных элементов/ Стренг Г., Фикс Дж. М.: Мир, 1877. - С.349.

15. Канторович J1.B. Приближенные методы высшего анализа/ Канторович JT.B., Крылов В.И. М.: Гос. изд. физ.- мат. лит., 1962 - С.708.

16. Максвелл Дж.К. Трактат о электричестве и магнетизме/ Максвелл Дж.К. М.: Наука, т.1, 1989.- С.415.

17. Фейнман Р. Фейнмановские лекции по физике/ Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. М.: Мир, Т.6, Электродинамика, 1966.-С.344.18Пановский В. Классическая электродинамика/ Пановский В., Филипс М. М.: Физматгиз, 1963,- С.432.

18. Смайт В. Электростатика и электродинамика/ Смайт В. М.: ИЛ, 1954.-С.432.

19. Стреттон' Дж. А. Теория электромагнетизма/ Стреттон Дж. А. -Л.: Гос. изд. тех.-теорет. лит., 1948.- С.539.

20. Казанцев В.П. Метод вариационных неравенств в магнитостатике / Казанцев В.П., Золотов О.А. // Красноярск. -1988.- 36с. Деп. в ВИНИТИ №3295-В89.

21. Symm G.T. An Introduction to the Application of Boundary Element Methods in Electrostatic / Symm G.T. // BETECHL'86, Proc. 2 Bond. Element Tech. conf. Mass. and Technol.- Southomepton.-1986.

22. Роземблюм A.B. Расчет линейных функционалов решений одного класса аксиально симметричных задач электродинамики /нч

23. Роземблюм А.В., Фридберг П.Ш. // Радиотехника и электроника.- 1986.-т.31.-'№6,- С.1057-1070.

24. Мейерова Р.С. Электрическая емкость отрезка круглой металлической трубы с произвольной толщиной стенки / Мейерова Р.С. Фридберг П.Ш. // ДАН СССР:- 1986.- т.288.-№1.- С.116-121.

25. Мейерова Р.С. Коэффициенты поляризуемости кольцевого отверстия в неограниченном плоском экране нулевой толщины / Мейерова Р.С. Фридберг П.Ш. // Изв. Вузов.- Сер. Радиофизика.-1986,- т.29.- №12.- С.1511-1514.

26. Роземблюм А.В. Интегральные характеристики кольцевых неоднородностей в аксиально-симметричных задачах электродинамики / Роземблюм А.В., Фридберг П.Ш. // ДАН СССР.- 1985.- Т.283.- №6.- С.1371-1376.

27. Тозони О.В. Метод вторичных источников в электротехнике/ Тозони О.В. М.: Энергия, 1975.- С.295.

28. Зубарев A.JI. Вариационный принцип Швингера в квантовой механике/ Зубарев A.JI. М.: Энергоиздат, 1981.- С.140.

29. Казанцев В.П. Вариационные неравенства для значений емкостей цилиндрических конденсаторов / Казанцев В.П., Золотов О.А., Долгополова М.В. // Вестник КрасГУ.- 2004.- №5.-С.63.

30. Казанцев В.П. Вариационные неравенства в задачах о емкости тел вращения / Казанцев В.П., Золотов О.А., Долгополова М.В.// Красноярск.- Препринт 13-2004.

31. Казанцев В.П. Вариационные неравенства в задачах о межэлектродных сопротивлениях/ Казанцев В.П., Золотов О.А., Долгополова М.В. // Краснояр. ун-т. Красноярск, 2004. Деп. в ВИНИТИ №544-В2004.

32. Тамм И.Е. Основы теории электричества/ Тамм И.Е. М.: Наука, 1976.-С.616.

33. Knight R.C. The potential of circular cylinder between the infinite planes / Knight R.C. // Proc. of London Math.- Soc.- 1935- v. 39-sep. 2- P. 272-281. , •

34. Казанцев В.П. Энергия • взаимодействия электрических мультиполей на плоскости и аппроксимация электрического поля проводников полями точечных мультиполей / Казанцев

35. B.П., Золотов О.А., Долгополова МБ. // УФН. 2006. -Т. 176. -№5. - С.537-542.

36. Казанцев В.П. Электростатика на плоскости. Нормировка потенциала. Емкости уединенного проводника и линии относительно точки. Конформные радиусы / В.П.Казанцев, М.В.Долгополова, О.А.Золотов //Вестник КрасГУ.-2005.-№1,1. C.32-38.

37. Казанцев В.П. Аппроксимация электрических полей на плоскости полями экранированных точечных мультиполей / Казанцев В.П., Золотов О.А., Долгополова М.В.// Вестник КрасГУ- 2006 -№ 7-С Л 4.

38. Казанцев В.П. Аппроксимация электрического поля проводников экранированными точечными зарядами и мультиполями / Казанцев В.П., Золотов О.А., Долгополова М.В.// Известия вузов Сер. Физика - 2007 - №1 - С. 35 - 41.

39. Казанцев В.П. Понятие о высших поляризуемостях уединненых проводников в плоских задачах электростатики / В.П. Казанцев. -Красноярск.- 1996.- Деп. В ВИНИТИ 2291- В96.

40. Роуз М. Поля мультиполей / Роуз М. М.: Иностранная литература, 1957.по