Разработка эффективных методов электростатики проводников и диэлектриков на плоскости

Шляхтич, Евгений Николаевич

Разработка эффективных методов электростатики проводников и диэлектриков на плоскости тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Шляхтич, Евгений Николаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Красноярск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Разработка эффективных методов электростатики проводников и диэлектриков на плоскости»

Автореферат диссертации на тему "Разработка эффективных методов электростатики проводников и диэлектриков на плоскости"

На правах рукописи

Шляхтич Евгений Николаевич

Разработка эффективных методов электростатики проводников и диэлектриков на плоскости

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 8 НОЯ 2012

Красноярск - 2012

005054607

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет», в Институте инженерной физики и радиоэлектроники.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент, Казанцев Владимир Петрович.

Официальные оппоненты:

Бордовицын Владимир Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», профессор кафедры теоретической физики.

Балаев Дмитрий Александрович, доктор физико-математических наук, доцент, Институт физики им. Л.В. Киренского Сибирского отделения РАН, ведущий научный сотрудник лаборатории сильных магнитных полей.

Ведущая организация:

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования <гДальневосточный федеральный университет».

Защита состоится «22» ноября 2012 г. в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.267.07 ФГБОУ ВПО «•Национальный исследовательский Томский государственный университет», 634050, г. Томск, пр. Ленина 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета

Автореферат разослан «19» октября 2012 г.

Учёный секретарь Ивонин Иван Варфоломеевич

диссертационного совета

Актуальность работы. В научной и учебной литературе под основной задачей электростатики понимают задачу отыскания напряженности электрического поля системы зарядов в присутствии проводников и диэлектриков. Решение этой задачи представляет значительные трудности даже для уединённых проводников и диэлектриков находящихся во внешних электрических полях. В реальных электрических системах бывает трудно промоделировать и измерить электрические поля, поэтому для расчета электромагнитных параметров требуется применение методов теоретической физики.

Расчёт электрических и магнитных полей различных систем элементами которых являются проводники и диэлектрики представляет практический интерес для различных областей науки: электрофизики, радиоэлектроники, радиофизики. Развитие этих областей науки предъявляет строгие требования к точности расчетных методов. Эти методы должны быть экономичны и доступны для широкого круга инженеров и других пользователей. Кроме того, не менее важна оценка точности полученных результатов, что иногда является более сложной задачей, чем получение самого результата.

Для электростатики на плоскости наиболее удобным математическим аппаратом служит комплексный анализ. Развитие ТФКП на основании физических представлений позволяет создавать новые методы решения важнейших практических задач. Так методы ТФКП позволяют находить точные аналитические решения электростатических задач. Совместное применение к задачам электростатики вариационных методов и комплексного анализа позволяет разработать довольно эффективные методы решения этих задач. Разработке эффективных аналитических методов расчёта электрических полей и численной реализации этих расчётов на конкретных примерах и посвящена данная работа.

Такие распределения зарядов, упорядоченные по отличным от нуля круговым мультипольным моментам минимального порядка названы характеристическими мультиполями. Нахождение характеристических мультиполей эквивалентно построению ортогонального базиса в функциональном пространстве электрических потенциалов, источниками которых служат поверхностные заряды проводника (диэлектрика). Введение новых для теории поля понятий характеристических мультиполей и высших поляризуемостей для проводников и диэлектриков, позволяет построить конструктивные решения всевозможных задач о проводниках и диэлектриках, находящихся во внешних электрических полях.

Цель работы:

Разработка эффективных методов расчета электрических полей в электростатике проводников и диэлектриков на плоскости.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

- на конкретных примерах показать эффективность совместного применения вариационных принципов и теории функций комплексных переменных в решениях электростатических задач на плоскости;

- рассмотреть задачи о проводниках и диэлектриках во всевозможных внешних электрических полях;

- развить необходимую систему понятий;

- разработать вариационные схемы вычисления емкостных и потенциальных коэффициентов систем проводников, основанные на аппроксимации полей индуцированных зарядов полями точечных источников.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней:

1. Показана эффективность совместного использования вариационных методов и методов теории функций комплексных переменных для решения электростатических задач на плоскости на конкретных примерах: проводящий круг, проводящая прямая, проводящий эллипс, однородный диэлектрический круг, однородный диэлектрический эллипс, анизотропный диэлектрический круг во всевозможных внешних электрических полях.

2. Впервые построены комплексные функции Грина внешней и внутренней областей эллипса.

3. Введены новые понятия: эллипс сходимости, мнимый точечный заряд, характеристические мультиполи.

4. С помощью аппарата характеристических мультиполей впервые

решена задача об анизотропном диэлектрическом круге в различных

внешних электрических полях.

5. Впервые математическая задача о нахождении корней многочленов представлена как обратная задача электростатики, сводящаяся к задаче об абсолютном минимуме энергетического функционала.

6. На основе задачи аппроксимации полей индуцированных на проводниках зарядов полями точечных источников построены вариационные схемы расчёта корней многочленов и показана возможность практического применения такой физической интерпретации математической задачи для численных расчётов.

7. На примере проводящих эллипса и круга рассмотрена возможность вычисления емкостных и потенциальных коэффициентов такой системы с помощью аппроксимации электрических полей точечными экранированными мультиполями на основе вариационных принципов.

Научная и практическая ценность.

Предложен метод анализа электростатических полей, основанный на органичном объединении методов теории функций комплексных переменных и вариационных методов.

Развитые теоретические методы расчёта электрических полей различных систем проводников и диэлектриков на плоскости могут применяться в дальнейшем при практических расчётах в радиофизике и радиоэлектронике, некоторые результаты представленных научных исследований представляют интерес для курсов математической физики и электродинамики.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Наиболее эффективными методом решения электростатических задач на плоскости является объединение методов теории функций комплексных переменных и вариационных методов.

2. Эффективным методом реализации вариационных принципов электростатики является построение базисных распределений индуцированных зарядов - характеристических мультиполей; применение такого метода рассматривается на примере задач о проводящем эллипсе во всевозможных внешних электрических полях.

3. Применение аппарата характеристических мультиполей позволяет дать полное решение задач о диэлектрических телах во внешних электрических полях; рассмотрены задачи об однородном диэлектрическом круге, об однородный диэлектрическом эллипсе, а также об анизотропном диэлектрическом круге во всевозможных внешних электрических полях.

4. Использование вариационного подхода совместно с комплексным анализом позволяет представить математическую задачу о нахождении

корней многочленов, как обратную задачу электростатики, сводящуюся к задаче об абсолютном минимуме энергетического функционала.

5. На основе вариационных принципов удобно получать решения задач аппроксимации электрических полей точечными экранированными мультиполями, что позволяет вычислять емкостные и потенциальные коэффициенты различных систем проводников.

Апробация работы.

Результаты диссертационного исследования были представлены на следующих конференциях: Международная конференция "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" посвященная 110-летию академика М.А. Лаврентьева, г. Новосибирск (2010г.); Международная конференция физика в системе современного образования, г. Санкт-Петербург (2007г. и 2009г.); Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых учёных (20062012гг.); Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых учёных по физике, г. Владивосток (2010г. и 2011г.); Региональная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых-физиков, г. Красноярск (2006-2010г.).

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 17 печатных работ, включая 4 статьи в центральных рецензируемых научных журналах, и 13 публикаций в сборниках материалов и тезисов всероссийских и международных конференций.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из 5 основных глав, а также введения и заключения. Содержит 7 таблиц, 67 библиографических ссылок и занимает объем 169 страниц печатного текста.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность работы, показана научная новизна, сформулирована цель исследования. Приводятся положения, выносимые автором на защиту. Рассмотрена научная и практическая значимость работы.

В первой главе диссертации рассматриваются два класса задач: проводящий круг во внешних электрических полях и проводящая прямая во внешних электрических полях.

В работе рассмотрен метод решения основной задачи электростатики на примере проводящего в целом не заряженного круга, находящегося во внешнем электрическом поле. Полученный и представленный в комплексной форме метод решения основной задачи электростатики

является простым и универсальным. При решении задачи для проводящего круга в поле любого потенциала нам достаточно знать лишь одну формулу:

тт/' \ _ i П(0)-П(г) при z<a

" \ ГГ(0) - П*(а2/:') при г > а ' {1)

где П(г) - комплексный потенциал внешнего электрического поля; П(г) - комплексный потенциал, индуцированных внешним полем зарядов, а - радиус проводящего круга. То есть для решения основной задачи электростатики необходимо лишь знать комплексный потенциал внешнего поля. Причём решение нетрудно получить практически для любого потенциала, какой только можно себе представить. Естественно для полного анализа задач приведём формулы для нахождения поверхностной плотности наведённых зарядов a(z) и напряжённости электрического поля E(z), в которых опять же достаточно знания комплексного потенциала П(г) внешнего электрического поля:

_iF _/П'(~) 1 = 1 <а . (9)

- \ _(П'(о2/г*)) V/22) N > а '

1 а а

= -2г0 ReU'(z)-|_~|=а а

[ Z | =й

(3)

По известному комплексному потенциалу внешнего поля также нетрудно получить энергетические характеристики поля:

W = e0 / П'(г)

И<а

d.s. (4)

В первой главе работы рассмотрены примеры решения задач о проводящем круге в различных внешних электрических полях: проводящий круг в мультипольном электрическом поле ш-ого порядка; проводящий круг в электрическом поле нескольких точечных зарядов; проводящий круг в электрическом поле нескольких точечных диполей; проводящий круг в электрическом поле нескольких точечных зарядов, компелексный потенциал которых выражен через многочлен с неизвестными корнями, лежащими вне круга; проводящий круг в электрическом поле нескольких точечных диполей , компелексный потенциал которых выражен через многочлен с неизвестными корнями, лежащими вне круга.

Аналогично задаче о проводящем круге во внешнем электрическом поле для решения основной задачи электростатики для проводящей

прямой во внешнем электрическом поле достаточно знать комлексный потенциал внешнего поля. В качестве примеров решения задачи о проводящей прямой во внешнем электрическом поле рассмотрены задачи: проводящая прямая в поле с комплексным потенциалом Агп; проводящая прямая в поле с комплексным потенциалом Аехр(аг)\ проводящая прямая в поле точечного заряда; проводящая прямая в поле точечного мультиполя; проводящая прямая в поле нескольких точечных диполей; проводящая прямая в поле с комплексным потенциалом, который выражается через многочлен.

Вторая глава посвящена задачам о проводящем эллипсе в электрических полях. Показано что для решения задач о проводящем эллипсе в электрических полях удобно использовать аппарат характеристических мультиполей. Характеристические мультиполи представляют собой базисные распределения заряда по поверхности проводника, упорядоченные по минимальным степеням отличных от нуля круговых (сферических) мультипольных моментов. Электрические поля характеристических мультиполей различных порядков энергетически ортогональны, а высшие поляризуемости определяют энергию суперпозиции характеристических мультиполей одного и того же порядка.

При решении задач об электрически нейтральном проводящем эллипсе, находящемся во внешнем электрическом поле с комплексным потенциалом тг(г), можно представить комплексный потенциал наведенных на эллипсе зарядов суммой потенциалов характеристических мультиполей эллипса

П(~) = Е (аг*г1Ыг) + -г,,На,(г)); (5)

/с=1

хкг = -2тге0к(А2к + (с/2)2*) Ле / ф)акгс11-, (6)

|С|=Л

хы = -2пг0к(А2к - (с/2)2*) Де / тг(г)аис11. (7)

\С\=А

При этом мы пользуемся тем, что функция

С{г)=1-{г+у/^~с2)

конформно отображает внешнюю к эллипсу область на область, внешнюю к окружности комплексной плоскости б

и тогда базисные комплексные потенциалы наведённых зарядов могут быть выражены через

п,г(2) 1

1 при 2 е \G(z)\ > А

&(z)

2ттепк

ск

Ик(г) =

2k~1(A2k + (с/2)ЩПШ Прт 3 е < А

(8)

при z е |G(z)| > А

277е0к

GHz) л

Tk(z/c) при г е |G(z)| < А

2*-1(Л» - (с/2)2*) где Tk(z/c)~ это многочлен Чебышева первого рода. Соответственно нахождение характеристических мультиполей позволяет решить полностью задачу о проводящем эллипсе во внешних электрических полях. Рассмотрены конкретные примеры: проводящий эллипс в поле, комплексный потенциал которого представляет собой элементарные функции: —E*zn, —Е* cos (72), —Е" sin (7z) и —Е* ехр (72)); проводящий эллипс в поле, комплексный потенциал которого представляет собой специальную функцию Бесселя —E*Jn{^z))\ проводящий эллипс в электрическом поле точечного заряда, расположенного вне эллипса; проводящий эллипс в электрическом поле точечного диполя, расположенного вне эллипса; проводящий эллипс в электрическом поле точечного мультиполя, расположенного вне эллипса; проводящий эллипс в электрическом поле с комплексным потенциалом, представляемым внутри эллипса сходящимся степенным рядом; проводящий эллипс в электрическом поле системы точечных зарядов, расположенных вне эллипса; проводящий эллипс в электрическом поле системы точечных диполей, расположенных вне эллипса.

Построена комплексная функция Грина внешней области эллипса и её источники, так как задача об эллипсе в электрическом поле одного точечного заряда, расположенного вне эллипса эквивалентна задаче о функции Грина внешней к эллипсу области.

При решении задачи о проводящем эллипсе в поле точечного заряда оказалось возможным ввести новое понятие - эллипс сходимости степенного ряда.

Физический смысл процесса определения эллипса сходимости заключается в следующем: фиксируя внешний конформный радиус,

выделить отдельный эллипс из семейства софокусных, а затем задаться вопросом о том, может ли электрический заряд, распределенный по этому эллипсу, создать электрическое поле с комплексным потенциалом внешнего поля; ответ на этот вопрос будет положительным, если рассчитанная электростатическая энергия окажется конечной, и отрицательной, если ряд для энергии будет расходящимся.

Была рассмотрена задача апроксимации поля зарядов расположенной вне эллипса окружности, экранированной проводящим эллипсом, полем системы точечных зарядов. В решении этой задачи показано, что с помощью вариационных принципов минимизируя функционал энергии мы можем вычислять потенциальные и емкостные коэффициенты для систем проводников.

При рассмотрении класса задач об электрически нейтральном проводящем эллипсе, находящемся в электрическом поле расположенных внутри эллипса зарядов, с помощью аппарата характеристических мультиполей были решены следующие задачи: построено конформное отображениние внутренней области эллипса на круг и построена функция Грина внутренней области эллипса; задача о точечном диполе, экранированном внутри эллипса; задача о точечном мультиполе, экранированном внутри эллипса; проводящий эллипс в электрическом поле системы точечных зарядов, расположенных внутри эллипса; проводящий эллипс в электрическом поле системы точечных диполей, расположенного внутри эллипса; аппроксимация поля зарядов расположенной внутри эллипса окружности, экранированной проводящим эллипсом, полем системы точечных зарядов.

Таким образом, на примере задач о проводящем эллипсе показано, что аппарат характеристических мультиполей является эффективным способом решения задач для уединенных проводников, взаимодействующих с внешними электрическими зарядами.

В третьей главе решаем задачи о диэлектрических телах во внешних электрических полях. Причём использование комплексного анализа и вариационных методов позволяет решать задачи не только для изотропных, но и для анизотропных диэлектриков.

В первом разделе данной главы рассмотрен метод построения характеристических мультиполей однородных изотропных диэлектрических тел. В основу метода положен аппарат характеристических мультиполей проводящих тел, имеющих ту же форму, что и диэлектрические. Идея метода заключается в следующем: на основе вариационного принципа для задачи о диэлектрическом теле во внешнем электрическом поле показано, что пробный

электрический потенциал индуцированных на диэлектрическом теле зарядов, принимает минимальное значение в том случае, если электрические заряды, наведённые на диэлектрическом теле внешним полем, будут сосредоточены на поверхности тела, а значит аппарат характеристических мультиполей удобно использовать и для диэлектрических тел. Тогда задача электростатики будет решена, если мы найдём поверхностную плотность распределении зарядов по границе диэлектрического тела. Поверхностную плотность зарядов находится минимизацией энергетического функционала:

ЩЩ;)) = | /(|П'(с)|2 + (е- 1)|тС(г) + П'(г)|2)й5, (9)

где тг,т1(г) и П(г) - это комплексные потенциалы внешнего электрического поля и поля наведённых на однородном изотропном диэлектрическом теле 5 зарядов. А зная плотности зарядов мы вычисляем и поляризованность диэлектриков. Эффективность развитого аппарата характеристических мультиполей продемонстрирована на примерах: однородный изотропный диэлектрический круг в поле точечного заряда и однородный изотропный диэлектрический эллипс во внешнем электрическом поле.

Описанный подход применим и для анизотропных диэлектриков. Во втором разделе третьей главы представлена общая схема построения характеристических мультиполей для анизотропного круга во внешнем электрическом поле и рассмотрены конкретные задачи: задача об однородном анизотропном диэлектрическом круге во внешнем электрическом поле, комплексный потенциал которого - многочлен; задача об однородном анизотропном диэлектрическом круге во внешнем электрическом поле точечного заряда; задача об однородном анизотропном диэлектрическом круге во внешнем электрическом поле точечного мультиполя. На этих примерах и продемонстрирована эффективность аппарата характеристических мультиполей.

В четвёртой главе задача о корнях многочленов рассматривается как обратная задача электростатики, сводящаяся к задаче об абсолютном минимуме энергетического функционала. Такая физическая интерпретация математической задачи основана на том, что на неподвижном проводнике внешним электростатическим полем наводятся заряды, энергия которых минимальна по сравнению с энергией любого другого произвольно выбранного распределения зарядов в области проводника. Действительно, в проводнике имеются свободные заряды, перемещение которых в пространстве ограничено лишь поверхностью проводника. Поэтому эти заряды будут перемещаться до тех пор,

пока не примут такое распределение, что проводник станет областью с постоянным потенциалом. Тогда силы, действующие на свободные заряды будут равны нулю и движение зарядов прекращается. Этот физически очевидный факт можно рассматривать как обобщённый вариационный принцип Гаусса: для проводящей области S, находящейся во внешнем электрическом поле с комплексным потенциалом Щг), будет справедлив вариационный принцип, аналогичный принципу Гаусса, утверждающий, что минимум энергетического функционала

L=jJ |П'(г)|2 dS + Re J a(z)U{z)dl, (10)

в котором a(z) - плотность некоторого распределения электрических зарядов по границе dS проводящей области, П(г) - комплексный потенциал этих зарядов, достигается для истинного распределения индуцированных внешним полем зарядов. Отметим, что интегрирование в первом интеграле соотношения (10) проводится по всей комплексной плоскости. Важно также то обстоятельство, что первое и второе слагаемое в энергетическом функционале имеют ясный физический смысл: первое определяет собственную энергию аппроксимирующих зарядов, а второе их энергию взаимодействия с внешним полем.

В работе представлены две вариационные схемы расчёта корней многочленов: вариационная схема расчёта корней многочлена, основанная на аппроксимации электрического поля зарядов круга полями точечных источников и вариационная схема расчёта корней многочлена, основанная на аппроксимации электрического поля зарядов прямой полями точечных источников. В качестве аппоксимирующих источников предлагаются точечные заряды и точечные диполи. Возможность использования различных точечных источников для аппроксимации открывает дополнительные возможности к усовершенствованию численной реализации предложенной схемы, так как мы можем сдвигать пробные заряды-изображения только при корреляции направления сил, полученных при аппроксимации различными полями.

Работоспособность предложенных вариационных схем подтверждена численными расчётами. Так, например, для уравнения пятой степени z5 — 19zi + 133г3 — 421 z1 + 586z — 280 = 0 полученные по вариационной схеме результаты представлены для сравнения совместно с результатами расчётов стандартной функцией root в MATLAB, табл.1.

Эти результаты также подтверждают работоспособность и состоятельность такого метода нахождения корней многочленов.

Таблица 1.

1 гСфункция го<^ в МАТЬАВ) £ (вариационная схема)

1 1 .(ЮООСЮООСНХХХЮ 1.0000(ю0000(х)03

2 4.00000000000008 4.00000000000405

3 1.99999999999999 1.99999999999963

4 4.99999999999984 4.99999999999389

5 7.00000000000009 7.00000000000256

К плюсам предложенной вариационной схемы расчёта корней многочленов следует отнести то, что с её помощью можно находить корни многочленов любых степеней и в том числе и кратных корней, а также оценивать погрешности вычислений.

В пятой главе построены вариационные неравенства для емкостных коэффициентов на примере проводящих эллипса и круга. С помощью характеристических мультиполей на основе вариационных принципов путём минимизации энергетических функционалов находятся энергетические характеристики системы проводников, а также емкостные коэффициенты таких систем. Использование вариационных методов позволяет оценивать сверху и снизу, полученные значения для емкостных коэффициентов. Пятая глава состоит из следующих разделов: общая вариационная схема расчёта емкостных коэффициентов эллипса и круга с использованием характеристических мультиполей; оценки нулевого и первого порядков для матрицы емкостных коэффициентов эллипса и круга; оценка второго порядка для матрицы емкостных коэффициентов эллипса и круга; приближение электрического поля проводящих эллипса и круга полями экранированных эллипсом точечных зарядов; приближение электрического поля проводящих эллипса и круга полями экранированных эллипсом точечных зарядов и мультиполей.

В заключении формулируются основные результаты и выводы работы.

Основные результаты диссертационной работы:

1) Показано, что наиболее эффективными методами решения электростатических задач на плоскости является объединение методов теории функций комплексных переменных и вариационных методов, совместное использование которых позволяет полностью решать задачи о нахождении напряжённости (потенциалов) электрических полей на

всей комплексной плоскости, а также находить энергетические и силовые характеристики электрических полей. В качестве примеров решены классы задач: проводящий круг, проводящая прямая, проводящий эллипс, однородный диэлектрический круг, однородный диэлектрический эллипс, анизотропный диэлектрический круг во всевозможных внешних электрических полях.

2) Применение аппарата характеристических мультиполей -эффективный способ решения электростатических задач, что подтверждают следующие рассмотренные задачи: проводящий эллипс, однородный диэлектрический круг,однородный диэлектрический эллипс, анизотропный диэлектрический круг во всевозможных внешних электрических полях.

3) На примере системы, составными элементами которой являются проводящий элллипс и проводящий круг, рассмотрены задачи аппроксимации электрических полей точечными экранированными мультиполями. С помощью вариационных принципов в таких задачах аппрокисмации мы можем вычислять емкостные и потенциальные коэффициенты и при этом оценивать точность полученных результатов.

4) Использование вариационного подхода совместно с комплексным анализом позволяет представить математическую задачу о нахождении корней многочленов, как обратную задачу электростатики, сводящуюся к задаче об абсолютном минимуме энергетического функционала. Проведено исследование возможности практического применения такой физической интерпретации математической задачи для численных расчётов, которое подтверждает работоспособность предлагаемой вариационной схемы, достоинствами которой является то, что она позволяет находить любые корни, в том числе и кратные, а также оценивать погрешность вычислений.

5) Обоснованные теоретически методы расчёта электрических полей могут применяться в дальнейшем при практических расчётах в радиофизике и радиоэлектронике. Существенно, что некоторые результаты представленных научных исследований представляют интерес для курсов математической физики и электродинамики.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Казанцев В. П., Шляхтич Е. Н. Проводящий круг во внешнем электрическом поле// Вестн. Краснояр. гос. ун-та. - 2006. - № 1. - С. 21-25.

2. Казанцев В. П., Шляхтич Е. Н. Задача о корнях многочленов как обратная задача электростатики // Вестн. Краснояр. гос. ун-та. - 2006. -

№9.-С. 16-20.

3. Казанцев В. П., Шляхтич Е. Н. Характеристические мультиполи эллипса и решение задачи о проводящем эллипсе во внешних электрических полях // Журн. Сиб. федер. ун-та. Математика и физика. - 2009. - Т. 2, № 4. - С. 410-425.

4. Казанцев В. П., Шляхтич Е. Н. Примеры решения задач о проводящем эллипсе во внешних электрических полях // Журн. Сиб. федер. ун-та. Математика и физика. - 2011. - 'Г. 4, № 1. - С. 85-101.

5. Шляхтич Е. Н. Основная задача электростатики для проводящего круга / Е. Н. Шляхтич // ВНКСФ-12. Двенадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых : материалы конф., г. Новосибирск, 23-29 марта 2006 г. - Новосибирск, 2006. - С.783-784.

6. Шляхтич Е. Н. Задача о корнях многочленов как обратная задача электростатики / Е. Н. Шляхтич // ВНКСФ-13. Тринадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых: материалы конф., Ростов-на-Дону, Таганрог, 20-26 апреля 2007 г. - Екатеринбург; Ростов-на-Дону ; Таганрог, 2007. - С. 53-55.

7. Шляхтич Е. Н. Комплексный анализ и вариационные принципы в электростатике / Е. Н. Шляхтич // Физика в системе современного образования (ФССО-07) : материалы Девятой Междунар. конф., г. Санкт-Петербург, 4-8 июня 2007 г. - Санкт-Петербург, 2007. - С. 170.

8. Шляхтич Е. Н. Характеристические мультиполи эллипса и решение задачи об электрическом поле зарядов, распределённых по эллипсу / Е. Н. Шляхтич // ВНКСФ -14. Четырнадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых : материалы конф., г. Уфа, 26 марта - 3 апреля 2008 г. - Екатеринбург; Уфа, 2008. - С. 71-72.

9. Шляхтич Е. Н. Точное решение задачи об однородном изотропном диэлектрическом круге во внешних электрических полях/ Е. Н. Шляхтич // ВНКСФ-15. Пятнадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых: материалы конф., Кемерово, Томск, 26 марта - 2 апреля 2009 г. - Екатеринбург ; Кемерово, 2009. -С.69-70.

10. Шляхтич Е. Н. Повышение эффективности передачи знаний посредством обобщающих формул / Е. Н. Шляхтич // ВНКСФ-15. Пятнадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых: материалы конф., Кемерово, Томск, 26 марта - 2 апреля 2009 г.. - Екатеринбург; Кемерово, 2009. - С. 845-846.

11. Шляхтич Е. Н. Точное решение задачи об однородном изотропном диэлектрическом круге во внешних электрических полях / Е. Н.

Шляхтич, В. П. Казанцев// Физика в системе современного образования (ФССО-ОЭ): материалы X Международ, конф., г. Санкт-Петербург, 31 мая - 4 июня 2009 г. - Санкт-Петербург, 2009. - С.79-81.

12. Шляхтич Е. Н. Аппроксимация электрических полей проводников полями точечно экранированных мультиполей / Е. Н. Шляхтич // ВНКСФ-16. Шестнадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых : материалы конф., г. Волгоград, 22-29 апреля 2010 г. - Екатеринбург; Волгоград, 2010. - С. 50-51.

13. Шляхтич Е. Н. Аппроксимация электрических полей проводников и диэлектриков полями точечно экранированных мультиполей / Е. Н. Шляхтич // Всероссийская конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по физике, г. Владивосток, 12-14 мая 2010 г. -Владивосток: Изд-во Дальневосточ. ун-та, 2010. - С. 30-32.

14. Шляхтич Е. Н., Функции комплексного переменного и вариационные принципы задач электростатики на плоскости / Е. Н. Шляхтич, В. П. Казанцев // Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике : междунар. конф., посвящ. 110-летию М. А. Лаврентьева, г. Новосибирск, 23-27 августа 2010 г. - Новосибирск, 2010.-С. 39-40.

15. Шляхтич Е. Н. Характеристические мультиполи однородных изотропных диэлектриков в задачах электростатики на плоскости / Е. Н. Шляхтич // ВНКСФ-17. Семнадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых : материалы конф., г. Екатеринбург, 25 марта - 1 апреля 2011 г. - Екатеринбург, 2011. - С. 71-73.

16. Шляхтич Е. Н. Характеристические мультиполи в решениях задач о проводниках и диэлектриках во внешних электрических полях / Е. Н. Шляхтич, В. П. Казанцев // Всероссийская конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по физике, г. Владивосток, 11-13 мая 2011 г. - Владивосток, 2011. - С. 16-17.

17. Шляхтич Е. Н. Решение задач электростатики проводников и диэлектриков методами аналитической электростатики / Е. Н. Шляхтич // ВНКСФ-18. Восемнадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых : материалы конф., г. Красноярск, 29 марта - 5 апреля . - Красноярск, 2012. - С. 82-83.

Подписано в печать 15.10.2012. Печать плоская. Формат 60x84/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 9816

Отпечатано полиграфическим центром Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета/ 660041 Красноярск, пр. Свободный, 82а Тел/факс (391)206-26-67, 206-26-49/ E-mail: print_sfu@mail.ru; http://lib.sfu-kras.ru

Введение диссертация по физике, на тему "Разработка эффективных методов электростатики проводников и диэлектриков на плоскости"

В научной и учебной литературе под основной задачей электростатики понимают задачу отыскания напряженности электрического поля системы зарядов в присутствии проводников и диэлектриков [1], [2], [5],

31], [32], [33], [34], [36], [39], [40], [41], [42], [43], [62]. Решение этой задачи представляет значительные трудности даже для уединённых проводников и диэлектриков находящихся во внешних электрических полях. В реальных электрических системах бывает трудно промоделировать и измерить электрические поля, поэтому для расчета электромагнитных параметров требуется применение методов теоретической физики [31],

32], [33], [41], [62].

Расчёт электрических и магнитных полей различных систем элементами которых являются проводники и диэлектрики представляет практический интерес для различных областей науки: электрофизики, радиоэлектроники, радиофизики, электроники. Развитие этих областей науки предъявляет строгие требования к точности расчетных методов. Эти методы должны быть экономичны и доступны для широкого круга инженеров и других пользователей. Кроме того, не менее важна оценка точности полученных результатов, что иногда является более сложной задачей, чем получение самого результата.

Для электростатики на плоскости наиболее удобным математическим аппаратом служит комплексный анализ [8]. М.А. Лаврентьевым теория функций комплексного переменного рассматривалась неразрывно с физическими представлениями [30]. Развитие ТФКП на основании физических представлений позволяет создавать новые методы решения важнейших практических задач. Так методы ТФКП позволяют находить точные аналитические решения электростатических задач. Совместное применение к задачам электростатики вариационных методов и комплексного анализа позволяет разработать довольно эффективные методы решения этих задач. Разработке эффективных аналитических к методов расчёта электрических полей и численной реализация этих расчётов на конкретных примерах и посвящена данная работа.

На современном этапе развития науки становится всё более актуальным вопрос о том, как передавать такой громадный багаж знаний, накопленный веками, последующим поколениям. Всем ясно, что нужно передавать только общие концептуальные вещи, методики, потому что все частные случаи рассмотреть невозможно в принципе. Наиболее кумулятивным способом представления информации в частности в такой науке как физика является формула. Особенно большой интерес представляют формулы, отражающие наиболее общие закономерности и правила. Так классическая механика базируется на законах Ньютона, классическая электродинамика на уравнениях Максвелла и т.д. Но это примеры действительно самых общих постулатов, которых всё же не достаточно - немаловажную роль в образовании играют и более специфические, но довольно общие в своей области применимости формулы. К примерам таких формул можно отнести и некоторые формулы для решения электростатических задач на плоскости, представленные в данной работе. Важно, что на основе этих формул могут быть получены все частные решения этих задач. То есть знание теории функций комплексных переменных и умение производить элементарные алгебраические операции позволяет развернуть всё то, что содержится в этих формулах в сжатом виде - решить всевозможные конкретные задачи. Мы предлагаем внедрить их в процесс обучения студентов физических специальностей. Представляется, что методически верно знакомить студентов именно с такими довольно общими закономерностями, которые они могут развернуть для частных примеров, конкретных задач. Так для плоских электростатических задач удобно использовать комплексные переменные и соответственно представленные в данной работе формулы. Трудностей с применением, развертыванием таких формул у студентов физических специальностей возникать не должно, так как теории функций комплексных переменных на таких специальностях уделяется должное внимание.

В данной работе реализованы подходы к построению аналитической электростатики, связанные с рассмотрением в неразрывном единстве электрического поля и его источников - электрических зарядов - на всей комплексной плоскости, а не в отдельных областях её, как это часто делают в математической физике. Конкретные электростатические задачи формулируются как задачи о минимуме энергетических функционалов, поэтому возникает необходимость разработки методов выбора пробных функций с учётом характерных особенностей задач. Предлагаются соответствующие методы для задач электростатики проводников и диэлектриков. Их суть заключается в построении на поверхности проводника базисной системы распределений зарядов, электрические поля которых ортогональны в энергетической мере. Такие распределения зарядов, упорядоченные по отличным от нуля круговым мультипольным моментам минимального порядка названы характеристическими мультиполями. Нахождение характеристических мультиполей эквивалентно построению ортогонального базиса в функциональном пространстве электрических потенциалов, источниками которых служат поверхностные заряды проводника (диэлектрика). Следует отметить, что аппарат характеристических мультиполей позволяет решить задачи для различных геометрических форм проводников и диэлектриков (круг, эллипс и т. д), находящихся во всевозможных внешних электрических полях, будь то поле точечного заряда, поле диполя, поле квадруполя, поля мультиполя, и т.п. Введение новых для теории поля понятий характеристических мультиполей и высших поляризуемостей для проводников и диэлектриков, позволяет построить конструктивные решения всевозможных задач о проводниках и диэлектриках, находящихся во внешних электрических полях.

Наиболее перспективными, на наш взгляд, приближенными методами расчета электростатических соотношений являются вариационные методы, основанные на вариационных принципах электростатики. Вариационные принципы Дирихле и Томсона являются дуальными принципами электростатики и позволяют получать оценки сверху и снизу, например, для матрицы емкостных коэффициентов. Причем для таких оценок, как правило, не требуется громоздких вычислений, получаемые зависимости имеют аналитическую форму, весьма удобную для практического использования. При разработке вариационных схем на плоскости удобно использовать комплексную форму представления электростатических соотношений [8].

Главной проблемой реализации вариационных принципов является построение пробных (аппроксимирующих) полей. Их выбор имеет свои особенности для каждого типа задач. В данной работе пробные поля выбираются в виде потенциалов, создаваемых суперпозицией точечных мультиполей или суперпозицией экранированных точечных мультиполей. Следует также отметить, что при использовании вариационных методов мы можем оценивать точность полученных результатов, которая зависит от выбора вида потенциалов аппроксимирующих полей.

Так аппроксимация электрических полей на плоскости полями экранированных точечных зарядов и экранированных точечных мультиполей позволяет вычислить емкостные и потенциальные коэффициенты различных систем проводников. Например, оценить ёмкость системы проводящий эллипс и лежащий вне области эллипса проводящий круг.

Также весьма любопытным результатом является то, что использование вариационного подхода совместно с комплексным анализом даёт возможность представить математическую задачу о нахождении корней многочленов как обратную задачу электростатики, сводящуюся к задаче об абсолютном минимуме энергетического функционала [18]. Вариационная схема расчёта корней многочлена основана на аппроксимации электрического поля зарядов некого проводника полями точечных мультиполей. Простейшими примерами являются: аппроксимация поля зарядов проводящей прямой полями точечных диполей (или точечных зарядов), либо аппроксимация поля зарядов проводящего круга полями точечных диполей (или точечных зарядов).

Цель работы:

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

- рассмотреть задачи о проводниках и диэлектриках во всевозможных внешних электрических полях;

- развить необходимую систему понятий;

Научная новизна работы заключается в том, что в ней:

2. Впервые построены комплексные функции Грина внешней и внутренней областей эллипса.

3. Введены новые понятия: эллипс сходимости, мнимый точечный заряд, характеристические мультиполи.

4. С помощью аппарата характеристических мультиполей впервые решена задача об анизотропном диэлектрическом круге в различных внешних электрических полях.

Научная и практическая ценность.

На защиту выносятся следующие положения:

4. Использование вариационного подхода совместно с комплексным анализом позволяет представить математическую задачу о нахождении корней многочленов, как обратную задачу электростатики, сводящуюся к задаче об абсолютном минимуме энергетического функционала.

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

Основные результаты диссертационной работы были опубликованы в 17 работах, из них 4 в изданиях по списку ВАК [ 17], [ 18], [ 19], [20].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю В.П. Казанцеву за активную помощь и поддержку при выполнении данной работы.

Оглавление

Введение 1

1 Проводящий круг и проводящая прямая в задачах электростатики на плоскости 7

1.1 Проводящий круг во внешнем электрическом поле. 7

1.1.1 Общие соотношения . 7

1.1.2 Проводящий круг в мультипольном электрическом поле т-го порядка . 9

1.1.3 Задача о проводящем круге в электрическом поле нескольких точечных зарядов . 9

1.1.4 Задача о проводящем круге в электрическом поле нескольких точечных диполей. 11

1.1.5 Задача о проводящем круге в электрическом поле нескольких точечных зарядов, комплексный потенциал которых выражен через многочлен с неизвестными корнями, лежащими вне круга . 12

1.1.6 Задача о проводящем круге в электрическом поле нескольких точечных диполей, комплексный потенциал которых выражен через многочлен с неизвестными корнями, лежащими вне круга . 13

1.2 Проводящая прямая во внешнем электрическом поле . 14

1.2.1 Общие соотношения . 14

1.2.2 Проводящая прямая в поле с комплексным потенциалом Ах11 . 15

1.2.3 Проводящая прямая в поле с комплексным потенциалом А ехр(аг). 16

1.2.4 Проводящая прямая в поле точечного заряда . . 16

1.2.5 Проводящая прямая в поле точечного мультиполя . 16

1.2.6 Проводящая прямая в поле нескольких точечных диполей. 17

1.2.7 Проводящая прямая в поле с комплексным потенциалом, который выражается через многочлен P(z) . 17

2 Проводящий эллипс в задачах электростатики на плоскости 19

2.1 Проводящий эллипс во внешних электрических полях . . . 19

2.1.1 Общие соотношения . 19

2.1.2 Эллипс в электрических полях с комплексными потенциалами —E*zn. 22

2.1.3 Эллипс в электрических полях с комплексными потенциалами —Е* cos jz. 24

2.1.4 Эллипс в электрических полях с комплексными потенциалами —Е* sin 72. 25

2.1.5 Эллипс в электрических полях с комплексными потенциалами —Е* ехр (72). 26

2.1.6 Эллипс в электрических полях с комплексными потенциалами —E*Jn(/yz). 26

2.1.7 Эллипс в электрическом поле точечного заряда, расположенного вне эллипса. 28

2.1.8 Эллипс в электрическом поле точечного диполя, расположенного вне эллипса. 36

2.1.9 Эллипс в электрическом поле точечного мультиполя, расположенного вне эллипса . 41

2.1.10 Эллипс в электрическом поле с комплексным потенциалом, представляемым внутри эллипса сходящимся степенным рядом. 45

2.1.11 Проводящий эллипс в электрическом поле системы точечных зарядов, расположенных вне эллипса. 47

2.1.12 Проводящий эллипс в электрическом поле системы точечных диполей, расположенных вне эллипса. 50

2.1.13 Аппроксимация поля зарядов расположенной вне эллипса окружности, экранированной проводящим эллипсом, полем системы точечных зарядов . 53

2.2 Проводящий эллипс в электрическом поле зарядов, расположенных внутри эллипса . 56

2.2.1 Общие соотношения . 56

2.2.2 Функция Грина внутренней области эллипса. Конформное отображение внутренней области эллипса на круг. 58

2.2.3 Точечный диполь, экранированный внутри эллипса 61

2.2.4 Точечный мультиполь, экранированный внутри эллипса. 64

2.2.5 Проводящий эллипс в электрическом поле системы точечных зарядов, расположенных внутри эллипса. 70

2.2.6 Проводящий эллипс в электрическом поле системы точечных диполей, расположенных внутри эллипса. 73

2.2.7 Аппроксимация поля зарядов расположенной внутри эллипса окружности, экранированной проводящим эллипсом, полем системы точечных зарядов. 76

3 Диэлектрические тела в задачах электростатики на плоскости 77

3.1 Однородные изотропные диэлектрические тела в плоских задачах электростатики. 77

3.1.1 Характеристические мультиполи однородных изотропных диэлектриков. 77

3.1.2 Вариационная формулировка задачи о характеристических мультиполях мультиполях однородного изотропного диэлектрического тела . . 78

3.1.3 Примеры использования аппарата характеристических мультиполей и высших поляризуемостей. 82

3.1.4 Постороение комплексных потенциалов характеристических мультиполей диэлектрических тел с помощью характеристических мультиполей их границы. 85

3.1.5 Примеры характеристических мультиполей однородных изотропных диэлектрических тел . 87

3.2 Однородный анизотропный диэлектрический круг. 90

3.2.1 Характеристические мультиполи однородного анизотропного диэлектрического круга. 90

3.2.2 Однородный анизотропный диэлектрический круг во внешних электрических полях. 97

3.2.3 Задача об однородном анизотропном диэлектрическом круге во внешнем электрическом поле, комплексный потенциал которого - многочлен 98

3.2.4 Задача об однородном анизотропном диэлектрическом круге во внешнем электрическом поле точечного заряда. 99

3.2.5 Задача об однородном анизотропном диэлектрическом круге во внешнем электрическом поле точечного мультиполя.101

Задача о корнях многочленов как обратная задача электростатики 104

4.1 Вариационный принцип Гаусса.104

4.2 Вариационная схема расчёта корней многочлена.105

4.2.1 Аппроксимация поля индуцированных зарядов круга полями точечных зарядов.105

4.2.2 Аппроксимация поля индуцированных зарядов круга полями точечных диполей.106

4.2.3 Решение задачи о корнях многочленов на основе принципа абсолютного минимума энергетического функционала.107

4.2.4 О порядке вычисления корней многочленов . 111

4.3 Вариационная схема расчёта корней многочлена.113

4.3.1 Аппроксимация электрического поля индуцированных на прямой внешним полем зарядов полями точечных зарядов.113

4.3.2 Аппроксимация электрического поля индуцированных на прямой внешним полем зарядов полями точечных диполей.117

4.3.3 Аппроксимация электрического поля индуцированных на прямой внешним полем зарядов полями точечных мультиполей.120

4.4 Примеры, демонстрирующие работоспособность предложенной вариационной схемы.121

Вариационные неравенства для емкостных коэффициентов 126

5.1 Емкостные коэффициенты эллипса и круга.126

5.1.1 Общая вариационная схема расчета емкостных коэффициентов эллипса и круга с использованием характеристических мультиполей.126

5.1.2 Оценки нулевого и первого порядков для матрицы емкостных коэффициентов эллипса и круга . 131

5.1.3 Оценка второго порядка для матрицы емкостных коэффициентов эллипса и круга.135

5.1.4 Приближение электрического поля проводящих эллипса и круга полями экранированных эллипсом точечных зарядов.139

5.1.5 Приближение электрического поля проводящих эллипса и круга полями экранированных точечных зарядов и мультиполей.146

Заключение 154

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Шляхтич, Евгений Николаевич, Красноярск

1. Батыгин В. В. Сборник задач по электродинамике / В. В. Батыгин, И. Н.Топтыгин. - 3-е изд., испр. - М.: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002. -640 с.

2. Батыгин В. В. Современная электродинамика. Ч. 1. Микроскопическая теория: учебн. пособие / В. В. Батыгин И.Н.Топтыгин. М. - Ижевск : Ин-т компьютер, исслед., 2002.- 736 с.

3. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. 5-е изд. - М. : Наука, 1971. - 1100 с.

4. Гринберг Г. А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений / Г. А. Гринберг. М.; Л.: Изд-во Акад. наук СССР. - 1948. - 732 с.

5. Джексон Дж. Классическая электродинамика / Дж. Джексон ; пер. с англ. М.: Мир, 1965.- 702 с.

6. Зубарев А. Л. Вариационный принцип Швингера в квантовой механике / А. Л. Зубарев. М.: Энергоиздат. - 1981. - 140 с.: ил.

7. Иоссель Ю. Я- Расчёт электрической ёмкости / Ю. Я. Иоссель, Э. С. Качанов, М. Д. Струнский. 2-е изд., перераб. и доп. - Л. : Энергоиздат, Ленингр. отд-ние, 1981. - 288 с. : ил.

8. Казанцев В. П. Аналитическая электростатика на плоскости : монография / В. П. Казанцев; Федер. агентство по образованию, Сиб. федерал, ун-т. Красноярск : Изд-во Сиб. федер. ун-та. - 2008- 782 с. (Библиотека журнала СФУ).

9. Казанцев В. П. Аналитическая электростатика: учеб. пособие. 4.1. Вариационные принципы и простые примеры их использования / В.

10. П. Казанцев ; Краснояр. гос. ун-т. Красноярск : Краснояр. гос. унт. - 1990-95 е.: ил.

11. Казанцев В. П. Аналитическая электростатика: учеб. пособие. Ч. 2. / В. П. Казанцев; Краснояр. гос. ун-т. Красноярск : Краснояр. гос. ун-т, 1994. -115 с.

12. Казанцев В. П. Электростатика на плоскости. Нормировка потенциала. Емкости уединённого проводника и линии относительно точки. Конформные радиусы /В. П. Казанцев, О. А. Золотов, М.

13. B. Долгополова// Вестн. Краснояр. гос. ун-та. 2005. - № 1. - С. 32-38

14. Казанцев В. П. Аппроксимация электрических полей на плоскости полями экранированных точечных мультиполей/В. П. Казанцев, О. А. Золотов, М. В. Долгополова// Вестн. Краснояр. гос. ун-та. 2006. - № 7. - С. 14-23

15. Казанцев В. П. Экранированные точечные заряды и мультиполи/В. П. Казанцев, О. А. Золотов, М. В. Долгополова// Известия высших учебных заведений.-Сер. Физика.-2007.

16. Казанцев В. П. Аппроксимация электрического поля проводников экранированными точечными зарядами и мультиполями /В. П. Казанцев, О. А. Золотов, М. В. Долгополова// Известия высших учебных заведений.-Сер. Физика.-2007.-№1. С. 35-41.

17. Казанцев В. П. Проводящий круг во внешнем электрическом поле / В. П. Казанцев, Е. Н. Шляхтич // Вестн. Краснояр. гос. ун-та. -2006. -№ 1.-С. 21-25.

18. Казанцев В. П. Задача о корнях многочленов как обратная задача электростатики / В. П. Казанцев, E.H. Шляхтич // Вестн. Краснояр. гос. ун-та. 2006. - № 9. - С. 16-20.

19. Казанцев В. П. Характеристические мультиполи эллипса и решение задачи о проводящем эллипсе во внешних электрических полях / В. П. Казанцев, Е. Н. Шляхтич // Журн. Сиб. федер. ун-та. 2009. - Т. 2, №4. -С. 410-425.

20. Казанцев В. П. Примеры решения задач о проводящем эллипсе во внешних электрических полях / В. П. Казанцев, Е. Н. Шляхтич // Журн. Сиб. федер. ун-та. Математика и физика. 2011. - Т. 4, № 1. -С. 85-101.

21. Казанцев В. П. Вариационные оценки в электростатике. Принцип Гаусса и метод эквивалентных зарядов / В. П. Казанцев, Е. А. Лысенко // Изв. вузов. Физика. 1995. - N 2. - С. 30 - 36.

22. Казанцев В. П. Вариационные принципы и высшие поляризуемости уединённых проводников в плоских задачах электростатики / В.П. Казанцев //Докл. Рос. акад. наук. 1998. - Т. 361, № 4. - С. 469473.

23. Казанцев В.П. Понятие о высших поляризуемостях уединенных проводников в плоских задачах электростатики / В.П. Казанцев. -Красноярск, 1996. Деп. в ВИНИТИ 2291 В96.

24. Казанцев В. П. Вариационные принципы, электрические характеристические мультиполи и высшие поляризуемости в теории поля / В. П. Казанцев // Теорет. и мат. физика. 1999. - Т. 119, №3. - С. 441 -454.

25. Казанцев В. П. Характеристические мультиполи и плоские задачи электростатики диэлектриков / В. П. Казанцев // Докл. Рос. акад. наук. 2003, Т. 388, № 4. - С. 456-461.

26. Казанцев В.П. Характеристические мультиполи и вариационные оценки ёмкости цилиндрических конденсаторов / В. П. Казанцев // Докл. Рос. акад. наук. 2000. - Т. 373, № 1. - С. 29-32.

27. Казанцев В.П. Характеристические мультиполи кривой относительно точки / В. П. Казанцев // Докл. Рос. акад. наук. 2001. - Т. 380, № 6. - С. 749 - 753.

28. Казанцев В. П. Пример, демонстрирующий возможности и особенности вариационного подхода к задачам электростатики / В.П. Казанцев // Успехи физ. наук. 2002. - Т. 172, № 3. - С. 357-362.

29. Казанцев В.П. Вариационные оценки в электростатике диэлектриков/В.П. Казанцев // Журнал Технической физики.-1983.-Т. 53, №3.-С.449-457.

30. Лаврентьев М. А. Методы теории функций комплексного переменного : учеб. пособие / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. Изд. 3-е, испр. - М.: Наука, 1965. - 716 с.

31. Ландау Л . Д. Электродинамика сплошных сред / Л . Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М.: Наука, 1982. - 622 с.

32. Ландау Л. Д. Теория поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М. : Наука, 1988. - 512 с.

33. Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала / Н. С. Ландкоф. М.: Наука, 1966. - 516 с.

34. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм / А. Н. Матвеев. М.: Высш. шк, 1983. - 415 с.

35. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике / С. Г. Михлин. Изд. 2-е, перераб. и доп.- М.: Наука,1970. -512 с. : ил.

36. Пановский В. Классическая электродинамика / В. Пановский, М. Филипс ; пер. с англ. М. : Физматгиз, 1963. - 432 с.

37. Полиа Г. Г. Изопериметрические неравенства в математической физике / Г. Полиа, Г. Сеге ; пер. с англ. М.: Физматгиз, 1962. - 336 с.

38. Прудников А. П. Интегралы и ряды. Специальные функции / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. М.: Наука, 1983. - 750 с.

39. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 3. Электричество / Д. В. Сивухин. М. : Наука, 1977. - 690 с.

40. Смайт В. Электростатика и электродинамика / В. Смайт ; пер. с амер. изд. М.: Изд-во иностр. лит. - 1954. - 432 с.: ил.

41. Тамм И. Е. Основы теории электричества : учеб. пособие / И. Е. Тамм. М. : Наука, 1989. - 504 с.: ил.

42. Терлецкий Я. П. Электродинамика : учеб. пособие / Я. П. Терлецкий, Ю. П. Рыбаков 2-е изд., перераб. - М.: Высш. шк., 1990. - 352 с.: ил.

43. Фейнман Р. Фейнмановские лекции по физике. Т.6. Электродинамика / Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. М.: Мир, 1966. - 344 с. : ил.

44. Шляхтич Е. Н. Основная задача электростатики для проводящего круга / Е. Н. Шляхтич // НКСФ XXXV (2006). Тезисы докладов научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых-физиков, Красноярск, 12-13 апреля 2006 г.- Красноярск, 2006. - С. 67.

45. Шляхтич Е. Н. Комплексный анализ и вариационные принципы в электростатике / Е. Н. Шляхтич // Физика в системе современного образования (ФССО-07) : материалы Девятой Междунар. конф., г. Санкт-Петербург, 4-8 июня 2007 г. Санкт-Петербург, 2007. - С. 170.

46. Шляхтич Е. Н. Характеристические мультиполи эллипса и решение задачи об электрическом поле зарядов, распределённых по эллипсу

47. Е. Н. Шляхтич // ВНКСФ-14. Четырнадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых : материалы конф., г. Уфа, 26 марта 3 апреля 2008 г. - Екатеринбург ; Уфа, 2008. -С. 71-72.

48. Шляхтич Е. Н. Характеристические мультиполи эллипса/ Е. Н. Шляхтич // НКСФ-2008. Тезисы докладов научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых-физиков, г. Красноярск, 11-12 апреля 2008 г. Красноярск, 2008. - С. 59.

49. Шляхтич Е. Н. Диэлектрический круг во внешнем электрическом поле/ Е. Н. Шляхтич // НКСФ-2009. Тезисы докладов научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых-физиков, г. Красноярск, 17-18 апреля 2009 г. Красноярск, 2009. - С. 120.

50. Raab, R. Е. Multipole Theory in Electromagnetism /R. E. Raab, О. L. De Lange//Oxford: Clarendon press.-2005.- 235 p.

51. Guggenheim, E. A. On magnetic and electrostatic energy./E. A. Guggenheim // Proceedings of the Royal Society London.-1936.-V. 155 P. 49-70.

52. Knight R. C. The potential of circular cylinder between the infinity planes/R. C. Knight// Proc. of London Math. Soc.-1935.V.39, ser.2. P. 272-281

53. Wangsness R. K- Electromagnetic fields/R. K. Wangsness //Wiley, New York.-1986.-354 p.

54. Weiglhofer W. S. On a medium constraint arising directly from Maxwell's equations./W. S. Weiglhofer //Journal of Physics A: Mathematical and General. -1994. V. 27.- P. 871-874.

55. Tsiboukis T.D. Estimation of electromagnetic field parameters by dual energy methods/ T.D. Tsiboukis//Archiv for Electrotechnick.-1985. V. 68. P. 183-189