Исследование и численное решение задачи электростатики в случае слоистых сред тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР .[ <

ОРДЕНА ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

На правах рукописи

¡ПАНОВА НАТАЛИЯ ВАСИЛЬЕВНА

УДК 518.5:537.212.517.948

ИССЛЕДОВАНИЕ И ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ В СЛУЧАЕ СЛОИСТЫХ СРБД

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1987

Работа выполнена в Вычислительном центре Сибирского отделения Академии наук СССР

Научные руководители: доктор физико-математических наук Кирейтов В.Р.

доцент.кандидат физико-математических наук Цецохо В.А.

Официальные оппоненты :прс^ессор, доктор физико-математических наук Ильин В.П. кандидат физико-математических наук Амиров А.Х.

Ведущая организация: Институт теоретической и прикладной механики СО АН СССР

Защита состоится 1М.<9 иЯ 1987 г. в /7 часов

на заседании специализированного совета К 002.10.01 по присуждению ученой степени кандидата наук при Вычислительном центре СО АН СССР (630090, Новосибирск-90, проспект академика Лаврентьева, 6).

С диссертацией мокно ознакомиться в читальном зале Отделения ГПНТБ (Новосибирск-90, проспект академика Лаврентьева, 6).

/С

Автореферат разослан " 'Ъ " 1987 г.

Ученый секретарь Специализированного совета кандидат физико-математических наук

Ю.И.Кузнецов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш, рт-^и;.^станционные задачи, в которых измеряемыми являются характеристики электростатического поля, а исследуемым-распре-деление свободных статических зарядов на тех или иных носителях, например, на металлических поверхностях, стержнях, диэлектрических телах,имеют практическое, научное, народнохозяйственное значение.

Например, задача нахождения распределения статического электричества на металлических поверхностях представляет значительное народно-хозяйственное значение, достаточно упомянуть проблему контроля безопасности нефтяных танкеров, накопление статического электричества на отдельных частях которого грозит возможностью самовозгорания, или проблему дефектоскопии металлических поверхностей при изготовлении прецези-онных приборов и машин.

Последняя задача, а именно: задача исследования поверхностей, поверхностных превращений методами электростатики, представляет значительный научный интерес, составляя раздел теории твердого тела, который принято называть спектроскопией поверхностей.

Упомянутые задачи возникают также при изучении биологии растений, функционирование которых связано с медленно меняющимися электрическими процессам.

Одно из возможных направлений решения подобных задач -конструирование и моделирование диэлектрических приборов, преобразумцих электростатическое поле тем или иным, подходящим для данной задачи, способом.

Настоящая диссертация связана с данным направлением.

Цель работы.

Создание математической модели свяги регистрируемых характеристик электростатического полз некоторого источника, в присутствии диэлектрической среды достаточно сложной структуры, с параметрами самого источника; разработка алгоритмов нахождения составляющих электростатического поля; проведение численных экспериментов на ряде модельных задач; исследова-

ние подученных интегральных уравнений для нахождения плотности поверхностных зарядов, возникающей на металлическом экране.

Современное состояние проблемы.

Дистанционные задачи, в которых требуется по данному измерению тех или иных различных полей правильно определить геометрические или физические характеристики объектов, связанных с этими полями, возникают при решении многих задач, не только связанных с задачами электростатики, например, дистанционные задачи оптики, впервые возникшие в работах М.М.Лаврентьева, В.Р.Кирейтова.

Большой вклад в развитие математической теории электростатического поля внес Г.А.Гринберг.

Разностные методы расчета электростатических полей отражены в работах В.Вазова, Р.Варга, В.П.Ильина, Г.И.Марчука, А.А.Самарского, Д.Форсайта, Н.Н.Яненко.

Хорошо в настоящее время разработаны методы решения задач теории потенциала с помощью интегральных уравнений, чему посвящены работы Алексидзе М.Л., Купрадзе В.Д., Цецохо В.А., Овчарова В.Г., Власова А.Г., Флегонтова Ю.А.

Разнообразные подходы к исследованию и численному решению уравнения Абеля, типа Абеля и связанных с преобразованием Абеля уравнений, описаны в работах авторов: Преображенского Н.Г., Пикалова В.В., Гахова Ф.Д., Самко С.Г., Сакалюка К.Д., Чумакова Ф.В.

Методика исследования.

Для нахождения функции Грина как в случае плоско-параллельной среда, так и в случае сферически-симметрической среды применяется метод разделения переменных для уравнения Лапласа в цилиндрических и сферических координатах соответственно .

Для исследования интегрального уравнения для нахождения плотности поверхностных зарядов, возникающих на экранирукщей поверхности, широко используется аппарат математического и функционального анализа.

Для численного решения полученного интегрального уравнения применяется метод интерполяции и коллокации, разработан-

ный В.А.Цецохо и В.В.Ворониным.

Научная новизна.

Основными результатами, полученными в данной работе являются:

1. Найдены и исследованы функции Грина для случаев п/ слой-ных плоско-параллельных и сферически-симметрических сред, также получены формулы для наховдения характеристик электростатического поля как точечного источника, так и тонкого заряженного диска, либо тонкого заряженного кольца.

2. Для задач электростатики (рассматривались два случая: первый, когда непосредственно перед диэлектриком был помещен бесконечный экран с круговой диафрагмой, второй, когда перед диэлектриком был помещен диск) получены интегральные уравнения второго рода на бесконечной прямой, исследована их корректность и эквивалентность исходным дифференциальным задачам.

3. Полученные алгоритмы были реализованы в комплексах программ, позволяющих рассчитывать электростатическое поле при наличии диэлектрических сред достаточно сложных структур.

4. Математическое моделирование связи регистрируемых составляющих электростатического поля с параметрами источника поля позволило сделать вывод о возможности создания воспринимающего диэлектрического устройства, действие которого на силовые линии поля, аналогично действию фазового преобразователя оптического шля.

Теоретическая и практическая ценность.

Полученные в работе теоретические результаты представляют интерес для развития теории интегральных уравнений, для развития теории решения задач математической физики, связанных с проблемой решения дистанционных задач электростатики.

Предложенная методика исследования позволяет создать математическую модель электростатического поля при наличии диэлектрика достаточно сложной структуры, как в присутствии экранирующей поверхности так и без неё.

Исследование интегральных уравнений электростатики повлекло за собой исследование уравнения Абеля, которое было проведено в данной работе, что представляет большой интерес, так как существует целый ряд физических задач, некоторое задачи газо-

динамики, электродинамики, исследование пространственной структуры атмосферы, лазерные зондирования атмосферной турбулентности, решение которых сводится к решению задачи Абеля.

Разработанные алгоритмы, результаты и выводы, изложенные в диссертации, важны и в прикладном значении, так как могут быть использованы для конструирования воспринимающих диэлектрических устройств.

Ацро^адия работа.

Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались на научных семинарах отдела математических задач геофизики (рук. академик АН СССР А.С.Алексеев), отдела условно-корректных задач ВЦ СО АН СССР (рук. академик АН СССР М.М. Лаврентьев), на семинарах по функциональному анализу и уравнениям математической . физики в. Хабаровском политехническом институте 1980-1986 гг. (рук. профессор, доктор физико-математических наук В.Д.Степанов), на итоговых, научно-методических конференциях, зональных конференциях (Хабаровск,1980-1986 гг.), на II Дальневосточной конференции молодых ученых (Хабаровск, 1985), на II Дальневосточной математической школе-семинаре (Хабаровск, 1981), на итоговой научно-методической конференции (Новгород, 1987).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора |Х]-

Структура диссертации.

Работа состоит из введения, трех глав и заключения, содержит 131 страницу машинописного текста и список литературы из 65 наименований. В начале каждой главы помещено краткое описание соответствующей части текста и полученные в ней результаты.

СОДЕРЖАНИЕ

Во введении дано обоснование актуальности проблемы, дан краткий обзор современного состояния и основных результатов развития обратных электростатических задач, охарактеризованы методы исследования, применяемые в данной работе, сформулированы задачи исследования, изложены основные результаты диссертации, описывается структура рукописи, дается краткий обзор литературы.

В первой главе исследуется основная задача электростатики для случаев плоско-параллельнбй и сферически-симметрической сред.

В случае плоско-параллельной среды рассматривается безграничный диэлектрик, состоящий из однородных, изотропных слоев с различной диэлектрической проницаемостью ¿=1, 2,...,и.-!, толщина каждого слоя считается величиной постоянной, в противном случае, задача сводится к предыдущей.

Итак, ставится задача: определить функцию Грина(г (£, $ ), удовлетворявдую условиям

64Р,®) — о, (Р —

где через [" обозначен скачок функции при переходе через

границу раздела слоев в диэлектрике.

Применяя метод разделения переменных для уравнения Лапласа в цилиндрических координатах и удовлетворяя граничным условиям на поверхностях раздела сред в диэлектрике, решение

краевой задачи сводим к решению системы линейных алгебраических уравнений с пятидиагональной матрицей.

Найдены и исследованы функции ^•(х^кОь рем.

X е. [о,**®), оказывающие основное влияние на функцию Грина, показывающие ее связь со структурой диэлектрической среды, зависимость от свойств диэлектрической проницаемости каждого слоя, для них доказан ряд утверждений, теорем и лемм, необходимых в дальнейшем.

Получены следующие формулы для нахождения функции Грина:

00

- А [ 2. - З-о I

.......+■

о

.?{.(*) г* 7. С*

о ^ <- »7

О

О оо

О

о 1С-1,2,..., ¡ъ-1

пространство с диэлектрическои проницаемостью % и-о,^...,^

где обозначено Чо это бесселева функция первого рода

нулевого порядка, £ ~~Ъо ~ расстояние источника от диэлектрика, £ С 9'^' точка в которой находим функцию Грина.

Получены и исследованы формулы для нахождения характеристик электростатического поля, когда оно создается либо тонким, заряженным диском, либо тонким заряженным кольцом.

При помощи функции Грина, краевая задача для уравнения Лапласа сводится к решению интегрального уравнения на бесконечной прямой.

Выведены интегральные уравнения для нахождения плотности поверхностных зарядов, возникающей либо на безграничном экране с круговой диафрагмой, либо на диске, помещенных непосредственно перед диэлектриком, потенциалы которых известны. В случае безграничного экрана с круговой диафрагмой радиуса

, интегральное уравнение для нахождения плотности имеет вид

г & С оо),

ад)

где положено

(т ж^Ьзд^Х^

а

оо оо

1 оо °

о

Л г, сА = ->

а Л- ч это полный эллиптический интеграл первого

рода, ^Го (А О) - бесселева функция первого рода нулевого порядка, функция р (Л) введена выше.

Далее в первой главе рассказано о нахождении функции Грина в случае к— слойной сферически-симметрической среды, то есть когда имеется диэлектрик, состоящий из вложенных друг в друга УЬ диэлектрических, сферических слоев с единым центром, диэлектрические проницаемости которых различны. Толщина каждого слоя предполагается одинаковой, что, впрочем, несущественно. Как и в плоско-параллельном случае сводим

9

задачу нахождения функции Грина к задаче решения системы линейных алгебраических уравнений с пятидиагоналъной матрицей. Для этого применяем метод разделения переменных для уравнения Лапласа в сферических координатах, удовлетворяя затем граничным условиям на поверхностях раздела сред в диэлектрике. Замечена определенная связь между случаями плоско-параллельной и сферически-симметрической среда.

Основными результатами полученными в первой главе являются следующие: построены, исследованы и обоснованы алгоритмы для нахождения функции Грина и составлящих электростатического поля источников более сложной формы в случае IV -слойных сред, дающие возможность создавать и конструировать математические модели воспринимающих диэлектрических устройств.

Вторая глава посвящена полностью вопросу исследования корректности полученных интегральных уравнений и их эквивалентности исходным дифференциальным задачам.

В начале главы получена формула разложения в ряд произведения двух бесселевых функций первого рода нулевого порядка:

оо 2 £

е =о

Далее доказаны некоторые оценки для интегралов, как на конечном, так и на бесконечном промежутках, содержащих бессе-

где положено

А б С о, «о), %ре [ (?,<*,), к >0.

левы функции первого рода целочисленного порядка, необходимые в дальнейшем для исследования интегрального уравнения для нахождения поверхностной плотности на экранирующей поверхности.

При исследовании интегрального уравнения возникла необходимость полного исследования интегральных уравнений Абеля, типа Абеля и Шлемильха. Для этого введено специальное пространство "Абелевых интегралов", показано, что оно является банаховым пространством. Рассмотрены вложения друг в друга следующих пространств: пространства непрерывно дифференцируемых функций, пространства "гёльдеровских" функций, пространства "Абелевых интегралов" и пространства непрерывных на отрезке функций, доказаны теоремы существования и единственности для интегральных уравнений Абеля, типа Абеля и Шлемильха, если они действуют в определенных пространствах.

Показано, что операторТ , определенный в первой главе, имеет ограниченный обратный, доказано, что оператор ОА. является компактным оператором, то есть по теореме С.М.Никольского к исходному интегральному уравнению (1.1) применима альтернатива Фредгольма.

Для случая монотонного возрастания значения диэлектрической проницаемости при переходе от слоя к слои в диэлектрике доказана единственность решения основного интегрального уравнения, а в случае нарушения монотонного возрастания роста диэлектрической проницаемости найдены условия для выполнения единственности, которые, однако, могут быть значительно ослаблены. при проведении дальнейших исследований.

В третьей главе рассматривается проведенные численные эксперименты.

Вначале главы приведены некоторые аспекты построения квадратурных формул, основанных на аппроксимации многочленами, для интегралов, содержащих полные эллиптические интегралы и бесселевы функции первого рода, как нулевого, так и целочисленного порядков.

Рассказано о получении алгоритма решения методом интерполяции и коллокации интегрального уравнения для нахождения плотности поверхностных зарядов.

Далее описывается численный эксперимент по нахождению зависимости характеристик электростатического поля от свойств, структуры диэлектрика, удаленности и формы источника поля, проведенный на целом ряде модельных задач. Описывается контроль достоверности полученных результатов.

Алгоритм численного решения нахождения составляющих электростатического поля был реализован на языке Фортран. Программы содержали от 200 до 280 операторов.

В конце главы приведены результаты численного эксперимента, позволившие сделать вывод о принципиальной возможности построения воспринимающего диэлектрического устройства, действие. которого на силовые линии электростатического поля аналогично действию фазового преобразователя оптического поля.

В заключении диссертационной работы приведены ее основные результаты и выводы:

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своим научным руководителям доценту, кандидату физико-математических наук В.А.Цецохо за постановку математических задач, доктору физико-математических наук В.Р.Кирейтову, соображения которого о возможности построения электростатических приборов для дистанционных задач послужили отправной точкой для некоторых рассмотренных.в диссертации постановок задач, обоих за постоянное внимание к работе, возможность обсуждения полученных результатов, руководство работой.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Иванова Н.В. Алгоритм вычисления функции Грина в случае слоистого расположения сред в диэлектрике. - В сб.: Численные методы в интерпритащш геофизических наблюдений, Новосибирск, 1980, С. 72-84.

2. Иванова Н.В. Решение некоторого типа интегральных уравнений. - Деп. ВИНИТИ № 2923-83 Деп. - 24 с.

3. Иванова Н.В. Алгоритм вычисления функции Грина в случае слоистого сферического диэлектрика. - Деп. ВИНИТИ й 471583. Деп. - 13 с.

4. Манова Н.В. Электростатическое поле слоистого диэлектрика,-Деп. ВИНИТИ № 4939-86. Деп. - 17 с. <* «о вя.

12