Метод энергетических неравенств в электростатике имагнитостатике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

йс^ К

V '' К риснйярский государственный университет

На правах рукописи

Золотов Олег Александрович

Метод энергетических неравенств в электростатике и магнитостатике

01.04,02- теоретическая физика

Автореферат диссертации на соскапие ученой степени кандидата физико-математических наук.

Красноярск - 1994

Работа выполнена на кафедре обшей физики Краснояоского • государственного университета

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук, доцент Казанцев В.П.

Оф.иыиальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Овчинников С.Г. кандидат физико-математических наук Денисенко Б.В.

Ведущая организация - Новослбирсхий государственный университет

Зашита состоится_'¿О_декабря 1994 г. з

.час. на

заседании специализированного совета Д 064.61.01 в Красноярском государственном университете по адресу: Красноярск, пр. Свободный, 79. ауд---

С диссертацией ;ложя ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан ^^ ноября 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета, к.ф.-м.н.

Ю.Ю.Логинов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Характер диссертации определили вопросы построения аналитических электростатики и магнитостатики как разделов электродинамики, основанных на фундаментальных вариационных принципах.

Недостаточное развитие вариационных методов в электростатике и магнитостатике объясняется, в основном, трудностью построения вариационных принципов и (или) трудностью выбора пробных функций применительно к тем или иным классам задач. Поэтому разработка соответствующих вариационных принципов и методов подбора функций представляется весьма актуальной.

В свою очередь, проблемы расчета электрической емкости и .индуктивности, проводимости и других эквивалентных им величин, возникающие при проектировании различных электротехнически* устройств и линий связи,- требуют как совершенствования существующих методов расчета, так и развития новых, достаточно уни1 версальных и гарантирующих точность вычисляемых параметров. В общетеоретическом плане решение таких задач осложнено в большинстве случаев отсутствием возможности получения точных аналитических решений. Возможность использования ЭВМ для численных расчетов не снимает остроту этих проблем, а прибавляет проблему опенки погрешности. Поэтому развитие метода энергетических неравенств для расчета двусторонних оценок интегральных характеристик электрического и магнитного полей является во многих отношениях перспективным направлением, позволяющим преодолеть ряд перечисленных трудностей.

Дель работы. Исследование проблем, возникающих при построении аналитической электро - и магнитостатики, а именно: обобщение к формулировки вариационных принципов для некоторых конкретных классов задач; разработка методов выбора пробных функций для этих классов задач, в частности, включение классических методов решения задач электро - и магнитостатики в рамки метода энергетических неравенств.

Научная новизна работы определяется следующими результатами: в работе исследован обобщенный принцип Томсона как дуальный принципу Дирихле; также исследованы вариационные принципы магнитостатики, включая магнитостатику сверхпроводников; показано, как с помощью этих вариационных принципов можно проводи®.

априорные оценки погрешности вычисляемых величин для несколь- -ких классов задач; показано, что метод вариационных неравенств естественным образом включает з себя такие классические методы, как метод разделения переменных, метод интегральных преобразований и метод парных интегральных уравнений. Также показана связь метода вариационных неравенств и метода эквивалентных зарядов; построены вариационные вычислительные схемы решения некоторых классов задач электро-и магнитостатики. Практическая значимость. Работа имеет общетеоретическое значение, так как в ней проведено исследование ряда важных вопросов, перечисленных выше в разделе " научная новизна". Кроме того, эти исследования проведены на примерах построения вариационных вычислительных схем для конкретных классов задач. В качестве таких примеров получены решения в виде таблиц и простых аналитических формул для 12 задач, сред., которых можно выделить:

а. о емкости тела с отверстиями произвольной формы;

б. об индуктивности конечного соленоида с сердечником;

в. о емкости плоского дискового конденсатора;

г. о емкости плоского кругового кольца;

д. об индуктивности кругового сверхпроводящего кольца: Для многих задач построены вариационные расчетные схемы,

позволяющие, в принципе, получать сколь угодно точные результаты.

Разработанные п диссертации методы могут быть использова!1ы для расчетов электро - мапштостатических, тепловых и некоторых других стационарных полей в системах со сложной геометрической конфигурацией, с неоднородной и анизотропной диэлектрической (магнитной) проницаемостью.

Достоверность и степе!& обоснованности научных утверждений диссертации определяется тем, что все основные результаты получены теоретически строгим путем из основных вариацошгых.пршь еипоз и имеют силу теорем. Все допускаемые приближения сопровождаются двусторонними опенками и определением максимальной погрешности. Наблюдается хорошее согласие выполненных в работе численных расчетов с результатами других авторов. Апробация работы. Основные результаты работы были доложены и обсуждены на 1 Всесоюзной конференции по теоретической электротехнике (Ташкент, 1987), школе молодых ученых по численным

Рис. 1:

методам механики сплошных сред (Абакан, 1989), научных конференциях и семинарах, проводимых в Красноярском Государственном университете в 1980 - 1994гг. По теме диссертации опубликовано 11 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения и двух Приложений. Содержание работы изложено на 158 страницах с 13 рисунками, 13 таблицами и списком литературы, включающим 73 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава диссертации посвяшена основным моментам применения метода вариационных неравенств к задачам электростатики.

В первом разделе формулируется принцип Дирихле и здесь же доказывается, что емкость части тела не больше емкости целого тела.

Во втором разделе демонстрируется роль естественных граничных условий. С этой целью рассмотрена задача о сопротивлении однородного параллелепипеда с расположенными на торнах контактами (рис.-1). В этом же разделе приведено доказательство одной из формулировок принципа Томсона.

В третьем разделе исследуется метод, названный наш? методом

обобщенных координат. Рассматривается задача о емкости тела, состав ленного из двух эллипсоидов вращения с общим круговым основанием (рис. 2).

В четвертом разделе на примере построения вычислительной! схемы расчета сходящихся сверху оценок емкости произвольного тела вращения показано, что все изложенные методы в совокупности позволяют строить практические вычислительные алгоритмы и получать как аналитические формулы, так и численные алгоритмы для ЭВМ

Пятый раздел посвящен формулировке обобщенного принципа Томсоиа как вариационного принципа, дуального принципу Дирихле.

Б шестом разделе в качестве примеров применения особщешю-го пришила Тоггсонз получены дуальные (для емкости - снизу, для сопротивления - сверху) опенки емкости (сопротивления) для всех рассмотренных задач. При атом в качестве первого примера рассмотрена задача о е.чисости тела с отверстиями произвольной формы; далее исследованы особенности прнме::ен;ш метода естественных граш1Ч31ых условий и метода обобщенных координат к обобщенному принципу Томсона; и в заключена построена вычислительная схема расчета сходящихся снизу опенок емкости тела вращения.

В седьмом разделе проводится аналитический сбзор литературы, посвященной формулировкам вариационных принципов п электростатике, и с помощью обобщенного принципа Томсопа проводится классификация основных следующих из него вариационных прин-

ципов.

Восьмой раздел завершает первую главу обсуждением и анализом погрешности полученных результатов. Наличие двусторонних опенок позволяет проводить априорные оценки погрешности (в том числе и погрешности определения поля), фактически придавая таким утверждениям силу математических теорем. Для всех рассмотренных задач приведены следующие окончательные результаты:

опенки емкости С для произвольной проводящей оболочки с отверстиями произвольной формы:

ди-у- (1)

1 - 2-г/З (1 - 0) + у/1 - 4т/3 (1 - 0) Со

где Со - емкость целой оболочки; /? - доля равновесно распределенного по цельной .оболочке заряда, которая сосредоточена на частях поверхности, занимаемых отверстиями; 7 = Со/(4тгсо^),^- максимальное. расстояние между точками в области отверстий и точками на поверхности оболочки. Например, даже для полусферы (/? = 0.5,7 = 0.5) среднее арифметическое оценок (1) отличается от точного значения на 22%.

для задачи о сопротивлении паралеллограмма с изотропной однородной проводимостью с (рис. 1) получены оценки сопротивления:

Ьшпа<к< Ь

<та era sin а

граница погрешности которых

1 — sin2 о

А =-я—

1 + sin* а

равна 33% даже при а = у ± .

для задачи о емкости уединепного проводящего тела, составленного из двух эллипсоидов вращения с общим круговым основанием (рис. 2), получены неравенства

-i

Таблица 1: Емкость тела, составленного из полусферы и сплюснутого эллипсоида вращения, — 0.

С? 0.2 0.4 0.8 1.0

Са1С{ 0.996628 0.986007 0.931362 0.818310

■ С^с, 0.996637 0.986171 0.936121 0.875969

(2 са)-ча + с.) 0.996632 0.986089 0.9333742 0.847140

д,% 4.5*10-* 8.3 * 10_3 0.25 3.4-

где Со - емкость шара рад: ¡у с а а, <г,- = т/1 — а~2Ь?,

(г) = 2 («г? - <г22)"1 [Ф (г, (п) - Ф (г, <г2)}, Ф (г, а) = \/г — с2 + сг ^ — агс4ап \/г — ^ ,

/ (с) = сг [агсзш (сг)]-1

которые позволяют получкаъ верхние С3 и нижние С,- границы для емкости с верхней границей погрешности около 3.5%, как видно из табл 1;

для задачи расчета емкости уединенного проводящего тела вращения, состаеденного из двух одинаковых конусов с сбащм основанием (рис. 3) в таблице 2 приведены полученные мгходогл обобщенны;; координат результаты расчстоа, где до второго приближена (// = 2) приведены результаты аналитических расчетов, а дальнейшие приближения получены с использованием ЭВМ. Из таблицы 2-видна хороша?: судимость " о себе" последовательностей оцеяо.?: ссерху С, к снизу С,, а так же ил быстрое стремление друг к -другу.

Вторая глаз а посвяшгла формулировке вариааиоваых пржаш-ноз магнитостатики.

В первом разделе проведена аналогия между уравнениями электростатики и уравнениями магнитостатики и показано, что они преобразуются друг з друга.

Во втором разделе, используя вышеприведенную аналогию, вы-голятся сарпацншшые иряншшы магнитостатики, аналогичные iipi.ni жпу Дирихле и обобщенному иршшхпу Томсона з электростатике.

Таблица 2: Опенки сверху и снизу емкости двойного конуса. N - помер приближения.

N 0 2 4 б 8)9

с:1 с. 0.7854 0.8152 0.8209 0.8221 0.8226 0.8227

с:1 с. 1.0 0.8371 0.8260 0.8243 0.8238 | 0.8237

д,% 12 1.3 0.31 0.13 0.073 | 0.061

35 12 5.6 З.б 2.7 | 2.5

В третьем разделе иеслэдуютсл возможности сформулкрован-вариаипснных пржщкасп на примере задалзи сб индуктивности конечного соленоида с сердечником и строится вычислительная схема сходящихся сверху и спизу саеяох далухтягоности для тонкого гошзого кольца.

Четвертый раздел псевяаки формулировке варкаидаиных прип-дазоз для сверхпроводников. Пример применения этих принципов для расчета индуктивности тонкого кругового сверхпроводящего кольца будет приведет в третьей глазе.

Из интересных результатов можно отметать уточнзпопзге классическую формулу Ь = яра2В?1 для издухтяткюсти Ь кскгчпсго соленоида с сердечником неравенства

; М К

¿¡ + /«0

РО

I V I*

ш:±}У1\

определяющие тизуктиЕкость соленоида через его длпг.у ', радиус кругового цилиндра.К, па который намотав од:я слой тонкого провода, состояний из п I витков 5 ¡1 - магсглтпая пролиааемость вещества внутри соленоида. Также сделан вывод, что классическая формула асимптотически точнапрл Ш~1 —> 0, ак5;гкио

¿„«-»/ш'Я^ + Лу),

где значение коэффициента А лежит в интервале

»>(2 + ^/2^) ■**>

Третья глава посвяшепа исследованию соотношения классических методов решения задач электростатики (магнитостатики) и вариационных принципов. В ней показало, что метод вариационных неравенств естественным образом включает в себя некоторые распространенные методы решения задач электро- и магнитостатики.

В первом разделе на примере задачи об энергии магпитпого поля цилиндра, плотность тока в котором распределена специальным образом, показано, как метод разделения переменных включается в структуру метода вариационных неравенств.

Во втором разделе аналогичная работа проведена для метода интегральных преобразований. В качестве примеров рассмотрены задачи об индуктивности тонкого соленоида, емкости плоского конденсатора с круговыми пластинами, построена вариационная вычислительная схема расчета оценок сверху емкости плоского кругового кольца.

В третьем разделе показано, что метод парных интегральных уравнений естественным образом может быть включен в метод вариационных неравенств. Здесь вновь рассмотрена задача о емкости плоского кругового кольца и построена вычислительная схема двусторонних оценок индуктивности плоского кругового сверхпроводящего кольца.

Четвертый раздел посвящен такому специфичному для э лектрос -татики методу, кал; метод эквивалентных зарядов. На примере построения вычислительной схемы расчета опенок снизу для матрицы емкостных коэффициентов системы непересекающихся проводящих сфер показано, что и этот метод включается в метод вариационных неравенств.

Среди решенных в третьей главе задач можно выделить следующие:

для емкости плоского конденсатора с круговыми пластинами из простых физических соображений была получена аналитическая

оценка, позволяющая рассчитать емкость конденсатора с погрешностью, меньшей 0.2%:

С <С{- 2тгЛ

'р+д-и

4рд — и2 '

1 Л 1N

р = - агс4ап а + — 1п I 1 + — ; 4 3 \ а* /

X {1 - ^Гй? [а>* + (1 - .*)Е

1 . 2/(1 -г/) /(1-й / 2а

у = - агетп г-'---—-! / 7--V — < /- - ,

2 2 у (1 + 1/) +

где КпЕ-полные эллиптические интегралы, а - отношение расстояния между пластинами к их радиусу Д.

для емкости тонкого кругового г.олтлил получены как аналитические спенки сверху

¿гггс» я- I т-сг

1 — а" , 1+о; 1--=-ш

2а

1 — а

АъсоЪ

где

п За2 В —-х

;т

С. = — 1

-2(а - 532)

1 — а2 , 1 + а 1--1п

2а

1 — а

1-е

3 [1 .

--— ЯГГГ,]

агсзт а + (2а2 — 1) \/1

а - от::ои;е!пте внутреннего радиуса кольца к его пнгшнему 1\ так и численные результаты, часть которых приведена в таблице 3;

для индуктивности кругового сверхпроводящего кольца получе-<пл численные результаты, часть га которых приведена в таблице 4.

Таблица 3: Емкость тонкого кругового кольца

а * 10 1. 2 3 4 5

с*ю° Лт-епЬ 63653342 63592622 63420656 63070956 62453539

а * 10 6 7 8 9 9.9

с*юв 4*е„Ь 61438400 59810579 57144029 52268379 38755855

Таблица 41 Индуктивность сверхпроводящего кольца

0 1.1 1.5 2 5 10 | 100

к¡.'" 1'а 3.99905 .2.87639 2.54927 2.17815 2.08468 ( 2.00814

/5 - отношение внешнего радиуса кольца к его внутреннему радиусу .. Ь{ - нижняя граница индуктивности.

В заключении кратко формулируются основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Исследован обобщенный принцип Томсона как дуальный принципу Дирихле. С его помощью получены оценки емкости для произвольного тела с отверстиями произвольной формы. Проведена классификация по степени общности большинства встречающихся в литературе различных формулировок принципа Томсона.

2. Построена вариационная вычислительная схема двусторонних оценок емкости для тел вращения со звездной поверхностью. Показано, что метод энергетических неравенств позволяет.также находить максимальную погрешность приближения истинного поля пробным. На примере задачи о емкости тела из двух эллипсоидов врашения с общим круговым основанием показана необходимость формулировки задач электростатики и через векторный потенциал. Построены сходящиеся сверху и снизу последовательности оценок емкости для тела, составленного из двух одинаковых конусов с общим круговым основанием.

3. Сформулиропаны вариационные прияшшы магнитостатики, включая магнитостатику сверхпроводников. Получены двусторсн-яие сиепкп индуктивности конечного соленоида с сердечником и исследованы их асимптотики. Построена вычислительная схема сходящихся с двух сторон оценок индуктивности для аксиально-симметричных систем.

4. Показано, что метод вариационных неравенств естественным образом включает в себя следующие классические методы решения задач электро- и магнитостатики: метод разделения переменных; метод интегральных преобразований; метод парных интегральных уравнений; метод эквивалентных зарядов. Применение вариационной формулировки перечисленных методов позволяет ослабить требования для пробных фуш<ций (например, заменить бесконечные ряды конечными их отрезка;.«!) и дает гарантированную границу погрешности получаемых результатов.

5. Получена простая достаточно точная аналитическая формула для емкости плоского дискового конденсатора.

6. Построены вариационные вычислительные схемы для задач о е емкости плоского кольца, о щщуктивиости сверхпроводящего кольца и о емкостных коэффициентах системы из 2Е сфер.

В целом проведенное теоретическое исследование мо:кко рассматривать как шаг к построению аналитической электро- и магнитостатики, которая включает з себя:

а) Формулировку вариационных пришхипоз для хешеретных классов задач.

5) Анализ метода подбора пробны:: фушепий.

Большое количество новых результатов, их высокое качество, естественное включение большинства классических методов решении задач, появившаяся возможность классификации задач и методов six решения - все это свидетельствует о возможностях и необходимости дальнейшего развития апалитхгческсй электро- и магнитостатики.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Золотев O.A., Казллле!) В.П. Вариашюшшй метод аналитической аппроксимации емкости конденсатора с хругозыми пластинами. //Электричество. -1990. -N 7. -С.31-83.

2. Золотой O.A., Казанцев В.П. Вариационные оценки сверху для емкости плоского кругового кольца. //Электричество. -1991. -N 4.

-С.70-71.

3. Золотов O.A., Казанцев В.П. Метод вариационных неравенств в электростатике и магнитостатике.// Изв. вузов. Сер. Электромеханика. -1987. -N И.-С.40-44.

4. Золотов O.A., Казанцев В.П. Метод вариационных неравенств в магнитостатике. /Красноярскийун-т. - Красноярск, 1988.- Збс. Леи. в ВИНИТИ 17.05.89, N 3295-В89.

5. Золотов O.A., Казанцев В.П. Вариационные оценкив электростатике проводников. //Изв. вузов. Сер. Электромеханика. -1990. -N 7. -С.21-25.

6. Золотов O.A., Казанцев В.П., Куклин Е.И. Вариационные неравенства в задачах о емкости тел вращения. /Красноярский ун-т. -Красноярск, 1985. - 37с. Леп. в ВИНИТИ 23.04.85, N 5639-85.

7. Золотов О.. А., Казанцев В.П. Вариационные принципы магнитостатики сверхпроводников. 1. //Изв.вузов. Сер. Физика. -1991. -N 9. -С.97-103. •

8. Золотов O.A., Казанаев В.П. Вариационные принципы магнитостатики сверхпроводников.2. //Изв. вузов. Сер. Физика. -1991. N 9. -С.103-110.

9. Золотов.O.A., Казанцев В.П., Лысенко Е.А. Метод эквивалентных зарядов и вариационные методы электростатики. //Изв.-вузов. Сер, Электромеханика.-1991. -N 7.-С.5-10.

10. Золотов O.A., Казанцев В.П. Методвариадионны'х неравенств в электростатике и магнитостатике. / Материалы первой всесоюзной конференции по теоретической электротехнике. Ташкент 1987г.

11. Золотов O.A., Казанцев В.П., Куклин Е.И. "Вариационные неравенства в электро- и магнитостатике. Метод обошенных координат." /Тезисы докладов Школы молодых ученых (г. Абакан 28.05.03.06.1989 г.). Красноярск 1989.