Неконформный метод конечных элементов для трехмерных уравнений Ламе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Калинкин Александр Александрович

НЕКОНФОРМНЫЙ МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ТРЕХМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ЛАМЕ

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2000

Работа выполнена в ИВМ и МГ СО РАН

Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор Ю.М. Лаевский

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., профессор A.M. Мацокин

д.ф.-м.н., профессор М.П. Федорук •

Ведущая организация: Институт Вычислительной Математики

РАН г. Москва

Защита состоится 25 октября 2006 года в 15 часов на заседании специализированного совета Д.003.061.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ИВМиМГ СО РАН.

Автореферат разослан 22 сентября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор

Ю.И.Кузнецов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность.

Актуальность данной тематики обусловлена следующими факторами. Во-первых, это возрастающая потребность в математическом моделировании сложных процессов при помощи единых программных комплексов. В частности, при одновременном решении эллиптических задач в смешанной постановке и уравнений линейной теории упругости возникает необходимость согласования структуры данных, привязкой степеней свободы к граням ячеек. Такую привязку для уравнений Ламе можно осуществить введением множителей Лагранжа. При этом Арнольд и Брец-ци показали, что дополнение Шура для множителей Лагранжа может быть получено непосредственно с помощью неконформных элементов. Именно такого рода элементы и рассматриваются в данной работе. Во-вторых, необходимым требованием к современным алгоритмам является возможность их эффективной реализации на многопроцессорных ЭВМ. Разрабатываемая в работе методика допускает достаточно эффективное распараллеливания на малом числе процессоров. И наконец, приводимые в диссертации теоретические факты имеют, на наш взгляд, актуальность в смысле фундаментальных исследований по вычислительной математике в контексте возросшего интереса к неконфорному и смешанному МКЭ.

Цель работы.

Исследование новых методов численного решения уравнений Ламе, и, как следствие, создание методической базы для решения Зх мерных многодисциплинарных задач в рамках единых программных комплексов.

Научная новизна.

• В работе предлагается 2 новых семейства неконформных конечных элементов на параллелепипедальной сетке для трехмерных уравнений Ламе. Для каждого типа элементов доказан сеточный аналог неравенства Корна и получены оценки погрешности в различных нормах. Необходимо добавить, что наличие неравенства Корна обусловлено добавлением стабилизирующего функционала.

• Для решения системы уравнений полученной из уравнений Ламе с помощью предложенных неконформных элементов сконструирован достаточно эффективный переобуславливатель в итерационном методе сопряженных градиентов. Конструкция основана на спектральной эквивалентности оператора сеточной задачи сеточному оператору Лапласа

и использовании внутренних чсбышевских процедур вместо обращения дополнения Шура.

• Для уравнений в смешанных постановках и уравнений Ламе с выделением одного из инвариантов предложен эффективный способ решения задачи, основанный на экстраполяции по малому параметру метода штрафа.

Научно-практическая ценность.

Описанная в диссертации методика может быть использована при моделировании трехмерных математических моделей, включающих в себя уравнения разных типов (эллиптические, параболические, гиперболические). Ярким примером такой модели является математическое описание процесса электромиграции атомов при функционировании устройств микроэлектроники - одновременно решаются эллиптические уравнения электростатики, стационарной теплопроводности, упругости и параболическое уравнение диффузии атомов. Предложенные в диссертации подходы просты в реализации и в то же время позволяют значительно сократить время счета в вычислительных экспериментах при решении задач с особенностями решения.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались на конференции "Preconditioned Methods for Optimal Control and Constrained Optimization Problems (PMOCCO-2002)", Nijmegcn (the Netherlands) (2002 г.), Международной конференции по вычислительной математике, Новосибирск, 2004, конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН, 2005 г., на международной конференции "актуальные проблемы вычислительной математики", посвященной памяти академика Н.С. Бахвалова, Москва, 2006 г.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 5 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 120 страницах и содержит список литературы из 52 наименований.

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Юрию Мироновичу Ласвскому за неподдельное внимание и руководство работой. А так же

автор хотел бы поблагодарить Всеволода Владиславовича Шнеера и Тимура Олеговича Шегая за помощь в визуализации результатов и в поиске необходимой литературы.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 04-0100171) и М\УО-11РВ11 (грант 047.008.007).

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении содержится обоснование актуальности темы работы, а также дан обзор методов, имеющих отношение к исследованию.

Современные приложения имеют дело, как правило, с трехмерными математическими моделями, включающими комплексное описание целого ряда физических процессов. Такие модели содержат уравнения разных типов (эллиптические, параболические, гиперболические). Ярким примером такой модели является математическое описание процесса электромиграции атомов при функционировании устройств микроэлектроники - одновременно решаются эллиптические уравнения электростатики, стационарной теплопроводности, упругости и параболическое уравнение диффузии атомов. Другим характерным примером являются задачи двухфазной фильтрации несжимаемых жидкостей, описывающих, например, процессы вытеснения нефти водой при эксплуатации нефтяных пластов. При этом часто основным "передатчиком" информации между уравнениями является не само поле, а его градиент. В связи с этим, наряду с экономичностью и точностью алгоритмов, важную роль приобретает проблема эффективного согласования уравнений друг с другом.

Указанная выше проблема может быть эффективно решена в рамках метода конечных элементов (МКЭ) с использованием неконформных элементов. Данная диссертация посвящена построению и исследованию неконформных конечных элементов нового типа для решения трехмерных уравнений Ламе. Основное достоинство предлагаемых элементов состоит в согласованности с элементами Равьяра-Тома, широко используемыми в смешанном МКЭ, и степени свободы для которых "привязаны" к граням ячеек сетки. Отметим, что смешанный МКЭ является одним из способов одновременного отыскания потенциала и его градиента. Под согласованностью понимается единая структура данных программного комплекса. Так же в данной работе будет проведено обсуждение одного из способов реализации смешанного МКЭ.

Для трехмерной задачи Стокса нсконформные элементы со степенями свободы на гранях ячеек параллелепипедалыгой (или "почти" па-раллелепипедальной) сетки были введены Р. Ранахером. При этом были рассмотрены узловые и "моментные"степени свободы, В работе П. Хансбо в рамках разрывного метода Галеркина проведено исследование неконформного метода на симплициальном разбиении для плоской задачи теории упругости. При этом устойчивость обеспечивается добавлением стабилизирующего функционала на границах ячеек. Математически проблема неустойчивости связана с тем, что в общем случае закрепления части границы может отсутствовать сеточный аналог неравенства Корна. В этом случае сеточный оператор теории упругости имеет не пустое ядро и, следовательно, не порождает скалярное произведение в пространстве разрешимости сеточной задачи.

В главе 1 для трехмерной задачи теории упругости предлагаются нсконформные элементы типа Крузея-Равьяра на параллелепипедаль-ной сетке (отличные от предложенных в Р.Ранахером).

В п. 1.1 приводятся некоторые обозначения и формулируется вариационная задача теории упругости, а именно:

Пусть Г! С Л3 - составленное из параллелепипедов ограниченное открытое множество и дО, = ГоЫГлг - его граница. Далее пусть и = («¿)?=1 - вектор упругих перемещений и е(и) = - симметричный

тензор деформаций с компонентами

Пусть Ь2(П) = (£2(0))3, Н'(Г2) = (Я'($7))3 - пространства Соболева для векторных полей,

С°°(Г2)7) = {и€Ссо(П), и = 0, х€7С0П},

и Н^П.-у) - замыкание С°°(Г2, у) по норме пространства Н^ГТ), задаваемой равенством

з

1М1ш(П) = Е 1М1я1(П)-¿=1

В пространстве Н1(Г2) х Н1(П) зададим симметричную билинейную форму

о(и, V) = 2(л/е(и) : + А/(V • и)(У • ч)(1х, (1)

I! П

где

а •

e(u) : e(v) = £ £y(u)£y(v). ij=i

Тогда обобщенная задача может быть сформулирована следующим образом: для некоторого векторного поля f б L2(f2) требуется найти поле перемещений u е Н1(Г2, Гд), удовлетворяющее при произвольной вектор-функции v 6 Н:(Г2, Ги) интегральному тождеству

a(u,v) = ft ■ vdx. (2)

n

В п. 1.2 вводится пространство неконформных конечных элементов с двумя типами интерполянтов - узловым и "моментным". После этого формулируются соответствующие сеточные задачи с использованием аналогичного введенного П. Хансбо стабилизирующего функционала:

В П зададим параллелепипедальную сетку Т = {г}, состоящую из ячеек

Т— [sMufcl^+l] X [^2,t21 ®2,i3+l] X [^¿J.^ia+i]. Рассмотрим каноническую ячейку (reference celt) f = [—1, l]3 со следующей нумерацией ее граней ё;, / = 1,..., 6:

e2fc-i = f П =-1}, e2fe = т П = 1}, к =1,2,3.

В f введем 18-мерное пространство неконформных CR элементов (типа Крузея-Равьяра) Q(r), состоящее из векторов вида:

Iai + bixi + С1&2 + diXz + r\xl + Sjirij N a2 + btxi + c2x 2 + d%&z + r2xl + .

аз + b3xL + С3Ж2 + ¿3X3 + r3Xi + S3X2 ,

В пространстве Q(f) укажем два базиса, связанных с двумя различными способами задания интерполирующих операторов. Пусть

®2*-i(*) = ¿(1 - ~ х\ - x2j)ek, =

***(*) = |(1 + ** - - Ф^(х) = + хк)е\

где eh - орты координатных осей, к = 1,2,3, г ^ к, j ф к, г j. При этом имеют место равенства

Ф*(Рт) = 6Ьпек,

где I,тп = 1,..., 6, к = 1,2, 3 и векторы р,л - центры граней ё.т:

Р1 = -е1, р2 = е1, рз = -е2, р4 = е2, р5 = -е3, р6 = е3. Второй базис определим равенствами

«&-!(*) = - 2хк - 3(4? + £2))е*, = ¿(3*2 - 25* - 1)е\

*&(*) = ^(4 + 2хк - 3(5,2 + Ф'*(х) = 1(3х\ + 2хк - 1)е\

В дальнейшем будем использовать осреднение Рш по множеству ш:

Рши =-~7—г [ и(х)йо; .

теэ(ш) I

Нетрудно проверить, что

РетЦ = ^ .

Пусть иг - сужение и на ячейку г. Введем пространство Нл={и€Ьа(П) I Пг^иНт)} и зададим в нем полунорму следующим равенством

|ц|п,л = ( Е 1иг|нЧг)

ЧгеТ

Далее, рассмотрим его замкнутое подпространство

V* = { и 6 Ь3(П) | иг 6 <3(т) } С Щ .

Пусть £о - множество всех различных внутренних граней ячеек т € Т (имеющих непустое пересечение с П), т.е. Уе € ¿о Этц, 6 Т такие, что е = 7~1 П Т2- Обозначим

(и]е(х) = иТ1 (х) - и^(х), х € е е £0 •

Далее, £о — множество всех граней, лежащих на Го и для е = т П Гд

[и]е(х) = ит(х), х £ е € £0.

Введем два пространства сеточных функций, в которых будут сформулированы задачи о поиске приближенных решений. Пусть

= { и б V,, | Уе 6 £Ь и£в [и]в(ре) = 0 }, (3)

6

где ре - центр грани е, и

= { и е V* | Уе е £0 и£0 Ре[и]е = О }. (4)

При этом Л/д*о £ НХ(Г2, Го), и, следовательно, эти пространства порождают неконформный метод конечных элементов.

Сужение билинейной формы (1) на пространство Н^т) х Н^т) задается равенством:

ат(ит, ут) = 2/и У е(иг) : е(уг)с£х + Л^(V • ит)(У • ут)с£х.

г т

В пространстве Нд х Н/, введем билинейную форму

0{2,л(и> V) = И ат(ит. V,.) + £ Т- У [ч]е ' Ме <1е , тег ее£0и£Ь "е е

где - характерный линейный размер грани е. Используя введенные пространства (3), (4), сформулируем две сеточные задачи: найти вектор-функции и^) € V®, к = 1,2 такие, что для любых вектор-функций \г(*) е "Уд^ц выполняются интегральные тождества

аад(и(А). Vй) — / ^ ' , Л = 1,2. (5)

п

Доказательству сеточного неравенства Корна и сходимости метода посвящены пп 1.3-1.4 диссертации. Приведем формулировки основных теорем доказанных в этих пунктах.

Теорема 1 Найдется независящее от параметров сетки и вектор-функции и положительное число с такое, что У и € "У®, к — 1,2 умеет место неравенство

|и|п.л <

где

Г 1 1 1/2

¿Ми) = £ /е(иг): е(иг)сЬс + £ -г- /1 [и]е|2сге .

(геТг ее£ои£оПее }

Теорема 2 При шся2(Гд) > 0 найдется положительное число ко такое, что при К < Но задачи (5) однозначно разрешимы.

Теорема 3 Пусть и € Нг(Г2, Г£>)ПН2(П) - решение задачи (2), аи® € к — 1,2 - решения задач (5). Тогда имеют место оценки

|и-ида|п,л < скЬ, \ и|н»(п)|:

|||и-и(<;)|||п,л < скЛ|и|н»(П), Л =1,2,

где положительное число с не зависит от параметров сетки и векторного поля и, и _

)||и|||п,л = у'ядлС11. и) , а к - параметр, характеризующий регулярность сетки.

Теорема 4 Пусть Л - параллелепипед и Го = и - решение задачи (2) при Г € Ьг(Г2), и® е У^о - решение задачи (5) при к = 2. Тогда имеет место оценка

где положительное число с не зависит от параметров сетки и вектор-функции и. к - параметр, из предыдущей теоремы.

П. 1.5 посвящен обсуждению роли стабилизирующего функционала. Приводится пример сеточной задачи без этой добавки, в котором, несмотря на наличие условий Дирихле на части границы, оператор задачи имеет непустое ядро. И наконец, п. 1.6 содержит результаты численных экспериментов. При этом основным вопросом, на который эксперимент дает ответ, является вопрос о роли стабилизирующего функционала. На рисунках 1 и 2 приведены результаты расчета тестовой задачи с присутствием стабилизирующего функционала в билинейной форме и, соответственно, без него.

,

— - 1 1 "Г 1 1 -Г Т1 I т!т

1 1 1 ^ •

-* 1 -

- - 4 / 1 \ _

_ у \ / IV 7

V ^ ч / / V V

- / 1 4

1

Рис. 1: Стабилизирующий функционал Рис. 2: Стабилизирующий функционал присутствует отсутствует

Построению экономичного итерационного метода решения возникающих сеточных задач посвящена глава 2. Собственно речь идет о конструировании псреобуславливателя в обобщенном методе сопряженных градиентов. Общая схема построения переобуславливателя состоит из

трех этапов. На первом этапе осуществляется переход от оператора Ламэ к оператору Лапласа. Позволяет это сделать сеточное неравенство Корна из предыдущей главы и непрерывность сеточного энергетического скалярного произведения, устанавливаемая в п. 2.2:

Теорема 5 Найдется не зависящее от параметров сетки и вектор функции и полоэ/сительное число с такое, что Vu G V^, k = 1,2 имеет место неравенство

IIHIliM < CK |ujn,A. (6)

Второй этап состоит в диагонализации некоторых блоков матрицы жесткости, соответствующей оператору Лапласа. Это позволяет существенно упростить дальнейшие вычисления. Эквивалентность таким образом модифицированной матрицы матрице, соответствующей оператору Лапласа, показана в п. 2.3. И, наконец, третий этап состоит в в замене обращения дополнения Шура для нормальных компонент вектора перемещений на некоторое фиксированное число шагов чебышевского процесса с внутренним переобусловливателсм. Здесь мы следуем работам Ю. Кузнецова, в которой, в частности, показана связь числа обусловленности для внутренней чебышевской процедуры и общей переобусловлснной системы. Персобусловливатель для дополнения Шура строится в одной из форм метода SSOR (в форме попеременно-треугольного метода, в терминологии A.A. Самарского) с оптимальным параметром. Однако, указанный подход требует знания спектральной информации о дополнении Шура (как для вычисления коэффициентов чебышевского метода, так и для указания оптимального параметра в попеременно-треугольном по-реобусловливателе). Для решения этой проблемы мы используем недавние результаты А.Н. Коновалова, где для оптимизации попеременно-треугольного метода не требуется априорной спектральной информации. Более того, требуемая для применения чебышевской процедуры информация вырабатывается в начале вычислений, благодаря наличию асимптотического режима. Следует отметить, что переобусловливание общей системы (без выделения дополнения Шура) при помощи оптимального попеременно-треугольного метода не целесообразно - соответствующая аргументация приведена в конце п. 2.4. В п. 2.5 приводится ряд тестовых расчетов, иллюстрирующих весьма высокую эффективность предложенной методики.

Глава 3 посвящена исследованию одного из подходов к решению задач в смешанной постановке. При решении задач оптимизации с ограничениями хорошо известна процедура введения штрафного функционала,

позволяющая обойтись без использования множителей Лагранжа. Такой подход эквивалентен регуляризации с малым параметром уравнения, соответствующего ограничению. Однако, при этом катастрофически возрастает число обусловленности матрицы системы сеточных уравнений, что по практически не возможным применение итерационных процедур для реализации такой методики. Тем не менее, данный подход достаточно широко используется при решении задач о движении вязкой несжимаемой жидкости и теории упругости для несжимаемых и почти несжимаемых деформируемых тел. В работах О. Аксельсона предложен итерационный процесс для невозмущенной задачи с переобуславливателем, построенным по задаче с регуляризацией и сделано замечание о возможности использования экстраполяции по малому параметру. Собственно разработка этой идеи и лежит в основе главы 3. Сама идея состоит в замене решения задачи с малым параметром на решение серии задач с параметрами возмущения много большими первоначального. Возникающие при этом системы линейных алгебраических уравнений имеют существенно лучшую обусловленность, что позволяет на много более эффективно использовать итерационные процедуры. При этом указанные системы могут решаться параллельно.

Сама глава организована следующим образом. В п. 3.1 приводятся необходимые сведения о возмущенной смешанной задаче и соответствующие оценки устойчивости с указанием необходимых для дальнейшего констант:

Пусть V - вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением (•, и нормой || • ||а {•, *}V" - отношение двойственности на V х V*, где V* - пространство ограниченных в V линейных функционалов. Далее, пусть Н — вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением (■, -)я и нормой || • ||я- Отождествим двойственное пространство Н* (пространство ограниченных в Н линейных функционалов) с Н: Н* = Н. Рассмотрим две непрерывные билинейные формы а(ь, ги) и Ъ(ь, (?) на V у V а V х II соответственно. Условия непрерывности имеют вид:

Пусть В € С(у, Н) - линейный оператор, порожденный билинейной формой Ь(и,р):

Уи.шбУ Ми,™)! < а0 1М1ИМк>

УьеУ, Уд 6 Я |Ь(«,«)|<Ми|ЫЫ|я.

(7)

(8)

V© 6 V", У96Я

(Ву, д)н = Ь(у, д).

При этом В* G С(Н, V*) такой, что

VuGV, VqeH (v,B*q)v = (Bv,q)H.

В дальнейшем будем предполагать, что пространство

Ях = {р | р G Я, Vg е ker В* (р, 9)я = 0},

где

ker В* = {q\qeH, Vw <= V b{v,q) = 0},

является замкнутым подпространством пространства Я. Потребуем выполнение следующих условий:

Vv G V a(v, v) + p \\Bv\\\ > а |М|2К , (9)

у 56Я1 sup -р- > /3||д||я, (10)

где р - неотрицательное, а а и /? - положительные числа.

kei В= {v\v eV, Vqr еЯ b(v,q) = 0}.

Неравенство (10) - это хорошо известное inf — sup условие (условие Лады-женской-Бабушки-Бреци).

Рассмотрим смешанную вариационную задачу: по заданным функциям / € V* и д е Ях найти пару функций (щ, р0) G V х HL таких, что

VveV a(uo,v) + b{v,Po) = {f,v)v, (P0.l)

V<7 € Ях b(uo, q) = (g, q)H . (P0.2)

Наряду с (Po) рассмотрим возмущенную задачу (Ре):

Vv G V а(щ, v) + b(v,pE) = (/, v)v , (Pe.l)

\/q G Я g) - £ (pe> = (5, д)я . (Pe.2)

Известно, что в предпол'ожениях (7)—(10) задача (Ро) однозначно разрешима в V х Ях. А также, справедлива следующая

Теорема 6 Пусть выполнены условия (7)-(10) и е < 1/р. Тогда для решенья задачи (Ре) справедливы неравенства

\\Pe\\H<CpJ\\f\\v.+Cp,g\\g\\H, 11

где

С«,/ — ^ ï Сид —

3aoV 2р

ар) + а'

GPJ ~ ^ (1 + ' СР'Я ~

В следующем, пункте 3.2 в общем виде решается основной вопрос данной главы - об экстраполяции:

Зададим множество m различных положительных вещественных чисел dk таких, что

d* = 0( 1), \dk - = O(l), кф1.

Далее, пусть для некоторого положительного параметра ео последовательность чисел £к = dk£о удовлетворяет условию

е* < - , к — 1,... ,т. (И)

Р

Рассмотрим последовательность задач: найти пары функций (и^к\ р'^) е V х Н, к — 1,..., тп таких, что

VveV a(u{k\v) + b(v,pW) = (f,v)v, (PW.1)

Vq б Я q) - ek (pW, q)H = (g, <?)* • (P(k>-2)

Эти задачи однозначно разрешимы в V х Я и р'^ 6 Ях. Рассмотрим функции

m it1! m <к\ U=^ZrkU{-K> , p=Y.rkPW, k=1 /t=l где вещественные числа Г£ задаются равенствами

m m

Шгк=1, En4 = о, г = l,...,m- 1. fc=i it=i

Поскольку все числа d* попарно различны система имеет единственное решение

Гк = п dl

I = I di — dk ¡¿к

При этом в соответствии Гк — 0(1). Тогда имеет место следующая

Теорема 7 Пусть выполнены условия (7)-(10), (11). Тогда имеют место следующие неравенства

II« - «о|к < Сй(т)Ск,9 (CvJ H/Ilv + С&, ||з||я) , ||р - Ро||я < е'о"Со(т)С7м (CpJ + C& |Ы|Я) ,

где Co(m) не зависит от £q.

Особо необходимо выделить случай, когда исходная задача уже содержит малый параметр:

Для к — 1,..., m рассмотрим последовательность возмущенных задач

Vv 6 V а(4к\ v) + b(v, = (/, v)v , (P«.1)

Vq&H Ku?\q)-{ek + e){p?\q)H = {g,q)H. (P«2)

При этом предполагается, что

£*+£<-, к = \,...,т. (12)

Р

Аналогично предыдущему обозначим

m ГЦ _ ш

% = £ гки\К] , рЕ = £ ntpW.

fc=l Ar=l

Тогда справедлива

Теорема 8 Пусть выполнены условия (7)-(10), (12). Тогда имеют место следующие неравенства

||йг - u,||v < C(m)Cu,g {CpJ ||/||у. + Ср,д |Ы|Я) , lift - ре||я < e^C(m)Cp.g(CpJ + См ||5||я) ,

где С(т) не зависит от ео-

В пункте 3.3 приведены примеры краевых задач с указанием констант, играющих основную роль в оценках теорем п. 3.2. При этом для задачи плоской теории упругости со смешанными краевыми условиями (закреплена только часть границы) приведены соображения, указывающие на справедливость условия Ладыженской-Бабушки-Бреци. И наконец, в пункте 3.4 описаны некоторые численные эксперименты.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

- Предложено два новых семейства неконформных конечных элементов для трехмерных уравнений Ламе. С использованием этих элементов сформулированы сеточные задачи, обладающие единственными решениями. Установлен первый порядок погрешности в энергетической норме и второй - в норме пространства Ь^.

- Для решения системы сеточных уравнений, соответствующих неконформной аппроксимации уравнений Ламе, сконструирован эффективный переобуславливатель в итерационном методе сопряженных градиентов. Конструкция основана на спектральной эквивалентности оператора сеточной задачи сеточному оператору Лапласа и использовании внутренних чсбышевских процедур вместо обращения дополнения Шура для нормальных перемещений.

- В абстрактной форме сформулирована и обоснована процедура экстраполяции по малому параметру в методе штрафа для задач с ограничениями в гильбертовых пространствах. Полученные результаты применены для ряда эллиптических краевых задач в смешанных постановках. В частности, показана возможность их применения для повышения работоспособности итерационных методов решения сеточных задач смешанного МКЭ.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Список литературы

[1] АА. Калинкин, Об одном неконформном методе конечных элементов для трехмерной задачи теории упругости, Материалы конференции молодых ученых по Вычислительной Математике, Новосибирск, Академгородок, 2005, 61-71.

[2] А.А. Калинкин, Ю.М. Ласвский, Об экстраполяции по параметру в возмущенной вариационной задаче в смешанной постановке, Сибирский журнал вычислительной математики, 8 (2005), №4, 307-323.

[3] А.А. Kalinkin, Yu.M. Laevsky, On extrapolation in perturbed mixed variational problems, Proc. of Int. Conf. PMOCCO-2002, ed. by O.Axelssoa, B.Polman, S.Gololobov, Nijmegen (The Netherlands), 2002, 34-41.

[4] A.A. Kalinkin, Yu.M. Laevsky, On numerical experiments with some iterative solvers in mixed finite element method, Bulletin of NCC Ser. Numerical Analysis., 13 (2005), 43-46.

[5] A.A. Kalinkin, Yu.M. Laevsky, A nonconforming finite element method for a three-dimensional problem of a elasticity theory, Rus. J. Numer. Anal. Math. Model., 21 (2006), №4, 273-304.

Калинкин Александр Александрович

НЕКОНФОРМНЫЙ МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ТРЕХМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ЛАМЕ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 18.09.2006 Офсетная печать. Формат 60x84 1/16.

Усл. печ. л. 1. Уч.-изд. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ №111

Отпечатано ООО "Омега Принт" 630090, Новосибирск-90, пр. Лаврентьева, 6.

Введение

Глава 1 Аппроксимация неконформными элементами

1.1 Формулировка исходной задачи.

1.2 Д искре гизация.

1.3 Сеючное неравенство Корна.

1.4 Анализ сходимости.

1.5 Влияние стабилизирующего функционала.

1.6 Численный эксперимент.

Глава 2 Переобусловливание сеточных уравнений

2.1 Неконформная аппроксимация трехмерной задачи упругости.

2.2 Эквивалентность энергетической и градиентной сеточных норм.

2.3 Диагонализация матриц при нормальных и касательных перемещениях.

2.4 Переобусловливатель с внутренними чебышевскими процедурами.

2.5 Численные эксперименты.

Глава 3 Экстраполяция по параметру в возмущенной вариационной задаче в смешанной постановке

3.1 Предварительные сведения.

3.2 Экстраполяция по параметру регуляризации.

Современные приложения имеют дело, как правило, с трехмерными математическими моделями, включающими комплексное описание целого ряда физических процессов. Такие модели содержат уравнения разных типов (эллиптические, параболические, гиперболические). Ярким примером такой модели является математическое описание процесса электромиграции атомов при функционировании устройств микроэлектроники - одновременно решаются эллиптические уравнения электростатики, стационарной теплопроводности, упругости и параболическое уравнение диффузии атомов. Другим характерным примером являются задачи двухфазной филы рации несжимаемых жидкостей, описывающих, например, процессы вытеснения нефти водой при эксплуатации неф1яных пластов. При этом часто основным 11 передатчиком "информации между уравнениями является не само поле, а ею градиент. В связи с этим, наряду с экономичностью и точностью алгоритмов, важную роль приобретает проблема эффективного согласования уравнений друг с другом.

Указанная выше проблема может быть эффективно решена в рамках метода конечных элементов (МКЭ) с использованием неконформных элементов. Данная диссертация посвящена построению и исследованию неконформных конечных элементов нового тина для решения трехмерных уравнений Ламе. Основное достоинство предлагаемых элементов состоит в согласованности с элементами Равьяра-Тома [46], широко используемыми в смешанном МКЭ, и степени свободы для которых "привязаны1^ граням ячеек сетки. Отметим, что смешанный МКЭ является одним из способов одновременного охыскания потенциала и его градиента. Под согласованностью понимается единая саруктура данных программного комплекса. Так же в данной работе будет проведено обсуждение одного из способов реализации смешанного МКЭ.

В этом введении мы но традиции приведем некоторые соображения по поводу актуальности данной тема гики, конкретизируем цель исследования, а также остановимся на научной новизне результатов. Затем приведем краткое описание содержания отдельных глав, сопровождая его необходимыми комментариями литературных источников.

Следующие факторы обуславливают актуальность тематики данной работы. Во-первых, это отмеченная выше возрастающая похребность в математическом моделировании сложных процессов при помощи единых программных комплексов. В частности, при одновременном решении эллиптических задач в смешанной постановке и уравнений линейной теории упругости возникает необходимость согласования структуры данных, привязкой степеней свободы к граням ячеек. Такую привязку для уравнений Ламе можно осуществить введением множителей Лагранжа. При этом Арнольд и Брецци [18] показали, что дополнение Шура для множителей Лагранжа может бьиь получено непосредственно с помощью неконформных элементов. Именно такого рода элементы и будут рассмотрены в данной работе. Во-вюрых, необходимым требованием к современным алгоритмам является возможность их эффективной реализации на многопроцессорных ЭВМ. Разрабатываемая в работе методика допускает достаточно эффективное распараллеливания на малом числе процессоров. И наконец, приводимые в диссертации теоретические факты имеют, на наш взгляд, актуальность в смысле фундаментальных исследований по вычислительной математике в контексте возросшего интереса к неконфорному и смешанному МКЭ.

Теперь кратко остановимся на научной новизне полученных результатов.

- В диссертации предлагается 2 новых семейства неконформных конечных элементов на параллелеиипедальной сетке для трехмерных уравнений Ламе. Для каждого типа элементов доказан сеточный аналог неравенства Корна (теорема 1.3.1) и получены оценки погрешности в различных нормах. Необходимо добавить, что наличие неравенства Корна обусловлено добавлением стабилизирующего функционала.

Для решения сжнемы уравнений полученной из уравнений Ламе с помощью предложенных неконформных элементов сконструирован достаточно эффективный переобуславливатель в итерационном методе сопряженных градиентов. Конструкция основана на спектральной эквивалентности оператора сеточной задачи сеточному оператору Лапласа и использовании внуфенних чебышевских процедур вместо обращения дополнения Шура.

- Для уравнений в смешанных постановках и уравнений Ламе с выделением одного из инвариантов предложен эффективный способ решения задачи, основанный на экстраполяции по малому параметру метода ш графа.

Полученные результаты являются новыми и опубликованы в рецензируемых научных журналах.

Перейдем к краткому описанию содержания диссертации. Кроме данного введения, работа состоит из трех глав, заключения и списка литературы. Собственно материалам исследования посвящены главы с первой но третью. Для удобства чтения каждая глава предворяется кратким введением. Заключение содержит краткое резюме о полученных результатов. Список литературы содержит 52 наименования. Ссылки на первоисточники даны во введении. В основной части текста упоминаются лишь работы, содержащие некоторые конкретные факты, используемые для доказательств утверждений. Каждая глава разделена на пункты с двухиндексными номерами. В диссертации принята сквозная трехин-дексная нумерация формул, теорем, лемм и ссылок на них. Первый индекс соответствует номеру главы, второй - номеру пункта главы, третий - номеру формулы или утверждения данной главы.

Заключение

Перечислим основные результаты, полученные в диссертации.

Предложено два новых семейства неконформных конечных элементов для трехмерных уравнений Ламе. С использованием этих элементов сформулированы сеточные 'задачи, обладающие единственными решениями. Установлен первый порядок погрешности в энергетической норме и второй в норме пространства Ь2.

- Для решения системы сеточных уравнений, соответствующих пекон-формпой аппроксимации уравнений Ламе, сконструирован эффективный переобуславлива1ель в итерационном методе сопряженных традиен-тов. Конструкция основана на спектральной эквивалентности оператора сеточной 'задачи сеточному оператору Лапласа и использовании внутренних чебышевских процедур вмесю обращения дополнения Шура для нормальных перемещений.

В абстрактной форме сформулирована и обоснована процедура -экстраполяции но малому параметру в методе1 штрафа для задач с ограничениями в тильбертовых пространствах. Полученные результаты применены для ряда эллиптических краевых задач в смешанных постановках В част нос 1 тт, показана возможное ть их применения для повышения работоспособности итерационных методов решения сеточных задач смешанно! о МКЭ.

1. В.В. Воеводин, 10.А. Кузнецов, Матрицы и Вычисления, М., Наука, 1984.

2. Г. Дюво и Ж.-Л. Лионе, Неравенства в Маанике и Физике, Паука, Москва, 1980.

3. А.А. Калинкин, Об одном неконформном методе конечных -элементов для трехмерной задачи теории упругости, Материалы конференции молодых ученых по Вычислительной Математике, Новосибирск, Академгородок, 2005, 61 71.

4. А.А. Калипкин, Ю.М. Лаевский, Об экстраполяции по параметру в возму1 ценной вариационной задаче в смепхахтхтой иосхановке, Сибирский журнал вычислительной математики, 8 (2005), №4, 307 323.

5. А.Н. Коновалов, Меход скорейшего спуска с адаптивным поперемепно-треух олытым переобусловлива хелем, Дифференциальные уравнения, 40 (2004), N°7, 953 963.

6. G. А.Н. Коновалов, Оптимальные адаптивные переобусловлива тел и в двуслойных итерационных методах, Тр. Мсждун. Конф. по Вычис i. Машем., Часть I, Под ред. Г.А. Михайлова, В Г1. Ильина, Ю.М. Лаевското, Новосибирск, 2004, 32 41.

7. О.А. Ладыженская, Математические Вопросы Динамики Вязкой Несжимаемой Жидкости, Наука, Москва, 1970.

8. О.А. Ладыженская и В.А. Солошшков, О некоторых задачах векторного анализа и обобщенных постановках краевых задач для уравнений Навье-Сгокса, Зап. научи, сем. ЛОМИ, 59 (1976), выи. 9, Наука, Москва, 81 116.

9. О.А. Ладыженская, II.II. Уральцева Линейные и Квазилинейные Уравнения Эллиптического Типа, М.: Наука, Москва, 1964.

10. Ж.-Л. Лионе и Э. Маженес, Неоднородные Третичные Задачи и их Приложения, Мир, Москва, 1971.

11. Г.И. Марчук и В.В. Шайдуров, Повышение Точности Решений Разностных Сгем, Паука, Москва, 1979.

12. А. Моцарюва, Итерационный меюд скорейшею спуска с адаптивным переобуславливагелем, Труды кош(). молодых ученых ИВМ и МТ СО РАН, 2006, Новосибирск, ИВМ и МГ СО РАН.

13. О.А. Олейник, Г.А. Иосифьян, А.С. Шамаев, Математические Задачи Теории Сильно Неоднородных Упругих Сред, Изд-во МГУ, Москва, 1990, 311

14. А.А. Самарский, Введение в Теорию Разпоспитх Схем, Наука, Москва, 1970.

15. А А. Самарский, Е Николаев, Методы Решения Сс точны г Уравнений, Наука, Москва, 1978.

16. Ф. Сьярле, Метод конечных элементов для эллептических задач, Мир, Москва, 1980.

17. Р Aibenz, S. Maigenov, Paiallel MIC(O) preconditioning of 3D nonconforming FEM systems, Iterative Methods, Precoriditwnuj and Numerical PDEb, Piocvedirujb, 2004, 12 15.

18. D.N.Arnold, F.Biezzi, Mixed and nonconfoiming finite element methods: implementation, postprocessing and error estimates, R.A.I.R.O., Nurner. Anal., 19 (1985), 7 32

19. O. Axelsson, Preconditioning of indefinite problems by regularization, SI AM J. Numer. Anal., 16 (1979), No.l, 58 69.

20. I. Babuska and A.K. Aziz, Foundations of the Firrite Element Method, The Mathematical Foundations of the Finite Element Method with Applications to Partial Differential Equations, Ed. by A.K. Aziz, Academic Press, New York and London, 1972.

21. G. Bencheva, S. Margenov, Performance analysis of parallel MICJ(O) pieconditioning of rotated bilmear nonconforming FEM systems, Muthernutica Balkanua, 17 (2003), 319-335.

22. M. Beicovin, Perturbation of mixed variational problems, Application to mixed finie element methods, R.A.I.R.O., Numer. Anal, 12 (1978), No.3, 211-236.

23. S. Brennei, Korn's inequalities for piecewise II1 vector fields, Math, of Сотр., 73 (2003), 1067 1087.

24. F. Brezzi, On the existence, uniqueness and approximation of saddle point problems arising from Lagrangian multipliers, R.A.I.R.O., Numer. Anal., 8 (1974), No/2, 129 151.

25. F. Brezzi and M. For tin, Mixed and Hybrid Finite EUmeut Methods, Springei-Verlag, New Yoik, 1991.

26. Ph. Ciailet, The Finite Element Method for Elliptic Pioblems, Noith-Ilolland, 1978.

27. M. Ciou/eix and P.-A Raviart, Conforming and nonconforminf finite element methods for solving the stationary Stokes equations I, R.A.I.R.O., R.3 (1973), 33 75.

28. R.S.Falk. Nonconforming finite element methods for the equation of linear elasticity Math. Сотр.,, 57 (1991), 529-550.

29. C.E. Foisite, T.S. Mot/kin, Asymptotic propeities of the optimum gradiint method, Bull. Amei. Math. Soe., 57 (1951), 183.

30. M.Fortin. A tlnee-ditiiensional quadratic nonconforming element Numei. Math., 46 (1985), 269 279.

31. I. Georgiev, S. Mai genov, DD-MIC(O) pieeonditioning of rotated tiilineai FEM elasticity systems, Computer Assisted Mech. Eiuj. Sci., 11 (2004), 197 209.

32. P. Hansbo and M.G. Lai son, Discontinuous Gale i km and Ciouzeu-RaviartThe Element: Application to Elasticity, Preprint NO 2000-09, Olialmers Finite Element Center, Goteborg, 2001, 12.

33. L.R. Herrmann, Elasticity equations tor incompressible or nearly incompressible materials by a variational theorem, A.I.A.A. J. 3 (19G5), 1896-1900.

34. А.А. Калинкин, Ю.М. Лаевский, On the nonconform finite element method for the 3D elasticity problem, Rus. J. Numer. Anal. Math. Model, 21 (2006), No.4.

35. T. Kolev, S. Mar genov, Two-level preconditioning of pure displacement non-confoiming FEM systems, Numerical Linear Algebra with Applications, 6 (1999), 533-555.

36. Yu.A. Kuznetsov, Algebraic multigrid domain decomposition methods, Rus. J. Nurnei. Anal Math. Model, 4 (1989), 351 380.

37. Y.A.Ku/netsov and M.F.Wheeler, Optimal order substructuring preconditioned for mixed finite element methods on noninatching grids, East-Webt J. Numer. Math., 3 (1995), 127 143.

38. R.D.Lazarov, S.D.Margerrov, On a two-level parallel MIC(U) pieronditionmg of Croi/erx-Raviart non-eonfonning FEM system I.Dirriou, I.Lirkov, S.Margenov, Z.Zlatev (eds.): Numerical Methods and Applications, Springer LNCS 2542,2003, 192 201

39. J.A.Nitsche. Convergence of nonconfoiming methods, The Mathematical Aspectь of Finite Elements m Partial Differential Equations, 1971, 1553, Academic Press, New York

40. R. Rarmacher and S. Turek, Simple nonconforruing quadrilateral Stokes element, Numer. Methods Partial Differential Equations, 8 (1992), 97111.

41. H.H.Jr.Rachford, M.F Wheeler. An tf^Galerkiri procedure for the two-point boundary value problems, The Mathematical Aspccts of Finite Elements in Partial Differential Equations, 1974, 353-382, Academic Press, New York

42. P.A Raviart and J.M. Thomas, A mixed finite element method for 2-ird order elliptic problems, Lectuie Notes in Mathematics 606 (1977), Springer Verlag, New York, 292 315.

43. T.Rusten and R.Winter, A precorrdrtioned iterative method foi saddle1 point pioblems, SLAM ,J. Matrix Anal, 13 (1992), 887 904.

44. M. Sibony, Methodes iteiatives pour les equations aux deiivees paitielles iion-lineaies de type monotone, Culcolo, 12 (1970), 65 184.

45. G.Strang. Variational curries in the finite element methos The Mathematical Foundations on the Finite Element Method with Applications to Paitial Differential Equations, 1972, Academic Press, New York, 689-710.

46. M Wang. The generalized Koirt inequality on nonconforming finite element spaces, Chinese J. Numer. Math. Appl., 1994, 91 96.

47. E.L.Wilson, R.L.Taylor, W.Doherty, J Ghaboussi. Incompatible displacement models, Numericul and Computer Methods in Structural Mechanics, 1973, 43 57, Academic Press, New York.

48. X.Xu. A discrete Korn's inequality irr two and three dimensions, Appl. Math. Letters, 13 (2000), 99 102.