Аппроксимация решений первой краевой задачи для одного класса гипоэллиптических уравнений в неограниченных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

;Г5 ОД

ьпьаиъь 'пьви^иъ ^ииишипиъ

1 8 №

'шииезиъ чт-рчьъ ццъьмь

ппси^ь аииь ^Ь'ПШгЬЬ'ЛЗЬ^ =Щ4ЦиЦРП|-иЪЬРЬ =щицр игшэьъ ьагивьъ тгопгиъьрь ипэцрцт-ис иыллииъцФич

ЗЬРПЬВВЪЬРПШ

и.01.02- „гЦ1фЬрЬйд^ш[_ МшЦшишрпиЗОЬр,, (ЗшийшцЬтги^шйр фЬчЬЦшйифЬйшиф^ш^шй ч|илт.р]п1.ййЬр[1 рЫ^Ошйпф ^[илшЦшй шит|1бшй[1 Гшцдйшй иллЬйш|ипипф]шй

иьаии^ьр

ьпьаиь - 2000

ЕРЕВАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ДАЛЛЛКЯН ГУРГЕН ВАНИКОВИЧ

АППРОКСИМАЦИЯ РЕШЕНИЙ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ^ЛЯ ОДНОГО КЛАССА ГИПОЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности Aj.01.02 - „Дифференциальные ураинения,,

ЕРЕВАН- 2000

Uuili(iui|uiuuii|)|iiiU pliiiuiG huiuuuuuii|iii() 1. b|iUiii(ili ti{liuiuil{tuü 1iiuiSmi|uui|iiiiüiiiiS:

Ч 1iumuI|iiiIí i|bl|uii|iii|i - ,'|)|u|.i5iuj). qjim. рЫ{Цш()ш, i|iujUUui

íiuiiimu[Lui|iu(¡ Ч-.11.

'Iliu,nilllüinl|iu(¡ |l(ÍI|l||llhll{UIlUÜkll - ,'1>{и|.iSnij>. qjiui. iiulpiuip, ицшфкипц

Íchii|i5iiiu|iuü 4j.b. .'}>li([.iiuip. qliui. pliljüuirtni, qiujliüui Ршццшишщшй U.4-.

Uiim^uiuiutu Iiui(|i1iuliliiiu]iit|>juiU - íl-niumuuiuiüli 4-11 4.U. ишЫцшЦ1 uiGiJiud

ümpUúiuuililjmjli Jiüuuiliuimui

"liu2uiuiuiüiiipjiH(i]i liuijiti(iui[ui l 2000 p. цЫрикйр^ф 19-]i(i d.l500-liG biiUiuGJi iql¡unul|iuü luuiiui|uui|iiut¡liG 1фу 050 üiuuGiuqliuiiiil|iuG Клцицпф Щшииий, liliuilijuii liiuu(jUiu|. 375049, biiUiuG, 11.U"iuüiii1l|uiG ф. 1.

UuiliGiuJuiiuuipiuiGii ljnipli|[i l ñiuGnpiuGun bpbmGli ujhuiiulpuG luiii5ui|uiiipiuüli q|iiiii[iii|iuiünni:

Ul¡niimq]inG шширфий l 2000 p.

Uuiuüuiq[iuuuliiuG 1ипц|цщ11 qliuiuilpuü ршршиирпр' .'l>Ii<].i5iiip. q[iui. pUliüuií)iii, quijliGui S.Tj. <uiimipjniGjuiG

Темп днсссратпции утверждена в Ереванском государственном университете.

Научный руководитель - кандидат физ-мат. наук, доцент

Карапетян Г.А.

Официальные опонеиты - доктор физ-мат. наук, профессор

Товмасян Н.Е. кандидат физ-мат. наук, доцент Багдасарян А.Г.

Ведущая организация - Институт математики РАН

им. В.А. Стеклова, Москва.

Защита состоится И) ноября 2000 г. в 1500 часов на заседании специализированного Совета 050 при Ереванском государственном университете по адресу: 375049, Ереван, ул. Ал. Манукяна, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ереванского государственного университета.

Автореферат разослан в " {Н " 2000 г.

Ученый секретарь специализированного Совета: кандидат физ-мат. наук, доцс1ГГ 1 Т.Н. Арутюняп.

В iGi. GZC, 03

В Í9Z> -/£<¿,¿£1-3. OS

ОБЩАЯ ХАРАКТПРИСТИКЛ РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория гипоэллиптических операторов и гипоэллип-тических уравнений, берущая свое начпло в работах Л. Хермандера бурно развивается и становится более и более актуальной. Несмотря на то, что многие отечественные и зарубежные математики долгие годы занмимаются теорией гипоэллиптических операторов, ряд вопросов в этой теории остались нерешенными и к тому же постоянно возникают новые задачи.

Одним из важных подклассов регулярных гипоэллиптических операторов1'1 является класс полуэллиптических (семиэллиптических) операторов, включающий в себя эллиптические операторы. Для решений краевых задач для эллиптических уравнений произвольного порядка вопросы существования, единственности, регулярности, а также вопросы приближенного решения этих задач изучены довольно подробно. Для полуэллиптических же уравнений подобные вопросы, а также вопросы поведения решений краевых задач в ограниченных и неограниченных областях в настоящее время являются активно разрабатываемыми.

Целыо реферируемой работы является исследование поведения решений регулярных гипоэллиптических уравнений в неограниченных областях, а также изучение возможности аппроксимации этих решений решениями краевых задач в ограниченных областях.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

получено интегральное представление для решения полуэллиптической краевой задачи;

получена ассимптотическая оценка фундаментального решения одного класса полуэллиптического оператора;

доказана теорема существования и единственности решения полуэллиптического уравнения во всем пространстве с переменными коэффициентами зависящего от комплексного параметра;

1. Никольский С.М. Первая краевая задача для одного общего липейпого уравпепия.- ДАН СССР, 1962, т. 144, 4, с. 767-769.

3

доказаны теоремы об аппроксимации решений полуэллиптических краевых задач в неограниченных областях (в полупространстве) решениями задач в ограниченных областях;

доказаны теоремы существования и аппроксимации решений краевых задач для квазилинейного иолуэллиптического уравнения во всем пространстве и строго нелинейного регулярного уравнения в неограниченной области. Методика исследования. В работе использованы: теория следов функций из анизотропных пространств С.А. Соболева на многообразиях, теоремы вложения и продолжения, методы функционального анализа, теория граничных задач для гипоэллиптических уравнений, а также теория дробных производных, сингулярных интегральных уравнений и метод монотонных операторов.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение и теории общих гипоэллиптических уравнений и краевых задач, а также в теории приближенного решения дифференциальных уравнений в неограниченных областях.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах по функциональным и численным методам исследования гипоэллиптических уравнений в ЕГУ, на научном семинаре посвященном памяти Л.Г. Берберяна (Ереван, 1999), па научной сессии посвященной 80-летию ЕГУ, па семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа ЕГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4-ех статьях, список которых приводится в конце реферата. Структура и обьем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав разделенных на 14 параграфов. Общий объем работы— 115 страниц. Список литературы содержит 144 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор литературы по изучаемой теме и приведены формулировки основных результатов.

В § 1.1 главы I вводятся основные определения, обозначения и вспомогательные утверждения.

Пусть R" —/г — мерное евклидово пространство точек с вещественными координатами, Ng -множество п -мерных мультииндексов, т.е. векторов а — (at,..., ап) с целыми неотрицательными компонентами.

Пусть т = (т,,..-,1Пп) - вектор с натуральными компонентами,

/./ = (//,,..., jun), где Mj= у,п , j = 1,-,« • Если X, £ sR", а е ЫЦ , то

положим — ¿¡"' ...¿f"" , Da = D"' ...D°", где D, = - —— или

i дх f

> 1 y=l

N = E f*j • /;'o = max:/» , ¿/0 = miii^ .

1 ^ I </i/i J !</<« y

Для области Q <zl R" обозначим через H1'" (/2) (/ e A^) анизотропное соболевское пространство функций с конечной нормой

Н1-,о HML HML+E II А"" "II • (и

II \\т,!,П II \\!,П II НЛ ' о v '

где ||'||л - норма пространства L2(f2) .

о _

Замыкание множества по норме (1) обозначим через Н "' (/3).

Пусть

P{D)= £ yaDa (2)

(/<•<*><; 2

- линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами

5

(//-порядка 2) и = ^ у- главная часть оператора Р{П).

0<.<0 = 2

Будем предполагать, что оператор Р(/?) является полуэллиптическим121 , т.е.

^етг"\{о}. (3)

В главе I рассматривается полуэллиптическое уравнение вида

А(х, Д Л)и = Р(О) и + Л (?(х, В)и = / , (4)

во всем пространстве Л", где Р(Д)- полуэллиптический оператор //-порядка 2 с постоянными коэффициентами такой, что

0, (5)

а О) - дифференциальный оператор ¡Л -порядка не выше 2 с

гладкими, обращающимися в нуль при |.х| > а коэффициентами, Л-

комплексный параметр.

В параграфе 1.2 получены теоремы об аппроксимации решений уравнения

Р(£>) и = / в Я"' (6)

решениями краевых задач в //-шаре РК), = < К |

/>(£>) ыд (*) = /(*), хеВк>1 , (7)

икеНя{В^м). (8)

Положим

¿2ЖН/е4(Я");/(*)==0 при \^>а,а>0 }.

Теорема 1.2.1. Пусть оператор (1) удовлетворяет условиям (3),(5) и пусть

и и пк - решения соотвественно уравнения (6) и задачи (7),(8),

2.

Хермандер Л. Линейные дифференциальные ными производными.- М.: МИР, 1965.

6

операторы с част-

/ е Ьг а (У?") . Тогда, если т0 <2 т1 (/'= 1 ,...,п) , то для любого компакта К ст Я" и г е Л^' при достаточно больших К выполняется неравенство

тах|яг["(дс)-нл(*)]| ^ с(К,т) е^""" IIм Ц/Ц,^.,.

где М = тах^ + ^-^ц , |//|-/;0|.

Если наложить некоторые дополнительные условия на функцию / е Ь-х а (Я" ) , то получаются более точные оценки для функции и — и/(.

В § 1.3 изучается уравнение (4) в Я" . Пусть А -множество всех значений Я , при которых оператор А(х,В, Л) полуэллиптичен. Множество А -открыто. Связное подмножество множества А, которое содержит точку Л = О, обозначим через А0. Используя теорию сингулярных интегральных операторов 131 доказывается

Теорема 1.3.1. При всех Л из А индекс оператора А{х, О, Л) равен нулю. Если /б12а(Д"), то при всех Л из А0 за исключением, может быть, некоторых счетных множеств А{ С А0 уравнение (4) имеет одно, и только одно, решение в классе Нъ" (Я") ■

В § 1.4 рассмотрены специальные граничные условия на ¡1 -сфере 3/1/1 ~ Iх' Н/( = 11 получены теоремы об аппроксимации при

нефинитных функциях / .

Глава II посвящена аппроксимации решений полуэллиптиеских краевых задач в неограниченных областях.

В § 2.1 доказывается аппроксимационная теорема для решения уравне-

3. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения.- М.: Физматгиз, 1962.

ния (4) в Я" .

Теорема 2.1.1. Пусть А(х, О) = А(х, О, Л0 ) - оператор вида (4),

Л0 е А0 \ Ах - фиксированное число. Тогда для любых / е ¿, о (Л") и

Я > а задача Л(х, В) ия = /, хе , (9)

о_

инеНп'{В1(11). (Ю)

имеет притом единственное решение ик е Н2'" (Вя ). Если г/ и мя -решения соответственно уравнения (4) и задачи (9),(10), то при достаточно больших Я имеет место оценка

И-Яп

В § 2.2 изучаются краевые задачи в неограниченных областях /2 С Я" с ограниченной бесконечно гладкой границей:

А(х,0)и[( = /, х&П, (12)

ил еЯ°'"(/2). (13)

Рассмотрим задачу в /2/( = /3 О :

А(хгО)ин=/, хеПН/1, (14)

0_

ип&Н'"(ПНи). (15)

Имеет место

Теорема 2.2.1. Пусть задача (12),(13) для любой /еЬ2а(Я") имеет решение в классе //"'"(/2) (см.'"). Тогда для (каждого) решения и

4. Карапетян Г.А. Существование и поведение решений одного класса гипоэллип-тических уравнений в неограниченных областях.- ДАН Арм. ССР, 1982, т. 74 № 5, с. 202 - 207.

адачи (12),(13) при достаточно больших Я существует такое решение /й 6 Н2Ш(П,<р) задачи (14),(15), что

|и-нл|| < се r,H"" R

В § 2.3 получены теоремы об аппроксимации для решений задач в юлупространстве.

В главе III изучаются задачи в R" для уравнения (4) с /е Lla(R ") в

:лучае, когда оператор А/,

W = S = Е ' 2 = >4,/-, >-> о

удовлетворяет условиям

а) ^ О, е Л" \ {о} , Р( 0) = 0;

б) У^еГ\{0};

в) <1, < |//|.

В § 3.1 получена ассимптотическая оценка для фундаментального решения опаратора Р(О). Доказывается

Лемма 3.1.1. Пусть полуэллиптический оператор Р(О) удовлетворяет условиям а), б), в). Тогда /*(/)) имеет единственное фундаментальное решение Е удовлетворяющее условию

D" Е(х) = О

1

В § 3.2 доказывается Теорема 3.2.1. Пусть оператор P(D) удовлетворяет условиям леммы 3.1.1. Многочлен Р{имеет вид

nt)= I уаРГр,

(/..а)£|

Л

где е Л1, и для любого комплексного вектора ,...) Ф О

имеют место следующие неравенства

I г„.^аТР>о , £ о.

(/'.«Ы (//.е/)<1

(/'./>)-! 0<./»)<1

Тогда для любых / 6 (Я" ) О Ьг (Л" ) и Я>0 задача

Р(й)ин=Г в

= = 0,1,...,/и -1 ,

имеет единственное решение кл е//2"'(Б/(/(), при этом, если /770 < 2 /77( (/ = 1,..., п), то для любого компакта К с II"

зир|о-..-в'.1,| а ,„**> [|/[|.....№„„,].

В § 3.3 доказывается аналогичная теореме 2.1.1 аппроксимациониая теорема для уравнения с переменными коэффициентами вида (4).

Глава IV посвящена изучению квазилинейных полуэллиптческих

уравнений в Я" и строго нелинейных регулярных уравнений в неограниченных областях.

В § 4.1 исследуется разрешимость квазилинейного уравнения

Au + g{x,u,...,Dpu,= / в Я" (16)

и краевой задачи

Л"« + g{x,uR,...,DpuR,...) = /, (17)

и^НЧВп,,). (18)

где А - полуэллиптический оператор вида (4).

Пусть II{Г2) - множество функций а , для которых (ри е Н'"'(Г2) для любой функции <р е Сд (¿2).

1спользуя результаты работы151 доказываются следующие предложения: 'еорема 4.1.1. Пусть для любой /еЬ211(Я") существует единственное 1ешенне и уравнения (4) и для него выполняется оценка

II И,,.,,О I19»

Тусть g: —>(Л/- число мультииндексов /?;(//,/?) <2 )-

1епрерывная функция удовлетворяющая условиям

1) g(x,гt(x),...,D|3гí(x),...)-0 при |л-| > а ;

2) пт —:-:— = 0 равномерно по х ;

| («...»'... >|-« | („,...,0"и,...)\

3) первые частные производные функции g непрерывны и ограничены. Гогда для любой / £ Ь2а(Я") уравнение (16) имеет по крайней мере одно решение и 6 (Я") ■

Георема 4.1.2. Пусть выполнены условия теоремы 4.1.1. Далее, пусть при Я > Я0 для любой / е Ь2 а(Я") задача (9),(10) имеет единственное решение

!(„ е Я2'"(ВЙ;1) и имеет место оценка (11). Тогда для любых Я>а и

/еЬ1а(Я") задача (17),(18) имеет по крайней мере одно решение

икеН2Ш(ВКг1).

В § 4.2 доказывается аппроксимационная теорема для решения уравнения (16).

Теорема 4.2.1. Допустим, что выполнены условия теоремы 4.1.1. Пусть (Я ) , _/ = 1,2,... - такая последовательность чисел, что Пт Я = +<х>, Я > а

и пусть ия - решение задачи (17),(18) при Я = Я.. Тогда последовательность

5. Лпзоркпн П.И. Описание пространств п терминах разност-

ных сингулярных интегралов.- Мат. сб., 1970, т. 8( 123): 1, с. 79-91.

11

имеет такую подпоследовательность (Л*) , что на любом компакте К а Я" имеет место соотношение

lim

= 0

где ?/' е НI"(Я") - равное нулю в бесконечности решение уравнения (16). Если решение 11 уравнения (16) единственно, то для решения и,( задачи (17),(10) выполняется соотношение

Нт |ик(х)-и(х)\\2к =0. Если оценки (19) и (11) также справедливы, то

= 0,

lim

/—>Со

"н•

= 0.

(и соответственно в случае единственности)

lim |к(д0-«иия<1 Определение 1. Характеристическим многогранником (х.м.) для набора мультииндексов Z называется наименьший выпуклый многогранник N = в Я", содержащий все -п^кн Z.

Определение 2. Многогранник К называется полным, если fc-s имеет вершину в начале координат и отличные от нее на каждой оси

координат Ng .

Определение 3. Полный многогранник К называется правильным, если оператор проектирования на координатные гиперплоскости любых измерений не выводит точки К .

Определение 4. Полный многогранник К называется вполне правильным (в.п.), если внешние нормали (/г —1)- мерных некординатных

граней К имеют лишь положительные координаты.

Очевидно, что в.п. многогранник является правильным. Внутренность

огограпника К обозначим через К<0>.

ссмотрим в неограниченной области £2 уравнение вида

Ри = Аи+ £(-1)'"' О" $а(х,и,Ои,...,1Уи). (20)

десь Аи = ^(-1)И£>°Аа(х,и,Ои,...,Оги) //е^, где

стек

> 0 - целое) - подобные ^ множества мультиипдексов удовлетворяющие ловшо СК"'11 С---С К(0). Пусть Н*(П)(р> 1) - замыкание

южества С™ (12) в норме

ирсделение 5. Оператор Р вида (20) называется регулярным в Нр(12),

о

:ли для некоторой постоянной С>0 и для всех и,\>еН'р(Г2)

£ | (Аа (х, ОД) - Аа (х, ОД)) В" (и- V) ск > С || и - V .

пек а

!ри определенных ограничениях на поведение коэффициентов оператора 20) в § 4.3 доказывается существование слабого решения первой краевой адачп для уравнения Ри — ] в неограниченной области /2, точнее

о

.оказывается, что для любого элемента /е (Н р(Г2))" (т.е. для любого

о

^шейного непрерывного функционала над Н'р(£2)) существует функция

о

и еН'р(12), удовлетворяющая условиям £ ¡Ап(х,и,...,0и,...,1Уг1)0"ис1х +

яек а

+ I | 8а{х,и,0и,...,0''и)0аис1х={Г,и).

а

В § Л.Л доказывается теорема об аппроксимации решения краевой задачи для уравнения Ри = f в области /2 решениями задач и ограниченных областях QH Z> о BR } .

Результаты § 1.2 получены совместно с Г.А. Карапетяном.

Автор выражает глубокую признательность своему научному

руководигелыо доценту Г.А. Карапетяну за постановку задач и многосто-рошою помощь. .

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Карапстян Г'.Л., Даллакян Г.В. Об аппроксимации решений полузл-

лиитических уравнений в R".- Изв. НАН Армении, 1999, № 4 (англ. перевод: Journal of Contemporary Mathematical Analysis, № 4,2000).

2. Даллакян Г.В. Об аппроксимации решений граничных задач в неограниченных областях.- Ученые записки ЕГУ, 2000, № 1.

3. Даллакян Г.В. Аппроксимация решений полуэллиптического уравнения в R" решениями граничных задач в больших обобщенных шарах.-ДНАН Армении , 2000, т. 34, №1.

4. Даллакян Г.В. Об аппроксимации решений квазилинейных полуэллиптических уравнений в R" .- Деп. в АРМНИИНТИ за № 6- Ар 00.

liua)n<pnuj

UzfuuuiniuGgQ Qi[jipi(iLi6 t npn^wlili rpuu|i htiLqnt(_hLLlLnhU hiui|uiuuipnii]Qbp[i LnL6nii30bpfi iliupph nLunn3QuJu|ipnLpjijuQ[]: T|iinujpljt|uj6 bG iuniug|iG bqpiuj|iG tuGrv|ipQbp qdiuj|iG Li pi|iuq[iq6iuj|iQ l)|nuwt[jiiqm|i4 hiui^uiuiupniCiGbp|i huudiup:

^bGilb[ni| uinuigiluu6 iupr}jni.GpGbp|i l[pw l|iupb|Ji t hiuQqb|. hbmLjiUL bqpiu^UignipjniGGbpti.

1. /i" - md mpi|iu6 l]tiuiut[[iiqui|i^ hujilujULupdiuG [ni6nLi5[] l^iupnri t uinujgiibL npiqbu Bn/I = |x;|x| < R | uiuhtiiuGiuiJiiulj Ln|ipnijpniii

(fj. -qGrpuiS) inpi|uj6 bqptuj|iG |uGrip|i [nL6i5iiiG uujhiiiuG, bpp >00:

2. Q luGuiuMwGiuiJiuj^ ui|ipnLjpnn3 rnpiiwA bqpiuj|iG fuGrjpfi irudnLiJQ Ijiupnri t umujgilbL npiqbu QR =f2f}BJt uiuhdiuGiuifiujlj inJipnLjpnLiJ

inpiliu6 bqpuij|iG [uGqp|i inidduiG uiuhiiiuG, bpp R —>00:

3. b2iluj6 1. bqpiuljujgnipjnLG[! ^¿^luPhm t Gwb L)|iuuuinujpiu&rupjni.QnLi] inpi|uu6 bqpiuj|iG fuGr^jipGbpji |nLi>ni\5Gbp|i hiutiiup:

4. b2i|iu6 2. bqpiiiljujgrupjruGQ fi^dujpliin t GluU uu[tujG i)iuu|i htui(wuiju-

pnii5Gbp|i' nbqruuiup hliLqntLh^uih^ hiui|iuuiupnu5Gbpfi hiutfiup:

GUKGEN DALLAKYAN

Approximation of the solutions of first boundai^-valuc problems for certain class of hypoelliptic equations in unbounded domains