О неизолированных особых точках решений линейных дифференциальных уравнений с частными производными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

ЯГ. О А

• г.сч

На правах рукописи УДК 517.51

ПОКРОВСКИЙ АНДРЕЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

О НЕИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЫХ ТОЧКАХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Ol.Ol.Ol — Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1996

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель —

доктор физико-математических наук, профессор Е. П. Долженко.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В. П. Михайлов; кандидат физико-математических наук, доцент Б. Ж. Ищанов

Ведущая организация —

Институт математики HAH Украины.

Защита диссертации состоится "27" декабря 1996г. в 16 час. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу:

119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж, Главное здание).

Автореферат разослан "27" ноября 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04

доктор физ.-матем. наук, профессор Т. П. Лукашенко

06ЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАбОТЫ

Актуальность темы. Одной из важных задач теории функций одного комплексного переменного является следующая задача об устранимых особенностях . Пусть g — область на плоскости € комплексного переменного г - х + iy, К — замкнутое множество в G, f — функция, принадлежащая некоторому классу H(G) функций, измеримых по Лебегу в g, и аналитическая в g\k. Спрашивается, при каких условиях на множество к каждая такая функция f с точностью до изменения на множестве лебеговой меры нуль является аналитической во всей области G. Если последнее имеет место, то будем говорить, что множество к устранимо для аналитических функций в классе н(G), или короче, что множество к d-устранимо в классе н(g) (поскольку каждая аналитическая в g функция f

удовлетворяет там равенству di = О, где Ъ = + i-^j —

оператор Коши — Римана. Первый результат об устранимых особенностях аналитических функций принадлежит Б. Риману : если множество к состоит из одной точки w, то оно ¡^-устранимо в классе всех таких функций f, что |f(z)| = о ( | z - w|-1) при z -» w.

Для формулировки дальнейших результатов напомним определение

хаусдорфовых мер. Если h — непрерывная неубывающая функция на

отрезке [0, 1], Е — множество в Rn (n > 1), то (внешней) h-мерой

Хаусдорфа множества Е mes е называется конечный или равный + оо

h

предел при t о величины inf рГ^ hfr^lj, где inf берется

по

всем не более чем счетным системам открытых шаров {^J. образующих

покрытие множества Е и имеющих радиусы г < t. Если h(t) = tp

к

(pi 0), то вместо mes Е используется обозначение mespE, и h-мера

h

Хаусдорфа называется р-длиной.

Первыми результатами об устранимости множеств неизолированных особых точек аналитических функций явились следующие две теоремы П. Пенлеве, впервые опубликованные J!. Цоретти в 1905 г.

1) Если mes1K = 0, то множество к 5-устранимо в классе всех функций f, ограниченных в области G.

2) Если mesiK < со, то множество К 5-устранимо в классе C(G) всех функций f, непрерывных в области G.

П. Пенлеве предполагал, что всякое множество к, представляющее собой всюду разрывный компакт в G (то есть компакт, содержащий лишь одноточечные компоненты связности) d-устранимо в классе C(G), но эта гипотеза была опровергнута Д. Помпейю (1905), построившего непрерывную на С функцию f, аналитическую в €\к, где К — всюду разрывный компакт положительной площади на €, и не продолжаемую аналитически в С. Однако в оригинальном доказательстве Д. Помпейю была обнаружена ошибка, исправленная А. Данжуа в 1909 г. На дальнейшие исследования существенное влияние оказал пример В. В. Голубева (1914) непрерывной на С функции f, аналитической в С\к, где к — всюду разрывный совершенный компакт нулевой площади на С, каждая точка которого является особой для функции f. С середины 1920-х гг. началось исследование устранимых множеств неизолированных особых точек для гармонических функций двух и более переменных, а с конца 1940-х гг. такие множества изучаются для слабых решений линейных дифференциальных уравнений с достаточно гладкими коэффициентами.

Значительный вклад в изучение множеств неизолированных особых точек аналитических и гармонических функций и решений линейных дифференциальных уравнений с частными производными внесен работами П. Пенлеве, А. Данжуа, В. В. Голубева, В. С. Федорова, Т. Радо, 0. Фростмана, J1. Альфорса, С. Бохнера , Л. Карлесона, А. Г. Витушкина, Е. П. Долженко, Р. Харви и Дж. Полкинга, Й. Крала, Нгуена, Б. Ж. Ищанова. Ниже приводятся некоторые результаты, относящиеся к этой тематике. Если не оговорено противное, то всюду далее G — область в Kn (п > 1) или в С, р(х,D) — линейный дифференциальный оператор порядка m > о с

бесконечно дифференцируемыми коэффициентами в с, к — занкнутое подмножество области э. Если н(в) —некоторый класс функций, измеримых по Лебегу в в, то будем говорить, что множество к слабо Р(х,о)-устранимо в классе Н(0, если всякая функция Г е Н(о), являющаяся обобщенным решением (в смысле распределений по Л. Шварцу) уравнения р(х,п)и = о в с\к, удовлетворяет обобщенному равенству р(х,оН = 0 во всей области в. Для гипоэллиптических уравнений всякое обобщенное решение является классическим, и в этом случае мы будем говорить об обычной Р(х,о)-устранимости. Отметим, что нами рассматриваются дифференциальные уравнения только с нулевой правой частью, и, говоря об однородности такого уравнения , мы имеем в виду тот факт, что дифференциальный оператор, стоящий в его левой части однороден (то есть содержит частные производные только одного порядка). Как

обычно, д =

_£ + +

дх2 дх2

i п

— оператор Лапласа в R (п > 2).

В 1959 г. А. Г. Витушкин построил пример плоского компакта

положительной 1-длины, ё-устранимого в классе всех функций f,

ограниченных в области Ge С. В 1961 г. Е. П. Долженко впервые

выделил классы функций, в которых 5-устранимые множества допускают

полное описание в терминах мер Хаусдорфа. Как обычно, Lip (G)

d

(о < d < i) — множество всех функций f е c(g), удовлетворяющих в области g условию Липшица с показателем d.

Теорема Е.П. Долженко. Для d-устранимости множества

к в классе Lip (G) (0 < d < l, G с С) необходимо и достаточно, а

„ i+d

чтобы выполнялось условие mes к = 0.

Е. П. Долженко также установил достаточность условия 2 —

mes К = 0 для d-устранимости К в классе Lip (G). Л. Карлесон

(1963) доказал, что при п>2 и 0<d<l для Д-устранимости

множества К в классе Lip (G) необходимо и достаточно, чтобы

d

выполнялось условие mesn~2+dK = о, а Е. П. Долженко (1964)

установил, что если п > 2 и о < d < l, то Д-устраниные

множества К в классе всех непрерывно дифференцируемых в G функций

f, частные производные которых принадлежат Lip (G), есть в

d

точности множества К с mes" 1+dK = 0. Важную роль в последующих исследованиях сыграли результаты Р. Харви и Дж. Полкинга (1970). Сформулируем один из них.

Теорема Р. Харви и Дж. Полкинга. Пусть целое s > О и de (о, 1] таковы, что o<n-m+s+d<n. Если mesn~m+s+dK = 0, то множество К слабо р(х,D)-устранимо в классе всех s раз непрерывно дифференцируемых в G функций, s-e частные производные которых принадлежат Lipd(G).

Развивая с одной стороны методы Е. П. Долженко и JI. Карлесона, а с другой — Р. Харви и Дж. Полкинга, Й. Крал (1973—1984) нашел необходимые и достаточные условия устранимости множеств особых точек для решений так называемых семиэллиптических уравнений из анизотропных классов типа Кампонато. Условие на особое множество дается Й. Кралом в терминах введенных им анизотропных мер Хаусдорфа. Отметим один частный случай результатов Й. Крала. Напомним, что через BMO(g) обозначается множество всех локально интегрируемых функций f в области G, обладающих следующим свойством: существует такая величина к > о, зависящая только от f, что для каждого замкнутого шара в(х,г) с G найдется постоянная С = с(х,г), при которой выполняеися

неравенство

If(у) - с Idy < кг .

В ( X , г )

Теорема й. Крала. Если p(d) — эллиптический оператор с постоянными коэффициентами, m < и, то для Р(Б)-устранимости множества К в классе bmo(G) необходимо и достаточно, чтобы

п-тп

выполнялось условие mes к = 0.

Остановимся на результатах об устранимых особенностях аналитических и гармонических функций'в классе Lip^(G) и в классе Зигмунда z(G). Напомним, что класс Z(G) состоит из всех непрерывных в области G функций f, обладающих следующим свойством: существует зависящая только от f величина с > О, при которой для всех точек х, (x+h), (x-h)sG выполняется неравенство |f(х + h) - 2f(х) + f(X - h)| < С|h|. В 1979 г. Нгуен показал, что

z -

условие mes к = о не только достаточно для 5-устранимости

множества к с € в классе Lip (G) (G с €), но и необходимо для этого, а в 1986 г. он построил пример плоского компакта лебеговой меры нуль, который не является ¡^-устранимым в классе Z(C). Для гармонических функций в Кп (п > 2) Нгуен (1990) построил пример компакта К с mes" > О, А-устранимого в классе Lip^iK"), а Д. Ульрих (1991) показал, что необходимым и достаточным условием Д-устранимости компакта к в классе z(G ) является условие mes К = 0.

Приведенные выше результаты интересно сравнить с результатами Б. Ж. Ищанова (1987), который рассматривал следующие классы функций. Пусть непрерывная положительная функция h(t) (о < t < 1) такова, что g(t) := h(t)tn~m * О при t * 0. Через и(Р(х,D), G, h) обозначается множество всех локально интегрируемых в области G функций f, обладающих свойством: существует такая величина к > 0, зависящая только от функции f, что для каждого замкнутого шара В(х,г) с G найдется интегрируемая на в(х,г) функция и, удовлетворяющая внутри этого шара равенству р(х,D)и = о (в обобщенном смысле), при которой выполняется

неравенство

f(у) - u(у)|dy < Krnh(r). При сделанных выше

Jb ( х , г )

допущениях относительно функций h и g справедлива следующая

Теорема Б.Ж. Ищанова. Если mes к = о, то

g

множество К слабо Р(х,D)-устранимо в классе U(P(x,D), G, h).

Б. Ж. Ищанов также показал, что для однородных эллиптических

операторов с постоянными коэффициентами условие mes к = о

g

приведенной выше его теоремы является необходимым. Если P(D) = А

и h(t)=td (о < d < 1), то, сравнивая результаты Б. Ж. Ищанова,

например, с приведенной выше теоремой Л. Карлесона, возникает

вопрос: можно ЛИ любую фуНКЦИЮ f € Ц(Д, G, h) (h(t) = td,

0 < d < 1) переопределить на множестве лебеговой меры нуль в G

так, чтобы она стала функцией из класса Lipp в каждой области О,

d

замыкание которой компактно в g. Аналогичные вопросы возникают при сравнении результатов Б. Ж. Ищанова с теоремами Е. П. Долженко и Д. Ульриха об устранимых особенностях гармонических функций. В главе 2 даны, в частности, положительные ответы на эти вопросы. В следующей главе 3 получен ряд новых результатов об устранимых особенностях решений линейных дифференциальных уравнений с частными производными.

Изложим результаты, обобщению и развитию которых посвящена глава 1. Пусть у — комплексная борелевская мера с носителем на шаре в := {|х| < 1}, F^ — функционал, порожденный мерой /j в

пространстве распределений £'(0f): F^(ф) =

ф( t)dp(t) для каждой

функции ф € с°°(Кп). Л. Зальцманом (1973) рассматривались функции о

Г, непрерывные в некоторой области в с Кп, удовлетворяющие

равенству

f(х + rt)d^(t) = 0 при всех таких х е G и г > О,

что {х + п: г е в} с е. Им показано, что множество всех таких функций совпадает с множеством всех непрерывных слабых решений в С некоторой системы, состоящей из конечного числа линейных

дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, зависящих только от меры pj. Для сведения этой системы к одному дифференциальному уравнению p(d)f = о необходимо и достаточно (JI. Зальцман, 1973), чтобы оператор p(d) был однородным, а функционал f^ имел вид f^ = p(d)t, где т — некоторое

распределение с носителем на в и с т{0) * о (т — преобразование Фурье — Лапласа распределения Т). Этот результат представляет собой весьма общую теорему типа теорем о среднем для решений однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. С другой стороны, были известны конкретные теоремы о среднем для решений уравнения теплопроводности, неоднородного в указанном выше смысле (Б. Пини, 1954; У. Фалкс, 1966; Л. П. Купцов, 1981). В главе 1 результат Л. Зальцмана распространяется на более широкий класс дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, который, в частности, содержит уравнение теплопроводности. В применении к гипоэллиптическим уравнениям полученная теорема неоднократно используется в главах 2 и з.

Перейдем к обзору результатов, связанных с главой 4. В 1900 г. Г. Миттаг-Леффлер установил, что существует регулярный конечнострочный матричный метод суммирования А, обладающий следующим свойством: каковы бы ни были область G с С, прямолинейно звездная относительно начала координат о, и функция f, голоморфная в G, метод А суммирует ряд Тейлора функции f с центром в точке о к значению f(z) (z е G), причем последовательность полиномов, полученных перемножением ряда Тейлора функции f с центром в О и соответствующей строки матрицы суммирования, сходится равномерно на компактных подмножествах из G. В 1903 г. Э. Линделеф распространил этот результат на спирально-звездные области (область G с €, О s G, называется спирально-звездной относительно о, если вместе с каждой своей точкой w * о она содержит

множество {уп■ехр(^•1п(I)): 0 < I < 1), где у— некоторое действительное число, не зависящее от точки ч/ * о внутри в). В дальнейшем были найдены многочисленные конкретные матричные и полунепрерывные методы суммирования рядов Тейлора голоморфных функций в звездных областях. Для формулировки следующего результата нам потребуется одно определение.

Пусть а = {а И)}00 —последовательность комплекснозначных к о

функций от г е (0, со), о — область в Кп (п > 1) или в С,

со

) иИх' — некоторый ряд непрерывных функций в в (относительно к = 0

сходимости или расходимости этого ряда не делается никаких

со

исходных предположений). Будем говорить, что ряд ^ (х)

к = 0

суммируется полунепрерывным методом А к функции и е с(о)

со

равномерно внутри g, если при каждом t > о ряд V а (t)u (х)

-- к к

к = о

равномерно на компактах из G сходится к некоторой функции u(t,x) е с(G), и существует предел lim u(t,x) = u(x), который

достигается равномерно на компактах из с. В принятой терминологии имеет место следующая

Теорема Н. У. Аракеляна (1984). Пусть g — область на плоскости С, о е g. Для существования такого регулярного полунепрерывного метода А, что для любой голоморфной в G функции f ее ряд Тейлора с с центром в точке о суммируется методом А к f(z) равномерно внутри G, необходима и достаточна спиральная звездность области g относительно точки о.

В многомерном случае Е. М. Чирка (1973) установил, что любую функцию f, голоморфную в области G с Сп (п > 2), прямолинейно звездной относительно точки о, можно представить в виде предела

некоторой последовательности полиномов, равномерно сходящейся на компактах из й, а Л. Н. Знаменской (1994) показано, что такая последовательность полиномов может быть получена путем суммирования ряда Тейлора функции { с центром в о, сгруппированного по однородным полиномам, (конечнострочным) матричным методом Пенлеве — Фредгольма. В главе 4 рассматривается суммирование рядов Тейлора вещественно аналитических функций, заданных в прямолинейно звездных областях пространства П?п (п ^2), при этом на функцию не накладывается условий удовлетворения ею какого-либо дифференциального уравнения (в упомянутых выше теоремах это было уравнение дТ = 0).

Цель работы: исследование дифференциально-гладкостных свойств классов функций многих действительных переменных, определяемых скоростью локальных аппроксимаций входящих в них функций решениями м-однородных гипоэллиптических уравнений с частными производными, с последующим применением к описанию множеств устранимых особых точек для решений таких уравнений; нахождение методов эффективного аналитического продолжения вещественно аналитических функций многих переменных в прямолинейно звездные области.

Методика исследования. При исследовании применяются результаты теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории дифференцируемых функций многих действительных переменных и теории суммирования расходящихся рядов.

Научная новизна и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. В ней получены следующие новые результаты:

1. Для непрерывных слабых решений м-однородных уравнений с частными производными доказана теорема о среднем, полностью характеризующая такие решения.

2. Дано полное описание функциональных классов Гельдера — Зигмунда, вмо и классов тйпа Кампонато и типа Морри в терминах

скорости локальных аппроксимаций в интегральных метриках входящих в них функций решениями однородных эллиптических и м-однородных гипоэллиптических дифференциальных уравнений.

3. В терминах мер Хаусдорфа найдены необходимые и достаточные условия устранимости замкнутых множеств особых точек для решений однородных эллиптических дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами из классов Гельдера — Зигмунда.

4. Доказано, что для области в с Кп (п > 2) существует регулярный полунепрерывный метод суммирования рядов Тейлора с центром в точке о е а по однородным полиномам для вещественно аналитических в й функций I, равномерно внутри в суммирующий такой ряд к его функции тогда и только тогда, когда в прямолинейно звездна относительно О.

Полученные результаты могут найти применение в теории дифференциальных уравнений с частными производными, в теории приближений и в теории моногенности.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научном семинаре МГУ по теории ортогональных и тригонометрических рядов под руководством члена-корреспондента РАН П. Л. Ульянова, проф. М. К. Потапова и проф. М. И. Дьяченко, на научном семинаре МГУ по теории приближений и граничным свойствам функций под руководством проф. Е. П. Долженко и проф. Е. А. Севастьянова, на Воронежской зимней математической школе в 1995 г., на Казанской школе-конференции по теории функций и ее приложениям в 1995 г.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка цитированной литературы. Работа изложена на 130 страницах. Список литературы содержит 68 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РА60ТЫ

Во введении дан исторический обзор известных результатов по

теме работы и сформулированы ее основные результаты.

В главе 1 рассматриваются теоремы типа теорем о среднем для решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Всюду далее м=(м, ...,м) — вектор с натуральными

1 л

компонентами, наибольший общий делитель которых равен единице, |м| := м +...+М.

i п

Сопоставим каждому полиному P(z) (z = (z,...,z)eCri)

i n

дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами P(D),

полученный заменой на при каждом k = 1, ..., п. Полином

к

p(z) (оператор p(d)) называется м-однородным, если существует

такое 1 € IN := {О, 1, ...}, что P(z) = У a, z , где сумма о '— к

берется по множеству всех таких мультииндексов k = (k , ...,к)бШп, что |км I : = к М + ...+кМ =1,

1 по 11 п п

к к к

z := z ...z \ Для любого (не обязательно М-однородного)

1 п

полинома P(z) s Y2. Z 0 через deSMp обозначается величина

sup |км|, где sup берется по всем мультииндексам к с а^ * 0. Если P(z) = О, ТО deg^P := 0.

Пусть м — комплексная борелевская мера с носителем на занкнутом единичном шаре В с Kn (n > 1), F^ — соответствующий

мере ¡j функционал в пространстве Шварца (Kn), p(d) — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами в К". Для всех г>0 и t = (t,...,t)€(Rn положим

1 п

м м

Ml п

г ■t := г t + ... + г t . Будем говорить, что мера ц и

1 п

(целочисленный) вектор М характеризуют решения уравнения Р(D)f = о, если для любой области G с 0?п и для каждой функции

u € С(G) эквивалентны следующие условия: i)

u(x + ГМ- t )dp(t ) = 0

при всех таких г > 0 и х € G, что {х + rM-t: t е В} с G; 2) и — слабое решение уравнения P(D)f = о в G. В принятых обозначениях сформулируем основной результат главы 1.

Теорема 1.2. Для того чтобы мера ¿j и вектор м характеризовали решения уравнения P(D)f = О необходимо и достаточно, чтобы полином Р был М-однородным, a F = P(-D)T, где Т € D' (Кп) — некоторое распределение с носителем на В и с

т(0) * о.

При М = (1, ..., 1) теорема 1.2 дает отмечавшийся выше результат JI. Зальцмана.

Приведем определения, необходимые для формулировки результатов второй главы. Всюду далее P(D) — м-однородный гипоэллиптический линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, de£Mp > Для всех х € fff и г > о через в (х,г) обозначается множество {х + rM-t: t е В}, которое мы назовем замкнутым м-шаром, внутренность в (х,г) такого множества назовем открытым м-шаром. Пусть 1 < р < со, G — область в [Rn (n > 1), h(t) —непрерывная положительная функция, определенная при о < t < i, такая, что t'M'/ph(t) * о при t * о, к <=

Обозначим через и (м, p(d), g, h) (i < p < со) множество всех p

функций f e L (G), обладающих следующим свойством: существует не р

зависящая от х и г величина с > О, при которой для каждого М-шара

в (х,г) с G найдется такая функция u е L (в (х,г)), что М р м

Р(D)и = 0 внутри Вм(х,г) И

If(У) - U(y)|pdy

В ( х , г )

м

1/р I I

< Cr1 h(г) . Если Р = со, то в

этом определении последнее неравенство заменяется на неравенство sup vrai |f(y) - u(у)I < Ch(r). Аналогичным образом определяются

у € В ( х , г > M

анизотропные классы Кампонато £р(М, k, G, h) (1 < р < со),

разница состоит лишь в том, что функция и должна быть многочленом с deg^u < к. Если 1 < р < со, то анизотропный класс Морри

V (м, G, h) определяется как множество всех таких функций р

f е L (G), что при некотором с = c(f) > о для каждого м-шара р

в (х,г) с G справедливо неравенство

|f(y)|Pdy

В < X , г > M

1/р I I

< Сг' 'yph(r) (подчеркнем, что с не

зависит от х и г). Следуя С. Г. Крейну, Ю. И. Петунину и Е. М. Семенову сопоставим функции h ее функцию растяжения

f(t )

И (s) := sup ——г- (s > 0), где sup берется по множеству всех h f (t2)

таких t , tz е (0, l), что t^ = st2 (эта функция может принимать

значение + оо). Если в каждой области с с üf (n > 1) задан

некоторый класс h(g) функций, определенных в g, причем

(G с G ) ** (н(G ) d н(G )) для любых областей G , G с к", то 12 12 12

через н(g; loe) обозначается множество всех функций f,

определенных в G, обладающих свойством: для любой точки х е G

существует окрестность О, х е О с G, такая, что f е н(О).

В принятых обозначениях сформулируем основные результаты главы 2.

k+i

Теорема 2.2. Если h возрастает и И (s) = o(s ) при

h

s -» 00, ТО и (М, Р(D) , G, h; loe) с Ü (М, k, G, h; loe). P Р

Теорема 2.3. Если р < со и функция h не возрастает,

то и (М, P(D), G, h; loe) С Z (М, 0, G, h; loe). P P

Следствие 2.3.1. Если м = (i, ..., 1), p(d) —

однородный эллиптический оператор, h(t) н 1, то класс и (м, Р(D), G, h; loe) совпадает с классом вмо(G; loe).

Теорема 2.4. Если р < со, функция h убывает и

И (s) = о(1) при s -» со, то класс и (М, P(D), G, h; loe) h p

совпадает с классом v (м, G, h; loe).

p

В теоремах 2.2 — 2.4 сформулированы только первые части.

Вторые части этих теорем относятся к случаю G = öf и имеют вид

теорем вложения соответствующих функциональных пространств.

Пусть d > о, [d] и {d} — соответственно целая и дробная

части d = [d] + {d}. Через Ad(G) обозначается множество всех

таких функций f е c(G), что: при нецелом d функция f [d] раз

непрерывно дифференцируема в G, и все ее частные производные

порядка [d] принадлежат классу Lip (g)¡ при целом d функция f

<d>

([d] - 1) раз непрерьвно дифференцируема в G, и все ее частные производные порядка ([d] - l) принадлежат классу Зигмунда Z(G). Как обычно, две локально интегрируемые функции, различающиеся лишь на множестве лебеговой меры нуль, считаются равными.

Т е о р е н а 2.6. Если м = (1, ..., 1), p(D) —однородный эллиптический оператор порядка ш>0, 1 < р < оо, h(t) = td

(О < d < ш), то класс и (м, P(D), G, h; loe) совпадает с классом

р

Ad(G; loe).

В работе рассматривается также случай d = m, случай d > m исчерпьюается результатами Б. Ж. Ищанова.

Теорема 2.7. Пусть м= (1.....i), P(D) —

однородный эллиптический оператор в Кп (п > 2), h — функция типа модуля непрерывности. Тогда для того чтобы любая функция

f е и (м, P(D), G, h; loe) после, возможно, переопределения на р

некотором множестве нулевой лебеговой меры в области G была там непрерывной функцией, которая на каждом компактном подмножестве

к с в имеет модуль непрерывности ши; Г, к) = О(Ь(I)) при г -> О, необходимо и достаточно, чтобы при р < оо выполнялось

условие

h( t ) t-1dt + и-

h(t)t~2dt = 0(h(u) ) , a при p = со

о

1

u.Jb

условие u • ! h( t ) t~Zdt = o( h ( u ) ) (u 0).

Сформулируем некоторые результаты главы 3. Следуя работам Й. Крала, определим внешнюю (м,g)-меру Хаусдорфа следующим образом. Для непрерывной неубывающей функции g(t) (о < t < 1) и множества Е с Rn (n > 1) (внешней) (M,g)-мерой Хаусдорфа множества Е mesM называется конечный или равный + со предел

при t -» 0 величины inf gtr^jj, где inf берется

по всем не

более чем счетным системам открытых м-шаров (в (х, ,г, )} с г, < t,

M k к к

образующих покрытие множества Е. При м = (i, ..., l) (M.g)-Mepa Хаусдорфа совпадает с введенной выше обычной g-мерой Хаусдорфа.

Пусть по-прежнему P(D) — м-однородный гипоэллиптический оператор с постоянными коэффициентами в Rn (n > 1), m = deg^p > о, к — замкнутое множество в области G с Rn.

Теорема з.з. Пусть h(t) — непрерывная положительная функция, определенная при О < t < 1, такая, что функция g(t) := h(t)t'M'~m не убывает на (0, 1). Для р(Б)-устранимости множества к в классе и (м, P(D), G, h; loe) необходимо и

достаточно, чтобы выполнялось условие mes к = 0.

M, g

Как отмечалось выше, в случае м = (1, ..., 1) (в этом случае оператор P(D) является однородным эллиптическим) теорема 3.3 доказана Б. Ж. Ищановым. Из этой теоремы Б. Ж. Ищанова и теоремы 2.6 вытекает, что если М= (1, ..., i), P(D) —однородный

эллиптический оператор порядка ш > О, число d > О выбрано так, что 0<n-m+d<n, то для P(D)-устранимости множества к в классе Ad(G; loe) необходимо и достаточно, чтобы было выполнено

n-m+d.

условие mes К = 0.

Перейдем к главе 4. Основным результатом здесь является следующая теорема, представляющая собой вещественный многомерный аналог приведенной выше теоремы Н. У. Аракелена.

Теорема 4.1. Пусть D — область в ü^1 (п > 2), х s D.

о

Для существования такого регулярного полунепрерывного метода А,

что для любой вещественно аналитической в D функции f ее ряд по

однородным полиномам с центром в точке xq суммируется методом А к

f(х) равномерно внутри D, необходима и достаточна прямолинейная

звездность области D относительно точки х .

о

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю профессору Е. П. Долженко за постановки задач, их обсуждение и постоянную поддержку в работе.

ПУбЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Покровский А. В. Об одном эквивалентном определении классов Гельдера — Зигмунда в многомерных областях // Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики: Тезисы докладов школы. — Воронеж: ВГУ, 1995,

с. 191.

2. Покровский А. В. Об устранимых особенностях решений линейных дифференциальных уравнений с частными производными в классах Зигмунда // Теория функций и ее приложения: Тезисы докладов школы-конференции. —Казань: Изд-во Казанский фонд "Математика", 1995, с. 53.

3. Покровский А. В. Аналитическое продолжение и сверхсходимость рядов однородных полиномов // Матем. заметки, 1996, т. 60, вып. 5, с. 708-714.