Аппроксимация типа Мюнца-Саса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 517.538.2

Краснобаев Игорь Олегович АППРОКСИМАЦИЯ ТИПА МЮНЦА-САСА

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ 4856101

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2010

2 4 0-3

4856101

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор

Седлецкий Анатолий Мечиславович. доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Буслаев Виктор Иванович, кандидат физико-математических наук, доцент

Шерстюков Владимир Борисович. Московский Технический Университет Связи и Информатики.

Защита диссертации состоится 4 марта 2011 г. в 16 час. 40 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском Государственном Университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 4 февраля 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Сорокин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Тематика работы берет начало в известных теоремах Мюнца1 и Caca2. Данными авторами рассматривается проблема описания полных систем степеней {zM"}£Li в пространствах Со [0,1] (пространстве непрерывных на отрезке [0,1] функций /(я), таких что /(0) = 0) и 1/(0, 1).

С течением времени данная проблема, называемая теперь проблемой Мюнца-Саса, трансформировалась в эквивалентную проблему описания полных систем из экспонент

в пространствах Со (пространстве непрерывных на [0, оо) функций с sup -нормой, для которых lim f(x) = 0) и LP на полупрямой R+. Преимуще-

ство такой переформулировки проблемы заключается в возможности применения аналитических методов и методов функционального анализа, дающих наиболее полные результаты, хотя при этом приходится ограничиться показателями р > 1. Представляет интерес описание полных систем и в других функциональных пространствах на полупрямой, в частности, в весовых пространствах.

Развитию теории способствовали работы Р.Пэли и Н.Винера, Н. Левинсона, Л. Шварца, М. Грама, А. Зигеля, A.M. Седлецкого, П. Боруайна и Т. Эрдели, В.И. Ладыгина и других математиков, что привело к целому ряду значительных достижений.

Отправной точкой в нашем изложении является условие Caca

Известно, что условие (2) достаточно для полноты системы (1) в LP, р ^ 2 и в Со и необходимо для ее полноты в I/, 1 < р < 2. В частности, система (1) полна в L2 тогда и только тогда, когда выполнено условие (2). Данное утверждение при р = 2 составляет содержание известной теоремы Саса, переформулированной для системы (1).

'Müntz Ch. Ober den Approximationssatz von Weierstrass H.A. Schwartz Festschrift. — Berlin: Негтапл, 1914. - P.303-312.

2Szäzs 0.. Über die Approximation stetiger Functionen durch lineare Aggregate von Potenzen // Math. Ann.

- 1916. - V.77. - P.482-496.

{е-А"4}л„бЛ, л = {Л„ € С : ReAn > 0}.

(1)

X—t+oo

(2)

Условие (2) при 1 < р < 2 не является достаточным (М. Грам3). Вопрос о необходимости условия (2) при р > 2 открыт.

В случае пространства Со, условие (2) не является необходимым (А. Зи-гель4). Этот факт заостряет интерес к задаче отыскания необходимых условий полноты системы (1) в пространстве Со-

Первым содержательным результатом в этом направлении является необходимое условие Caca2:

ReA„ + l -;—гг =

„-1 1 + М2

Зигелю4 удалось улучшить результат, однако, более тонкое необходимое условие было получено Н.Левинсоном5. А именно,

Теорема А. Пусть в{х) — положительная, неубывающая при х ^ 0 функция с условием

ос

9(х)

1 + х-

Если система (1) полна в Со и LP, р> 2, то ^ Re An + ехр(—g(|A„j)) k

dx < oo. (3)

= oo.

Необходимое условие, полученное Зигелем, содержится в Теореме Левин-сона при 8(х) = 0 < а < 1.

Необходимое условие Теоремы А является более содержательным, чем необходимое условие Caca в том случае, когда единственной предельной точкой последовательности Л является бесконечно удаленная точка. (Если последовательность Л ограничена, то это условие, в сущности, ничем не отличается от необходимого условия Caca).

Теорема А была распространена A.M. Седлецким6 на случай конечного числа предельных точек последовательности А на мнимой оси, одна из которых, возможно, совпадает с бесконечностью. А именно, если последовательность А = {An : Re А„ > 0} имеет вид

А = A00 U A1 U... U Лт,

3Grum М. On the theorems of Müntz and Szizs. Corrigendum and Addendum// J. London Math. Soc. — 1957.-V.32. - P.517.

'Siegel A. On the Müntz-Szäsz theorem for C[0,1]// Proc. Amer. Math. Soc. -1972. -V.36. - P. 161-166.

5Levinson N. On the Sz&sz-Müntz theorem. // J. Math. Anal. Appl. — 1974. — V.48. — P.264-269.

'Седлецкий A.M. Классы, аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. — Москва: Физм&тлит. — 2005 г.

где

Л* = {An,í; : An,it ijk,n-* oo,7fc £ , к = l,...,m, A00 = {An,oo : A„,oo -* oo, n -> oo}^,

a — неотрицательная, неубывающая при x ^ 0 функция, удовлетворяющая условию (3), то из полноты системы (1) в Со и Lp, р > 2 следует, что

An,ос + ехр(—0(|Ап,оо|)) 1 + |Ап,ооР

Все упомянутые необходимые условия содержательны в случае не более чем конечного множества предельных точек последовательности Л на мнимой оси. Естественно, представляет интерес вопрос о необходимом условии (столь же содержательном) для множества предельных точек большей мощности.

В данной работе в Главе 1 продолжается отыскание необходимого условия полноты системы (1) в пространствах LP, р > 2 и Со- А именно, рассматривается случай, когда множество предельных точек последовательности Л на мнимой оси счетно и отделимо.

Как уже отмечалось, условие Caca (2) не является необходимым для полноты системы (1) в пространстве Со (при произвольном расположении точек Л). Однако, как показывает Теорема A.M. Седлецкого7, если

00

[ log dist (¿y, A) ...

J -1 + y2 dУ > (4)

—00

то условие (2) является необходимым. Доказательство этого факта существенно опирается на описание нулей функций класса А°° в круге, то есть класса всех не тождественных аналитических в единичном круге функций, все производные которых ограничены в нем. А именно, если ввести обозначения D = {z : |z| < 1}, Т - {z : |z| = 1}, то для того, чтобы замкнутое множество Z С D = DUT являлось множеством нулей функции / 6 А°°, необходимо и достаточно, чтобы множество Z Г\ D = {ricelSk}:g=1 удовлетворяло условию Бляшке в круге:

оо

- Г*) < ОО

к=1

'Седлецкнй A.M. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. — Москва: Физматлит. — 2005 г.

и выполнялось следующее условие

/я-

log dist (eiS, Z) d9 > —оо. (5)

■it

Данное утверждение доказано Тэйлором и Вильям сом8.

Нельсон9 дал описание нулей функции класса А00 в другом виде

Теорема В. (J.D. Nelson) Для того, чтобы замкнутое множество

Z С D = D\JT

являлось множеством нулей функции / 6 А00, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия

1. множество Z C\D — {г^е19*}^ должно удовлетворять условию

ОО

-rk) < 00,

k=1

2. множество М = (Z П Г) U {ег6к} является множеством Карлесона.

f

J—n

При этом под множеством Карлесона понимается замкнутое множество М меры нуль на единичной окружности, для которого

fir

log dist (eie, M)d9>- 00. (6)

-■n

Разница представленных утверждений в том, что условие (5) на последовательность Z перешло в условие (6), накладываемое на множество М — множество радиальных проекций точек последовательности Z на единичную окружность.

В связи с этим был поставлен вопрос: можно ли в Теореме A.M. Седлец-кого условие (4) заменить условием, аналогичным условию Карлесона для полуплоскости, которое принимает вид

оо /

log dist {гу,{йт\п})^

--dy > -оо. (7)

Ответ прост. Так как dist(iy, An) ^ dist (iy,ilm\n), то в классе последовательностей Л = {А„ : ReA„ > 0}, для которых выполняется условие (7),

'Taylor В.А. and Williams D.L., Zeros of Lipschitz functions analytic in the unit disc// Michigan Math. J. -1971.-V.18.-P.129-139.

'Nelson, J.D. A characterization of zero sets for /""//Michigan Math. J. — 1971. — V.18. — P. 141-147.

условие (2) необходимо для полноты системы е(Л) в пространстве Со. Тем не менее, переход от условия (4) к условию (7) послужил толчком к работе в следующем направлении.

Обозначим через Л°°(Нег > 0) класс всех не тождественных аналитических в правой полуплоскости функций, ограниченных в ней вместе со всеми своими производными. Сформулированное выше утверждение дает повод рассматривать задачу описания нулей функций класса .Л^Нег > 0) (как самостоятельную задачу), как через точки Ап, так и через их проекции на мнимую ось. Отчасти, поставленная задача объясняется и желанием получить для полуплоскости аналог Теоремы Нельсона.

При конформном отображении правой полуплоскости на единичный круг, ортогональные проекции точек Ап на мнимую ось не перейдут в радиальные проекции их образов на единичную окружность, что и объясняет сложность распространения Теоремы Нельсона на полуплоскость. В Главе 3 получено описание нулей функций Ах в полуплоскости через условие Бляшке на них и условие на проекции данных нулей на мнимую ось.

В работе также рассматривается вопрос о полноте системы (1) в весовых пространствах на полупрямой.

Пусть ги^) — вес на (то есть измеримая по Лебегу, почти всюду положительная функция на Через Ь^ обозначаем пространство измеримых (относительно меры на функций с нормой

К настоящему моменту наиболее изученным (с точки зрения полноты) является случай степенного веса: w(t) = ¿Q, а > —1. Так, известно, что условие Caca

является необходимым условием полноты системы (1) в пространствах

и является достаточным для полноты данной системы в пространствах

1/р

, 1 < Р < 00.

Ца, р > 1, а > max(0,p - 2)

Ца, р > 1, -1 < а. ^ min(0,p - 2).

Однако, также известно, что условие (8) не является достаточным для полноты системы (1) в пространствах

Ца, 1, а>тт(0,р/2-1) и не является необходимым для полноты системы (1) в пространствах

Ц., р>1, -1<в<тш(0,р/2-1). (9)

В связи с этим, в частности, возникает вопрос об отыскании необходимых условий полноты системы (1) в пространствах (9). В Главе 2 получено такое условие в случае, когда р = 2, -1 < а < 0, при некотором ограничении на расположение точек Л.

Цель работы

• Исследовать проблему описания полных систем из экспонент в пространстве Со на полупрямой и получить необходимое условие полноты системы экспонент е(Л) в указанном пространстве в случае, когда мощность множества предельных точек последовательности Л на мнимой оси более чем конечна.

• Исследовать проблему описания полных систем из экспонент в весовых пространствах интегрируемых функций.

• Описать нули функций класса А00 в полуплоскости через их проекции на мнимую ось.

Научная новизна

В диссертации получены следующие новые результаты

• Найдено необходимое условие полноты систем экспонент е(Л) в пространствах Со и V, р > 2 на полупрямой в случае, когда множество предельных точек последовательности Л на мнимой оси счетно и отделимо.

• Найдено необходимое условие полноты системы экспонент е(Л) в весовых пространствах 1^^ на полупрямой, где ю(х) = 1(х)ха, -1 < а < О, 1(х) — медленно меняющаяся функция, при определенных ограничениях на расположение точек Л.

• Получено описание нулей функции класса А°° в полуплоскости через условие Бляшке на них и условие на их проекции на мнимую ось.

Методы исследования

В работе применяются методы комплексного анализа и теории аппроксимации.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в дальнейших исследованиях по теории аппроксимации и комплексному анализу.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались

• на семинаре механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова "Негармонический анализ" под руководством профессора A.M. Седлецкого (2004-2010 гг.).

• на семинаре механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова "Тригонометрические и ортогональные ряды" под руководством профессора Т.П. Лукашенко, профессора М.И. Дьяченко, профессора В. А. Скворцова, профессора М.К. Потапова (декабрь 2010 г.).

• на Воронежской зимней математической uiKdne "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (г. Воронеж, январь 2007 г.).

• на международной конференции "Ломоносов 2010" (г. Москва, апрель 2010 г.).

• на международной конференции "Математическая физика и ее приложения" (г. Самара, август 2010 г.).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора. Их список приведен в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых в общей сложности на 4 параграфа. Объем диссертации 70 страниц. Список литературы включает 23 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дал краткий обзор по теме диссертации, сформулированы рассматриваемые в диссертации задачи и изложены основные результаты.

Глава 1 диссертации посвящена задаче отыскания необходимого условия полноты системы

{е-А"4}А„еЛ, Л = {Ап € С : Re А„ > 0}

в пространствах Со и V на полупрямой, р > 2 в случае, когда множество предельных точек последовательности {Ап} на мнимой оси счетно и отделимо. В параграфе 1 приведены вспомогательные утверждения, используемые в данной главе.

В параграфе 2 сформулирован и доказан основной результат первой главы.

Теорема (1.1). Пусть последовательность

Л = {An : ReÀ„ > 0}

имеет вид

А = Л1 U Л2 U... U Л* U ...,

где

Л* = {An.fc}^j, \п,к ilk, п -> оо, при этом числа ^ £ R таковы, что

inf |7„ - 7m| = р > 0.

пфт

Пусть в(х) — неотрицательная, неубывающая при х ^ 0 функция, удовлетворяющая условию

00

f в(х) J

/ „ах < оо.

J 1 + z2 о

Тогда, если система

е(Л) = {е"А"( : Ап 6 Л}

полна в Со или ¿/(R4"), р > 2, то для всякой неотрицательной последовательности а^ G 11 выполняется условие

çç (ReA^+exp H (ÏCT)))=

Теорема (1.1) доказана в диссертации с помощью модификации доказательства Левинсона Теоремы А.

Глава 2 диссертации посвящена отысканию необходимого условия полноты системы

е(А) = {е-^КбА, А = {An е С : Re An > 0}

в весовом пространстве L^ на полупрямой с весом

w(t) = l(t)ta, -1 < q < О,

где l(t) — медленно меняющаяся функция (на бесконечности), то есть положительная, измеримая при t > А > 0 функция такая, что при любом вещественном А > О

lim -jr-f = 1.

t-oo l(t)

В параграфе 1 приведены основные вспомогательные определения и утверждения. В параграфе 2 сформулировано и доказано необходимое условие полноты системы е(А) в пространствах w(t) = l(t)ta, — 1 < а < 0:

Теорема (2.1). Пусть — 1 < а < 0. Пусть дана последовательность \ne{w: Imw€ [АьЛ2], 0<Rew< А}, АьА2бМ, А £ R+ и медленно меняющаяся функция l(t) такая, что

Тогда, если система экспонент е(А) = {e-Ant: А„ 6 А} полна в L^ta) то

(ReXn)1+a

£

» 1(шк)

= оо.

В главе 2 показано, что условие (10) выполняется для достаточно широкого класса функций. В частности, оно верно для функций

l{t) =ln7i, 7 е R, t > tQ,

а также для всевозможных степеней итераций логарифма.

Теорема (2.1) доказана с помощью применения результата Шапиро и Шил-дза10 о нулях аналитических функций в круге специального вида.

10Shapiro H.S. and Shields A.L., On the zeros of functions with finite Dirichlet integral and some related function spaces// Math. Z. - 1962.-V.80. - P. 217-229.

В случае, когда последовательность А„ ограничена, то есть удовлетворяет условиям Теоремы (2.1), условие Caca, о котором говорилось ранее, принимает вид:

= 00.

п

Как уже говорилось, оно не следует из полноты системы е(Л) в пространстве Ца, — 1 < а < 0. Однако, как показывает частный случай Теоремы (2.1) в случае, когда l(t) тождественно равна 1, из полноты системы экспонент е(Л) в пространстве L\a, — 1 < а < 0 следует условие, которое учитывает параметр а. А именно,

£(ReAn)1+Q = co.

В порядке выяснения точности показателя 1+а, присутствующего в сформулированной выше теореме, в параграфе 2 доказано, что он является точным, если вместо пространства Lf^ta рассмотреть подпространство в Ца, состоящее из функций, сохраняющих постоянные значения на интервалах вида (п,п+ 1).

В данном параграфе также доказано следствие Теоремы (2.1), предлагающее необходимые условия полноты системы е(Л) в

пространствах L/¿a при

1 р < 2, -р/2 < а < 0:

Следствие (2.1). Пусть дана последовательность Л = {Ап} такая, что

Хп С {w : Imtu € [Л^Лг], 0 < Rew < Л}, АиА2 6 R, А € R+. Если система

е(Л) = {е-А"( : Ап € Л} полна в пространстве Ца при

1 Р < 2, < а < О,

то

^(ReAn)1+2^ = оо.

п

Глава 3 диссертации посвящена вопросу описания нулей функций класса Ах в полуплоскости через условие Бляшке на них и условие на их проекции на мнимую ось.

Пусть дана последовательность

Л = {Ап € С : ReAn > 0}.

Условие Бляшке для последовательности Л выглядит следующим образом:

ÇïTKF<- <">

а условие на проекции последовательности Л на мнимую ось выглядит следующим образом:

f log dist {у, {Im An}) ^ > -00 (12)

J 1+ У

s.

В диссертации сначала доказана следующая теорема: Теорема (3.1).

Если последовательность А удовлетворяет условиям (11) и (12), то существует функция /, принадлежащая классу j4°°(Rez > 0) и обращающаяся в 0 в точках А.

Если для любой последовательности Л' = {AJ,} такой, что

ImA; = ImAn, S г +^¡2 <

существует функция / е Ax(Rez > 0), обращающаяся в 0 в точках А', то последовательность А удовлетворяет условиям (11) и (12).

Теорема (3.1) является аналогом Теоремы Кограна11 для круга, которая доказана в диссертации для полуплоскости. Она может быть улучшена при дополнительном требовании к последовательности Л, что и является основным результатом этой главы, заключенным в следующей теореме:

Теорема (3.2). Пусть дана последовательность

А = {Ап € С : 0 < ReAn < А € К+}.

Тогда последовательность А является множеством нулей функции из класса Л00 (Re г > 0) тогда и только тогда, когда выполнены условия (11) и (12).

Теорема (3.2) доказана в диссертации с помощью модификации доказательства Теоремы В, предлагающей описание нулей функций класса А00 в круге. Потребность в модификации указанного доказательства была вызвана тем фактом, что при конформном отображении круга на полуплоскость, радиальные проекции точек единичного круга на единичную окружность не переходят в ортогональные проекции образов данных точек на мнимую ось,

"Caughran J.G. Zeros of analytic functions with infinitely differentiable boundary values//Proc. Amer. Math. Soc. - 1970. - V.24. - P.700-704.

а значит нельзя утверждать тот факт, что условия на радиальные и ортогональные проекции при конформном отображении перейдут друг в друга.

Теорема (3.2) являлась бы аналогом Теоремы В, доказанной Нельсоном, если бы не дополнительное требование к расположению точек Ап в виде ReAn< А 6К+.

Показано, что условие Re An < А € К+ является существенным для справедливости Теоремы (3.2). А именно, доказано, что последовательность

А„ = п2 + ilogn

является множеством нулей некоторой функции из класса Л°°(Кег > 0), но при этом для нее не выполняется условие (12).

Благодарности

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю, профессору, доктору физико-математических наук Анатолию Мечиславовичу Седлецкому за постановку задач, помощь в различных вопросах и постоянное внимание к работе.

Список работ автора по теме диссертации

[1] Краснобаев И. О. Необходимое условие полноты системы {e-Ani | ReÀn > 0} в пространствах С0(М+) и Ь^КД р > 2. // Математические заметки, 2008, том 83, вып. 6, стр. 831-842.

[2] Краснобаев И. О. Необходимое условие полноты системы экспонент в пространстве L\, -1 < а < 0. // "Депонированные научные работы", № 12, 2010. Москва: ВИНИТИ 20.10.2010, № 607-В2010 - 13 с.

[3] Краснобаев И. О. Необходимое условие полноты системы {e~Xnt | ReAn > 0} в пространствах С0(К+) и Lp{К+), р > 2. // Тезисы докл. Воронежской зимней математической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж: ВГУ, 2007. С. 249.

[4] Краснобаев И. О. Условие на мнимые части точек последовательности как критерий полноты системы экспонент в пространствах Со и LP. // Материалы международной конференции "Математическая физика и ее приложения". Самара: Книга. — 2010 г. — С. 183.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж /с¿«экз. Заказ № ^

Введение

Глава 1. Необходимое условие полноты системы экспонент в пространствах Со и 17(Ж+), р > 2.

1. Вспомогательные утверждения.

2. Необходимое условие полноты.

Глава 2. Аппроксимация типа Мюнца-Саса в весовых пространствах.

1. Вспомогательные утверждения.

2. Необходимое условие полноты системы экспонент в весовых пространствах.

Глава 3. Описание нулей функции класса А°° в полуплоскости через их проекции на мнимую ось.

Работа посвящена исследованию полноты систем экспонент в различных функциональных пространствах на полупрямой.

Известная теорема Вейерштрасса о плотности в пространствах №{О,1) и С[0,1] алгебраических полиномов может быть переформулирована как утверждение о полноте системы степеней {хп : п = 0,1,.} в соответствующих пространствах.

В 1914 г. Мюнц рассмотрел более общую систему цп £ Ж и нашел условие ее полноты в пространствах L2(0,1) (когда —1/2 < < /¿i <-ц2 < ., iin —> +оо) и когда 0 < /¿1 < /¿2 <••.). В своей работе [16] (см. также [1]) Мюнц доказал, что в случае пространства Со[0,1] полнота имеет место тогда и только тогда, когда

Появление пространства Со[0,1] вместо С[0,1] вызвано тем, что в данном случае все функции системы (1) обращаются в 0 в точке х — 0; можно заменить Со на С, присоединив к системе (1) функцию, тождественно равную единице.

Если ограничиться выше указанными требованиями к последовательности то для пространств Ь2 и Со теорема Мюнца обладает полной завершенностью. Однако, вполне естественно рассмотреть не только произвольные вещественные, но и комплексные показатели, а также всю шкалу пространств Ьр(0,1), накладывая на показатели степеней в начале лишь условие принадлежности всех функций системы (1) пространствам 1Р и Со- Очевидно, эти условия таковы:

Именно эту общую ситуацию при р = 2 рассмотрел Сас [22] (см. также [1]), доказавший, что если Re/in > —1/2, то система (1) полна в L2(0,1) тогда и х^Упек

1)

Со[0,1] = {/еС[0,1]:/(0) = 0}

Re/in > —1/р, 6 LP, Re цп > 0, £ С0. только тогда, когда

Re fin + 1/2 i + ы» =0° оо. и Со[0,1] (идущая от теорем Мюнца и Caca) может быть переформулирована (замена х = ехр(—¿)) как задача описания полных систем из экспонент в пространствах LF — Lp(0, +оо) и Со — пространстве непрерывных на [0, со) функций с sup-нормой, для которых

По виддмому переформулировка в таком явном виде впервые появилась в [18] в книге Пэли и Винера. Начиная с этого момента будем иметь дело только с системой (2). Преимущество такой постановки задачи объясняется возможностью применения аналитических методов и методов функционального анализа, дающих наиболее полные результаты, хотя при этом мы вынуждены и ограничиться показателями р ^ 1.

Развитию данной тематики способствовали работы Р. Пэли и Н. Винера, Н. Левинсона, Л. Шварца и других математиков.

Отправной точкой в нашем изложении будет условие

Верна следующая теорема (см. [19])

ТЕОРЕМА А. Условие (3) достаточно для полноты системы (2) в LP, р ^ 2 и в Со, и необходимо для ее полноты в W, 1 ^ р ^ 2.

В частности, система (2) полна в L2 тогда и только тогда, когда выполнено условие (3).

Утверждение данной теоремы при р = 2 — это теорема Caca [22], переформулированная для системы (2). Условие (3) при 1 ^ р < 2 не является достаточным (М. Грам, [13], [14]), а в случае пространства Со не является необходимым (А. Зигель, [21]). Вопрос о необходимости условия (3) при р > 2 открыт.

1. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. — Москва: Наука. — 1965 г.

2. Краснобаев И. О. Необходимое условие полноты системы {е-А*4 | ReAn > 0} в пространствах С0(Е+) и LP(R+), р>2. // Математические заметки. — 2008 г. — том 83, вып. 6. — стр. 831-842.

3. Краснобаев И.О. Необходимое условие полноты системы | ReAn > 0} в пространствах Co(R+) и LP(R+), р > 2. // Тезисы докл. Воронежской зимней математической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж: ВГУ. — 2007 г. — С. 249.

4. Краснобаев И. О. Условие на мнимые части точек последовательности как критерий полноты системы экспонент в пространствах СО и Lp. // Материалы международной конференции "Математическая физика и ее приложения". Самара: Книга. — 2010 г. — С. 183.

5. Краснобаев И.О. Необходимое условие полноты системы экспонент в пространстве L^,—1 < а < 0.//"Депонированные научные работы", № 12, 2010. Москва: ВИНИТИ 20.10.2010, № 607-В2010

6. Седлецкий A.M. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации.Москва: Физматлит. — 2005 г.

7. Седлецкий A.M. К проблеме Мюнца-Саса для пространства CjO,lj//Тр. МЭИ. — 1975 г.—Вып. 260.- С. 89-98.

8. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. — Москва: Наука. — 1985 г.

9. Boas R.P. Entire functions. — New York: Academic Press. — 1954.

10. Carleson Lennart A representation theorem for the Dirichlet integral//Math. Z. — 1960. — V.73. — P. 190-196.

11. Caughran J.G. Zeros of analytic functions with infinitely differentiable boundary values//Proc. Amer. Math. Soc. 1970. - V.24. - P.700-704.

12. Grum M. On the theorems of Miintz and Szazs// J. London Math. Soc. — 1956—V.31. — P.433-437.

13. Grum M. On the theorems of Miintz and Szazs. Corrigendum and Addendum// J. London Math. Soc. — 1957.-V.32. P.517.

14. Levinson N. On the Szdsz-Muntz theorem. // J. Math. Anal. Appl. — 1974. — V.48. — P.264-269.

15. Miintz Ch. Uber den Approximationssatz von Weierstrass H.A. Schwartz Festschrift. — Berlin: Hermann, 1914. P.303-312.

16. Nelson, J.D. A characterization of zero sets for A°°//Michigan Math. J. — 1971. — V.18. — P. 141-147.

17. Paley R. and Wiener N. Fourier transforms in the complex domain. — New York: Publ. Amer. Math. Soc., 1934.

18. Schwartz L.Etude dcs sommes d'exponentielles reelles. — Paris: Hermann, 1943.

19. Shapiro H.S. and Shields A.L., On the zeros of functions with finite Dirichlet integral and some related function spaces// Math. Z. — 1962—V.80. — P. 217-229.

20. Siegel A. On the Muntz-Szasz theorem for G0,1]// Proc. Amer. Math. Soc. —1972. —V.36. P. 161-166.

21. Szazs O., Uber die Approximation stetiger Functional durch lincare Aggregate von Pote.nzc.ri // Math. Ann.- 1916. V.77. - P.482-496.

22. Taylor B.A. and Williams D.L., Zeros of Lipschitz functions analytic in the unit disc// Michigan Math. J.1971. V.18. - P. 129-139.