Априорные оценки и гипоэллиптичность некоторых классов псевдодифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НИЖЕГОРОДСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.И.ЛОБАЧЕВСКОГО

На правах рукописи ОЮЛКИН Георга* Александрович

АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И ПШОЭЛЛИПТИЧГОСГЬ НЕКОТОРЫХ КЛАСООВ ПСЕВДОДШЕРШИАДЬШ ОПЕРАТОРОВ

01.01.02 - хяффбрекциаивые ура;нения

4 BÏ О Р1Ф ЕР AÏ диссертадаге ва соискание ученоа степени кандидата фмико-ютеиагпесмх ваук

ВПШ НОЗП5РОД 199Г

Г&бога выполнена в Московском ордена Дружбы народов государственном университете имена Н.Е.Огарева

Иеучкый дгководшгель:

доктор йизшсо-матеьшических наук, профессор

Егоров Ю. В.

Официальные ошюнентн:

доктор физико-математических наук, профессор

Ездкевяч Е.В.,

кандидат фшико-мазеиагйчвекис наук, доцент

Шашков В.М.

Ведущая организация: - Шсмсут яряивдсной махешивсч имени М.В.Кшяша;АК СССР

Защита, состоится "_"_1991г. в часов

на заседании специализированного совета К 063¿77.01; пр прь"^*-дешш ученой ствпенс кандидата физико-математических наук в Нижегородском ордена {Трудового Красного Знамени государственно университете Н. И-Лобачевскохт» по адресу: 603600; г. Н.Новгород, ГСП-20, сросп. Гагарина,, Z3.

С диссертации & можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета имени Н. И.Лобачевского.

АвтореФеоая разослан " " . . 1991 г.

Учений ,секре*арь -

спедшадизироваяного coserá кандидат. ^изшюнвтематичаоак наук, доцент

В.И.Лукьянов

ОШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ТАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Б книге Хермандера указаны необходимые и достаточные условия гипоэллиптичности дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, ймевгся также несколько взаимосвязанных направлении описания гипоэллиптических операторов с переменными коэффициентами, которым «освящены большие серии работ (см., например ).

В этих работах описание гипозллиптических операторов производится в терминах оценок в пространствах С.Л.Соболева для финитных бесконечно дифференцируемых функция и наложением алгебраических условий на символ оператора.

Возникает естественная задача: распространить аналогичные результаты на более широкий класс операторов, по единоь схеме провести исследование операторов, удовлетворянцих условию Хермандера вне множества меры нуль.

Цель работы - указать в определенном смысле минимальные ограничения на символ оператора, обеспечивающие гипоэллиптичность и заданные априорные оценки в пространствах С.Л.Соболева, в частности неравенства типа Гординга.

1. Груиин В.В. Гипозллиптические дифференциальные уравнения// Мат. Сб. - 1972. - Т.88. Г.504-521.

2. Егоров Ю.В. Субэллиотические операторы// УМН. - 1975. - Т.30. - *2. - С.55-Ш.

3. Радкевич Е.В. Гипоэллнптяческие операторы с кратными характеристиками// Маг. сб. - 1969. - Т.79. - С.193-216.

4. Купцов Л.П. Об одном пространстве функций с интегрируемыми в

- ои степени первыми производными, берущимся по переменным направлениям// !Гр. маг. ин-та АН СССР. - 1968. - Т.103. -С.96-П6.

Методика исследования основана на микролокалиэацм оценок, оделения двух подмножеств рассматриваемой области: множества, р которой оператор удовлетворяет условию Хермаядера а множества, ь которой выполнен;; некоторые априорные оценки в пространствах С.Л.Соболева. Выделение вшаеуказаннюс подмножеств производится с поиопью специального разбиения единицы и принципа замораживания двойственной перемеинои ^ . Далее в рассматриваемых подмножествах используется схемы, предложенные в ■работах6'^* Для псеыюдкЭДеревциальных операторов второго порядка специального вида применяется идеи работ и ^ .

5. лерызндер Л. Лине.-.ные дифференциальные оператора с частными прок5г-одк::ми. - !.'..: Мир, 1965. - 379 с.

6. beals К., Peffemsan С. Spatially inhomogeneous paeudodiffe-rentinl operators, 1// Corou Pure and Appl. l!ath. - 1974»

- Vol.71. - M1. - P. 1-24.

7. Kannai 1'. An unsolvahle hypoelliptic differential operatrrs U Israel Hath. J. - 1979. - Vol.9. - P.306-315.

B. Kezuo T. On the hypoellipticlty of the operator

ai. .x,i)x) + gt*> ¿(XJi(J // Reprinted from Kathematiea

J-iponical. - 1976, - Vol.20. - H4. - i.301-320.

9. Korlmoto i. On a criterion for hypoellipticlty// Proe. Japan Ac&d. - 19B6. - Vol.62. - Я4. - i.137-140,

10. Parent! C., Hodlno L. On general peeudodiffereniial operators // Соивия. Part. Differ. Equat. - 19B0. - Vol.5. - N6. -

P.561-594.

11. Feffei-r.an C., Phong D.H. The uncertainty principle and sharp unrein« inequalities// Сова. Pure and Appl. Math. -1981. - Vol.34. КЗ. - P.285-331.

Научная новизна. В диссертации указаны условия гипоэллиптич-ности вырохдащихся псевдодифференциальных операторов, причел порядок вырождения, в общем случае может быть бесконечный. Построено исчисление специального класса пеевдодифференциальных операторов, позволяадее производить микролокализацип оценок в прос-трат'ствах С.Л.Соболева. Теорема о гипоэллиптичности, доказанная в первой главе, является общей в том смысле, что ея удовлетворят как операторы с неотрицательной характеристической формой, так и операторы со знаком-переменной характеристической формой, в частности, пример Наннаи ^ . Данная теорема сформулирована в терминах расстояния до множества вырождения, что является удобным при проверке операторов на предмет гипоэллиптичности. Для более широкого класса пеевдодифференциальных операторов второго порядка получены аналоги результатов работУсловия накладываемые на символ оператора, ослабить вообще говоря, невозможно. Полученные теоремы обеспечиваю гипоэллиптячность с минимальной потере» производных* Выведен ряд неравенств типа Гординга.

Теоретическая и практическая ценность -работы определяется тем, что результаты работы в какоа-хо мере восполняют пробелы в теории гяпоэллнптических операторов, а также тем, что результаты могут бнть использованы при изучении краевых задач для эллиптических и квазизллкптичеснгх уравнения.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на заседаниях Волго-Вятского регионального семивара/г.Н.Новгород/, на Всесоюзной научной конференции/г.КУйбьшевЛ на огаревских чтениях Мордовского госуниверситета им. Н.П.Огарева.

Вклад автора в разработку проблемы. Исследования по теме диссертации выполнены без соавторов. с

' 3

Публикация. Основные результаты диссертации опубликованы в работах D-S1.

Структуру и объем работы. Диссертация состоит из Введения, двух глав и списка литературы, содержащего 62 наименования. Объем работы - 98 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во Введении хается краткий библиографический обзор и отмечается актуальность темы исследования. Приводится описание содержания диссертации и формулируйся основные положения, заносимые на эациту.

Глава I посвящена нэучению одного класса неизотропных леев-додифференцлальных операторов гицоэллшпичесих по Хермандеру вне некоторого гладкого многообразия.

Приведем определения, необходимые для формулировки наиих результатов; нумерация определенна такая же, xas в основном тексте диссертации:

.. Пусть Lj>í (J-í,.. ^)^^,..v&JeRl К - компакт, принадлежат области

Определение I; Бесконечно дифференцируемая в функция А (£) является весовой с показателями 1_4.»«»>»1-г1. , если существует положительные константы С-« , 0¿ я С^ такие, что при lül^lвыполнены неравенства: д

где U ; <e/,L>'e«/1L1 + ... ■

Определение 2. Символ а(х£) 6 C"TQ *Ra\0) принадлежит классу если для всех мультиивдексов °< , ^ и

каждого компакта К справедливы неравенства:

, где тер , М>Ах'.Са<1^х , Ах- ограниченные

константы на компакте К .

Определение 5. Распределение "¡/¿(х) 6 Б принадлежит пространству Н^ (Р"} » если конечен интеграл:

Лйш^Ъ)^,

где весовая функция с показателями П; нор-

ма функционала И(х)еН^(Рп') определяется следующим образом:

Определение 7. Символ р(ХД)€§!_>о,г-Удовлетворяет условии (НЕ) на множестве если для всех Ы , р

выполнены соотноиения:

'1р(*,ю1 >С*Л 1Ж)Г-,

где константа ограничены для всех (гОК*Рл;

гги.гп^ Р; СхР>(1>0. Здесь К - компакт из

Пусть - такая совокупность векторных палея в Р вида

Определение II. Множество р удовлетворяет условию достижимости в области О» , если для каждой точки хб-О* существует окрестность сол , в которой для любых двух точек # = К>0 найдется упорядочен-

ный набор векторов . . , ¿^(х) из Р , быть может завися-

щий от С и Ь- , но не зависящий от ^ , такой, что ^ и ^'ыож-но соединить дугами интегральных линий дифференциальных систем:

т.е. имеется цепочка пар точекпринадлежащих Р^и таких, чт0X^=1^. , ~ ^ * ПРИ этом точкиХ^Ч х'^влятся соответственно началом и концом дуги интегральной траектории системы:

= Вс£) (х) ъ+Кт

Перейдем к краткому излогенис результатов. В первых трех параграфах напоминаются некоторые сведения из теории псевдодифференциальны» операторов, строится специальное разбиение единицы, используемое для заморахивания двойственной переменной и для микролокализации оценок. Четвертый параграф посвящен анализу псевдодйфференциальшлс операторов, удовлетворяющих условию (НЕ) на носителе некоторой функции. При этом доказано утверждение:

Лемма 9. Пусть 6 ^^б'С^ ХК!П') и удовлетворяет

на носителе функции 0.(хд)€ условии (НЕ);

Пусть Ь«.(х) Тогда существует оператор с

символом (£?хЛгь) такой, что:

к(х)Ь,(х)А(х^)и=0.М)11,(х)РМи и(х)€СГСО).

Операторы А(у„1})\ Р(х/Ь) отвечай символам , р(х>£)

соответственно.

На основе этой леммы в доказала теоремы I -2.

Пусть $(*,)еС(П)-,4(х1)>0 и 1 .если |х,| £ 0,6 ; £(х,ЬО,если |х(|>0,Г.

£(х -к)

Рассмотрим функция .-•).

Пусть

» где - весовая функция с показателями Ц>1 ,(1=1,...,а) .

Обозначим через М многообразие, задаваемое системой урав-ениа:

Ык =

усть 5е(х,)еСГС^,),0< зе(х(К1, &^эе(х,)е{>;:|х1К4},

Теорема I. Пусть.псевдодифЛеренциальныа оператор Р(х/В)язля-гся операторои с собственный носителей с точностью до вполне епрернвного оператора и имеет символ 8^а) .

рератор Р(х/С) гипоэллиптичен з области - окрестности ино-зобразия М , если существует функция ФСх',)<£ С^Р1) такая, со Ф(*,)-0 при -0 , ^[х (х,) >0 I. некотором интервале

О, а.) , а>0

, и выполнены условия:

. К>С,1!Ц(х)11и ~ С2,

5С®) - псевдодифферезциальные операторы, отвечащие символам

1 О ; хонстапты

? зависят от г .

£<Г

, Если и Ф№И))>С^" (£) , то

если * *>

I Р(х,%) е 5#Срхр-),

я любых мулиииндекеов , £'=0»',.) «и*«.

о О{{=0 ¡М'МО * 0 . Здесь яолстатедь-

е константы С3 , С*

»

С»-*. А

л »^-у.лк ограничены ад лиысц

7

компактной множестве ; то , Л1 , , , ,

Ц^.тга Ц , 5>0.

1 -I,- к.

Теорема 2. Псевдодифферевцваяьвыя оператор Р(хД') с символом Р!ЛГ^)ь &а) гипоэллиптичеи в области ^ - окрест-

ности многообразия М , если существуют функция 4(х) £ С^СЮ и функция Р^О^С^СР) такие, что Ф(^)-=0 при X =0 ,

-' (О "

-г--:-(х1)>0 В некотором интервале (0,0-)>Ц'?0 , и выполнены

Ц» * ;

неравенства:

I. КР^Ч^С,!^!!?^ - СгВД^ •

Здесь V- (л) - функции, описанные в формулировке теоремы I; С-, I Сг не зависят о7 j ,

Если|?(?Ах , Ф(Г£ (хс-< О~^) . *>

для л«5ых иультииндексой^^^Г,. ) ,')■•■ та-

ккх, что О »....< ,£>; констант

А„ , С< . Сг , С5 . С,*, ,т,то ограничены на каком компакте КС , 8,> 52 ,1 ^О,

О'6>0, '"г*--! ' р!>0 >0^и*^пип. Ц .

« а 1 » 1 С ? К

Ее сто;-, и седьмое параграфы посвяцены приложениям предыдущи: теорем. При этом приводится методика получения априорных оцено: для дифференциальных операторов с неотрицательной характерней»

ческой формой, со знакопеременной характеристической фориои; так-'¿е доказывается ряд неравенств типа Горяинга.

Пусть = .

Теорема 3. Пусть Р(~2-;Ъ) - дифференциальный оператор вида:

Р(дД))=ат<) + д(х)Ь (х^/0»),

где ЩФх) - операторы с бесконечно диф^еренаируеиьши

коэффициентами порядка ГТЦ соответственно, причеи:

г.т, ,тг>0 ;

э.е&а&)>С,|£Г* ;

.5„ д(х)>0: , если х^С .

Тогда оператор Р(£,Ъ) гипоэллиптичен в

- окрестности мно-

хвства{г: Х=0} .

Теорёиа Дифференциальный оператор Р(х,1>) символом

птозляшптичев в ^-окрестности множества = , еста

существует весовая функция с показателями ../1),

такая, что для любого компакта К £2 выполнены услогия:

1.В(х,£)- вещественная функция, и при |х,|<«С|А '(£) справедливы неравенства:

1>Д>5'>0 ;К .т. - цели? числа;

С3>0,£>0 ;С„С2>0 ;2<М<± • ¿< £ Д,.

2. Бели |Х,|>С4 А . то

mcfR ; xe К ; С«.* ,C5>0 .

Глава 2 посвящена изучению псевдодифференциальных операторе второго порядка специального вида. Для ми!ф0локализации оценок 5 Э вводится специальный класс символов.

Определение 8. Будеи говорить, что , -£>0

если - Функция с компактный носителем по / , и выполне]

соотнозения:

2. ;

Опгсгеление 9. Пусть (г А (у, О) . Будем говорить, что

.если

¡a^,íx.EÍJÍ¿ С^.^^ГЛ-Д-Ь)^^»))^^ fe),

гдеЛ'^ГЛ^^ПгЛа-О^))""; € , к . Г -по лохительные числа, С^,^ - ограниченные константы на всяком ко пактном подмножестве из .

В згой хе параграфе строится исчисление псевдодифференциш них операторов, символы которых удовлетворят определениям 8,5 3 59 получены некоторые априорные оценки, представляющие самостоятельный интерес; в частности, доказано утверждение:

Обозначим через с^'ц^) оператор, отвечающий символу

где ;¡r¿íi £ .К ,Г>0. jíHéR .

Леимз 20. Пусть , В(х,Ф) - операторы с собственным

носителями н с символами С1( t(Q * R" > * А 2£ J,

10

Если главиыа символ оператора А(х,(0)- вещественный и главвыа символ оператора - чисто мнимы л, то справедлива оценка:

где Шх^ССК). К<Ш СЭ , С не зависит от (Г при 0<(Г<1 . На основе оценок параграфа 9 доказана теорема:

Теорема 5. Пусть Р(х.Я)=2А«(х/В)+гАв&'В)>

где А^(х/0)- псевдодифференциальные операторы с собственными носителями и с символами , 1Ти) , из класса

0| о

Пусть главные символы операторов А] (хД)) , (1-0,..га) , - вещественные. Тогда Р(х/0) гипоэллиптичен в области , если для всякого £->0 справедлива оценка:

где С1 - положительные константы, причем С* не зависит

от £• ( оператор

шт

отвечает символу весовая функция с показателями = .

В заклсчительном параграфе доказана теорема: Теорема 6« Пусть Р(х/0) - дифференциальная оператор второго порядка вида:

Р(х,т=-АЛт + Г(х) им,

%(*) . У^^С^СО*) ; - вещественные функции.

Допустим, что в совокупности векторов

Цзг^А^х), А^хЫЧ,(*),.■-,%*(*))

имеется конечь.з инохество М , удовлетворящее условия дости-химости в $2 , причем сумма длив дуг соответствующих интегральных линии, соединяющих точки X , ^ , не превшает НОх-у-/) (_)(;<) = 0 при Х-0 , Н(х) - монотонно возрастающая и гладкая

11

функция в интервале (0,а) , й>О . Тогда справедлива оценка:

инг(Ф")иб£*с,1Рщ2+сг№2, и(х)й:?гк),

И'2(ЧУ') - оператор, отвечавдик символуУ положительны«

константы С, , С2 ограничена на . К тому же оператор Р(х/1)

гипоэллиптичеи в области , если 1'ап Н(х)1п (х)-О,

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Смолкин Г.А., 'Ъшоэллкптичность одного класса псевдодифференци-альних операторов// Качественные к апиштотические методы ин-тегркрованкг, возмущенных ди^с-ренциальных уравнении. - Саране: 1937. - С. 35-43.

2. Смолкин Г.А. О субэллиптичкости одного класса псевдодкфферен-цкальних операторов// 1и'-!'еренциольнае а интегральные уравнения: Мегвуэ. сб./ Горькое, ун-т. Горький, 1983. С. П7-П8.

3. Сиолкин Г.А. О гипоэллиптичности одного класса пекдодифферен циальикх операторов// Классические и неклассические краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными специальные функции, интегральные уравнения и их приложения: Тез. док. Всесовз. конфер. 25-29 апреля 1987 года/ Куйбышев, пел. ин-т. Куйбышев 1937. С. 136-137.

и. Смолкин Г.А. О гипоэллиптичности одного класса псевдодифферея циалышх операторов// Труды семинара по дифференциальным ур&£ ненияи Мордовского университета. Нордов, ун-т. 1990. Деп. в БИНИТЯ ,^»892-В90,06,09,90. С. 53-65. 5. Смолкин Г.А, Априорные оценки для операторов типа Купцова -Зеркавдера/ Иордов. ун-т.-Саранек, 1991. -17с. -Деп. в ВИНИЛ 05.04.91, *1482-В91.

3 заклгчение считал своим долгом выразить глубокую благодар вость профессору О.В.Егорову за научное руководство работой.