Гильбертовы модули и их геометрические применения к изучению спектральных свойств эллиптических операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ »АНУЛЬТВТ

на правах рукописи

Филиппов Олег Григорьевич

УДК 315.168.5

ГИЛЬБЕРТОВЫ МОДУЛИ И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ИЗУЧЕНИЮ СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ

0I.01.0b - геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

М0СКМ-199Э

/ ¿> /

РаСоха выполнена на кафедре высшей гсоыехрии и хопологии »шханика-иахема$ичеового факультета Московского государственного универсихе« ииени М.В.Лаионооова.

Научны! руководитель - доктор фяаико-иахеиахических наук,

профессор 1.0.иищонко. Официальные оппоненты: докхор физико-иахемахичеоких .наук,

в 16 Чао. Ш мин. на ааоедании специализированного Совета Д.053.05.05 по ыагеиахине при МГУ в главной адании иГУ по адресу: 11723% иооква, Ленинские гори, ИГУ, иеханико-иахеиахический фвкулмех.

С диооерхацией иохно озиакошиьвя в йиблисхеке неханико-

иахеиатичвекога факулмеха ( 14-Й ахах главного вдания ).

к

Авхорефера: разослан

3)" .ЭЬ&ЪлЛ 1990 г.

профеосор Ю.В.Егоров)

кандидат фиэмко-иагеиахнческих наук

А.Я.Яшольский

Ведущая организация - Белорусская государсхвенный унщерсихех ииени В.И.Ленина.

Вациха диссертации сосхоихся 1

1990 г.

СПтшшшаироввнного ъовеха Д.053.05.05 при ИГУ, доценх

В.Н.Чубариков

ОПДАП ХДРАКТВРИСГГНИА MCOTU

Актуальрооть теки, Теория гильбертоямх Сн»иоду*М а понятнее время находят вое вол во нирвков прякэИвиив о рамичних об» лаотях топологии, а также о оивмшя о ней ра»дедах матттпкй. ff числе ооновополагаящих работ о этом направлении можно üaicatv работы Г.Г.Иаопарова [l], [г] я А,0,1'.яавяко [э], ПалуЧбм-ная в [3] обгдп формула индекоа эллипТячавкого оператора над С*-алгеброП (полное докваатбдюТйО «той формулы приведено в работе [з]) вкличила а себя кап чаотныа случаи неааториэ другие известные ранва формулы для иидояоа, а поаяа а работе [<»] ¿-ла дана естественная киторпратация о теракмах С9-алгвбр ева целого ряда различных вариантов теория эллиптических операторов а евклидовом пространства и а евчяниях гильбертовых раоолоэмиЛ нал замкнутыми многообразиями»

Один из основных мотодоа, использовании* а работа [^ji 83-клвчалоя з интарпрвтации каждого эллиптического оператора и«

[ij Каопаров Г,Г. Операторный К-функтар и раоиирания С^-алгебр,

- Изи. АН СССР, оер. иатем., 1900, т.1»1», » 3, о, 571-636. [г] Kaipaiov G.6. HifteU C*-moctutei-' tAeoiemi of Süneipiinp arte/ Voicute-icuJ. Opeiaioi Theory, (980, p.{33-SSO.

[з] Миоенко A.C. Теория эллиптических операторов над С"-олгоЯ-

ргми, - ДАН СССР, 197,°-, т.2Э9, № 6, о. I209-I29I, p»J Мищенко A.C. Банаховы алгебры, псевдодифференциальные операторы и их приложения к К-теории, - УМН, 1979, т,34, № 6, с. 67-79.

[5] Мищонко A.C., Фоменко А.Т. Индекс эллиптических операторов над С*-алгобрами, - Изв. Äff СССР, сер. матем., 1979, т. 43, № 3, с. 031-059.

-г -

какого-либо рассматриваемого клаоса как эллиптического оператора нйд специально подоб. цшой (¡"-алгеброй на компактной многообразии. В связи с этим представляется интересным попытаться, испольэуя эту идеи, получить для некоторого класса эллиптических операторов такую интерпретации их п терминах С*-алгебр, которая позволяла бы и спектральные свойства операторов изучать чвреа спектральные свойства операторов над Си-алгебрами на компактны* многообразиях.

Так, в работе Р.А.Бикташева [б] <$ило показано, что каждый оллиптичеокий дифференциальный оператор <т(Х>) с почти-периодическими коэффициентами в пространство /Я п можно представить (после некоторого отождествления функциональных пространств, в которых действуют операторы) в виде тензорного произведения

где (£>) - эллиптический дифферонциальный оператор над С*-алгеброй Л = С*(САР(%п),- Ск-скрещенным произведением алгебры САР(5£п) и группы '2Ип , - действующий в сечениях главного /4 -расслоения над тором; при этом спектры операторов Ъ{Ъ) и (Э) совпадают» б-р тг(1>) = . Однако для

псевдодифференциалыюгс оператора 0~(1)) с почти-периодическим символом уже не обладающего ср Яством локальности - вопрос о возможности такой редукции, т.е. вопрос о возможности представления типа (I) так, чтобы оператор ЪдФ) в правой части (I) бил псевдодифференциальным и у о^ (2>) , - оставался

открытым. *

[б] Бикташев P.A. Спектры псевдодифференциальных операторов над С*-алгебрами, - Весткш: МГУ, сер.1 мат.мех. ,1960ДЗ,с.Э6-38

Целью диссортациоиной работы аатора является обобщение результатов работы [б] на случай эллиптических псондодифференци-альних операторов с почти-периодическими символами и с ограниченными символами.

Научная новизну. Основниа результаты являвтсл новыми. Они' состоят в олодувщом.

. Каждый повадодиффаренциалышй оператор С~(j>) с почти-периодическим символом ( [7] ), рассматриваемый в /Яп или в IRß (боровская компяктифнкация группы /€л .) нояно предста-, вить в виде (I), где Тд (j>) - поевдодиффарешшальний оператор над Сн-алгеброй A~C*(CAP(Z.n), Zrt) , действующий в сечениях главного А -расслоения над тором, а 1 - тождественны!! операторе L2(^.!x) или, соответственно, в Lг (Z& ) При атом, если &(£>) эллиптичен или ограничен, то

■у/, O-(D) о-А (2>). (2)

. Каждый псовдодифферэициальний оператор т(£) в о

ограниченным символом ( [в] ) можно представить в виде

где Ту (D) - псевдодифференциадьний оператор над Си-г 1геброй W—C'*(Cg(Zn), ^") • действующий в сечениях главного -расслоения над тором, а 1 - тождественный оператор в

[7] Шубин М.А. Почти-периодические функции и дифференциальные операторы с частными производными, - УМН, 1978, т.33, № 2, с. 3-V7.

[в] Груаин D.D. Пс^вдодиффоренциальние операторы в Ä!n с ограниченными символами, - Функц. анализ и р.го прил., 1970, т. h. ИЗ, с. 37-58.

- f» -

L*(ZH) , Вод« Т(р) аллиптичен ил« ограничен, то

yü vfJ» *= #(!>)■ Й)

В одучаз янвото А н W можно ваять произволь-

ные О^алгеври ,А', В (L*, такие, что А <= А ' .

Ц/<г уу* , ä о слуна» !R% вместо А ваять А"^ , такую, что А ^ А" . Соотношения (I) -- (О при втрм не иэцвнятс«.

Показано также, что если эллиптический псевдодифференциаль-ния оператор над С*-мг*врай, действуввдй в сечениях векторного расслоения нал гладким компактным замкнутым многообразней, слоен которого служит нонечро-порожденний проективный гильбертов С*-модул>, является формально самосопряженным, то он существенно оАмооопрякен,

Метод» иеслодоваци<{. Ö работе используются методы теории Ск-одгебр и гильбертовых С*~модулей, теории векторных расслоений, функционального анализа и теории эллиптических операторов.

Теоретическая и практическая ценность рабрти. Работа носит теоретический характер. Подученные результаты могут найти применение в теории эллиптических операторов, в спектральной теории и в теории иильбертовых С*-модулей. i-

Апдробация pt6oju? По результатам диссертации делались до-клади на семинарах кафедры высшей геометрии и топологии (рук. профессор А.С.Мищенко и В,П.Соловьев) и на 23-й Воронежской зимней математической школе (г.Ворона*, январь 1990 г.).

Публикации. По теме диссертации имеется '»публикации, одна из которых в соавторстве с А.С.Мищенко. Список публикаций представлен в конце автореферата,

Структур! диссертации, диссертация состоит из введения.

шести параграфов, включавших в общей сложности 19 разделов, И списка литературы, содержащего 'Ю названия работ. Объем диссертации 12'4 машинописных страницы.

СОДШАНИЕ РАБОТЫ

Превде чом переходить к изложению содоркания рчботи, условимся, что ссылка типа §'4,3 будет означать 3-й раздел §4.

Бесь §1 целиком носит вспомогательный характер. Б нем приводится список основных используемых в работе обозначения, некоторые определения, а также отдельные утверждения, которые известны из литературы и на которые имеются оонлки в работе.

В §2.1 описывается некоторая специальная разновидность тензорного произведения ( [!}'). Именно, пусть А -унитальноя С*-алгобра и пусть фиксировано некоторое ее точное представление в гильбертовом пространство И , позволяющее считать А замкнутой -подалгеброй в вен) , Пусть Л - произвольный правый гильбертов А -модуль. На алгебраическом тензорном произведении определим комплекснозначную форму <" , У , поломив на образующих К Х0$ , у & ^ ~ ~<(<(х>у>х %> Ч^Н " ПР0Д0ЛМП по линейности. Форма <" , )> эрмитова и неотрицательно определена. Обозначив через Х0" подпространство, состоящее з таких и £ X б> а И . для которых <и , и > = 0, мч получим, что X Н ХХс является првд-гиль''ертопнм пространством и его пополнение обозначим через Х&л Н . Основным в §2.1 является

Предложение 2.1.3. Пусть X , У - правые гильбертовы А -модули, /.' X-* У - ограниченный А -гомоморфизм, допус-

- б -

кавций сопряженней ( ). Тогда существует единственный ограниченный оператор /■ , для которого коммутативна диаграмма

Х®АН -> Г0А И

Х<§ Ц

А А

где вер-.чкалыше стрелки являются естественными гроекцяями на плотные подпространства. При этом

- 1 и если у ■ У-* - ограниченный гомомор-

физм гильбертовых А -модулей, допускающий сопряженный, то

уА§1 - (рёг)(/ё 1) . -

В §2.2, §2.3 рассматриваются неограниченные /4 -операторы в гильбертовом А -модуле X • Множество таких операторов, определенных на подмодуле Ус. X » обозначается через ¿¿д ( У ^ X), и для их спектров предлагается несколько видоизмененное.

Определение 2.2.4. Спектром / оператора / будем называть дополнение.к множеству таких чисел А е <С , для которых оператор £ — Л имеет ог чшиченный плотно определенный обратный ({- А. причем сопряженный к (/-оператор определен всюду в X .

Если в определении 2.2.4 отбросить последнее требование, то мы получим другой спектр, который обозначим через -^р / . Ясно, что /<= ^ и что при А ~ <С оба эти спектра совпадает.

Пусть УЬд X) •и пусть имеется оператор ^ в

X , удовлетворяющий условиям!

() обратим, д (X)- У ,

^ > - ограничении« А -операторы (5)

X—* X . допускавшие сопряженные. Из условий (5) следует, что У является гильбертовым А -модулем относительно скалярного произведения У/> У '-^КТ X > и что У®лМ можно

считать подпространством в ХОдМ , а. У 1 - ноогра-ннченным оператором с облаотьи определения Н •

Теорема 2,2Г7. Пусть кроне (5) оператор ^ обладает такие своИотвом, что плотно з X . Тогда следувщие условия

эквивалентны:

1) оператор / замкнут и / ¥= С ,

2) оператор / <§ 1 замкнут и

Если выполнено одно из двух эквивалентных условий I), 2), то

5/> /= /<§/

Предложение 2,3,1, Пуоть /£ I* д (У^-Х) - замкнутый оператор и пусть оущеотвует оператор £ ■' X—> X , удовлетворявший условиям (5), Если См-алгебра А обладает точным неприводимым представлением, то -!?/> У - У .

Как известно,

Сн -алгебра - простейиий гильбертов модуль над собой, - вообще говоря, ив рефлексивна как банахово пространство ( [9] ). В известных же автору работах рассматривались псевдодифференциальные операторы на функциях, принимавших значения

[9] Диксмьа Ж. С*- алгебры и их представления, - М,, Мир, 1974.

- а -

либо а рефлексивных банаховых пространствах ( [iüj, [il] и др.), либо з конечно-порониенных проективных модулях . ( [3] - [5] и др.) Поскольку налагаемые в §*) конструкции предсташшвт, по -видимому, инторзс ){ в случае произвольных гильбертовых Ск-моду-ле$1, то §3 фактичаски является вспомогательным и содср&ит.эле-MüiiTu исчнслоиия псевдодиф^аренциальных опиратороь в R. п , депотвуввиа на гладких ограниченных функциях со значениями в произвольном банаховом пространстве Е . Б качество символов здесь расоийтриьаатся гладцио В f/EV-значнио функции Ст(х, у), удоЕлот^оря&чпе при нжоторои fn € /R оцонкаы

К >frrr, C.t/ (1+/vf~/J3! ? . (6)

для ьсох е , Каждому такому симьолу 0~ ставится в

соответствие псевдодиффйранциалышй оператор <Г(2>) на гладких ограниченных '•Е -значных функциях и (х) но формуле

(j(d)u(XJ- (гл)п1е,Сх~*}'*№у)№?) Ф,(7)

¿—>+0< дуг»

гдо J?£ С™ (/Яп) , в окрестности нуля. Провиряится

независимость определения операторов V (D). от выбора функции % , устанавлив изтея формулы асимптотичаского разложения для символа композиции и для символа оператора, который получится,

[ю] Хврмандер Анализ линейных дифференциальных опаряюров с частными производными. Т.З, - М., Мир, 1907.

[п| Luke 6. Picudo- cf,//eienéí'af ¿pei^on on Hifteti funde/i ^ - /. £''//' Ec¡úa¿ ¡от, 19?¿, v. iz, /ví 3, p. see - ss9.

если з (7) запенить <Т('х, у) на у). Доказан также ряд

других вспомогательных утверждений.

В рассматривания операторы в сечениях ассоциированных расслоения над тором. Пусть А - унитальная Сн-алгебра, Е -правый гильбертов А -модуль и пусть задано деЯствио группы Ж л в Е унитарными А -операторами. Обозначим через ^ расслоение над торен Тп 00 слоем 1 ассоциированное с

главным ^"-расслоением /Яп—» /Ип Тп. Непрерывные сечения расслоения ^ можно отождествить с непрерывными Е -значными Функциями Ч (х.) , удовлетворявшими условия склепки:

и (х а) = а " * и (х), хе/Ип, ае п. (0)

Дифференцировать сечения то«а можно как обычные £ -эначные Функции, а интегрирование по тору заменить интегрированием по стандартному единичному кубу Iп ^ . Символами, псевдодиф-форанциальных операторза в сечениях расслоения естествен-

но считать такие гладкие функции (/ (х, у) со значениями в 3^ (£) - Ск-алгебре всех ограниченных А -эндоморфизмов £ , допускавших сопряженные, - которые удовлетворяют оценкам (б) при некотором гп е /Я и условию склейки:

7(х+ а, у) - а'у)' а, ае :£п. (9)

Множество всех таких символов обозначается через Каж-

дому символу Б т(ставится в соответствие оператор

<Т(Х>) на сечениях и по ф-.муле (7). Такие опе-

раторы мы называем "глобальными", хотя поздние будет доказано, что они являются псевдодифференциальными. Результаты ¡¿3 автоматически переносятся на "глобальные" оператор!., причем из уело-

вий оклейки (0) и (9) следует, что эти операторы отображают Г^Ш в оовя и что композиция и транспонирование (т.е. замене в (7) (jfx, If) иа Г (у, у)* ) не вивадят из класса "глобальных" операторов. Естественным образом определяются и соболевание А -модули Я4 (4) , з«?/? , как пополнена. Г"**(£) по соответствующим нормам.

Теорема 0,5. Пусть (Те Sm С4) • Тогда для каждого ¡R оператор Q~(D) может быть продолжен по непрерывности до ограниченного А -оператора Н4(4) ~—* И л~/"(4) , допускающего сопряженный.

Определение 4»3.б. Символ СT£ -Sm(4) (и соответствующий ему оператор ст (Х>) ) назовзм квазиэллиптическим, если найдутся такие положительные константы Сi и Сг , что для всех ■Г, у е !Rn , lyl > Of , элемент у) Обратим в Сн-алгеб-

ре В % (£) и ' // СГ{Г, 7/j-7/ «£ С,. (1 + 11[/)-т

Предложение 4.3.8, Пусть Сre S rnf4) квазиэллиптичен. Тогда существуют такие симЬолы ТС S ~т(4) ■ > , что crfj)] т(Ь), . 1 + xf (Ъ) . T(D) сг CD) = / у- зея (В). .

Заметим, что .в.предложении 4.3.8 ничего не говорится о ком-па ,'ности операторов (2>) и ('¿У .»Если гильбертов модуль Е конеч ;о порожден и проективен, то согласно определениям и результатам работы [5] и являются компактными Л -операторами, а 0~(£>) - эллиптическим. Однако обобщение этих результатов (и даже определений) на случай, когда Е - произвольный гильбертов модуль,- вопрос, требующий специального изучения, и мы предпочли ввести термин "квази-зллиптичность", поскольку в наши планы не входит выявление каких-либо других аналогий с "настоящими" эллиптическими операто-

рани, кроме указанных в предложении 4,3.8, лемма 4.ЗЛО и тео-ремв 4.3.11.

Лемма 4,3.10. Пусть и~е квазиэллиптичен. Воля

УN4$) и <гтие« иеН*+т(У.

Ле/К

Теорема 4.3.11. Пусть сг<еЗт(^] . Рассмотрим <г(1>) как неограниченный А -оператор в , определенный на

подмодуле Гс°(. Если т 0 или если Я~(Ъ) квазиэллиптичен, то его замыканием Является оператор 0~СТ>) о областью определения Нт($) .

§4.4 посвящен доказательству псавдодифференциальнооти "глобальных" операторов. Пусть псевдодифференциальный оператор

построен по символу Скак в [Ь] с помощьв локальных карт и разбиения единицы.

Теорема 4.4.2. Для всех иёГ03^),

ф)и(х)~ ?(3>) ч(г)= { К(х^) и(у)с/у}

где К - гладкая /2гАзначная функция на ¡Кп >с /?л ,

причем К(х-К1,</ + ()**еС<'К('х,</)'6 для всех х,у£//?п, £ , т.е. К является гладким ядром в смысле Л.Шварца.

В §4.5 рассматриваются два частных случая расслоения : . I) слой £ равен алгебре А - в этом случае обозначим получаемое расслоение через £^ , и 2) алгебра А равна (С - в этом' случае вместо ^ будем писать г , но слой обозначать по-прежнему через Е . Наличие 'унитарных действий группы в модулях А и £ эквивалентно заданию унитарных представлений, которые мы обозначим через Я} и . Пусть имеется также точное представление Ж С*-алгебры А ъ £ , для

которого диаграмма

Zn —

коммутативна. Тогда каждый символ Q~<?S m(4i J можно считать также символом из Sm(£ ). ЧтогЗы различать оти символы, будем первый из них писать о индексом I, а второй - с индексом 2, т.е.

(7} и, .соответственно, (Гг . Условимся тпкчв о,пускать в обозначениях , Жг и Зт (ив забывая при этом, что гомоморфизмы Л"г и Лг могут, вообще говоря, иметь ядро). Рассмотрим отображение у, которое

определим на обрпзупци* формулой у(и ® £)М - и (х) (€) и продолжим по линейности.

Лемма 4.5.4. Отображение корректно определено и индуци-

рует изометрические изоморфизмы •

■ieR . При этом для всех (£ S , tn £ /R , имевт место соотношения • (t^Cd)&/)= <гг (£>) ' Js, бе/Р..

Следствие 4.5.5. Пусть 0~f <£" S . Если т^О или ес-

ли квазиэллиптичен, то Sp <К, (D)-Sp VS(D), где ^ (D>

рассматривается как оператор в с облестыо определения

В §5 вместо тора мы рассматриваем произвольное гладкое компактное замкнутое многообразие X . Пусть А - унитальная С*-алгебра и - векторное А -расслоение над X ( [5J ). Соболевские А -модули сечений И 4 (£,) псевдодифференциальные операторы и эллиптичность последних мы понимаем как в [4].

В % (А) -=А

Bin

Сдоем ^ служит конечно-пороаденный проективный /7 -модуль.

Tgflp^q Пусть <Г(£) - эллиптический псевдодиффо-

рвнцимьцый А -оператор порядка m , дейстгуюший в сечениях раоалоенил ^ . Соотввтвтвувцив ст(£) операторы в Ис(4), опрэделвнние на Г"3* ($) И, соответственно, И^(^) Л ) , обозначим через СГ ц, соотватотвзнно, сг^ . Тогда f - , Еояи вдобавок оператор (Г симметричен, то он существенно самосопряжен, т.е. <г * •*» (Г G~m •

Завершает работу §6, а котором исподьзуптоя результаты всех' .предыдущих параграфов и доказывается соотноиания (I) - (4). Зададим дейатвиз группы ~Z.n в пространствах , L'CZ«) , C^CZ«) и CAP(Z*)~C(%&) с помощью

обратных сдвигов! {(г) I-* ffs-aj , ае ,

или 22 J , - и ассоциированные расслоения над тором 7-"1 со олоями , L*(. cefZn) и C/!P(Zn)

будем обозначать, ооотвэтственно, чарэа ^ . , и

, Алгебра W -С*(С$ (¡~п), имеет точное представ

влениа в пространстве , а алгебра /) — .

~ С* (САР (Ж ZnJ - в пространстпах L*( Хл& ) и L 2(Z-n) ( [12] ). Отождествляя С*-аягвбры с их образами можно в последнем случае считать А под-С*-алгеброй в W . Мы зададим действие группы ^ W в алгебрах А

и I, рассматриваемых как правые модули над собой, умножением слева, и соответствующие ассоциированные расслоения над тором . со слоями А и W обозначим через 4я и Aw .

[12] Антоневич А.Б., Бреннер В.Б. О символе псевдодифференциального оператора с локально-независимыми сдвигами, - /¿Н БССР, 1980, т.24, № 10, с. 084-887.

'f.

/

Определим отображение F •' C^f ClüV Т/ГУ f^cJ. поло-

ле 2Ln , и пуст», отображение F САР (BZ V—'Г**^)

является ограниченней F на CAP (1&п) . О лемме 6. £ Л, в частнооти, доказивавтсн, что отображения F и F' корректно определены,-коммутируют с операторами дифференцирования и являются иаомррфиамони пространств fpatae. Поэтому ии можем ли-бце символы APSm и TeSm С [7J ) интерпретировать как символы из S^f^) и рассматривая

F'v(x, ?>) и, FTfXj fj при каждом фиксированном ^ €Кп как функции от хе/Ип со значениями в CAP(Zn) с А и, соответственно, в . Полученные таким образом

символы будем обозначать через и Т,^ , т.е. дописывая

индексы к исходным .обозначениям. Пусть LI 4 £ Ж , -

соболевские пространства на IR.nß

С [У] )•

Теорема Ь.3.2.' Существуют изометрические изоморфизмы Fi ■' Н ^(/Rg) ■—r>H удовлетворяющие для всех

re/?PSmсоотношениям OjCЪ)& t- ^ Ф)

Теорема 6.3.3 Существует изометрические изоморфизмы

■ % ■■ н Y/rj — // ГУ &А 1

удовлетворяющие соотношениям _

vA (D) S f - ° С('Д> • К

^/--^'^«if;: TS?"]

Доказательство теорем б.3.2 и 6.3,5 проводится по одной ахе-ме: сначала строятся изометрические изоморфизмы

11 Н ) ) , а эатом применяотоя лем-

ма 4.5.4. Поэтому можно было бы в тооремв 6,3,2 вмеото А взять произвольную под-С*-алгебру А'с В (' L2 С% £ )) , оодоржащуп А , а в теореме 6.3.5 вмеото А и W взять такие под-С*-алгебрн А * W' = В ('L*(Z n)J . что А , W* W'.

При этом важно отметить, что все указанные алгебры операторов

А . А', А"

, W , W ' является неприводимыми. Пусть 0~€ APSm, TeSm. Будем рассматривать операторы , 9(1)), Fa(D), T(D) и Tw($) как операторы , соответственно, в Н°((Яп)> Нс(4а)> Не(8п) и

, определенные соответственно, на •

CAP"OR"), Гт($А), C7(/Rn) и .Dpa-

боте [7] было показано, что если <7

эллиптичен или

если т^ О , то -bf> <T(V) ^ &"(!>) . Обобщением этого результата является

Теорема Б.4-.2. Пусть <r<=APSm . Тогда условия: I) <7" эллиптичен, 2) эллиптичен, - эквивалентны. Еоли выполнено

одно из условий I), 2) или если т ■ё О , то = V (D) ~ г (D).

Теорема 6.4.3. nycvi Т € S т . Тогда условия: I) Т эллиптичен , 2) Тцу эллиптичен, - эквивалентны. Если выполнено одно из условия I), 2) или если пг < О , то ^ V(D) Г^(1>).

С учатом предыдущего замечания мы получаем, в частности, что если <Г£ APSm и Z~cSm. эллиптичны, то лр (ГА (D) =■ = *f><rA,(D) = *f>rA»(l>) и rw(D) rw,(D) . .'

В заключение следует отметить, что разработанный здесь метод позволяет получать аналогичные теоремы и для других классов эллиптически* операторов. Пусть, например, оллиптичвакиа символ

3 т таков, что для все* 21%.

д* дуГ(л-, у) принадлежит подмножеству В1 ^ ¿У С/Кл) как функция от //?п. Тогда можйо рассмотреть произвольную под-С*-{ :гебру Зг . инвариантную относительно

сдвигов, для которой -Г ( В1)(КЛ)С1В:1 и взять ¿3~ •= - С * СВу,, Жп), Рассуждая аналогично предыдущему мы получим

и V(Э) •= т^СЕ) , а если вдобавок Си-алгебра В имеет точное неприводимое представление, то Т(£) - ^ (&) , Используя изложенный метод, можно получать также теоремы о совпадении спектров в различных пространствах, как, например, в теореме 6.2.

Автор выражает глубокуо признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору А.С.Мищенко за постановку задач и помощь в работе.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМВ ДИССЕРТАЦИЙ

1, (В соавторстве с А.С.Мищенко). Редукция эллиптических операторов с почти-периодическими коэффициентами к операторам на компактных многообразиях, - Вестник МГУ, сер.1 матам,, мех., 1989, * 5, с. 70-81.

2, Операторы в сечениях ассоциированных расслоений над тором. Редукция к ним эллиптических операторов о почти-париодичоокн-ми символами, - Рукопись деп. в ВИНИТИ 14.10,68, № 7118-66,' 109 о.

3. Редукция операторов о почти-периодическими символами к операторам в соболевски* С*-модулях сечеиЙй. Теорема о совпадении спектров, - Рукопись деп. в ВИНИТИ 11.10,68, II 7419-60, 41 с.

4. О редукции псевдодифференциальных операторов с рграниченны-. ми символами к операторам над Си-алгебраии на компактных

многообразиях, - УМН, 1989, т.44, № 3, с. 173-174.

Подписано к печати 20/1Х-90 Объем I печ.л. Зак.701 Тир.100 Ротапринт Бвшгосун-та,450074,г.Уфа,ул.Фрунзе,