Теория С*-индекса в геометрии и топологии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

РГ6

од

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 513.0

ТРОИЦКИЙ Евгений Вадимович

ТЕОРИЯ С*-ИНДЕКСА В ГЕОМЕТРИИ И ТОПОЛОГИИ

01.01.04 — геометрия 1) топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА — 1993

Работа выполнена па кафедре высшей геометрии и топологии ыеха-пико-математнческого факультета МГУ имени М.В.Ломоносова.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических

паук, профессор Е.А.Горин

доктор физико-математических

наук, профессор О.В.Мантуров

член-корреспондент РАН доктор физико-математических

наук, профессор А.Т.Фоменко

Ведущая организация — Воронежский государственный университет.

Защита диссертации состоится " ^ " 1993 года в 16.05 час.

на заседании специализированного совета N 2 (Д 053.05.05) при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 144)8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " 9 » О 9 1993 года.

Ученый секретарь специализированного совета Д053.05.05

профессор В.Н.Чубариков

ОВЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

, Теорема об индексе эллиптического оператора, доказанная М. Атьей к И. Зингером в начале 60-х годов, нашла за последние 25 лет многочисленные приложения, явилась сердцевиной иптепснвпо развивающейся на протяжении всего этого времепи области математики. Среди применений можпо выделить общую формулу Лефшеца, формулы для различных характеристических классов, используемые в дифференциальной топологии, а также ряд результатов собственно в теории эллиптических задач, в дифференциальной геометрии и теоретической физике.

Такой плодотворностью применения теоремы об индексе объясняется то, что в 1971 г. Зипгер1 выдвинул программу дальнейшего развития ее. В частности, ставилась задача распространения теории на факторы фои Неймаиа.

Б работе А. С. Мшценко3 и А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко3 была по-лучепа индексная формула даже для более широкого класса банаховых алгебр — С*-алгебр. Формула успешно применялась для исследования эллиптических операторов с операторнозначиьшн символами4 и символами со случайными коэффициентами5, для доказательства гипотезы С. П. Новикова о высших сигнатурах в ряде частных случаев, а также для исследования проблемы высших А-родовв ,т. Этот подход применялся А. С. Мшцепко и Ю. П. Соловьевым еще в целом ряде задач8

1 Зингер И. М. Направленна р&звития индекса и эллиптических операторов //

Математика (Сб. переводов) - 1974. - Т. 18, N 1. - С. 62-61.

3Мищенко А. С. Банаховы алгебры, псевдодифференциальные операторы и их приложения к К-теории // Успехи матеи. наук. - 1979. - Т. 34, вып. в. - С. 67-79.

3Мшиенко А. С., Фомепко А. Т.. Индекс эллиптически* операторов над С*-алгебрачн // Изв. АН СССР. Сер. Матеи. - 1979. - Т.43, N 4. - С. 831-859.

^Бикташев Р. А., Мищевко А. С. О спектрах эллиптических неограниченных операторов пад С-алгебрами // Вести. Моск. Ун-та. Сер. 1. Мат. Мех. - 1980. -Вып. 3 - С. 56-58.

5Мшцепко А. С., Шарапов Ф. Независимость спектра эллиптического оператора со случайными коэффидиентами // Вести. Моск. Ун-та, Сер. 1. Мат. Мех. - 1983. - Вып. 6. - С. 51-56.

вМищепко А. С. Перестройки пеодвосвязаих многообразий // Приложение к кн.: Браудер В. Перестройки одпосвязных многообразий. - М.:11аука, 1981. - С. 177-207.

THoeeDberg J, C'-algc-braa, positive scalar curvature, and the Novikov conjecture // Publ. Math. IHES - 1983. - V. 58. - P. 197-212.

8Мищеако A. С., Соловьев IO. П. Классифицирующее пространство эрмитовой

Параллельпо Г. Г. Каспаров развивал другой подход, основанный на идеях Лтьи об аналитическом построении ^-гомологии. Такие К-гомологии были определены в работе10 . Дальнейшая разработка этого направления привела Г. Г. Касларова к созданию операторного К-бифунктора11. Результаты н методы этик работ также нашли дальнейшее развитие12 и широкое применение15 ,и

В последние годы появился еще один важный инструмент геометрии и топологии, использующий некоммутативные ассоциативные алгебры

— некоммутативная дифференциальная геометрия и теория гомологии алгебр с внутренними снмметриями, в частности, циклические гомологии и когомологии15 ,1в ,1Т ,18 . Методы, основанные на взаимод ;йс- вни этой теории и теории эллиптических операторов над С*-алгебраь!и оказались особенно эффективными. Так, например, в18 доказана гипотеза С. П. Новикова для гиперболических групп. Пожалуй, особенно в связи

теории // Труды ездввара по вект. и тевз. диализу - 1979. - Вып. 18. - С. 140-168

'Соловьев Ю. П. Дискретные подгруппы, комплексы Брюа-Титса и гомотопическая инвариантность высших сигнатур // Успеха иатем. наук - 1976. - Т. 31, Вып. 1-С. 261-262

10Каспаров Г. Г. Топологические инварианты эллиптических операторов. I.K-гомологин // Изв. АН СССР. Сер. Матем. - 1976. - T. 39, N 4. - С. 790-836

11 Каспаров Г. Г. Операторный /f-функтор и расширенна С"-алгебр // Изв. АН СССР. Сер. Матем. - 1980. - Т. 44, N 3. - С. 761-636

12Kasparov G. G. Equivariant K-theory and the Niovikov conjecture // Invent. Math.

- 1988. - V. 91. - P. 147-201

13 Каспаров Г. Г. Индекс инвариантных эллиптических операторов, К-теория и представления групп Ли // Докл. АН СССР. - 1983. - Т. 268, N 3. - С. 533-537

Каспаров Г. Г. Группы Лоренпа: iÇ-теоряк унитарных представлений н скре-шевных произведений Ц Докл. АН СССР. - 1984. - Т. 278, N 3. - С. 541-545

1КЦытан Б. Л. Гомологи матричных алгебр Лн над кольцами и гомологии Хох-огальда // Успехи матем. наук - 1983. - Т. 38, Вып. 2 - С. 217-218

leConnes A. Non-commutative diiïerential geometry Ц РиЫ. Math. IHES - 1985. -N 62. - P. 41-144

1TLoday J.-L., QliiUen D. Cyclic homology and the Lie algèbre homology of matrices // Comment. Math. Helvetici- 1984. - V. 59, M 4. - P. Б6Б-591

18Красаускас P. Л., Лашш С. В

., Соловьев Ю. П. Диэдральные гомологии н

когомологии. Основные понятия в конструкции // Матем. сборник - 1987. - Т. 133,

N 1. - С. 25-48

10Connes A., Moecovici H. Cyclic homology, the Novilcor conjecture and hyperbolic

groupe // Tbpology - 1990. - V. 29, N 3. - P. 346-388

c2u , этот путь является наиболее перспективным.

В работах Телемаца31 была развита теория обобщенного оператора Хцрцебруха на кусочпо линейных и даже липшецевых многообразиях, которая в33 тоже включается в рамки подхода, использующего операторные алгебры. Полученное аналитическое доказательство34 известной теоремы С. П. Новикова, к сожалению, все же использует серьезные топологические результаты.

Сложнейшим вопросом является исследование операторов на некомпактных многообразиях. Поддающейся исследованию оказалась ситуация, когда многообразия являются слоями слоения на компактном многообразии35 ,зв. Здесь опять с необходимостью возникли (7*-алгебры, а результаты пашли широкое применение.

Цель работы. Целью настоящей работы является, прежде всего, построение теории индекса С*-эллиптическпх операторов и получение формулы, которая учитывала бы как свойства симметрии задачи, так и элементы конечного порядка в ТГ-грунпах, а также развитие необходимой для этого эквивариантной JC-теории С'-расслоений и теории операторов в цепях обобщенных соболевских пространств, получение описания Я"-групп указанпых расслоений в терминах представляющих пространств, для чего необходимо доказательство теорем типа Кюйпе-ра, доказательство теоремы об изоморфизме Тома, развитие аксиоматической теории эквивариантного 6"-индекса, применение этой теории вместе со смежными результатами к исследованию неподвижных точек эллиптических комплексов, пекоммутативной дифферепциалыюй гео-

MSkandalLs G. line notion de nucliarite en AT-th&rie // if-theory - 1088. - V. 1. -P. 649-573

"Teleman N. Combinatorial Hodge theory and signature operator // Invent. Math. - 1980. - V. 61. - P. 227-249

32Tcleman N. The index of signature operators on Lipschitz manifolds // Publ. Math IlIES - 1063. - V. 58. - P. 39-78

"Teleman N. The index theorem for topological manifolds // Acta Math. - 1984. • V. 153, N 1-2. - P. 117-151

J4SuUivan D., Teleman N. An analitic proof of Novikov'e theorem on rational Pontry-jagin classes // Publ. Math. IHES - 1983. - V. 68. - P. 79-82

28Connes A., Skandalis G. The longitudinal index theorem for foliations // Publ. RIMS Kyoto Univ. - 1984. - V. 20. - P. 1139-1183

"Moore С. C., Schochet C. Global analysis on foliated spaces (MSRI Pub)., N 9), Berlin — N. Y.: Springer, 1988

метрпи, теории эллиптических семейств, изучению геометрии еппнор-яых многообразий и проблеме гомотопической инвариантности высших сигнатур.

Общая методика работы. Разработанные в диссертации методы можпо классифицировать как методы эквивариантнон теории С*-ин-декса, теории гильбертовых модулей и операторной К'-теории. Работу отличает использование синтетических методов, сочетающих технику дифференциальной геометрии и топологии, алгебраической топологии, функционального анализа, теории представлений и теории д -ф(; грен-шальных операторов.

Научная новизна. Основные результаты диссертации можно сформулировать следующим образом.

1. Установлен ряд общих свойств эквивариантной /("-теории, построенной по расслоениям со слоем, являющимся проективным модулем над С*-алгеброй А с единицей (эти ./{"-группы обозначаются через

2. Получено описание соответствующих Ац-групп в терминах комплексов расслоений указанного вида.

3. Установлена связь между комплексной Ка-теорией и теорией К£(.,А) в виде естественного градуированного изоморфизма

К'а(Х; С) в К'(рЦ A)®Q-* К'а{Х-, А)® Q,

индуцированного тензорным произведением, в случае конечномерного Х/в.

4. Определены эквивариантные А-фредгольмсвы операторы в гильбертовых А-модулях ¡1(Р), где Р — проективный А-модуль конечного типа, с индексом, принимающим значения в А) = Ка{А), и доказаны их основные свойства.

5. Для эллиптического эквивариантного С*-символа определен топологический индекс (при помощи 3), принимающий значения в Ка ® О-Доказана фредгольмовость соответствующего псевдодифференциального оператора в смысле 4, дающая аналитический индекс.

6. Доказана теорема об индексе: совпадение аналитического и топологического индекса как элементов Ка(А) ® О.

7. Получена обобщенная формула типа Атьи-Лефшеца.

8. Доказана теорема о стягиваемости для двух общих линейных групп гильбертова модуля (з(А): состоящей из операторов, допускающих сопряжешшй (повое доказательство) н не обязательно допускающих.

9. Для К"(Х; А) получено описание представляющих пространств как прямого произведения пространства Л-фредгольмовых операторов в гильбертовом модуле С',',+3 ® Ь(Л) (где С— комплексная алгебра Клиффорда, а р — д = п), А-самосопряженпых, антикоммутирующих с образующими еь... ,ер,£и... ,е,+1 и лежащих в компоненте связности е,+з, и пространства А'"(р£; А) (с дискретной топологией).

10. Доказана теорема об изоморфизме Тома в Яд(.; А)-теории и опре-делеп топологический индекс со значениями в Ка(А).

11. Развит аксиоматический подход к определению С*-индекса.

12. Развита теория С*-соболевских цепей и операторов в них.

13. Доказана точная С*-индексная формула: совпадение аналитического и топологического индексов как элементов Ка,(А).

14. Определены С*-числа Лефшеца двух типов а установлена связь между ними при помощи характера Чженя в алгебраической Я'-теории.

15. Доказано, что если высшая сигнатура задается элементом ко-гоиологий В7Г, равным характеру Чжспя такого расслоения которое тривиально вне 1-остова, то эта сигнатура является ориентированным гомотопическим инвариантом.

16. Решена задача учета кручения в проблеме обнуления высших Л-родов.

. Упомянем, что п.13 дает ответ на вопрос, поставленный и п.10 — в" (в важнейшем частном случае), п.16 — в т.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Конструкции, результаты и методы настоящей работы могут найти применение в дифференциальной геометрии и топологии, К-теории С*-алгебр, теории эллиптических задач, некоммутативной дифференциальной геометрии. Среди конкретных направлений с сегодняшней точки зрения можно указать следующие.

1. Исследование специальных эллиптических задач, удовлетворяющих определенным условиям симметрии (ср. 4'5)

"Karoubi M. Algébres de Clifford et Я-tbéorie // Ana. Scient. École Norm. Super. Ser. 4 - 1968 - V. 1, N 2. - P. 161-270

2. Развитие теории Атьи-Лефшеца (ср.,а ).

3. Исследование высших G-сигнатур (ср.39 ).

4. Решение задачи Ши Вэйшу об эквивариантном семействе эллиптических операторов30 (а также3' ), для этого нужно развить нашу теорию с нетривиальным действием группы на алгебре.

5. Дальнейшее исследование связи кривизны и A-родов спиыориых многообразий. Для более топких исследований, как следует из32 (см. также" ,34') необходим вещественный аналог пашей теории. Первые шаги сделаны в 33.

6. Исследование операторов на слоениях со свойствами симьпрни.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах механико-математического факультета МГУ: под руководством профессора А.С.Мищенко и профессора Ю.И.Соловьева, под руководством члена-корреспондепта РАН А.Т.Фоменко, под руководством доктора физико-математических паук А.Я.Хелемского, на Ломоносовских чтениях в МГУ, на совместных заседаниях общемосковского топологического семинара им. П.С.Алеясаидрова и Московского математического общества. Они докладывались на Воронежской математической школе, Международной топологической конференции (Баку, 1987), Международной конференции по алгебраической тополо-- гик (Познань, 1989) и на Европейском математическом конгрессе (Париж, 1992).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приведен в конце автореферата. Все ра-

38Бреннер А. В., Йубия М. А. Теорема Атьи-Ботта-Лефтеца для многообразий с краем Ц Функцион. анализ и его прялож. - 1981. - Т. 16, N 4. - С. 67-68

29Rosenberg J., Weinberger S. Higher G-indicee and applications // Ann. scient. Йс, Norm. Sup. 4 série - 1988. - t. 21. - P. 479-405

30Shih W. Fiber cobordism and the index of a family of elliptic operators Ц Bull. Amer. Math. Soc. - 196«. - V. T2, N 6. - P. 984-991

31 Атьи M. Ф., Зингер И. M. Индекс эллиптических операторов. IV. // Успехи матам, наук - 1972. - Т. 27, Вып. 4. - С. 161-178

3JHitchin N. Harmonic epinore // Adr. in Math. - 1974. - V. 14. - P. 1-55 33Rosenberg J. C*-algebra«, positive «calar curvature, and tbe Novikov conjecture, II // in: Proc. U.S. - Japan Seminar on Geometric Methods in Operator Algebras, Kyoto, 1983, H. H. Araki and E. G. Effroe, eds. - P. 341-374

Rosenberg J. C*-algebras, positive scalar curvature, and the Novikov conjecture -III // Topology - 1986. V. 26, N 3. - P. 319-336

боги выполпспи без соавторов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и пяти глав, разбитых в общей сложпостн па 27 параграфов, а также из списка цитированной литературы. Нумерация утверждений — тройная: помер тлави, номер параграфа и помер утверждения, формул — двойная: номер главы и номер формулы. Общий объем диссертации 232 страницы. Библиография содержит 94 наименования.

Глава первая посвящена описанию if-теории, в терминах которой решаются основные задачи. Это К-теория, построенная по категории эквивариантных расслоений со слоем, являющимся (левым) проективным модулем конечного типа над С*-алгеброй А с единицей. §1.1 посвящен доказательству основных фактов о гильбертовых А-модулях — модулях с "А-зпачиым эрмитовым произведением". Всякий свободный A-модуль А" и проективный модуль Р 6 V(A) очевидным образом можно сиабдить структурой гильбертова A-модуля. Если а; = (xj,..., х„) 6 А", у = (yi,... ,Уп) е А", то положим < х,у >= 1xiy* € А. На Р гильбертова структура индуцируется после вложения Р С Ат в качестве прямого слагаемого. Рассмотрим множество h(P) таких бесконечных последовательностей (®i,... ,x¡,...) = х, ij € Р% i = 1,2,..., что , < х,-, x¡ > сходится в А. Если положить для ;/ = (y¡,..., y¡,...) 6

то ¡2 (Р) становится гильбертовым А-модулем. В случае Р = А мы будем также использовать обозначение На- Хотя гильбертовы модули являются аналогом гильбертовых пространств, но многие свойства последних тут не имеют места. В параграфе, в частности, рассматриваются необходимые факты об ограниченных А-операторах, не допускающих сопряженного относительно А-эрмитовой структуры. В §1.2 доказываются основные свойства указанных расслоений, в §1.3 — основные свойства наглей К теории. В §1.4 получено описание К0 в терминах комплексов расслоений указанного вида.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ

ЫР)

СО

»=1

В §1.5 исследованы пехоторые частные случаи связи комплексной и операторной ЛГ-теорпй, в §1.6 строятся спектральные последовательности типа Атьи-Сегала — основной технический инструмент, и, используя технику когомологий с коэффициентами в пучках, доказываются следующая теорема.

1.6.7.Теорема. Если X/G имеет конечное покрытие размерности п, то тензорное произведение расслоений индуцирует изоморфизм

K*a{X\С) ® К*{рЦ А) ® Q -+ Кс(Х\Л) ® Q.

В §1.7 доказывается теорема об изоморфизме Тома в Kq{А)-теории. Пусть р : F —*■ X — G-C-расслоение над . хаусд-рф >вым

(^-пространством X. Тогда A.(p'F,sp) — хорошо известный пм »леке G-C-расслоений с, вообще говоря, некомпактным носителем. Г.усть комплекс (Е,а) представляет элемент а 6 Ка{Х;А), тогда (р*E]p*a)(g> (p'F,sp) имеет компактный носитель и определяет элемент Kg{F;A). Мы можем определить гомоморфизм Тема Л(£?)-модулей

V = VZ:Ka{X',A)-*Ka{F',A).

Переходя к Kq по периодичности Ботта, мы можем определить

<p:K*a{X-,A)^K'G(F;A).

1.7.9.Теорема. Если X сепарабельно и иетризуемо, то у — изоморфизм.

Доказательство использует довольно громоздкую технику, связанную с геометрической резольвентой Шокета.

Во второй главе строятся представляющие пространства для операторной градуированной if-теории, естественно связанной с Я-теорией из главы первой.

В §2.1 доказывается стягиваемость полной общей лилейной группы гильбертова модуля /з(А). В §2.2 показано, как отсюда можно получить новое доказательство стягиваемости неполной группы. Под полной группой подразумевается множество А-изоморфизмов, не обязательно допускающих сопряженный относительно А-гильбертова произведения, а иод неполной — обязательно допускающих.

В §2.3 вводятся Л-компактные операторы и доказываются их основные свойства. Завершению построения представляющих пространств посвящен §2.4. Точнее, доказана

2.4.2б.Тсорсма. Представляющими пространствами для К"(Х;Л) -являются прямые произведения пространства Л-фрсдголъмовых операторов в гильбертовом модуле Сг,ч+2 ® 'з(Л) (где С,я — комплексная хлгсбра Клиффорда, ар-? = п), А-самосонряженных, антикоммутн-руютих с образующими е],...,ея,£],...,и лежащих в компоненте связности и пространства Кп{рЦА) (с дискретной топологией).

В главе третьей получен первый вариант С*-ипдекс1ой теоремы. В §3.1 доказывается следующая теорема усреднения в гильбертовых модулях.

3.1.2.Теорема. Пусть Яд = (А) — канонический счетнопорожден-ный гильбертов А-модуль, Ли! На — ограниченные А-автоморфизмы На- Рассмотрим представление д —* Тд компактной группы <7, непрерывное как отображение С? х На -* На- Тогда в На существует зквивалентцое исходному скалярное произведение со значениями в А, относительно которого представление будет унитарным.

Заметим, что от исходного представления мы не требов&ли даже наличия сопряженного, а в результате усреднения получили даже унитарное. Построение примера, когда исходные операторы не имеют сопряженного, приводит к еще одному интересному примеру.. Именно, построен пример замкнутого гильбертова подмодуля, имеющего дополнительный А-модуль (что бывает не всегда), по не имеющего ортогонального дополнения.

В §3.2 определяются С—А-фредгольмовы операторы и их индекс, доказываются осповные свойства. Именно, ограниченный в — А-гомомор-физм Р : /3(Р1!) —► /а(Р3), допускающий сопряженный, называется фред-гольмовым, если после стабилизации по Каспарову оператор

= : ЫР,)ф-Кл = На —► НА —

имеет в некотором разложении диагональный вид:

где М\,N1,М%,N2 — в — А-модули, N¡,N2 — конечнопорожденные, р1 : \ М1 М2, : N1 -> N2. Под На подразумевается гильбертов

модуль ф1 А ® V^, где V¡ — унитарные в — С-модули, реализующие попарно нензоморфные представления С7, каждое повторяется счетное число раз. Индекс такого оператора равен [N1] — [N3] 6 Ка(Л). Среди свойств основным является следующее.

3.2.12.Теорема. Если ^ : ЫР,) : /3(Р3) :

'а №) —*■ ¡1 (Р\) суть ограниченные О-А -операторы, допускающие сопряженный, причем = 1 ил+ КиЗ(ЕР') - 1«д+ К? ,а Я-! и К2 — Л-компактные операторы в На, то Р является О-А-фредголыювым оператором. г

В §3.3 определяется аналитический ипдёкс С*-оператора с б' -нпва-риантным эллиптическим символом, являющимся морфызмом Л-расслоений. Соответствующим аналогом соболевских пространств являются гильбертовы модули, а оператор фредгольмов в указанном смысле.

В §3.4 определяется топологический индекс такого оператора при помощи изоморфизма §1.6, он принимает значения в Ка(Л)&0 и является расширением классического. Далее доказывается теорема об индексе:

ЗЛ.2.Теорема. Если а ■— эллиптический й-А-символ, то а-п1с! а (В) и \-\ndo совпадают как элементы Кс(А)

Глава четвертая посвящена получению эквиварнантной С*-теорс-мы об индексе, учитывающей кручение.

В §4.1 по-новому определяется топологический индекс (по классической схеме при помощи изоморфизма Тома из §1.7), он принимает значения в К°(А) и отличается от построенного в §3.4 (на основе §1.6) на элементы конечного порядка. Формулируются аксиомы и доказывается, что они характеризуют топологический индекс. Остальная часть гга-вы посвящена проверке того, что аналитический индекс, определенный в §3.3, удовлетворяет указанным аксиомам. Для этого необходимо развить теорию тина теории Сили, то есть более тонкую, чем в 3. и главе третьей. Это проделано в §§4.2-4.4. В §4.5 проверка аксиом завершает доказательство основной теоремы:

4.б.4.Теорема. Индексные функции а-Ш(1 и 1-пк1 совпадают (как отображения в К°(А)).

Следует отметить, что многие обычные (то есть имеющие место в случае А ~ С) конструкции тут не работают. Например, нет Ьц над

произвольным пространством с мерой, пет квадратичной интерполяции, пет рефлексивпости п т.д. Поэтому развитие эффективной теории операторов в гильбертовых модулях имеет здесь решающее значение.

В главе пятой теория С*-индекса применяется к геометрическим п топологическим задачам. Первым приложением основной теоремы является, после определения чисел Лефшеца L\ е Л"о(Л)®С, обобщение формулы Атьи-Лефшеца-Сегала в §5.1. Пусть Е — С?-1ггвариаптпый Л-комплекс на X, о(Е) — его последовательность символов,

« = [»(Я)) € йс(ГХ;Л),

ind* л(и) 6 Ко (Л) ® R{G). Число Лефшеца первого типа —

L¡(9,E) = indJiA(tí)(ff) € К0(А) ® С,

где отображение взятия значения расширяет комплексное. 5.1.7.Теорема. В тех же обозначениях

Здесь i — вложение множества неподвижных точек i : Xя —► X, N* — его нормальное расслоение, а знаменатель определяется так же, как в классическом случае.

В §5.2 определены числа Лефшеца второго типа L0 6 Н Со (Л) — циклическим гомологиям. Пусть Г = {75} — эндоморфизм Л-эллиптичес-кого комплекса Е:

0-> Г(Ео) Г(В,) 1 Го 1 Ti

О- Г(Е0) Г(Е,)

и •

'Ti+1di=diTi,Ti&Ená'AV(Ei).

Пусть выполнено условие: Соболевские нормы в Г(2?;) могут быть выбраны таким образом, что 2¡d* = 3¡+i- Положим Eev = фЕц, E0d = ФЕц+i,

F = d + d*-.r(Eev)^T{Eoi),

тогда Е — Л-фредгольцов оператор. Положим б'о = @Тц, 5*1 = ®7'а;+1 н дадцм следующее определение. Определим число Лефшсца, второго типа, полагая

Ь2(Е,Т,т) = Ь(Г,3) = Гг(5о|^о) - Гг(5,|^) е ЛС0(Л),

где тп указывает на зависимость от скалярных произведения (через с.Г), Na.Ni — из определении фредгольмова оператора, а Тт — композиция следа в обычном понимании и естественной проекции А -+ А/\А, Л) ~ НСо(А).

Остальная часть шграграфа посвящена доказательству корректности зтого определения.

В §5.3 доказывается, что Лефшеца двух типов связаиы при помощи характера Чженя в алгебраической К-теории.

Б.3.2.Теорема. Если Т = Тд, д е £? — компактной группе, то

12(Е,Тд,та) = СН°0(Ь1 (д,Е)), где СК% — характер Чженя:

СН1 : К0{А) НСо(А)

я _о

СЛ0(а ® г) = СИ°{а)г

для г £ С. В частности, ¿3 не зависит от та •

В §5.4 получены подобные результаты в случае НСц(А), I > 0. Пусть IV*А — универсальная обертывающая алгебра фон Неймаиа алгебры А, рассматриваемая с топологией нормы. Если II — унитарный оператор в Ап, то

. • Js^

где Р(<р) — проекторпозпачная мера в М (п, \У'А), интеграл сходится по норме. Сопоставим интегральной сумме

Iу*-рт

следующий класс циклических гомологий НСц(М(п,№'А)): получим

ти = [ ¿*<1{р®...®р)Ие НС2,{М(п,\УА)). Js^

Тогда Т(и) = ТгТII е НСц(\У*А), где Тг — след в циклических гомо-логпях. Для эпдоморфпзма из компактной группы можпо определить

ШЕ,и„та) = ^(-1)^(17,1^) 6 НС7,{А) »

5.4.5.Теорема. Пусть С7»5, : Ко(А) —» НСц(А) — характер Чженя, СЛ°,(а 9 г) = СН%,(о) ■ г при г 6 С.

Тогда

1„(Е,ия,та) =

в частности, £л не зависит от тс.

В §5.5 основная теорема применяется в теории индекса эллиптических семейств, здесь А = С(Х), где X — пространство параметров. В частности, получено простое доказательство теоремы Атьи об индексе семейства. •

В §5.6 основная теорема применяется для доказательства следующих теорем об обнулении высших А-родов, учитывающих кручение.

5.б.1.Теорема. Пусть М — компактное гладкое четномерпое спинор-ное многообразие без края, допускающее риманову метрику неотрицательной скалярной кривизны, строго положительную по крайней мере в одной точке. Тогда Ь-Ьба(Л^) = 0 е К0(А), где Оу — обобщенный оператор Дирака, построенный в 7 по любому плоскому А-расслоетпо V М.

6.6.3.Теорема. Пусть М — компактное гладкое четиомерное ориентированное многообразие без края, имеющее фундаментальную группу зг3 — 7Г] (Л/) с двулистным накрытием тг) —+ тг1, допускающее метрику положительной скалярной кривизны, а универсальное накрытие М -+ М спинорно. Тогда

Ыпа <г(/>+) = о е ® л),

где — обобщенный оператор Дурака, построенный в 7 но любому плоскому А-расслоению V —> М. ''

В §5.7 путем исследования индекса обобщенного оператора Хирце-бруха доказывается гомотопическая нпварпаптность некоторого класса индивидуальных высших сигнатур.

Б.7.3.Теорема. Пусть комплексное векторное рассмоление £ над В ж тривиально вне 1-остова. Тогда соответствующая высшая сигнатура

ГисНЦ)Ь(М){М\

является гомотопическим инвариантом. Здесь / : М —► Ви — классифицирующее отображение.

Автор выражает глубокую благодарность профессору Юрию Петр о-вичу Соловьеву и профессору Александру Сергеевичу Мищенко за постоянную поддержку и плодотворные обсуждения, а также участникам руководимого ими семинара, особенно доценту В. М. Мануйлову и кандидату физ.-мат. наук А. А. Ирматову. Автор благодарен всему коллективу кафедры высшей геометрии и топологии МГУ во главе с академиком С. П. Новиковым за творческую и благожелательную атмосферу, особенно хотелось бы подчеркнуть признательность доктору физ.-мат. наук И.'К. Бабенко.

lb

Публикации по теме диссертации

1 Троицкий Е. В. О спяэн комплексной п операторной топологяче-' скнх экпипариаптных /f-теорий // Успехи матем. паук - 1985.

- Т. 40, Вып. 4. - С. 227-228.

2 Троинкий Б. В. Теорема об индексе для эквявариантных С*-эллнпгических операторов // Докл. АН СССР - 1985. Т. 282, N 5. - С. 1059-1061.

3 Троицкий Е. В. Представляющие гфострапства /f-фупктора, связанного с С'-алгеброй // Вестн. МГУ: Сер. 1. Матем., мех.

- 1985. - N 1. - С. 96-98.

4 Троицкий Е. В. Эквивариантный индекс С*-зллиптических операторов // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1986. - Т. 50, N 4. -С. 849-865.

5 ТроипкгпТ Е. В. Стягиваемость полной общей липейпой группы С* гильбертова модуля 1?{А) [/ Фупкцвоп. анализ и его прил.

- 1986. - Т. 20, Вып. 4. - С. 58-64.

6 Троицкий Е. В.. Гомотопическая тривиальность полной общей линейной группы гильбертова модуля // Геометрия, дифференциальные уравнения и механика. - М.: МГУ, 1986. - С. 128-133.

7 Troitsky Е. V. The index of equivariant elliptic operators over C*-algebras // Ann. of Global Analysis and Geometry - 1987. - V. 5, N 1. - P. 3-22.

8 Троицкий E. В. Точная if-когомологическая С*- индексная формула. I. Изоморфизм Тома и топологический ипдекс // Вестн.

• Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. - 1988. - N 2. - С. 83-85.

9 Троицкий Е. В. О точной формуле для индекса эквивариаитного С"-эллиптического оператора // Избранные вопросы алгебры, геометрии и дискретной математики - М.гМГУ, 1988. - С. 116— 121.

10 Троицкий Е. В. Точная/Г-когомологическая С*-индексная формула. II. Теорему об индексе и ее приложения // Успехи матем. паук - 1989. - Т. 44, Вып. 1. - С. 213-214.

11 Troitsky Е. V. Lefschetz numbers of C*-complexes // Springer Lect. Notes in Math. - 1991. - V. 1474. - P. 193-206.

12 Троицкий E. В. Комплексы С*-операторов и характер Чженя в алгебраической /^-теории // Избранные вопросы алгебры, reo-

1в

иетрии н дискретной математики. -М.:МГУ, 1992. - С. 152-158. 13. Троицкий Е. В. Индекс обобщенного оператора Хирцсбруха и гсмотопически инвариантные высшие сигнатуры // Избранные вопросы алгебры, геометрии и дискретной математики. - М.: МГУ, 1992. - С. 151-152.

14 Троицкий Е. В. Точная формула для индекса эквиварнантно го С*-эллиптическога оператора // Топология и ее приложения (ТрудыМИРАН им. В. А. Стеклова, 'Г. 193) - 1992. - С. 178-182.

15 Троицкий Е. В. Оператор Дирцебруха на. кусочпо линейных многообразиях и высшие сигнатуры // Успехи матем. наук -1993. - Т. 48, N 1.- 0. 189-190.