Гильбертовы модули и их геометрические применения к изучению спектральных свойств эллиптических операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

л О

4 *',

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.З.ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

па правах рукогчюи

Филиппов Олег Григорьевич

УДК 515.168.5

ГИЛЬБЕРТОВЫ МОДУЛИ И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИМЕНЕНИИ К ИЗУЧЕНИЮ СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ

01.01.0*1 - геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой отепвни кандидата физико-математических наук

МаСШ-1990

/

о

Paúora выполкеиа на кафедре «истей гвоиехрии и гопологии ывхвмико-иадеивгичвоиого факуль'-пла Иоокоиского государс«венного

универоиав« инени И.В.Лаиоиоаова. *

Научай* руководитель - доктор фиэино-ыагеиахических наук,

лрофеавор А.О.Миивиш. Официальные оппонент: доктор йизико-имемагичеоких .наук, профеооор D.B,Егоров5 кенлида» фмашсо-иагеиашчеоких наук А,В,Пе*итнав. Ведущая организация - Белорусский государственный укиверсигв! имени В.И.Ленина.

Ващигв дквсерзгвции сосюиюа "" ctUs'ffl'Wúf I99Q г. в 16 Чар» 00 мин. на заседании специализированного Совета Д.053.05.05 ра м^гцыешне при ИГУ г главной здании МГУ ло адресу: lililí UooK»a, Лениискйе гори, МГУ, ивхакико-нехвиахнческий |еиуя*8вг.

С дкооерхадией панно ознакоштсн в библиолеке иеханнко-иа»еце?ичеового факулмезга ( I^-Й esas главного едшшя ).

V. ' -

Автореферат разослан "-J/ " dlííbCjli\ 1990 г.

/Ученый секретарь спаодалйайровашюго Совета

Д.053.05.05 при МГУ, доцещ В.Н.Чубариков

OEM ХАРАНТЙГИОГН'.'Л ГАМ)

t : Дктуал»^роть тины» Теория гильбертов«* С*->иодудвй а последнее время находят вое более широкая прямей «нив п рамичних об» лаотях топологйи( а также о сиежних с ней равдвлах мйтвщтики, 3 чиолв основопедагавцих работ я этом направлении мокше навои« работа Г.Г.Каопарова [I], [2] и А.О.Мишшо [з]. (.*]. Полученная в [?] обиая формула иидеква аллиптичевпаго оператор» Над С*-алгеброЯ (полное дохаэатеякстйо этой формулы приведено 8 работе [з]) вялвчила а оаби как чаоШв одучаи неявтвра» другие изпво'тннв ранее формулы дли индексе. а nos«9 я равате [Ч] :-илп дана еотеотвенная интерпретация а tepMRHex С*~алгвдр еще целого ряда раэлнчних вариантов тоории эл^иптйческнх операторов в евклидовом пространство и а сечениях гильбертовых раоолоейий над замкнутимм многообразиям,

Одии из основных методов, использованных э работе [VJ, ва~ ключалоя в интерпретации каллогв оллинтичзвкого оператора м

[Ij Каопаров Г,Г, Операторный К-функмр н расвирвнмя С*-мгобр,

- Изв. АН СССР, сер, натем., i960, т,<й, » 3, е. 5П-4Э6. [2] Kaipaioir G.G. Hi((?e>t C*-tnov/uee*: Meoiemi of Shne-ipbinp am/ Voicu fticu 3— J. Opt\aio\ TAeoiy; 1980, p. {33 - УSO. [3j Мищенко A.C. Теория эллиптических операторов над С*-алгоб~

ра*и, - ДАН СССР. 197Г\ т.239, » 6, о. 1269-1291, [t] Мищенко A.C. Банаховы алгебры, псевдодифференциальние операторы и их приложения к K-теории, - УМН, 1979, т,34, М б, с. 67-79.

[5] Мищонко A.C., Фоменко А.Т. Индекс эллиптических операторов над С*-алгобрами, - Изв. АН СССР, оер. матем,, 1979, т. 43, № Э, с. 831-859.

- г -

какого-либо рассматриваемого клааса как аллиптического оператора над специально подоб. щной С*-алгвброй йа компактном многообразии. В связи а этим представляется интересным попытаться, используя эту идеи, получить для некоторого класса эллиптических операторов такув интерпретацию их в терминах С*-алгебр, которая позволяла бы и спектральные свойства операторов изучать череа спектральные свойства операторов над С*-алгебрами на компактных многообразиях.

Так, в работе Р.А.Бикташава [б] ?ило показано, что каждый эллиптический дифференциальный оператор 0'(Х>) о почти-периодическими коэффициентами в пространство можно представить {после некоторого отождествления функциональных пространств, в которых действуют операторы) в виде тензорного произведения

Tflfb* (£)&/, (I)

где <ГА (2)} - эллиптический дифференциальный оператор над С*-алгеброй A—C*(CAP(Zn),Zn) - Сн-скрещеннык произведением алгебры C/\Pf!Zn) и группы Жп , - действующий в сечениях главного А -расслоения над тором; при отом спектры операторов V (D) и </4 (D) совпадают, if v(D)--if> ^ (Я). Однако для псевдодифференциального оператора Q~(I>) о почти-периодическим символом уке не обладающего ср Яством локальности - вопрос о возможности такой редукции, т.е. вопрос о возможности представления типа Cl) так, чтобы оператор в правой части (I) бил псевдодифференциальныи и vo^ (J>) , - оставался открытым. *

[6] Бикташев P.A. Спектры псевдодифференциальных операторов над С*-елгвбрами, - Весткик МГУ, сер.1 мат.мэх.,1960,№3,с.3ь-38

о

- з -

Целю диссортационной работы антора является обобщение результатов работы [б] на случай эллиптических псевдодифференци-алышх операторов с почги-пвриодическими символами и с ограниченными символами.

Научная иояизн^. Основные результаты являются новыми. Они состоят о следующем.

. Каздий поевдодиффараиииолышй оператор (Т(&) с почти-пе-рмодичееиим еннволон ( [7] ), рассматриваемый а или в

(Я В (воровская кемшаификация группы .) можно предста-. вить в вида СО, где (Ъ) - поевдодиф^ареиииалъниП оператор над С» -алгеброй , действувщиа в сечени-

ям гласного А -расслоения над тором, а { - товдоствеииий оператор в

¿'(г:1) ИЛИ, соответственно, в Lг fZ¿ ) При атом, если &(£>) эллиптичен или ограничен, то

■ур % (2>). (2)

. Каздий певвдоди^ферэнциаяьний оператор т(£>) а о

ограничанним символом ( [в] ) можно представить в виде

т(Ъ)~ О)

где Ту (О) - псеэдодиффиреициальний оператор над

С* -с зеброй

С. *(С$(г?.п) 1 Я-**) , действующий в сечениях глааного Ц/ -расслоения над тором, а í - тождественный оператор в

р] Шубин М,А. Почти-периодичаокио функции и дифференциальные операторы с частными производными, - УИН, 1978, т.33, № 2, с. 3-«*7.

[в] Групин В.В, Пс'бвдодифференциалыше операторы ь с ог-

раниченными символами, - $ункц. анализ и чго прил., 1970, т. Ч, № 3, с. 37-58.

¿<(2») , Еоли Т(Р) эллиптичен или ограничен, то

г (£) ^ (Ъ). СО

?

В вЛуЧй£ ВИ8РТ0 А к И/ можно взять произволь-

ные о^-мгвйри ,/Э' (Щ>п)>. такие, что А *=■ А ' ,

М/с ИХ1' » »в случае вместо А азять А

, та«*»» что А ^ А" . Соотношения (I) -

- й) при ВТРИ »19 ИЭНВИЯТСЦ.

Показана также, что если эллиптический псевдодифферанцналь-ций опаратор над С*-алг9броЙ, действуввдй ч сечанипк векторного рвословнии над гладким комцактним аамкиутим многообразием, слоем которого служит конвчр-пороадвниий проективный гильбертов С*-модул|>, является формально самосопряженным, то он существенно о&иосопряжеи,

Н^тоди исслв?.сваци^. 0 работе используются методы теорир Сн-алгейр и гильбертовых С*»модулей, теории векторных расслоений, функционального анализа ц теории эллиптических операторов.

Теорвтачаская И практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории.эллиптических операторов, в спектральной тео-ри" и в теории гильбертовых (¡"-модулей. »

Аппробация работы. По результатам диссертации делались доклады на семинара* кафедры выошей геометрии и топологии (рук. профессор А.С.Мищенко и й.П.Соловьев) и на 23-й Воронежской зимней математической школе (г.Воронеж, январь 1990 г.).

Публикации. По Теме диссертации имеется '(•публикации, одна из которых в соавторстве о А.С.Мищенко. Список публикаций представлен в конце автореферата.

Структура диссертации, диссертация состоит из введения,

шести параграфов, включавших в общей сложности 19 разделов, и списка литератур«, содержащего !Ю названий работ, Объем диссертации 121) машинописных страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Прежде чем переходить к изложению содержания р'^-^'О'1,1'» уоло-вимсл, что ссылка типа §'4.3 будет означать 3-й раздел §*1.

Несь §1 целиком носит вспомогательный характер, В нем приводится список основных используемих а работе обозначений, некоторые определения, а также отдельные утверздения, которые известны из литературы и на которые имеется ссылки в работе,

П §2.1 описывается некоторая специальная разновидность тензорного произведения С [I] Именно, пусть А -уиитальнаи С*~алгобра и пусть фиксировано некоторое ее точное прадотавле-ние в гильбертовом пространстве И , позволяющее считать А замкнутой к -подалгеброй в & (Н) , Пусть X - произвольный правый гильбертов А -модуль. На алгебраическом тензорном произведении определим комплекснозначнув форму , полодии на образующих , ~ уУх ^, у и продолжив по линейности. Форма < , р эрмитова и неотрицательно опредолена. Обозначив через X е" подпространство, состоящее -з таких «6 Х®дН • Для которых. <и , и у , мы получим, что X ИХХо является предгильбертовым пространством и его пополнение обозначим через X <Э а Н . Основным в §2.1 является

Предложение 2.1.3. Пусть X , У - правые гильбертовы А -модули, /■' X—г У - ограниченной А -гомоморфизм, допус-

кающий сопряженней ( [Ц] ). Тогда существует единственный ограниченный оператор /• , для которого коммутативна диаграмма ■ ,

хеАн > и

Хё^И - /ё1 >Уё/!И

где вер'мкальные стрелки является естественными ^лоекциями но плотные подпространства. При этом

~ ■{*!§) 1 и если ^ ■' У-* 21 - ограниченный гомоморфизм гильбертовых А -модулей, допускающий сопряженный, то - (?ё1)({§ 1) .

Б §2.2, §Е,Э рассматривается неограниченные А -операторы в гильбертовом А -модуле X • Множество таких операторов, определенных на подмодуле У с. X < обозначается через

К), и для их спектров предлагается несколько видоизмененное.

Определение 2.2,4. Спектрои 5/> / оператора / будем называть дополнение к множеству таких чисел Л £ <С , для которых оператор Л имеет от ^аниченний плотно определенный обратный (У- , причем сопряженный к (У* оператор

определен во аду в X .

Если в определении 2.2.4 отбросить последнее требование, то мьг получим другой спектр; который обозначим через ^ / • Ясно, что з^э/с А и чт0 ПРИ — С оба эти спектра совпадают.

Пусть /е (Ус= X) и пусть имоется оператор 0 в

С. 1

X , удовлетворяющий условиям:

у обратим, д(Х)**У .

^ - ограниченные А -операторы (5)

X —' X, допускающие сопряженные. Из условий (5) следует, что К является гильбертовым А -модулем относительно скалярного произведения <£у, у

у, У'¿У. »что УёАИ можно считать подпространством в Х&аН У & 1 - неогра-

ниченный оператором с ойлаотьв определения М .

Теорема 2,2,?. Пусть кроме (5) оператор £ обладает такжа овоПотвои, что р плотно э X . Тогда сладувцие условия

эквивалентны;

1) оператор / замкнут и / <£ ,

2) оператор У & 1 замкнут и /ё Г Ф € , Если выполнено одно из двух эквивалентных условий I), 2), то

'Эр г

Предлог,(йнив 2ТПусть • /^ а (У*— X) - замкнутый оператор и пусть оущоотвует оператор у • X—» X , удовлег-ворявщий уоловиям (5). Если С*-алгобра А обладает точным неприводимым првдотавлэнием, то -!>£> У = -у У .

Как известно, Сн-алгвбра - простейший гильбертов модуль над собой, - вообвд говоря, не рефлексивна как банахово пространство С [5] ). И известных не автору работах рассматривались псевдо-диффвранциалыше операторы на функциях, принимающих значения

[9] Диксмье Ж. С*- алгебры и их Представления, - М,, Мир, 1974.

г

- а -

либо в рефлексивны* бан«хових пространствах ( [Ю], [и] и др.). либо в штчна-парозданиы« проективных модулях.( [3] - [5] и др.) Поскольку излагаемые в §*) конструкция продатавлявт, по -видимому, интерзс и в олучаа произвольных гильбертовых С*-моду-лвй, то §3 фактически является вспомогательным и содоркит,элементы исчисления псевдодкф^аренцм&лынк опвраторов в /К л , действуедин на гладких ограниченных функцмих' со значениями в произвольной банаховом пространстве £~ . В качество символов здось рзсоматрикштоя гладкие В> (Е) -значнио функции Q(x, у), уяочлетеоряйишо при некотором m £ /Д оценкам

К cUt/ a-Hvf4/! r nn, (6)

для всех ^¡jS £ * , Каждому такому символу О" ставится в соотватствие псевдодиффаранциалышй оператор (Г(Х>) на гладких ограниченных • f -значпых функциях и (х) по формуле

U(D)u(xJ~ Г/л/^е' fX'/J' ф, (7)

где

в окрестности нуля. Проверяется независимость определения операторов V(&), от выбора функции % , устанавлиивтся формула асимптотического разложения для символа композиции и для символа оператора, который получится,

[Ю] Хармандер Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т.З, - М.. Мир, 1987.

[п] Luke. &. Pieuctc-diffeieniCat cpeialon on HifSe>/ gundtei, -- J. Ъ<'//' Etjuaftoni, f9?<2, v.iZ, 3, p. S6'f - 5<S9.

аслн в (7) заменить &(х, у) на у), Доказан также ряд

других вспомогательных утверждений,

В б1) рассматриваются операторы в сечениях ассоциировании* расслоения над тором. Пусть А - унитальшя Ск-алгебра, Е -правый гильбертов А -модуль и пусть задано действие группи Ж п в Е унитарными А -операторами. Обозначим через ^ расолоонио над тором Т п со слоем Е , ассоциированное с главным Ж "-расслоением /Кп—» п / Ж. п - Т п. Непрерывные сечения расслоения мо»но отождествить о непрерывными Е -зиачними функциями и (х) , удовлетворяющими условия склейки:

и(х *а) ~ хе/£", ае Ж."- (В)

Дифференцировать сечения тоже моыю как обычные £ -эначниа Функция, а интегрирование по тору заменить интегрированием по стандартному единичному кубу . Символами-псевдодиф-

Феранциальиих операторов а сачеииях расслоения 4 естественно считать такие гладкие функция О (х, у) во значениями о В ^ (Е) - Ск-алгебрв всех ограничение А -эндоморфизмов Е , допускающих сопряженные, - который удовлетворяют оценкам (6) при некотором т е /К и условию склейки:

<ГСх+а, у) * а, а* Ж*. (9)

Множество всех таких символов обозначается через 3 . дому символу (Гё ЗтС%) ставится в соответствие оператор

&(£) на сечениях К € /"* ) по 1}%муле (7). Такие опе-ратори ми называем "глобальными", хотя позднее будет доказано, что они является псевдодиф^еренциальниии. Результат» §3 ароматически переносятся на "глобальные" оператора причем из уело-

вий вклейки (8) и (9) рледует, что эти операторы отображают Г00С^.) в себя и что композиция и транспонирование (т.е. замене в (?) (Г/Зг, 1?) иа. Т(у, у)*} нэ выводят из класса "гло-балишх" операторов. Естественным образом определяйте« и Соболеве кие А -модули А* . как пополиенип, по соответствующим ¡юркам. Теорема А.3.5. Пуеть (Ге1 б- т (4) • Тогда для каждого оператор (Г(2>) может бить про должен .по непрерывности да ограниченного А -оператора Н ~—. допускающего сопряженный.

Определение *}г3.б. Символ (ГС (и соответствующий

ему оператор <?(!)) ) наэоБЗм квазиэллиптичаским, если найдутся такие пололительныо константы и Сг , что для всех

у е, 1ц1> С^ , элемент </7Ъг, у) обратим в ^.-алгебра В (£) и // Г(х, у) -/// < Сг, (11/41) ~т

Предложение 'к З.й. Пусть (Г£ 5 т(4) квазизллиптичен. Тогда существуют такие символы £ ~т(4). > ^г ё ^ > что сг (Л) х(.2>2 /у- X.) (Х>) , т-(1>) ст(£) / + ¿ег (£>)..

Заметим, что в.предложанни 4.3.8 ничего не говорится о ком-па 'ности операторов (Х>) и ('¿у, ¿Если гильбертов модуль Е конеч ;о порожден и проективен, то согласно определениям и результатам работы [5] и сег(Е>) являются компактными Ап -операторами, а &(£>) - эллиптическим. Однако обобщение этих результатов (и даже определений) на случай, когда £~ - произвольный гильбертов модуль,- вопрос, требус-щиЯ специального изучения, и мы предпочли ввести термин "квези-эллиптичиость", поскольку в наии планы не входит выявление каких-либо других аналогия с "настоящими" эллиптическими операто-

рами, кроме указании* в предложении 4.3.8, лемм» 4.3.10 и теореме. '(,3,11.

Лемма 4,3.10. Пусть rre S^(^) кваоиэллиптичвн. Воли

(/HYV и <г(Л)иеНЧ$) > ™ ut H

àffA

Теорема 1.3.II. Пусть <reSm(i;J . Рассмотрим сt(DJ как неограниченный А -оператор в , определенный на

подмодуле /~"X>C4J . Если m 0 или если <J~(2>) квяаи-зллиптичен, то его замыканием Являетоя оператор G~ÇD) с областью определения Н^О.) ПНС(£) . w

§'(.4 посвящен доказательству певвдодиф^вренциальнооти "глобальных" операторов. Пусть псевдодиффоренциальный оператор m построен по символу как в с помощь» ло-

кальннх карт и разбиения единить

Теорема 4.4.2. Для всех uef^fè),

ф)и(х)~ <t(D)u(г) = j К(х,у) и(у)а>у ,

Г*

где К - гладкая В % ÎEJ-значтп функция на х ¡R.n ,

причем К(х+а, y-téj'al/CÎr.yJ'iï для всех х, р £ К"-> 6 ZLn , т.е. К является гладким ядром в смысле Л.Шварца.

В §4.5 рассматриваются два частных случая расслоения : . I) слой Е равен алгебре Д - в этом случае обозначим получаемое расслоение через 4-/ . и 2) алгебра А равна (С - в атом' случае вместо ^ Суден писать %г , но слой обозначать по-прежнему через Е . Наличие 'унитарных действий группы Z,n в модулях А и Е эквивалентно задании унитарных представлений, которые мы обозначим черзз Я} и . Пусть имеется также точное представление УГ С*-алгебрн А в Е , для

которого диаграмма —

1■

-> ВЦ (А) ~ А

В(Е)

коммутативна. Тогда кавдай символ

можно считать

также символом из S^f^^)- Чтобы различать эти символы, будем первый из них писать j индексом I, а оторой - с индексом 2, т.е.

и, .соответственно, <Гг , Условимся такяе опускать в обозначениях Jrf , и П (не забывая при этом, что гомоморфизмы и Жг могут, вообще говоря, иметь ядро). Рассмотрим отображение <] : Г"" Е ■—' Г м (4г) , которое

определим на образующие формулой е)(зс)<^ и(х)(е) и продолжим по линейности.

Леина 4.5.4. Отображение ^ корректно определено и индуцирует изометрические изоморфизмы ■нЧ*,)Зае—//YiV.

К IR .При этом для всех т, <£ т е /R , имеют ме-

сто соотношения <}4_т ' CD)&t) = CD) ° fj , 1 €.

Следствие 4.5.5, Пусть <TieSmCff). Если m<.0 или если О} кв&зиэллиптичен, то Sp (К, (D) - Sp где ^¿(Т)'1 рассматривается как оператор в У "(с областью определения

В §5 вместо тора мы рассматриваем произвольное гладкое ком-

ra.j . .

лактное замкнутое многообразие X . Пусть А - унитальная Си-алгебра и 4 - векторное А -расслоение над X ( [5] )« Соболевские А -модули сечений На (¿,) псевдодифферепциаль-ные операторы и эллиптичность последних мы понимаем как в [4].

Сдоем -äj служит конечно-порожденный проективный А -модуль.

Удорудо Пусть ф(Ъ) - эллиптический поевдодиффе-

ранциальииА А -оператор порядка т , деИвтгувщий в вечинияк раоолоения $ . Соответствующие <г(2>) операторы в H„(4), определенные на Г"*1 ($) и, ооотвегстгвнно, fl»

обозначим через <Г и, соответственно, Vm . Тогда ё — , Если вдобавок оператор (Г симметричен, то он существенно самосопряжен, т,е. (Г * if" <Гт .

Заверяет работу §б, в котором используются результаты всех' .предыдущих параграфов и докааываатся соотношения (I) - (4). Зададим дейотвиэ группы в пространствах ¿а 2(Жл) , L*fZ£) , Cä(Zn) и CAP{Znj2-C(3£) с помощь«)

обратных сдвигов: f(z)\-► /(в-aj , ае ,

или , - и ассоциированные расслоения над тором грп со

слоями L *(&*■) , L2(Z%) . CefZV и САР (ZV будем обозначать, соответственно, через • 4 ß > и

, Алгебра W~C*(Ct(Zn),

имеет точное представ влепив в пространстве L 2f Zn) , а алгебра А — .

- в пространс^ах LzCZ'ta>) и L 2(¿Ln) ( [I2J ). Отождествляя С№-алгебры с их образами, можно в последнем случае считать А под-Сх-алгеброЙ в W . Мы зададим действие группы ^ W в алгебрах А

и W , рассматриваемых как правые модули над собой, умножением слева и соответствующие ассоциированные расслоения над тором со слоями А и 11/ обозначим через и 4 у/ .

[12] Антоневич А.Б., Бреннер В.Б. О символе псевдодифференциального оператора с локально-независимыми сдвигами, - Л.^Н СССР, 1980, т.24, № 10, с. 084-887.

поло-

Определим отрйражение F •' ' *F'a*(-4c}t

жив F/fxJfaJ-/f*t<V. , .

ае Ж п , и пусть отображение F • САР00(R V —Г

является ограничением F на САР*" . В лемме 6.J.I, в частности, докааиваетсц, что отображения F и F' корректно определены.- коммутируют с операторами дифференцирования и являются иаоир|4и8мамн пространств Фраиз. Поэтому ми коже» лю-бце символы СГ£ APSт и TeSm ( [7j ) интерпретировать как символы из S^f-f/)) и рассматривая

F'vfx, f) и, F"T(x, у) при каждом фиксированном у € как функции оу хе/Лк оо значениями в САР(2.п) ^ А и, . соответственно, в Cg(Жп)с Г . Полученные таким образом символы будем обозначать через ^ и Т^ , т.е. дописывая индексы к исходным .обозначениям. Пусть H^OR^), 4 £ iR , -оободевскиэ пространства на ¡Rg С [?] ).

Теорема 6.'3.2. Существует изометрические изоморфизмы

Ft ■' —^Н Yfa) L*удовлетворяющие для всех

VeAPSm соотношениям ^ "ХЦ /Я.

Георема б.З.ё Суяаствувт изометрические изоморфизмы

К:kv — нлвА> 4 L

в\ • н л(л») —>нYVR,

удовлетворяющие соотношениям ^

«Г, (£)Sf~ о ГСД> » К TeAPS™

Tw (D)i> f = . tr(D) « в;', T£ S n) .

.Доказательство тзореи 6.3.2 и 6.3,5 проводитоя по одной охе-ме: сначала строятся изометрические изоморфизмы tt i )

и И ) , а затем примокяотоя лем-

ма 1.5.4. Поэтому мояно было бн л теореме 6.3,2 вмвото А оялть произвольную лод-С*-олгебру А ' с 3 (L )) , оодор.таиув

А , а в теореме 6.3.3 вместо А я И/ пзять такие под-С*-алгебрн А '[ 8 (L*(Zn)) , что А ^А " , W^W'. При атом важно отмстить, что все указанные алгебра операторов А , А' , А " , W , W' является неприводи1'.чми.

Пусть <Г<е APS'*, fe Будем рассматривать операторы

rfpj , rfs), (Г; (£), г(D) и TW(J)) КПК оператора . соответственно. в H°(!R.n), НсH°(/Rn) и

, определенные соогветствонно, на С^ (i/Zn) , CAPm(iR"), ГЮ($А), с™ (/¡?п) И .в pa-

боте [7] было показано, что если </£ эллиптичен или

если т ё; О , то &(£>)= fDj , Обобщением этого ре-

зультата является •

Теорема б.У.2. Пусть <Г£ APSm . Тогда условия: I) <Г эллиптичен, 2) ¿А эллиптичен, - эквивалентны. Если выполнено одно из условий I), 2) или если tn 0 , то = -if V (23) ~ -if г (D),

Теорема 6.'(.3. Пуст:, Тё S m . Тогда условия: I) Т эллиптичен, 2) Т^ эллиптичен, - эквивалентны. Если выполнено одно из условий I), 2) или если т^О , то -if v(D) -лр f^fp).

С учетом предыдущего замечания мы получаем, а частности, что если /JPSm и Tr-Sm эллиптичны, то Лр (ГА (D) =• = 1^0г ,(Ъ) = 4рГАя(Ъ) и *f rw(T>) =ry> . .

В заключение следует отметить, что разработанный здесь метод позволяет получать аналогичные теоремы и для других классов эллиптических операторов, Пусть, например, оллиптичеакип символ токов, что для всех

у) принадлежит подмноквству В1 ¿У как функция от х£ /Дп . Тогда можно рассмотреть произвольную под-С*-г :гебру В ¿с (Ж.п) , инвариантиую относительно сдвигов, для которой Р !8.п)с:- Вг и взять 1$ -

.=- С *(В^.| Ж,п). Рассуждая аналогично предыдущему ,1 мы получим Т(й) ё 1 и Т(Т)) * Т-^(Г>) , а вели

вдобавок (¡"-алгебра В имеет точное неприводимое представление, то ■л-р V(Х>) - . Используя изложенный метод, можно получать также теоремы о совпадении спектров в различных пространствах, как, например, в теореме 6А.2.

Автор выражает глубокуп признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору АйС.Мищвнко за постановку задач и помощь в работе.

ПУВ1ШЦИИ ПО ШВ ДИССЕРТАЦИИ

1, (В соавторства с А.С.Миздшо). Редукция эллиптических операторов с почтя-периодичеокими коэффициентами к операторам на компактных многооОрдаиях, - Вестник МГУ, сер.1 матам., мех., 1969, » 5, с. 78-81,

2, Операторы в сечениях ассоциированных расслоений над тором. Редукция к ним эллиптических операторов о почти-периодичеоки-ми символами, - Рукопись деп. в 1ЩИГЙ 11,10,60, К 7418-68, Г09 с.

3, Редукция операторов с почти-периодическими символами к операторам в сойолевских С*-модуля* сечен««. Теорема о совпадении спектров, - Рукопись деп. в ВИШИ 14.10,63, » 7419-88, 41 с.

4, О редукции псевдодкффаранцнадышх операторов с чграниченны-. ми символами к операторам над С*-алгвбрами на компактных

многообразиях, - УМН, 1989, т.44, » 3, с. 173-174,

Подписано к печати 20/1Х-90 О&ьем I печ.л. Зак.701 Тир.100 Ротапринт Баш г осун-та, 450074, г. Уфа, у л. Фрунз в,

О