Асимптотика решения краевых задач с начальными скачками для сингулярно-возмущенной системы дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

•КАЗАХСКИЙ ГОС^АРСТЕЕЕНШ НАШЮЕАЛЬН^: п:_:-.?СИ1ЕГ як. АЛЪ-ФАРАЕИ

РГ6 ()Д Г..="е&-2Я1Ч9СЕЕП факультет

/ Ь 'ИЮП 199'* На ргеопек

АШЩЗА Айгуль Ьенессвяа

АСДЛТСТИКА РЕШЕНИЯ КРАЕЗЬЯ ЗАДАЧ С НАЧА-ШШИ1 СКАЧКА!,?! ДЛЯ аШШЛРЯО-ЗОЖШЕНЭ^ СЖЛгКЬ' ДЙ^ЕРЕЩШгша УРАВНЕНИЙ

CI.0I.02 - дафференшальаые зразненгя

Автореферат

диссертапли на соискание ученой степени кандидата оязЕко-,"сте>:атачесга1Х наук

Алиатк,19Э4.

Работа еыпояенна s Казахском Государстэднноц университете »м. Аль-Фарабя.

Научные руководители:

иеаулгя опганялапня:

Официальные оппоненты:

член-корр. HAS РК, доктор физико— математических наук, профессор КАСЫМСВ К.А.;

кандидат физико-математических наук, доцент КАСШОВ А.

Киргизский Государственный •университет

академик АН Республики Кыргызстан, доктор физико-математических наук, профессор ИМАКАЛИЕВ М.И.; кандидат физико-математических наук, доцент АБИВДАЕВ Е.А.

Зашита состоится " .Т..Г ,. ¿¿¿'к-'1994 г. в

»асов нз заседании специализированного совета K.I4/A.0I.05 по присуждение ученой степени кандидата физико-математических • наук в КазГИГ им. Аль-Фарабя по адресу: 480012, г.Алматы, математический факультет. ул.Масанчи, 39/47.

С диссертацией мотао ознакомиться а научной библиотеке НазГНУ.

Автооетарат оазослан

/ / * J-.? ^-САгЛ . 1994 г.

Ученый секретарь • -пецчалипированного совета, :-:анд» 2ат типико-математячегких ч:яук. доцент

КАШКЕЮВ Б.М.

- 3 -

Обгшя характеристика работа

■ Актуальность теин. Кно'гле задачи физика, механики, костяке, тесшл автоматического управления и др. описываются с помощью сиЕгулярно-возь-ущенных обыкновенных дифференциальных уравнений. Еак известно, определение точного "резеяия таких уравнений в водавлякщек большинстве случаев представляет трудную задачу. Поэтому чаще всего прибегают к прибликеяныи метода!.", К числу наиболее эффективных методов прибликеняого регения этих уравнений откосятся .различные асимптотические методы.

Л.А.Лвстерник и М.Й.Бкшнк разработали гЗйектввннй асишгаотя-ческий кетод для ре пения линейных синтулярно-Еозыузенных обыкновенных ди^фереЕпиальнь'Х уравнений и уравнений в частных производных. £дя исследования задачи Еози для нирокого класса систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с калым параметром при старшей производной А .Б.Васильевой разработан асимптотический метод построения реаений, позволявший изучать такте а многие краевые задачи. М.И.Иканалпевык разработан асимптотический кетод исследования различных по характеру задач для ззрокого класса спягулярно-возмушепяых систем нелинейных штегро-дифференниаль-ннх уравнений. Эти методы, развиваясь'и дополняя друг друга, в настоящее время получили общее название "метод пограничных функций" Листерника-Влляка-Васильевой-Иудяалиеьа.

Значительный вклад в развитие теории сингулярно-возмущенных уравнений внесли такге работы А.Н.Тихонова, В.Ф.Бутузова, В.П.Мас-лова, Л.с.Г:онгт.ягияа, Е.РЛлиценко, Н.Х.Розова, В.И.Рошова, С.А.Ломова, Б.А.Трс-югияЕ, Б.А.Тупчиева, М.М.Хапаева, А.Б.Филатова, Ы.А.Еесм-ОБа, К.К=кивова, К.Аликкулова и др.

Цель саботы - получение опенок реиения скягулярво-возмущенясь кпаевой задачи-для системы линейных возмущенных уравнений,

ке лзу-авпихся ранее, определеяве необходимого условия сущестБО-заяяя начального скачка, выяснение характера роста производаьх регалия в окрестности краевых "точек с яЕлеялец начального скачка, а таказ яостроение асимптотического реиеяяя сангуляряо-возмущея-Eijx Ераеввх задач с начальными скачкама для систем ланейних -а яелаяейнь'Х дафгеренпаалькь'Х уравнений.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следузз-Z£3 результата: I) доказана георемн об оценках решений санг-удярко-Еозмущенннх краевах. задач для сястем линейных дифференциальных уравнений я об-оценках разностей мезду решениями возмущенной и яенозмуцеяной задач; 2) найдено необходимое условие существования начального скачка; 3) построена асимптотические разлснедяя решений. краевых задач с начальными скачкаьщ для саятулярно-возмуцен-ных систем линейных и нелинейных дифференциальных уравнений; ■ 4) псоеедены опенка остаточных членов асакЕготических разложений с произвольной степенью точностя до малому параметру.

Теоретическая и практическая денность'. Получеяяне в работе результаты могут быть применены в качественной теория дифференциальных уравнений я в практическом решения некоторых задач физика, кеяаяяяи я других областей. Полученные асимптотические формулы пригодна двд нахождения приближенных решений рассматриваемого класса краевых задач я могут слугам базой в качестве начальных приближений Ери часлешцгх расчетах яа ЭВМ белее слоеных задач.

Апссбздля работы. Основные результата работы докладывалась на Кевдународной научной конференции "Методы кал ого параметра" (Москва-Нальчик, 1987), на нлучвом семинаре кайедрн дифференциальных уравнений КазШ? (рук. член-корр. HAH PK, профессор Каса-

ко» К.А. д вро£. Мкрзалиев Л.Б.), на научнок семинаре кафедры ypsEKt:-:ü2 катекатической ¡*нзики КазШУ (рук. npoi. Теидрбула-Tos O.K.), на научном семинаре лаборатория обыкновенных дифа-е-ренцаальнкх уравнении ИГЛЫ ШШ PK (рук. член-корр. HAH Ш, про;.. Умбетканов Д.У.).

Руйликапия. Основные результаты диссертации опубликована в работах Б ]

Структура я объем ддссертапяи. Диссертация излокева на страницах. иашшзигсного текста и состоит из •введения, двух глав и списка литературн, вклвчаодего наименования.

Зо Езедеяяи приводится краткий обзор работ, близких к рассматриваемым вопросам, и излагается основное содержание диссертация .

В первой главе исследуется сингулярво-возыущенкая краевая задача с начальным скачком для системы линейных дЕфреренциадшнвх уравнений.

В § I рассматривается синг уляряс-возку ценная система лине£-нь'Х дифференциальных уравнений вида

малый параметр.

Задаче (1),(2) соотьетствует следующая хнрокденкая система уравнений:

ЛЛ ■ ' ' (з)

J2i±)z! *ъАш =J= м.

Кратное содержание работа

CI)

с кргевнки условиями:

(2) > О-

- 6 -

Предполагается Бкпогшеяге следуацид: условий: I. Фуккзш ' Д (Ь. ), В^'-Ы, С1 , Я" (-к), Ж И ) СчС-Ь) ? СЛ^! -2 /^(.Ь) для простота будем считать достаточно гладаамя на отрезке С -к Ь ^ {;

Е. Функпаг- и } удовлетворяют неравенстве^:

£(1.)? £ = СемЛ

1 ; -

Е- Чйслс I при достаточна ыал&х с не является собственным значением ядра

• ^ (- хр) ¿у]

Г <"' г 1 ' ^

где о; - функция Грдна следующей однородней краевой

задачи:

?('о/£) = о, г ( ' '

1У. Функция ъ

■ -ь

/ Г В^?) V , „ с" я. 0>,07

'вщо * *

х

удовлетворяет неравенству к/ ( I, о) ф 0 } где Я ) -резашзеята ядра X 1+ , -О , вкрагаекая формулой:

> -с

. ¿хо (- I Лр - (с, 1.

3 § 2 найдена ссевкп реиашг сцагуля.сзогсг-греяпсЗ ксле.вс задачи (1),(2) на отрезке ЦолЛ- Сснсвны.' результате;.- ; 2 является

1еспекз_1. Пусть вьполнены услсзля 1-Ш. Тогда лрл достаточно «жак <5 реаеняе сяягуляпно-рс^г'угеяно!.; краевой задача (1),(2) на отрезке £"0,13 гупеств^ет, едаяст-ренно л якеет следущае опенки:

С^/Н^^ С-Ь\ /з- И,ь)!-

/

(¿-т^ слр С-

1 [I I (М,£ >гци: //-„¿-£0 I + ^^ I г1 ^ -г 1 = £ ~ í

I ^

• №, с,) + ъ (0,ь ИлоДО ■ (1 - I е-х? (-

^ ХТ^Ю/Ь ) + $¿(0)- 2 (0,Ь) I

-+1гСО,&-) I-(£-■*• &хр

где Л^О^^^У? С _ некоторнэ постсяклые, незевисяЕие

от , £ . "

В § 3 рассматривается яевозМусеяная система (3) с различнв-ка доподнятельншш условиями. Б конечное итоге, е качестве до-дсшштельяых условий для яевозмушешюй сястеин (3) зыблраются

- в -

краеь_:е условия

га'^г^д«»^'^», (5)

где Л и назовем качадыт: скачкск реления и ¡' ^ 7 ) с2Н-

гулярно-возг/у ¡ценной задача (1)Д2), а начальна!! скачок

определяется фосыулей: . Аи = ¡-) , - начальный

, ч - '

скачок селения • 2 (Ъ, £. ) сгшгулярЕо-всзяувдндоа задачи (I),

(2) а точке = С ара <£. 0. Е § -3 Лг определен однозначно.

Теорема 2. Пусть выполнена условия 1-17. Тогда для разности канду регегаем ~2(-Ь / ) / ^ {Ъ/ ) сингуляряо-всакусеяноЛ краевой задачи (I), (2) я репенпек невсзмусеяноЗ задачи (3), (5) на отрезка О^Ъ — при достаточно калнх £ О -справедлива опенка:' ¡2 Ё(-Ь)1 елр ¿-¿-^ )

12* г'аз] (е)

Ил теорзг.'н 2 следует следуйте предельнее равенства:

и>п 2 ( ) = 2 и ) . О - Ъ ~ < '

(¿^ z' (Ъ,£.) = z'(b) о i-Ь. é, i

0 ' '

Cüw 3 ít ,£-] = U 0 ^ 14.

¿.-** o " ^

Ко ЭТИ2 предельных равенств еядно, что предельный пгсзход

для = (t, ) / U(t;¿L) авеет ¡¿вето для любого Г. » крс^а И =0. Равнскерный предельней переход будет вне шло! окрестности точки t = О. Зту окрестность кн а назовем зсно£ псгса-•;дч:;ого слоя с явлением начального скачка.

В 5 Л для псследозакля реленпя синхудярно-всз^ущенлсй краевой задачи (13, 123 предварительно раоc.v-этрдзпеiся следyisas

- 9 -

задача Кода с начатьнкк скачком:

, г (с,!, ) = г* • * ' ' - (7)

Ч 1С'1) = ¥> .

где С - С(£~) - некоторая неизвестная пока величина, представляемая в вдде гсшаиотичесного разложения по степеням £ :

с - а + г ci -

коэффициента определяется яяве, К = 0,1,2,... . Репеняе задачи (I), (7) ищется в виде суккн:

/ од

= Ь л ^

; еч к-с " / £ /

где ¡¿(^ ] (главные члена асиь'лтстики) я гГсссу.йсг)

(согрансло2нке чзенв асигдтстики) - резэяие следующих систем ДЕф^ереасиЕльнях уравнений:

| у'! - ^ ^В. ц.) 2. г - ^ ^; • (9о)

1 ' (10о)

а в Б-01! прпблигеаяя (Е = 1,2,...) дг.:ее.м следужие систем ураз-' неш£ для • Н«/* ^ (^ ), гГк (т; (ТГ-; :

| £ 1 „ (9к)

ц г Мо)ъ - <?ь с*), (10к)

+ 4= ^ )}

где ^ ("£- ) } 1 г ?,.(')- у ее язгестнш ^ункпии, котурне

•Екрагагсгся через V. -Уо* з "

- 1С -

Используя начальные условия (7) к делоаяатгг^кае условия:

ПГ (о* ) - О, •-!/ = о/О,

к ' * ' (II)

для систем дятгерен11иальг;ых уравнений СЭо), -Юо)

задав?ся начальные условия:

( 3". (о ) = :-

i * jj0) ) (т9о)

Со

!■ г / л 5 _ - 5е— ,'г Со

(0)" л (с; , V, к / ^ 7 |<яг, (о]- £¿0?' ^777 .

Для систем (9к), (10к), К = 1,2 ... определяются следующие

начальные условия:-, ^ _ ^ со) (2. (о 1 = _

К '

1

112к)

1 л^о? г

\ о л^ о

Н = с«- к-¿,2,... ,

где несобственные интегралы, входящие в (12к), (13к), сходятся В § 5 получены опенки коэффициентов асимптотических разложений.

Б теореме 3 § 6 доказаны существование и единственность репения сингулярно-возмущенной задачи Коаи для системы (I) с начальными условиями

2(0,Ь)-*:, = =

в окрестности главного члена Состроенной асимптотики (8) и равномерная на [ 0,1^ опенка остаточного члена порядка С^" >■ В § 7 доказана следующая

Тесоема 5. Пусть выполнены условия 1-17. Тогда в некоторой

достаточно кзлсй скресткостд существует едпнстэен.чоб "на^е-нае такое, что на ГодТ редеше ? у

сингулярно-возмущенной краевой задача (I), (2) суаест:-уг;т, единственно я оно допускает асиютотическсс разлозенлз (8), а для остаточная членоз (£■,&} дерны спензд зз тессета .3.

В § 8 дпяваделы дрлкеры, дТдлгсграрусЕае зн^еуказллясе ягде-няе начального сказка.

В главе И построено асдг/лтотлчесдсо сегеяде сянгулярне-гсз-«ТсенноЗ краевой задачи для нелянейгоЗ системы Д2фференцаальй--с уразяенл5.. Для этого лсвсльзуегся дзлоезнезй в главе I злхоглп,*, но с суиестзеянагл особенностями.

3 § I глады П рассг/атрядается слягулярновоз!.'уссдЕая олстсуд аеляяеЛянх обыкновенных ддйхереяпиагьнкх уравнений шра:

1 ... I

с краевыми условиями:

= (к)

где £ > 0 - малый параметр, 2 _с > ^ £ ° — азвестяке постоянные.

Задаче (15),. (15) соответствует следуюгцая Енроядгяная састз— ка нелинейных дафсеренцаатьнкх уравяенлЗ:

' I

с краеэывд условиями:

- 12 -..

Построение л обоснование спразеддсвостд аслгдтотяческЕХ разложений ведется при следувсех требованиях:

I. Функция Л(±., 2 ); )

е Области | Ц ¡£. . 12 ) "яелявтсе

достаточно гладыши в для простоты гоено считать их бесконечно ди|ференлеруекь'ьсс.

П. Вдроцденяая задача (17), (18) яыеег единственное реае-кяе ^(-Ь), у ) на -Ь £ ;

Ш. Функпля А I-/'',3 ) удовлетворяет неравенству:

Л (г-/у, г ) ^ Р > 0 , С^и,- } .

Для исследования ыштудярно-зозкусенной краевой задачи (17), (16) предварительно рассмотри: следу »цую задачу Козш с начальник сг-5чко;.::

-г. {О ) = Н/, г С19)

где С-(Ь) = Сс т £ 1 ... £ * 0,1,2,... - неинЕест-

ные дояа постоянные.

£ § 2 ошсквается алгорати построй чтя асгухотпяи регеЕдя сднгуляряо-возмуцеяяой задачи (15)', 19).

РеЕенве 'Ищется б вяде: 2 £ ггк1Т) + ^

* ' ' «-о . (20)

и К I''4- к т- .<» /л [ 1

I/ (1; £.} = X. ^ +Х / +

11 ь-.е

где регулярнее члене. >; ) (глее икс здбеы) к

2 (1-^ ^ ? ; к' - решения следу епг.х састек дийерен-

циадьнах ураввенеЁ: ' Л - г-

■ ¿-с ^ - г-^ 121о)

- С-

(?1к)

ппзчец С ) эысагается через 2. 2- 2/ 1 =

(-ь ) зкрагается через , 1 .а функция.;',^

-.г' г* г! й-', р /1, вычисляется з точка (Ь, '-и, Используя начгшгке услсвяя (16) я дополнительнее условия:

-■'Г /о- / = С Т" С .с ) — О --чГ" ¡') - с, к -0 '

1 -'г / ^ ' £22}

для еастек уразяенза С2ГсО, (21к).задастся нзчзлггке услсыя: -..•4 1с) - и/ ,

— в

.4 (с, ::;с/ э У?

(22с)

=- ~; 1- ! ^ !г (V-(о Л (22ц)

Н^легсо прг&ллиЕНне псгрЬзслойне! часта"аслывтэтдкя

- ) - сэ^енне сладзкЕяЗ сдстегга гелзЕеЛннг усязнешга:

~[с1 и.¿с}г^сы,2,/о-V-г;сг(>; = с

( ■ * (24с)

г следуггде пр^лдгсяня согряяслсйлс^ чассл ^Лг^ ¿•/¡лс..' Х=1,2,... - редендя гс¡X"оде 2 елд-нсссл сдстем ллнейдкд уразнендЗ:

¿Леи 4

г< {-,>) - ,7 (0,^1*) ] 2* 'О) П-¿ь +

&< с; №), з. йу т-%{г)}-/г;-

I «.V

„ /

7 í, ( ^ J , K=I,2,... - уке известные

сгунюии ¿ ввоггаегсл чеоезг'- v • -iv • г. -

- / / • / ' .

¡¡ополвзуя (lo) e (22) для систем уравнений (24o), (24к),

ведаются начальные условия: гГ / о) = — ' - - . /£>; ,

(25о)

!?t{0)=-- -----Г i X '^IciC^Ct-zlJ^j

Ьп.п * i'¡ 1 J JÁ25z)

i ' u ¡ 1 /,' ~c 1" / p . /

Cío) - ÍO 1 /

j

В § S,4 пал^енн оценка вогранслойнкх коэффициентов разло-

есн"я :: определяются неизвестные параметры ■ С,-- ? К=0,1,

2,... цЕХодяпде в (19). •

Ь § 5 доказаны существование л единственность реаеакя

г (i-, Ч, -ií ti, £) задачи Коша с начальным скачком на отрезке

i C,I~|, ere асимптотическое представленае (20) и равномерная

Г) / bti -¡ ■

опенка остаточных членов порядка Ь (£. 7, *

Б § 6 доказано, что е некоторой' достаточно малоа окрестяоссл Сс существует единственное значение С- С tí-) такое, что решение 2 (Ь, С-, Ь- ) ^ U (t, С; ) задачи Кош (15), (19) является единственным решением краевой задачи (15), (16) и оно

допускает асимптотическое представление (20), а для остаточных

о с П i , м )

членов Kh , ^ справедливы оценки С ( ¿ Л.'

Список птбдикар.'й:

1. Аухациева А.З., Есдасэ У-А Об опежсах родэнж? краевой задачи с начальным скачксм для лагйнкз уравнений. /'Тезиса Методы малого параметра. Тезисы дскладзв Зсесоюзнсго на-.учнсго совепаяия. Нальчик. 1387 г., о. 13.

2. А7хадяеза А. К. Асимптстиса р^эеаия краезсЗ задачи а начальна« егсачксы для кзаёидян^ангй • с яегема. //гееяу^ликаксягя межвузовская научная конференция по математике и механике. Ал-маты, 1989, с. 11.

3. Аухаддаза А. К. Асимптотическое pezesne краевой задачи с начальным скачком для системы динейньк

уравнений. /VZeя. Ззз. ГссйНГИ 4720-1-34.

4. Аухадиева А. К., Касажзв ?- .V Сденка решения крайней задачи с начальным скачком для система линейных дифференциальных уравнений. //¿Тес. Каз. ГосИКГЛ, 4731-Н34.

'5. Аухадюгва А. К.. Касимов К. А. Аеямггзтичесхое регкняе краевой задачи с начальанм скачком для системы нелазейкых дифференциальных уравнений. // Деп. ?аа. ГсслКТИ, 4722-1-34.

ATXAKthEA. AillYJl KEtiECFJ£3H CiiHr/.lspjffii ayunqcas 3H&pepeHr|i!a;iflH TCHflsyjiep sYifcci yhuh oacTanK;a var.iic-Tspi fiap ¡seKTeareH ecenrep HeaiMaepiHiH aciainTOTviKacH.

cqn sYMHcra CMHryjiHpjas ayHT^KraH CUSH^'TH ¿wppepeiUHaJiiH ron-syjiep XfV.eci yeih (SacraraiH T3iviici 6ap mektesreh ecsnTiH sssiyzazH ip nane TeK 6'ipey ra.Ha <5ojt/h, ohhh EenyiHiH daracu Typajm Teope.va-ip sexsa^eHrea mane ecenTin memyiHiH acm.inTOTKKacu ^/pHJEFaH,

Och atajiraH ecen cunryjisipm a/hth^irah ch3Kh;cU3 flh!|xfepekii:-ia.i-j TSH.ney.iep sYfteoi rum fls KapacTupHJain okhh cenyiHiH ac:ain'roT;::ca-i ja rsavip najiny^ ;jyceci fciriuiaHapa.

| A'/iiadieva Ajgul Kenesovna*""

Asyiaxotic solution of border value .. ' problems with initial jumps for systens of singularly-perturoed differential " equations.

in tilts tresis, the -.heoreras of existence and uniqueness " tiie- solution of the ¿order value problem "nth. initial jump r system cf sinqularlyperturted linear differential nations have been proved as well as the istimates of the luticn and the asyiritotics of its solution have been ructured-

The problem of singularly-perturbed unlinear differential iaticns has been considered alongside with structure /mtotic solution of it. Besides th*? estimates of residual ibers have been obtained.