Асимптотика решения смешанной задачи с начальным скачком для сингулярно возмущенных гиперболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени АЛЬ-ФАРАБИ

РГ6 ОД

? ' ГУ"' На правах рукописи

КУБЕСОВ Нуржан Ауданбекович

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ

СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМ СКАЧКОМ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алматы 1994

• Работа выполнена в Казахском Национальном Государственном , Университете имени Алъ-Фараби. Научные руководители: член-корреспондент НАН ЕС, доктор

фгзико-математических каук, профессор

'.кыаиов к*а., ;

. . кандидат физкко-математячесюгх наук, доцент КАДЖШОВ 'Б.М., ■Официальные оппоненты: член-корреспондент НАН РХ, доктор

физико-математических наук ХАРИН С.Н., кандидат физико-математических наук, доцент ЕС.-'ОЗ Т.А. ; Ведущая организация: Институт математики АК Республики Кыргызстан ' ■ ^^ Защита состоятся " ')• 1994 г. в часов на заседание специализированного Совета К 14/А.01.05 по присуждению ученой степени кандидата физтео-матема-гачвскях наук в Казахском Национальном Государственном Университете им. Адь-Фараби по адресу: 430012, г. Ададты, ул. Масанчи, 39/4?.

—_ознакомиться б библиотеке КазЖУ т.

Адь-Фарабк. ' . ■ : —;——------

Автореферат раэостая

"Иг _ . ^ ' 1994 Г.

Ученый секретарь Совета, кандидат,физико-математических наук, доцент

КАДЫКЕЮВ Б.М.

0РП1ЛЯ ХЛРА1СТЕРКСТЖА РАБОТЫ Актуальность те'.'?;. Асимптотические методы исследования сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений привлекают к себе неослабевающий и возрастающий интерес, который стичуля-руется интенсивным развитием таких отраслей естествознания, как газодинамика, кинетика, квантовая механика, физическая хт'чик, динамика сорбции /сч., напри«ер, [1-3]/ и многих других. Любая математическая модель, адекватно описипапцая реальные процессы, зависят от тех нч иннх параметров, в том числе сингулярно.

В сауостоятедьиует математическую теорию аокмптотичоскоо интегрирование сингулярно воз!туг»ениих задач с^ормилось после основонолагаитас работ А.Л,Тихонова, л которых били доказан» пгароко известные нчне теоремы о предельном переходе для системы ноликс^иих обчкновепннх пяЭДрронцапльннх уравнений с падал параметром при старших лроизводннх.

Значительнш! вклад в развитие теории сингулярно возмущенных уравнений внесли работн М.И.Бкшка и Л.А.Люетерника, А.Б. Васильевой, В.Ф.Кутузова, Н.Н.Боголюбова, Л.С.Понтрягиьа, Е,О.Мищенко, Н.Х.Розова, М.И.Йиаияллева, В.П.Уаслова, Б.А. Треногипа, В. {\, Топчиева, М.М.Хапаева, В.И.Рожкова, А.Й.Ильина, К.А.Касимова и др.

Дальнейшее исслецованяе сингулярно возмущенных уравнений, разработка, модификация я обобщение•методов интегрирования таких уравнений - актуальная тема математических исследований как с теоретической, так и с практической, прикладной точек зрения.

Цеть'п работа является исследование поведения решений смешанных задач для сингулярно возмуиояних гиперболических уравнений с

неполным вырождением при условии, что производная решения неограниченно растет в начальный момент времени лри стремлении малого параметра к нулю, что приводит к появление начального скачка.решений и построенпо методом пограничных Функций асимптотических приближений решений этих задач. г{аучная ,новизна. .результатов , работы .Для решений смешанной задачи для сингулярно возмущенных гиперболических уравнений с неполным выр'оздением определены величины начальных окачков; построены -асимптотические разложения решений -рассматриваемых задач; получены равномерные в рассматриваемой области оценки остаточных членов построенных разложений. Теоретическая и практическая значимость. Полученные в работе результаты имеют теоретическое значение для исследования сходных по постановке задач, могут иметь и прикладное значение при математическом моделировании соответствующих лроцес-соа физики,'механики и других областей науки. Построенные асимптотические разложения могут служить в качестве начальных приближения при численных расчетах.

Апробация уабдтьг.Результаты работы докладывались на Всесоюзном научном совещании "Методы малого параметра" / Нальчик/, на Всесоюзной конференции "Асимптотические методы теории сингулярно-возмущенных и некорректно поставленных задач" / Бишкек/, на научно-теоретических семинарах под руководством член-корр. 1ШТ';СГ~про1>оссора^(7Л7^1сымоват~член-корр—НЛН-РК—профессора-Д. У.Умбе ткпп ова, член-корр. EMI PK, д.ф.м.и. С.Н.Харина, д.ф.м.н. С.П.Темпрбулатова, д.ф.м.н. Д.М.Мырзалиева. Нтгуктуг^ работы■ Диссертация изложена на 37 страницах чаяило-писного текста, состоит из введения, восьми параграфов, раз-на две главы и списка использованной литературы.

КРАТКОЕ СОДЗК-АИИВ ГЛЕОТЫ

Во введении приведен обзор результатов теории сингулярных возмущений, обосяопана актуальность теми диссертации и кратко пзлохепо содержание диссертация.

В Jinpjioi: главе исследуется первая краевая задача с большой начальной скоростью для сингулярно возведенного гиперболического уралнешгя, пироздаодегося в обыкновенное днфрерон-цг.альное урапн^нке перкого порядка.

В § 1 пергой главы приводится постановка слодующой задачи. В области D = { {'£, : О < 4 4 Т , О < JC < 1 ] рассматривается уравнение

с 7jú¿, + A (i х) и, + в dsс) аF (К (i)

Ъ Í" о ус с ягпаишг-га условиями

t¿(0,cc) = <р (ас) , (2)

(з)

я краевыми условие

C¿ ( ¿, 0~) ~ ¿'¿3 , U(í^-f) (4)

где £> о - малнЧ параметр, при стремлении которого к пулю начальная скорость ¿¿¿ неограниченно растет.

Предполагается, что I. функции Ан^)^ Вс'^-*),

<А (h) я ^ (-£) в областя Т> являются достаточно глац-ккмк;

О. функция A i-/^) в Э удовлетворяет 'головки

a, »о ^ г > ° >

2-;i 4 2

Функции . 8 U, , Fft,^ Y(CC)J и (i) ,

(I) в угловых точках (0,0) и (0,1) области J> удовлетворяют условиям согласования: <¿<0J> = у>(сО , /Со) f (О >

Yo;. = reo) = о, > fe; = у а) = о, ¿.'Vo; = i> "(о) ¿f ?oj = * to = 8 (oyo) *¿(o) - F(o,о) , В ^(о) Fío, -0

При выполнении этих условий существует и единственно классическое решение задачи'-.' (±)~(4) . ' Если рассмотреть вырожденное.для Cl) уравнение

ла*>ffBay*)¿¿ = (5)

то решэние. этого обыкновенного цичЭДУеронциашшго уравнения уже не может удовлетворять всем'условиям (2)-(4U Более того, решение этого уравнения, удовлетворяющее исходному начальному условию (2), т.е. L¿Co,x}~ ые ¿удет служить прибли-

жением;/ для решения исходной 'задата при малых £ даже на отрезке . -¿0 ¿ í i Т , где -¿а>0 ~ сколь угодно малое, но фиксированное яри £-»О число...Для вырожденного урарнения приходится задавать измененное начальное условие

при этом, если удастся.подобрать функцию Aтаким образом, что решение уравнения (5) с измененным начальным условием будет предельным. при £~»0 для решпния uíl/x^t) задачи (1) -(4), то'функция А (Х-) называется начальным скачком решения и. I £ задачи (1)- (4).

Асимптотическое.разложение решения задачи (1)-(4) строится в. виде

= и£ ■+ (*,х) + +

4 , <б)

где , , - логранслоГшие

независимые переменные, -регулярная часть асимп-

тотики, гс*^ ¿г, зс) - пограничная функция, опмсываомая обыкновенным дгЛ'уерекцпельни'.", уравнением второго порядка и игранная рель в окрестности стороны í-0 области 1} , а гг и - пограничные Функции, описываемые

параболическими уравнениями и игращие' роль п огрестност:: сторон х-о и х = -( области X) соответственно. 'Гуикции ^ ъч (&, к Ь)

ищем ь виде рядов по целим степеням £ , например,

^ ( к^) - ъ-г + сг^ос) .

гге о, ¡О - <Л> С ¡д f s) •+...■

В $ 2 нерпой главы построены два первых приближения разложения. (6). В частности, в нулевом приближении для регулярного члена ¿¿0(1,л) имеем уравнение

а для погрлнслойноЕ! по "переменной I функции и^ ("с, х) уравнение

о , (3>

Необходимым условием для функции пограничного слоя является • требование и/^ —» О при. К ->'-*о° , что определяет вид решения уравнения (3)

иг0 ос) ^ С0 <*0 {--А С*»,*) Г 1

и вынуждает дополнить уравнение (7) видоизмененным по срав-

~ 6 -

нению с (2) начальным условием

где Д - величина начального скачка. Величины С01*)г,

Д (X) . определяются из условий цгс +

ЦГо СО,Х)= ,

откуда Д(оО = -Св(*:>* ■

Полученная таким способом функция Иа ( х_) (Г, х) не удовлетворяет краевым условиям (А), что объясняет присутствие в разложении. (6) погранслойних по х (функций ^ (^Л) и

Функции а,ь) и ^с,V) определяются из следующих задач для параболических уравнений:

И АМН0 - - -

= /а) - 5Т~?Г<Я > - о ч

'Отметим, что |'ункция С*,3с) не вносит повязку в краевые условия Ш, так как -и^ (о,о)~ ^ в силу условия

Ш, в свой очередь, Функции £¿,5,) и на вно-

сят невязку в пазушные условия, что объясняет отсутствие в асимптотике угловых логранфункций.

В параграфах 3 и 4 первой главы устанавливается слодугдаю оценки построенных погранЬункциП:

| к. съ ^>1 * с р <-<£-с) , и, ^ I ^ с ^р

где с - о, 1 ■ С > о, я. > О - постояннчо, ив зпиисяпкз от £, £ и .

П § 5 доказывается теоро'/.а об оцвнхо остаточного члена. Коли ¿¿¿¿^л, - точное решение задачи (1)-(4), а

<. -о

то г, области £> имеет г/осто оценка:

Ра,*, о II о-1/(Ало1иО(£г)

Мь) •

'■о второй главе диссертации строится асимптотика нулевого порядка ло Ma.io.vy параметру решения следующей смешанной зада-чг. с начолышм скачком для сингулярно воз^/ущенного гиперболического уравнения, вчро^даипегоея в параболическое:

I

.^¿г^и' + + в(в)

& ъ = ( СО < ь * Т) х (0<х<1)]:

= (10)

и а, а}-о, а2)

При выполнении требований относительно гладкости входных данных задачи (?) -(1.2) , условий согласования в точках (0,0)

-в -

и (0,1) , а также выполнения неравенства <4, Je) £ у> О в области 5 асимптотика решения задачи (il)-(!'?) строится в следугацок виде

и с х- £ )•= ие ( ъ, x) f £ и, /ч, jc) uro fr, х) ч-

гпе UQ - регулярная часть асимптотики, (г^х)

- погранслонная Т'ункггия в окрестности стороны ~t - О , Т -Функции (-fc) , играют в процессе построения

и.обоснования асимптотики вспомогательную роль и не войдут в окончательный виц асимптотического представлений. Определение последующих, болоо высоких приближений наталкивается на принципиальные трудности, связанные с характеров вырождения исходного уравнения и тем, что производные высших порядков от решений параболических уравнении нчеют особенности в угловых точках (0,0) и (0,1) , порядок, которых растет с росточ порядка производных,

Нулевое приближение UQ (¿j*-) определяется краевой задачей для параболического уравнения

UoiQ,0C.y s» _¥>|sc) fA(^)

где величина начального скачка А(Зс) определяется совместно с нахождением погранслойной функции из обыкно-, • венного дифференцналънрго уравнения

+ А.(«,*) - 0 го

Решая уравнение (14) с дополнительными условия®!

(о, ~ у ^. (ж)« о

выписываем его явное оопекип

Функция «0и ,>■) совместно должны удовлетворять начальному условию (10)

Чс Со.х.) 4 - Ч>(Х) ,

откуда получается величина начального скачка

Д (Ос) = У(зО/А<°,аО 'В третьем параграфе главы 2 доказизается, что решение задачи (Ю-(12) равномерно в Ъ с точностью О (£) приближается суммой ¿¿о и^ЪСК^О » то есть справедливо представление V ; - ..:'.•",

в котором остаточный член Я с) имеет оценку: ■

Пж^.оИ = о (О

П^б.такации. По тематике исследований.диссертации опубликовано семь работ, из них непосредственно по .теме/диссертации - четыре [4-7], работа [5] опубликована в соавторстве с.научным руководителем К.А.Касимо1'Ы?-1, которому принадлежит-постановка задачи: :.

1. Кубесов К.А., Ротип А.А.' Об асимптотическом разложении ' решения одной задачи дт,намики сорбции / Методы матого параметра. Тезисы докладов всесоюзного научного сорацания. Нальчик, 1Г37, с. '31.

2. Кубесов H.A. О двух моделях динамики сорбции при высокой скорости кгнетики// В кн. "Некоторые вопросы вычислительной математики, математической физики и программного обеспечения" , изд-во Московского Университета, с. 3-5.

3. Кубесов К.Л. Об асимптотике рвимигл задачи першновзспои динамики сорбции// Математика и механика. Тезисы докладов

S Республиканской мезшузовскоК научно;; конференции по математике и механике. Алма-Ата, 1939. с. 113.

4. .Кубасов H.A. Асимптотика решения краевой задачи д.дя гиперболического уравнения о начальным скачком, пиромца,гг;егося в параболическое// Тезисн докладов Всесоюзной конференции "Асимптотические методы теории сингулярно-возвдуценних уравнений. н некорректно поставленных задач", Ришкек, 1991, с. 6fi.

5. Касимов К.А., Кубесов H.A. Асимптотик?t решения счэзанкой задачи с начальным скачком для гиперболического уравнения с параболическим пограислое*«// Доклады АН Реслублкки Казахстан, 1902, 'S 5, с. 3-12.

6. Кубасов H.A. Асимптотика решения смешанной задачи с большой начальной скоростью для сингулярно возмущенного гиперболического уравнения, вцрогдяктщогося в параболическое// Вестник АН Республики Казахстан, 1994, с. 73-76.

7. Кубрсов H.A. Сингулярно возмущенное гиперболическое уравнение с начальным скачком, внро»даш.ееся в уравнение первого порядка// лаз ГНУ, 1994. - 13 с. - Рус. - Деп. в КазгосИНТИ

1В.03.1994, Per.

KyC-iCOB H.A..

XteR ;iiiit'i>?peHmia.'i xatre nap30c.ra.raiK Teiuwyjiepre T03riJHii3itTUH cifnr/JiHp.mi ayurwjraii runepoo^ajiuk teiupyjrap vim h menu mi hi h-cacTamcu Tyuaaacu cieitci 3 ocaejii Oojianw uioktik ecerr Hapacra-pujiraH. Byji ecerrrepjw menuR/iep/ii u CacTarwM ceKipwect nailaa oojiaOT, ciKipMejiepaiK MOHaept atiuRTajiraH. tlieiai tijiepat u acsmo-TvwaJiHK xiKTeMeci KYpyjiraH, :KI KreMeaepat H Ka.fl.iiuK Mymejiepi oara-iaHraii.

kubesov N.A.

The boundary problem with a large initial derivative of solution far singularly perturbed hyperbolic equations, degenerating into ordinary difterential and parabolic equations is considered. These problems load to phenomena of initial jump of solutions. Initial jump» values are defined, asymptotic expansions including ordinary and parabolic layei* (unctions are constructed, estimations of these expansions are obtained.