Асимптотические решения для уравнений поверхностных волн тяжелой жидкости, находящейся на упругом основании тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Толстова, Ольга Львовна АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ
1993 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.03 КОД ВАК РФ
Автореферат по математике на тему «Асимптотические решения для уравнений поверхностных волн тяжелой жидкости, находящейся на упругом основании»
 
Автореферат диссертации на тему "Асимптотические решения для уравнений поверхностных волн тяжелой жидкости, находящейся на упругом основании"

Г б о л

государственный комитет российской федерации

ПОВИСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРС1ВГННЫЙ ИНСТИТУТ ' ЭЛЕШЮНИКИ И МАТЕМАТИКИ

(технический университет)

На правах , укописи УДК 517.95

ТШСТОВА Ольга Львовна АСИМ1ПитЧЕ)СКИЕ РЕШЕНИЯ для УРАВНЕНИЙ ПОЕЕРЖОСГНЫХВОЛН

тяжелой жидкости, находящейся на упругом основании

01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1993

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Московского государственного института электроники и математики

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

профессор С.Ю, Доброхотов

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

профессор ЕВ. Радкевич

Защита .диссертации состоится 8 февраля 1934г. в 16.чзс. 00мин. на заседании специализированного Совета К.063.68.05 в Московском государственном институте электроники и математики" п-> адресу: Москва, Б .Вузовский пер., 3/12.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГИЭМ.

кандидат физико-математических наук Л.А. Баги ров

Ведущая организация - Харьковский государственный университет

Автсреферат разослан " " декабря 1993г.

Ученый секретарь специализированного Совета доцент

•-Л7 ИЬур*со$.

ПХШнуркое

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Диссертация посвящена исследованию системы дифференциальных уравнения в частных производных, аписываюаея распространение волн в тяжелоя жидкости, находящейся на упругом осноэлнин и нахождению точных и асимптотических решения задачи Коши для этап системы.

Актуальность теми, Задача о волновых движениях жидкости в бассейне конечной глубины, как правило рассматривается в предположении, что дно жесткое. Однако э некоторых ситуациях, например, в задачах о волнах цунами, возбуждение происходит благодаря действию источни -■ ков, находящихся в основании бассейна. Вероятно, в том случае, когда источник находится на дне бассейна можно ограничиться рассмотрением гидродинамической задачи о волнах в слое тяжелоя жидкости. Однако, когда источник находится в глубине основания, нужно использовать другие модели. Однако из гипотез (моделей) описания такого рода процессов предполагает отказ от жесткости дна и совместное рассмотрение упругой и гидродинамической задачи. Наиболее полная модель была предложена Г.С.Подьяпольским [1]. Её главной идеей являлось использование упругой модели среды и уравнений Яамэ с учетом гравитационных членов в качестве уравнений движения частиц среды, что и позволяет рассмотреть в единой постановке как гравитационные волны в жидкости, так и упругие сейсмические волны в твердой среде. Эта модель изучена существенно слабее, особенно в математическое литературе. Явные фор мулы для решения получены лишь в случае специальных начальных

(11 Подьяпо гц,ския Г.С. Возбуждение цунами землетрясением/ЛЛетоды расчета возникновения и распространения цунами М.:Наука, 1978.

данных или резного дна (си., например,. 12]), в {3] изучены поверхностные волны на границе упругой среды и жидкости, без учета гравитации. Б общем случае таких формул нет.

Первый естественный шаг в исследовании такой модели состоит в получении теорем существования и единственности решения и нахождении некоторых априорных оценок, . следующий • в получении некоторых точных и асимптотических решений.

При этом по самой Физической постановке задами интерес представляет, во-первых, изучение решения задачи Коши на достаточно больших временах и, во-вторых, ситуация, когда дно бассейна неровное, что означает наличие в задаче переменных коэффициентов.

Цель работы состоит в доказательстве теорем существования и единственности решения системы дифференциальных уравнения в частных производных, описывающей распростреиие волн в жидкости находящейся на упругом основании, и построении некоторых точных и асимптотичес -ких решения этой системы.

Метр,пика уг-г-пдпопэнич . В работе используются методы общей теории дифференциальных уравнения в частных производных для получения теорем существования и единственности и методы построения точных решении, основанные на представлении решения задачи Коши в виде интеграла Фурье и последующего его анализа [4, 5]. Кроме этого, исполь-

(21 Зеолинскип Н.В., Никитин И.О., Секерж-Зенькович С.Я. Генерация волн цунами и волн Рэлея гармоническим центром расширения// Изв АН СССР. Физика Земли. 1991. ЬР 2. С.34-44.

13) Молотков И.А., Крауклнс' П.В. Смешанные поверхностные волны на границе упругой среды и жидкости//Изв. АН ОХР. Физика Земли, 1971. ЬР Й.

зуются методы построения асимптотических решения псевдодифференциальных уравнения, развитые в работах [6-81.

Научная цошша . В диссертации:

- доказано существование и единственность решения задачи Коли для уравнений, описывающих волновые движения в слое жидкости, находящейся на упругом основании;

- в случае, когда граница раздела жидкости и упругого полупрост -ранства горизонтальная плоскость, решение задачи представлено в виде интеграла Фурье;

- построены асимптотические решения задачи о волновом поле источника, локализованного в упругом полупространстве;

- в квазиклассическом приближении исследованы эффекты, вызванные неровной границей раздела жидкости и упругого полупространства..

решения задачи о волновом поле источника, расположенного в упругом полупространстве и формальное асимптотическое решение задачи о распространении волн в жидкости на упругом основании при плав- <

[4] Березанския Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наукова думка, 1965.

[5] Мизохата С. Теория уравнений с частными пронзводиыми.М.:Мир,1977.

[6] Маслов ВЯ Операторные методы. М.:Наука, 1973.

[7] Маслов ВЛ., Федорюк МБ. Квазиклзссическое приближение для уравне -кип квантовой механики. М.:Наука, 1976.

[В] Доброхотов С.Ю. Асимптотики поверхностных волн, захваченных берегами и неоднородностями рельефа дна//ДАН ООСР. 1986.Т.289, №3. С.575-579.

. В диссертации получены асимптотические

изменении глубины. Результаты могут быть использованы при иэучеки прог-*сов возбуждения и распространения волн цунами.

Апробация ра&пы. Результаты диссертации .докладывались на Всесок ном совещании по численным методам в волновой гидродинамике (Роста на-Дону, 1990г.), Всесоюзной конференции по цунами (Горький. 1990г.) научных семинарах Института проблем механики РАН и Московско института электроники и математики (1990- 1993гг.).

Пу&жаши . По результатам диссертации опубликовано 4 работы (а список в конце автореферата).

Структура. и рб>.еу работы. Диссертация состоит из введения, трех глг и списка литературы (41 наименование), она содержит 101 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Ш_Е2йдшш сделан краткий обзор литературы, описаны постановк] задач и кратко изложены результаты диссертации.

В перроя рлл^е доказаны существование и единственность решена задачи Коши для уравнения, описывающих распространение волн жидкости, находящейся на упругом основании.

Математическая постановка линейная задачи о распространении вол в слое жидкости на упругом основании состоит в следующем. Идеальна; незавихренная жидкость описывается потенциалом перемещения ¥(х, г деформации упругого полупространства вектором смещений t3 {к, г, t) "(«1. «2. "з) (х ей2- горизонтальные координаты, z - вертикальная), плоскость z- 0 совпадает с невозмущенноп поверхностью жидкости, z--< (х) с границей раздела слоев i/ и V определяются из следующей системь уравнений и граничных условий,

V2C? + (с2 - i)vdiv£? - ц, 2£?С(» г< -Н{х), (1)

- 0, - Н(Х)< Г < 0. (2)

* Ч», » 0, С - 0, (3)

г- -//{х):

Ри2*« -

- - о3л(г7) (4>

¿я

£7- 0, г-» -■>», (5)

о /у (£7>» (с2 - 2)Ьц<НгО + + , I,;'» 1,3,

л, - - (и Я2 - Я^ )-"2 , - - (1 + к\ ♦ /Г* у1'2.

Дажа в линейной постанозкэ задача оказывается весьма сложной. Поскольку по физической постановке задача содержит подвижные границы - жидкость - упругая среда, свободная поверхность жидкости, то она имет нестандартную форму с точки зрения классической теории дифференци -альных уравнений . С частными производными: уравнение для потенциала перемещения жидкости - уравнение Лапласа - э отличие от ураэненкп Лами для смещений упругой среды не содержит производные по времени, а с другая стороны производные по времени содержатся в граничных условиях. Поэтому правильная математическая постановка' начальной задачи сопряжена с дополнительными рассуждениями и представлением вектора решения в некотором не совсем стандартном пространстве функция.

С точки зре ия применения общих методов теории уравнений в частных производных удобно представить задачу в стандартном виде:

где 15 -■ некоторый матричный жтегродифференциальныи (псевдодиф-ференциальньда) оператор по переменным (х, г). Это действителыю оказывается возможным, если использовать в качестве неизвестных вектор--функцию из пяти компонент:

три первых компоненты «I, иг. «з. зависят от х, г, /, а две последних только от х иУравнение для 3?, эквивалентное исходной системе, получится из нее исключением уравнения Лапласа и представлением части условий на границах в виде уравнений. Задача о волнах, возбуждаемых источником для рассматриваемой модели, является задачей Коши для Функции Я с начальными условиями

Имея в виду интерес к решениям на больших временах для реализации первого шага оказалось удобным воспользоваться схемой, близкой в идейном смысле к схеме, развитой в работах (9, 10) , существенно

l91Garipov R.M. On the theory of gravity waves: the theorem of existence and uniqueness/VArch. Rat. Mech. Anal. 1967. V.24, N5. P .352-362.

(10 Шевандроа ПЛ., Исаков P,B. Задача Коши-Пуассона для двухслойной жидкости переменной глубины /Математические заметки. 1990. Т. 47, вып.6. С.31-44.

Я- (и{,иг,и3.ч0,уИ)Т,

(7)

использующей свойство самосопряженности. Известная схема исследования смешанных задач 111-131 дает теоремы существования и единственности лишь на малых временах, что недостаточно для наших целей. Используя те же соображения, что и в теории оболочек 11дг.я исходной задачи легко построить некоторое энергетическое пространство со скалярным произведением, индуцированным выражением для кинетической энергии

(ясп^а)}. Щ(£7<1>,#<2>) <я?+ (8)

2 21~Н(х) 2

(к - оператор, сопоставляющий вектору у - (у означение (а* (дг)|!„0 и (д'Р / ), где оператор Л будет симметричным,

но не строго положительным. Последнее обстоятельство не позволяло доказать самосопряженность рассматриваемой задачи и прямо использовать схему (9, 10}. Поэтому мы рассматриваем другую задачу, приближающую исходную, но уже со строго положительным и самосопряженным оператором, Во-ЗЗ^ —<?, где <? Я (й,Р0 - (0,ч<0)Г. О 6(0,1). Р

Последующее использование схемы £10] и теории возмущения дает требуе-

1111 Агранович U.C. Граничные задачи для систем с параметром //Мат. сСорннк. 1971. Т.84 (126). № 1.С.27-65.

1121 Сакамотс Р. Смешанные задачи для гиперболических уравнения. 1(П //Математика. 1972. 16:1. С.62-100.

fl3IKreiss И.О. Initial boundary value problems Гог hyperbolic systems/ZComm. Pure and Appl. Math. 1970.V.23.P277-298.

114 J Асланян А.Г., Васильев Д.Г., ЛидскИЯ В.Б. Частоты свободных колебаний тонкой оболочки, взаимодействующей с жидкостью Функшган. анализ. 1PÖ1. Т. ! 5. вып.З. С. 1-9.

мыв априорные сценки и доказывает разрешимость задачи в соответствую -щих энергетических пространствах,

Теорема 22. Пусть 2(0) е Ye, 2<1) е Щ, е L2 (О.Г;Н0). где

, 0 - п Л4. При достаточно малых п > 0задача (1) - (5) однозначно разреши -ма; 2(if)e ¿J(0,r-,V0). jf<0) е£.2(0,Г;Н0).

Справедлива оценка

т

I (И*(011£.е *Аг||Х(Он1 )* * си<*г1|Я(0>1|| +ll*(0)ilb * о

г о

где(£?<°>.?<0)>7 - «<0),(i?(0>.*(0>>r-^.H-HmiSft'in,,).

Bjt (S) - Hjj (Sfj )xEl(S0), Bfc- стандартные пространства С Д.Соболева, 2

И ~ Н1Л(5)х i (Ow), Ше - гильбертооо пространство, совпадающее как множество с !Н, наделенное скалярным произведением:

(Ü,9)0 fif( - скалярное произведение в ¿2 (ОW).

(v - + 0(V0• <рО >0,Л-0 -

lüge »

( ■, )3 £н , (-, Оо.Д, - скалярные произведения в £20?О) соответствен -

но, Уа - энергетическое пространство оператора ЗСо, состоящее из векторов Я е И((ан)к5^(5), удовлетворяющих условию К/¡у - О Я.

Во второл главе задача о волнах в жидксти на упругом основании рассматривается в случае, когда граница индкости - упругое полупрост -ранство - горизонтальная плоскость. В этом случае задача упрощается.

?.гОа - - чЮ ♦ (с3 - хушыо, (х,г)епн,

- А-А? хе5 ' (9)

При х 6 £//

"1,2, * иЗж м" 0 «Л?, (Ю)

где

Л - (о о), е -(0.1).

Для упрощения выкладок будем считать, что дно задается уравнением 2 - 0, а невозмущенная свободная поверхность урзэнением г - Н.

Сначала естественно сделать обычное преобразование Фурье по горизонтальным переменным (хь кг). Тогда спектральная задача для оператора £ (- <7, д/дz) сведется к изучению спектра семейства, зависящих от параме -тров р - {р\, рг) (двойственных переменных по отношению к переменным

<xi, *г) ) операторов Л (p, i/it). Спектр этих операторов при каждом р содержит непрерывную и дискретную части. Точки дискретного спектра Лпов, Лрэл соответствуют поверхностным волнам в жидкости (в пределе жесткого дна) и волнам Рэлея в упругом полупространстве в пределе, когда слой жидкости отсутствует. Они определяются из дисперсионного соотношения (ср. [1)):

Хц4(р - 1)а2)+р114Х2а2()Л-Х/А|р|Я)- 0, (12)

о, - /р - Л ц2 , аг - -¡рг ~ X|i2 /с2 ,

* nos. л - вещественны.

Точки непрерывной части спектра (Xj_, Лц) соответствуют в том же смысле внугренним волнам 'в упругом полупространстве (продольным и поперечным).

Ifiûj3£MJ._ÎLl. При р > 0 оператор ¿, порожденный системой уравнения (9), (10). в существенном самосопряженный, а его собственные и обобщенные собственные функции образуют полную ортонормированную систему функции в пространстве со скалярным произведением (8),

В §4 рассматривается случая, когда волны возбуждаются источником, расположенным в упругом полупространстве, т.е. изучается следующая мддча Коши для системы (9), ( 10)

V 01,-0 " *«Uo

t't9. . ilH

it 1 «о й( l" 0 * "~it

- О,

I" О

¿/¡|- 0 » *(х,г). (13)

ф 0«, г) е И и локализована на отрезке [го +- 5, го - 8).

Решение задачи представляется в виде разложения в интеграл Фурье, по собственным и обощенныи собственным функциям оператора Ж. Обозначим через *2) - значение возвышения свободной поверхности при г - Н. определенное по решенню задачи (9), (10), (13). Тогда хг' ~ /поа + +/рэл + /и.+■ ¡л. ГДЭ /пов_ /рэл| д ¡х описываются явными, но очень

громоздкими формулами. Их последующий анализ, основанный на методе стационарной фазы приводит к аналитическим выражениям, определяющим структуру волнового поля далеко от источника. В частности, при (х|,

Это означает, что' двухмерные поверхностные волны и трехмерные внутренние волны затухают одинаково на поверхности г - И (как

в рассматриваемой ситуации вообще говоря нельзя отбрасывать внутренние волны, их вклад в волновое поле жидкости может быть сравнимым с вкладом от поверхностных волн.

Кроме того анализ решения показал, что наибольшая амплитуде поверхностной волны достигается на длинах волн порядка глубины источника.

В третьей главе строится асимптотика решения, для случая неровной границы раздела между жидкость» и упругой средой.

В случае переменного дна точные решения даже для функции Я (х) специального вида, вероятно, получить невозможно. Поэтому речь может идти только об асимптотиках - решения. Часто в реальных ситуациях Я (х) является достаточно плавно меняющейся функцией х, т.е\7Я<<1.

(теорема 4.1).

удалении от источника. Таким образом в приложениях.

и возникает естественный малый параметр, характеризующей скорость изменения глубины А - ///£.

Здесь удобно перепти к безразмерным переменным. При этом, если выбрать ноаые переннмые приспособленными к распространению поверхностных волн, то получится задача, которая нерегулярным образом будет содержать малып параметр А; в безразмерных координатах она имеет вид

кгу.гО - 1и - &и, (г,Х)еаи (14) , А2^2 У н " - 2>А V « ♦ сги^ - <р - \)иг *

+ А2 V И Уи3 + А Н^и^ + ЛН^и^ !,._//(,). (1$) ,

А* * о - ?. хе* Пб)

с условиями ^Я* - "з +

АЯ*. ((с2 - 2)№и Ч с2«3> - ц2(р - |)«з + Ув3 +

+ АЯ, «г. + ) - Ш. (Аи, * {с1 - 2)(№и + «3 ))«- (17)

+ Чу * ' 1'2, ' ' *

Как видно нз(1Э)-(16) мапый параметр А содержится при производных и дМ и а/Зх не содержится при ЪГ&т. С математической точки зрения уравнения такого в;ща относятся к классу уравнения с операторозкачным символом {15]. к которым можно применить хорошо развитую теорию

[15)Маслов В.П. Теория возмущения и асимптотические методы.М.:Изд-во МГУ. 1965.

квазиклассических или адиабатических приближения, однако отличие состоит в том, что скалярное произведение зависит от х что приводит к необходимости вносить коррективы в эти методы. /?о, /?;/ - псевдодифференциальные операторы, которые представляются в виде асимптотичес -ких рядов по степеням А, коэффициента которых - псевдодифференциаль -ные операторы с символами, медленно зависящими от х

Коэффициенты . Я^.Я^.^о,/?]/ рядов (18) вычисленны явно и доказано (лемма 5.1), чти все коэффициенты ц принадлежат классу Хермандера ¿""(ВЦ х Ш2р) при л > 0. а е Я1 (И* х ¡¡ф.

Согласно (15], будем искать решение <13-16) в виде; Я<Лх,г)- + Л^,+...), (19)

где Хц и фаза 5 (х, () новые неизвестные функции, которые определяются в результате подстановки (18) в исходную систему уравнения с последующей коммутацией Сыстроосциллирующея экспоненты с А - псевдодифференциальным оператором и приравниванием нулю коэффициентов при одинаковых степенях Н. В нулевом приближении это приводит к той же задаче, что и в случае ровного дна. При этом дисперсионное соотношение (12), соответствующее точкам дискретного спектра (термам) будет

определять здесь уравнение Гамильтона-Якоби или эйконала, описывающее распространение поверхностных волн

—~ ± (/>, х) - 0, к » 1,2, (20)

VI

%ь{р,х) » где- корж дисперсионного уравнения (12), р -

Собственные функция оператора X (х, 0), соответствующие точкам дискретного спектра имеют вид

5°-о*<*,*>^ов-рэл(/>.*,*),

Я пов, £ рэл . совладают с функциями £ пов, Я Рэл, полученными в случае, когда И - сопМ .

Начальные условия, дополняющие (14-17), которые определяют специальную задачу Коши. описывающую распространение поверхностных волн-имеют вид

Я\1я0 - о±%)Х(и0.р0,х,!)<хр(1£а(х)/Л), (21)

начальная фата £°(х)- гладкая функция, ^фс) * 0,р0- - У^фс),

ш°(х) - И*, амплитуда о°0<) - гладкая функция. (X. О строится по известной формуле ¡161 с помощью решения гамильтоновых систем

[)6] Арнольд ВИ Математические методы классической механики. М.

Наука, 1979.

Обозначим /). /) - решения этих систем с начальными данными

Известно, (см., {например, [6]), что существование гладких решений (19) эквивалентно условии ^ ~ ! (аХ^у)! > 0.

Функция о (с, () - решение соответствующего уравнения переноса-(лемма 7.1).

В результате было получено, что частное асимптотическое решение (13-16), (20) в области, где отсутствуют фокальные точки имеет вид

* . ехр(^) ^ x™ «р(¿мл) ♦ 0(а),

•где М определяется явной, но очень громоздкой формулой, которая зависит от выбора нормирующего коэффициента у Япов .

Однако, в этом случав с помощью приема предложенного В.М.Бабичем (17). вычисления могут бить существенно упрощены, так как исходная система имеет закон сохранения. Было показано, что при "правильном* выборе условия нормировки М - 0 (лемма 7.2) и показано, что решение задачи (13-16), (20) имеет вид:

(Теорема 7,1).

¡17] Бабич В.М. О сохранении энергии при распространении нестационарных волн/ТВестЛГУ. 1967. № 7.С.38-42. ■

В §3 при помощи канонического оператора Маслова (6, 7) получено решение задачи (13-16), (20) на временах / при которых обращаются в нуль якобианы |/:±|.

По результатам диссертации опубликованы следующие работы:

1. Толстова ОЛ. Начально-краевая задача для системы уравнения, описывающих волновые движения в слое жидкости на упругом основании//Математические заметки. 1992.Т.52, выл.1. С. 150-153.

2. Доброхотов С.Ю., Толстова ОЛ. Квазиклассическая асимптотика волновых полей поверхностных волн в поверхностных слоях "модели Подьяпольс-кого"//Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений.

1989.УФА, БНЦ УрОАН ОХР. С.42-56.

3. Доброхотов С.Ю., Толстова О.Л. 0 применении законов сохранения в асимптотических задачах для уравнений с операторнозначным символом// Математические заметки. 1990. Т.47, вып.5.С. 148-151.

4. Доброхотов С.Ю., Толстова ОЛ. Волны на поверхности жидкости, возбуждаемые сейсмическим источником с ненулевым спектром. Тезисы докладов научной конференции 'Морские природные катастрофы (цунами и штормовые нагоны)". Горький, 1990. С. 14.

Ш'1

/ .

•\л ""••->'•.■■'•'т.: Г;>г-.:1>Г 7 : . Г. / Р',-г.<Т