Асимптотические решения для уравнений поверхностных волн тяжелой жидкости, находящейся на упругом основании тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Г б о л

государственный комитет российской федерации

ПОВИСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРС1ВГННЫЙ ИНСТИТУТ ' ЭЛЕШЮНИКИ И МАТЕМАТИКИ

(технический университет)

На правах , укописи УДК 517.95

ТШСТОВА Ольга Львовна АСИМ1ПитЧЕ)СКИЕ РЕШЕНИЯ для УРАВНЕНИЙ ПОЕЕРЖОСГНЫХВОЛН

тяжелой жидкости, находящейся на упругом основании

01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1993

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Московского государственного института электроники и математики

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

профессор С.Ю, Доброхотов

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

профессор ЕВ. Радкевич

Защита .диссертации состоится 8 февраля 1934г. в 16.чзс. 00мин. на заседании специализированного Совета К.063.68.05 в Московском государственном институте электроники и математики" п-> адресу: Москва, Б .Вузовский пер., 3/12.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГИЭМ.

кандидат физико-математических наук Л.А. Баги ров

Ведущая организация - Харьковский государственный университет

Автсреферат разослан " " декабря 1993г.

Ученый секретарь специализированного Совета доцент

•-Л7 ИЬур*со$.

ПХШнуркое

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Диссертация посвящена исследованию системы дифференциальных уравнения в частных производных, аписываюаея распространение волн в тяжелоя жидкости, находящейся на упругом осноэлнин и нахождению точных и асимптотических решения задачи Коши для этап системы.

Актуальность теми, Задача о волновых движениях жидкости в бассейне конечной глубины, как правило рассматривается в предположении, что дно жесткое. Однако э некоторых ситуациях, например, в задачах о волнах цунами, возбуждение происходит благодаря действию источни -■ ков, находящихся в основании бассейна. Вероятно, в том случае, когда источник находится на дне бассейна можно ограничиться рассмотрением гидродинамической задачи о волнах в слое тяжелоя жидкости. Однако, когда источник находится в глубине основания, нужно использовать другие модели. Однако из гипотез (моделей) описания такого рода процессов предполагает отказ от жесткости дна и совместное рассмотрение упругой и гидродинамической задачи. Наиболее полная модель была предложена Г.С.Подьяпольским [1]. Её главной идеей являлось использование упругой модели среды и уравнений Яамэ с учетом гравитационных членов в качестве уравнений движения частиц среды, что и позволяет рассмотреть в единой постановке как гравитационные волны в жидкости, так и упругие сейсмические волны в твердой среде. Эта модель изучена существенно слабее, особенно в математическое литературе. Явные фор мулы для решения получены лишь в случае специальных начальных

(11 Подьяпо гц,ския Г.С. Возбуждение цунами землетрясением/ЛЛетоды расчета возникновения и распространения цунами М.:Наука, 1978.

данных или резного дна (си., например,. 12]), в {3] изучены поверхностные волны на границе упругой среды и жидкости, без учета гравитации. Б общем случае таких формул нет.

Первый естественный шаг в исследовании такой модели состоит в получении теорем существования и единственности решения и нахождении некоторых априорных оценок, . следующий • в получении некоторых точных и асимптотических решений.

При этом по самой Физической постановке задами интерес представляет, во-первых, изучение решения задачи Коши на достаточно больших временах и, во-вторых, ситуация, когда дно бассейна неровное, что означает наличие в задаче переменных коэффициентов.

Цель работы состоит в доказательстве теорем существования и единственности решения системы дифференциальных уравнения в частных производных, описывающей распростреиие волн в жидкости находящейся на упругом основании, и построении некоторых точных и асимптотичес -ких решения этой системы.

Метр,пика уг-г-пдпопэнич . В работе используются методы общей теории дифференциальных уравнения в частных производных для получения теорем существования и единственности и методы построения точных решении, основанные на представлении решения задачи Коши в виде интеграла Фурье и последующего его анализа [4, 5]. Кроме этого, исполь-

(21 Зеолинскип Н.В., Никитин И.О., Секерж-Зенькович С.Я. Генерация волн цунами и волн Рэлея гармоническим центром расширения// Изв АН СССР. Физика Земли. 1991. ЬР 2. С.34-44.

13) Молотков И.А., Крауклнс' П.В. Смешанные поверхностные волны на границе упругой среды и жидкости//Изв. АН ОХР. Физика Земли, 1971. ЬР Й.

зуются методы построения асимптотических решения псевдодифференциальных уравнения, развитые в работах [6-81.

Научная цошша . В диссертации:

- доказано существование и единственность решения задачи Коли для уравнений, описывающих волновые движения в слое жидкости, находящейся на упругом основании;

- в случае, когда граница раздела жидкости и упругого полупрост -ранства горизонтальная плоскость, решение задачи представлено в виде интеграла Фурье;

- построены асимптотические решения задачи о волновом поле источника, локализованного в упругом полупространстве;

- в квазиклассическом приближении исследованы эффекты, вызванные неровной границей раздела жидкости и упругого полупространства..

решения задачи о волновом поле источника, расположенного в упругом полупространстве и формальное асимптотическое решение задачи о распространении волн в жидкости на упругом основании при плав- <

[4] Березанския Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наукова думка, 1965.

[5] Мизохата С. Теория уравнений с частными пронзводиыми.М.:Мир,1977.

[6] Маслов ВЯ Операторные методы. М.:Наука, 1973.

[7] Маслов ВЛ., Федорюк МБ. Квазиклзссическое приближение для уравне -кип квантовой механики. М.:Наука, 1976.

[В] Доброхотов С.Ю. Асимптотики поверхностных волн, захваченных берегами и неоднородностями рельефа дна//ДАН ООСР. 1986.Т.289, №3. С.575-579.

. В диссертации получены асимптотические

изменении глубины. Результаты могут быть использованы при иэучеки прог-*сов возбуждения и распространения волн цунами.

Апробация ра&пы. Результаты диссертации .докладывались на Всесок ном совещании по численным методам в волновой гидродинамике (Роста на-Дону, 1990г.), Всесоюзной конференции по цунами (Горький. 1990г.) научных семинарах Института проблем механики РАН и Московско института электроники и математики (1990- 1993гг.).

Пу&жаши . По результатам диссертации опубликовано 4 работы (а список в конце автореферата).

Структура. и рб>.еу работы. Диссертация состоит из введения, трех глг и списка литературы (41 наименование), она содержит 101 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Ш_Е2йдшш сделан краткий обзор литературы, описаны постановк] задач и кратко изложены результаты диссертации.

В перроя рлл^е доказаны существование и единственность решена задачи Коши для уравнения, описывающих распространение волн жидкости, находящейся на упругом основании.

Математическая постановка линейная задачи о распространении вол в слое жидкости на упругом основании состоит в следующем. Идеальна; незавихренная жидкость описывается потенциалом перемещения ¥(х, г деформации упругого полупространства вектором смещений t3 {к, г, t) "(«1. «2. "з) (х ей2- горизонтальные координаты, z - вертикальная), плоскость z- 0 совпадает с невозмущенноп поверхностью жидкости, z--< (х) с границей раздела слоев i/ и V определяются из следующей системь уравнений и граничных условий,

V2C? + (с2 - i)vdiv£? - ц, 2£?С(» г< -Н{х), (1)

- 0, - Н(Х)< Г < 0. (2)

* Ч», » 0, С - 0, (3)

г- -//{х):

Ри2*« -

- - о3л(г7) (4>

¿я

£7- 0, г-» -■>», (5)

о /у (£7>» (с2 - 2)Ьц<НгО + + , I,;'» 1,3,

л, - - (и Я2 - Я^ )-"2 , - - (1 + к\ ♦ /Г* у1'2.

Дажа в линейной постанозкэ задача оказывается весьма сложной. Поскольку по физической постановке задача содержит подвижные границы - жидкость - упругая среда, свободная поверхность жидкости, то она имет нестандартную форму с точки зрения классической теории дифференци -альных уравнений . С частными производными: уравнение для потенциала перемещения жидкости - уравнение Лапласа - э отличие от ураэненкп Лами для смещений упругой среды не содержит производные по времени, а с другая стороны производные по времени содержатся в граничных условиях. Поэтому правильная математическая постановка' начальной задачи сопряжена с дополнительными рассуждениями и представлением вектора решения в некотором не совсем стандартном пространстве функция.

С точки зре ия применения общих методов теории уравнений в частных производных удобно представить задачу в стандартном виде:

где 15 -■ некоторый матричный жтегродифференциальныи (псевдодиф-ференциальньда) оператор по переменным (х, г). Это действителыю оказывается возможным, если использовать в качестве неизвестных вектор--функцию из пяти компонент:

три первых компоненты «I, иг. «з. зависят от х, г, /, а две последних только от х иУравнение для 3?, эквивалентное исходной системе, получится из нее исключением уравнения Лапласа и представлением части условий на границах в виде уравнений. Задача о волнах, возбуждаемых источником для рассматриваемой модели, является задачей Коши для Функции Я с начальными условиями

Имея в виду интерес к решениям на больших временах для реализации первого шага оказалось удобным воспользоваться схемой, близкой в идейном смысле к схеме, развитой в работах (9, 10) , существенно

l91Garipov R.M. On the theory of gravity waves: the theorem of existence and uniqueness/VArch. Rat. Mech. Anal. 1967. V.24, N5. P .352-362.

(10 Шевандроа ПЛ., Исаков P,B. Задача Коши-Пуассона для двухслойной жидкости переменной глубины /Математические заметки. 1990. Т. 47, вып.6. С.31-44.

Я- (и{,иг,и3.ч0,уИ)Т,

(7)

использующей свойство самосопряженности. Известная схема исследования смешанных задач 111-131 дает теоремы существования и единственности лишь на малых временах, что недостаточно для наших целей. Используя те же соображения, что и в теории оболочек 11дг.я исходной задачи легко построить некоторое энергетическое пространство со скалярным произведением, индуцированным выражением для кинетической энергии

(ясп^а)}. Щ(£7<1>,#<2>) <я?+ (8)

2 21~Н(х) 2

(к - оператор, сопоставляющий вектору у - (у означение (а* (дг)|!„0 и (д'Р / ), где оператор Л будет симметричным,

но не строго положительным. Последнее обстоятельство не позволяло доказать самосопряженность рассматриваемой задачи и прямо использовать схему (9, 10}. Поэтому мы рассматриваем другую задачу, приближающую исходную, но уже со строго положительным и самосопряженным оператором, Во-ЗЗ^ —<?, где <? Я (й,Р0 - (0,ч<0)Г. О 6(0,1). Р

Последующее использование схемы £10] и теории возмущения дает требуе-

1111 Агранович U.C. Граничные задачи для систем с параметром //Мат. сСорннк. 1971. Т.84 (126). № 1.С.27-65.

1121 Сакамотс Р. Смешанные задачи для гиперболических уравнения. 1(П //Математика. 1972. 16:1. С.62-100.

fl3IKreiss И.О. Initial boundary value problems Гог hyperbolic systems/ZComm. Pure and Appl. Math. 1970.V.23.P277-298.

114 J Асланян А.Г., Васильев Д.Г., ЛидскИЯ В.Б. Частоты свободных колебаний тонкой оболочки, взаимодействующей с жидкостью Функшган. анализ. 1PÖ1. Т. ! 5. вып.З. С. 1-9.

мыв априорные сценки и доказывает разрешимость задачи в соответствую -щих энергетических пространствах,

Теорема 22. Пусть 2(0) е Ye, 2<1) е Щ, е L2 (О.Г;Н0). где

, 0 - п Л4. При достаточно малых п > 0задача (1) - (5) однозначно разреши -ма; 2(if)e ¿J(0,r-,V0). jf<0) е£.2(0,Г;Н0).

Справедлива оценка

т

I (И*(011£.е *Аг||Х(Он1 )* * си<*г1|Я(0>1|| +ll*(0)ilb * о

г о

где(£?<°>.?<0)>7 - «<0),(i?(0>.*(0>>r-^.H-HmiSft'in,,).

Bjt (S) - Hjj (Sfj )xEl(S0), Bfc- стандартные пространства С Д.Соболева, 2

И ~ Н1Л(5)х i (Ow), Ше - гильбертооо пространство, совпадающее как множество с !Н, наделенное скалярным произведением:

(Ü,9)0 fif( - скалярное произведение в ¿2 (ОW).

(v - + 0(V0• <рО >0,Л-0 -

lüge »

( ■, )3 £н , (-, Оо.Д, - скалярные произведения в £20?О) соответствен -

но, Уа - энергетическое пространство оператора ЗСо, состоящее из векторов Я е И((ан)к5^(5), удовлетворяющих условию К/¡у - О Я.

Во второл главе задача о волнах в жидксти на упругом основании рассматривается в случае, когда граница индкости - упругое полупрост -ранство - горизонтальная плоскость. В этом случае задача упрощается.

?.гОа - - чЮ ♦ (с3 - хушыо, (х,г)епн,

- А-А? хе5 ' (9)

При х 6 £//

"1,2, * иЗж м" 0 «Л?, (Ю)

где

Л - (о о), е -(0.1).

Для упрощения выкладок будем считать, что дно задается уравнением 2 - 0, а невозмущенная свободная поверхность урзэнением г - Н.

Сначала естественно сделать обычное преобразование Фурье по горизонтальным переменным (хь кг). Тогда спектральная задача для оператора £ (- <7, д/дz) сведется к изучению спектра семейства, зависящих от параме -тров р - {р\, рг) (двойственных переменных по отношению к переменным

<xi, *г) ) операторов Л (p, i/it). Спектр этих операторов при каждом р содержит непрерывную и дискретную части. Точки дискретного спектра Лпов, Лрэл соответствуют поверхностным волнам в жидкости (в пределе жесткого дна) и волнам Рэлея в упругом полупространстве в пределе, когда слой жидкости отсутствует. Они определяются из дисперсионного соотношения (ср. [1)):

Хц4(р - 1)а2)+р114Х2а2()Л-Х/А|р|Я)- 0, (12)

о, - /р - Л ц2 , аг - -¡рг ~ X|i2 /с2 ,

* nos. л - вещественны.

Точки непрерывной части спектра (Xj_, Лц) соответствуют в том же смысле внугренним волнам 'в упругом полупространстве (продольным и поперечным).

Ifiûj3£MJ._ÎLl. При р > 0 оператор ¿, порожденный системой уравнения (9), (10). в существенном самосопряженный, а его собственные и обобщенные собственные функции образуют полную ортонормированную систему функции в пространстве со скалярным произведением (8),

В §4 рассматривается случая, когда волны возбуждаются источником, расположенным в упругом полупространстве, т.е. изучается следующая мддча Коши для системы (9), ( 10)

V 01,-0 " *«Uo

t't9. . ilH

it 1 «о й( l" 0 * "~it

- О,

I" О

¿/¡|- 0 » *(х,г). (13)

ф 0«, г) е И и локализована на отрезке [го +- 5, го - 8).

Решение задачи представляется в виде разложения в интеграл Фурье, по собственным и обощенныи собственным функциям оператора Ж. Обозначим через *2) - значение возвышения свободной поверхности при г - Н. определенное по решенню задачи (9), (10), (13). Тогда хг' ~ /поа + +/рэл + /и.+■ ¡л. ГДЭ /пов_ /рэл| д ¡х описываются явными, но очень

громоздкими формулами. Их последующий анализ, основанный на методе стационарной фазы приводит к аналитическим выражениям, определяющим структуру волнового поля далеко от источника. В частности, при (х|,

Это означает, что' двухмерные поверхностные волны и трехмерные внутренние волны затухают одинаково на поверхности г - И (как

в рассматриваемой ситуации вообще говоря нельзя отбрасывать внутренние волны, их вклад в волновое поле жидкости может быть сравнимым с вкладом от поверхностных волн.

Кроме того анализ решения показал, что наибольшая амплитуде поверхностной волны достигается на длинах волн порядка глубины источника.

В третьей главе строится асимптотика решения, для случая неровной границы раздела между жидкость» и упругой средой.

В случае переменного дна точные решения даже для функции Я (х) специального вида, вероятно, получить невозможно. Поэтому речь может идти только об асимптотиках - решения. Часто в реальных ситуациях Я (х) является достаточно плавно меняющейся функцией х, т.е\7Я<<1.

(теорема 4.1).

удалении от источника. Таким образом в приложениях.

и возникает естественный малый параметр, характеризующей скорость изменения глубины А - ///£.

Здесь удобно перепти к безразмерным переменным. При этом, если выбрать ноаые переннмые приспособленными к распространению поверхностных волн, то получится задача, которая нерегулярным образом будет содержать малып параметр А; в безразмерных координатах она имеет вид

кгу.гО - 1и - &и, (г,Х)еаи (14) , А2^2 У н " - 2>А V « ♦ сги^ - <р - \)иг *

+ А2 V И Уи3 + А Н^и^ + ЛН^и^ !,._//(,). (1$) ,

А* * о - ?. хе* Пб)

с условиями ^Я* - "з +

АЯ*. ((с2 - 2)№и Ч с2«3> - ц2(р - |)«з + Ув3 +

+ АЯ, «г. + ) - Ш. (Аи, * {с1 - 2)(№и + «3 ))«- (17)

+ Чу * ' 1'2, ' ' *

Как видно нз(1Э)-(16) мапый параметр А содержится при производных и дМ и а/Зх не содержится при ЪГ&т. С математической точки зрения уравнения такого в;ща относятся к классу уравнения с операторозкачным символом {15]. к которым можно применить хорошо развитую теорию

[15)Маслов В.П. Теория возмущения и асимптотические методы.М.:Изд-во МГУ. 1965.

квазиклассических или адиабатических приближения, однако отличие состоит в том, что скалярное произведение зависит от х что приводит к необходимости вносить коррективы в эти методы. /?о, /?;/ - псевдодифференциальные операторы, которые представляются в виде асимптотичес -ких рядов по степеням А, коэффициента которых - псевдодифференциаль -ные операторы с символами, медленно зависящими от х

Коэффициенты . Я^.Я^.^о,/?]/ рядов (18) вычисленны явно и доказано (лемма 5.1), чти все коэффициенты ц принадлежат классу Хермандера ¿""(ВЦ х Ш2р) при л > 0. а е Я1 (И* х ¡¡ф.

Согласно (15], будем искать решение <13-16) в виде; Я<Лх,г)- + Л^,+...), (19)

где Хц и фаза 5 (х, () новые неизвестные функции, которые определяются в результате подстановки (18) в исходную систему уравнения с последующей коммутацией Сыстроосциллирующея экспоненты с А - псевдодифференциальным оператором и приравниванием нулю коэффициентов при одинаковых степенях Н. В нулевом приближении это приводит к той же задаче, что и в случае ровного дна. При этом дисперсионное соотношение (12), соответствующее точкам дискретного спектра (термам) будет

определять здесь уравнение Гамильтона-Якоби или эйконала, описывающее распространение поверхностных волн

—~ ± (/>, х) - 0, к » 1,2, (20)

VI

%ь{р,х) » где- корж дисперсионного уравнения (12), р -

Собственные функция оператора X (х, 0), соответствующие точкам дискретного спектра имеют вид

5°-о*<*,*>^ов-рэл(/>.*,*),

Я пов, £ рэл . совладают с функциями £ пов, Я Рэл, полученными в случае, когда И - сопМ .

Начальные условия, дополняющие (14-17), которые определяют специальную задачу Коши. описывающую распространение поверхностных волн-имеют вид

Я\1я0 - о±%)Х(и0.р0,х,!)<хр(1£а(х)/Л), (21)

начальная фата £°(х)- гладкая функция, ^фс) * 0,р0- - У^фс),

ш°(х) - И*, амплитуда о°0<) - гладкая функция. (X. О строится по известной формуле ¡161 с помощью решения гамильтоновых систем

[)6] Арнольд ВИ Математические методы классической механики. М.

Наука, 1979.

Обозначим /). /) - решения этих систем с начальными данными

Известно, (см., {например, [6]), что существование гладких решений (19) эквивалентно условии ^ ~ ! (аХ^у)! > 0.

Функция о (с, () - решение соответствующего уравнения переноса-(лемма 7.1).

В результате было получено, что частное асимптотическое решение (13-16), (20) в области, где отсутствуют фокальные точки имеет вид

* . ехр(^) ^ x™ «р(¿мл) ♦ 0(а),

•где М определяется явной, но очень громоздкой формулой, которая зависит от выбора нормирующего коэффициента у Япов .

Однако, в этом случав с помощью приема предложенного В.М.Бабичем (17). вычисления могут бить существенно упрощены, так как исходная система имеет закон сохранения. Было показано, что при "правильном* выборе условия нормировки М - 0 (лемма 7.2) и показано, что решение задачи (13-16), (20) имеет вид:

(Теорема 7,1).

¡17] Бабич В.М. О сохранении энергии при распространении нестационарных волн/ТВестЛГУ. 1967. № 7.С.38-42. ■

В §3 при помощи канонического оператора Маслова (6, 7) получено решение задачи (13-16), (20) на временах / при которых обращаются в нуль якобианы |/:±|.

По результатам диссертации опубликованы следующие работы:

1. Толстова ОЛ. Начально-краевая задача для системы уравнения, описывающих волновые движения в слое жидкости на упругом основании//Математические заметки. 1992.Т.52, выл.1. С. 150-153.

2. Доброхотов С.Ю., Толстова ОЛ. Квазиклассическая асимптотика волновых полей поверхностных волн в поверхностных слоях "модели Подьяпольс-кого"//Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений.

1989.УФА, БНЦ УрОАН ОХР. С.42-56.

3. Доброхотов С.Ю., Толстова О.Л. 0 применении законов сохранения в асимптотических задачах для уравнений с операторнозначным символом// Математические заметки. 1990. Т.47, вып.5.С. 148-151.

4. Доброхотов С.Ю., Толстова ОЛ. Волны на поверхности жидкости, возбуждаемые сейсмическим источником с ненулевым спектром. Тезисы докладов научной конференции 'Морские природные катастрофы (цунами и штормовые нагоны)". Горький, 1990. С. 14.

Ш'1

/ .

•\л ""••->'•.■■'•'т.: Г;>г-.:1>Г 7 : . Г. / Р',-г.<Т