Асимптотическая нормальность решений дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

чМйТШТИЧЕСШ ИНСТИТУТ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАМ

» ГЧ • \ '•»"

V.'.'' им. В. А. СТЕК/1 ОБА

На правах рукописи

ЛОЩАЕВ Александр Васильевич

ЧЛК 519.21

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ НОРМАЛЬНОСТЬ РЕ1ЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

01.01,05 - теория вероятностей м

«атеаатяческая статистика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1933

Работа выполнена в Новосибирском ордена Трудового Красного Знамени институте инаенеров железнодорожного транспорта

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Илья Иосифович Гихман доктор физико-математических наук, профессор

Григорий Логвинович Кулинич доктор физико-математических наук, профессор Анатолий йльфредович Могульский

Ведущая организация - Институт проблем передачи информации (г.Москва)

Зацита состоится "9" ^.СйОЩЯ- 1993 г. в часов на заседании Специализированного совета Л 002.38,03 при Ордена Ленина Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН по адресу: 117966, ГСП-1. Москва, ул. Вавилова, д. 42. КИРАН.

С диссертацией моано ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А.Стеклова.

Автореферат разослан 199-^г.

Учений секретарь совета доктор физико-математических наук

Й.С.Холево

- г -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА PA50TU '

Предает исследования и актуальность темы. Уравнения в частных производных с бистро осцидлирузцинп случайна«! , периодическими или почти периодическим коэффициентам опи-сивавт §изическиз процесса, протекавшие с неодиороЕнмх средах с развитой микроструктурой, наприкер, в гетерогенных средах я коетозиткнх материалах (си. работ» Е. De Giorel, S.Spagnolo €11. Й.С.Бахваяова €21. fl.Bensoussan, 3.-L.Lions, C.Papanicolaou 13], Й.С.Бахваяова и Г.П.Панасеико Ш). Вместе с тея, изучение таких объектов ееттзенна связано с анализов эффектов, типичных для теория вероятностей.

Известно, что во ккогих ваннах случаях к оператора со случайном басгро осциллируя;»*» коэффициентами приканиы принцип усреднения, т.е. доказиваегся существование т.н. усредненного оператора. В ситуациях, когда найлвдавтея явление усреднения, ревенхя краевых задач для случайно возмущенного оператора приблиивтея резвнкяхк соответствуя«« за* дач для усредненного оператора при налах значениях характерного аасвтаЭа пространственней tun врекенной неоднородное -

ТК.

Интерес к s®|sktij усреднении связан 3d ниогаа с кукдаки энчнелзтешюй практики. Зсреднеиний оператор более досту -пзи «сслвдованка с похотьо чкелешшя кетодов, т.к. его коэф-фяцпвнтз несяуайны и боле«? регулярна, чей коэффициенты исходного.

Весьиа полные результат« такого рода получена в работах С.Й.Коздоза. В.В.Кииова, О.Й.ОлеЯиик, la Тьен Нгоана, В.В. Эринского, 6.С.Papanicolaou, S.R.S.Uaradhan, Й.Й.Сирахуди -нова с си.15-13) и обзор литератур» в этих статьях).

Условия, при которих возможно усреднение, сводятся, по существу, к предполояекияи об эллиптичности (пзраволичнос -тн) исходного оперэтора и првдполо®ения!1 об зргодичкости и

однородности случайного поля, заданного его коэффициенты, Зтверадения о существовании усредненного оператора могут рассматриваться как результата «па закона больших чисел.

Ненее исследована точность приблиаення усредненного ре-аениа к исходному. Некоторые оценки степенного порядка По масатабу неоднородности среди установлен» В.В.врмаски* 114161.

Мало изучен и вопрос о распределений глуктуацяй случайных реаений. Для ббодшвенних дифференциальных уравнений в работе Р.З.Хасьминского (17) показано, что при надлежащей нормировке невязка между точным и усреднешш реаеии-ешя сблихаетсв в смысле слабой сходимости распределений с некоторые марковским гауссовским процессом. "

Ведь работа. Изучить вопрос об асимптотической нормальности ревеннй некоторых типов линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных со случайными бвстро осциллярдоими коёффицяемтакк и получать оценки скорости сходимости в принципе усреднении.

Наичная новизна сабдти. Все основные результате диссертации авлявтса новыми и обосновано строгим» математическими доказательствами. Результата главы 4 получена соваестнэ с В.В.Вринскяи к прннадлохат автора« в равной пере.

Практическое значение. Результаты диссертации иагвт быть использованы при исследсвснкк краевых задач для ураэ -нений со случайнши козффициент&кн. в&экшааанх в свези с изучением свойств гетерогенных сред и ксшмзитних катерка -лов. '

Апробация. Результаты диссертации докладывалась HajV.J/ международных вкйьнесских конференциях по теории-вероатнос-te.'i и математической статистике (Внльнас, 1985г.. 1989г. 1. ; на 1 Всемирном конгрессе общества Бернудлн (Таакент,1996г.) на 14 конференция по системному моделирование и оптимизации. (Лейпциг, 1989г.), на 3 венгерском коллоквиуме по предздь -ннм теоремам теории вероятностей. на 19 конференции по случайном процессам й их прилоаениам Шзенах. 1990г.), на W летней «коле по теорий вероятностей н математической ста -тистике (Варна, 1988г.), в лекциях X/XIK семестра

Иемдународного математического центра им. С.Банаха (Варвава 1930г.). на советско - японском симпозиуме по теории вероятностей и математической статисте (Киев, 1991г.) и дру -гих конференциях.

Кроме того, результаты диссертации докладывались на научно - исследовательских семинарах Института математики СО РАН, Математического Института их. В.А.Стеклова, Московского госуниверситета, ВЦ СО РАН, Института проблем передачи информации.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликована в 120 - 441.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, трех приложений и списка литературы из 76 наименова -ний. Обций объем работы - 257 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТ»

Во введении приведен обзор литературы по теме диссертации. сформулированы рассматриваемые в работе задачи и основные результаты.

В главе 1 исследуется линейные уравнения эллиптического типа со случайными быстро осциллкруввкмн ко?$ффициентаки при младвих. производных. В $1.1 сформулированы ограничения и основные результаты. Некоторые оценки для интегральных ядер типа потенциала получены а $1.2. В §§ 1.3 - 1.0 изучавтся краевые задачи вида

iíITcA":

N

(1)

(2)

Здесь, и во всей работе, "V" - неслучайная, ограниченная область в Лл с границей $ , являвшейся многообразием размерности П.-1 класса С°° : "V" расположена локально по одну сторону от $

Оператор^

Хит = 21 2\1А ¿ух)^и(х)). = (з)

неслучаен,

(и,у)е И и1 ь1 при иЛ) ,

¿«1

а V .как обнчно, оператор Гакидьтоиа.

Рассиатривавтса ситуации в которих случайны коэффициента при илздвих производных, причем

или (при неслучайно* О.^ )

(^И, л ' о«-*5*! ; *£ - а^саг) . (5)

Задачи (1)-(2) рассматривается при следув!да кредполове-Выполнено условна равномерной эллиптичности: для лвбого

§'{§л.....¡С

■ ¿1 ЛиШ1§1 Гх ^о. (6)

Почти все реализации случайных полей л.

Функции класса С^(У) » О* и суцествуюг не за-

висящие от случая постоянные С .С* такие, что с ее-' роятностьв 1 при всех хй "V ,

а0(х) -.Йв (.£.<»>) ъС >0 3 (7)

аа(х) ъ С > О . (8)

Неслучайные коэффициенти #*)»

предполагается достаточно гладкими для того, чтобы усредненная задача

- б -

'X V * -/('*) , У » (9)

V] - гх>

(10)

имела классическое реяеиие, Тогда при налозенних сграняче -низх и случайно возмуценнне задачи (1)-(2) с вероятность!) 1 имевт классические ревения.

Предполагается такяе, что случайннз вознудеиия ^¿(х^) ¿т 0,п иаеат конечный радиус зависимости, центрирована матенатическии ожиданием

М ^(х) "О. ¿-о,!,..., а л П1)

и ограничены: с вероятноетьз 1 при всех х € Я. п.

Л \ В1(хлсо)| < С . (12)

с-о

В этих предполонешш о $£1.3, 1.5 получена следугчиз оценки погревностн усреднения.

Теорева 1,1,1. Пусть случайные коэффициента «¡равнения (1) определена! равенством (4), а Ы£ я V- решения задач С1>—С2> и (9)-(10), Кроне того, вкпояненн условна (6),(7),(11),(12). Тогда

: , (V)

где 0 О 1 , а4 - производная постоянна аз кн -терзала (0>д") ,а константа С(<$\) зависят от с^ и неслучайных данная, но не зависит от £ .

Теорева '1,1.3. Пусть Ц-£ - ревение задачи (1)-(2), где случайное поло Ве определено (5), а I/ - реяеиие неслучайной задачи (9)-(10), Кроме того, выполнена условия (6), (8),(11 ),(12), Тогда имеет иесто неравенство

где постоянная С(р) зависит только от р к нес -яучайнкх данких.

Приведенные оценки скорости сходимости дополняется уг -верадениями об асимптотической нормальности случайных ре -некий задач (1)-(2). Эти результаты доказаны в$$1.4, 1.6.

При этом дополнительно предполагается, что для любой непрерывной векторнозначной функции fK(x)*{fK(x)j->fn(x)} К-0,1 существует предел

Ьт enM(S Г М ?) dxf* А-0,1. (,3,

1*0 у 1шК

Условие (13) выполнено, в частности, для однородных случайных полей.

Для функции Грина 0(х, задачи (9)-(10) положим^

МЬУ'^Ш? i boGt*.*) -Gu,*).

Теорема 1.1.2. Пусть выполнены условия теоремы 1.1.1 и (13) при К ■ О . Тогда при £-*0 ревение U£ задачи (1)-(2), где случайные поля $£ > ' заданы (4), асимп -тотачески нормально: при лвбом сГ>0 распределение, по -ровденнов в пространстве \/г" * (V) обобщенных функций случайным полей *

Ц-i1 (urV-V£)b

• слабо сходится к центрированному гауссовскоыу распределении в з'тоа пространстве с характеристическим функционалом

где Djlflty), L*О,i,

¿Ufa)

определена в (13), а

- неслучайная

функция, явный вид которой указан в $1.1.

Отметим, что в 1201 асимптотическая нормальность реве -мня рассматриваемой задачи установлена о пространстве

, к>££] + 2 . Если и случаен

только коэффициент при реяении. то подобный результат получен такие Ю.В.Йауровыи 1181 и R.Figari. H.Orlandl, G.Papanicolaou (191.

/

Теорема 1.1.4. Пусть -заполнены условия теоремы 1.1.3 и С13) при к-1 . Тогда при £*о ревение и£ задачи С1 где случайные коэффициенты уравнений (1)Определены (5). асимптотически нормально: для любого 6">о распределение, перовденное в пространстве"V/2*^у) обобщенных функций случайным полен '

а- О*

слабо сходится к центрированному гауссовскому распределении в этом пространстве с характеристическим функционалом

где ¿¿ЪПФюЬ&х^Ах -Ъ^Ц) , 1 = 1,....п.,

определена в (13).

Теоремы 1.1.2, 1.1.4 могут в определенном смысле рас -сматриваться как обобщение известного результата Р.З.Хось-минского (171 на линейные краевые задачи эллиптического типа. Специфическим для "многомерного времен:!" оказывается появление детерминированных поправок к среднему ревения, убывавших медленнее, чем центрированная случайная составлявшая невязки.

В глазе 2 изучается предельное при £~*0 поведение реаений линейных параболических краевых задач вида

Ь<е (0,Т) , Г с« , хе V ;

где \utxj), ,

/ п.

£ и (х^) -- 21 А г - (х, V Ъ: и (х, з

4*1

(14)

(15)

(16) (1?)

а младшие коэффициенты $ , в0 слачайны:

¿¿•(бЛ^М). £-Х.....п.; 4 =

Часть результатов относится к краовнм задачам вида \и£ - Х'и£ -Х"и£ - из) ,

хе V, * его.Г) ;

где

л.

Л**) = XI А%,|,«)2>£2>. * .

... и

V ^

Решения задач" (14)-( 15), (1б)-(17) рассматриваются «пя лвЯом фиксированном "Ь * О . При зтои. если не оговорено противное. (0}Т) , Т^ °° , хеУ .

Освоение результата главы 2 сфорыулкроэаик в $2.1.

При исследования ревенкй рассматриваемых задач вахнув роль играют функции Грина и фундаментальные реаенкя неслучайных линайнкх краевых задач параболического типа. Необ -ходкйые оценки функции Грина выведены в ¿>2.2. Представ -ление вторых производных фундаментального реаення, позво -лявцеа интегрировать по частям, приведено в £2.3.

В главе 2 предполагается, что для рассматриваема* задач ишеет кесто условие равнокерной параболичности, т.е, суцест-вдвт положительные постоянные С^ , С2 такие, что мя любого £Л* .

Ш*, (1в,

Почти все реализации случайных полей б с »

= п ; и неслучайные

* - 10 -

данные задач (14Ы15), (18М17) достаточно гладкие для того, чтобы с вероятностья 1 рассматриваемые задачи и перед -ценная задача

дЛ/-Х'1/ = , и(о.т)

(20)

а (21)

имели классические ревения.

В работе предполагается, что случайные поля 1*0,1,..., п. имеит конечный радиус зависимости, центрированы математическим свиданием

Н^Х.Ь) -о , 1*0,1.....а (22)

и ограничены

\&.(хЛ,и»\ * С , ¿ = 0,1,...,ПЛ (23)

где неслучайная постоянная С не зависит от хЛЛ.

Кроне того, для лвбой непрерывной неслучайной векторно-значной Функции

¿ГхДгИ^Л«, Л

■ при кавдом Фиксированной £>0 существует предел

Ъи*Л&Щ.т)Лт4})Хш (24)

1*0 у о 1*0

Это-условие выполнено, в частности, для однородных случайных полей.

При наложенных ограничениях в £2.4 установлен результат об асимптотической нормальности ревения задачи (14)415).

Для его формулировки введем обозначения. Пусть - Функция Грина неслучайной краевой задачи (20)-(21), а

Теорема 2.1.1. Пусть и I/ - ревения крае -

вых задач (14)-()5) и (20)-<21) и выполнены условия (18), (22М24). Тогда существует неслучайная функция та-

кая, что при любой <Г>0 и фиксированно» £>о распределение, порогденнсе в пространстве (V") случайный полей

ггЯ£=£ (и£-и-ъг£),

слабо сходится к центрированному гауссовскоиу распределении с характеристически« функционалом

* е*р {- ^ <**(/)},

гд1!

■ , 1*0,1,....п.,

а определена в (24).

Явный вид Функции У£(хЛ) приведен в ^2.4. Выделение глазного члена для решений дифференциальных уравнений с "быстрой" зависин-стью случайных флуктуаций от времени проведено в <?2Д.. При этой предполагается, что случайные поля

имеют конечный радиус зависимости и центрированы иатеиати -чзскик охиданиеи

.4,

(25)

М иЛ) "О , 1.....

Как функции "пространственных" переменных, случайные поля ау'(:с,*,<*>) 3 а < х ,оз) имевт компактный в V носитель и при лвых целых неотрицательных таких, что ¿А

(26)

где неслучайная константа С не зависит от 3 •

а 0

I). и(х,{) = —-—г-1 Эхе

При наложенных ограничениях в ^2.6 доказана следующая сценка погревности усреднения.

Теорема 2.1.2. Пусть Ц£ и V - решения краевых задач (16)-( 17) и (20)-(21) и.выполнена условия (19),(25), (26). Тогда при любой фиксированной t >0 имеет место

- 12 -

следующая оценка скоросси сходимости :

МЪМ'М-'Ш^м " Се,

где неслучайная постоянная С зависит от неслучайных данных, но не зависит от £ . £

В диссертации построен пример 2.6.1, показывавший, что эту оценку скорости сходимости нельзя улучзить по порядку £..

В§2.6 установлена и асимптотическая нормальность случайного ревения задачи (16)-(17). При этом дополнительно предполагается, что выполнено

Услооие 2.1.1. Для лвбой функции при

лобок фиксированно» £ >0 случайная величина

Т. £ 7<3<*-\>1м \ Ъ^ГЦ,С) <*х

асимптотически нормальна с параметрами (О, 6г(£»V)).

Теорема 2.1.3. Пусть и£ и V - ревения краевых задач (16)-(17) и (20)-(21). Кроне того, выполнены условия теоремы 2.1.2 и условие 2.1.1. Тогда при любом & >0 и фиксированном {. > О распределение, поровденное в пространстве случайным полем

У3>€= (и((х,Ц - 1Г(*А)) , слабо сходится при £-*0 к центрированному гауссовскому распределению с характеристическим функционалов

В главе 3 мм изучаем по преимуцеству случайные флуктуации ремений краевых задач эллиптического типа п.

о-чл< Ь3>;и£ - / < *), ос€ V • 41** ' (27)

=*<*>■ (28)

Здесь а.^- г£ 3 и существует пслояительные

постоянные . С2 такие, что для лвбого/ =

€ КР" с вероатностьп 1 выполняются неравенства

о

л • " 13 "

С*1§ 1**11 « Сгщ* . (29)

В $3.1 призедены ограничения"на неслучайные данные и излонен принятый в главе 3 подход к исследовании флуктуаций. Предполагается, что

¿(х)еС^(У), * у >0 (30)

Б $3.2 рассыатривается краевая задача (27)-(28) с оператором ' вида (27), у которого коэффициенты имеют вид

(1) «*■ £

= <¿>0 , (31)

где почти все реализации^случайных полей

принадлежат классу , С (V).

При налошшнх ограничениях краевая задача (27)-(28) с вероятность» 1 имеет классическое ревеииз.

Дополнительно предполагается, что катричнознзчное поле 2 * (Л уцентрировано изтематическик окиданиен

Мау(х)*0 , 1.) *1.....а (32)

и ограничено, т.е.

* С

где неслучайная постоянная С не .зависит от X, .

Кроме того, поле а. • икеет конечный радиус зависимости и для любых неслучайных непрерывных функций « ¿ ("х) г Ч/ * 1а существует предел

£ип » (34)

чК у

где ^

Это условие выполнено, если, например, (X ~ однородное поле.

При налоненных ограничениях в $ 3.2 доказана Теорема 3.2.1. Пусть случайные поля опреде -

г- 14 -

лени равенством (31) и выполнены условна (29),(30),(32) -(34). Тогда при £-*0 ревение и с задача (27)-(28) асимптотически нормально: распределение, порохденное в пространстве^*" 2У (у) 4 <у>о обобщенных функций случайный полем

слабо сходится к центрированному гауссовскоиу распределении с характеристическим функционалом

}{<Р) = е*р {-182(р)} 3 где ,

П * »с^им ,

<$*($) определена равенством (34), а - Функция

Грина задачи (27)-(28) при » Ау .

В §3.3 аналогичный результат (теорема 3.3.1) уставов -лен для уравнения со случайными "слоистыми" коэффициентами, т.е. при

где поля ограничены и нмеат конечный радиус

зависимости, а неслучайная функция ¿'(¿О достаточно гладкая и финитна: ,

1У<*>1 * У , ,

где V" - малый фиксированный параметр.

В §3.4 рассматривается уравнение параболического типа со случайным коэффициентом при операторе Лапласа

«V*, i£(oзТ).

* (35)

-О, (36)

где о. №.<*>) - однородное в узком смысле случайное поле с конечным радиусом зависимости.

- 15 -

Предполагается, что Л(а,ш) удовлетворяет условно Гельдера и существует неслучайные константы С* > С* та-

_ п «

кие, что с вероятностью 1 при всех Х6Л

С1 < * Сй .

Неслучайная функция Ц^Л) удовлетворяет условна Гельдера, а неслучайная функция непрерывна.

Пусть - неслучайное решение краевой задачи

а{и-(Ма1у*Аи ^У, Щ0,Т).

' С 3«)

и(х,о)= , 1/(хЛ)\ =0 . ' (38)

и

При наложенных ограничениях в $3.4 доказан результат об асимптотической нормальности и£ .

Теорема 3.4.1. Пусть и.£ и \} - ревения краевых задач (35)-(3б) и (37)-(38). Тогда существует неслучайная функция 1/0 такая, что для лвбой функции распределение, порокденное в пространстве"^2" §""<5* ^-у") ¿■>0 случайным полем

й Т*

V*- е (*Л)-У(хЛ)-и0(х,Ъ)<И) з

€ о

слабо сходится при £-*0 к центрированному гауссовскомд распределении в этом пространстве.

Точный вид функции \%>(хЛ) приведен в § 3.4. В главе 4 изучается предельное поведение при £-*■ О эллиптических дифференциальных операторов

М 'Ь ир (#)

и.£и) (х)- 21 V- (х)) (39)

в пространствах векторнозначных дифференцируемых функций. Коэффициенты оператора (39) - случайные поля на некотором вероятностном пространстве.

Известно (см., например,15 - 131), что при естественых ограничениях дифференциальные- операторы со случайными быстро осциллирующими коэффициентами "усреднявтся" при

ю -

£•* О : их резольвенты сблияаштся с резольвентами "усредненных" операторов того же вида с неслучайными коэффициентами (Зтот вид сходимости называется О -сходимостьп).

Точность приближения реиений краевых и начально-краевых задач для оператора (39) решениями соответствующих за -дач для усредненного оператора исследована в меньшей мере.

В главе 4 оценки погрсмности усреднения выводятся в предположении, что значения коэффициентов оператора в далеких тачках слабо зависимы. Это предположение используется в форме условия равномерно сильного перемешивания, при -чем коэффициент перемевивания убывает не медленнее степени расстояния. (<л

Предполагается, что поле (х,из)) одно -

родно относительно целых сдвигов и выполнены условие, при которых система

раз

Пусть - реве_ние соответствцощей системы

для усредненного оператора с постоянными коэффициен-

тами. При наложенных ограничениях имеет место следуодая оценка скорости сходимости.

Теореаа 4.2.1. Г.<}сть £ - (£ )- гладкая неслучайная функция с компактный носителем. Тогда при малых £>о

где 1>0 определяется неслучайными данными.

Эта теорема и все результаты главы 4 получены совмест -но с В.В.Вринским и принадлежат авторам в равной мере. От -метим, что для скалярного оператора (Ша1) при пъЗ более сильная оценка порядка > Х.>0 получена

В.В.Вринским в 1141 (см. также недивергентный случай в его

и£<Х) * и£(Х) = Цх) ,

имеет место неравенство

работе 115]).

В главе 5 изучается асимптотическое поведение при £*0 ревеннй квазилинейных параболических краевых задач вида

8 |, и^(Хлг)лы) з хеу> -¿е(о,Т).

(40)

(41)

где

В ^5.1 введена необходимые обозначения.

В ^5.2 сфоркулирова;ш основные результаты.

Предполагается, что выполнена условия, при которых задача С 40 >—С 41> с вероятностью 1 имеет классическое рввение.

Случайное поле хеЦп, 'е И

Р * (Ро>Рл,~,Рп)€ ИП*Л ЙИг8Т конечный радиус зависимости. Его натеиатическое озидание не зависит от "быстрого времени"

(42)

М19г*,*Хо)1гя" * С,

где постоянная С не зависит от а , "Ь . "Ь .. Пусть 1/(хлЬ) - реыение "усредненной" краевой задачи

(43)

(44)

Асимптотическое поведение невязки \xJ~g ~ и.£ " XI при ¿~*0 исследуется лря лвбоы фиксированной "Ь~> О .

При налогенник ограничениях в ^5.3 получена следуввдя оценка погреаностк усреднения.

Теорема 5.2.1. Пусть и I/ - ревекия кра-

вих задач (40)-(41) и (44М45) и выполнена условия (42). (43). Тогда при ле5оы фиксированном £ (0,тт2

и8(-Л)-и(-Л)\\м,{лг] < Се,

где постоянная не зависит от £ , "6 .

В £ 5.4 установлен результат об асккптотическсй нор -калькости (X, с) . /¡ля его спряуларовки введеа обозначения. Лихе Г-функция Грина неслучайной краевой задачи (44)-(45) при ф - ф ( Хг й) , а

Кроне того, л

Допслн!!гельно предполагается, что случайная санкция ФСхЛЛ'* обладает ограниченными частники произ-

водными до второго порядка ввлвчитедьно по переменным р0 ,

р^пърР^щхлл р. ^с,(45)

где постоянная С, . не зависит от р,

\<Р(хМ,рМ « -^рТ— .

Кроме того, для лвбой неслучайной функции при лвбом Фиксированном t > О сувествует предел

Ьп £М(НыГу£М) <£*)*= М) л С47)

8 формулировке теоремы 5.2.2 участвует линейный опера -тор (Ц^ , заданный формулой

= ш*Л) - Г [их+- ] .

Здесь оператор Грина применяется^ ко__всему выражению в квадратных скобках, где сокращенно

Теорема 5.2.2. Пусть выполнены условия теоремы 5.2.1 и соотножения (46),(47). Тогда при £•* О распределение, порожденное в пространстве [_ (у) случайным полем

-£'*(&( и.е(х,*)-1/(хЛ)) ,

для любых фиксированных Т>0 и слабо схо-

дится к центрированному гауссовскому распределению с характеристическим функционалом

где (Ь.) определена в (47). Этот результат доказан в

Глава 6 посвящена изучению предельного поведения при ¿•*0 решений краевой задачи эллиптического типа со слабо нелинейной случайной правой частью, которая зависит от "быстрой" пространственной переменной. Рассматриваемая задача имеет вид

>ъ£х+(х),<*) 3 хеУ • сш

(49)

Оператор действует на гладкие функции прост -

ранственной переменной X по формуле

чИ J

Основные результаты главы 6 сформулированы в50.1.

% 20 -

Предполагается, что выполнены условия, при которых для задачи С 48)—(49) с вероятностьв 1 существует классической решение. _

Случайное поле имеет конечный радиус

зависимости.

*>Р) *Г(р)

(50)

вп+2 w

^ С

(51)

где постоянная С не зависит от X

Обозначим через 1/(х) решение "усредненной" задачи

X"U(x)= F(VX.(X)), эсеу. (

52) (53)

U

S

В ^6.2 доказаны следующие оценки скорости сходимости в принципе усреднения.

Теорема 6.1.1. Пусть U-£ и I/ - решения краевых задач (48)-(49) и (52)-(53) и для случайного поля Р(х}рг1д) выполнены условия (50),(51). Тогда при любом ре. (о n.*2j

где постоянная С (р) не зависит от £

Кроме того, для любого XG"\f, j Р е

MiBj^w-DjVix)^ + С'(р)£Р3

где константа С (р) не зависит от X,£jj •

В главе 6 установлен и результат об асимптотической нормальности . При этом дополнительно предполагается, что с вероятностью 1 реализации случайной функции F(jc,р,¿0) имеют ограниченные абсолютными постоянными К{£) все

частные производные порядков по переменным

Ро>Рх.....Ял. т.е. для любых целых неотрицательных

л таких, что ¿о+£1*"+<еп. = с

где неслучайная постоянная К{£) зависит только от .

Кроме того, для любой неслучайной непрерывной функции ^(х) существует предел

СПМ(1гГ^м£(Х)с£х)г' = , (55)

£-*0 V _

где ГП/х,(*>) •

Низе, в формулировке теоррча 6.1.2 , - функ-

ция Грина неслучайной краевой задачи

= хеУ; =0 .

При налояенных ограничениях в ^6.3 установлен основной результат главы 6

Теорема 6.1.2.Пусть выполнены условия теоремы 6.1.1 и соотноаения (54),(55). Тогда существует неслучайная функция \д//«£,£) такая, что при £-»0 распределение, поро» -денное в пространстве (V) •

случайным полем г

^ = £ (и£(х,о>)-1/(х) ' ,

слабо сходится к центрированному гауссовскому распределе -

нив с характеристическим функционалом гяе

а делена в (55).

Отметим, что во многих случаях условия (51) и (54) можно значительно ослабить. Например, если и Л £ 3 .то достаточно потребовать ограниченности частных производных до второго порядка по р0 , а (51) заменить условием

где постоянная С не зависит от X

Крсиз того, о этой случае поправка к усредненному ревеня;: \¡{x,¿) раьна аул». Аналогичный гФ^ект длы ли -нейного уравнения отмечен в [18-20].

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. De Glorgi Е., Spacnolo S. Sulla convergenza degll In -tegrali dell'energía per operator! ellipttici del se -conde ordlne // Boll, del la ünlone зэЬ. Italiana, 1973, v.8,H3.p.331 - 411.

2. Баивэлов U.C. Осреднппше характеристик и тел с периодической структурой // Докл. fifi СССР, 1974,т.213,НЗ,С. ¡040 - íO'ia.

3. Бспазиззт A.. Lions 3.-L., Papanicolaou 6. fisysplotic analysis for periodic structures.- North.-Holland Pub!. Coap.,1970.

4. Бахвалов i!.С.. Панзсенко Г.il. Осреднение процессов в периодических средах, К.: Наука.1984.

5. ÜÍHKCB В.В.. Козлов С.Я., Олейннк O.A. , Ха Тьен Нгоан. Передней«« и fi - сходность //Успехи иат. науч.-1979.-Т.34,вып.5.- С.65 - 133.

6. 5кков В.В.. Козлов С.И.. Оляйкик O.A. 3 G - сходимости параболически;-: операторов //Испеки мат. наук.-1981.-Т. 36,вып.1,- С.II - 58.

7. Еринский В.В. Об усреднении недивергентных уравнений второго порядка со случайными коэффициентами //Сиб.иат. зурн.- Т.23,N2.- С.176 - 188.

8. Яринский В.В. Об усреднении эллиптической краевой задачи со случайными коэффициентами //Сиб.мат.хурк,-1980.-T.21.N3,- С.209 - 223.

9. Яиков В.В.. Сирамудинов U.K. Усреднение недивергентних эллиптических и параболических операторов второго по -рявка и стабилизация ревения задачи Каши //Мат.сб.-1981.-Т.116.N2.-С.166 - 186.

10. Papanicolaou G.C., Uaradhan S.R.S. Boundary value probleas with rapidly oscillating random coefficients // Colloquia Bathesatica societat-is Janos Bolyai, Randoa fields.-1981.- U.2.N27.- P.835 - 873.

И. Еиков B.B., Козлов C.H., Олейник О.й. Усреднение параболических операторов //Тр. НМО.- 1982.-Т.45.- С.182 -236.

12. Еиков Б.В., Сираяудинов М.И. О 5 - компактности одного класса недквергентнмх эллиптических операторов второго порядка //Изв. АН СССР. Сер. ыатеи.1981. Т.45. С.718 -734.

13. Papani colaou G.C., Uaradhan S.R.S. Diffusions uith randoa coefficients // Statistics and Probability: Essays in Honour of C.R.Rao, fimsterdaa - New York: North Hoi -land.1982.P.547 - 552.

14. Вринский В.В. Об усреднении симметричной диффузии в случайной среде //Сиб.мат.яурн. - Т.27,N4. - С.167 -180.

15. Вринский В.В. Об усреднении диффузии в случайной среде //Тр. Ин - та/ Ин - т математики СО АН СССР.- 1985. -Т.5. -С.76 - 85.

16. Yurinsky V.U. On the honogenization error for boundary problems with highly oscillating randoa coefficients // i World Congress Bernoulli Society. Tashkent,1386.U.2 P.651.

17. Хасьминский P.3. 0 случайных процессах, определяемых дифференциальными уравнениями с малым параметром //Теория вероятн. и ее примен. - 1966,- Т.11,N2.- С.240 -259.

18. 8ауров В.В. Флуктуации в схеме усреднения и суммирование независимых случайных величин //Теория случайных процессов. - Киев,1984. - Вып.12. -С.21 - 27.

19. Fieari R., Orlandl Е.. Papanicolaou G. Mean field and gaussian approxlaation for partial differential equations uith randoa coefficients //S1AM 3. Appl. Math. -1982.- U.42.N5.- P.1069 - 1077.

f 24 -

PA50TU АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

20. Похидаев A.B. Об асимптотической нормальности ревений краевых задач со случайными коэффициентами //Сиб.мат. журн.- 1982,- Т.23.Н4. - C.J42 - 153.

21. Pozldaev A.V., Yurlnskll U.U. On hoeoeenlzation of partial differential equations uith randon coefficients // USSR - Japan sysposlui on probability theory and ¡sathe-aatlcal statistics. Abstracts of Communications. - Tbilisi,1982.- U.2.- P.iSi - 163.

22. Пояидаев A.B. Об оценке скорости сходимости в принципе усреднения //Республиканская конференция по теории стохастических дифференциальных уравнений. Тезисы докла -дов. - Донецк,1982.-С.72 - 73.

23. Похидаев A.B. Предельное поведение решений пара^личес-ких уравнений со случайными коэффициентами //Республи -канская конференция по теории стохастических дифферен -циальных уравнений. Тезисы докладов. - Донецк,1982.-С. 74 - 75.

24. Похидаев A.B. Предельное поведение реиения третьей краевой задачи со случайным коэффициентом. - Деп. ВИНИТИ N1119-82 Деп.- 27с.

25. Пояидаев A.B. Асимптотическая нормальность решений па -

• болических уравнений со случайными коэффициентами //Тр. Ин - та/ Ин - т матеиатикн СО АН СССР. - 1984. - Т.5.-С.170 - 181.

26. Пояидаев A.B. Ис^еднение.некоторых уравнений со случай-

• ннми коэффициентами //Теория вероятн. и ее примен. -1981. - Т.26.Н2.- С.433.

27. Пояидаев A.B. Флуктуации в схеме усреднения для эллиптических краевых задач //Теория вероят. и ее примен. -Т.29,HI. -С.187 - 188.

28. Пояидаев A.B. Скорость сходимости в принципе усреднения для эллиптических уравнений со случайными коэффициентами ми //Теория случайных процессов. - Киев,1984. - Вып. 12.- С.59 - 63.

29. Похидаев A.B. Предельное поведение ревений краевых за -дач со случайными коэффициентааи //Тр. Ин - та/Ин - т

- 25 -

. математики СО АН СССР,- 1985.-Т.5.- С.86 - 96.

30. Покидаев А.В. Асимптотическая нормальность решения за -дачи Кони параболического типа со случайными козффици -ентаии //Теория вероятн. и ее примен. -T.28,N3,- С.

31. Повдаев А.В. Предельные теоремы для решений дифферен -циальнвх уравнений со случайными коэффициентами // IV международная вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистики. Тезисы. - Вильнюс,

1985. - Т.К. - С.43 - 44.

32. Pozidaev ft.U. fisyaptotic norsallty of honogenizatioa error //1 Kcrld Congress Bernoulli Society. -. Tashkent.

1986. - U.2. - P.648.

33. Pozidaev A.U. Asyaptotic noraality of solutions of differential equations with randoa coefficients // V international Vilnius conference on probability theory and Bath. statistics. Abstracts of Cocuintcatlons, -Vilnius,1989. - U.2. - P.98.

34. Покидаев А.В., Юринский В,В. Оценка погрешности усред -нения для симметричных эллиптических систем со случай -ними коэффициентами //Нспехи мат.наук. - 1988. - Т.43, вып.4. - С.168 - 169.

35. Похидаев А.В., Еринский В.В. 0 погревности усреднения симметричных эллиптических систем //Известия АН СССР, сер.катем. -1989. - Т.53.Н4. - С.851 - 867.

36. Pojidcev А.0. Differential equations with randoa coef -ficients //14 IFIP conference on systes aodelling and optimization. - Leipzig» GBR,1989. - P.64.

37. PoSidaev A.U. LUit theoreas for randoa equations // Third huneerian colloquiuo on lislt theoreas In proba -billty and statistics. Abstracts. - Pecs, Hungary,1989. - P.50.

38. Покидаез А.В. Об асимптотической нормальности погрев -кости усреднения //2 Всесоюзная вкола - семинар. Зрго-дичзская теория еаркозских процессов. Тезисы докладов.-Черновцы,1983. - С.40.

39. Повкдаев А.В. Асимптотическая нормальность погревности усредненхя параболических краевых задач //Тр. Ни - та/

* 26 -

Ии - т математики СО АН СССР. - 1989. - Т.13. - С.181 -193.

40. Pozldaev A.V. Randoi fields and differential equations //2 Bernoulli. Society Horld Congress. Abstracts. - Uppsala,Sweden,1990. - Montpeller: Capital City Press. -P.52.

41. Pozldaev A.U. Asyaptotlc noraality of solutions of randos equations //19 conference on stochastic processes and their applications. Abstracts. - Eisenach,GDR.1930. - P.80.

у

42. Pozldaev A.U. Heak convergence and randoa equations // 11 Praqua conference on inforaation theory, statistical decision functions and randoa processes. Abstracts. -Praque.1990.

43. Пояидаев А.Б. Асимптотическая нормальность погрешности усреднения эллиптических краевых задач //Сиб.мат.аурн,-1991.- T.32.N4. - С.104 - 115.

44. Pozldaev A.U. Asyaptotlc noraality of the solutions of nonlinear randoa equations //© USSR - Japan syaposiun on probability .theory and aath. statistics. Abstracts of CosBunicat ions. - Kiev,1991. - P.115.