Асимптотическая теория некоторых классов интегро-дифференциальных систем с частными производными с малым параметром при старшей производной тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ КЫРГЫЗСТАН ИНСТИТУТ Л1АТЕМАТИКИ

Специализированный совет К 009.11.01

На правах рукописи

АЖ И ГУЛ О В МАТА Л

УДК. 517.968.

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ СТАРШЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Бишкек — 1991

л >

/ О /

!!Работа шцолнёна р кафедре ,вычислительной математики' д факультета ю)форыатики и прикладной математики Киргизского Ордена Тру.ового Красного Знамени государственного университета имени БО-ле дя СССР.

л J ; г ' ' ■ ■

Научный руководитель: член-корр( зпондент АН СССР, доктор физико-матеиатических наук, профессор Иманалиев Ы.И.

Официальные оппоненты,* ' член-корреспондент АН УССР, 'доктор физико-математических наук, профессор Самойленко A.M.

'-'{Институт математики All УССР), -

кандидат физико-математических наук, старший научный-сотрудник Алексеенко С.Н.

"(Институт математики АН Республики Кыргызстан). Ведущая, организация:

Университет дружбы народов имени Патриса Лумумбы. ^цита состоится " £tlt/?f-(J 11 г.

" I { " часов на заседании Специализированного совета К 009.11.01

по приведению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте математики АН Республики Кыргызстан.

С диссертацией могаю ознакомиться в ЦгШ АН Республики

Кыргызстан, : _ '

Автореферат-раэбслан "•' ¡у " /JCt/llU Щ 1991 г. Отзыеи на автореферат просим'прислать в двух экземплярах с заверенными подписями по адресу:720071 .Бишкек,Ленинский проспект, Й55-Л, Институт математики^ Специализированный совет К 009.11.01.

Ученый секретарь Специализированного совета, кандидат физшсй-матенатических наук С.Ит.андаров

> с-:".'7"!~\ -

. • • сбщал характеристика работ!

I

актуальность т

'емн. Теорией дифференциальных и шггегро-дк',-1--сс-'Узп^щиЬлынлс уравнений с налим парачетпом при старшей проия-

'водныГза последнее тридцатилетие занимались многяо специалист.? п напей страна и ял рубелем. Таким задачам посвящено немало работ, среди которик »(огно отмстить работу Д.Н.Тихонова, А.Б.Васильевой, В.ЫЗутууога, Виши к М.Н., Х«стсрник Л.Л., Волосоио П..4., Умбетглноэз Д.У., ГрадптеПна И.С., Импнплиева '•!.!'., Ло-|«ояя С.А., Моисеера 11.11., Рчяовп В., Пснтрлпь.а Л.С., Роя коп а В.И., Тупчиепа А.Н. и многих других.

В то же время, сравнительно мало работ поевл'-ччно приложение асимптотических методоп к исследояпчип линсЯнух и пелинвй-гах дифференциальных, интегро-дифференциалышх уравнений в частных производных гиперболического типа с мальм параметром при старшей производной 1' то же время такие задачи часто ветра-ч&втея и современной Физике, технике, механике, в теории нелинейных колебаний и др. Поэтому изучения таких видов задач прт?д— стппляет 1ш!( теоретический, так и практический интерес.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Разработать асимптотические методы исследования некоторых классов линейных и нелинейных интегро-дифферэн-цияльнкх уравнений в частных нпсизводннх гиперболического типа с калым параметром при старшей производной.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. 13 диссертации впервые разработаны асимптотические методы решения линейных и нелинейных гиперболических систем интегро-дифференциальных уравнения с малым параметром при старшей производной.

Впервые изучены на примере модельного уравнения пограничные функции, аппроксимирующие разрывы второго рода.

Предложен оригинальный способ использования полученных асимптотических результатов для численного решения гиперболических уравнений.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Полученные в диссертации результаты расширяют и дополняют теории асимптотических разложений решений сингулярпо-возмуценных ¡жтегро-дифференци-альных систем. Исследованные асимптотические формулы дают возможность численной реализации решения поставленных задач. Полученные результата могут быть применены при изучении ииропого

~ Л

класса краевых задач линейных и нелинейных дифференциальных и. 1,11 ~ тегро-диффере1 дальних уравнении в частных производных с малым параметром при старшей производной.

С помощью разработанной теории исследование ряда конкретных практических „адач ыокет быть доведено до численных результатов.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались и обсуждались не. Всесоюзной конференции по асимптотическим методам 1975 (Орунэе), на Всесоюзной конференции КАЗГУ в 1974 (Алма-Ата) , на Всесоюзной конферанции КГУ 1939 (Фрунзе), на конференциях КГУ с 1971 по 1990 годы, на семинарах кафедры вычислительной математики КГУ, ИМ АН Республики Кыргызстан, на кафедре уравнении мат. физики КАЗГУ, ИМ АИ Каз. ССР (19Й9).

ПУБЛИКАЦИЯ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1-7. список которых приведен в конце авторе-

ферата.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ, Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации - 127 страниц машинописного текста. Глблиографкя содержат 97 наименований.

П. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Необходимость самостоятельного рассмотрения дифференциальных уравнений с калим параметром при стараей производной била впервыо указана А.Н.Тихоновым в 1948 году, б связи с практической необходимость», так как многие проблемы в области физики* механики, теория нелинейных колебаний и др. описываются таким« видами уравнений. Начиная с пятидесятых годов и Ьсобенно в шестидесятые Годы ряд исследователей систематически изучали теория дифференциальных и интегро-дИффсронциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Наиболее важные результату в втой области связаны с именами Л.П.Тихонова, Градштейна И.С., Васильевой А.Б.* Бутузова Б.Ф., Еолосова В.11., Вишик М.И.» Лас-тернйка Л;| Вазова В.( Рожкова В.И.; Векуа И.Л., Кванталианя К.И.» Иианалиева М.И.; БЬшова П.В.^ Касымова К.А. и многие другие.

СОДЕРШШЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введений обосновывается актуальность темы диссертации, кратко характеризуются основные результаты.

Первая Ьлава § 1.1 посвяцена изучения асимптотической теории лкнвЯньГх и1п'огро-дкф11)ере1щиалы1ых уравнений в частик производных виДа

-Ч-

2) ^ - - квадратная постоянная матрица, удовлетво-

ряет (2); 3) Ш к'г■ Л /ч . /<Л- определяется следую-

щим образом 11(л,/<11 ± к, в"1*'? тогда задача (II) имев.- единственное решение вида (4) и выполняется неравенство (0), (14) причем в области ято решение при (■ — * г стремитст

н решению выровненного уравнения (II).

В 5 1.3 издается асимптотическая оценка более общей Линейной системы дифференциальных уравнений в частных производных вида

с ?гн,у], ">*(Ы)-(ин*)> (¡Ы

с начальным условием

(15)

7 (М/ - V

(16)

Пусть I! 1 , й и ;/■ /•' У' тогда вырожденное уравнение при к -- о ( имеет решение

^»/г-.ч^Ч^/т'1 (П)

(10)

V".......

где й- ;/(■///

и //„, !/ч, Пл. '6« - постоянные матрицы соответственно видов п>11. нш, »"не. Далее предполагается, что вектор-функция в области г';, -^^-.г-"; имеет

непрерывные и ограниченные производные первого порядка по I и х . Ревение системы (15), (16) ищется в виде

и Н.Г) - \Щ ■ у) ♦ / / (|г (I КО.

Доказывается, что при выполнении ряда условий дли функций пограничного слоя справедливы оценки

¡1 Шт.УЩ ± Мс?/* (20)

(21)

(22)

Нв (х,ч1Ц ± ли Ц ''■"ЧЧ'; - .4

Относительно неизвестной функции ^ (¿лО,'/ и,*/*) получаем мнтегро-дифференциалъное уравнение

14 *• с С

7 С,/ (и (24)

с--.**

откуда для \ ИМС), >[ (№>(■) следует оценка

а\(Ш)И~*(25)

Доказана.

Теорема 1.3.1. Пусть I) - постоянные матри-

цы, причем вещественные части корней удовлетворяют неравенству ^ 4и,х!, - непрерывны и огран

чены вместе со своими производными первого порядка по ± к х , тогда задача (15), (16) имеет единственное непрерывное и ограниченное решение представимое в виде (19), выполняется неравенство (22), (25) и при ¿~*0 это решение стремится к решению ьррожденного уравнения (17).

В § 1.4 изучается аисмптотическал теория одного класса на линейных гиперболических систем интегро-диф{)еренциальных уравнений в частных производных е виде

i

Ь ( ^^МШШ^Л^А (МЖШЬШ , , , с * (26)

с начальным условием

И(с,г1=ф),

Полагая ¿-0 из (26), получаем вырождение уравнение. Рекение задачи ждется в виде (19). Предполагается, что в области и { гч $ >?. • г.-,. - ;/, г/.,..■.¿„¿*<<ч}1

- А

вектор-функция l¿ti ("t.s,^, a ^^/¿/^»'V .непрерывна и ограничена, имеет непрерывные и ограниченные производные первого порядка по аргументах ос, и, i выполняются неравенства

HlUChi.^<(iM-\nUrU,:hИЪ-ЪИ,

где 5up S/V/í^iíAA области (ir нелинейные

*>г ^ h функции удовлетворит условии Липшица.

Решение задачи (26)-(27) ищется в виде

U {i, i) = *)* Ш7>*) •> П (■ г (i,»,t)- rflW tQftjJriy (b*> <2ü)

Доказана.

Теорема 1.4.1. Пусть I) Mí,9-*>'«, н'1", мпи _ мврны9 постоянные матрицы И* (* протеи вещественные jacth

всех корней А,- характеристического уравнения r'd{Á удовлетворяют неравенствам С, где j. - по-

. ^ительная постоянная; 2) в области $rf i} ftp, . с*?*хл * .(oíü¡,i..,'/«,h, — < ¿Ut-м вектор-функции K,¡ (*,% u,¿ ) (кча) непрерывны и ограничены, имеют непрегчвные и ( 'раничегчие производные первого порядка по аргументам ос, и, 2 , кроме-того,

II Ci,itxlt,у), iiMS- Ки (t,*, U,(l*),ti/i.«))llí

причем

Sup J /J 1С é Vj

ЦО с

3) в области кс\\ъс,-c^ív,!/,,...,it«,l,r.....J

вектор-функции % L*№t,i,f) непрерывны и удов-

летворяет условна Липвшца по аргументам цU,■*),}. (h*),P,f-

с постоянной rí-coni . Тогда при в об-

Л ■ 1

ласти система (2б)-(27) имеет единственное непрерыв-

ное и ограниченное геаений вида (2f3) пря выполняется неравенство ...

ÍÍUWjif iJAhio'ft-.

- с? -

и креме того, для всех оз при £ ->о

вто решение сходится равномерно к ренению системы вырожденного

уравнения.

Во второй главе в § 2.1 исследуется поведение реовиий более общей системы линейных интегро-дифферянциальньи уравнений с малым параметром вида

((

? 0 (89 )

ь ( в -а г-*,*; ^ '/глче/^ --

о начальными данными

иМ= ЧМ,

1№--Г(х)- (29)

Решение уравнения ищется в виде

I ФМыНьчьР/Ь^чЩ*); (30)

оцениваются функции типа пограничного слоя

¡1II (г,к) 'I - иьи.книмеё? (31)

и остаточный член

К у^лН'аЬ, цам'Ч (32)

В 5 2.2 изучаются асимптотическая теория нелинейных гиперболических интегро-дифференциальных уравнений с постоянными матрицами с малым параметром при старией производной вида

п / (зз)

с с+ Ь4а,иЧ(А

с начальными условиями

2г ч/г'- Ю-

Вещественные пасти всех корней /!<■ (¿-1,1 ><) уравнения <{(М(.ВЕ-& ):0 удовлетворяют неравенствами соответственно <=•' ((=;,.,«1 где - некоторые полоиителыше постоянные, А - постоянный параметр. Решение задачи ищется в вида (30). Оценивается остаточный член. Для первого приближения справедлива оценка Ц^М-^Л^ПиЦМ-иШ!I ч-Доказывается, что

' а иЬ!!(,;11^(1*1-у*.Щкк«V,шЛ

где ^ _I ^м^НчЧ.рУ. При тогда получаем

//аД-*"^ И^Л'-хН

Показывается, что при £-»с? в рассматриваемой области Доказана.

Теорема 2.2.1. Пусть I) - не>«, ни и - мерные постоянные матрицы, причем вещественные части всех корней удовлетворяет вышеуказанным неравенствам) 2) в области /^(¿¿Ы, ■

+ век®срные функции (<■->,')

непрерывны и удовлетворяет условно Липшица по аргументам и, г

Ц 14' Ил, ц^-ис (и, 4.^)11^ 4

вырожденное уравнение имеет единственное, непрерывное, ограниченное решение кместо со своими производными первого порядка по аргументам ¿их ; 3) выполняется условие

^Ц/,^ . где .¿химИ , тогда система (33)-(34) имеет единственное непрерывнее решение п виде (30), при атом выполняется неравенства (31) и ато решение при е—?о равномерно стремится к резенил врожденного уравнения в рассматриваемой области.

В 5 2.3 изучаются асимптотические решения энергетических систем в частных производных вида

:Нх) Щ^имы-р(и) (З5в)

которые описывают движения вращения ротора пенераторя. Разрешая уравнения (350) соемзстно с уравнениями мощности тока, электродвижущей силы, поток сцепления пронизывающей обмотки ротера и статора генератора; учитывал составляющие токи, по-

-а-

лучаем уравнение

ям д11м +ъы) г^м=^ЦФ

W ?t (35)

^

........ С С с4-' V " <•' с

Для решения »того уравнения применяется асимптотический метод, оценивается остаточный член.

В третьей главе на примере модельного уравнения вида £ /-{¡i({). {¿Lt'tJ впервые изучены погранслойные функции аппроксимирующие разрывы второго рода. Вырожденное уровнение при <:() обращается в бесконечность. Решеиие ищется в виде А/•///-!rj • Здесь И(т) - подлежащая определению функция пограничного слоя, которая должна подчиняться условиям

ЩТ)—'■■■ I при Г~»с>.

П1Г)-*0(ГЫ) при ¿'О, Т-+0. Ш

Проведены численные результаты. Решение возмущенного

уравнения достигает максимального значения в точке пересечения с решением вырожденного уравнения.

С другой стороны в этом случае при помощи функции пограничного слоя Ч(т) определяется £ - приближение односторонней сР - функции Дирака. Этот результат применяется для более общего уравнения

с начальным условием / ( ,

"(О-'- (38)

11в первом этапе решение задачи (37), (38) ищется в виде

?W-n(fe)iC(i), (ЗУ)

где 1 решение вырожденного уравнения, которое при t-О имеет особенность вида ^^

Предполагается, что

•}7ГЫ", Г(С1:(\ (41)

Неизвестнув функцию пограничного слоя определяем из уравнения

в вид о ,г

Ь гс(£-, где

Тогда ревение задачи (37), (38) записываем п вид8

Далее определяется максимальное значение ^(Ь) » которое

достигается в точке ,-т с

л ¿п

Затем для определения остаточного член . решение задачи (36) ищем а виде

с

С учетом (40) получаем уравнение

(45)

\iVcj--b -^-пфин <4в>

откуда для вытекает оценка

Л'-^ЧЬ. (47)

Доказана.

Теорема 3.4.1. Пусть I) функция типа пограничного слоя подчиняется условиям (36); 2) функция ./'{) непрерывна и непрерывно дифференцируема! 3) ff1"(р)-С, тогда задача (37), (30) имеет реяение в виде (45) причем выполняется нёравеиство (47), при этом функция достигает максимального значения в точке пбресБченип с рявёнием кыролден-ного уравнения И и окрестнйбтИ -{-о й'кепоПйгЩиалЬно стремятся к реиенип вьгроп-денИоГо УравнШШл.

Публикации по теме Диссертаций

I. Асимптотические методы в энергетических системах //Иат-.чи I! пбклеЛ. межвуз. комф. по мат. я мех., посвгсч&иныЛ 20-летиЬ Фрунзе: Илим, 1971.- С. 21-23.

'¿. Пекоторйе Исследования ¡энергетических систем в частных

производных с малым параметром при производной //Исслод. по кнтегро-дн^еренц. уравнениям в Киргизии.- Фрунзе: Илим, 1574.- Был. 10.- С. 77-83.

/ э

3. Исследование нелинейных внергетических систем //Там жз.

- С. 03-91.

'1, 0 пограничном слое второго рода //Исслед. по интсгро-диф-фсренц. уравнением.- Фрунзе: Илим, 1986,- Вый. 19.- С. 74-7Э (Совм. с СеПтказневой К.).

5. Асгчптотмческие оценки решений линейных гиперболических систем с параметром при старшей производной //Таги ко.-1989.

- Вып. 22,- С. 43-4В.

6. Асимптотические оценки гиперболических систем сингулярно-возмущенных интегро-дкфференциальных уравнений //Там ке.

- С. 46-50.

7. Асимптотическая теория нелинейных систем интегро-дифференци-ольныя уравнений в частных производных с малым параметром при старией производной //Дифференц. уравнения и их приложения, Фрунзе, сент. 1909 г.: Тез. докл. ресиубл. научи, конф.- Фрунзе: Киргиз, гос. ун-т, 1989.- С. 47.