Асимптотические решения задач Дирихле для интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

типа с малым параметром в главной части.

§ 2. Первая краевая задача для интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром.

§ 3. Первая краевая задача для интегро-дифференциальных уравнений с операторами Лапласа.

ГЛАВА П. ЗАДАЧА С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В НЕРЕГУЛЯРНОМ СЛУЧАЕ

§ I. Задача для однородного интегро-дифференциального уравнения

§ 2. Неоднородное интегро-дифференциальное уравнение с малым параметром.

§ 3. Краевая задача для интегро-дифференциального уравнения с оператором Лапласа

Многие практические задачи прикладной математики, физики и техники не поддаются исследованию известными классическими методами в смысле получения их точных решений. Поэтому возникает необходимость применения различных методов приближенного построения решений этих задач, которые разрабатываются по двум основным направлениям: развитие численных методов решения и развитие, так называемых, асимптотических методов решения. Среди асимптотических методов краевых задач с малым параметром при старших производных одно из центральных мест занимает метод асимптотических разложений по малым значениям параметра. Основная идея этого метода заключается в редукции рассматриваемой задачи к двум более простым, уже изученным задачам, с помощью решений которых строится асимптотическое представление искомого решения.

Идея упомянутого метода и ее реализация восходят к ранним работам А.Пуанкаре[I], И.Горна[2,з], Л.Прандтля[У|, Дж.Бирк-гофа|*5], П.Нуайона[б], Я.Д.Тамаркина[т]и др. Однако систематические исследования уравнений с малым параметром начались с 30-х годов нашего столетия. Многие из них изложены в обзорной статье К .Фридрихеа [в] .

Исследование краевых задач для нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром были проведены в работах А.Н.Тихонова[9—IX] . Один из общих результатов А.Н.Тихонова в указанном направлении изложен в работе (пЗ, в которой рассматривается нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями где Н. и % искомые векторы, -малый параметр. Относительно правых частей системы (0.1) установлены достаточные условия, гарантирующие сходимость при решения рассматриваемой задачи (0.1-2) к решению вырожденной системы, которая получается из системы (0.1) при нулевом значении параметра р . Эти результаты нашли дальнейшее развитие в работах А .Б.Васильевой [12,1з], в которых установлена асимптотика решения исходной задачи относительно малого параметра р . Обширная библиография по этим и связанным с ними вопросами приведена в обзорных статьях ¡14 - 18].

Упомянутые выше результаты А.Н.Тихонова сыграли определяющую роль для многочисленных последующих исследований в данном направлении. В работах 0.А.Олейник¡19,20] , М.И.Вишика и Л.А.Люстерника ¡21-2зЗдан асимптотический метод решения краевых задач о малых возмущениях, в этих работах,в основном , рассмотрены краевые задачи для уравнений в частных производных эллиптического типа с малым параметром при старших производных, когда вырождение по малому параметру носит регулярный характер. Этот метод можно проиллюстрировать следующим образом: в конечной области евклидова пространства 2) рассматриваются дифференциальные операторы , у порядка + ^ соответственно. При этом операторы Ь^^ и Ь2^+21 ЭЛЛИП1ИЧНЫ* Для уравнения

Ц и£ Н Ы + ^ £ Ь СиЛ = ЙСх; в

0.3) рассмотрена однородная граничная задача с условиями

Иг

Эк1 0, £.о,1,(ол)

Э2> где производная берегся по направлению внутренней нормали к поверхности

Асимптотическое решение задачи (0.3-4-) построено посредством двух расщеплений оператора Ь£ . Первое представляется во всей области 2) согласно (0.3), а второе реализуется вблизи границы 92) области 2) . Затем, применением определенных рекуррентных соотношений строится асимптотическое решение исходной задачи:

ЫрО) = 2Г ^ Ы)+ В С * V; (£, (0.5)

- - I I "Т| 1

1*0 1=0 ^ где функции регулярны в области т) , а являются функциями типа пограничного слоя, отличными от нуля в достаточно малой окрестности границы 9 2) .В случае аналитических коэффициентов оператора и бесконечной дифферен-цируемости границы в представлении (0.5) натуральное число уг) можно взять сколь угодно большим. Если же гладкость указанных коэффициентов и границы позволяет применение рекуррентных соотношений до какого-нибудь конечного шага т , то существенно улучшить представление (0.5) невозможно.

Особо следует отметить, что при помощи энергетических неравенств вышеупомянутым авторам удалось доказать сходимость по норме полученных асимптотических рядов в пространстве Соо Л бол ев а \л/р

Б работах Н.П.Векуа(24 - 2б]был предложен новый метод асимптотического разложения по малому параметру. Этот метод был применен для исследования ряда краевых задач, когда малый параметр содержался при старших производных в рассматриваемом уравнении. В работах¡24-28] были исследованы задачи для обыкновенных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в случае комплексного аргумента. Более того, рассмотрены и сингулярные интегро-дифференциальные уравнения. Следует отметить, что в работе [2б]выявлена и исследована связь так называемого "сингулярного возмущения" дифференциальных операторов с теорией устойчивости движения.

Исследование краевых задач для обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений другим методом было проведено А.Б.Ва-^сильевой, М.Иманалиевым, В.Ф.Бутузовым[29 - 32] и др. В этих работах рассмотрены обыкновенные интегро-дифференциальные уравнения с малым параметром при старших производных: 1 уи^+Рс*^ + (о.б) I ки^аы**^. со.?)

Установлено, что для решений уравнений (О.б), (0.7) справедлива асимптотика относительно малого параметра, когда в вырожденной задаче однородное интегральное уравнение имеет только тривиальное решение. Одновременно с этим поставлена и исследована спектральная задача для уравнений (0.б), (0.7) как с однородной, так и с неоднородной правой частью. Выявлены закономерности, выражающие зависимость решения от малого параметра.

Из последующих исследований в данном направлении отметим работы [29 - 38].

В настоящее время исследования по асимптотическим методам, в том числе и методом разложения решений в асимптотические ряды по степеням малого параметра, ведутся все более нарастающими темпами, как у нас, так и за рубежом, о чем свидетельствует огромное количество работ, появившихся в последнее время ( см,например^ 9 - 5з] ).

Настоящая работа посвящена исследованию краевых задач для интегродифференциальных уравнений с частными производными в трехмерном случае, с эллиптическим дифференциальным оператором второго порядка

Ь£иЕ = £гии£ + ии£ = ЙМ; (0.8) с малым параметром £го , где и и н - Ь А- + + сы и, (о .9) и с интегральным оператором

0и 5^с~>иф + А ) • (0-10>

Ядро КГОх,^) интегрального оператора (0.10) предполагается непрерывным по обеим аргументам. Относительно функции j(2c) требуется выполнение неравенства

Со.и)

Поведение асимптотики решения краевой задачи для уравнения (0.8) существенно зависит от характера вырожденного уравнения, которое получается из (0.8) при ¿=0 . Если вырожденное уравгулярная точка оператора (0.10), то асимптотическое разложение по степеням малого параметра устойчиво. Если же параметр А окажется характеристическим числом оператора (0.10), это разложение, вообще говоря, может оказаться неустойчивым. В зависимости от этого работа разделена на две главы.

В первой главе мы рассматриваем случай, когда вырожденное интегральное уравнение

В § I первой главы приводятся некоторые необходимые для дальнейшего изложения определения и вспомогательные предложения.

В § 2 в конечной области 3) с гладкой границей из класса Я рассматриваем интегро-дифференциальное уравнение (0.8) с однородными граничными условиями нение с оператором (0.10) фредгольмово, а параметр А -ре

0.12) фредгольмово и число X не является характеристическим. оИв) Ug

0.13) где функция определена следующим образом

1 ,когда S>0, О ,когда £ г о.

Вырожденной же задачей является неоднородное интегральное уравнение Фредгольма (0.12) без каких-либо граничных условий. При помощи функции Грина задачи с граничным условием (0.13) при , рассматриваемая задача (0.8), (0.13) редуцирована к следующему эквивалентному интегральному уравнению ы€(») + А ( ^С^Ы^КД^), (0.15) я где

Для ядра уравнения (0.15) устанавливается асимптотическое представление

0[е?} (о.1б) где точка ¿едЗ связана с точкой х определенным образом, На основании этого представления устанавливается справедливость следуицих теорем:

Теорема 2.1. Если параметры задачи (0.8), (0.13) удовлетворяют условиям: аимес'^С*); 1м)еСг'лШ- еС^еС^Са;. то для достаточно малых значений параметра £ эта задача имеет единственное решение.

Теорема 2.2. Если параметры задачи (0.8), (0.13) удовлетворяют условиям: и скалярное произведение в где оператор Ь0 определен фородлой (0.10), а интегральное уравнение (0.12) для любой правой части имеет единственное решение, тогда решение задачи (0.8), (0.13) можно представить в виде

УУ) 1М и,С*-? ^ 2 + и £1С*, О + 2л+| (о.17) ио ¡>о где решение вырожденного уравнения (0.12),

1-1,2;^ -ограниченные, независящие от параметра £ функции, 1Г.(х^) » 1 = «и -решения определенного обыкновенного дифференциального уравнения, представляющие собой функции типа пограничного слоя, отличные от нуля в малой окрестности границы области , а допускает оценку

II 2„ЛЬ =0(е"\).

В третьем параграфе рассмотрен частный случай уравнения (0.8), когда в главной части оператора Ь^ фигурирует оператор Лапласа:

Ци£5-£гЛи£+и£сх)+д1 (о-1?)

Исследована задача с однородным краевым условием (0.13) в единичном шаре с центром в начале координат. В таком случае асимптотика соответствующего решения (0.17) принимает более конкретный вид, ибо все итерационные процессы строятся в явном виде. Из полученного асимптотического представления заключаем, что решение задачи (0.19), (0.13) в любой замкнутой подобласти единичного шара, не содержащего граничных точек, при £ о стремится равномерно к решению вырожденного уравнения (0.12). При стремлении точки ос к границе шара последний факт уже не имеет места, ибо асимптотическое представление имеет вид

Уг ™ им = 12 + н^,

1-0 и О где £ = -функции типа пограничного слоя.

В параграфе один главы П мы рассматриваем аналогичную задачу для однородного уравнения (0.8), когда однородное интегральное уравнение (0.12) имеет одно нетривиальное решение. При помощи соответствующей функции Грина рассматриваемая задача, при , эквивалентно редуцирована к интегральному уравнению

Ы£(Х) + А $ С (эс, ^, е)ие С^)= 0 (0.20) и установлена асимптотика ядра по параметру £.

На основании (0.16) и полученных асимптотических представлений даны асимптотические представления детерминантов Фредгольма. Применением этих разложений доказываем справедливость утверждения:

Если А0 простой корень уравнения 0(Х) = О , то можно указать малую окрестность числа А0 , в которой всегда будет существовать корень уравнения ,причем будет соблюдено равенство ^Ои2). (0.21)

Здесь через обозначен детерминант Фредгольма ядра интегрального уравнения (0.12), а через -детерминант Фредгольма ядра Собственные функции и УЧ^с) , соответствующие характеристическим числам Х(^) и А0 , удовлетворяют равенству где точка связана с точкой X определенным образом.

Оы везде в работе величина порядка ос.

Во втором параграфе главы П рассматривается краевая задача при аналогичных предположениях для неоднородного уравнения (0.8) при однородных граничных условиях. Опираясь на результаты предыдущего параграфа, исследован случай, когда интегральное уравнение (0.12) с однородной правой частью имеет одно нетривиальное решение. В таком случае, естественно, неоднородное интегральное уравнение (0.12) для произвольной правой части (Цх) из пространства 1 вообще говоря, не будет разрешимым без дополнительного условия. Устанавливая априорную оценку г 1Ми С II и и II, (0.23) где С не зависит от е , для всех решений задачи (0.8), (0.13), доказываем, что асимптотическое представление этих решений относительно малого параметра £ содержит отрицательные степени не выше второго порядка. Это представление имеет вид

СоСо Сой, +С<Ыо г , л

-1- + 1и0 + ( С,м, + С2ио;>—

-•г г -1 г* Сой, + С,и; Ы^иц.кг + + -2-- +

0.24)

С, и м 1с- I где функции не зависят от £ , а функции 1Г0, 1Г, , 1Г0 -представляют собой функции типа пограничного слоя. Все они строятся явно на основании специальных итерационных процессов.

В качестве примера в параграфе три главы П мы рассмотрели задачи с однородными граничными условиями для конкретного уравнения

3 С и и, = -В2- А и, + и£М - £(*.) (о .25)

При рассмотрении этой задачи в оценке (0.23) постоянная С-выражается в явном виде. Для решения уравнения (0.25) в единичном шаре с однородным граничным условием (0.13) точно устанавливается , в каких случаях начинается асимптотическое представление решения с отрицательной первой степенью параметра £ , или же, когда отрицательная степень параметра £ вообще отсутствует.

Б заключении выражаю благодарность моему научноод руководителю академику АН ГССР Н.П.Векуа за постановку задачи и проявленное им внимание при выполнении настоящей работы.

1. Sur les intégrales irrèguliéres des equationslinéares, Acta Math., 1886, 8, p.295-344.2 • Horn J. Über eine lineare Differentialgleichung ZweiterOrdnung mit einem willkürlichen Parameter, Math. Ann., 1899, s. 271-292.

2. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, 1917,-П.: 152с.

3. Friedrichs К. Asymptotic phenomena in mathematical physics, Bull. Amer. Math. Soc., 1955, 61, 6, p.485-504.

4. Васильева А.Б. Равномерное приближение к решению системы дифференциальных уравнений с малым параметром при производной и приближение к краевым задачам. Докл.АН СССР,124, fâ 3, 1959, с.509-512.

5. Васильева А.Б. Построение равномерного приближения для решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Матем.сб., 50, № I, i960, -с.43-58.

6. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. УМН, 18, № 3,1963, с.15-86.

7. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Федорюк М.В. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Итоги наук, Матем.анализ, 1967, с.5-73.

8. Васильева А.Б., Волосов В.М. О работах А.Н.Тихонова и его учеников по обыкновенным дифференциальным уравнениям, содержащим малый параметр. УМН, 22:2 (134), 1967,-с.149-168.

9. Васильева А.Б. О развитии теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных за период 1966-1976 гг., УМН, 31:6 (192), 1976,-с .102-122. .

10. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. О некоторых результатах теории сингулярных возмущений за последние пять лет. Вестник МГУ, Вычисл.мат. и кибернет., 1981, № 3, -с.25-36.

11. Олейник O.A. О второй краевой задаче для уравнений эллиптического типа с малым параметром при старших производных, ДАН, 79, № 5, 1951, с.735.

12. Олейник O.A. Об уравнениях эллиптического типа с малым параметром при старших производных. Матем.сб., 31 (73), № I, 1952, с.104-117.

13. Вишик М.И. и Люстерник JI.A. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром, УМН, 12:5 (77), 1957, с.3-122.

14. Вишик М.И. и Люстерник Л.А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамо-сопрякенных дифференциальных уравнений. I, УМН, 15:3(93), i960, с.3-80.

15. Вишик М.И. и Люстерник Л.А. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений с большими или быстро меняющимися коэффициентами и граничными условиями, УМН, 15:4 (94), i960, с.27-95.

16. Векуа Н.П. Линейные интегро-дифференциальные уравнения с малым параметром при старших производных. Проблемы механики сплошной среды. Москва: 1961, - с.92-100.

17. Векуа Н.П. Об одной системы нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром ( на грузинском языке,резюме русское), Труды Тбил.гос.ун-та, т.НО, 1965,-с. 25-32.

18. Векуа Н.П. Об одной системе нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производных, Труды Тбил. мат.ин-та, т.УШ, 1978, с.73-80.

19. Эприкашвили Г.П. Об одной краевой задаче для интегро-дифференциального уравнения типа Фредгольма с малыш параметрами при старших производных. Сборник "Вопросы теории функций и матем.физики", "Мецниереба", Тбилиси: 1978,-с.243-256.

20. Кванталиани К.И. Асимптотика задачи Коши для одного класса интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром. Тр. Тбилисского мат.ин-та, т.УШ, 1978, с.123-133.

21. Васильева А.Б. Об интегральных возмущениях в дифференциальных уравнениях с быстроколеблющимися решениями. ДУ, 1:6, 1965, с.717-730.

22. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотика решения интегро-дифференциального уравнения с малым параметром при производной. В сб. "Числен.методы решения дифференц. и интегральных уравнений и квадратурные формулы", М.: 1964, -с .183-191.

23. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Некоторые задачи на собственные значения для интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. ДУ, 1:9,1965,с.1190-1203.

24. Васильева А.Б., Иманалиев М. Асимптотика решения задачи Коши для интегро-дифференциального уравнения с малым параметром при производных. Сиб.матем.к., 7:1, 1966, с.61-69.

25. Бутузов В.Ф. К вопросу об асимптотике решений интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при производной, ДУ, 2:3, 1966, с.391-406.2 А . Z

26. Бутузов В.Ф. Асимптотика решения уравнения j* AIl-k (x^)u=в прямоугольной области, ДУ, т.9, № 9,1973,-с. 1654-1660.

27. Бутузов В.Ф. Об одном интегро-дифференциальном уравнении с малым параметром при производной в случае,когда вырожденное уравнение находится на спектре, ДУ, т.7, №5, 1971,-с.919-923.

28. Б;утузов В.Ф. О построении пограничных функций в некоторых сингулярно-возвдщенных задачах эллиптического типа, ДУ,т.13, № 10, 1977, с.1829-1836.

29. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно-возмущенных уравнений, М.:Изд-во "Наука", 1973, - 272 с.

30. Ломов С.А. Построение асимптотических решений некоторых задач с параметрами. Изв. АН СССР, серия матем., т.32, К? 1968, с.884-913.

31. Ломов С.А. Теория возмущений сингулярных краевых задач, Алма-Ата: 1976, - 236 с.

32. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений, -М.: йзд-во "Наука", 1981, 400 с.

33. Найфэ А. Методы возмущений. М.: Изд."Мир", 1976,- 455с.

34. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений, М.: 1968, - 464 с.

35. Треногин В.А. Развитие и приложения асимптотического метода Люстерника-Вишика, УМН, 25:4 (154), 1970, с.123-156.

36. Мищенко Е.Ф. ,Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Изд-во "Наука", 1975, - 248с.

37. Бутузов В.Ф., Мамонов В.М. Сингулярно возмущенная краевая задача эллиптического типа в критическом случае, ДУ,17,5, 1981, с.861-868.

38. Gohde Dietrich. Halbsingular gestorte schwach gekoppelte elliptische Susteme weiter Ordnung, "Beitr. Anal.", 17, 1981, а.31-39•

39. Lutz Robert, Sari Tewfik. Sur le comportement asymptotique des solutions dans un problème aux limites non lineares. "С.r.Acad, sei.", Seb.,1, 292, No.20, 1981, p.925-928.

40. Kelley Walter G. The Dirichlet problem for singularly perturbed quasilinear elliptic equations, "J, Different.Equat.1,» 40, No.1, 1981, p.37-52.

41. Friedlin M.J. On elliptic differential equations with small parameter, C.R. Math. Rep. Acad. Sei., Canada, v.Ill, No.4, 1981, p.209-214.

42. Назаров С.А. Метод Вишика-Люстерника для эллиптических краевых задач в областях с коническими точками. I.Задача в конусе. Сиб.мат.журн., т.22, Ш 4, 1981, с.142-163.

43. Назаров С.А. Метод Вишика-Люстерника для эллиптических краевых задач в областях с коническими точками. П.Задача в ограниченной области. Сиб.мат.журн., т.22, № 5,1981, -с.132-152.

44. Слуцкий A.C. Об асимптотике решений вырождающихся эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных. Вестник ЛГУ, № 13, 1981, с.59-64.

45. Мазья В.Г., Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Об асимптотике решений задачи Дирихле в трехмерной области с вырезанным тонким телом. ДАН, 256:1, 1981, с.37-39.

46. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т.1У, Гостехиздат, 1957, 812 с.

47. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: йзд-во иностранной лит-ры, 1957,-256с.

48. Каландаришвили Д.Г. Об одном интегро-дифференциальном уравнении с малым параметром. Сообщения АН ГССР, 1973,72, К? I, с.29-32.

49. Каландаришвили Д.Г. Об одном интегро-дифференциальном уравнении с малым параметром при старших производных. Сообщения АН ГССР, 1974, 73, № 2, с.273-276.

50. Каландаришвили Д.Г. О собственных значениях интегро-дифференциального уравнения с малым параметром. Сообщения АН ГССР, 1979, 94, № 2, с.273-276.