Асимптотически марковское поведение квантовой частицы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ шл.М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

МАНИТА АНАТОЛИЙ ДМИТРИЕВИЧ |

УДК 519.248

АСИМПТОТИЧЕСКИ ' МАРКОВСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ КВАНТОВОЙ ЧАСТИЦЫ

( 01.01.05 - теория вероятностей и

математическая статистика )

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

I

Москва 1991

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Няуччый руководитель - доктор физико-математических наук,

в.н.с. В.А.Малышев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация - Институт проблем передачи информации

АН

в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного совета

имени М.В.Ломоносова по адресу: 119399,ГСП,Москва,Ленинские Горы,ЫГУ,механико-математический факультет,аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета М1У ( 14 этаж.Главное здание ).

профессор А.С.Холево

кандидат физико-математических наук,

доцент В.И.Оселедец

Защита диссертации состоится

-Д.053.05.04 при Московском государственном университете

>

Автореферат разослан

Учёный секретарь специализированного совета Д.053.05.04 при ИГУ доктор физико-математических наук

Т.П.Лукашенко

!

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. Работа представляет собой исследование в области некоммутативной теории вероятностей, квантовой статистической физики и кинетических уравнений.

Строгий вывод квантовых кинетических уравнений из " первых принципов " - одна из наиболее интерестных и наиболее важных задач математической неравновесной статистической механики. Она состоит в получении марковской полугрупповой аппроксимации для необратимой эволюции квантовых открытых систем [1] при помощи надлежащего предельного перехода : предела слабого взаи-модействля, предела сингулярного резервуара или низкой плотности. Полугруппы, возникающие в таком пределе, являются некоммутативным аналогом марковских полугрупп в теории случайных процессов. Первые строгие результаты [2,з] в этой области относятся к изучению открытых /\/-уровневых систем, описываемых конечномерным гильбертовым пространством, взаимодействующих с квантовым идеальным газом (резервуаром), в.пределе слабого взаимодействия —> $ , £ —ь О . Здесь £. - параметр малости при взаимодействии, - старая шкала времени, 2 - новая шкала времени.

1. 7)алко> В. В. о^ зл^Л&тА,

^(ЖсИо-п : Лсо.с1е.ууги.с Р^ы^ъ 19^6.

2. Ри-Ь С'. V. В-СосЛ. еаи-сиысупл. — С&ГП-уилллт. ГПлЛ. РАул. 19Ц. и.ъ1.Р.2Ы-256.

3 ЮсхлА-ел 8. В. Ш<хп~Л*-сл>1сип -та^^ил еои_а.&.ст. — а 77la.tk.Pky>>. 19Ц. 1159. Р. '91- НО.

Дальнейший прогресс был связан в основном с /и-уровневыми системами ( см. обзорные работы [4,5] ). Недавно стали появляться результаты для шредингеровской частицы с гильбертовым пространством 6,7[. Бее рассматривавшиеся ранее модели не обладают свойством трансляционной инвариантности . Физически это означает, что рассмотренные открытые системы взаимодействуют с резервуаром лишь в ограниченной области пространства. Вторая ограничительная особенность этих работ состоит в том, что степень взаимодействия ыезду системой и резервуаром С по операторам рождения и уничтожения ) предполагалась не превосходящей 2 .

Появление первых строгих результатов относительно вывода кинетических уравнений для простейших моделей дало толчок к интенсивному изучению однопараметрических полугрупп вполне положительных сжатий ( квантово-динамических полугрупп ), поскольку оказалось, что полугруппы кинетических пределов обладают свойством вполне положительности. Обзор этих результатов

4. Qo'u-vu. V., Чуь.1ytsUo А ., V-сЛлл. 7/1., А.,

WdaWia« ¿.e.g. iricutA. P4u* . 1978. V. 11. P. 1^9-173.

H. ¡a

mtttc £ljU,OUtJ-OrU. риХУП TLOLMU^tO>U0un cLusyia-'m-<.cJ>: TilcXA^LOiyicun Llsmit'*,. — fLev~. 17bool,

р'кул. 19 so. ixoi. 52. p. 569 - б is.

6. Домненков Л.Ш. Марковский предел для частицы, взаимодействующей с газом. - 'Геор. и матом, физика.1989.Т.79.С.263-271.

7. CLcccvlcH А - ССЫЛАЛ irvexJ-JiA-vco^t-iao I/. ¡lot-tvui-a./ Ныр^п-Ъл

71-73, 7929

содержится в работе В.И.Оселедца [о]. Особо отметим вопрос о виде генераторов непрерывных по норме квантово-динамических полугрупп, решённый в случае алгебры ограниченных операторов в гильбертовом пространстве Линдбладом [э] и независимо в случае матричных алгебр Горини, Коссаковским и Сударшаном [ю]. Общий результат для непрерывных по норме полугрупп на произвольной С*-алгебре принадлежит Кристенсену и Эвансу [п].

Вопрос о сходимости к равновесию ( инвариантному распределению ) для квантово-динамических полугрупп на алгебре матриц рассматривался Шпоном [12], который нашёл достаточные условия для релаксации ( сходимости к равновесию ). Другим примером полугрупп, для которых хорошо поняты эргодические свойства,

8. Оселедец В.И. Вполне положительные линейные отображения, негамильтонова эволюция и квантовые стохастические процессы. Итоги науки и техники.Т.20.Теор.Вер.Мат.стат.Теор.кибер. М.: В;ШТП,1983. С.52-94. *

S. Уl^déta-d jj'. Ст. t-tuL (^Лы^сс-Ю-S ju.cvn--t4A+rL

(¿«пЛ-Жч'са/ s.-e-m-í'o^-íP-tyi^. -I- Со^гы-па^п, 771 алЛ. pkp. 1916. v. *t8. Р 119-150.

ю. Qobi'ní Ü.) kloncLjwivíJU A., Su-olastAJLcxsn £.С. С.

^Oynjxlttt-t-j пх>\1'1ЛлК с£-чп.си^-и.сaJ ъе*тА(уи>гуг-*> О-п

N- ¿tW -J. lllctiÁ. . 1316. К11.Р. 821-225.

п. С&

aicut&'i-Qj, cvnd аи-смЫл^п. <Жип.си*ы.саЛ s-et-*b¿Q>voи/гл. —

J.Xondon WouÁ.Sx>c.(2), 19T8. V.20. Р. 358-568.

[2. ^Jbob-n

И. ^/уг Wü Л í^^^i. - TrioLtÁ. Pinр. 1Ш. Ü. i O. P. 189-19b.

являются непрерывные по норме вполне положительные полугруппы на алгебрах фон Неймана в предположении существования единственного точного стационарного состояния, рассмотренные Фрвджерио

совой квантово-динамической полугруппы доказана А.Ш.Домнен-ковым loi.

Близкие содержанию диссертации вопросы рассматриваются также в рамках квантового стохастического исчисления, развиваемого в работах Аккарци, Фриджерио, Льюиса, Хадсона, Партасара-ти, Кшмерера, Проспери и многих других. Крупный вклад в развитие некоммутативной теории вероятностей вносят отечественные математики А.С.лолобо, Б.Н.Гуревич, В.И.Оселедец, В.П.Белавкин, Л.М.Чеботарёв и другие. Задачи о гидродинамическом приближении для различных систем математической статистической физики рассматривались в работах Р.Л.Добрушина, Ю.М.Сухова, А.Г.Шухова и других.

г

Цель работы - вывести квантовое кинетическое уравнение для квантовой частицы в газе в трансляционно-инварнантной ситуации, исследовать свойства трансляционно-инвариантных квантово-динашческих полугрупп, возникающих при таком выводе, изучить вид генераторов этих полугрупп и найти условия сходимости к равновесию .

13. Tbilре/ЫО А . ^йЛССПХОЛ^ S^tCbt^i О^

McLîJ,.

и Верри

Сходимость к равновесию для конкретной гаус-

Pty. 1978. V65.

Методы исследования , используемые при выводе кинетическо- . го уравнения, представляют собой развитие тонких методов частичного суммирования диаграмм, использовавшихся ранее для доказательств асимптотической полноты различных квантовых

систем [15,16}- При исследовании квантово-динамических полу*

групп мы используем методы теории С -алгебр, функционального и гармонического анализа, а также аппарат теории функций комплексного переменного.

Научная новизна . Впервые выведено квантовое кинетическое уравнение для частицы, трансляционно-инвариантно взаимодейству-щей с ферми-газом в температурном состоянии. Ограничения на степень взаимодействия не накладываются. Разработана новая техника, дающая возможность получать квантовые кинетические уравнения для более общих моделей, чем рассматривавшиеся ранее.

Возникающие при выводе кинетического уравнения трансляци-энно-инвариантные вполне положительные полугруппы представляют зобой новый класс динамических полугрупп. Доказана непрерывность [ю норме и найден вид генераторов этих полугрупп.

Найдены достаточные условия единственности стационарного состояния и сходимости к равновесию для полугрупп кинетического

[5. Ш/хЛу ¡Амг И.о.. Иил-ьолу е-уиллгоии+х-

сг о£ {оСе-сЦ? смо/ €оса.£-

19sb.1j.91. р. 101-ы2.

Ъ. Лйзеиштадт В.В..Ботвич Д.Д..Малышев В.Л. Ограниченные возмущения свободной динамики квантовых систем. - Итоги пауки и техники. Т.27. Теор.вер.Мат.стат.Теор.кибер. М. : ШИТО, 1990. С.3-78.

уравнешш. 1[лл широкого подкласса полугрупп найдены необходимые и достаточные условия сходимости к равновесию. По сравнению с известными результатами [12-14] здесь возникают трудности, связанные с бесконечномерностью С -алгебры наблюдаемых, не являющейся алгеброй фон Неймана.

:.рнло-кешш . Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам по кинетической теории и квантовой вероятности.

Аппробация . Результаты диссертации докладывались на семинаре по спектральным задачам математической физики на механико-математическом факультете МГУ, на коференции молодых учёных мехашисо-матсматического факультета, на всесоюзной школе "Методы функционального анализа в задачах математической физики " в Закарпатье в 1990 г., на Ломоносовских чтениях в МГУ в 1991 г.

Публикации . Основные результаты диссертации опубликованы в трёх работах автора, список которых приложен в конце автореферата.

Структура . Диссертация состоит.из введения и трёх глав , состоящих из 19 параграфов. Список литературы содержит 77 наименований .

I

СОДЕКШШЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан обзор работ по теме диссертации и приведены её основные результаты.

Первая глава содержит вывод трансляционно-инвариантного квантового кинетического уравнения. В § I вводятся некоторые базовые понятия.

Пара. (U.ti ), где U - С "-алгебра, , '<! е /£ , _

спльно непрерывная группа ^-автоморфизмов 1А , называется С -динамической системой. При этом группа L± называется динамикой.

Линейное отображение "С*-алгебры Ы в себя называется /г -положительны?.!, если отображение >ц С -алгебры в себя, определяемое как

Z, (= > Ay£ll> -

положительно, т.е. переводит положительные элементы в положительные. Отображение Т вполне положительно по определению, если оно 1- -положительно при всех натурачьннх .

Квантово-дииачической полугруппой f , s на С*-ал-rodpo U с единицей называется непрерывная по норме полугруппа вполне положительных сжатии, сохраняющих единицу.

В качестве аягебры наблвдаемых квантовой частицы выбрана С*-алгобра компшетных' операторов с добавленной единицей

17. B'LCLbtt&j (J., Ro-bi-nSyO-n D.W. OpMLCutsOt

cA

Vol .2 . Ьлл-^-гх : - Uoil^ ,1181

1 р , действующая в гильбертово!.: пространстве ^р = ).

В качестве алгебры наблэдаеикх квантового резервуара ( ,'ер;:::-газа ) выбрана С^-алгеора канонических ант:;ко:.-лусац::онш:х

соотношений (КАС) над [1?], поро:кдённуп операторам::

розденпя и уничтожения сх(О^) , £ ) , действу-

в антис^.иетрическом фоковскои пространстве ?а. (-1-г((\ )} Сем. [п]). С*-алгебро:": наблвдаемых составной системы " част::ца в фермн-газе " служит тензорное произведение

к § 2 определяются свободная и возмущённая динамжи . Свободной динш.икой ,±е /5 , называется следующая сильно непрерывная группа * -автоморфизмов на Ъ1 :

г^М)= е^р Си Но) А жрСиИо), Ae.ll,

где ^о - свободный гамильтониан :

Н0 - Аг 911 + 1р В £§(- Д)Ч+^ с! ГС а).

Здесь £ > 0 - параметр, 5 0 - фиксированное число, - единица в Ы£ ,с(Г(-) - вторичное квантование самосопряжённого оператора [17], Л - оператор Лапласа в //2 (й-

Физический смысл динашаш ^ состоит в том, что она соответствует эволюции свободной (невзаимодействующей) системы, состоящей из фермл-газа и выделенной частицы с перенормированной массой (2 £ ^ ) ^ .

Представление группы пространственных сдвигов в определяется формулой

Ах=1их*г(их))А(ах*г(их)),

где I (') - вторичное квантование унитарного оператора , а

Б

{[/,,, X £ | _ унитарные сдвиг;: в (^ ^ '■

Трансляционко-инвариантная ( коммутирующая со сдвигами ) возмущённая динамика на Ы строится при помопи оператора V кз одного из следующих ДЕух классов операторов в класс А :

и класс Б :

(2)

Здесь £ -конечная суша, гп1)уу>2>, 0 , существует пара ( ,м2 ) такая, что + 0 , и оС^(-) - операторно-

значные обощённые функции [17], действующие в пространствах и соответственно, Ж р = 'Ир - одночас-тичное подпространство антисимметрического фоковского пространства ^ («И'р) , и ^ такие функции из

пространства Шварца, что оператор V самосопряжён.

Мы строим возмущённую динамику -2" на с формальным гамильтонианом

'Но + 4 V, ^ ,

( V - оператор класса А ил;: Б,Уд- - его сдвиг на вектор ^ )

как сильный предел динамик L ^ , Ас К :

г| (А)- ^ W«'*V"'* (3)

где

ИЛ£ =Н0 ч- е f\/x ¿х.

Л

ТЕОРЕМА I.I. В предположениях / , £ ^ О , С* предел (3) действительно определяет трансляционно-инвариантную динамику ^ .

Это аналог известной теоремы Робинсона для спиновых алгебр [18].

В § 3 рассматривается ji -КШ1 состояние (. • на Ы^

относительно динамики e*p(itjr(Q-*pl'i*<itmf)) [17] - равновесное температурное состояние Кубо-Мартина-Швингера, 0< . Положительный нормированный линейный функционал являет-четным функционалом, обладающим свойством квазисвободности : ^

nf%y%)>r' ■141'

где суша взята по всем разбиениям % множества it?, — } ' ' ' <—

на пары ,Jt Li<~Ji > Sl ~ зшк перестановки ! /1 2 ... Sk-1 2K \li jt 1 ffr (0 - наличие или отсутствие звёздочки.

18. Ио4-1пЛст 2). W. -тл

oua^ffi-o».! s^t-t^L s-Lt^-tJ^mA . IL. ~~ С&ъиы^г!

УПалА. Plup. 190S. и?. Р. 33P-34&

Определено отображение проектирования на Ы £

ир ® и-> Ы р

Р

кшс продолжение по линейности и непрерывности отображения

Отображение ьо(-) имеет единичную норму I лемма 1.6 ) и является аналогом условного математического ожидания.

Основной результат первой главы доказан в § 4 . ТЕОРША 1.2. Пусть N>^3 , § > 2 ив случае, если

оператор V из класса А , выполнено условие* со(\/)— 0 ( а в случае, если V из класса Б, - условие СО

(\/с) = оо(су) = О

для всех С 6 Со-т 1 ^ < Тогда существует предел

слабого взаимодействия

^ (г'£

£ —> О

равномерно по Б е I 0 , $0] , где - произвольное положительное число.

Помимо этого, в § 4 доказано, что при кавдом 0 отображение (') есть коммутирующее со сдвигами сжатие алгебры р) и получено используемое в дальнейшем явное представ-ле1ше для

на плотной подалгебре Ц р , образованной

линейными комбинациями 1 р и ^ ^ .> *) ' $ е ^ ' Здесь же формулируется основная теорема второй главы. ТЕОРЕМА 1.3. Семейство отображений { Т$ , s ^ 0} из теоремы 1.2 есть трансляционно-инвариантная квантово-динами-ческая полугруппа в смысле определения § I .

^ ~ (т_г (Ар в/,)) (Ар), Ар е ир>

и

В у 5 показано , как из теоремы 1.2 следует утверждение о<5 асимптотически марковском поведении квантовой частицы в газе.

ТЕ0РИ.1Л 1.4 . В предположениях теоремы 1.2 для любых ^>>,0

"((А®0->Т${А),(г-±О),Ае1(г, (5) '

где { ~Т~5 , ^ О] - квантово-динамическая полугруппа из теоремы 1.3 .

Наблюдаемая (А) удовлетворяет квантовому

кинетическому уравнению

а 5

где - генератор / , 5 > 0} , вид которого исследуется в главе 2 .

Доказательство теоремы 1.2 ,основано на анализе представления в виде ряда Дайсоиа для со

Т^Мр®.^)) : *

*=0 ' Л"1 ¡г1 , • п 1,1 г *

Мы доказываем ( лемма 1.8 ) , что норма (г-го члена ряда

Даисона оценивается сверху как

» ® >

еаС(А/,)-[С(Ч,и)] Е ~7Г/

при условии, что

, е2-£ е[0,Бо] .

Лемма 1.9 утверждает, что пр.: •) ^ 3 , §>2 в пределе слаСого вза:л.;ол.еГ:ств;1Я £2-Ь Б ,8-^0, 2т-'Л член ряда Дайсона сходится на плотно;: подалгебре Ы° ¡:

^ Г(АГ) ,АР в и

где /.I - линейное отображение Ыр * Ы^ :

оо

шг)--И а ^ , А ® Ш.

0 а1*

Оставшаяся часть глэек I посвящена доказательству леи.: 1.8

*

;; 1.9 . Существенные трудное?;: здесь возникают пр:: оценке выражений вида

(V-* г * X > ^

где 0

V *= а (а - а а 1) - ¿(0... а (-0) , е г»>,1. ]

Воспользоваться здесь напрямую разложение:.; (4) нельзя, так как возникающее огромное число диаграмм-спариваний ( порядка (т п)! ) не позволяет получить оценку и -го члена ряда Дайсона, достаточную для доказательства сходимости в теореме 1.2 ;1дея состоит в том, чтобы осуществить частичное суммирование диаграмм, оценивая не каждую диаграмму в отдельности, а суммарный вклад надлежащим образом сгруппированных диаграмм. Нужно стремится к тому, чтобы, с одной стороны, число таких групп было не слипком большим, и , с другой стороны, чтобы оценка суммарного вклада группы после интегрирования по " временному симплексу в ряде Дайсона не слишком быстро росла по

С в пределе слабого взаимодействия ± стремится к бесконечности

пропоционально £ ).

С это» целью в § 7 гл.1 предложен метод разложения выражении тина (С) в сумму вкладов допустимых диаграмм с п. вершинами. Любая допустимая диаграмма тлеет не более, чем [ -¿г] связных компонент. Оценки допустимых"диаграмм показывают, что шанс выжить в пределе слабого взаимодействия имеют лишь диаграммы с и = 2^ вершинами и J компонентами связности.

Именно такие диаграммы изучаются в §8 и §9. В §8 вклады допустимых диаграмм с п = ^ вершинами и j компонентами связности разбиваются на " выживающую " и " невыживаюшую " части и доказываются необходимые оценки " невыживающей " части. В § 9 явно вычислен предел слабого взаимодействия " выживающей " части и, тем самым, завершено доказательство леммы 1.9 .

В § 10 доказана важная для § 7-9 лемма о суммировании вкладов допустимых графов .

В главе 2 мы доказываем теорему 1.3 . Главные пункты доказательства - проверка непрерывности Тс, в равномерно]! топологии на Ь(р и доказательство вполне положительности.

Оператор V вида (I) или (2) допускает представлешш

У = 1 (7)

с/

где г и V некоторые операторы из тР)» к, соответственно, а пробегает счётные множества индексов

-.в случае класса А и I^ в случае класса Б :

,1е -21

Из результатов § I и § 2 гл.2 выводится вид-генераторов квантово-динамических полугрупп [7^ 0} теорем 1.2 и 1.3 :

L (А) = ПН, А] - £Z ^ /Лjt

ot p ív

v

где H ~ H & Tb(Jfp) - некоторый оператор в , коммутирующий со сдвигами, берётся по е или 6 Xg

соответственно, к £ R } - ограниченные операторы n ,

определяемые на плотном подпространстве S как

f = (ЗтгГ^Р^ f у е ЬСвЬ,

Д^р ) - коыплекснозначные заряды на R с конечной вариацией, определяемые формулой

где с« К

Здесь Р и 1/^ из (7), а ^'/уз - J3-KMI11 состояние.

ТЕОРЕМА 2.2 . Если оператор V имеет вид (2), то генератор (8) молено привести к виду

Я

)

где J^O) - некоторая конечная положительная мера на R , f- к. - оператор умножения на

(£ 1С.) в

ТЕОРШЛ 2.3 . Если оператор V из класса Л поляризует

вакуугл, то есть сумма в (I) содержит лишь слагае-

ма

мке с rr\¡ >0, т2= О или mj - О, тг > О , то генератор

полугруппы ( 7¡ , S >у0] есть ограниченное U -дифференцирование на С*-аагебро Uр :

L(A) = .i[N,A],

и .семейство (' ® 1д)) при €-* О сходится к группе

* -автоморфизмов на Кр с генератором ( см.(5) ).

TE0PSI.1A 2.4 . Если оператор V вида (2) ( класс Б ) поляризует вакуум, то L (') = 0 и сходится при £ —^ 0 к тождественному отображению С*-алгебры Uр .

В главе 3 изучается поведение трансляционно-инвариантных квантово-динзмическпх полугрупп { Ts 0} при больших s .

Б § I мы вводим в рассмотрение широкий класс трансляционно-инвариантных квантово-динамических .полугрупп на Ыр ( теорема 3.1 ), задав их'генераторы в виде (8), в котором суммы взяты по JLj р из не более чем счётного множества индексов 1 , {-]- /-/* £ Ji СЯр) коммутирует со сдвигами, Р"*- - операторнозначные ограниченные функции ,

(Р^) ~ Р-к • причём операторы E^f, непре-

V рывны по К- и коммутируют со сдвигами в

(•) - комплексные заряды на R ^ с конечной вариацией тшше, что

есть неотрицательная мера для произвольных конечного подмножест-

ва индексов J <0 I и комплексных чисел ^ ;

Помимо итого, выполнено условие, обеспечшающее сходимость суш:

]/оЛ Ль/ ) Jj. с/ < yfl ' J

где

J = S.Uf> /JPf/l

л Je*

полугрупп из теорем 1.2 и 1.3 . В частности, полугруппы § I •. лавы 3 определены в' любой размерности "О ^ 7 .

В § 2 определена сопряженная полугруппа на

пространстве Ыр линейных ограниченных функционалов на :

(Т:?)(АГ) - 2 (TJbf)), & s Vf, ? e

Изучается вопрос о стационарных состояниях s ^ и) и

сходимости к шил при S —> оо t Предполагается выполнешшм следующее условие относительно зарядов ^ :

/V W VV^

для любого борелевского множества X) , которое, в частности , имеет место для полугрупп теорем 1.2 и 1.3 . В. § 3 рассматривается уравнение

S(X) = T*(x*L*(X) =0

в классе операторов со следом в.З^ , где L - генератор Ts . Пусть >?0 - состояние на Ыр такое, что

ТЕОРЕМА 3.2 . Если уравнение S 00*0 имеет единственное решение Х-0 в классе операторов со следом, то для произвольного начального состояния ^

's у 7° > 5 (IÜ)

в м -слабой топологии на Ь1. TEOPS.'A 3.3 . Если уравнение

имеет лишь тривиальное реп окно, то у полугруппы {~Ц, , % ^ 0 } существует единственное нетривиальное инвариантное подпространство

[с ip ,с е С} и для любого f А ^ т А ) £ Ир

в слабой топологии на Up .

Кроме того, в § 3 доказана теорема 3.4 , удобная в ряде случаев для проверки единственности решения уравнения S (Х)-£\

В § 4 мы возвращаемся к полугруппе из теорем

1.2 и 1.3 . Считаем, что оператор V из класса Л имеет вид

oie 1

где у^ б

S ( R?)

, а операторы У шлеют вид

- конечная сумма, 0 , существует пара

л ,r«L r/'O^.+WiM (m,, m,) такая, что > <J , [/ /таковы,

• 12 1 2 nyr^ '

что VMVT И <\.

ТЕОРИ'Л З.о . Нижеследующие,условия являются достаточными д;и единственности стационарного состояния и сходимости к нему ( в смысле (10) ):

1) если набор непрерывных функций С^ (к) , и & I , не равен тождественно нулю, то

£ Г . №*■) с,(к) 7Л7) > о ;

2) существует ¿0 б / такое, что 0 (почти всюду) и существует такая постоянная У > О , что

Ь,1'/'-^ <"/> Ы'уЬ- 1*1/1) * УД

оти два условия достаточны также для справедливости утверждения (II) .

функции , удовлетворяющие условию 2 , легко предъ-

явить, например, функции Эрлита . Приводится пример оператора V , при котором выполнено условие I .

В § 5 мы даём критерий сходимости к равновесию для полугруппы [ , 5 ^ 0} теоремы 1.2 в случае оператора V из класса Б общего вида (2) в терминах представления (9) .

ТЕОРЕМА. З.о . Состояние является единственным стационарны!.] состоящем и имеют место утверждения (10) и (II) тогда и только тогда, когда носитель меры уМ содержит отличную от нуля точку. Если мера нулевая тождественно либо сосредоточена в нуле, то - тождественное отображение

С*-алгебры Ыр при всех 5 О

Автор выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук В.А.Малышеву за постоянное внимание к работе .

Работы автора по теме диссертации •

1. Манита Л.Д. Марковский предел для системы " частица + фермп-газ " с трансляционно-инвариантным взаимодействием. -<£ункцпоналышй и стохастический анализ и их приложения . Сб. под ред. П.Л.Ульянова и Б.В.Гнеденко. М.: МГУ, 1991.

С. 54-Ьб' .

2. В^ысЛ Ъ.Ъ., ТПос^^и. ¿?., ТПа^ла 0.1).

е-у^аЛА-о-п . - Ие.Л.'ь^-Ы-с.а- Р1ьы*лса . 19 91 ¡/.бЬ. Р.' 1072-1092.

3. ¡Ланита А.Д. Свойства трансляционно-инвариантных квантово-динамических полугрупп. - Теоретическая и математическая физика. 1991. Т.89. й 3. С. 366-379 .