Асимптотические методы решения смешанных задач теории изгиба тонких пластин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА СТАТИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ИЗГИБА ТОНКИХ ПЛАСТИН И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

1.1. Математическая постановка статических смешанных задач теории изгиба тонких плит

1.2. Сведение смешанных задач теории изгиба тонких пластин к системам интегральных, уравнений и интегральным уравнениям

1.3. Основные свойства ядер систем интегральных уравнений и интегральных уравнений, полу' •. *» Г"*"* ченных в 1.2 ;■/ /

1.4. Асимптотические решения интегрального уравнения (1.2.22) при больших и малых значениях. Д = h /а

1.5. Асимптотические решения интегрального уравнения (1.2.19) при больших и малых значениях А = li /а

1.6:. Об асимптотических решениях систем линейных интегральных уравнений вида (Г.2.13) . ^

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ИЗГИБА ТОНКИХ ПЛАСТИН И НЕКОТОРЫЕ

МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

2.1. Математическая постановка динамических смешанных задач теории изгиба тонких пластин

2.2. Системы интегральных уравнений и интегральные уравнения динамических смешанных задач, поставленных в 2.1 '

2.3. Основные свойства ядер систем интегральных уравнений, полученных в 2.2 2.4. Эффективный метод решения интегральных уравнений типа (1.2.22) с ядром (2.2.10) 2.5. Эффективный метод решения интегральных уравнений типа (1.2.19) с ядром (2.2.10) 3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ

ТЕОРИИ ИЗГИБА ШГАСТИН КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ

3.1. Математическая постановка и методика сведения смешанных задач для прямоугольных пластин к системам интегральных, уравнений и к интегральным уравнениям

3.2- Асимптотическое решение интегральных уравнений смешанных задач для пластин конечных размеров при больших А = Ь /CL

3.3. Эффективное решение интегральных уравнений, статических и динамических задач для пластин конечных размеров 3.4., Метод однородных решений смешанных задач теории изгиба тонких пластин

Расчет тонкостенных конструкций,, таких как корпуса кораблей,- самолетов,, а также элементов этих конструкций, является важным звеном при создании новой техники и объектов народного хозяйства. Постоянный рост требований к прочности современных конструкций обусловливается тем, что они должны функционировать в сложных условиях:, при действии высоких давлений, сильной вибрации, при ударных, нагрузках и т.д. В связи с этим, исследованию концентрации напряжений в элементах тонкостенных конструкций уделяется большое внимание,, в особенности элементов с дефектами типа включений и разрезов.. Для решения таких задач требуется привлечение сложного математического аппарата. Необходимо отметить, что решению задач со смешанными условиями на границе уделялось довольно много внимания со стороны ученых и, тем не менее,, только в последнее время, с развитием соответствз'-ющих разделов математики, были получены э(|фктивнне решения ряда смешанных задач механики деформируемого твердого тела.Решению статических, и динамических задач теории упругости для тел с конечными и полубеоконечными разрезами и включениями посвящены работы многих авторов: В.М.Александрова, Ю.А.Амензаде, А.Е.Андрейкив,. Н.М.Бородачева, Г.М.Валова, Д.В.Грилицкого, А.11.Дацишина, Г-С.Кит, А.С.Космодамианского, М.Д.Шртыненко, Е.М.Морозова, В.И.Моссаковского, Н.И.Мусхелишвили, Б.М.Нуллера, В.В.Панасюка, В.З.Партона, П.И.Перлина,. Г.Я»Попова, Ю.Н.Работнова, М.В.Радиолло, М.П.Саврук, В.С.Тонояна, А.Ф.Улитко,. Я.СУфлянда, Г.П.Черепанова, Д.И.Шермана, а также А.А.Баблояна, B.C.iyбенко, В.Т.Койтера, В.А.Кривень, Й.П.Лаушника-, А.М.Линькова, А.Г.Багдоева, А.И.Мартиросяна, А.И.Исбинати, Б.И.Сметанина, Л.И.Слепяна, Л.А.Фильштинского, Э.П.Чен и других. Следует отметить следующие статьи и монографии [15,, 21, 25, 34, 42, 43,. 51, 58,. 71, 75,,. 87-88, 94-95,. 99, 105-106, IIO-III, 115, 118, 123-124, 127-128, 138-140, 142, 145, 146-148] , а также и иностранные [149, I50-I5I, 153, 155, 156, I59-I6I, 164] .В это же время повышается интерес к расчету тонкостенных конструкций и их элементов, таких как тонкие пластины и оболочки с разрезами и включениями, а также к очень важной проблеме контакта тонкостенных конструкций с жесткими телами (штампами). Проблема фактически выделилась в отдельную часть контактных задач, так как характер контактных усилий в тонкостенном элешнте при действии на него жесткого тела резко отличается от контактных напряжений в упругом теле при действии на него жесткого тела. Кроме этого для тонкостенных конструкций и их элементов возможны постановки задач о действии на них абсолютно тонких штампов, в то время как для упругого тела такие постановки невозможны» Большой вклад в развитие проблемы контакта тонкостенных конструкций с жесткими телами (штампами) внесли Ю.П.Артюхин, Л.А.Галин, Э.Н.Григолюк, Н.Карасев, В.Н.Максименко, Л.А.Мовсисян, В.И.Моссаковский, О'.В.Онищук, Б.Л.Пелех, Г.Я.Попов, Л.А.Розенберг, О.Саркисян, В.М.Толкачев, Л.А.Фильштинский,, Г.П.Черепанов и многие другие.Отметим, что подробный анализ вышеуказанной проблемы дан в [ir?] Г.Я.Поповым и В.М.Толкачевым. Там же содержится подробная библиография по этой проблеме.В последнее время интерес к расчету вышеуказанных тонкостенных конструкций,как статических, так и динамических усилился.Это связано прежде всего с внедрением как в строительстве> так и в других отраслях народного хозяйства композиционных материалов.Такие авторы, как Л»В.Абрамян, Ю.П.Артюхин, Л.Т.Бережницкий, Ю.Б.Верюжский, Т.Грибняк, А.Калоеров, Е.А.Кобелев, И.Ю.Колесников, В.Г.Корбач, В.А.Лазько, Л.П.Мазурак,. В.НЛаксименко, В.АЛ'Деркулов, Б.К.Шхайлов, В.Штина, Л.А.Мовсисян,. Г-А.Морарь, О.В.Онищук, Л.Й.Онышко, СА.Пелах,. А.Я.11етренко, Г.Я.Попов, В.В.Реут, Т.С.Рождественская, А.А.Романов, И.Б.Суслова,, А.А.Сяський, В.А.Сяський, Л.А.Фильштинский, Ф.И.Чиботарь в работах [2, 26-27, 37, 39„ 53-55, 76, 82-85, 89-93, IOO-IOI, 104,, 112, 120, 122, 130-133, 136] ,: в том числе иностранных [l52, 154, 157-158, 162, 165], исследовали различные статические и динамические задачи для пластин с трещинами и включениями. Причем, пластины рассматривались различных форм, из различных материалов, переменной и постоянной толщины,,, изотропные и анизотропные и т.п.Настоящая диссертация также посвящена исследованию статических и динамических задач для пластин с разрезами и: включениями.Целью диссертации была разработка аналитических методов расчета пластин с вышеуказанными дефектами, так как самой важной задачей всяких расчетов является получение простых, и надежных формул для вычисления различных характеристик задачи.Кратко изложим основное содержание диссертации.В 1.5 построены асимптотические решения интегрального уравнения задач I а,в - 6 а,в, Решение уравнения с регулярным ядром строится в классе обобщенных функций с неинтегрируемыми особенностями на краях интервала интегрирования.Во в т о р о й главе изучаются динавлические задачи для пластин Кирхгоффа-Лява с включениями и разрезами.В 2.Г.. дана постановка основной динамической задачи,, а также задач 7-12 о вибрации жесткого тонкого включения в пластине* Закрепления пластин в поставленных задачах соответствуют закреплениям пластин в основных задачах и задачах 1-6 главы I., Предполагается, что нагрузка на включение гармонически изменяется во времени с частотой СО .В 2.3 исследованы свойства ядер полученных систем и интегральных уравнений.. Отмечается,, что подынтегральные функции в ядрах уравнений и систем задач 7-9 мероморфны и с ростом частоты^ нули и полюса выходят на действительную ось, а в задачах 10-12 подынтегральная функция многозначна.В 2.4 на основании 2.3 и с помощью аппроксимации ядра дается точное решение интегрального уравнения, к которому сводятся задачи 76-126 в классе интегрируемых функций для специальной правой части. Решение содержит конечное количество постоянных, которые находятся из системы линейных, алгебраических уравнений» В 2.5 построено точное решение интегрального уравнения с реi r гулярным ядром, к которому сведены задачи 7 а,в - 12 а,в, в классах обобщенных функций с неинтегрируемыми особенностями на краях интервала интегрирования. Для получения решения произведена регуляризация интегрального уравнения. Полученное решение содержит конечное количество постоянных, которые находятся из системы линейных алгебраических уравнений.В т р е т ь е й главе рассмотрены статические и динамические задачи для прямоугольных пластин длины 2 в и ширины 2h с жестким тонким включением длины 2 а. Постановка задач этой главы совпадает по постановке с задачами глав I , 2 с той разницей,что здесь пластина не бесконечна, а длины 2 в, а ее боковые грани свободно оперты.В 3,2, построены решения полученных в 3.1 интегральных уравнений при больших значениях А= о/а и малых и средних. fb= ^/h . При этом использовались результаты главы I .В 3.3 предложен: метод решения интегральных уравнений, полученных в 3.1, в широком диапазоне изменения параметров Л и j9) и э$(|1ективный при больших и средних р . Штор, решения уравнений основан на сведении их к решению бесконечной системы специального вида. Аппроксимация ядра интегрального уравнения упрощает обращение полученной бесконечной системы.. После обращения системы,, соответствующей интегральному уравнению с регулярным ядром, производится ее регуляризация. Решение уравнения с регулярным ядром пайдено в классе обобщенных функций с неинтегрируемыми особенностями на краях.В 3.4 развит штод однородных решений для прямоугольных пластин.Решение полученного интегрального уравнения сведено к решению бесконечной системы типа Пуанкаре-Коха. Метод эффективен в широком диапазоне изменения параметров Л , /5 .Полученные решения позволяют проанализировать влияние различных факторов (предварительных напряжений,, условий закрепления пластин, вибрации, относительной длины включения) на величину контактных усилий.В п р и л о ж е н и я вынесены вспомогательные формулыг формулы, связанные с суммированием рядов Фурье, с вычислением элементов обратной матрицы и другими. Приведены системы интегральных уравнений для круглой пластины и пологой сферической оболочки, изучены свойства ядер этой системы и указывается на общность их асимптотических свойств с ядрами систем, полученных в диссертации.Указываются классы решений полученных систем.. Метод однородных решений применяется к решению контактнык о чистом сдвиге жестким штампом упругого бруса• Изучаются задачи о вибрации в условиях чистого сдвига жестким штампом вязкоупругого слоя,, лежащего на вязкоупругом основании Винклера, В качестве модели описания вязкоупругих свойств среды берется модель Кельвина . Развиты асимптотические методы решения этих задач.Приложения также содержат 42 рисунка и 8 вспомогательных таблиц ,, в которых содержатся результаты численных; расчетов по выведенным формулам. Описание их дается в ходе изложения основного материала.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе поставлен и решен ряд статических и динамических задач об изгибе пластин с тонкими жесткими прямолинейным включениями и разрезами, а также задачи для пластин со смешанными условиями их закрепления. При решении задач учитывались предварительные усилия в их срединной поверхности.

1. Поставленные статические и динамические задачи об изгибе пластин с тонкими жесткими включениями и разрезами сведены к решению систем линейных интегральных уравнений или к решению интегральных уравнений.

2. Из анализа напряженно деформированного состояния пластины, а также на основе свойств ядер полученных систем интегральных уравнений и интегральных уравнений сделаны выводы о классах решений этих систем и интегральных уравнений.

3. Получены формулы обращения главной части исследуемых систем интегральных уравнений в классах обобщенных функций, с неинтегрируемыми особенностями на краях интервала интегрирования. На основании этих формул построены эффективные асимптотические методы решения полученных систем.

4. В классах обобщенных функций с неинтегрируемыми особенностями на краях даны формулы обращения главной части интегрального уравнения с регулярным ядром. С помощью полученных формул построены эффективные асимптотические методы решения таких интегральных уравнений.

5. На основе специальной аппроксимации ядер интегральных уравнений разработан эффективный метод решения интегральных уравнений статических и динамических смешанных задач, в том числе в классах обобщенных функций с неинтегрируемыми особенностями на краях для уравнений с регулярными ядрами. Получено точное решение интегральных уравнений с аппроксимированным ядром.

6. Построены эффективные асимптотические методы решения смешанных задач для пластин конечных размеров,- в том числе в классах не интегрируемых функций на краях контакта.,

7. На основе полученных, решений интегральных уравнений изучено влияние условий закрепления пластины,; начальных усилий в их срединной: поверхности,.относительных размеров включения и пластины,а также вибрации на величину контактных усилий.Указано на общность асимптотических свойств ядер систем интегральных уравнений, и ядер интегральных уравнений для задач об изгибе пластин и оболочек„рассчитывающихся в рамках модели Кирхгоффа-Лява.

3 а м е ч а ни е. Основное содержание диссертации изложено в работах [8-12] , [57] [66-7(3 - Работы [8-12] написаны совместно с В.М.Александровым.В них В.М.Александрову принадлежит постановка задач и основные соображения по выбору методов решения.Автором выполнена разработка методов решения интегральных уравнений,.проведение расчетов и анализ численных результата в, полученных с помощью ЭВМ.Работа [57] написана совместно с С.И.Гриценко.В ней автору принадлежит постановка и выбор метода решения,а С.И.Гриценко - численная реализация методов на ЭВМ и анализ полученных результатов.

1. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. - М.: Наука, 1979,. - 830 с.

2. Абрамян JT.B., Мовсисян Л.А. Свободные колебания прямоугольной пластины с разрезом. ДАН Арм.ССР, 1981, 73, 4, с. 219-225.

3. Александров В.М., Бабешко В.А. Контактные задачи для упругой полосы малой толщины. Изв.АН СССР, Механика, 1965, № 2, с.95-107.

4. Александров В.М., Бабешко В.А., Кучеров В.А. Контактная задача для упругого слоя малой толщины. ПММ, 1966, 30, в.1, с.124-142.

5. Александров В.М., Белоконь А.В. Асимптотическое решение одного класса интегральных уравнений, встречающихся при изучении смешанных задач математической физики для областей с цилиндрическими границами. ПММ, 1968 , 32,, в.З, с.401-413.

6. Александров В.М., Белоконь А.В. Асимптотическое решение одного класса интегральных уравнений и его применение к контактным задачам для цилиндрических упругих тел. ПММ,. 1967, 31,в.4, с.704-710.

7. Александров В.М., Буряк В.Г. 0 некоторых динамических смешанных задачах теории упругости. ПММ, 1978, 42, в.1, с.114--121.

8. Александров В.М., Зеленцов В.Б. Асимптотические методы в задачах об изгибе пластин со смешанными условиями закрепления.-В кн.: Теория оболочек и пластин. Труды УШ Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1973, с.23-26.

9. Александров В.М., Зеленцов В.Б. Асимптотические методы решения двумерных динамических задач для вязкоупругого слоя со смешанными краевыми условиями. ПММ,: 1981,. 45, в.2, с.329-337.

10. Александров В.М., Зеленцов В.Б- Динамические задачи об изгибе прямоугольной пластины со смешанными условиями закрепления по контуру. ПММ, 1979, 43, в.1,. с.116-123.

11. Александров В.М., Зеленцов В.Б. Метод однородных решений в смешанных задачах деформации, чистого сдвига. Изв.АН Арм.ССР, Механика, 1979, 32, В 3, с.18-25.

12. Александров В.М., Коваленко Е.В. Движение штампа по границе упругой полуплоскости с тонким усиливающим покрытием. В сб.: Механика сплошной среды. Ростов-на-Дону: Изд-во РТУ, 1981^ с.13-27.

13. Александров В.М. Метод однородных решений в контактных задачах теории упругости для тел конечных размеров. Известия Северо-Кавказского научного центра высшей школы. Сер.естеств. наук, 1974, в.4, с.12-15.

14. Александров В.М. Об одной контактной задаче для упругого клина. Изв.АН Арм.ССР, Механика, 1967, 20, $ I, с.3-14.

15. Александров В.М. Об одном методе сведения парных интегральных уравнений и парных рядов-уравнений к бесконечным алгебраическим системам. ПММ, 1975, 39, в.2,. с.324-332.

16. Александров В.М. Q плоских контактных задачах теории упругости при наличии сцепления или сил трения. ПММ,; 1970, 34, в.2, с.246-257.

17. Александров В.М. 0 приближенном решении одного типа интегральных уравнений., ПММ,. 1962,. 28, в.5, с.934-943.

18. Александров В.М., Сметанин Б.И. 0 равновесных продольных трещинах в пластинках. Труды У1 Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Баку, М.: Наука, 1966, с.47-54.

19. Александров В.М-,: Чебаков М.И. Метод парных рядов по функциям Бесселя в смешанных задачах теории упругости для круглой плиты. ПММ, Г977, 41, в.3„ с.486-492.

20. Александров В.М.Чебаков М.И. Смешанные задачи механики сплошных сред, связанных с интегральными преобразованиями Ханкеля и Мелера-Фока. ПММ, 1972, 36', в.3,; с.494-504.

21. Амензаде Ю.А. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1976. -271 с.

22. Андрейкив А.Е. Сдвиг неограниченного упругого пространства,. ослабленного плоской трещиной. ДАН УССР, 1977, А,. № 7, е.- 37-42.

23. Артюхин Ю.П.,, Каримов С.М. Контактные задачи для длинной плиты, опирающейся на жесткие поперечные стенки. В сб.: Исследование по теории пластин и оболочек. Казань,1976г № 12,с.250-255.

24. Артюхин Ю.П., Митина CJ3. Контактные задачи для пластинки и ребра, не достигающего края. В сб.: Исследование по теории пластин и оболочек- Казань, 1980, № 15,, с.25-31.

25. Бабешко В.А. Асимптотические свойства решений некоторых интегральных уравнений, возникающих в теории упругости и математической физике. ДАН СССР,. 1969, 186,- $ 6, с.1273-1276.

26. Бабешко В.А. Новый эффективный метод решения динамических контактных задач. ДАН СССР, 1979, 217, № 4, с.777-780.

27. Бабешко В.А. Об одном асимптотическом методе при решении интегральных уравнений теории упругости и математической физики. ПММ, 1966, 30, в.4.» с.732-741.,

28. Бабешко В.А. Об условиях излучения для упругого слоя* -ДАН СССР, 1973, 213, JS 3„ с.547-549.32., Бабешко В .А., Пряхина О.Д. Метод фиктивного поглощения в плоских динамических задачах. ПММ,- 1980, 44, в.З, с.477-- 484.

29. Баблоян А.А. Решение некоторых парных, интегральных уравнений. -ПММ, 1964 , 28, в.6,. с. 1016-1023.

30. Багдоев А.Г.,; Мартиросян А.Н. Решение нестационарной задачи для анизотропной упругой плоскости с полубеоконечным разрезом,, на границах которого заданы нормальные и касательные импульсы». Изв.АН СССР, МГТ, 1976, № I, с.ЮО-ПО.

31. Бейтмен Г. * Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции., -М.; Наука,- Г973, т.Г» 343 с.

32. Белоконь А.В., Шехов В.П. Смешанные задачи теории вяз-коупругости с движущимися штампами» В кн.: Статические и динамические смешанные задачи теории упругости. Ростов-на-Дону г. Изд-во РГУ, 1983. - с.233-246.

33. Белубекян Э.В. Изгиб защемленной по контуру прямоугольной пластинки с внутренней симметричной трещиной. В сб.: Теория оболочек и пластин. M.t Наука, 1973,, с.33-37.

34. Бережницкий 1.Т.,. Садивский В.М., Онышко Л.И. Изгиб анизотропной пластинки с трещиной. Прикл.мех.1978, 14, № II, с.42-49.

35. Биргер И.А», Пановко Я.Г. и др. Прочность, устойчивость, колебания. М.: Машиностроение, 1968,: т.1. - 831 с

36. Бородачев Н.М. Задача о трещине в случае продольного сдвига, когда нагрузка приложена не к берегам трещины. Сборник трудов Киевского института инженеров гражданской авиации. Киев, 1973, в.6,, с.27-34.

37. Бородачев Н.М., Исбинати А.И. Динамическая задача о трещине в бесконечной пластинке. Сборник трудов Киевского института инженеров гравданской авиации. Киев, 1973, в.6, с.35-43.

38. Верюжский Ю.В., Петренко А.Я., Рождественская Т.С. Применение метода потенциала для расчета составных тел со смешанными условиями сопряжения. В сб.: Сопротивление материалови теория сооружений, Киев, 1981, № 38, с.73-77.

39. Виленкин Н.А. и др. Функциональный анализ. М.: Наука, 1964. - 423 с.

40. Ворович И.И.Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. -435 с.

41. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей* М.: Наука, 197I. - 319 с.

42. Ворович И.И., Сафронов Ю.В., Устинов Ю.А. Прочность колес сложной конструкции. ~М.: Машиностроение, 1967.- 194 с.

43. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.г Наука, 1977» - 639 с.

44. Гельфанд й.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.i Физматгиз, 1958, - 439 с.

45. Голыитейн Р.В, Плоская трещина произвольного разрыва в упругой среде. Изв.Ж СССР, МГТ,Г 1979В 3, c.III-126.

46. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. - 1108 с.

47. Грибняк С.Т., Точное решение краевой, задачи об изгибе бесконечной пластинки,, содержащей прямолинейное включение. -Одесса, 1983. 14 с. - Рукопись представлена Одесским университетом. Деп.в УкрНИИНТИ 25 апреля 1983 г., }Ь 353 Ук-Д83.

48. Грибняк С.Т., Попов Г.Я. Точное решение задачи об изгибе полосовой пластинки при наличии промежуточной опоры.- Одесса,, 1982 19 с. Рукопись представлена Одесским университетом. Деп. в ВИНИТИ 29 января 1982 г. * JS 403-82.

49. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи для полубесконечной цилиндрической оболочки. ПММ, 1971, 35, в.5г с.831-839.

50. Гриценко С.И., Зеленцов В.Б. Смешанные задачи для полосы, частично сцепленной с жестким основанием, ПММ, 1983, 47, в.Г, с.108-114.

51. Губенко B.C. Задачи о круговом штампе,, сцепленном с полупространством и о слое,; ослабленном кольцевой щелью. Изв.

52. АН СССР, Механика и машиностроение,. 1961, JS 5, с.57-63.

53. Де Брейн Н.Г. Асимптотические методы в анализе. М.: ШЕ, 1961. 254 с.

54. Доннелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки. М.: Наука, 1982. - 567 с.

55. Евграфов М.А. Аналитические функции. М.: Наука, 1968. -471 с.

56. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. -М.: Наука,, 1979. 320 с.

57. Ефимов А.Б., Малый В.И., Толкачева Н.М. Плоская контактная задача для упругих тел,, подкрепленных тонкой оболочкой.

58. В сб.: Вычислительныэ методы и программированиеr М.: Изд-во МГУ,. 1972, с.153-165.

59. Ефимов А.Б.,- Малый В.И., Толкачева Н.М. Контактная задача для упругого тела с тонким покрытием- Изв.АН СССР, МТТ,, 1969, В I, с.166-170.

60. Забрейко П.П. и др. Интегральные уравнения. — М.: Наука,-1968. 448 с.

61. Зеленцов В.Б. Жесткость пластин конечных размеров с круговой границей и смешанными граничными условиями на контуре. -В кн.: Контактная жесткость в машиностроении: Тезисы докладов. Научно-техническое совещание. Куйбышев,, 1977, с. 19-20.

62. Зеленцов В.Б. Изгиб плит и оболочек со смешанными условиями на их контуре„ В кн.: Статические и динамические смешанные задачи теории упругости. Ростов-на-Дону: Изд-во Р1У, 1983, с.99-111.

63. Зеленцов В.Б. Метод однородных решений в задачах об изгибе прямоугольных пластин со смешанными условиями закрепления по контуру. Изв.АН СССР,. МТТ, 1980, .■£ 5, с. 124-132.

64. Зеленцов В.Б. О решении одного класса интегральных уравнений. ПММ, 1982, 46', в.5, с.815-820.

65. Комогорцев В.Ф., Попов Г.Я.* Радиолло М.В. Внутреннийконтакт упругой шайбы с бесконечной пластинкой, имеющей круговой вырез и радиальную трещину. Изв.АН СССР, МЕТ,. 1978, J& 6, с.71-82.

66. Копсон Э.Т. Асимптотические разложения. М.:. Мир,1966. -159 с.

67. Корн Г»г Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1968. - 720 с.

68. Кристенсен Р- Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир,, 1974► - 339 с.75., Кузьмин Ю.Н., Уфлянд Я.С. Осе симметрична я задача теории упругости для полупространства, ослабленного плоской круглой щелью. ПММ, 1965,. 29, в.6, C.II32-II37.

69. Лазько В.А.,,. Пелах С.А. Влияние поперечных деформаций на коэффициенты интенсивности напряжений при изгибе трансвер-сально-изотропных пластин с трещинами. Базальто-волокнистые композиционные штериалы и конструкции. Киев, 1980, с.174-181.

70. Леонтьев А.Ф. Обобщения рядов экспонент. -М»: Наука,, 1981. 320 с.

71. Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент.-М.: Наука,; 1980, -384 с.

72. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент» М.г Наука, 1976. - 326 с.

73. Линьков A.M., Меркулов В.А. Задачи об изгибе пластин с разрезами. Изв.АН СССР, МГТ, 1975, JS I,, C.III-II8.

74. Лурье А.И. Теория упругости* М»: Наука, 1970, - 940 с.

75. Мазурак Л.П. К решению задачи о поперечном изгибе круглой пластины с трещиной. Материалы 9-ой конференции молодых ученых физико-механического института АН УССР"- - Львов, 1979гс.103-105 Рукопись деп-в ВИНИТИ 15 октября 1980 г.,& 4423-80.

76. Максименко В.Н. „ Филыптинский А. А. Контакт анизотропной оболочки вращения с жесткими линейными штампами. Из в. АН СССР,. МГТ, 1977, Jfc 2, с.89-94.

77. Максименко В.Н., Хан Ю.Н. Влияние ребер жесткости на напряженно-деформированное состояние около отверстия или трещины в анизотропной пластине. Ученые записки ЦАГИ, 1982, 13,3, с.99-107.

78. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М.: Наука, 1968, т.2, - 624 с.

79. Мартиросян А.И. 0 нестационарном движении упругого пространства- со щелью. ПММ, 1976, 40, в.З, с.544-553.

80. Мартыненко М.А., Улитко А.Ф. Напряженное состояние вблизи вершины сферического разреза в неограниченной упругой среде- Прикл.мех., 1978,. 14, № 9,. с. 15-23.

81. Михайлов Б.К. Изгиб пластин с разрезами. — В сб.Расчет пространственных конструкций. Куйбышев, 1975г в.5, с.96-106.

82. Михайлов Б.К., Кобелев Е.А. Об улучшении сходимости рядов в решении задачи изгиба пластины с разрезом. Ленинград, 1983. - 10 с. - Рукопись представлена Ленинградским инженерно-строительным институтом. Деп.в ВИНИТИ 19 декабря 1983 г.,1. J6 5729-83.

83. Михайлов Б.К., Кобелев Е.А» Пластины с разрезами и ребрами. Ленинград,, 1983. - 25 с. - Рукопись представлена Ленинградским инженерно-строительным институтом. Деп.в ВИНИТИ 23 февраля 1983 г», 1Ь 966-83.

84. Морарь Г.А.,- Чиботарь Ф.И. Исследование изгиба прямоугольной пластинки при смешанных граничных условиях с учетом поперечного сдвига. Прикл.мех. , 1983, 19, J£ 2, с.89-95.

85. Моссаковский В.И., Беркович П.Е.,, Рыбка В.М. Смешанная осе симметричная задача теории упругости для кусочно-однородного пространства с круговой щелью в плоскости соединения. ДАН УССР,. 1978, J& 9„ с.37-45.

86. Моссаковский В.И., Моссаковская Л.Р. Прочность упругого пространства, ослабленного плоской трещиной, близкой к круговой. -Гидроаэромеханика и теория упругости. 1977, J& 22, с. 85-93.

87. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные1 задачи математической теории упругости. М.: Наука,, 1966. - 707 с.

88. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. — М.: Наука, 1968. 511 с.

89. Нобл Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: ИЛ.,. 1962. -279 с.

90. Нуллер Б.М. Кручение упругого пространства, ослабленного полубе с конечной конической щелью. Изв.АН СССРГ МТТ., 1972, № I, с.150-152.

91. Онищук О.В., Попов Г.Я. О некоторых задачах изгиба пластин с трещинами и тонкими включениями. Изв.АН СССР,- МТТ, 1980,. 1Ь 4, с.141-150.

92. Онищук О.В.,, Попов Г.Я., Проще ров Ю. С. О некоторых контактных задачах для подкрепленных пластин., ПММ, 1984, 48,, в.2, с.307-314.

93. Онышко Л.И. Фундаментальные решения для бесконечной анизотропной, пластины с линейным жестким включением. Физ.-хим. мех.материалов. 1982, 18, JS 2, с.120-124.

94. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Стадник М.М. Упругое равновесие неограниченного тела с тонким включением.-ДАН УССР, 1976, А,. 1Ь 7, с.65-79.

95. Панасюк В.В., Саврук И.П., Дацишин А.П. Применение сингулярных интегральных уравнений для решения двумерных задач теории трещин. Физ.-хим.мэх.материалов, 1976, 12, JS 3, с.30--47.

96. Папкович П.Ф. Два вопроса теории изгиба тонких упругих плит. ПММ, 1941, 5,в.З, с.359-374.

97. Папкович П.Ф» Теория упругости. М.:; Оборонгиз, 1939 640 с.

98. Папкович П.Ф. Труды по строительной механике корабля. -Л.: Судпромгиз, 1962, т.З. 322 с.

99. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Динамическая задача механики разрушения для плоскости с включением. В сб.: Механика деформируемых тел и конструкций. М.: Машиностроение,. 1975„с.78-86.

100. Ш.Партон В.З., Перлин П.И. Прочность тел сложной формы. -В сб.г Механика твердого деформируемого тела и родственные проблемы анализа. М.: 1978,. с.103-112.

101. Петров Ю.П., Халилов А.С. Изгиб прямоугольной: пластины дискретно-подкрепленной эксцентрично расположенными ребрами жесткости. — В сб.: Прочность конструкций летательных аппаратов, Харьков, ХАИ, 1974,. с.51-63.

102. Попов Г.Л.Концентрация упругих напряжений возле штампов,, разрезов, тонких включений и подкреплений. ГЛ.: Наука,-342 с.

103. Попов Г.Я.К решению плоской контактной задачи теории упругости при наличии сил сцепления или трения. Изв.АН Арм. ССР, Сер.физ►-мат.наук, 1963, 16, Ik 2, с.15-32.

104. Попов Г.Я. Об одном способе решения задач механики для областей с разрезами или тонкими включениями. ~ ПММ, 1978, 42, в.Г, с.122-135.

105. Попов Г.Я. Плоская контактная задача теории упругостис учетом сил сцепления или трения. — ПММ, 1966, 30,. в.З, с.537--563.

106. Попов Г.Я.-, Толкачев В.М. Проблема контакта жестких тел с тонкостенный® элементами. Изв.АН СССР, МГТ, 1980, JS 4, с.192-206.

107. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. -М.: Наука, 1979. 744 с.

108. Рекач В.Г. Руководство к решению задач прикладной теории упругости. М.: Высшая школа, 1973. - 384 с.

109. Реут В.В. Изгиб клиновидной пластинки, ослабленной абсолютно жестким включением. Одесса* 1980. — 14 с. - Рукопись представлена Одесским университетом. Деп.в ВИНИТИ 15 января 1981 г.„ В 235-81.

110. Ржаницын А.Ф- Некоторые вопросы механики систем деформирующихся во времени.-М.-Л.;, 1ИТТЛ, 1949. 251 с.

111. Романов А.А. Прямоугольные пластинки с трещинами. Всб.: Прочность инженерных сооружений на транспорте• М.: 1982, с.75-83.

112. Саврук М.П. Напряжения около трещины в упругой полуплоскости. Физ.-хим.мех.материалов, 1975, II, J6 5, с.59-64.

113. Сарайкин В.А., Слепян Л.И. Плоская задача о динамике трещины в упругом теле. Изв.АН СССР, МТТ, 1979, }Ь 4, с.54-73.

114. Свешников А.Г. Принцип предельного поглощения для волновода. ДАН СССР, 1951, 80, J6 3, с.345-347.

115. Скучик Е. Простые и сложные колебательные системы* -М.: Мир, 1971. 557 с.

116. Сметанин Б.И. Задача о растяжении упругого пространства,, содержащего плоскую кольцевую щель. ПММ, 1968, 32, в.З, с.458-462.

117. Сметанин Б.И. Некоторые задачи о щелях в упругом клине и слое- Изв.АН СССР, МТТ, 1968, JS 2, с.115-121.

118. Снеддон И. Преобразование Фурье. М.: ИЛ., 1955, -6'68 с.130., Степанов Р.Д. Об изгибе прямоугольной пластинки, усиленной параллельными ребрами жесткости и упругими опорами. -Инженерный сборник. 1950, 8, с.105-120.

119. Суслова И.Б. О точном решении одной смешанной задачи изгиба пластин. Изв.АН СССР, МТТ,. 1981, В 6, с. 140-143.

120. Сяський А.А. Метод коллокации в задачах изгиба кусочно-однородных пластин с круговыми включениями. ХШ Всесоюзная конференция по теории пластин и оболочек. Таллин, 1983,с.177-182.

121. Сяський А.А., Сяський В.А. Напряженное состояние кусочно-однородной пластинки с упругим включением. Прикл.мех., 1983,. 19, Ш 5, с.94-99.

122. Тимошенко С.П.,. Войковский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966'. - 635 с.

123. Толкачева Н.М. Некоторые контактные задачи для упругого тела с тонким покрытием. Изв.АН СССР, МТТ, 1970, lb 3, с.127-131.136» Толкачев В.М. Действие острых штампов на бесконечно длинную цилиндрическую оболочку. ПММ, 1971, 39, в.4, с.734 -739.

124. Толстов Г.П. Ряды Фурье. М.: Наука, 1980, - 381 с.

125. Тоноян B.C., Минасян А.Ф. Несимметричная контактная задача для полуплоскости с вертикальным конечным разрезом. — ДАН Арм.ССРг 1975, 61, & 5, с.289-297.

126. Улитко А.Ф. Растяжение упругого пространства, ослаблениного двумя круговыми трещинами, лежащими в одной плоскости. — В сб. г. Концентрация напряжений. Киев: Наукова думка, 1968,. в.2, с.201-208.

127. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Наука, 1968. - 402 с.141., Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970. - 734 с*

128. Г42- Фильштинский Л.А. Динамическая задача теории упругости для области с криволинейными разрезами (деформация продольного сдвига). ДАН СССР, 1977, 236, JS 6, с.1327-1332.

129. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1969, т.З - 655 с.

130. Чебаков М.И. Сдвиг штампом бруса прямоугольного сечения. В кн.: Жесткость машиностроительных конструкций: Тезисы докладов. Всесоюзная научно-техническая конференция. М.: 1974, с.81-82.

131. Чен Э.П., Си Г.К. Реакция на импульсное воздействие слоя с трещиной в композите. Механика полимеров, 1978, № 5, с.835-840.

132. Черепанов Г.П. 0 напряженном состоянии в неоднородной пластинке с разрезами. Изв.АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1962„ Ш I, с.I3I-I37.

133. Черепанов Г.П. О развитии трещин в сжатых телах. ПММ, 1966, 30, в.1г с.82-93.

134. Aggarwala B.D., Ariel P.D. Vibration and bending of a cracked plate. Rozpr.inz., 1981, 29, N2, 295-310.

135. Aoki 3., Rishimoto R.,Sakate M. Dynamic problem of expanding crack under concentrated load.-Eng.Tract.Mech., 1979, 11, N2, 121-134.

136. Athanasiadis G. Beitrag zur Berechnung beciedig geform-ter und Zusammengezetaten Scheihen mit gemischten Rundbedin-gungen nach der Singularitatenmethode.-ND1-Z, 1980, 122, N23-24, 1141-1142.

137. Atkinson C. Some results on crack propagation in media with spatially varying elastic moduli.-Int. J. Tract., 1975, 11, N4, 296-305. '

138. Chen E.P. Impact response of a finite crack in a finite strip under anti-plane shear.-Eng.Tract.Mech., 1977, 9, N3,251-264.

139. Fishter W. В. The stress intensity factor for the double cantilever beam.-Int.J. Tract, 1983, 82, N2, 135-145.

140. Gdoufos E.E. Failure of a composite with a rigid fiber inclusion.-Acta, mech, 1981, 39, N3-4, 251-262.

141. Green A.E. Quart Appl. Math., 1949, 7, 223.

142. Koiter W.T. Approximate solution of Wiener-Hepi type integral aquation's with applications, parts I-III.-Koninkl. Hed. Acad. Wetenschap. Proc., 1954, B57, 558-579.

143. Matezynski Ы. Quasistatic problem of a non-homogeneous elastic layer containing a crack.-Acta, mech., 974, 9, N3-4, 229-238.

144. Rannacher K. Spanungskonzentrationen Kirchhoffscher Platten in kritischen Randpunkten.-Z.angew.Math. und Mech., 1980, 60, N7, 2 69-270.

145. Hhee И.о., Atluri S.H. Hybrid stress finite elements analysis of bending a plate with a through flow.-Int.J.Numer. Meth. Eng., 1982, 18, N2, 259-271.

146. V/esolowski Z. Dynamic crack propagation.-Opening Modi. Bull.Acad.Pol.Sci. oer.sci.techn., 1977, 25, N6, 541-554.

147. Yoshitaro H., Okasaki K.-Vibration of cracked rectangular plates. Bull. IS3ME, 1980, 23, N179, 732-740.

148. Предлагается несколько иная постановка основной задачи о жестком включении.

149. Краевые условия такой задачи записываются следующим образом

150. W(X,0) = Wtj(X,0)=0 , |X| < оо ; (1#г)w^(a),(j)= vy(a>,b)=0 , №1 >a;w(x,h)=i(x) t M^ (xM = ixu a.

151. Здесь ;f(X) r (j(X) заданные функции вертикального смещения и формы включения, а также изгибающего момента, действующего на включение.

152. K22(u>= 0,5(14) lul + 0(e"2u);в) при |«Л I о

153. Ky(u)-Ay+Olu2), -1,2; Ay- const. (1.4)

154. Учитывая эти свойства для ядер интегральных уравнений, можно сформулировать лемму типа леммы 1.6.1»

155. Интеграл (Г.5) и ряд (1.7) для ("t) понимается в обобщенном смысле. При доказательстве леммы I.I учитывались интегралы (1.3.20), (1.3.21), а также интеграл, понимаемый в обобщенном смысле1.U COS U"t du = 0,512. 0

156. Ф(х) оз,(х) е н$ (-(,1), 0<М;

157. В частности из постановки этой задачи легко следует,, например, . постановка и интегральное уравнение задачи I в (I.-2.25), (1.2.26) и некоторых других задач.

158. Так,, из приведенной системы' может .быть получено интегральное уравнение задачи о разрезе (трещине) длины 2а, берега которого нагружены изгибающим моментом . Краевые условия такой задачи имеют вид1. W(x,0) = = 1X1 < СО ;

159. Р(х) = ы(а»(1-х2)1/г; МОД 6 Н0'-Щ, 0<М.1. ПРИ JI ОаЕ'НИЕ 2

160. Для нахождения в этом случае условий на А , В » С умножим

161. В результате получаем А + В + С = 0, откуда следует В= -А-С. При таком условии решение (I.5.I7) принимает видб) интегрируемое решение при Х= I.

162. Для получения условий существования интегрируемого решенияи перейти к пределу при Х-»* 1„ Получим два условия:. А + В + С = О, А ~ В + С = О- Откуда В = О,. А + С = 0 и в этом случае (1.5.17) принимает видч А , Lf/PFTet)

163. Таким образом,, при условиях В = 0, А + С = 0 из (1.5.18) уравнение (1„5.18) имеет интегрируемое решение. Ясно, что можно получить и другие классы решений.

164. Здесь же выпишем основные формулы для вычисления постоянных А, В,. С

165. А=(Еп 2а Witih - 2fn h+5/4)"1 2*н j t /Р? Г Ш Л+и возьмем предел полученного при Х-*1уравнения (1.5".II), необходимо (1.5.17) .умножить, на-1 "1 -1 "1 12.3)в=-зг"1 j^FFf U)d.t aV2 ftwJs jvFF f/'" -1 -1 -t-1 -1 C = -(2MvA + ЗГ-jt.FPrw^-1

166. Для нахождения постоянных Р , R , М поступим следующим образом: умножим (1.6.16) на % (x) j.x и проинтегрируем по x от —I до Г.и, определив действительную и мнимую части, получим

167. I/i + tnA) = cos Jju Re ^(i)olf ; (s.D1. Ш^+М =C0S3T/Jm . (3.2)

168. При вычислении квадратур использовались значения интегралов

169. П-6||5-я| + дг2'Чд 5t>i sgn С s -ад. (S) J g — 5Г cos" ^sr/i 9 i- grcos"'3T>c; C3-3)

170. Bm = + С + № Ш+М)+ Ml V (1/2

171. Здесь дается (1.6.16);. Ф(Х) -логарифмическая производная г;амма функции Г(Х) ; С постоянная Эйлера.

172. И(5)(«-эдЫнг1 + (t-я) + is| 1б-х|.Л =

173. Теперь, умножив это соотношение на % 1 (X) dx и интегрируя от -I до ±г разделив действительную и мнимую части., получаем1 х" Л ГГ.

174. RHju + NCju =-Re{srjV cx)JxJw)Js},x (3.5)l^ + TC^ = -Im{V J(x)dx J^(5jdg}.

175. Далее, умножив (3.4) на XlT4x)dX и интегрируя от -Iдо I и отделив действительную и мнимую части,, получаемi х

176. RFj, + NEju= J(l-x)Tf(x)dxj ^(Ddi},f, "x (3.6)

177. M +TEj4= Iffl{j I (f-x)T''(x)dx1. В (3.5), (3.6)i 11. H-JsVtote, T J?«P(s)<te,-1 -1p r м fffl4 (-f/2 +>i) (1/2 +>u;cosapu * !JM 'or

178. F^cofe |> ■т + ф (J -A' * W +1'+

179. Интегралы, стоящие в правой части равенств (3-D, (3,2), (3.5), (3.6), довольно просто вычисляются, при этом используются интегралы, понимаемые в смысле конечной части211 ixr tnH-X 1 I ЗГ0 tUvWz-M H-!r\Vi+» dx

180. J (1 +xfk(1 x)J/2+* 4 (- 1/2 (1/2 +Я) COS 91и аналогичные этим. Заметим, что неизвестных в соотношениях (3.1), (3.2), (3.5), (3.6) пять: R , М r Р , N , Т , а соотношений шесть. Однако одно из них удовлетворяется тождественно.

181. Укажем важные формулы для сферических, и присоединенных сферических. функций, часто применяющиеся в главе 2, при получении решений интегральных уравнений.

182. Из рекурентных соотношений для сферических функцийг представленных в 35. г можно получить важное в данном случае соотношениеi?PvW-PHCz). = (2Н)Р-н(г;. (4.2)

183. Важную роль при выводе формул играет интеграл от сферических функций Г рода Рл (2) вида в сf Р ,я р JJ, ЕетпцУ-Ш.

184. Кроме этих формул часто используются такие 35,. 52.4.3). !.«• tTPjW4.4)1. С w-<*«-<>*а также формулы связи между эллиптическими интегралами и сферическими функциями 1.

185. Q.V2 (сМ = 2е','/2 К (е"*;, и.5)

186. K(^-tl.2 (о(/2) J = c(i(G/2) Qi/2 (сU). (4.6)

187. Важным также является такое интегральное представление функций Лежандра первого рода 140.а также такое для сферических и присоединенных сферических функций первого рода

188. Здесь же укажем технику вычисления отдельных квадратур^ например, при подстановке Ф+ (f>) из (2.4.15) в (2.4.16) первое слагаемое из Ф+ (fi) дает интеграл1=5 P-fM/e w.9)г

189. С учетом представления (4.7) последний интеграл переходит в следующий2n Г Г Sinjiu in 1 S\ r 1 V2(ch0U ch8 $ ' Рг(Рг>

190. Поменяв порядок интегрирования, получим

191. H2(di0u-ch0) ? fi Qip') J 1

192. Подставляя последнее вместо внутреннего интеграла в (4.10), окончательно получаем с учетом формулы (4.1), что интеграл (4.9) равен

193. Аналогично вычисляются и другие интегралы. При вычислении квадратур, связанных с функциями

194. P-f/g -bit^d) г удобно пользоваться представлением (4.8).

195. Постоянные Cn определяются из линейной алгебраической

196. S2 г Р-)/2+8п/е (сЬвт)*Н8г) ■,1. Ч Jouftr -гШг)' ^J- (5Л)системым N1. Sxn = SamnX„ +1 , (5.2)пИв которойосп = <г' sh 6 Сп Q -f/2 P-f/2+sn /0; = 9-1/2 Sn Р-1/2 + $„/8в-1/2 + Ут/в~?ю + Рм/2+Sn/g

197. В этом случае интегральная характеристика задачи, результирующий изгибающий момент, вычисля тся по формулеW

198. А8 Мг1 Р.1/г (Р-1/г+8п/0 Q!f/2 Q.,/2 ?\1г+5п/е).

199. Решение уравнения (2.5.3) в этом случае ( 6=0 » j-(X) = 1 ), представляющее собой распределенную реактивную перерезывающую силу 11. Здесьвычисляется по формуле (5:;I)r а Сд ,находятся из системыw wхп = S amnxn + \ , (5.5)п=0 п п=0 'в которой" Со Ч-1/2 '

200. ХП = CnQ-f/2 Р-1/2 + Sn/© 1 Л" f,2,. = Q-f/g Q-i/2+Ут/еaт0 Q-1/2 0.-1/2+ /б

201. Q Cj-1/2 .- fln P-f/g+Sn/fl Q-J/2+fli/e - tm P-i/g+WeQ-V^^m/QтП Q-f/2 (5|f -Ут) P-t/2 + 5n/0 Q-f/2+4/е

202. Таким образом, получены решения в одном важном частном случае.

203. ЗДеСЬ K=-к(2к)!- 2к ' ^ h 2к " числа

204. Бернулли. Отметим,, что представления (6.4) и (6.6) получены с помощью представления 52.(6.7)

205. В о и -числа Бернулли. В частности их можно найти вгде и£к52 . Выпишем первые из них

206. В0-Г; 62-g; В4— J2 5 go"5 К gg (6-8)

207. Формулу (6.2) полезно представить с помощью формулы (6.7) в виде степенного ряда с выделенным логарифмом1. ЗнгчфМ)*.где те же, что и в (6.6).

208. Получим формулы суммирования в виде быстросходящихся рядовдля рядов видасо2 й(ип^)еьц"зс , (s,ro)

209. Для суммирования ряда (6.10) будем использовать опыт работ 48, 62^ , где эти формулы даны для четной

210. S ВЫЧ. <i(2)-tn6z> + 2 выч. <Hi) (6Л2)n=ff" Of

211. Здесь £m , , полюса j(2) (щ ) вверхней, нижней части прямоугольника (относительно действительной оси) и на действительной оси соответственно.

212. С другой стороны интеграл (6Л1) можно представить в формес С+ с+6.13)1. С- с.

213. Здесь С+ , С соответственно верхняя и нижняя (относительно действительной, оси) части границы прямоугольника на рис. 36-f io1. CO ©1. Ml ®1. О Njr\1. О r+J