Асимптотические разложения собственных элементов оператора Шредингера с возмущением, локализованным на малом множестве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

/

Бикметов Айдар Ренатович

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА С ВОЗМУЩЕНИЕМ, ЛОКАЛИЗОВАННЫМ НА МАЛОМ МНОЖЕСТВЕ

сшз44б:*еь

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

? 2 СЕН 2000

Уфа-2008

003446365

Работа выполнена в ГОУ ВПО "Башкирский государственный педагогический университет им. М.Акмуллы"

Защита состоится "10." октября 2008 г в 15_ часов на заседании диссертационного совета Д 002 057 01 при Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН по адресу 450000, г Уфа, ул Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ УНЦ РАН.

Автореферат разослан "27 " августа 2008 г.

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Р Р Гадылыпин

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Ф.Х. Мукминов кандидат физико-математических нау В И. Сулейманов Московский государственный университет им М.В Ломоносова.

Ведущая организация

Ученый секретарь специализированного совета, к ф -м.н

С.В. Попенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Асимптотические методы занимают важное место в теории дифференциальных уравнений Это объясняется тем, что задачи, рассматриваемые в теории дифференциальных уравнений, в подавляющем большинстве не имеют явного решения в виду сложной зависимости от числовых и функциональных параметров, входящих в эти задачи Однако правильное описание решения или нахождение приближенного решения можно существенно упростить, если известно, что некоторые из параметров очень малы, либо, наоборот, велики Для решения таких задач привлекаются асимптотические методы Эти методы, как правило, связаны со спецификой рассматриваемой задачи Одним из классов задач, которые успешно решаются применением асимптотических методов, являются сингулярно возмущенные задачи Такие задачи описывают многие реальные модели окружающего мира Этим они интересны для исследователей-физиков Значительный вклад в развитие асимптотических методов в теории сингулярно возмущенных задач внесли В М Бабич, Н С Бахвалов, Н Н Боголюбов, В Ф Бутузов, А Б Васильева, М И Вишик, Р Р Гадылыпин, Ю Д Головатый, В В Жиков, А М Ильин, Л А Калякин, С М Козлов, О А Ладыженская, Л А Люстерник, В Г Мазья, В П Маслов, Ю А Митро-польский, С А Назаров, В Ю Новокшенов, О А Олейник, Г П Па-насенко, Б А Пламеневский, Э Санчес-Паленсия, Б И Сулейманов, А Н Тихонов, М В Федорюк, Г А Чечкин, А С Шамаев и многие другие

Одним из типов сингулярно возмущенных задач являются задачи, асимптотики решения которых не могут быть описаны при помощи только одного асимптотического ряда Для полного и правильного описания решения требуется построение нескольких асимптотических рядов Такого типа задача исследуется в данной диссертационной работе

В диссертации рассматриваются сингулярно возмущенные краевые задачи для оператора Шредингера в ограниченной области Практически во всех задачах, рассматриваемых в диссертации, возмущение описывается потенциалом, который зависит от малого параметра е таким образом, что при е —► 0 мера носителя потенциала стремиться к нулю, а значение потенциала неограниченно растет В последнем параграфе заключительной главы, рассматривается случай, когда возмущение - потенциал, принимающий конечные значения С физической точки зрения, рассматриваемая задача, в зависимости от знака потенциала, соответствует или задаче о потенциальной яме или задаче о потенциальном барьере с бесконечно высокими стенками Цель работы -

построение асимптотических разложений собственных значений и соответствующих собственных функций для рассматриваемых задач То есть, в диссертации проводится исследование дискретного спектра оператора Шредингера, с указанным выше возмущением

Изучение дискретного спектра стационарного оператора Шредингера, возмущенного малым потенциалом, на оси и плоскости - классическая задача математической физики Исследованию такой задачи посвящено достаточно много работ Выделим лишь основные

В книге ЛД Ландау и Е М Лившица1 авторами рассмотрена задача о возмущении оператора Шредингера малым потенциалом на оси На физическом уровне строгости авторами вычислены асимптотики собственных значений и соответствующих собственных функций Математически строгие результаты для задач на оси и плоскости были получены в работах В Simon, М Klaus, R Blankenbecler, М L Goldberger 2 В этих работах исследован дискретный спектр операторов

на оси и плоскости, соответственно Функция V удовлетворяет условию

где 7 > 0 - некоторое число В этой постановке авторами были установлены необходимые и достаточные условия существования малого собственного значения Оказалось, что вопрос наличия собственного значения зависит от среднего значения потенциала V

1Л Д Ландау, Е М Лившиц Теоретическая физика Т 3 Квантовая механика Нерелятивистская теория М Наука, 1974

2 В Simon The bound state of weakly coupled Schrodinger operators in one and two dimensions // Ann Phys 1976 V 97 P 279-288

M Klaus On the bound state of Schrodinger operators in one dimension // Ann Phys 1977 V 108 P 288-300

R Blankenbecler, M L Goldberger, В Simon The bound states of weakly coupled long-range one-dimensional quantum Hamiltonians//Ann Phys 1977 V 108 P 69-78 M Klaus, В Simon Coupling constant thresholds in nonrelativistic quantum mechanics I Short-range two-body case//Ann Phys 1980 V 130 P 251-281

R

R

В случае, когда собственное значение существует, то строятся первые члены его асимптотики по малому параметру е Случай нелинейной зависимости потенциала от малого параметра был рассмотрен F Bentosela, R M Cavalcanti, P Exner, V A Zagrebnov3 В работах Гадыльшина P P 4 результаты, полученные в упомянутых выше работах, были обобщены на случай возмущения, осуществляемого произвольным малым локализованным оператором второго порядка Упомянем также задачи о квантовых волноводах задачи для оператора Лапласа в бесконечном цилиндре в Rn, п > 2 с граничным условием Дирихле на границе и с малым возмущением Возмущением может быть, например, малый потенциал, искривление области, смена типа граничного условия и тд Таким задачам посвящены работы Duelos Р и Exner Р 5, Bulla W , Gesztesy F , Renger W и Simon В 6, Exner Р и Vugalter SA7, Borisov D , Exner P , Gadyl'shm R и Krejciñk D 8 В свою очередь, результаты последних работ были обобщены в статье Гадыльшина P Р9 В этой работе был развит подход, предложенный автором в работах о возмущении оператора Шредингера на оси и плоскости

Заметим, что в отличие от приведенных выше работ, где рассматривалось регулярное возмущение, в диссертации рассматривается случай, когда возмущение является сингулярным А именно, в диссертации рассматривается задача в ограниченной области с возмущением осуществляемым потенциалом

s-av(j), а <2,

где V - бесконечно дифференцируемая финитная функция То есть, при е —» 0 носитель потенциала сжимается в точку, в то время как значение потенциала неограниченно растет Заметим также, что в силу ограниченности области замена переменных у = не сводит эту

3 F Bentosela, R M Cavalcanti, P Exner, V A Zagrebnov // J Phys A 1999 V 32 P 3029-3039

4Гадыльшин P P О локальных возмущениях оператора Шредингера на оси // Теоретическая и математическая физика 2002 Т 132 С 97—104

Гадыльшин P Р О локальных возмущениях оператора Шредингера на плоскости // Теоретическая и математическая физика 2004 Т 138 С 41-54

5Duclos P , Exner Р , Curvature-induced bound states m quantum waveguides in two and three dimensions// Rev Math Phys - 1995 № 7 P 73-102

6 Bulla W , Gesztesy F , Renger W , Simon В , Weakly coupled bound states m quantum waveguides // Proc Amer Math Soc 1997 № 127 P 1487-1495

rExner P , Vugalter S A Bound states m a locally deformed waveguide the critical case // Lett Math Phys 1997 №39 P 59-68

8Borisov D , Exner P , Gadyl'shm R , Krejcirik D , Bound states in weakly deformed strips and layers // Ann H Poincaré 2001 v 2 № 3 P 553-572

9 Гадыльшин P P О локальных возмущениях квантовых волноводов // Теор и матем физика 2005 Т. 145 .V 3 С 359-372

задачу ни к упомянутым выше решенным задачам, ни к более простой Похожими по постановке с задачами, рассматриваемыми в диссертации, являются задачи о концентрированной массе Особенность и схожесть этих задач заключается в том, что в качестве возмущения рассматривается прикрепление массы на малом участке области, диаметр, которой является малым параметром е С математической точки зрения, масса соответствует множителю при спектральном параметре произвольного эллиптического оператора в ограниченной, либо неограниченной области с произвольным граничным условием Этот множитель, зависящий от малого параметра е, стремиться к бесконечности при е —» 0 Для таких задач ставится вопрос об изучении влияния сосредоточенной массы на спектр эллиптического оператора при различных условиях на скорость роста значений массы Этим задачам посвящены работы Ю Д Головатого, О А Олейник, С А Назарова, Э Санчес-Паленсия, Gómez D , Lobo М , Pérez Е

Заметим, что задачи, рассматриваемые в диссертации, не сводятся к задачам о концентрированной массе

Близкими по постановке являются задачи для эллиптических операторов, рассматриваемые либо в областях, которые получаются из фиксированной области выбрасыванием из нее малой подобласти, либо со сменой типа граничного условия на малой части границы Таким задачам посвящены работы А А Самарского, Sh Ozawa, В Г Мазьи, С А Назарова, Б А Пламеневского, А М Ильина, Р Р Гадыльшина и других авторов

Цель работы. Основная цель работы - доказательство теорем сходимости и построение асимптотических разложений по малому параметру собственных значений и собственных функций рассматриваемых краевых задач Малым параметром является мера носителя потенциала

Научная новизна. Основные научные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем

1 В ограниченной области пространства числа переменных больше двух для возмущенного оператора Шредингера с граничным условием Дирихле и с потенциалом, принимающим большие значения, носитель которого сжимается в точку, доказана сходимость решений и собственных элементов к решениям и собственным элементам предельной задачи Дирихле для оператора без потенциала Получены равномерные по малому и спектральному параметрам оценки решений

2 В трехмерном случае построены и строго обоснованы полные асимптотические разложения по малому параметру собственных элементов для возмущенного оператора Получена явная формула для первого возмущенного члена асимптотики собственного значения

3 В случае произвольного числа переменных при дополнительном ограничении на скорость роста значений потенциала (а < 1) возмущенного оператора построена и строго обоснована двучленная асимптотика собственных значений Получена явная формула для первого возмущенного члена асимптотики собственного значения.

Методика исследования. Решения краевых задач понимаются в обобщенном смысле Сходимость решений возмущенных краевых задач к решениям предельной задачи и оценка решения доказываются в норме пространств Соболева Асимптотики строятся в два этапа Вначале проводится формальное построение асимптотических разложений, затем формальные асимптотики строго обосновываются Формальное построение проводится на основе метода согласования асимптотических разложений Обоснование формальных асимптотик осуществляется с помощью оценки решений возмущенной задачи в окрестности собственного значения предельной. При дополнительном ограничении на скорость роста значений потенциала возмущенная задача сводится к задаче теории регулярных возмущений

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы при изучении задач математической физики Такие исследования проводятся в С -Петербургском отделении Математического института РАН им В А Стеклова, Институте математики и механики УрО РАН (Екатеринбург), Институте математики с ВЦ УНЦ РАН (Уфа), МГУ им М В Ломоносова, СПбГУ, БашГУ, БГПУ им М Акмуллы, Институте ядерной физики (Ржеж, Чешская Республика), а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на семинаре дифференциальных уравнений и математической физики Института математики с ВЦ УНЦ РАН, на семинаре кафедры математического анализа БашГПУ, на региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (Уфа, БашГУ, 2002), на международных XXV и XXVI конференциях молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2003, 2004), на международной конференции "Дни дифракции-2006", (С -Петербург, 2006), на международной конференции "Тихонов и современная математика", посвященной 100-летию со дня рождения А Н

Тихонова (Москва, 2006), на международной конференции "Operator Theory in Quantum Physics", посвященной 60-летию P Exner (Прага, 2006), на всероссийской конференции "Математика Механика Информатика" (Челябинск, 2006), на международной конференции "Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика" (Уфа, 2007)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1)-[7] Работа [1] выполнена совместно с Р Р Гадыльшиным Работа [3] выполнена совместно с Д И Борисовым Из результатов этих работ в диссертацию автором включены только результаты, полученные им лично

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых в совокупности на восемь параграфов и списка литературы, содержащего 80 наименований Общий объем диссертации - 92 страницы

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается обзор литературы, формулируются постановки задач, приводятся основные результаты диссертации, а также кратко описывается содержание параграфов

В первой главе доказывается сходимость решений, собственных значений и соответствующих собственных функций рассматриваемых возмущенных краевых задач к решениям, собственным значениям и соответствующим собственным функциям предельной задачи Дирихле в ограниченной области в пространстве R*1, п > 2 Затем выводятся равномерные по малому и спектральному параметрам оценки этих решений Результаты этой главы используются для строгого обоснования асимптотик собственных элементов возмущенных задач, строящихся во второй главе диссертации.

Пусть Ü - связная ограниченная область в Е", п > 2 с бесконечно дифференцируемой границей Г, V(t) - бесконечно дифференцируемая финитная функция, 0 < е < 1 - малый параметр, а < 2 - некоторое фиксированное число Предполагается, что Cl содержит начало координат

Рассматривается возмущение задачи Дирихле для оператора Лапласа

-Дгг0 = Амо + /о в «о = 0 на Г, (1)

где /о € А - комплексный параметр Возмущение описываете

ся потенциалом, принимающим большие значения, но имеющим малый

носитель

+ = + Л в П, и£ = 0 на Г, (2)

где /е 6 Ьг(^) Под символами || || и |] Ц1 будем понимать норму в и Т^1 (Г2), соответственно

11/11 = /1/0*01 \а

||/||х= П\ЪПх))Чх +1 \}{х)\

о

Через И^П) обозначим пополнение функций из по норме

(П) Обозначим через (•, •) скалярное произведение в пространстве

1^2 (£1) Решения этих задач будем понимать в обобщенном смысле А

именно, под решением краевой задачи (1) понимается элемент щ & о

Т^1 (£)), удовлетворяющий интегральному тождеству

(Уи0, V«) = Л(ы0, V) + (/о,«)

о

для любой функции г; € М^1 (П) Аналогично под решением краевой зао

дачи (2) понимается элемент и€ € удовлетворяющий интеграль-

ному тождеству

(Уг/, Уг>) + £-а (V и«,«) = Л(и0, V) + (/е, г,)

о

для любой функции V 6 И^1

В первой главе изучается сходимость решений возмущенной задачи (2) и доказывается следующее утверждение

Лемма 1. Пусть <5 ~~ произвольный компакт в комплексной плоскости С, не содержащий собственных значений краевой задачи

—Афо = ^офо е фо = 0 на Г (3)

Тогда

1) существует число ео > 0 такое, что при любом е < £о и любом А € <5 существует единственное решение иЕ краевой задачи (2)

2) если ||/е — /о || —> О, то имеет место сходимость

г—»0

||ие-«о||1—>0

£—»0

Затем, применением леммы 1 доказывается следующая теорема, являющаяся одним из основных результатов первой главы

Теорема 1. Пусть Ао - собственное значение краевой задачи Дирихле (3) кратности N Тогда

1) совокупная кратность собственных значений Хе'г краевой задачи

(~А + £~ау(^ф£ = Хеф£ в С1, ф£ = 0 на Г, (4)

сходящихся к Ао при £ —» 0, равна N,

2) из любой последовательности ~► 0 можно выделить подпоследовательность {£кт}т-1 ~* 0 такую что для соответствующих \Е'г собственных функций ф£,г краевой задачи (4), нормированных в 1/2(£1), имеет место сходимость

\\Ф£к— - Ф°'Ъ - о,

где ф®>г, 1 = 1, ,N - ортонормированные в Ьг(^) собственные функции, соответствующие собственному значению Ао

Из теоремы 1 немедленно вытекает следующее утверждение

Следствие 1. Пусть Ао - простое собственное значение краевой задачи (3), а ф$ - соответствующая нормированная в собственная функция этой задачи Тогда

1) существует собственное значение Xе краевой задачи (4), сходящееся к Ао, при е —> 0 Это собственное значение простое,

2) для соответствующей Xе нормированной в ^(П) собственной функции фе имеет место сходимость \\фе —ф0Ц1 0 при е —► 0

В конце первого параграфа выводится равномерная по малому и спектральному параметрам оценка решений краевой задачи (2) Основным результатом второй главы является

Теорема 2. Пусть Ао - простое собственное значение краевой задачи (3) а фо - соответствующая нормированная в Ьг(^) собственная функция этой задачи. Тогда асимптотика собственного значения Xе возмущенной задачи (4), сходящегося к Ао при е —► 0, имеет вид

оо оо г=0 7=1

Ао,1 = ^о(О) (V),

а асимптотика соответствующей собственной функции в норме ТУ^П) имеет вид

оо оо

ГМ^ФоЮ + ^^еК^ФгЛ*)' И<£1/2}, (5)

1=03 — 1

оо оо

= \х\<2г1'\ (6)

г=0

где

¡3{г,з) = 1 + {2-а)з, (V) = |

к3

Доказательство теоремы 2 проводится в несколько этапов Вначале методом согласования асимптотических разложений (на формальном уровне) строится первый член теории возмущений собственного значения краевой задачи (4) Одновременно с этим строятся первые члены рядов (5), (6) Коэффициенты ряда (5) являются сингулярными решениями краевых задач в ограниченной области, не содержащих малый параметр е, а коэффициенты ряда (6) являются растущими на бесконечности решениями уравнений Пуассона, рассматриваемых во всем пространстве М3 Решения этих краевых задач и уравнений имеют произвол, который определяется в результате согласования асимптотических разложений рядов (5), (6) Далее показывается, что формально построенные частичные суммы асимптотических разложений собственных элементов удовлетворяют рассматриваемой возмущенной задаче с точностью до невязок малого порядка Затем построенные асимптотические разложения строго обосновываются Последнее означает вывод оценки разности между истинными собственными значениями и построенными асимптотическими рядами, а также оценки разности между соответствующими собственными функциями и построенными асимптотическими разложениями Результаты первой и второй главы диссертации опубликованы в статье [2]

Во третьей, заключительной главе строятся асимптотики собственных значений для рассматриваемого в настоящей работе возмущенного оператора Шредингера в случае пространства произвольной размерности при дополнительном ограничении на скорость роста значений потенциала

В первом параграфе третьей главы рассматривается случай а < 1 для пространства размерности п > 2

Постановка задач следующая Постановка задач следующая Пусть П - связная ограниченная область в 1", гг > 2 с бесконечно дифференцируемой границей Г, Ао - простое собственное значение краевой задачи (3), а тро ~ соответствующая нормированная в Ьг(^) собственная функция, V 6 Со°(К"), 0 < е « 1 - малый параметр,

К"

Предполагается, что О содержит начало координат Доказано следующее утверждение

Теорема 3. Пусть а < 1 - произвольное фиксированное число Асимптотика собственного значения Xе краевой задачи (4), сходящегося к Ао при е —> 0, имеет вид

В конце параграфа приведено представление для соответствующей собственной функции ф£

Как видно из условия теоремы 3, на параметр а наложены более слабые ограничения в отличие от условия, наложенного на а в главе 1 (а < 2) Данное ослабление позволяет построить и строго обосновать первые члены асимптотик собственных значений в случае пространства размерности п, не привлекая метод согласования асимптотических разложений Результаты этого параграфа опубликованы в работе [1]

Во втором параграфе третьей главы строится и строго обосновывается асимптотика собственного значения возмущенного оператора Шре-дингера в одномерном случае Постановка задачи следующая Рассматривается возмущенная краевая задача на собственные значения

где то - произвольная фиксированная точка из интервала (0,1)

Основной результат этого параграфа формулируется в виде следующего утверждения

Теорема 4. Собственное значение Xе краевой задачи (7), сходящееся к собственному значению Ао краевой задачи

Xе = Хо+ег'~а {ф20(0) (V) -+- о(1))

х € (0,1)

ФЧ 0) = р{1) = 0,

= х € (0,1) Фо{0) = Фо{1)=0

имеет асимптотику

А£ = До + еЛ1 + 0(£3/2), е -> О А1 = ф2о(хо) {V)

Кроме того, построена и строго обоснована асимптотика собственных функций Соответствующее утверждение сформулировано и доказано в конце параграфа Результаты этого параграфа опубликованы в статье [3] Построение асимптотик, как и во второй главе проведено методом согласования асимптотических разложений

Автор выражает самую искреннюю благодарность своему научному руководителю Гадыльшину Рустему Рашитовичу за постановку задач, внимание и помощь на протяжении всей работы над диссертацией

Автор благодарен канд физ -мат наук, доценту кафедры математического анализа БГПУ им М Акмуллы Борисову Денису Ивановичу за многократные обсуждения результатов и ценные замечания

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Бикметов А Р , Гадылынин Р Р О спектре оператора Шредин-гера с растущим потенциалом, локализованным на сжимающемся множестве // Математические заметки - 2006 - Т 79 №5. -С 787-790

[2] Бикметов А Р Асимптотики собственных элементов краевых задач оператора Шредингера с большим потенциалом,, локализованным на малом множестве // Журнал вычислительной математики и математической физики - 2006 № 4 - С 666-681

[3] Бикметов А Р , Борисов Д И О дискретном спектре оператора Шредингера с узкой потенциальной ямой // Теоретическая и математическая физика - 2005 - Т 145 № 3 - С 373-385

[4] Бикметов А Р Об одном примере появления собственного значения у одномерного возмущенного оператора Шредингера// Тезисы докладов XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им М В Ломоносова 2004 С 20-22

[5] Бикметов А Р Построение методом согласования первых членов асимптотики собственных функций и собственных значений возмущенного оператора Шредингера на отрезке // Ученые записки

Сборник научных статей ФМФ БГПУ Уфа БГПУ - 2003 - С 1821

[6] БикметовА Р О возмущении двумерного оператора Шредингера// Актуальные проблемы математики Математические модели современного естествознания Межвузовский научный сборник Уфа УГАТУ 2003 с 19-24

[7] Бикметов А Р О возмущении одномерного оператора Шредингера // Труды Региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике Уфа Башгосу-ниверситет - 2002 - С 17-21

Бикметов Айдар Ренатович

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА С ВОЗМУЩЕНИЕМ, ЛОКАЛИЗОВАННЫМ НА МАЛОМ МНОЖЕСТВЕ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР М? 021319 от 05 01 99 г

Подписано в печать 20 08 2008 г Формат 60x84/16 Уел печ л 0,93 Уч-изд л 1,03 Тираж 120 экз Заказ 586

Редакционно-издателъский центр Башкирского государственного университета 450074, РБ, г Уфа, ул Фрунзе, 32

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г Уфа, ул Фрунзе, 32

Введение

Глава 1. Сходимость решений и собственных элементов возмущенной краевой задачи для оператора Шредингера с большим потенциалом, локализованным на малом множестве

§1. Сходимость решений возмущенной задачи

§2. Сходимость собственных элементов возмущенной задачи

Глава 2. Полная асимптотика собственных элементов возмущенной задачи в трехмерном случае

§1. Формальное построение первых членов асимптотик.

§2. Внешнее и внутреннее разложения.

§3. Построение полных асимптотических разложений.

§4. Обоснование асимптотических разложений.

Глава 3. Двучленная асимптотика собственных значений возмущенной задачи в n-мерном случае

§1. Асимптотики в случае п > 2.

§2. Асимптотики в случае п — 1.

Асимптотические методы занимают важное место в теории дифференциальных уравнений. Это объясняется тем, что задачи, рассматриваемые в теории дифференциальных уравнений, в подавляющем большинстве не имеют явного решения в виду сложной зависимости от числовых и функциональных параметров, входящих в эти задачи. Однако правильное описание решения или нахождение приближенного решения можно существенно упростить, если известно, что некоторые из параметров очень малы, либо, наоборот, велики. Для решения таких задач привлекаются асимптотические методы. Асимптотические методы решения задач, как правило, связаны со спецификой рассматриваемой задачи. Одним из классов задач, которые успешно решаются применением асимптотических методов являются сингулярно возмущенные задачи. Такие задачи описывают многие реальные модели окружающего мира. Этим они интересны для исследователей-физиков. Значительный вклад в развитие асимптотических методов в теории сингулярно возмущенных задач внесли В. М. Бабич, Н. С. Бахвалов, Н. Н. Боголюбов, Д. И. Борисов, В. Ф. Бутузов, А. Б. Васильева, М. И. Вишик, Р. Р. Гадыльшин, Ю. Д. Головатый, В. В. Жиков, А. М. Ильин, JI. А. Калякин, С. М. Козлов, О. А. Ладыженская, J1. А. Люстерник, В. Г. Мазья, В. П. Маслов, Ю. А. Митропольский, С. А. Назаров, В. Ю. Новокшенов, О. А. Олейник, Г. П. Панасенко, Б. А. Пламеневский, Э. Санчес-Палеисия, Б. И. Сулей-манов, А. Н. Тихонов, М. В. Федорюк, Г. А. Чечкин, А. С. Шамаев и многие другие (см., например, [1], [2], [6] - [13], [15] - [20], [23], [26] - [30], [32], [34], [38], [39], [41], [42], [46], [50], [47], [55], [56], [62], [63], [72], [77], [79]). Одним из типов сингулярно возмущенных задач являются задачи, решения которых не могут быть описаны при помощи только одного асимптотического ряда. Для полного и правильного описания решения требуется построение нескольких асимптотических рядов. Такого типа задача исследуется в данной диссертационной работе.

В диссертации рассматриваются сингулярно возмущенные краевые задачи для оператора Шредингера в ограниченной области. Практически во всех задачах, рассматриваемых в диссертации, возмущение описывается потенциалом, который зависит от малого параметра е таким образом, что при е —» 0 мера носителя потенциала стремиться к нулю, а значение потенциала неограниченно растет. В последнем параграфе заключительной главы, рассматривается случай, когда возмущение - потенциал, принимающий конечные значения. С физической точки зрения, рассматриваемая задача, в зависимости от знака потенциала, соответствует или задаче о потенциальной яме или задаче о потенциальном барьере с бесконечно высокими стенками. Цель работы - построение асимптотических разложений собственных значений и соответствующих собственных функций для рассматриваемых задач. То есть, в диссертации проводится исследование дискретного спектра оператора Шредингера, с указанным выше возмущением.

Изучение дискретного спектра стационарного оператора Шредингера, возмущенного малым потенциалом, на оси и плоскости - классическая задача математической физики. Исследованию такой задачи посвящено достаточно много работ. Выделим лишь основные.

В книге [37] авторами рассмотрена задача о возмущении оператора Шредингера малым потенциалом на оси. На физическом уровне строгости авторами вычислены асимптотики собственных значений и соответствующих собственных функций. Математически строгие результаты для задач на оси и плоскости были получены в работах [66], [67], [78]. В этих работах исследован дискретный спектр операторов на оси и плоскости, соответственно. Функция V удовлетворяет условию где 7 > 0 - некоторое число. В этой постановке авторами были установлены необходимые и достаточные условия существования малого собственного значения. Оказалось, что вопрос наличия собственного значения зависит от среднего значения потенциала V:

В случае, когда собственное значение существует, то строятся первые члены его асимптотики по малому параметру г. Случай нелинейной зависимости потенциала от малого параметра был рассмотрен в [57]. В работах [19], [20] результаты, полученные в работах [37], [57], [66], [67], [78] были обобщены на случай возмущения, осуществляемого произвольным малым локализованным оператором второго порядка. Упомянем также про задачи о квантовых волноводах: задачи для оператора Лапласа в бесконечном цилиндре в Rn, п > 2 с граничным условием Дирихле на границе и с малым возмущением. Возмущением может быть, например, малый потенциал, искривление области, смена типа граничного условия и т.д. Таким задачам посвящены работы [58] - [61]. В свою очередь, результаты последних работ были обобщены в статье [64]. В этой работе был развит подход, предложенный автором в [19], [20]. Е x < оо

Заметим, что в отличие от приведенных выше работ, где рассматривалось регулярное возмущение, в диссертации рассматривается случай, когда возмущение является сингулярным. А именно в диссертации рассматривается задача в ограниченной области с возмущением осуществляемым потенциалом

-У®, а < 2, где V - бесконечно дифференцируемая финитная функция. То есть, при е —> 0 носитель потенциала сжимается в точку, в то время как значение потенциала неограниченно растет. Заметим также, что в силу ограниченности области замена переменных у = же-1 не сводит эту задачу ни к упомянутым выше, решенным задачам, ни к более простой.

Похожими по постановке с задачами, рассматриваемыми в диссертации, являются задачи о концентрированной массе. Особенность и схожесть этих задач заключается в том, что в качестве возмущения рассматривается прикрепление массы на малом участке области, диаметр, которой является малым параметром е. С математической точки зрения, масса соответствует множителю при спектральном параметре произвольного эллиптического оператора в ограниченной, либо неограниченной области с произвольным граничным условием. Этот множитель, зависящий от малого параметра е, стремиться к бесконечности при е —> 0. Для таких задач ставится вопрос об изучении влияния единичной сосредоточенной массы на спектр эллиптического оператора при различных условиях на скорость роста значений массы. Этим задачам посвящены работы [21], [22], [24], [43] - [45], [62], [65], [68], [70], [75] - [77].

Заметим, что задачи, рассматриваемые в диссертации, не сводятся к задачам о концентрированной массе.

Близкими по постановке являются задачи для эллиптических операторов, рассматриваемые либо в областях, которые получаются из фиксированной области выбрасыванием из нее малой подобласти, либо со сменой типа граничного условия на малой части границы. Таким задачам посвящены работы [14], [25], [39], [48], [49], [54], [73], [74], [80] и других авторов.

Опишем задачи, рассматриваемые в каждой главе диссертации, и основные результаты, полученные при их изучении.

В первой главе доказывается сходимость решений, собственных значений и соответствующих собственных функций рассматриваемых возмущенных краевых задач к решениям, собственным значениям и соответствующим собственным функциям предельной задачи Дирихле в ограниченной области в пространстве Mn, п > 2. Затем выводятся равномерные по малому и спектральному параметрам оценки этих решений. Результаты этой главы используются для строгого обоснования асимптотик собственных элементов возмущенных задач, строящихся во второй главе диссертации.

Пусть П - связная ограниченная область в п > 2 с бесконечно дифференцируемой границей Г, V(t) - бесконечно дифференцируемая финитная функция, 0 < е <С 1 - малый параметр, а < 2 - некоторое фиксированное число. Предполагается, что Q содержит начало координат.

Рассматривается возмущение задачи Дирихле для оператора Лапласа: —Auo = Auo + /o в Q, щ = 0 на Г, (0.1) где /о € Ь2(П).

Возмущение описывается потенциалом, принимающим большие значения, но имеющим малый носитель:

-Д + e~aV и£ = ХиЕ + fe в Q, = 0 на Г, (0.2) где f£ G 1/г(Г2). Под символами || • || и || • ||i будем понимать норму в L2(Q) и И^С^), соответственно: о

Через И^1^) обозначим пополнение функций из Cq°(Q) по норме Wj^)-Обозначим через (•, •) скалярное произведение в пространстве Z/2(f2). Решения этих задач будем понимать в обобщенном смысле (см. [36], [40],

51]). А именно, под решением краевой задачи (0.1) понимается элемент о wo € И/Г21(^), удовлетворяющий интегральному тождеству

Vu0, Vv) = A(uo, v) + (/о, v) о для любой функции v Е W^fi). Аналогично под решением краевой задао чи (0.2) понимается элемент и£ е И^1^), удовлетворяющий интегральному тождеству

W, Vu) + (у i/, и) = Х(и0, V) + (Л, V) о для любой функции v Е W^fi).

В первой главе изучается сходимость решений возмущенной задачи (0.2) и доказывается следующее утверждение.

Лемма 0.1. Пусть Q - произвольный компакт в комплексной плоскости С, не содержащий собственных значений краевой задачи

-Аф0 = Х0ф0 в П, ф0 = 0 на Г. (0.3)

Тогда

1) существует число eq > 0 такое, что при любом е < ео и любом Л 6. Q существует единственное решение и£ краевой задачи (0.2)

2) если ||/е — /о|| —> 0; то имеет место сходимость 0 0

Затем, применением леммы 0.1 доказывается следующая теорема, являющаяся одним из основных результатов первой главы.

Теорема 0.1. Пусть До - собственное значение краевой задачи Дирихле (0.3) кратности N. Тогда

1) совокупная кратность собственных значений Х£,г краевой задачи

-А + е-ау(^)}фе = \ефЕ в П, ф£ = 0 на Г, (0.4) сходящихся к До при е —> 0; равна N;

2) из любой последовательности {^j^Lx —> 0 можно выделить подпоследовательность 0 такую что для соответствующих Х£'г собственных функций ф£,г краевой задачи (0-4), нормированных в Z-2(0); имеет место сходимость 0(M|(l 0, где ф°'г, i — 1,., N - ортонормированные в 1/2(П) собственные функции, соответствующие собственному значению До

Из теоремы 0.1 немедленно вытекает следующее утверждение.

Следствие 1. Пусть Ао - простое собственное значение краевой задачи (0.3), а фо - соответствующая нормированная в собственная функция этой задачи. Тогда

1) существует собственное значение Xе краевой задачи (0.4), сходящееся к Ао, при £ —>■ 0. Это собственное значение простое;

2) для соответствующей Xе нормированной в собственной функции фе имеет место сходимость \\ф£ — ^olli 0 при г —> 0.

В конце первого параграфа выводится равномерная по малому и спектральному параметрам оценка решений краевой задачи (0.2).

Во второй главе рассматривается случай ficR3. Основным результатом второй главы является

Теорема 0.2. Пусть Ао - простое собственное значение краевой задачи (0.3) а фо - соответствующая нормированная в 1/2(Г2) собственная функция этой задачи. Тогда асимптотика собственного значения Xе возмущенной задачи (0-4), сходящегося к Ао при е —■» 0, имеет вид

ОО 00

А'-Ао + Х)Е£ЛтЛАи- (0-5) г=О j=1

Аод = Ф1(0) (V), (0.6) а асимптотика соответствующей собственной функции в норме имеет вид

00 00 ф%х) = ф0(х) + XiE^^W' хеП\{х:\х\<е^2}, (0.7) о j=1

00 оо 2s1/2, (0.8) i=0 j=0 где

P(i,j) = i + (2-a)j, {V) = J V(t)dt.

R3

Доказательство теоремы 0.2 проводится в несколько этапов. Вначале методом согласования асимптотических разложений (на формальном уровне) строится первый член теории возмущений собственного значения краевой задачи (0.4). Одновременно с этим строятся первые члены рядов (0.7), (0.8). Коэффициенты ряда (0.7) являются сингулярными решениями краевых задач в ограниченной области, не содержащих малый параметр е, а коэффициенты ряда (0.8) являются растущими на бесконечности решениями уравнений Пуассона, рассматриваемых во всем пространстве К3. Решения этих краевых задач и уравнений имеют произвол, который определяется в результате согласования асимптотических разложений рядов (0.7), (0.8). Далее показывается, что формально построенные частичные суммы асимптотических разложений собственных элементов удовлетворяют рассматриваемой возмущенной задаче с точностью до невязок малого порядка. Затем построенные асимптотические разложения строго обосновываются. Последнее означает вывод оценки разности между истинными собственными значениями и построенными асимптотическими рядами, а также оценки разности между соответствующими собственными функциями и построенными асимптотическими разложениями.

Во третьей, заключительной главе строятся асимптотики собственных значений для рассматриваемого в настоящей работе возмущенного оператора Шредингера в случае пространства произвольной размерности.

В первом параграфе третьей главы рассматривается случай пространства размерности п > 2.

Постановка задач следующая. Пусть П - связная ограниченная область в R™, п > 2 с бесконечно дифференцируемой границей Г, Ао - простое собственное значение краевой задачи (0.3), а фо - соответствующая нормированная в собственная функция, V £ Co°(Rn), 0 < е 1 малый параметр,

Предполагается, что П содержит начало координат.

Целью первого параграфа является доказательство следующего утверждения.

Теорема 0.3. Пусть а < 1 - произвольное фиксированное число. Асимптотика собственного значения Xе краевой задачи (0.4), сходящегося к Ао при е —» 0; имеет вид

В конце параграфа будет также приведено представление для соответствующей собственной функции ф£.

Как видно из условия теоремы 0.3, на параметр а наложены более слабые ограничения в отличие от условия, наложенного на а в главе 1 (а < 2). Данное ослабление позволяет построить и строго обосновать первые члены асимптотик собственных значений в случае пространства размерности п, не привлекая при этом метод согласования асимптотических разложений. Для построения асимптотик собственных значений используется регулярная теория возмущений.

Во втором параграфе третьей главы строится и строго обосновывается асимптотика собственного значения возмущенного оператора Шрединге-ра в одномерном случае. Постановка задачи следующая. Рассматривается возмущенная краевая задача на собственные значения

А£ = Ао+£п-а ("00(0) (V) + о(1)) .

0.9)

0.10) фЦО) = ф£{ 1) = 0, где xq - произвольная фиксированная точка из интервала (0,1).

Основной результат этого параграфа формулируется в виде следующего утверждения.

Теорема 0.4. Собственное значение Xе краевой задачи (0.10), сходяще-6С.Я тс собственному значению Ао краевой задачи х 6 (0,1), ((ш)

00 (0) = = о. имеет асимптотику

Ае = Ao + eAi + 0(£3/2), (0.12)

Х1 = ф20(х0) {V). (0.13)

Кроме того, в данном параграфе будет построена и строго обоснована асимптотика собственных функций. Соответствующее утверждение будет сформулировано и доказано в конце параграфа. Построение асимптотик, как и во второй главе проведено методом согласования асимптотических разложений.

В дальнейшем для удобства чтения формулы, а также формулировки лемм и теорем, приведенные во введении, будут повторяться в тексте диссертации с сохранением нумерации.

Результаты первой и второй главы диссертации опубликованы в статье

И].

Результаты первого параграфа третьей главы опубликованы в работе [5]. В данной совместной работе Гадылынину Р. Р. принадлежит постановка задачи, а также лемма 3.1.

Результаты второго параграфа третьей главы опубликованы в совместной статье [3]. В этой работе Борисову Д.И. принадлежит обработка изложения текста статьи и литературный обзор.

Автор выражает самую искреннюю благодарность своему научному руководителю д. ф.-м.н., профессору Гадыльшину Рустему Рашитовичу за постановку задач, внимание и помощь на протяжении всей работы над диссертацией.

Автор благодарен к.ф.-м.н., доценту кафедры математического анализа БГПУ им. М. Акмуллы Борисову Денису Ивановичу за многократные обсуждения результатов и ценные замечания.

1. Бабич В. М., Кирпичникова Н. Я. Метод пограничного слоя. Л.: Изд-во ЛГУ, 1974. - 125 с.

2. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984 г. 352 с.

3. Бикметов А. Р., Борисов Д. И. О дискретном спектре оператора Шре-дингера с узкой потенциальной ямой // ТМФ. 2005. - Т. 145. № 3. - С. 373-385.

4. Бикметов А. Р. Асимптотики собственных элементов краевых задач оператора Шредингера с большим потенциалом, локализованным на малом множестве // ЖВМиМФ. 2006. Т. 79. № 4. - С. 666-681.

5. Бикметов А. Р. , Гадылыпин Р. Р. . О спектре оператора Шредингера с растущим потенциалом, локализованным на сжимающемся множестве // Матем. заметки. 2006. - Т. 79. №5. - С. 787-790.

6. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. - 503 с.

7. Борисов Д. И. Асимптотики и оценки собственных элементов Лапласиана с частой непериодической сменой граничных условий // Изв. РАН. Сер. матем. 2003. - Т. 67. №. 6. - С. 23-70

8. Борисов Д. И. Дискретный спектр пары несимметричных волноводов, соединенных окном // Матем. сб. 2006. - Т. 197. № 4. - С. 3-32.

9. Борисов Д. И., Гадыльшин Р. Р. О спектре дифференциального оператора на оси с быстро осциллирующими коэффициентами // Матем. сб. 2007. - Т. 198. № 8. - С. 3-34.

10. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. // УМН. 1957. - Т. 12. № 5. - С.3-122.

11. Гадыльшин Р. Р. Асимптотика собственного значения сингулярно возмущенной эллиптической задачи с малым параметром в граничном условии. // Дифф. уравнения. 1986. - Т. 22. № 4 - С. 640-652.

12. Гадыльшин Р. Р. Спектр эллиптических краевых задач при сингулярном возмущении граничных условий: Сб. науч. тр. "Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений". Уфа: БНЦ УрО АН СССР 1988. - С. 3-15.

13. Гадыльшин Р. Р. О собственных частотах тел с тонкими отростками. I. Сходимость и оценки // Матем. заметки. 1993. - Т. 54. № 6. - С. 10-21.

14. Гадыльшин Р. Р., Ильин А. М. Асимптотика собственных значений задачи Дирихле в области с узкой щелью // Матем. сб. 1998. - Т. 189. № 4. - С. 25-48.

15. Гадыльшин Р. Р. Системы резонаторов // Изв. РАН. Сер. матем. -2000. Т. 64. № 3. - С. 51-96.

16. Гадыльшин Р. Р. О модельном аналоге резонатора Гельмгольца в усреднении // Труды МИРАН. 2002. - Т. 236. - С. 79-86.

17. Гадыльшин Р. Р. Об аналогах резонатора Гельмгольца в теории усреднения // Матем. сб. 2002. - Т. 193. № 11. - С. 43-70.

18. Гадыльшин Р. Р. Метод согласования асимптотических разложений в сингулярно возмущенной краевой задаче для оператора Лапласа // Итоги науки и техники. Совр. матем. и ее прилож. Тематические обзоры. 2003. - Т. 5. - С 3-32.

19. Гадыльшин Р. Р. О локальных возмущениях оператора Шрёдингера на оси // ТМФ. 2002. - Т. 132. - С. 97-104.

20. Гадыльшин Р. Р. О локальных возмущениях оператора Шрёдингера на плоскости // ТМФ. 2004. - Т. 138. - С. 41-54

21. Головатый Ю. Д. Спектральная задача Неймана для оператора Лапласа с сингулярно возмущенной плотностью. // УМН. 1990. - Т. 45, № 4. - С. 147-148.

22. Головатый Ю. Д. Спектральные свойства колебательных систем с присоединенными массами: эффект локальных колебаний. // Тр. Моск. матем. о-ва. 1992. - Ж 54. - С. 29-72.

23. Головатий Ю. Д., Головач И. А. // BicH. Льв1в. ун-ту, сер. мех.-матем. 1997. - Вып. 48. - С. 88-99

24. Головатый Ю. Д., Назаров С. А., Олейник О. А., Соболева Т. С. О собственных колебаниях струны с присоединенной массой // Сиб. мат. журнал. 1998. - Т.29. №5. - С.71-91.

25. Днестровский Ю. Н. Об изменении собственных чисел при изменении границы областей. // Вестник Моск. ун-та. Сер. I. Математика, механика. 1964. - № 9. - С. 61-74.

26. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Физматлит, 1993. 462 с.

27. Ильин А. М. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. I. Двумерный случай // Матем. сб. 1976. - Т. 99. № 4. - С. 514-537.

28. Ильин А. М. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. II. Область с малым отверстием // Матем. сб. 1977. - Т. 103. № 2. - С. 265-284.

29. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 336 с.

30. Калякин JI. А. Построение асимптотики решения одной задачи МГД с малым параметром. I. Прямолинейное течение в прямоугольном канале. Сверхпроводящая стенка, перпендикулярная магнитному полю. // Дифф. уравнения. 1979. - Т. 15. № 4. - С. 668-680.

31. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. -740 с.

32. Козлов С. М., Пятницкий A. JI. Усреднение на фоне исчезающей вязкости // Матем. сб. 1990. - Т. 181. № 6. - С. 813-832.

33. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. Издание четвертое. М.: Наука, 1976. 543 с.

34. Кондратьев В. А., Олейник О. А. Краевые задачи для системы теории упругости в неограниченных областях. Неравенства Корна // УМН. 1988. - Т. 43. № 5. - С 55-98.

35. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 749 с.

36. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.

37. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1974. 768 с.

38. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области. Тбилиси: Изд-во Тбилисского университета, 1981. 207 с.

39. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотические разложения собственных чисел краевых задач в областях с малыми отверстиями. // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1984. - Т. 48. № 2. - С. 347-371.

40. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. 391 с.

41. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. М.: Наука, 1991. 335 с.

42. Новокшенов В. Ю. Асимптотика решения одного эллиптического уравнения с разрывными граничными условиями. // Дифф. уравнения. 1976. - Т. 12. № 10. - С. 625-637.

43. Олейник О. А. О спектрах некоторых сингулярно возмущенных операторов // УМН. 1987. - Т.42. Вып. 3. - С. 221-222.

44. Олейник О. А. О собственных колебаниях тел с концентрированными массами. В кн. Современные проблемы прикладной математики и математической физики. М.: Наука, 1988. С. 101-128.

45. Олейник О. А. О частотах собственных колебаний тел с концентрированными массами. В кн. Функиональные и численные методы математической физики. Киев: Наукова думка, 1988. С. 165-171.

46. Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд-во МГУ, 1990.- 311 с.

47. Олейник О. А., Шамаев А. С. Об усреднении решений краевой задачи для уравнения Лапласа в частично перфорированной области с условиями Дирихле на границе полостей // Доклады АН. 1994. -Т. 337. № 2. - С. 168-171.

48. Планида М. Ю. О сходимости решений сингулярно возмущенных краевых задач для Лапласиана // Матем. заметки. 2002. - Т. 71. Вып. 6. - С. 867-877.

49. Самарский А. А. О влиянии закрепления на собственные частоты замкнутых объемов. // ДАН СССР. 1948. - Т. 63. № 6. - С. 631-634.

50. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984. 472 с.

51. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 334 с.

52. Соболев С. Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщённых функций. М: Наука, 1989. 254 с.

53. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. Издание третье. М.: Наука, 1966. 742 с.

54. Черданцев М. И. Асимптотика собственного значения оператора Лапласа в области с сингулярно возмущенной границей // Матем. заметки. 2005. - Т. 78. №2. - С. 299-307

55. Чечкин Г. А. Усреднение краевых задач с сингулярным возмущением граничных условий // Матем. сб. 1993. - Т. 184. № 6. - С. 99-150.

56. Чечкин Г. А. Полное асимптотическое разложение решения краевой задачи с быстро меняющимися граничными условиями в слое // УМН. 1993. - Т. 48. № 4. - С. 218-219.

57. Bentosela F., Cavalcanti R. М., Exner P., Zagrebnov V. A. Anomalous electron trapping by localized magnetic fields. // J. Phys. A. 1999. -V. 32. No. 16. - P. 3029-3039.

58. Borisov D., Exner P., Gadyl'shin R., Krejcirik D. Bound states in weakly deformed strips and layers // Ann. H. Pome are. 2001. - V. 2 No 3. -P. 553-572.

59. Bulla W., Gesztesy F., Renger W., Simon B. Weakly coupled bound states in quantum waveguides // Proc. Amer. Math. Soc. 1997. - No 127. - P. 1487-1495.

60. Duclos P., Exner P. Curvature-induced bound states in quantum waveguides in two and three dimensions// Rev. Math. Phys. 1995. - V. 7. No 1. - P. 73-102.

61. Exner P., Vugalter S. A. Bound states in a locally deformed waveguide: the critical case // Lett. Math. Phys. -1997. V. 39. No 1. - P. 59-68.

62. Golovatyj Yu. D. Proc. of Int. conf. "Nonlinear partial differential equations" Kiev, August 26-30. IX. 1997. - P. 62.

63. Gadyl'shin R. R. On an analog of the Helmholtz resonator in the averaging theory // C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. I, Math. 1999. - t. 329. No 12. - P. 1121-1126.

64. Gadyl'shin R. R. On regular and singular perturbations of acoustic and quantum waveguides // C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. I, Math. 2004. -t. 332. No 8. -P. 647-652.

65. Gomez D., Lobo M., Perez E. On the eigenfunctions associated with the high frequencies in systems with a concentrated mass // J. Math. Pures Appl. 1999. -V. 78. No 8. - P. 841-865.

66. Klaus M. On the bound state of Schrodinger operators in one dimension // Ann. Phys. 1977. - V. 108. - P. 288-300.

67. Klaus M., Simon B. Coupling constant thresholds in nonrelativistic quantum mechanics. I. Short-range two-body case // Ann. Phys. 1980. -V. 130.-P. 251-281.

68. Leal C., Sanchez-Hubert J. Perturbation of the eigenvalues of a membrane with a concentrated mass. Quart. Appl. Math. XLVII, 1989. No.l , P. 93-103.

69. Lobo M. and Perez E. Vibrations of a membrane with many concentrated masses near the boundary // Math. Models Methods Appl. Sci.Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. 1995. - V. 5. No 5. - P. 565-585.

70. Oleinik О. A. Homogenization problems in elasticity. Spectrum of singulary pertubed operators. // In: Non classical continuum mechanics., 1987. - Lecture Notes Series. 122, - Cambridge University Press. - p. 188-205.

71. Oleinik 0. A., Sanchez-Hubert J., Yosifian G. A. On vibrations of a membrane with concentrated masses // Bull. Sc. math. Ser. 2. 1991. -V. 115. - P. 1-27.

72. Oleinik 0. A., Shamaev A. S., Yosifian G. A. Mathematical Problems in Elasticity and Homogenazation. Nort-Holland: Amsterdam, 1992.

73. Ozawa Sh. Singular Hadamard's variation of domains and eigenvalues of Laplacian. // Proc. Jap. Acad. 1980. - V. A 56. - P. 351-357.

74. Ozawa Sh. Spectra of domains with small spherical Neumann boundary // J. Fac. Sci., Univ. Tokyo. 1983. - Sect. I A 30. - P. 259-277.

75. Sanchez-Palecia E. Perturbation of eigenvalues in thermoelasticity and vibration of system with concentrated masses. // In: Trends and Application of pure Math, to Mechanics. Lecture notes in Phisics, 195, Berlin: Springer Verlag. 1984, p. 346-368.

76. Sanchez-Hubert J. Perturbation des valeurs propres pour des systems avec masse concentee// C.R. Acad. Sci. Paris Ser. II 1989. - V. 309. -P. 507-510.

77. Sanchez-Hubert J., Sanchez-Palecia E. Vibration and Coupling of Continuos Systems. Asymptotic Methods. Springer: Heidelberg, 1989.

78. Simon B. The bound state of weakly coupled Schrodinger operators in one and two dimensions // Ann. Phys. 1976. - V. 97. - P. 279-288.

79. Suleimanov В. I. On asymptotics of regular solutions for a special kind of Painleve V equation // Lecture Notes in mathematics. 1986. - V.1193. - P.230-260.

80. Swanson C. A. Asymptotic variontional formulae for eigenvalues. // Canad. Math. Bull. 1963. - V. 6. No 1. - P. 15-25.