Асимптотические решения квазилинейных параболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

о АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ •чс ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

ч

на прг"»и.ч рукописи

МАГЕРРАМОВ МУСА АЛИ оглы

УДК 517.9

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕ'ШЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02,- Дкфферешпилыам у*>г?ис;ет

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на со^скшнге ученой сггпгвд каидяадта фмзжо-ь'отгиатнчссхга наук

Ег'у - !595

Рс.бгта выполнена ка кафс/Ч?* прикладной математики Ьакмнского Гссударстесн;¡ого Университета им. М.Э.Расулззде.

Научный консультант: академик АН АггрбаЯджзнской Республики Ф.Г.Максулоз.

Официальные онпонскты: доктор физико-математических наук, профессор Мамедоз Ю.А.

(БГУ им М.Э.Расулзазе)

доктор физико-математических нзук Леонов К.Я. '

.(ИММ АН Ааербаіілхансксй Респу<ш«іси)

Оглушая организация - Азербайджанский Технический Университет

ем

Зйі-аяа сосп/іггся "/£" 1995 года в ^ часоз ка заседать

еяеиихтизирозгииого соом-.ч Н.004.01.Оі ИММ АН Азербайджан с;;у:> республики по адресу :г. Баку. ГСП -602. ул Ф.Агасга. 55.1-ий ке-іїтійл.

даи.2,

С диссертацией можно о інлкомигьсн п библиотеке ИММ АН

Г рОі» і »„’.»'••¿¿і * С пО>і І’Сч Т» І-ФЛИІІг.,

АгівріС-;?« рзісолаї! _ !‘)95 юлл.

05ЩАЗ ХДГДКГ&ПГСТНКЛ' РАБОТЫ

ai, Матжгашк»? щедаяиромние целого ряда

фкз“*а-з2Г.21теч«та, ïs^îaKsæîWKi« и биологачесмзя процессов оск?з»\» «а Еугет^г.^г-.чая хгзгштнейных параболических уравнений B'tas

e4r ’ « 2{Ч > и*’ ПК{и)Чи)~ еШх,1), Ф{и)Уи) - г(х, г)Fi и) =■ О,

ot ' (>)

дт elï'V е|0,Г].

где f « 1 - ъши& параметр. ©yirracsa X(x,t) ,y(x,t),S(x,t) nrpsan роль созздшжй c|:ri£.u, изджекно игклюшихся ao притчs » в rpoçTpaiiÇTEî. Особый' интерес представляет исследование щ;р«здс^да&гоея п&рсбсшгсесхего дазнгшя (Х(0) = 0). Иэжспю, что s а~«з случае r.weer нясго зф^гкт лзкг^нзаик;:. Таким образом, уравкскиг (I) спйсиьгет гпзл;оцн!о так гшшекыг лсрздпясвгннш структур, г.-:лр,"чд.;;;ц:о:ся no2css-:ecTsc or ялгт:.чл до модсттроэгжия роста

бискмнчгсхзв п-эпуяяь'гггг. Tamazs игтоды teccaeisossæis дарнгквй c:iaa il) рлз;;к:Ы кмоэт::то'гко ï! г-е удс^лстизрлот р?.стуи;!-:ч потребностям в коследовам-;: -упк ург^пеп:;:Л. Ces ïr-.i делае-: н"г,3'гоя;;»4и'Л бачег omt-oxoe копояьз?езг-:.”.г гелмгтгтеп^"::" л }х:<?ат.сиг.их i-.rcv.-oa .\'.с^гг.о£,г.Г:ГЛ rizr.zZ’.ibzx ;ргг>-г;г:;й.

г'“p-'î""-; г'-атп'гельм •:мо и?; езу^:; (з) каи'жхтм:;*'. airrztrvjm,

yurwîitoœtv' Kv.azariz ези л е.?;5.г :::;::c"'cwik коазгстипкые дежх'.ьия.’ t-îïiiKHO гастр^;[-::а-о "s.".ге.чнГ; гюлобниг.

>ргпл.«:1 н пдслг,;::4к; : •? л;>г.:;' .ihr;. , r . ^ ^

:ic;;^nTCT5-;4STCu;îi -¿шен'.'.я 0). гул-ж;.; мсто”:<кз

¡;-;^рос;;н ost'c'^üia ка î:c,"î ';î:,â'ï-'; î :/лх'.-.г. М'.слог.а З.П., Лзнмлсез З.Г., Н-г.;;;-'-,о:.'~. 1--..Л., г.:::сг r >zrv,

нахолсдск^и "î:;';:rioï;:45CK!::i .:;:ï '~:г:сз (Ï). ,

Нгл:»-.; г-:-у-~к-<тг'"п " г-бог« лсглйлс:;::;^

3vçc;v,n;.i':;,^c" jxc'VKr.r: ^vr,

г.т'„пк!ч.'.;э<дке :х;;астст;'^!-:'~.': слйгоеилс ^î,C-(!<)V»V

iv.cu viiv.ifjacrcr, ;;а:; случк; iî:u,îi:;îî ¡.сгечя^:.:;: с ::г*;г-п:;:-;:нм

(/•(O' =- F(i) = 0, /'(•.'>> О,:- s{0,’)>. ” ыучг": го

cr;Jy--Jdvj.-\->y-K:i'.iKnizsi п;'-[ j- KCïJjii'îîMi'xiiiî-r:::. П::гг;“а"'

îom "c:!:,j;ivan:!:?c:i:re pïmcisn.-:; ':*?;!-лгг"Пг"г>

y,ici!j:ocrp'iUc:;rf .;.'T;’ïarc pû3j,i:::,î (ф.-'кга "'-irvn);

î,кьнаеки;-^ :'л скспосгь ;чг:г'"-,.у.^,:".^сй ’’ :*”С/ c:v-0

•icîifîiir'ji'ï^ïscvcrG rî

j,:iîo;-. WiOfC,-: rî' го^Л'-'ста y;-z'zr.rr.:-i, î:~:r

L!ViPj:ci;;-. с г; ”. т'-'-гг,,''■•;•, т;.'1л;'-:~;'пг.Г: ¡.Г-';::;:''': '.'!■ -!.Гг,,

Дйкиясзьгм В.Г., Волоеозьщ К.А, для частного случая уравнения без конвективного члгна. Кроме того, а случае ураамения со стабилизирующимися коэффициентами установлена связь явления локализации со сходным явлением, имеющим ¡место для предельного линейного параболтеского уравнения^ Приводится алгоритм, йозаа'юзешдай на основе найденных асиштготичссхих решений численно последовать эаолхщию о£ио~ и многомерных волноаьте фронтов.

Црактическак ценность.' Полученные теоретические результаты хорошо согласуются с результатами численных расчетов и могут быть применены при математическом моделировании процессов тепломассоггеренсса, учитывающем наличие конвекции.

Аггообаци?» работт-;. Результаты работы неоднократно доклады вались на научных семинар« БГУ, ЙММ, АзТУ, а таюке на конференция?:: XI республиканской конференции молодых ученых по математик? и мехашгкс, Баку, 1994; 34Йї Сотепііоп оГ Ше Ідаігшіок о!' Епетесге РэШап, МесЬзяісзІ 5*міои, /фгії 24-29, 1993; конференции,

посвящгнтой 75-лстию БГУ, Баку, 1934.

ШблАУмгми. По теме диссертационной работы опуйлмеовано 6 статей, епкеок которых приводится с г.ахг автореферата.

Объсу саботн. Диссертационная работа содержит 97 страниц, И ищиосхргцпй, библиографию из 35 названий. ‘

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Раост» ссвтада .ью звдоим, дзух гада и трех пркхояотий. Пдаеп; сквэзная нум:-.;»:ы параграфов. . ■

Шг&А. '

а*.

В первом параграфе яереой главы построены точные рсьшюя тип;

беїуїІІЙХ БОЛН УрМШОКИ .

ди . 5 ,

£— - ~ -г--г£{м —•--/•<«/=•0. (11)

с-| ¿х ^ ах. } сіх

?(!*) = и10(и); р, ф, С е С® (10,1]); к > 1,д > 0;

Г{0) - f(i) - 0, Р(и) > 0, 0 < к < і, *7(0) * 0,р(и) > О./'Ч!) < 0,

г- г«1 - малый параметр, причем требует«» зьгпеяненм; усло&;<

к

непрерывности ногока р{и)-~. При построен»!»! точны:« решглш можно положил. г - I. Вьедсм обозначение с(и) « £<&(*)<**.

Тетртст 1.

Пусть в ; равняй»! О Л) F(u) > 0, и е (0,1). Тогда

1)если к g > 2 до при кккэгагняи услозия

Э| s (0Л):Ф(4) > е>'(0)£ = ф;0)^ (1.2)

сугяесж* .'ст регасгше тивь 6sry»íí¡; ттепк

u(xj)^}<x ±Ы),

yf-ro) = 0,£(+зэ) - 1, ' ’ -

где X - ?.'гсгз.да-:глт фунзазя^ Ь » Зїсксггорог однозначно дпредежйно* «sxsso*. ш кждого. £П££зет?г»$о кфзвшсгкот

¿a+ кия Ф(п) £ £ + max Ф(и),Л > 0(0), 0*4)

& #о - тдоглхз&е*. З^іьдЬггг’д 5*^к*к?:я • • -

~ $ Т г»/* \ „ л<

. • £j“T' - ~ГТ "г M-¿)> - </» -

• • âf âx' (1.5)

• _ Щ.х) ~ kpizll:ІЛР(х)-

П>: вїшсмшєкз! уеадазкя •

' - 3f e(ô,!>:©(|)<ô’(0K=e{^' (l.¿)

сущег-геуггг решекпе вада

£(-<») * 0,а<+оо)в I,

гряэтгш *- мсживзкзя фугшгкя ш

Ьо ~ тзх®(и) ¿ in £ & ~ min©(«),& > -ЇЦ0Х (!.4’>

0<«<!

где ¿о - константа Зел&дошча урмжжм (1.5) ■

2)sa-îM k + q = 2, R’(0) 2 R'(u), a s [0,1], то ддя яісЛет M>

удозл створяющих усяозиям Ьь.Л,Ь, ¿A,, гас А,А, •* вдзсотор&е постоянны*, удсплетваряївшие неравенствам

+ пмпФ{н)£ Л < Ьа + тахФ(н), -гпахФ(я)£Л,54) - пняФ(й),

существуют решения типа (1.3) и (1.3') соотвссгаенно. Справедливы оценки:

с(к - 1) 1*'* п

—--------г! при г-> 0,

г<гГ •]

/(г) = 1 ~0(ехр(-1т)) при г -+ СО,

(1-6)

/ =

1

кр( 1)

|(6~Ф^)) - ^(Д)

2 \ 4 <1х

>0,

. ь-

где с = 6- <9(0) и случ^« к+ц>2 и с = — случае к+чд—2 для решений типа (1.3), и

ф(0) - 1|(с-Ф(0))! -4Я'(0)

■ 0 в

Л г)'

с,(А: - I) ]*•>

по:-! г 0;

до)*

,у( г) - ! - 0(ехр(~ /, г)) при г ->•

(1.6')

_2_ .«:Д I)

А^ФП) /{*1 + <*<!>) а'Я

гк

•0,

>0 в случа*: к>о=2 хт?; ргшенм»! - - *' . " га» <(.3‘).Рт«им (1.3) »у.т/т ло'здяимпамнымн стена. а (3') - скраьз.

□ '

8-5 втором параграфе и» основе полученных. р.шсс ТОЧНЫХ рСШСНН!-построена асимлтопрмскм? по >. риигыш .равнения (1.!).

Тса'кка 2. Иусп. (кскоигчио ¿¡«ффсргндорусмые ф>нк1г.>н

0 5 ъ. !, 0 ^ Ь\{ х,г) ■ I та кис. что '

{/, <*,*) =

1, а ~ х + btt <. А О., а - xv bj > Л + S, а > О,

пг- v.,,.4, $> Р .MixowvjSfj* .:!‘>7Х!?ад|)нс,^ -i-л>< a i\ А, - схор-тсг» вопя {' 3) i’ {13') соот’тгг».»*;*?. Тсгд* да? .•"к-Sero #-»0 Фунтаи!

и(*./,t) = Ü,(*,f)¿j*1" j * j - v,{x>t) Jü,(x,t)Xí+1 .Vt(x,/)J

являйся зсттсгшч&яст ршт?т yppxveiim (1.1) точной'?? C(ífí) .0

Гл^м II. .

§3. ... ■ . . ' . ...

Во. второй ГЛЗ?« расСМатр.’ВгЮ'УСЯ 'ЗОЗМущеггн*«” урзякения, оижыва’.эщке яеоднорошш? среды. • В гкрк-й чеЬт третьего пгрягрсфа строятся гсимптотачссхяе решения ур.-кнекш . •

cft-е2М*хМч)$~*^,1)*к)%:Ах,г)Ни)=°: ил)

. ' -ч хеК,Ге[0,Г.], ■- -

где . • ■ •’ ■; . .

e«l;X,S,yaC’‘lO<ci<A,&у<с2, c¡,c-¡ ac:nsíi R(ii)>Q,u>0;

К еГ(0,1]пф,|];' К (и) ” ^0, ¿Га,<г>-0; (3.2)

Ф е <Г [OJ]; F a C^QJ]; Fío) = ДО = 0, ."(:•) > 0,0 < и < 1, Р(1) < О,

здовдетагусзгкгге уататг.гз '

a(-'í>»í> - Ov K(+c5,f>*l,

l(x,t)K-* £' г""! г: -» G, м !. '• '3~^

ex

' * »4

Следуя методу Каелвка 8-Я-. Дедаяога 0.Г., Бадорс?з КА, будил иска» асимшошч«о»8 рззяиаз тотасста о(^”’) а • '

u(x,í,s) - r0(iíí^,*,í}*

Wt(r,x,t) >С Вря г>0, ЙГД*,*,<Ь сС*"*" 1К((т,х,0 = е кркт<0,

■Л Ï

Ь^/а^у, <..., в = -,

С

№ ' $'кх,0 = /?(<)(* + ФИ)) + Д,«)(* + *КО>2+-+&(*)(* + iHOr1-

При построении асимптотических решений вида (3.4) уравнения (3.!), в отлич¡ие от случая уравнения без конвективного члена, не удается избавиться от зависимости от t функции Е^(г,0-'’Одайао ярожюодкая

сказывается зхспошжцшлшо убывающей при r-»œ, чтз дает ët ^ '

' равномерность оцегкм по р. фумхшк Wt далучзктпг как регазкш:

некоторых сбыкиазсгашл дифференциальных урагкгиий. Дяа фугсс:."7;

ç!(t) (коо&дигшы слабого расру..:-.? реглгнжя) ж получаем след^тсп-.'*

ypS2HCîiiî£; '

^ ■= 4т^^ггт]^' ф'f)Д(': 0 ’

#(0) = #3t . .. ■ где, в стличке от случая ypasiKr.sa tes кекккци', b - -К1хета{ся фузкцяя, а ис пееггааикгя, причём такая, чт« при лкзбем зпсчсиик х разрешима следующая задача ■ ■ _

K{W)]-x®{W)~~-HîP)*0, (3.5)

ог £’г\ ах ) . ох ■

5/(0, ¿г) = 0, W(+*>,Z) = l, —->0,г>0. (3 0

с г . '

где FиФ - функшш, удвымтооряющи* условием теорема V. Задачо (3.5), (З.б) »кшёалвигса крз.стай зада-да для уравнения первого псрлд;;а

j- -- Hz) - z®W ~ .

¿к .V (3.7)

ДО) = .vil)* О,

ГД* л(«> - AU:) F {'./), нрцчеч решения гтих задач сиязакь; соотношек»: V.: ■ ^

f i^Llîi -

J У(и) = Г о .

Ел оепэзз яесжуговагш: звдггг (3.7) жозсага», что ¿($) - HSiiptpHSKo до^ффэао'доз'зб ¡фучиия, прггсгм еткиедтага ферму«*

¿’(v) -- у {v..-¿У ■ .-дада (3.7). ■'Г'срмута (3.3) используется гсиг

пун floyc^sT^rayrTi '’г^ректгссг.ї плстроснш %OT*im«meesrara

реш.*иия. ТИХ se ТО'.г Г5СГЛедаЗМГ-ЯЗ МСС:їГ>їГЙХ yp"!?4í3í'tí.

їєгдяжа 3. •

Рлилїггсга’.'^оїі.«7- шутд [ЗА). (Ні,(¿-.З) <?\ц;'лпугт,

причем Фуг*гада; V/ç. аз&гя&іяжя урягчжйи

О L ■> J O LO

Í3.p>

а(0=-гііЬМ

/Я-а »)/<-'<£*>’

функции R.&fe) wçeîWfMî» ийм э свягн с гадач»й (3.S), (3.6), г

фунтика FK, (»-,*) и Д(ї) име?эт го?з ,

/(r,o - ад ffj^r- -(<й(»«-да.ч >

_^Zlzj'Cíliíl L/(fj/) + -

¿X. ДО ' (t/ ¿?r

-( № ^Æbû + 2Ä (í ) Д(- ¿(0, tiW/„) ^,

1 dß , й. äj . ¿?7 1 , r ^

■-^-rh+ß—Л +-^~^з + rr~zli - h + Д-Г-Л . £<*/ Лг ‘ Ä Лс£ 5 ‘ • äx *)

(3.Ï4)

в формуле (3.13) в качестве нлжкего пргдааа можно азяггь лю&зї zo:íi4Koe палохсительког числа, a для í,(t),...,/6(í> cnpaccæuïuii

CC'JWOiiieíüM

i ¿?r

/,(D- j ---------------.dг, (ЗЛ5)

0

*їт1?| ^rñWí)^ +*^€»4.

'•<”■ !—,V-"Ä '■!'>■] —ЙГ1-* MO- ] ЛіГ-Л-

о о

тк‘ гда'хнг "■/.г.-гн третьего изолгряфа меток, пгяолт:-о<з?ииг|3 з яер?о:'! гг::сти., поп'рз?'5Г5:з лекаятовтшх дагсгст« гееккх

реиенчй р;г*>.те.'.^риоге авллого ууазкешк (3.1):

е-~ ~ /(?,Л{х,()К(и)У14) - еЩх,1),0(и)Чи) - г(х./)Г(и) = 0, ^

х ей"',/ г [О,Г],

¿'(•".О - гладкая кетоп-фушешч!, х вШ*,яг~2,3. Ищутся решения вида (3.4), да

5(х,<) = ю(х)(* + ¿(х» + щ(х}(( + 'Лх))г+...+ ^,<х)(г + «К*))”1.

ТвТГЛУТ! 4.

Сугеегзуег .тпхй.'У’зоезшю-; -'с:".'.и'Г07!;,;е£кес решени; тсгкос-Я! £?(г) ;т'1Р.'.егггсг <ЗЛ5), хдаорлй уводотеедолт уйяогию кепргрйшностл пошка н спргдадясгся совтэпэдглип

л,.-^,-йк4т-^^гЙ_

?4„ = О»

;И2.

<ЗЛ7)

С'(*> = Ь

и-Чх,~ф)у(х,-Щ\Гс{

У(х,-Ф)> (3.13)

ГР'0(г,.-е) =« №1 1 (3.19)

»_ ^Л(х,-ф)г(х,~фЦЩ) Х }

где. функция 5^<г,дЛ. Ь(^г) те ;хе, что 51 2 тгогеле 3, а Гв - глайкгя ш-! -:мрг;-л.ч аоое^хкзчть, определртощйл кеяеакние фрскта в«шш (то есть границу иосгпгел*! решения) с па'талышй момгот. Ргенрестрзкгкие сязбогв разрыва решенго: (фроота водим) опрггеяяатся урезнеик&м Ь = {*1й-т> = ~?}. где ^(х) - решение уравиеш«! <3.17).0

€4.

:3 четвертак паргграфо результат препыаущего параграфа ;;й!«окс1рярух№ся !га примере модельного уразкешм (ЗЛ7) ' с ■

:Ли) --• ки'1, Ф(ы) == ит, Р(и) ~ и{{- и*~1}. В частности, аохаз'лнз- форлП'па

и

где В - бакі-фі’шк?® З&жуи. Похазапо, как s шмщ» згай фщм$ш каю» гркЗадаянздо pmrai, заделу (3.17) при. шш 5.

Is- ‘

Є шхсае с,-р-аграфа р&ссдохркваєж жвазгшшг&ивс sa^caasawí&swa шрдСй/йїїг-ск«1 ур&шяте с іакшектоккам слагадодо

6£ї*.. „ 2(х, 0£ (K)Va) - ¿-(¿{ж,?/, 4>(ií)Vm) = ü,

(SJ)

' • X єЕ°,( e{0»rj,

rg«

і?Хи)>0 гфіі«>0, if (и) ~ и ", t¡ -> 0, <x> 0; ■ .

ХГ£2И U ■gj іл (u) і -і—-K..9 /Г Є C^ÍOj'+co), ■

‘ . « 1 кn '

5 < n < - ■ '(5.2)

ГфіЯ К S3 Фін) = î f

JL+JL. +.::., #6C*ÎS,t»V

-И 1 » * . ■ ■ ■ .

■ і < er, < «J .<-..,

функции Л(х,0»£ <S*4jc»í> ббсюаитеко дЕффгрвв®ї|»у&тїе а

огракячсщше, X(xj}> шш »G. К» обычно, іребугм віошіш усилия кгаг>ч»аяостк а&тока JT(«)V« -* Û » и ~s> 6. Из- ycsssstíí (5,2) сзздует, что уразмїнкс (5-і) ткр-гхойкт ïçjss а —¡> се в ерївагако© йшмйїім шраболіїчкскос уравкаша • .

- « 2{V,¿{x,t)Vu) - s(S(x,1),Vu) = 0. В.З)

• <7Í

Для (S.I) стрется шттаїтеш&ь решения, ддя кеторик ¿и - о(с А')м, ree L - опграшр из левой чшуш (5.1). АетшгЕШЕчеакис решения ищутся

В ЕЗЩе ■ .

u(x,t,s) = W^r,x,í) + еЩ(т,х,/)+..., г=£ІЬЬі1, її^ = 0 нрн fáO,

п

V!

í->

S ? « S

г**

î §

*** f\ Jjf"\ *•?

P Si ™ a ¿л с

Ir > _* ез W V

<j ;•-' >*• r**> if *л

,• г* ’ ■» *í,4 p ч., O. A <*->

^ 4. ' i¡ ft fc: * iï •

... - “ í ü /-С а й ■<*

° *t О К O rj >£ Ç с*

,. s* _„ '•* ï.' . и _j Г> {.;• çjs

''V' -- P 1 m « **î t? н £-»

с <э ь t; s ^ ;? E g Й ,

U f4 м S.* ’■' «**< ^ is Г

Н Д S S, X \ ь p Э f 5

Vf îi ob ь ж p < - ^

~í f< l’ ц g К й t* p w о

-S " lib « £ ë s а

b? §1- і 8 g|Ê

so' gïi, §s g 5 fe а *

Ci

■7t ¿; o ss в H.5«

>-•> - ?, ,; ~ f. ïi B' £ £ Ц”

№-'* - ,T tr я -г dv O M-u sTi

" "- « ¡s o £> £¡ £

‘7Г' c** f? f-; f- *~y o Ф ГЇ

Ö "’> О г*» £'* S e* Or* »г,

II ,! .-. »K í; g I c ?Ss

¡? c- fe b . • 2 g £ «г g й 5

o “ ü &

i? £ & '"'' § S t; :ї Ц ,-s vS w

K £ttí^e í*£ g й *• S-v

o' .©. .n Я :; y s s ? ^ p о

S;S¿í> ^ ü $, fer ^ b

Й : 2 -■£ & , g. )¿ ä S

..., 1 » * « ü ■ v/ ^ u;: и о "

*t Éf Г c7 r '"• й Є s ій £ SëS

* ~ &' ß £ É 9-а £ й a s а

О Г ti ¿ * J=> № V ti S

« Й O S 'b'wí У /5 '•?•'

a t¡ к f » ns s &•

b s О Z и! Ü ~ Í-

V V. o r? ?> rj ю — r’ — a

' i\ ■■■,. fe r, ¿ о ц ■: « «.'

- '- v t¿ us d а ■Æ-

o в n fc К

'2. MarepjKSáOJ RIA.. О нохаазоаашшх юшшшга решькнг некишйзшх г^а&агодаских ypiBHSKKH с ijcjwrooow: и асто'жчк^м-стокои.Баку;АвНИИНТМ5 дсп.№2132 Аз,, 1994.

3. Мйг«р;.гйнов М.А. ОС юздтопгсшояс рмзйзлжг нскоторш: эеваде» нвлккей;:ь£х зксрабз^ичссзая уразнытй. Тгетгк д<швдз ш. X? ргшубямжгяжо£ хонфервнавм молодых учгкь»' по Hw.Marnr«« « í.¡f,'.'.r.i ;.?:с. Баку:19&4, ч. И, стр.22*25.

4. М.А. 05 шваатшшт роыгаьж та-,5кл?гн^йк'ог*> кара.Са’океехзгс урагдазжг с ггетсчшшом к хсшгздксгякаг чиг-нси TfcOict! sosasas ка жшфереш&н» пггшдвгшзй 75-в«зеа> БГУ. Бжу:!994.

5. Mt¡fe¿naa*>v М.А, Сп Ш-УсЫзз wave solutions of о tima/ fes»? equation. Proo. csf üift 34tfe Convention. oí íbs .Ikíííikkí, ¡rf £rígmcü7.s,PfÍ4Staí.i,Mtc5iar.ic3l Sssúoajpóí 24-29,1893.

6. МиЬгхяикс? МЛ. Ой as>riípíoSic tuaSyús of & qussí йказг pa-sboEc е^щ&яу/Рвзеетта Академик Наук Азерб., сер киоср. • KS 1*2 ~ 3995.

К1ГЭ&ЯДЭ ecac К^ГТОД КВЛЭ5ГГ?ТПЙ ПЛр?,-5с*Л»?К ТОСКЛ^Г-Л^ Y'íY3 СЯЕЕЗф

«üttííwra» &йллэр (урідодея Дака ¿etc*. гзлчі ücw: г*5?гті кодвхта*

йалкх п-сраболя» '¿iSKf.'^xAOpira лойал.г^'-жгфга^^ха зстагггїс’тай ІУЗ^л^рткгч

тк*»агД!Я! «^¿»тдвр. Буяук У'Ф1 !И*слоа В.П., Дденлзг В.Г., Волсгэа КА усулуяря ynb&4$tiiv*zsfa єднаним в®рк-г?ггмчд5И wre?**© едклир. Игад» acwwfrroraK Ьелл-гр дд».7* чФ0і?ск2їяч т9Кґ>?2?улу гсяжггкзг;г^я далРа Ч'ЭбЬ-’Зсзктзз зсчмлжаемна '»э’«ф^ ofp^íirjíc'^-K.SKp. Бзпвлг» элаез>, сгбзггло^к ©ясадАМ з<а55^?^тти г®£*г5гда«х тзклїч$Ф балілаикаї* бу*уя узукі Д® Ь?лдг»р іурулігузя ^ %

i.^í-C‘¡w?,y. зезтт-.з пгрзбо/^ '-.'ïrs-yrr^ *rr--*-Ti~v» ЬпллГг;:** *>л£гесз

, . -»”; ..-г.* чеїаосиагаї твв^кулу тадгвг гткек 5.л;.ч-:--:у ?счг.ететк.ч i-r-.vc.j

г^с^яз, ,3Araÿnrfo:;s --'і;-..';:-'- 'л,-:л--г--:,;--:'.

¿BP/HIACT

THs d:sser;%!c-i’i ;гті'?'г;' cbj«ctî"a із S3 ajMimst cfítes cfeijjs’of !.~fx¡pxAk sortions !■> r/j'-ji Гг-г-г '/á:,-¿>c''.-; --PiíVs^. Т&те îÿKLir-üy, £s cbjsca-vs is іч .IrjJ bc’Sirf í.sj"'-;-íotií х-’-г: .-ni of pí'“?»- **!’■' .'qv-'íi'f/i ї'я? ¡~A'.d& s cowmS’/w ifrra, for '.“MíS '.'•f }:•« a, r;vc;Ъпг: cftt-ч rws'-cdcfFs.'.'ov V?, D':rib'V V.C-, ‘--ií "■'ci:'-*.-.!' K.A. .s ; ;--’cjcv‘ .-' ^y.-,f,;oi:c ;іЛ:іс;\: v.“•■■, ''■■~i-.->,.v;l:?;, ï^î ev:>'j;ion of :Ь-- wsve íic'.-í ¡’s ■'i.--‘: :-s і ta :- cf cowecí'ois upci¡ ti:’i profcs^i-íri v.-jío :-.і'-ї.?Х ’Г.

? -7.j.»=! !s4"’í p.-irrbf'íís squ-nier; -I’ith ¿ijl/'izir.-j ceitTicisriis \^f.sccns¡íí;i;-i, z:t¿ '.3s;-:aîà 'í-;,!T:cío!!c .-■'.luticns ’Z~ s hr,o. Son соп-.іп.я,«і. Л coniccticn wc-s «‘"УЬ'::í Ьсї’яїм il líitcf s ,d jsyr,-,;j!rí’ic '-'itsiic’a JÏ.!" : lirait1:; ürí?r psrsiív!!«

o.' ;hî ba-^i - of :ho r.rywpíc-lií ïolLîions, ta blgîïiïhnj hss b-.íc.’i p:opС-М-і fcr s!;.-

г.-іл.сгіс study cf the wavç frost ?rop?"iticn