Асимптотические решения задачи о распространении волн в двухслойной жидкости над неровным дном тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

3 3 9 4Ь

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РСФСР ПО ДЕЛАМ НАУКИ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ • МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОГО МАШИНОСТРОЕНИЯ

На правах рукописи Исаков Роман Витальевич

УДК 5! 7.95

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О РАСПРОСТРАНЕНИИ ВОЛН В ДВУХСЛОЙНОЙ ЖИДКОСТИ НАД НЕРОВНЫМ ДНОМ

01.01.03 - натематячесхаа физика

Автореферат диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1991

Работа выполнена в лаборатории математических методов механик* Института проблем иехавьки АН СССР

доктор физика-матеиаткческях шугк -СВ. Доброхотов

доктор фязико-матеиати ^вских вере, профессор СЛ. Свкерж-Зиакович

доктор физико-математических варе, ВГ. Данилов

Московского государственны* университет км. МЛ. Ломоносове

Защита диссертации состоится 9 апреля 1991 г. в 16 час. 00 юга на заседания спецшэшфоваяяого Совета К.06366.05 в Московском институте злактрошюго машиностроения по адресу: Москва, В Вузовски* пер., 3/12.

С диссертацией иохво ознакомился в библиотеке МИЭМ. Автореферат разослав *,.' марта 1991 г

Научный руководитель -Офкциалмше оппоненты -

Ведущая организация -

Учены* секретарь

специализированного Совета дго// р доцент •

- . ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

'~ТАеб1 ^дйссертвцил построены асимптотические решения системы ■«вЛ^нйциалышх уравнений в частных производных, описывающей распространение воля а двухслойной жидкости я асимптотические решений, описывающие волны, сосредоточенные в окрестности неоднородного пологого берега.

Актуальность темы. В работе (II предложен метод нестандартных характеристик для решения дифференциальных уравиений. Этот метод позволяет находить асимптотические решения в задачах, для которых но применимы методы классической математической физики. Диссертация посвящена нахождению асимптотических решений уравнений, описывающих пол новые движения двухслойной жидкости над неровным. Двухслойная жидкость может рассматриваться как модель океана, учитывающая его плотностную стратификацию. Задачи о распространении волн в двухслойной жидкости в случае бесконечной глубины нижнего слоя рассматривались еще ГЛзмбом, ЛЛСретенсхим и другими, в оейовном с точки зрения распространения кораСелмшх волн и исследования явления "мертвой" воды, Известные к настоящему времени результата можно условно разделить на д^ частя. К первой относятся работы, касающиеся разрешимте соответствующих задач, например, в р) доказаны теоремы существования и единственности решения в полной нелинейной постановке задачи при постоянной глубине в малом по времени. Ко второй - работы, в которых получены явные формулы для решения в случае специальных начальных данных или простейшей геометрия дна. В общем случае таких формул нет. Оказывается, что если глубина жидкости изменяется плавно (но не обязательно аа. малую величину), решения можно выразить через нестандартные характеристики. Такой подход к задачам о волнах ш поверхности однослойной жидкости переменной глубины использован в работах р). [4]. В диссертация донный метод

[tj Маслов РЛ. Операторные методы. М., Наука, 1973.

[2] Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн Под

рэд. Л В. Овсянникова. НовоскСярск, Науке, 1986. Ш Доброхотов СМ., йевандров ПЛ. Нестандартные характеристики и операторный метод Иаслова в ллнеЯнмх задачах о неустановившихся волнах на воде . Футосциоп. анализ п еп> прял., 1965. Т. 19. вмп. 4. С. 43-54

[4] Доброхотов СЮ. Методы Маслоза в линеаризованной теории гравитационных волн на поверхности жидкости. Докл. АН СССР, 1933. Т. 269,

переносится 40 систему уравнений, 1 описывающую двухслойную жидкость.

В некотором смысле изучаемые решения представляют собой "погранслойние" функции, заданные в "гонкой" погракслое, так ,'гго4;и2 свойства влияют сразу дм поверхности - свободная поверхность жидкости »ли граница раздела жидкостей и неоднородное дно. В четвертой гласе диссертации изучен другой тип погракслойкых решений - решения спектральной задачи для уравнения Лапласа в "тон! А чашеобразной" области. Эти решения определяют, в частности, собственные колебание в жидкости, сосредоточенные в окрестности неоднородного пологого берега (захваченные волны). Для их получения в диссертации кспользовеяы методы, развитые в работах [5}. (6)

Цель работы состоит в построении асимптотических решений уравнений в частных производных, описывающих распространение веян а двухслойной жидкости и в окрестности неоднородного пологого береге

¡йехади&а_«сшдгикиа. в работе используются операторные я

ссммптотические методы ВЛ Маслова (1), (5|, (6]. (7).

НйХШШЛОДИгна. в диссертации.

- доказаны существование и единственность решения задач* Кошя-Пуиссона для двухслойьоя жидкости переменной глубина;

- в случае плавкого измене кия глубины построена глобальна! асимптотика задачи Коти для двухслойной жидкости переменно* глубины;

- на основе асимптотических формул изучены волновые пол5 точечных источников в двухслойно« жидкости переменно* глубины;

построено формальное асимптотическое решение задачи 1 распостранении захваченных волн в окрестности неоднородного вологоп берега.

№ 1С. 76-60.

[5| Доброхотов С Ю Асимптотики поверхностных волн, захваченных берегами и неоднородностчми рельефа дна Доклады АН СССР, 1986. Т.289, №3 С 575-579

[б| Доброхотов С.Ю, Маслов В П Многомерные ряды Дирихле в задача об асимптотике спектральных серий нелинейных эллиптических опера-торевь Итоги науки и техники Современные проблемы математики М., ВИНИТИ, 1983. Т.25.С 137-222

Иасл^з ВЛ., Федорюх КВ. Квазиюшсическое приближение для уравнений кмнтобой механики М, Наука, 1976

•Практическая ценность. В ."иссертации получено асимптотические • *'[^июния| задачи о распространения волн в двухслойной жидкости при изменения глубины и форматное асимптотическое решение распостраненяя захваченных волн в окрестности неоднородного пологого берега. Результаты могут быть использованы при изучении моделей двухслойного океана я повеления захваченных волн, в том числе я волн цунами на шельфе.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на X Всесоюзной конференции по дифракции и распространению волн ( Винница, 1990 г.) и научных семинарах Института проблем механики АН СССР (1969- 1990 гг.).

Публикации. Но результатам диссертации опубликовано 3 работы (см. список в конце автореферата).

Структура к объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы (39 наименований), она содержит 104 страницы машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении сделан кратки* обзор литературы, описаны постановки задач к кртпсо изложены результаты диссертации.

В первой главе доказаны существование к единственность решения задачи Коши-Пуассона для двухслойной жидкости переменной глубины. Математическая постановка линейной залечи о распространении волн в двухслойной жидкости, верхний слой которой имеет глубину Ь > 0 я плотность р|. а нижний - глубину й - Н(х)-Ь > 0 Щ(х) - функция, описывающая дно бассейна) к плотность р2 (Рз>Р|) состоят в следующем. Идеальная незавихренная жидкость в каждом из слоев описывается потенциалом скоростей (*е Е2-горизонтальные координаты, у -

вертикальная/ направленная вверх, плоскость у-0 совпадает с невозмущенной пверхностыо, у—Ь - с границей раздела слоев), удовлетворяющим соотношениям

дф+фуу-0, -Ь<у<О, -Н(х)<у<-Ь'.

♦«♦Фу-Л. У-0; т

-»О, у=-Н(х).

дл <4)

Здесь , ¿/¿п - производная по нормалг к поверхности

Щи}, плоскость у-О совпадает с неэозмущекной поверхностно жидкости, «-(Р2-Р1>/Р2. Р ■ и система единиц выбрана так, что ускорение свободного падения разно единице.

Аналогично.случаю однослойной жидкости, закачу (I) - (4) будем решать с помощью сведения к уравнениям на свободной поверхности и границе раздела жидкостей, этот подход для однослойной жидкости впервые предложен еще Лдамаром (см. [8] >. Однако в отличие от случая однослойной жидкости здесь возникает вопрос о ."правильном" выборе функций, сггкхктелъно которых следует делать это сведение. Оказывается,

что наиболее удсвными функция*ч будут »1 ■

92 " ф!у—М)- аосшикУ оператор соответствующей км системы

уравнений получается самосопряженным (см. I 2) и формулы для пораметрикса имеют наиболее простой вид (см. I 3, леммы 1.1. 3.4). ?го связано с тем, что именно эти функции являются импульсными переменными в гамильтоновой формулировке исходной нелинейной задачи.

Для завершения постановки задачи о распространении волн в двухслойной жидкости, к (1) • (4) следует добавить начальные данные, которые, аналогично случаю однослойной жидкости [2], необходимо задать на поверхности жидкости и границе раздела слоев:

«и-»?*. Ы-о-°!2)- 4=0«»и-»?- <*>

В случае ровного дно Ш = сил) метод сведения задачи (I) - (5) к уравнениям на упомянутых выше поверхностях эквивалентен методу разделения переменных. Ее решение ищется в виде Ф(х,у,0 = 2(у)9(х.0, где 2(у) - псевдодифференциальный 2x2 матричный оператор,

Ф-^.Фг)", 1-(ц,12)'г- Здесь « Фг - функции, определяющие

18] Сретенский Л Л. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука. 1977.

го>тст;чич р гбпнтх П| '{-А<у*0) г (ь ~ {-Н *у<-Ь) соответственно; 9! и 1)2 ощ-тел&ни выше. Согласно (2) и (з) мы приходим к система уравнений

(6)

Здось ? 2)",6 элементы оператора К определяют соотношениями

Фу| 0*К||Ф1*К|292. ¿"Кип+КПП-

В случае ровного дна их (равно как и элементы оператора можно вычислять явно:

„ -Га Кп----,

V „ ше и а У^мЬ

Л21 *= офЛ12. Л22 --£-,

гдо Ь,4 - глубины верхнего и нижнего слоя соотштстаенш, I - ЦЬ,4) -

Решение системы (6) с начальными условиями (5) можно получить стандартный образом с помощью преобразования Фурье и условна разрешимости этой системы совпадают с условиями сущес~вования преобразования Фурье от соответствующих функций.

В случае неоднородного дна ситуация существенно усложняется -операторы Q н К зависят от х - к получение явных аналитических формул для их символов без дополнительных предположений, по-видимому. невозможно. Кроме того, в этом случав встает вопрос об условиях разрешимости системы (1) - (5). Основной результат первой главы диссертации заключается в следующем. Введем пространство вектор-

функций

где || ...Ц,- норма в пространствах Соболева Я,, $еШ. Доказано следующее утверждение.

Тюрема__2А пуста Яре) ¿С%(В.2), ^еН,. ^'^н/г.

Тогда решение задачи (5). (6) при I е [07] существует для любых Г<®. единственно и удовлетворяет оценке

s

sup ^ с(|ф(1>;Ял1+ rU<2>;/?,_i/2i+Г2 «ир|/;Я,_у2|).

/е(0,Г] * ' « 1 1 »eio,71 4 1

где с иа зависит от Г.

Во второй главе при помощи метопов геометрической оптики строится

' есимптотика решения задачи (5), (6) в физически интересном случав, когда

функция, описывающая дно, плавно меняется в зависимости от х, те И(х)

- H'(hx), А « \ ,Щх} е С" (R2 ). При этом оператор К представляется в виде асимптотического ряда по степеням Л, коэффициенты которого -псевдодифференциальные операторы с символами, зависящими от "медленных" переменных Ах:

К(ЛХ,чЪ)-£аяКл(ЛХ.-Л- (7)

** />-0 йх Коэффициенты К0 п К1 ряда (7) вычислены явно (лемма 3.1), н доказано (лемма 3.2). что все коэффициенты К" принадлежат классу Хврмаидере

I

¿Г"(К* хК' ) при л > 0, а К° eS\n] Из этого следует, что ряд (7)

* г * г

деет асимптотическое разложение оператора К Из общей теории злхоштичсосих уравнений и теоремы г ) следует, что справедлива оценка (лемма 3.3):

Г N il Ii

I К- Ufrconst

I /Р0 ix j I 1Шзк](Ы).к2(Ы)-> «при Ы- ».

Таким образом для построения равномерной по /е(0. Г], Т-кл асимптотики решения задачи (5). (б) достаточно рассмотреть частичную сумму SP ряда (7). Обозначим редуцированную таким образом задачу (5), (б) задаче* (А). Поскольку физически интересными могут быть негладкие начальные данные или правая часть уравнения (6) (например, S-образная функция, описывающая начальное возмущение или движущийся источник) построение асимптотики следует проводить по двум параметрам - гладкости и А. Непкредственное. применение метода ВКБ в данном случав наталкивается на существенную трудность -гамильтонианы, роль которых играют корни из собственных значения A fx. р) матрицы К°(х.р), являются негладкими и совпадают при р - 0:

*u(X.i>)=|fl(«h|p|cf *th|#i:f/(th|£>|É» Ihlpld)2 -4cith|p|éth|#</£) (8)

Здесь d - d(x) - H(x)-b, L - L(b. d(x)). Поскольку точка p - 0 отвечает

гладким функциям (иткам 'бесконечной" длины), сначала,аналогично (9], [Ю]. строится асимптотика по г лаг. кос тк, тл решение задачи (А), точно удовлетворяющее начальным данным, а уравнению - с точностью до гладких функций. Построению такой асимптотики в малом по временя посвящена основная часть результатов 43 главы н.

Введем пространство функций #_Лс нормоЛ

I?- (|(Ь1)'мЧ.(аЗГ1 /<1. геЛ. В I 3 построен параметр яке задачи (А), т.е. такой (матричный) оператор

tf3

таек-* - при И,N - •», t(x) • гладкая срезающая функция, равная 1 на носителе начальных данных. Параметрикс имеет вид псевдодифференциального оператора с символом

Ги(х,Ш)'(г1/(х,'ЛЩ2((*,',Ш (9)

где к - 1,2- вектор-столбцы:

♦.- Ы! /«о

Здесь «o=Jfa>|. функция х0(|Ш»1. Xj(IU)-*(ftl). »

окрестности нуля н x(i)-l в окрестности бесконечности. Функции Sf

должны быть решениями уравнений Гамлльтояа-Якоби, гладко зависящими от параметров и 0. и

[91 Маслов Е Л., Данилов ВГ Принцип двойственности Понтрягияа для вычисления эффекта типа Черенком в кристаллах и разностных схемах. 1//Тр МИАН СССР, 1984. Т. 166.С. 130-160. (Ю) Данилов ВГ., Хеванлров ПЛ. О методе Маслова построения комбинированных асимптотик для Ллсевдодифференциакьиых уравнений и Известия АН СССР. Сер. мат. 1989 Т. 53, № 2. С.411-424.

где %f(x,p,шo,tli¡)-tb>QlX,|2^x,uo^Щ*P))> о функции а^ - решениями соответствующих векторных уравнения переноса. Начальные данные для

оператора Гц индуцируют начальные данные для функций и а*и, их конкретный вид приведен в яшме 3,5, Филитность начальных данных (5) позволяет построить фязштннй по х параметрикс ¡Гд/, а указанный вышз "удобный" выбор функций ?! и 92 приводят к наиболее простому виду формулы для главного члена па-аметриксо (лемма 3.4).

Уравнения (10) списывают нестандартные характеристики уравнений волн в двухслойной жидкости. При они приводят к классическому

характеристическому уравнению дня (6): 5^-0. При ь>0-1 и замене

3{*-> З^+ш ¡х получаются уравнения для характеристик, возникающие при поиске решений (6) по методу ВКБ:

$±$¡№£¡••0. (И)

Яри ив«1 (Ю) переходят в характеристики гиперболической системы уравнений, описывающих приближение 'двухслойной мелкой воды":

В отличие от (П), гамильтонианы %f различны при с - 0, отделены от

нуля и являются гладкими функциями, & сотому решения и а^

являются гладкими и строятся по известным формулам с помощью решений ганильтоновых систем

Обозначим о,«!), решения этих систем с

начальными данными ОЛ =а, Л* =0, где аеК2. Известно, (см., ' и=о ' ч=0

например, (1]), что существование гладких решений (О.к, эквивалентно

условию | - > 0. Посхольху |-1 при ^-0, разрешающий

оператор при малых / имеет вид (9).

Далее в И гп. И построено решение задачи (А) с гладкой правой частью и нулевыми начальными условиями. Для зтого при помощи техники, развитой в ревете (П. задача (А) сводится к цепочке систем уравнений 'двухслойной мелко* воды': /

м

+ (12)

-'jLZkXj-k. j'f.....i>

' ы

Ч

>*°.....

где 3Co--v,

'-aßd od

t-C

(13)

v, Zj - матричные дифференциальные операторы

порядка/+ 2. Эти уравнения не содержат параметра Л я их решение может быт» получено методом последовательных приближений после сведения к интегральным уравнениям типа Вояьтерра или вычислено при помощи ЭВМ. Таким образом основным результатом главы I я параграфов 3 и 4 главы и является следующее утверждение.

Теорема 4 2 Пусть E(f} - разрешающий оператор уравнения (12), тогда решение уравнений 2

kiufKi'O с начальными условиями

имеет вид

t .7И911)*М*0№.

где ыеЙя, { - тобое наперед заданное число, ü = E(t)f- решение уравнений "двухслойной мелко* воды" (см. (12), (и)), в которых положено ?-к~г(кгдг/ы2 +SN)otU9lt), я |0№#f_i3«conit-&

В $5 гл. И исследовав предельный переход решения при А- О, а в (б при помощи канонического оператора Маслова [I], (7] получен глобальный параметрита для задачи (А), т.е. на временах I при которых обращаются в

нуль якобианы |.

В третьей главе аа основе развитой в предыдущей главе техники исследованы волновые поля точечных источников 9 двухслойной жидкости - мгновенного и движущегося. Это исследование проводится на основе определения 7.1, предложенного в работе (9):

Множеством регулярности семейства функций щ {хЛ), принадлежащих

Н^ равномерно по к называете« множество точек, обладающих ве

зависящими от к окрестностями и, такими что равномерно по

к, ¡-1,2. Дополнение в к множеству регулярности называется носителем осцилляций семейства ?(х,й).

В частности, в {7 доказана теореме о структура носителя осцилляции для точечного ксточнока, движущегося по произвольной гладкой траектории по поверхности двухслойной жидкости (аналоге клина Кельвина) - им является область, являющаяся объединением концов траекторий систем Гамильтона, отвечающих гамильтонианам (&).

В {8 исследована зависимость конфигурации носителя осцилляция от соотношения глубин и плотностей жидкости, а для ряда конкретных функций, задающих дно, носители осцилляций вычислены на ЭВМ. Формулы, определяющие область осцилляция в задачах об источниках, движущихся в слабо неоднородных средах, были получены на основе физических соображений в [11]. (12). [13]. Результаты диссертации позволяют в частности, обосновать эти формулы.

В четвертой главе построено формальное асимптотическое решение следующей задачи (ср. с (1) - (4)):

Дф+фуу^о, -Щх)<у< О, (И)

-ХФ»4>у=0, у = 0, (15) -

(11) Ursell F. Steady wave patten» on a non-unifonti steady fluid flow// J. Fluid Mech. t96Q,V.9,pt.3.P.333-346. •

(12) WhithamG.B. A note on group velocity//J. Fluid Mech. l960,V.9,pt.3.P.347-352.

(13) H miter C. On calculation of wave patterns//J. FluidMech. I960, V._3,pt.I.

P.637-647.

it>

--0. v-HW. (16)

M

Здесь x - (x,^), A-^/ax^+e*/«^, X - спектральный параметр, ijàn -производная по нормали к Н(х). Относительно Н(х) предполагается, что она является гладкой неотрицательной функцией, обращающейся в пуль только на некоторой замкнутой кривой г, причем в окрестное га этой

кривой Н(х) - H'(tx), с « 1, Н'{х)с (Г и iH'/ix »0 ири хег. Задача (И) - (16)

описывает, в частности, установившиеся волны частоты a-fîç, (? -ускорение свободной падения), сосредоточенные в окрестности берега малого, ко непостоянного уклона (ти. захваченные волны). Граничное условие, отвечающее захваченным волнам, имеет вид

Hrl<w- <,7>

Частное решение задачи о захваченных волнах в случав однородного прямого берега (Я - x^ga), описывающее первую моду, получено еще Стохсои (см., например, [в]> я имеет вид.

Ф •coe(/bcj)e*p{-jb<2 сое a-»¿у tin a). (18)

Эта функция является решением задачи (14) - (17) если Ukcosa. Это равенство, связывающее вдольбереговое волновое число к с частотой «, называется дисперсиоюшм соотношением воля Стокса В работе (4) решение U») обобщено на случай криволинейной замкнутой Г я неоднородного (вдоль и по нормали к Г) дна и построено формальное асимптотическое решение по параметру и'1 On-- - число нулей функции ф на г) в предположения конечного утла наклона берега (с-1). В этом случав, » силу замкнутости г, вдольбереговое волновое число может принимать лишь дискретное значение, я дисперсионное соотношение определяет точки дискретного спектра задачи (14) - (17). В роботе (И]. Урселл для достаточно малых, но конечных углов {H"x2tga, а<* /<4л+2)) нашел л точных линейно цезавксимых решений. Формальное асимптотическое решение згой задачи в случае прямой береговой линии я малого уклона два {Н-Н(х Шдк{ "ос, при х,~ 0, с«1 ) было найдено Майлзом в работе fisj для мод с

[14] Ursell P. Edge waves on в sloping bench // Proc. Roy. Soc. Lond. 1952. V.A214. P.79 97.

(I5J Mil« J.W.Edge wives on »gently «loping beach//J.F!uidMech. 1989. V. 199. P.125-131.

и

малыми номерами, п~0(1).

В диссертации построено формальное асимптотическое решение в вида быстроосциллирующзй вдоль г и экспоненциально убывающей по нормали к г функции, сосредоточенной в малой окрестности Г. Такое решение обобщает формулы Майлза [15] на случай слабо искривленной береговой линии.

Перейдем в задаче <Н) - (17) х естественным криволинейным координатам (I, г, г!) : / - длина дуги Г, отсчитываемая от некоторой фиксированной точки, так что х •&(/), у-01(1) при (х,у) е Г; г ■ расстояние от проекции течки но плоскость г - 0 до Г; ¡?- гк (штрих в дальнейшем опущен). Введем обозначения:

%(1,г)-Н{х(1,ПУ{<.г)),

И1 « Ы1 « ы1 и1

%к([)

дкЩг,1)

ы*

Lr—О

ar*

г<0

где Ц - характерный горизонтальный размер бассейна, т.не Z, яГе-1;

л » О, I..., я «с"1. Сформулируем основной результат этой главы.

Для любого целого N>0 существует серия асимптотических собствен-.

ных значений Х1^ и собственных функций Ф^, удовлетворяющих (М) -

(16) с точностью до 0(еN ) и имеющих в некоторой окрестности rg {г < 8}, i достаточно мало, вид:

(W) ~ 0 )•

„V, СОПЯ К

V) " %, с

-)езф

15

I П

1 с!

где ¿п(х)"— **—(XV*). Поягююк» решение достаточно легко я!

поддается анализу и, в частности, показывает, что его амплитуда обратно

пропор-ционадьна углу наклона берета

По результатам диссертации ояубляхшияы следующие работы:

1 РБ. Исахо», Асимптотика гавктралио* серил задачи Стехлова для уравшшия Лапласа в Тонко*" области с негладко* границей, Матеи. заметки, 1988, т.44, выя. 5, С. 694-696.

2 ПБ Хевандров, РВИсако». Задача Коши-Пуасссна для двухслойно» жидкости переменной глубины. Метем, мматхя, 1988, т.47, вып. б, С. 31-44.

3. ПН. Жевандроз, Р.ВЯсаков Асимптотика фукхции Грина задачиКопи-Пуассона для отухелойнс* жядхостм переменной глубины. Волны и дифреция - 90. Тезисы даладов. Москве, 1990, т.2, С. 270 - 273.

Подписано к печати 22.03.91 Загс. 44 Тир. 100 0<5ьём I п.л.

Москва, !Д. Пионерская ул.,12