Асимптотические свойства и переходные явления в матричнозначных стохастических эволюциях, ветвящихся процессах и процессах с марковским вмешательством случая тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

?П О/І

і ;

На праяах рукопису СЛЕЙКО Ярослав Іванович

АСИМПТОТИЧНИЙ АНАЛІЗ І ПЕРЕХІДНІ ЯВИЩА В МАТРИЧНОЗНАЧНИХ ВИПАДКОВИХ ЕВОЛЮІІІЯХ, ГІЛЛЯСТИХ ПРОЦЕСАХ ТА ПРОЦЕСАХ З МАРКІВСЬКИМ ВТРУЧАННЯМ ВИПАДКУ

01.01.05 • теорія ймовірностей і математична статистика

Автореферат

дисертації на здобуття вченого ступеня доктора фізико-математичних наук

Киїгі - 1995

Дисертацією в рукопис.

Робота виконана у Львівському державному університеті І и,І.Франка

Офіційні опоненти - доктор ф! зико-штематнчних наук . БРАТІЙЧУК М.С.

доктор фізико-математичних наук професор БАТУТІВ В.О. доктор фізико-математичних наук професор КАРТАШОВ М.В.

Провідна установа - Інститут кібернетики НАН України ім.В.М.Глушкова

' Захист дисертації відбудеться "'/О" /О_________1995р. о

{ЦСО

годині на засіданні спеціалізованої ради Д. 01,66.01 пр Інституті математики НЛН /країни за адресе»1: ¡І5<''60І Київ 'і, ГСП, ауд.Терйщенківське, 3.

З дисертацією можна ознайомитесь в бібліотеці інституту. Авгорв:(орат розіслано 0<Р_________1-і р.

Вченії* секретар спеціалізованої ради ■ П'.ЛК Д,В.

Загальна характеристика роботи

АКТУАЛЬНІСТЬ Т£НИ. Одним із інтенсивно досліджуваних непріш-ків теорії випадкових процесів о випадкові еволвції.

Еволюція систем у випадковому серодоі)И*і предсталяяь • собой широку область застосувань різних математичних методів і теорій.

Асимптотичну поведінку випадкових еволійцій у схемі серій в ергодичному папі шарківському середовищі й схемі

асимптотичного укрупнення розглядали Королик B.C., Турбін кЛ., . і Сніщук A.B., В.В.Анісімов і ін. у масштабі часу при

С»

прямуванні до нуля параметра £ .

Випадкові еволюції, які описуються системами стохастич-них дифоренційних рівнянь з швидкими иарківськими пзреклк-ченняш, виьчаь у своїх роботах А.13.Скороход. Дослідження М.Пінського присвячені опорнїорннм мультиплікативиим функціоналам і випадковим еволвціям »ід харківських процвсів, а їакож їх застосуванням.

У дисертації розглядається сімейство матричнозначних випадкових еводеці й N\b , so залежить від малого параметра £ . Сімейство /V (і) функціонує у випадковому середо-

вищі, я*е задвдться регенеруючим, процесом Х(і) . Досліджуються асимптотика ті) при üi -> «і і О у масвтабі

часу t (А 1) , де Я £ - максимальне власне число натри vi

МА/!т . v - монен* регенерації ііроцзсу X (і). Важлі:- . вов проолвмов а уточнення аснмптоїнчного прадсгаалення , якій підводиться значне мі око в'дисертації, Иаиівмархівськ; процеси.і'процеси з харківським вїручанняи випадку « безпосереднім узагальненням досить добре вивчани* у теорії ймовірностей ланцюгів Маркова. Такого роду процеси я ноолідоа-

нооті эаетосойуюхьси для спису функціонування систем теорії масового обслуговування, резервування, управління аапасанм й інших систем, ао широко зустрічаиться в прикладних задачах теорії випадкових процесів. ,

іончітн’И'їні властивості різного роду іруикці опалі ь ьід процесія з харківським втручанням випадку досліджували Б.С. Королик, А,-В. Скороход, 11М. Коваленко, Б, М.Шуренков, Б. Б, Ані-іімой, Д.С.Сільвесігров, А.4.Турбін, І.І.Єйов, М.С,Брагіичук., ЖВ.Каргаиов та інші.

Загальна ергодична т»орема для процесів з ншііьмарків-оькни втручанням випадку була доведена А.В.Скороходом. Ним »© б^ла поставлена задача про граничний розподіл яиличини

5 [(Ж(а))¿(1 прн ¿-+о° , до Х(1) , і>-0 - иапіамар-

ківський процес з ергодичним вкладання ланцюгом Маркова'та нвокінчении середнім часом перебування в фіксованому стані, |(СС) - обмежена вимірна, функців,

У випадку, колій Х(І) е ншіівмаряіяським процвсом із скінченно» множиною станів і иепвреррчим часом, дана проблема була розв"язана В.И-Шуранковим і Я.І.Олейком при умові, то хвіст функції.розподілу перебуьання в фіксованому стані <з-правильно змінною Дикції;». У випадку, коли ХСІ) нетвмар-ківоький процес 9 довільним числом станів, а - моно-

гойний адитивний функціонал, граничний розподіл £. /ь

. • ’ ■ - ■ ‘ “і . був знайдений В.МуШуренкоаим. .

Основна частина другого розділу приовлчона дослідженні) асимптотичних властивостей невід'ємних адигк.ьних функціоналів, заданих на процесах з харківським втручанням випадку, пра умові, чо фунхція розподілу часу втручання каз ярееиль-мв зы1нний хйісг з параметром с£ е ГО, 1). Виявляється, що.

. . <♦

ч даному випадку граничний розподіл часових середніх з нвви-р'Уіжвним. Знайдено гаки* граничні розподіли дія'інтегральних .та мудьтиггдікатішшх функціоналів, досліджено асимптотику . функції відновлення, побудованої по ітпівмарківському (іроце-сі із скінченною й злічеинои множиною станів, при умові:, ио квіст функції розподілу неробуввння в фіксованому стопі е правильно змінно» функціо» з периметром cL ~ І і нескінченним середнім часом перебування в станах. Слід відзначити, то я даному випадку Н.В.Ері неоном досліджена листе асимптотика Функції відновлення для послідовності не залежних, однаково розподілених випадкових величин.

Гіллчстг процеси з перетвореннями, залежними від ліку, вперте* розглянули Беллман і Харріс. Подальше дослідження таких процесів із скінченним числом типів було зроблено в роботах Б,0.Севастьянова, В.П.Чистякова, В.М.Шурвнкова, В.О. Батутіна й інісих. Перехідні явища в процесах з декількома гипбми чаегияок вивчали D.П.Чистяков, В.М.ЕуренкЬа, О.В. В"вггн.

Гіллясті процеси з довільною множинов типів дослідлдгва-ля A.B.Скороход, Б.О,Севастьянов, Мойад,МЛржина, Харріс, .

Гіллясті процеси з імкхrpsuiso їа скінченнім числом типів розглядали Б.0.Севастьянов, В.М.Шурейхов, В.О.Вагутій.

J дисертаційній роботі вивчаються гіллясті процеси з довільним числом типів і дискретним часом та перетвороиііяки, залежними від віку. Досліджоно асимптотичну Поведінку таких процесів у критичному .випадку. РоЗГЯЯДвВТЬСА TÄKO» гіллмоті процеси з імміграціев І ДОВІЛЬНИЙ числом типів.

Досліджується асішітотичні властивості егкейства гіллястих процесів, які е близькими до критичних, з довільним

числом типгв і дискретним чопом. Для даного сімейства уточнп-еться асимптотика максимального власного значення. У випадку ноперервності часу знайдено асимптотику нерівого моменту гіл~ лнстого процесу З ДОЦІЛЬНІМ числом типів.

НЕГА РОКОТИ. І. Дослідити асимптотичну поведінку і перехідні яшца в матричнозначних оволюціях. Знайти асимптотику перро-іювого кореня, який визначає нормуичіШ множішк масштабу часу сімейства еволюцій.

2. Дослідити асимптотичну поведінку адитивних функціоналів, заданих иа процесі з харківським втручанням випадку, без умови скінченності середніх чосів втручання.

3. Дослідити асимптотичні властивості й перехідні лвижа сімейства гіллястих процесів з довільним числом типів.

ЗАГАЛЬНА МЕТОДИКА ВИКОНАННЯ ДОСЛІДЖЕНЬ. Основний метод дос-дідиі>ння - не асимптотичний аналіз і гшрехідні явища в рівняннях відновлення в довільних фазових просторах.

НОЖНА РЕЗУЛЬТАТІВ ТА IX НАУКОВА ЦІННІСТЬ. Всі основні результати дисертації с кошик.

їх зміст по ля газ т< наступному.

1. Досліджено' асимптотичні властивості сімейства матрично значних випадкових зволяцій в масатабі часу ¿/(Л£"0*

2. Знайдена асимптотичне представлення перроиового корена Я£~ і . ' ..

3. Досліджано .асимптотичні властивості й перехідні яви-

«а матрично значних евалвцій, що задаягься процесом переносу

' ■ ■ ' • А .

з нерозкладкоа граничное иагряцес переносу м і у випадку,

колв матриця А - нульова. В останньому випадку- знайдено

асимптотично представлення І І > ( С ) , яке однозначно ви-

знача? асимптотику еволюції.

4. Досліджено асимптотичні властивості функціоналів

'{■ і ( діє Х(і£) - напівмарківсікий процес,

>2 - залишковий час перебування в стані із нескінчецим се-

реднім часом перебування в стані.

5. Досліджено асимптотичні властивості адитивних функціоналів,. заданих на процесах а ішрківським втручанням випадку, без умови скіичєнності середніх часі» втручання.

6. Знайдено асимптотику функції відновлення, побудова-

ної на напіьмарківському процесі і а скінченною та зліченноь множиною станів у випадку, коли функція розподілу часу пера буьанняв стані 5 правильно змінною з параметром Л - 4 і нескіичении середнім часом. .

?, досліджено асимптотичні властивості і перехідні явища для ГІЛЛЯСТИХ процесів ІЗ ДОВІЛЬНИМ числом типів, та дискретним часом. Розглянуто такоа асимптотичні в»астивості для гіллястих процесів з імміграцією.

Робота носить теоретичний характер. Її результати можуть бути використані в теорії граничних і ергодичних теорем для процесів з карйівським втручанням випадку, гіллястих процесів з довільним, числом типів, теорії скінченновимірних випадкових операторів. Дані класи процесів'мокне використовувати в пкості математичних моделей складних стохастичних систем, наприклад, ре зерна ваїшх систем, систем масового оСо я;тонування, стохасткчних автоматі» та ін.

АПРОБАЦІЯ {‘ОБО’ІИ. Основні результати дисертаційної роботи ' доповідались і обговорювались на Першому всесвітиюму конгресі оо"цдня(шя математичної статистики і теорії ймовірної*-

і-ай ім.Бериуллі. /Ташкент, 1966/, ¡¡"¡.гін міжнародній конференції з теорії ймовірностей і математичної статистики /Вільнюс, 1989 р./, Шостому Рад/іноьш-нцониькому симпозіуму з теорії ймовірностей /Київ, 1391 р./. Міжнародні« конференції до 100-річчя С.Бакпха /Львів, І99£ р./, Міжнародній математичнії» конференції, присвяченій пам'яті Ранса Гана /Чьрні ьпі, 199і* р./ Республіканських школах - семінарах з теорії ймовірностей та математичної статистики /Іььіи, 1985 р. ; Львів, І9йа р. ; Носів, 1990 р,/, виїзній ту копій сесії ьідділешіл математики А11 України/Львів, 199-** р./, семінарах з теорії ймовірностей, та математичної статистики Інституту математики НАМ України /Киїь, 199# р./, Інституту кібернетики Н'ііі ./країни /Київ,

1995 р./, Інституту математики РАН Росії /Москва, 1995 р./, Київського національного університету /Київ, І9‘Ц р., 1995 р./, Київського політехнічного інституту /Київ, 'Г>3!> р./, Львів -ського університету /1993 р., 1994 р./,

СТРУКТУРА ї ОБСЯГ РОБОТИ.- Дисертація" включав ш.туп, гри розділи і список цитованої літератури, що иісипч Ш наймон/ -ваннл. Загальний обсяг рооота 272 січі,і нки. .

' Короткий зміст дисертації ' .. '

У иступі дана аагЬльнй у&рАісуориьгика рооит: оогру »ковані актуальність »єни, мета, теоретичне значений про над« ¡ии досліджень-, викладані-основні положення дисарі-ьні г.

■ У першому розділі розглядаться матричноГНАНІЇ ЇИЧІІІ ВВОЛЬЦІЇ. іі» 1 присвячений ДССЛГЛЬОШиї Ш;рО>. ІДНЙХ, ЯІШ'Щ

ДМ додатно визначених матрично значних сгок*-.сіИ‘іник с«,я*щ1а Нехай не. ймовірнісному просторі (0^ У; {-') аадтіо рогекеруичм: процио Х(ї) 9 иомойга*» рег«нвр4иії Г , . . гСа>:.. .

Розглянемо на [О,с) сімеИстпо мнтри'їнознаниих додатно визначених ьичіикишх промесіn Д (І) .

Побудуймо матричнознпчну еволюцію ригляду: .

Г L ,£‘

Л, "

4\{/) npno«i«t;,

Л/(М V •; ■: ■ • • •• /!/

пркХ'^ЫГ',

5 . •

¿5 (t) - пєсяїдовність незалежних копій процесу с (/). 1 Л ■ С'£

$ і < Г . ■

Основним результатом нового параграфу « наступні тео-

реми

Теорема І. Нехай послідовність матриць М (тыу такою, во при деякому ^ за нормою операторів

М.(^У)^>{)

SU.рзир -------- ----~----------------- < ОО /2/

£ ^ max (і, і )

і •

.jjM(g£(h,Z>i)-+f(C); Є-+о)і'***,{(А£Ч)-*С, /з/

причому сімейство матричнозначних мір Kt(djf)=M(g(T)tZ6dy)' слабко збігається до K(d^) при С~*0 ,дб катриияКЯКФ,*°І)~ нерозкладна з перроношм коренем І, власним правим і лівим векторами CL , V, що відповідапть власному значенні) І. •

Тоді, ЯКЩО оо

fe s“p S5ii%i(t)'cs^l = o > 1

т ^

. ' І . _££

, --/Л» р? І1 ® Ф«-ЦМ-/Є ^ , '

«Яг-іьс . 0 ■ .

. <хО

де Я£ - перронів корінь матриці /с ,аф,У

0

.1к«о умова /3/ теореми І не виконується, тоді справедлива така теорема. . . ..

Теорема 8.. Нехай .сімейство матриць М(£>(£) в

поелементно рівномірно безпосередньо .інтегрованим за Рі паном яа^О^оо) і матриця нерешітчата, то

(МА/ (/) - £ еаМ(££а)-ї) а ® її) (°)»

¿(^--{Нс

де (0) - нульова матриця. .

У § 2 розглядаються сімейство матрично значних стохастич-нкх еволюцій розмірності ґґі X іть , яке зада$ться як розв'язок диференційного рівняння

= ТМїІЇшЬ) л/

аі е •

з початковою умовою Т.(0)= ^ > А0 иЬ -; регенеруючий

процес, який приймаз значення у вимірному просторі(X,$) , А(х) . - матричнозначні 55 - вимірні функції.

Розв"язок даного диференційного рівняння можна представити у вигляді сгохастичної еволюції /І/. Для дослідження асимптотики використовуються теореми 1, -2 залежно від властивостей еволюції на проміжкам регенерації^. Якщо^матриця переносу А(х) ■ задовольняє умову

то для такої стохастичної еволюції при певних умовах над місце ергодична теорема типу закону великих чисел.

Б третьому параграфі досліджуаться асимптотика перроно-вого кореня Я£~ і матричнозначної еволюції, що описуються процесом переносу з патрицею переносу

/Г(£)-/1 + 6/£)В/Х) +.. +ІЇК(£)ВН(Х) + 0((є)),

де матриця А має невід"емні недіагональні елементи з пер-роновим коренем 0 , И., %Ґ - правим і лівим власними векторами, - шкала нескінчеко малих. Виявляються,як-

* г'С '

ЩО Ь = М(р, ] 0 , тодіД£-/~6Д(£) ,

що е основним змістом першої теореми.

Наступна теорема уточнює асимптотику /{ - і у випадку І) ~ 0 .В даному випадку суттєву роль відіграє звиязок між елементами ткали <5>), £(£). .-.. .

1 Т ■

В § 4 розглядаються асимптотика 1 в загальному випадку, якщо матриця переносу /\ (х) має вигляд

А\х) = А++...+б'к(б)Вк(х),

де <5/0,...Дк;- послідовність нескінченно малих,

6^+і(£)'- о(<% (£)) • Позначимо •

4/ = М ] їїВс(х(з))ИсІ5 , '

о . .

Теорема 3. Нехай = = К -Тоді

^¿~і ~ > коли (£) =* 0(^(6)) •

її

ь/Я£"'І ^ 6^(£)(оСС1г^) , коли ¿Г (е) ~ сб <^(£) ;

в/ Х£~'і~б'і (¿)С1 , коли (5^ (£) = О (6і (£)) ,

де константа 0 вираховується в явному вигляді .

У випадку, коли С= О , справедливе твердження.

Теорема Ч. Нехай 0, і= /,£,..., І-1, С) = 0 .

Тоді і- Я£~^(’£)[^1»и< + ^гпгг + ^] при умові, що

6^(6) "ГП^СЕ) ' і 5(Є)^(Є)^гг^ %(і) .

$ , - сталі, що вираховуються в явному вигляді.

1 2» •

У § 5 розглядається сімейство матричнозначних стохастич-них еволюцій, яке задається рівнянням переносу /4/ з початкової) умовою Т (О) -1 / одиничній матриці/ і, крім цього,

А4(х) і?? (о). . '

Теорема 5. Якщо мав місце асимптотичне представлення

МТ£(г) = ЬсС(£)С + о(сС(£)) , д всі (Є)-* О при£~*0, С- матриця розмірності УУІ ХУП , тоді для будь-якого >о

иМ(Теи/леі)) =е^ .

Е-*0 .

Наступні теореми даного параграфу уточняють поведінку норму нічого множника об (£) і матриці С . Нехай

к\х)=%(е)Ьі(х)+..+6псв)Ьп(х); #(£), ...,6^(£) -

шкала нескінченно малая. д^^Е)= 0(6^(£))' В^Х),... ^^(Х) -

обмежені абсолвтно інтегровані матричнозначні функції. Позначимо С. .

Теорема 6. Нехай С ~ ,. . - ~ (О) f * (0) . Тоді

а/ якщо &t(£)-0(6e(£)) , то М F (t)~ l^$L(£)Ct;

б/ якщо S^(i) ~G{6^(£)) , то МТ(t)-h'6jt)Mjcp)b/X(5^S;

£ V ° в/ якщо <5'(6) = ,ri §(£), ToMT(t)-I~§(£(mMjtyS)S(W))ds+^ .

Z О rn

j випадку, коли M(]ci(5)bt(x(s))ds)=(o),Ci * (о),

С^~ . . C^i ~ (0) , тоді, якщо

&*U) ~ fye) і 8 (a)6ZU) ~cCzЬ[(6),

10 MTV,

де R , R - матриці, явний вигляд яких виписузтьея.

1 **

У 9 б доведена узагальнена формула для знаходження асимптотики иерронового кореня матриці при умові,

що К£ Т^о*К і матриця К мае І максимальним власним значенням з правим і лівим власними векторами U, , V~ .

Для будь-якого натурального числа ҐЬ was місце представлення:

JV -І * о(?г0 = ■

В, - К ~К ■ ~ лівий власний вектор патриці І\ ,

«~£ 'Ч ■' ' "б

який відповідав власному значенню ^ ; \/ - узагальнена

обернена матриця до матриці К~ І . '

' У попередніх параграфах розділу І використовувався асимптотичний розклад сімействаі

здглу і використовувався

Теорема, яка доведена в даному параграфі, показує коректність такого представлення при умові, шо К .

Другий розділ присвячений асимптотичному аналізу процесів з иарківським втручанням випадку без умови скінченності середніх часів втручання.

У § 1 розглядаються напівмарківський процес X^ із скінченною множиною станів {4,2,.. ,;*п} і неперервним часомі. Позначимо

ґ=і^{і>о:х^хс} ; };

т. ?° .1

Й - умовна ймовірність при умові Х0= і . Матриця перехід-.них ймовірностей |ріД^Пііі|Пг з рс. =

ькладеного ланцюга Маркова нерозкладна і, отже, для нього існу^ єдиний стаціонарний розподіл ,...} рт ,

Нехай С| (X, Ір е вимірної) функцією двох аргументів, і приймає значення в (О,о°) і ^ = ^ ~ 3" “ час*

проведений процесом після останнього стрибка. Тоді е процесом з марківським втручанням випадку •

Теорема 7. Якщо знайдуться сСе[0,1) і повільно змінна в нулі функція , такі що

~г7-- і^аі; ¿Хрс>0;

5 ¿.(ї) ‘-ч

І . . . .

-|-(«)£0 - обмежена вимірна функція на І0,°°) , то

для всіх точок неперервності X функції розподілу &(х)9дв

т

с і £ЛЯЙ*Д) ’

і Я+Х ^ ^м '^ ) “ ,п.

21 о-.р. (А£+Д)оС

Слід відзначити, що при виконанні умов теореми середній час перебування в фіксованому стані процесом X, в нескінченний.

ь

У ^ 2 доводиться аналог теореми 7, на випадок, коли напівмарківський процес з довільним простором станів та ергодичним вкладеним ланцюгом Маркова. Граничний розподіл нвви-роджений і не залежить від початкового стану, для нього виписується перетворення Лапласа.

/ § 3 розглядаезться процес з довільним простором

станів (X,®) і маркіпським втручанням випадку X . Тоді

ХГ^ХГ,...,Х - вкладений ланцюг Маркова. Будемо вважати

ҐГ)

зчисленну породяеність СГ алгебри Л , а також ергодич -ність ланцюга Маркова X із стаціонарним розподіломТС(-).

Розглянемо ^ ^(Ха)(/(Х , ^(‘) - вимірна ~Ь о *

функція. Теорема, приведена в даному параграфі дає умови, при яких існує граничний розподіл у випадку нескінчен-

ності середніх часів X .

У § ** на напівмарківському процесі з неперервним

часом і довільним простором станів розглядадться

адитивний функціонал . Досліджуються ^нови, при яких

існує граничний розподіл / Ь без умови скінченності М^Ґ

Теорема 8. Нехай X^ - напівмарківський процес, вкладений ланцюг Маркова якого Хг ергодичний із стаціонарним розподілом УТ(-) , і існують повільно змінна у нулі функція ¿і(В) ісС^[Оуоо) такі, то

щ [і-мя(е і г 4

7С майже скрізь і в середньому по мірі ТС(-) 1/5 >0?/ї >О '

\ (l(Л,S,x)cït(¿x)>0;

Мх(е^х>і)^а.х)

7Ґ майже скрізь ;

5 і(А,х)тс^х) > О .

X

Тоді •

Ійп майже скрізь для

всіх точок неперервності ^ функції розаоділу )

¿&Ш=\ (¿у )уіА(а а) & (Я (1-а), у) (¡-¿і) ;

міра визначається перетворенням Лапласа

' оо

Є/ (с/и) -\а(Л,з,£)^(с1г).

ІГятий параграф присвячений дослідженню асимптотичних властивостей функціоналів з запізненням, які задані на напів-марківському процесі Х(і) з довільним числом типів, та вкладеним ланцюгом Маркова, рекурентним по Харрісу.

В шостому параграфі знаходиться граничний розподіл від мультиплікативного функціоналу 'заданого на напівмар -

ківському процесі Х(/) з довільним числом типів, без умови скінченості Мхт .

У ^ 7 досліджується асимптотика функції відновлення для напівмарківського процесу Х^ із скінченною та зліченною множиною станів та неперервним часом у випадку, кот1~£(І) е правильно змінною функцією з параметром оС = і і 00

для всіх станів і . Вважатимемо, що матриця, складена із ' <» '

перехідних ймовірностей, нерозкладна і для неї існує єдиний стаціонарний розподіл рі, рг)..,, . Для функції відновлення -

знайдено асимптотичну поведінку при І- 00 .

Теорема 9. Якщо :

ОО

тоді

де V - момент першого повернення в початковий стан вкладеного ланцюга Маркова;

ОС

і

пгі іь -1 № >¿¿3 с/и,.

о

Доведена також аналогічна теорема на випадок, коли множина станів процесу злічєнна. .

Третій розділ складається з шести параграфів і присвячений вивченню гіллястих процесів з довільним числом типів? .

У & І досліджуються перехідні явища теорії багатовимірного рівняння відновлення.

На вимірному просторі(Т, } розглядається послідов -

£

ність невід'ємних ядер , де хе X Лрї.

П. - ціле додатне число, £ - малий параметр. При фіксованих б , X ,А , е мірою на 'Т' , при фіксовано-

му 6 . П. , маємо $ - вимірну функцію від X . Вважатимемо, що ядро £*(СІІр= ійп, (П,СІу)

незвідне і критичне.'Надалі завжди вважатимемо, що не звідне і критичне ядро мад власну функцію 0< К^< |-(х) < К^< 00 і скінченну інваріантну міру. Перша теорема,§ І дає асимп -тотику розв'язку рівнянь відновлення при одночасному прямуванні чаоу п~*ос і параметра £-*0 . В другій теоремі вн&йдвно границю оператора відновлення

^4(х)=£і£ при

Туг P/W ;-5 кратна згортка ядра

У § 2 на основі теорем § І досліджуються асимптотичні властивості гіллястих процесів з довільним простором типі в І і дискретним часом та перетвореннями, залежними від віку.

Нехай ¿¿h - число частинок в момент часу tb > ти-

пи яких належать мноиині А ; р? (А) - число частинок . нащадків, типи яких належать А ; ї, - час життя однієї частинки; рк(^) - функція розподілу життя однієї частинки типу é .

Теорема 10. Якио .

v f мДа>&а>] -Ht&WV} ] ■< ~ ;

Mtfe(T)i{t,,,}>0; SupMjrgxD}«»;

fi ■ ■ 00

ШП SUD 21 Ь f/) = 0 ;

K-*<» i r а**м 1 K

,.p„„ оператора Qlu^tX)-Zé^jMJ^clÿ)Iit,J^ÿ)

менша за I при WïO, ¡U.I<2,‘JZ ' ■ .

2/ Оператор, що визначений нозвідним і критичним ядром

, мае І ізольованої) точкой спектру в просторі функцій. Тоді для вимірної функції Ср(и) : 0< Cj/Ccc)^ і і Х>0 . . ' .

ЬпЩ^и)^а^х} -В i^eapf в A((f(T)} *

• і

деД(с|)(.)), 8 константи, які вираховувться в явному вигляді. Знайдено також асимптотичний розподіл випадкового

-вектора не не- * ’ " к "

рзтинаються і и А; = Т . ' '

. і." 1 І» ' ,

У § 3 досліджується перехідні явища для сімейства гіллястих процесів, які залежать від малого параметра & , з до-

• • Т ■

вільним числом типів ( , дискретним часом та перетворення-

ми, залежними від віку. .Для гіллястого процесу з параметром

6 зберігаються позначення § 2, покладанням зверху б . Знайдено граничний розподіл

п

^{аі уМ^Ыи,) їх}

як

тільки гь(1~р&)-* С при ҐІ~+°о , £. -*0 , де р^

ізольоване власне значення оператора, яке визначається ядром..

^ { с’г (£)3 • '

§ ^ приснччений дослідденнв граничних властивостей для гіллястого процесу з ікмігршііею. Гіллястий процес з імміграціє« і довільним числом типів Т найпростіше описувати як гіллястий процес з Т+ X типами частинок, у якому частинка типу X в момент перетворення відтворив себе і по-роджуе число-типів Т , а частинки типу Т можуть перєт -ворюватись лише в частинки типів Т . Нехай рк(£)- функція розподілу однієї частинки тику X. .

Теорема II. Якко виконані всі умови теореми І § 2 і розподіл рк(X) неперіодичний і

. $(Х)-11крк(Х)<ео і МХ^(Т)

оп

9

годі для 2>0 і вимірної функції 0<(р-(и)< і справедлива рівні о.ть:

кгп. Р. {ї (Р (и) £ ((і а) < ?_ } =

rt.-s.oo і Гр І -

т

§ 5 присіінчоний лослідмнн») асимптотичних властивостей математичного сподівання середнього числа частинок в майвнї

иьали&у роль в асимптотичному аналізі перехідних явищ.

I, Клейки Л.И. Ьириходниа явлении в теории ыногоньрною восстановления. В кн.: Вероятностные могоды йбсконйчно-морного анализа, К., ИМ АН УССР, 1980. С.**7-60. •

с. Елш1кс Я.И, Предельные теоремы для аддитивних функционалов иг» нолуиарковских процессах с произвольной фазой. В кн.: Вероятностный беоконачномерний анализ. К., ИМ АН ЖЧ\ д.981. С. 44- >0.

3. Елейко ft.ll. Предельные'теоремы для ветвящихся процессов

С произвольным ЧИСЛОМ ’ТИПОВ. // Укр. иыг. кури. - 1962.

часу І для гіллястих процесів З ДОВІЛЬНИМ ЧИСЛО« ТИПІВ. У § 6 уточниться асимптотика. 1~ , яка відігр&д

Основні положення дисертації опубліковані в наступник ' роботах '

' т.3*, W 3. - С.360-365. ■ ' ' •

4. Елейно Я.И. Переходные-явления для-ветьлшнхен процессов

с произвольным числом типов и дискретным временем. -1 / >К]і мет. журн. - 1962. Г. 34, Ї 2. - С. 198-204. . .

5. Елейко Я.И. Предельная теорема для ветвящегося процесса с

иммиграцией. В кн.: Проблемы теории вероятностных распределений. К., ИМ-АН /ССР, 1983. .С.6С“67, . •

6. Блейко ЯЛІ. Предельная теорема для аддитивного функционала заданного на полумарковском процессе. Б кн.: Аналитические методы в зада,-ах теории вероятностей. К., ИМ АН УССР. 1984. С.65-68.

7. Елейно ІІ.Й. Асймптоїяческой поведение первого момента для

ветьг.щегося процесса Беллмана-Харриса с произвольным чнс~

лом типов. В кн.; Избранные вопроси теории вероятностей . и случайных процессов. К., Ш АН. У ССР, J 9&4. - С.64-69.

в. Блейко Й.И.Предельные распределения временных средних для

процессов с марковским вмешательством случая. // Укр. мьт

журн. Т.39, ї '6. 1987. - С.779-782. ' .

■9. Елайко Я.Я. Одна предельная теорема для иодуыариовокого ' процесса с конечным числом состояний. В'кн.: Материалы 10-й конф. молодых ученых ШШМ Ail УССР. Деи, ъ ВИНИТИ * 7157-84 Деп., 1984. 4 с. -

10, -Елейно й.й. Продельноераспределение длч процассоь с пилу марковским вмешательством случая. // Укр. ма*г. журн. 7.41, ti 10. 1989.' С.I333-I337. '

IX. Влейко fl.ll. Предельное распределение временных средних для аддитивных функционалов, заданных на полумарковской- '

• проп&сее. Б кн.: Стохастический анализ и его приложений. К., 'ИМ АН /ССР,' 1989. • С.49-55. .

.12, Елейко Л.И. Преднчын о ¡тспрслрденис ирчмйнннх средних для процессов с полу маркове ким вмекател ьством случяя. // Укр. мат. жур». - 1990. Т.42. № 2. С.Ш-26Н.

13. Елейко Я.М. Предельное распределение временных средних для ядлитнбння функционалов, заданных на аолу марковском процессе. // Укр. мат. жури. - 1990. Т.42. #■ 6.

С.843-847. ' ■

14. СдеПко АЛ. Іїврвяілні янииа в пронеевх переносу. // Вісник Львів, ун-ту. сер. фізична, Впп.Е?, 1994. С.52-55.

15. Слвйко ЯЛ. Одна стохастичіт модаль роботи склвдної фі-

зичної системи. // Вісник Львів, ун-ту, пер. фізична, вил.27, І99>». С. 55-58. .

16. блейко Я.І. Асимптотика функції підновлення для одного класу напішарківських процесів. // Збірник наукових праць Львівського натенптичного т-за "Математичні сту--ЛІТ”, вин.4. 1994. С. 107-ПО.

17. £лейко ЯЛ. Асимптотичні властивості функції підновлення. // Вісник Львів, ун-ту, сер. математична, вип.^О, 1994. С. 73-78.

10. Елейко ЯЛІ. Предельное распределение матричноэначных рэгйнерлруювих процессов. Тезке« докладов УI Советско-японского сикпозиума по теории вероятностей и мятем. статистико. Киев, 199I. - С.ба

19. Слейко ПЛ. Граничний розподіл для одного класу мультц-плікаїивиях функціоналів, які задані на нзпівмарківсько-ну процесі. /І 'Таза доповідай шЬ.0?шЛ СОТІ^-С.

хапсє, ЮО-ІЇїу !>Оьік(ісш. <>(■ В.^Вй/юш, Май:-6-8', і99Р.(о£иа?і)~р.^9-&0. '

20. Слейко Я.1. Асимптотичні властивості перроітвого кореня для одного класу матрично значних стох&стичних вжаяцій. Мікнародна математична конференція присвячена пам"яті Ганса Гана /10—15 жовтня 1994 року, Черн піці/. Тези до-повідеЯ. С.46. '

На завераеиня хочу згадати слотами глибокої вдячності Валентина Михайловича Шуреикола за багаточисельні корисні обговорення.

1лейко Я. И, Асимптотические СВОЙСТВ» и переходные явления в ш'ричноэыачных стохастических эволюциях, ветвящихся процессах и фоцессах с марковским вмешательством случая. Диссертация на онскапие ученой степени доктора физико-математических наук по нециалыюсти 01.01.05 - теория вероятностей и математическая татастика. Ин-т математики ПАИ Украины, Киев, 1995.

Защищается 20 научных работ, которые содержат теоретические [сследованияг по асимптотическому анализу и переходным явлениям и мтрнчнозначных стохастических. эволюциях, ветвящихся процессах с роизволмым пространством типов.

1сследоваяы асимптотические свойства функционалов, заданных на роцессах с марковском вмешательством случая, без условия конечности редних времен вмешательства.

Га 1. Yeleyko. Asymptotik properties and transaction events in imhix-valued fochastik evolutions, branching processes and processes with Markov intrusion f a chance. The Doctor’s Degree (Physics and Mathematics) thesis in peciality 0Î.01.Q5 - Probability Theory and Mathematical Statistics, institutf; f Muitiematics of the NAS of Ukraine, Kyiv,. 1995.

lie thesis defends 20 scientific works which include theoretical inwestigations

l the field of asymptotic analysis and transaction events for matrix-valued lochastik evolutions, branching processes with arbitrary space of the types, he asymptotic properties of functionals set for the processes with Markov illusion of a chance, excluding the the condition of the finitenss of the me m me intrusion, were found. ■. • '. .

[лточові. слова: , . • ' . .

тохастячна еволюція, процес,, перехідні явшца, аснмтотичігі властиаооі, дитивні функціонали.